Scrieți ecuația unei drepte prin 2 puncte. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date: exemple, soluții

Acest articol continuă subiectul ecuației unei drepte pe un plan: vom considera acest tip de ecuație drept ecuația generală a unei drepte. Să definim teorema și să dăm dovada acesteia; Să ne dăm seama ce este o ecuație generală incompletă a unei linii și cum să facem tranziții de la o ecuație generală la alte tipuri de ecuații ale unei linii. Vom consolida întreaga teorie cu ilustrații și soluții la probleme practice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Fie specificat în plan un sistem de coordonate dreptunghiular O x y.

Teorema 1

Orice ecuație de gradul I, având forma A x + B y + C = 0, unde A, B, C sunt numere reale (A și B nu sunt egale cu zero în același timp), definește o dreaptă în un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan. La rândul său, orice linie dreaptă dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan este determinată de o ecuație care are forma A x + B y + C = 0 pentru un anumit set de valori A, B, C.

Dovada

Această teoremă constă din două puncte; vom demonstra fiecare dintre ele.

1. Să demonstrăm că ecuația A x + B y + C = 0 definește o dreaptă pe plan.

Să existe un punct M 0 (x 0 , y 0) ale cărui coordonate corespund ecuației A x + B y + C = 0. Astfel: A x 0 + B y 0 + C = 0. Scădeți din laturile stânga și dreapta ale ecuațiilor A x + B y + C = 0 laturile stânga și dreapta ale ecuației A x 0 + B y 0 + C = 0, obținem o nouă ecuație care arată ca A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Este echivalent cu A x + B y + C = 0.

Ecuația rezultată A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 este necesară și condiție suficientă perpendicularitatea vectorilor n → = (A, B) și M 0 M → = (x - x 0, y - y 0). Astfel, mulțimea de puncte M (x, y) definește o dreaptă într-un sistem de coordonate dreptunghiular perpendicular pe direcția vectorului n → = (A, B). Putem presupune că nu este așa, dar atunci vectorii n → = (A, B) și M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nu ar fi perpendiculari, iar egalitatea A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 nu ar fi adevărat.

În consecință, ecuația A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 definește o anumită dreaptă într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan și, prin urmare, ecuația echivalentă A x + B y + C = 0 definește aceeași linie. Așa am demonstrat prima parte a teoremei.

1. Să oferim o dovadă că orice dreaptă dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan poate fi specificată printr-o ecuație de gradul I A x + B y + C = 0.

Să definim o dreaptă a într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan; punctul M 0 (x 0 , y 0) prin care trece această dreaptă, precum și vectorul normal al acestei drepte n → = (A, B) .

Să existe și un punct M (x, y) - un punct flotant pe o dreaptă. În acest caz, vectorii n → = (A, B) și M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) sunt perpendiculari între ei, iar produsul lor scalar este zero:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Să rescriem ecuația A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definim C: C = - A x 0 - B y 0 și ca rezultat final obținem ecuația A x + B y + C = 0.

Deci, am demonstrat a doua parte a teoremei și am demonstrat întreaga teoremă ca întreg.

Definiția 1

O ecuație a formei A x + B y + C = 0 - Acest ecuația generală a unei linii pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiularOxy.

Pe baza teoremei dovedite, putem concluziona că o dreaptă și ecuația ei generală definite pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular fix sunt indisolubil legate. Cu alte cuvinte, linia originală corespunde ecuației sale generale; ecuația generală a unei linii corespunde unei linii date.

Din demonstrarea teoremei mai rezultă că coeficienții A și B pentru variabilele x și y sunt coordonatele vectorului normal al dreptei, care este dat de ecuația generală a dreptei A x + B y + C = 0.

Sa luam in considerare exemplu concret ecuația generală a unei drepte.

Să fie dată ecuația 2 x + 3 y - 2 = 0, care corespunde unei linii drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat. Vectorul normal al acestei linii este vectorul n → = (2, 3) ​​. Să desenăm linia dreaptă dată în desen.

De asemenea, putem afirma următoarele: linia dreaptă pe care o vedem în desen este determinată de ecuația generală 2 x + 3 y - 2 = 0, deoarece coordonatele tuturor punctelor de pe o dreaptă dată corespund acestei ecuații.

Putem obține ecuația λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 prin înmulțirea ambelor părți ale ecuației generale a dreptei cu un număr λ nu egal cu zero. Ecuația rezultată este echivalentă cu ecuația generală inițială, prin urmare, va descrie aceeași linie dreaptă pe plan.

Definiția 2

Ecuația generală completă a unei drepte– o astfel de ecuație generală a dreptei A x + B y + C = 0, în care numerele A, B, C sunt diferite de zero. În caz contrar, ecuația este incomplet.

Să analizăm toate variațiile ecuației generale incomplete a unei linii.

1. Când A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ecuația generală ia forma B y + C = 0. O astfel de ecuație generală incompletă definește într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y o linie dreaptă care este paralelă cu axa O x, deoarece pentru orice valoare reală a lui x variabila y va lua valoarea - C B . Cu alte cuvinte, ecuația generală a dreptei A x + B y + C = 0, când A = 0, B ≠ 0, specifică locul punctelor (x, y), ale căror coordonate sunt egale cu același număr - C B .
2. Dacă A = 0, B ≠ 0, C = 0, ecuația generală ia forma y = 0. Această ecuație incompletă definește axa x O x .
3. Când A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, obținem o ecuație generală incompletă A x + C = 0, definind o dreaptă paralelă cu ordonata.
4. Fie A ≠ 0, B = 0, C = 0, atunci ecuația generală incompletă va lua forma x = 0, iar aceasta este ecuația dreptei de coordonate O y.
5. În cele din urmă, pentru A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, ecuația generală incompletă ia forma A x + B y = 0. Și această ecuație descrie o linie dreaptă care trece prin origine. De fapt, perechea de numere (0, 0) corespunde egalității A x + B y = 0, deoarece A · 0 + B · 0 = 0.

Să ilustrăm grafic toate tipurile de ecuații generale incomplete de mai sus ale unei linii drepte.

Exemplul 1

Se știe că linia dreaptă dată este paralelă cu axa ordonatelor și trece prin punctul 2 7, - 11. Este necesar să scrieți ecuația generală a dreptei date.

Soluţie

O dreaptă paralelă cu axa ordonatelor este dată de o ecuație de forma A x + C = 0, în care A ≠ 0. Condiția specifică și coordonatele punctului prin care trece linia, iar coordonatele acestui punct îndeplinesc condițiile ecuației generale incomplete A x + C = 0, adică. egalitatea este adevarata:

A 2 7 + C = 0

Din aceasta este posibil să se determine C dacă îi dăm lui A o valoare diferită de zero, de exemplu, A = 7. În acest caz, obținem: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Cunoaștem ambii coeficienți A și C, înlocuiți-i în ecuația A x + C = 0 și obținem ecuația dreaptă necesară: 7 x - 2 = 0

Răspuns: 7 x - 2 = 0

Exemplul 2

Desenul arată o linie dreaptă; trebuie să scrieți ecuația acesteia.

Soluţie

Desenul dat ne permite să luăm cu ușurință datele inițiale pentru a rezolva problema. Vedem în desen că linia dreaptă dată este paralelă cu axa O x și trece prin punctul (0, 3).

Linia dreaptă, care este paralelă cu abscisa, este determinată de ecuația generală incompletă B y + C = 0. Să găsim valorile lui B și C. Coordonatele punctului (0, 3), deoarece linia dată trece prin el, vor satisface ecuația dreptei B y + C = 0, atunci egalitatea este valabilă: B · 3 + C = 0. Să setăm B la o altă valoare decât zero. Să spunem B = 1, caz în care din egalitatea B · 3 + C = 0 putem găsi C: C = - 3. Folosim valori cunoscute B și C, obținem ecuația necesară a dreptei: y - 3 = 0.

Răspuns: y - 3 = 0 .

Ecuația generală a unei drepte care trece printr-un punct dat dintr-un plan

Să treacă dreapta dată prin punctul M 0 (x 0 , y 0), apoi coordonatele ei corespund ecuației generale a dreptei, adică. egalitatea este adevărată: A x 0 + B y 0 + C = 0. Să scădem părțile stânga și dreaptă ale acestei ecuații din laturile stânga și dreapta ale ecuației generale complete a dreptei. Se obține: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, această ecuație este echivalentă cu cea generală inițială, trece prin punctul M 0 (x 0, y 0) și are o normală vector n → = (A, B) .

Rezultatul pe care l-am obținut face posibilă scrierea ecuației generale a dreptei cu coordonate cunoscute vectorul normal al unei drepte și coordonatele unui anumit punct de pe această dreaptă.

Exemplul 3

Dat un punct M 0 (- 3, 4) prin care trece o dreaptă și vectorul normal al acestei linii n → = (1 , - 2) . Este necesar să scrieți ecuația dreptei date.

Soluţie

Condițiile inițiale ne permit să obținem datele necesare pentru compilarea ecuației: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Apoi:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problema ar fi putut fi rezolvată altfel. Ecuația generală a unei drepte este A x + B y + C = 0. Vectorul normal dat ne permite să obținem valorile coeficienților A și B, atunci:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Acum să găsim valoarea lui C folosind punctul M 0 (- 3, 4) specificat de condiția problemei, prin care trece linia dreaptă. Coordonatele acestui punct corespund ecuației x - 2 · y + C = 0, adică. - 3 - 2 4 + C = 0. Prin urmare, C = 11. Ecuația de linie dreaptă necesară ia forma: x - 2 · y + 11 = 0.

Răspuns: x - 2 y + 11 = 0 .

Exemplul 4

Având în vedere o dreaptă 2 3 x - y - 1 2 = 0 și un punct M 0 situat pe această dreaptă. Numai abscisa acestui punct este cunoscută și este egală cu - 3. Este necesar să se determine ordonata unui punct dat.

Soluţie

Să desemnăm coordonatele punctului M 0 ca x 0 și y 0 . Datele sursă indică faptul că x 0 = - 3. Deoarece punctul aparține unei linii date, atunci coordonatele sale corespund ecuației generale a acestei linii. Atunci egalitatea va fi adevărată:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definiți y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Răspuns: - 5 2

Trecerea de la ecuația generală a unei linii la alte tipuri de ecuații ale unei linii și invers

După cum știm, există mai multe tipuri de ecuații pentru aceeași linie dreaptă pe un plan. Alegerea tipului de ecuație depinde de condițiile problemei; se poate alege pe cel mai convenabil pentru rezolvare. Abilitatea de a converti o ecuație de un tip într-o ecuație de alt tip este foarte utilă aici.

Mai întâi, să considerăm trecerea de la ecuația generală de forma A x + B y + C = 0 la ecuația canonică x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Dacă A ≠ 0, atunci transferăm termenul B y la partea dreapta ecuație generală. În partea stângă scoatem A din paranteze. Ca rezultat, obținem: A x + C A = - B y.

Această egalitate poate fi scrisă ca proporție: x + C A - B = y A.

Dacă B ≠ 0, lăsăm doar termenul A x în partea stângă a ecuației generale, transferăm pe celelalte în partea dreaptă, obținem: A x = - B y - C. Scoatem – B din paranteze, apoi: A x = - B y + C B .

Să rescriem egalitatea sub forma unei proporții: x - B = y + C B A.

Desigur, nu este nevoie să memorezi formulele rezultate. Este suficient să cunoașteți algoritmul acțiunilor atunci când treceți de la o ecuație generală la una canonică.

Exemplul 5

Este dată ecuația generală a dreptei 3 y - 4 = 0. Este necesar să o transformăm într-o ecuație canonică.

Soluţie

Să scriem ecuația inițială ca 3 y - 4 = 0. În continuare, procedăm conform algoritmului: termenul 0 x rămâne în partea stângă; iar pe partea dreaptă punem - 3 din paranteze; obținem: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Să scriem egalitatea rezultată ca proporție: x - 3 = y - 4 3 0 . Astfel, am obținut o ecuație de formă canonică.

Răspuns: x - 3 = y - 4 3 0.

Pentru a transforma ecuația generală a unei linii în cele parametrice, se face mai întâi o tranziție la forma canonică, apoi o tranziție de la ecuația canonică a unei linii la ecuații parametrice.

Exemplul 6

Linia dreaptă este dată de ecuația 2 x - 5 y - 1 = 0. Notați ecuațiile parametrice pentru această dreaptă.

Soluţie

Să facem trecerea de la ecuația generală la cea canonică:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Acum luăm ambele părți ale ecuației canonice rezultate egale cu λ, atunci:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Răspuns:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ecuația generală poate fi convertită într-o ecuație a unei drepte cu panta y = k · x + b, dar numai când B ≠ 0. Pentru tranziție, lăsăm termenul B y în partea stângă, restul sunt transferați la dreapta. Se obține: B y = - A x - C . Să împărțim ambele părți ale egalității rezultate la B, diferit de zero: y = - A B x - C B.

Exemplul 7

Ecuația generală a dreptei este dată: 2 x + 7 y = 0. Trebuie să convertiți acea ecuație într-o ecuație a pantei.

Soluţie

Să efectuăm acțiunile necesare conform algoritmului:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Răspuns: y = - 2 7 x .

Din ecuația generală a unei linii, este suficient să obțineți pur și simplu o ecuație în segmente de forma x a + y b = 1. Pentru a face o astfel de tranziție, mutăm numărul C în partea dreaptă a egalității, împărțim ambele părți ale egalității rezultate la – C și, în final, transferăm coeficienții pentru variabilele x și y la numitori:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Exemplul 8

Este necesar să se transforme ecuația generală a dreptei x - 7 y + 1 2 = 0 în ecuația dreptei în segmente.

Soluţie

Să mutăm 1 2 în partea dreaptă: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Să împărțim ambele părți ale egalității la -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Răspuns: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

În general, trecerea inversă este și ea ușoară: de la alte tipuri de ecuații la cea generală.

Ecuația unei linii în segmente și o ecuație cu un coeficient unghiular pot fi ușor convertite într-una generală prin simpla colectare a tuturor termenilor din partea stângă a egalității:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Ecuația canonică este convertită într-una generală conform următoarei scheme:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Pentru a trece de la cele parametrice, treceți mai întâi la cea canonică, apoi la cea generală:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Exemplul 9

Sunt date ecuațiile parametrice ale dreptei x = - 1 + 2 · λ y = 4. Este necesar să scrieți ecuația generală a acestei linii.

Soluţie

Să facem tranziția de la ecuațiile parametrice la cele canonice:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Să trecem de la canonic la general:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Răspuns: y - 4 = 0

Exemplul 10

Este dată ecuația unei drepte în segmentele x 3 + y 1 2 = 1. Este necesar să se facă o tranziție la aspectul general ecuații

Soluţie:

Pur și simplu rescriem ecuația în forma necesară:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Răspuns: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Întocmirea unei ecuații generale a unei drepte

Am spus mai sus că ecuația generală se poate scrie cu coordonatele cunoscute ale vectorului normal și coordonatele punctului prin care trece dreapta. O astfel de linie dreaptă este definită de ecuația A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Acolo am analizat și exemplul corespunzător.

Acum să ne uităm la exemple mai complexe, în care mai întâi trebuie să determinăm coordonatele vectorului normal.

Exemplul 11

Dată o dreaptă paralelă cu dreapta 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Se cunoaşte şi punctul M 0 (4, 1) prin care trece linia dată. Este necesar să scrieți ecuația dreptei date.

Soluţie

Condițiile inițiale ne spun că dreptele sunt paralele, apoi, ca vector normal al dreptei, a cărei ecuație trebuie scrisă, luăm vectorul direcție al dreptei n → = (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Acum cunoaștem toate datele necesare pentru a crea ecuația generală a dreptei:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Răspuns: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Exemplul 12

Linia dată trece prin originea perpendiculară pe dreapta x - 2 3 = y + 4 5. Este necesar să se creeze o ecuație generală pentru o linie dată.

Soluţie

Vectorul normal al unei linii date va fi vectorul direcție al dreptei x - 2 3 = y + 4 5.

Atunci n → = (3, 5) . Linia dreaptă trece prin origine, adică. prin punctul O (0, 0). Să creăm o ecuație generală pentru o linie dată:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Răspuns: 3 x + 5 y = 0 .

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Ecuațiile canonice ale unei drepte în spațiu sunt ecuațiile care determină dreapta care trece acest punct coliniar cu vectorul de direcție.

Fie dat un punct și un vector direcție. Un punct arbitrar se află pe o dreaptă l numai dacă vectorii și sunt coliniari, adică condiția este îndeplinită pentru ei:

.

Ecuațiile de mai sus sunt ecuațiile canonice ale dreptei.

Numerele m , nȘi p sunt proiecții ale vectorului direcție pe axele de coordonate. Deoarece vectorul este diferit de zero, atunci toate numerele m , nȘi p nu poate fi simultan egal cu zero. Dar unul sau două dintre ele se pot dovedi a fi zero. În geometria analitică, de exemplu, este permisă următoarea intrare:

,

ceea ce înseamnă că proiecţiile vectorului pe axă OiȘi Oz sunt egale cu zero. Prin urmare, atât vectorul cât și linia dreaptă definite de ecuațiile canonice sunt perpendiculare pe axele OiȘi Oz, adică avioane yOz .

Exemplul 1. Scrieți ecuații pentru o dreaptă în spațiu perpendiculară pe un plan şi trecând prin punctul de intersecţie a acestui plan cu axa Oz .

Soluţie. Să găsim punctul de intersecție al acestui plan cu axa Oz. Din moment ce orice punct situat pe axă Oz, are coordonatele , atunci, presupunând în ecuația dată a planului x = y = 0, obținem 4 z- 8 = 0 sau z= 2 . Prin urmare, punctul de intersecție al acestui plan cu axa Oz are coordonatele (0; 0; 2) . Deoarece linia dorită este perpendiculară pe plan, este paralelă cu vectorul său normal. Prin urmare, vectorul de direcție al dreptei poate fi vectorul normal avion dat.

Acum să scriem ecuațiile necesare ale unei drepte care trece printr-un punct A= (0; 0; 2) în direcția vectorului:

Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date

O linie dreaptă poate fi definită prin două puncte aflate pe ea Și În acest caz, vectorul de direcție al dreptei poate fi vectorul . Atunci ecuațiile canonice ale dreptei iau forma

.

Ecuațiile de mai sus determină linia care trece prin doi puncte date.

Exemplul 2. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă din spațiu care trece prin punctele și .

Soluţie. Să notăm ecuațiile necesare ale dreptei în forma dată mai sus în referința teoretică:

.

Deoarece , atunci linia dreaptă dorită este perpendiculară pe axă Oi .

Drept ca linia de intersecție a planelor

O linie dreaptă în spațiu poate fi definită ca linia de intersecție a două plane neparalele și, adică, ca o mulțime de puncte care satisfac un sistem de două ecuații liniare

Ecuațiile sistemului sunt numite și ecuații generale ale unei linii drepte în spațiu.

Exemplul 3. Alcătuiți ecuații canonice ale unei drepte în spațiu date de ecuații generale

Soluţie. Pentru a scrie ecuațiile canonice ale unei linii sau, ceea ce este același lucru, ecuațiile unei linii care trece prin două puncte date, trebuie să găsiți coordonatele oricăror două puncte de pe linie. Ele pot fi punctele de intersecție ale unei linii drepte cu oricare două plane de coordonate, de exemplu yOzȘi xOz .

Punct de intersecție a unei drepte și a unui plan yOz are o abscisă X= 0 . Prin urmare, presupunând în acest sistem de ecuații X= 0, obținem un sistem cu două variabile:

Decizia ei y = 2 , z= 6 împreună cu X= 0 definește un punct A(0; 2; 6) linia dorită. Apoi presupunând în sistemul dat de ecuații y= 0, obținem sistemul

Decizia ei X = -2 , z= 0 împreună cu y= 0 definește un punct B(-2; 0; 0) intersecția unei drepte cu un plan xOz .

Acum să scriem ecuațiile dreptei care trece prin puncte A(0; 2; 6) și B (-2; 0; 0) :

,

sau după împărțirea numitorilor la -2:

,

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii drepte. Condiția de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte

1. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat A(X 1 , y 1) într-o direcție dată, determinată de pantă k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Această ecuație definește un creion de linii care trec printr-un punct A(X 1 , y 1), care se numește centrul fasciculului.

2. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: A(X 1 , y 1) și B(X 2 , y 2), scris astfel:

Coeficientul unghiular al unei drepte care trece prin două puncte date este determinat de formula

3. Unghiul dintre liniile drepte AȘi B este unghiul cu care trebuie rotită prima linie dreaptă Aîn jurul punctului de intersecție al acestor linii în sens invers acelor de ceasornic până când acesta coincide cu a doua linie B. Dacă două drepte sunt date de ecuaţii cu pantă

y = k 1 X + B 1 ,

Lecție din seria „Algoritmi geometrici”

Bună dragă cititor!

Astăzi vom începe să învățăm algoritmi legați de geometrie. Cert este că există destul de multe probleme la olimpiade în informatică legate de geometria computațională, iar rezolvarea unor astfel de probleme provoacă adesea dificultăți.

Pe parcursul mai multor lecții, vom lua în considerare o serie de subsarcini elementare pe care se bazează soluția majorității problemelor din geometria computațională.

În această lecție vom crea un program pentru aflarea ecuatiei unei drepte, trecând prin dat două puncte. Pentru a rezolva probleme geometrice, avem nevoie de anumite cunoștințe de geometrie computațională. Vom dedica o parte a lecției cunoașterii lor.

Perspective din geometria computațională

Geometria computațională este o ramură a informaticii care studiază algoritmii pentru rezolvarea problemelor geometrice.

Datele inițiale pentru astfel de probleme pot fi un set de puncte pe un plan, un set de segmente, un poligon (specificat, de exemplu, printr-o listă a vârfurilor sale în ordinea acelor de ceasornic), etc.

Rezultatul poate fi fie un răspuns la o întrebare (cum ar fi un punct aparține unui segment, două segmente se intersectează, ...), fie un obiect geometric (de exemplu, cel mai mic poligon convex care leagă punctele date, aria de un poligon etc.).

Vom lua în considerare probleme de geometrie computațională doar în plan și numai în sistemul de coordonate carteziene.

Vectori și coordonate

Pentru a aplica metodele geometriei computaționale, este necesară traducerea imaginilor geometrice în limbajul numerelor. Vom presupune că planului i se dă un sistem de coordonate carteziene, în care direcția de rotație în sens invers acelor de ceasornic este numită pozitivă.

Acum obiectele geometrice primesc o expresie analitică. Deci, pentru a specifica un punct, este suficient să indicați coordonatele acestuia: o pereche de numere (x; y). Un segment poate fi specificat prin specificarea coordonatelor capetelor sale; o linie dreaptă poate fi specificată prin specificarea coordonatelor unei perechi de puncte.

Dar principalul nostru instrument pentru rezolvarea problemelor vor fi vectorii. Prin urmare, permiteți-mi să amintesc câteva informații despre ei.

Segment de linie AB, care are rost A este considerat începutul (punctul de aplicare) și punctul ÎN– sfârșit, numit vector ABși este notat cu oricare sau printr-o literă mică aldine, de exemplu A .

Pentru a desemna lungimea unui vector (adică lungimea segmentului corespunzător), vom folosi simbolul modulului (de exemplu, ).

Un vector arbitrar va avea coordonate egale cu diferența dintre coordonatele corespunzătoare ale sfârșitului și începutului său:

,

aici sunt punctele AȘi B au coordonate respectiv.

Pentru calcule vom folosi conceptul unghi orientat, adică un unghi care ține cont de poziția relativă a vectorilor.

Unghi orientat între vectori A Și b pozitiv dacă rotația este din vector A a vector b se efectuează în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic) și negativ în celălalt caz. Vezi Fig.1a, Fig.1b. Se mai spune că o pereche de vectori A Și b orientat pozitiv (negativ).

Astfel, valoarea unghiului de orientare depinde de ordinea în care sunt listați vectorii și pot lua valori în interval.

Multe probleme din geometria computațională folosesc conceptul de produse vectoriale (înclinate sau pseudoscalare) ale vectorilor.

Produsul vectorial al vectorilor a și b este produsul dintre lungimile acestor vectori și sinusul unghiului dintre ei:

.

Produsul încrucișat al vectorilor în coordonate:

Expresia din dreapta este un determinant de ordinul doi:

Spre deosebire de definiția dată în geometria analitică, este un scalar.

Semnul produsului vectorial determină poziția vectorilor unul față de celălalt:

A Și b orientat pozitiv.

Dacă valoarea este , atunci o pereche de vectori A Și b orientat negativ.

Produsul încrucișat al vectorilor nenuli este zero dacă și numai dacă sunt coliniari ( ). Aceasta înseamnă că se află pe aceeași linie sau pe linii paralele.

Să ne uităm la câteva probleme simple care sunt necesare atunci când rezolvăm altele mai complexe.

Să determinăm ecuația unei drepte din coordonatele a două puncte.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte diferite specificate de coordonatele lor.

Să fie date două puncte necoincidente pe o dreaptă: cu coordonatele (x1; y1) și cu coordonatele (x2; y2). În consecință, un vector cu un început într-un punct și un sfârșit într-un punct are coordonate (x2-x1, y2-y1). Dacă P(x, y) este un punct arbitrar pe dreapta noastră, atunci coordonatele vectorului sunt egale cu (x-x1, y – y1).

Folosind produsul vectorial, condiția de coliniaritate a vectorilor și poate fi scrisă după cum urmează:

Acestea. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Rescriem ultima ecuație după cum urmează:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Deci, linia dreaptă poate fi specificată printr-o ecuație de forma (1).

Problema 1. Sunt date coordonatele a două puncte. Găsiți reprezentarea sa sub forma ax + by + c = 0.

În această lecție am învățat câteva informații despre geometria computațională. Am rezolvat problema găsirii ecuației unei drepte din coordonatele a două puncte.

În lecția următoare, vom crea un program pentru a găsi punctul de intersecție a două drepte date de ecuațiile noastre.

Să fie date două puncte M 1 (x 1,y 1)Și M 2 (x 2,y 2). Să scriem ecuația dreptei în forma (5), unde k coeficient încă necunoscut:

De la punctul M 2 aparține unei linii date, atunci coordonatele acesteia satisfac ecuația (5): . Exprimând de aici și substituind-o în ecuația (5), obținem ecuația necesară:

Dacă această ecuație poate fi rescrisă într-o formă care este mai convenabilă pentru memorare:

(6)

Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctele M 1 (1,2) și M 2 (-2,3)

Soluţie. . Folosind proprietatea proporției și efectuând transformările necesare, obținem ecuația generală a unei drepte:

Unghiul dintre două linii drepte

Luați în considerare două linii drepte l 1Și l 2:

l 1: , , Și

l 2: , ,

φ este unghiul dintre ele (). Din fig. 4 este clar: .

De aici , sau

Folosind formula (7) puteți determina unul dintre unghiurile dintre liniile drepte. Al doilea unghi este egal cu .

Exemplu. Două drepte sunt date de ecuațiile y=2x+3 și y=-3x+2. găsiți unghiul dintre aceste drepte.

Soluţie. Din ecuații este clar că k 1 =2 și k 2 =-3. Înlocuind aceste valori în formula (7), găsim

. Astfel, unghiul dintre aceste drepte este egal cu .

Condiții de paralelism și perpendicularitate a două drepte

Dacă drept l 1Și l 2 sunt paralele, atunci φ=0 Și tgφ=0. din formula (7) rezultă că , de unde k 2 = k 1. Astfel, condiția pentru paralelismul a două drepte este egalitatea coeficienților lor unghiulari.

Dacă drept l 1Și l 2 sunt perpendiculare, atunci φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Astfel, condiția pentru perpendicularitatea a două drepte este ca coeficienții lor unghiulari să fie inversi ca mărime și opuși ca semn.

Distanța de la punct la linie

Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la dreapta Ax + Bу + C = 0 este determinată ca

Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza perpendicularei căzute din punctul M la o dreaptă dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:

Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite prin rezolvarea sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular pe o dreaptă dată.

Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema este demonstrată.

Exemplu. Determinați unghiul dintre drepte: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Exemplu. Arătați că dreptele 3x – 5y + 7 = 0 și 10x + 6y – 3 = 0 sunt perpendiculare.

Găsim: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, prin urmare, dreptele sunt perpendiculare.

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Găsiți ecuația înălțimii desenată din vârful C.

Găsim ecuația laturii AB: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ecuația de înălțime necesară are forma: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b.

k= . Atunci y = . Deoarece înălțimea trece prin punctul C, atunci coordonatele acestuia satisfac această ecuație: de unde b = 17. Total: .

Răspuns: 3x + 2y – 34 = 0.

Distanța de la un punct la o linie este determinată de lungimea perpendicularei trasate de la punct la linie.

Dacă linia este paralelă cu planul de proiecție (h | | P 1), apoi pentru a determina distanța de la punct A la o linie dreaptă h este necesară coborârea perpendicularei din punct A la orizontală h.

Să luăm în considerare un exemplu mai complex, când ia linia dreaptă pozitia generala. Să fie necesar să se determine distanța de la un punct M la o linie dreaptă A pozitia generala.

Sarcina de determinare distanțe dintre liniile paralele se rezolvă în mod similar cu cea precedentă. Un punct este luat pe o dreaptă și o perpendiculară este aruncată de pe o altă dreaptă. Lungimea unei perpendiculare este egală cu distanța dintre liniile paralele.

Curba de ordinul doi este o linie definită de o ecuație de gradul doi relativ la coordonatele carteziene curente. În cazul general, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

unde A, B, C, D, E, F sunt numere reale și cel puțin unul dintre numerele A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Cerc

Centrul cercului– acesta este locul geometric al punctelor din plan echidistant de un punct din planul C(a,b).

Cercul este dat de următoarea ecuație:

Unde x,y sunt coordonatele unui punct arbitrar de pe cerc, R este raza cercului.

Semnul ecuației unui cerc

1. Lipsește termenul cu x, y

2. Coeficienții pentru x 2 și y 2 sunt egali

Elipsă

Elipsă se numește locul geometric al punctelor dintr-un plan, suma distanțelor fiecăruia dintre care de la două puncte date ale acestui plan se numește focare (o valoare constantă).

Ecuația canonică a elipsei:

X și y aparțin elipsei.

a – semiaxa mare a elipsei

b – semiaxa minoră a elipsei

Elipsa are 2 axe de simetrie OX și OU. Axele de simetrie ale unei elipse sunt axele sale, punctul de intersecție a acestora este centrul elipsei. Se numește axa pe care se află focarele axa focală. Punctul de intersecție al elipsei cu axele este vârful elipsei.

Raport de compresie (tensiune): ε = s/a– excentricitatea (caracterizează forma elipsei), cu cât este mai mică, cu atât elipsa este mai puțin extinsă de-a lungul axei focale.

Dacă centrele elipsei nu sunt în centrul C(α, β)

Hiperbolă

Hiperbolă se numește locul geometric al punctelor dintr-un plan, valoare absolută diferențele de distanțe, fiecare din două puncte date ale acestui plan, numite focare, este o valoare constantă diferită de zero.

Ecuația canonică a hiperbolei

O hiperbola are 2 axe de simetrie:

a – semiaxa reală de simetrie

b – semiaxa imaginară de simetrie

Asimptotele unei hiperbole:

Parabolă

Parabolă este locul punctelor din plan echidistant de un punct dat F, numit focar, și de o dreaptă dată, numită directrice.

Ecuația canonică a unei parabole:

У 2 =2рх, unde р este distanța de la focalizare la directrice (parametrul parabolă)

Dacă vârful parabolei este C (α, β), atunci ecuația parabolei (y-β) 2 = 2р(x-α)

Dacă axa focală este luată ca axa ordonatelor, atunci ecuația parabolei va lua forma: x 2 =2qу