Cum se definește o linie dreaptă din două puncte. Ecuația unei drepte pe un plan. Vectorul direcție este drept. Vector normal

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte. In articol" " V-am promis să analizați a doua modalitate de a rezolva problemele prezentate pentru găsirea derivatei, cu un grafic de funcție dat și o tangentă la acest grafic. Vom explora această metodă în , nu ratați! De ce Următorul?

Faptul este că formula ecuației unei linii drepte va fi folosită acolo. Desigur, s-ar putea pur și simplu să arate această formulă și să te sfătuiască să o înveți. Dar este mai bine să explici de unde provine (cum este derivat). Este necesar! Dacă îl uiți, restabiliți-l rapidnu va fi dificil. Totul este detaliat mai jos. Deci, avem două puncte A pe planul de coordonate(x 1; y 1) și B (x 2; y 2), se trasează o linie dreaptă prin punctele indicate:

Iată formula directă:

* Adică, când înlocuim coordonatele specifice ale punctelor, obținem o ecuație de forma y=kx+b.

** Dacă această formulă este pur și simplu „memorizată”, atunci există o mare probabilitate de a fi confundat cu indici atunci când X. În plus, indicii pot fi notați în diferite moduri, de exemplu:

De aceea este important să înțelegem sensul.

Acum derivarea acestei formule. Totul este foarte simplu!

Triunghiurile ABE și ACF sunt similare în ceea ce privește un unghi ascuțit (primul semn al asemănării triunghiurilor dreptunghiulare). Rezultă din aceasta că rapoartele elementelor corespunzătoare sunt egale, adică:

Acum pur și simplu exprimăm aceste segmente în termeni de diferență în coordonatele punctelor:

Desigur, nu va exista nicio eroare dacă scrieți relațiile elementelor într-o ordine diferită (principalul este să păstrați corespondența):

Rezultatul este aceeași ecuație a unei linii drepte. Este tot!

Adică, indiferent de modul în care sunt desemnate punctele în sine (și coordonatele lor), înțelegând această formulă, veți găsi întotdeauna ecuația unei linii drepte.

Formula poate fi dedusă folosind proprietățile vectorilor, dar principiul derivării va fi același, deoarece vom vorbi despre proporționalitatea coordonatelor acestora. În acest caz, funcționează aceeași similitudine a triunghiurilor dreptunghiulare. După părerea mea, concluzia descrisă mai sus este mai de înțeles)).

Vizualizați rezultatul prin coordonatele vectoriale >>>

Să fie construită o dreaptă pe planul de coordonate care trece prin două puncte date A (x 1; y 1) și B (x 2; y 2). Să marchem un punct arbitrar C pe dreapta cu coordonatele ( X; y). De asemenea, notăm doi vectori:

Se știe că pentru vectorii care se află pe drepte paralele (sau pe o singură linie), coordonatele lor corespunzătoare sunt proporționale, adică:

- scriem egalitatea rapoartelor coordonatelor corespunzătoare:

Luați în considerare un exemplu:

Aflați ecuația unei drepte care trece prin două puncte cu coordonatele (2;5) și (7:3).

Nici măcar nu puteți construi linia în sine. Aplicam formula:

Este important să prindeți corespondența la întocmirea raportului. Nu poți greși dacă scrii:

Răspuns: y=-2/5x+29/5 merge y=-0,4x+5,8

Pentru a vă asigura că ecuația rezultată este găsită corect, asigurați-vă că o verificați - înlocuiți coordonatele datelor în ea în starea punctelor. Ar trebui să obțineți egalități corecte.

Asta e tot. Sper că materialul v-a fost de folos.

Cu stimă, Alexandru.

P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.

Lecție din seria „Algoritmi geometrici”

Bună dragă cititor!

Astăzi vom începe să învățăm algoritmi legați de geometrie. Cert este că există o mulțime de probleme la olimpiade în informatică legate de geometria computațională, iar rezolvarea unor astfel de probleme provoacă adesea dificultăți.

În câteva lecții, vom lua în considerare o serie de subprobleme elementare pe care se bazează soluția majorității problemelor de geometrie computațională.

În această lecție, vom scrie un program pentru aflarea ecuatiei unei drepte trecând prin dat două puncte. Pentru a rezolva probleme geometrice, avem nevoie de anumite cunoștințe de geometrie computațională. Vom dedica o parte a lecției cunoașterii lor.

Informații din geometria computațională

Geometria computațională este o ramură a informaticii care studiază algoritmii pentru rezolvarea problemelor geometrice.

Datele inițiale pentru astfel de probleme pot fi un set de puncte pe plan, un set de segmente, un poligon (date, de exemplu, printr-o listă a vârfurilor sale în ordinea acelor de ceasornic), etc.

Rezultatul poate fi fie un răspuns la o întrebare (cum ar fi un punct aparține unui segment, două segmente se intersectează, ...), fie un obiect geometric (de exemplu, cel mai mic poligon convex care leagă punctele date, aria de un poligon etc.).

Vom lua în considerare probleme de geometrie computațională doar în plan și numai în sistemul de coordonate carteziene.

Vectori și coordonate

Pentru a aplica metodele geometriei computaționale, este necesară traducerea imaginilor geometrice în limbajul numerelor. Presupunem că pe plan este dat un sistem de coordonate carteziene, în care direcția de rotație în sens invers acelor de ceasornic se numește pozitivă.

Acum obiectele geometrice primesc o expresie analitică. Deci, pentru a seta un punct, este suficient să specificați coordonatele acestuia: o pereche de numere (x; y). Un segment poate fi specificat prin specificarea coordonatelor capetelor sale, o linie dreaptă poate fi specificată prin specificarea coordonatele unei perechi de puncte ale sale.

Dar principalul instrument pentru rezolvarea problemelor vor fi vectorii. Permiteți-mi să vă reamintesc, așadar, câteva informații despre ei.

Segment de linie AB, care are rost DAR considerat începutul (punctul de aplicare) și punctul LA- capătul se numește vector ABși notat fie prin , fie cu o literă mică aldine, de exemplu A .

Pentru a desemna lungimea unui vector (adică lungimea segmentului corespunzător), vom folosi simbolul modulului (de exemplu, ).

Un vector arbitrar va avea coordonate egale cu diferența dintre coordonatele corespunzătoare ale sfârșitului și începutului său:

,

puncte aici Ași B au coordonate respectiv.

Pentru calcule, vom folosi conceptul unghi orientat, adică un unghi care ține cont de poziția relativă a vectorilor.

Unghi orientat între vectori A și b pozitiv dacă rotația este departe de vector A la vector b se face în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic) și negativ în celălalt caz. Vezi fig.1a, fig.1b. Se mai spune că o pereche de vectori A și b orientat pozitiv (negativ).

Astfel, valoarea unghiului orientat depinde de ordinea de enumerare a vectorilor și poate lua valori în intervalul .

Multe probleme de geometrie computațională folosesc conceptul de produse vectoriale (înclinate sau pseudoscalare) ale vectorilor.

Produsul vectorial al vectorilor a și b este produsul dintre lungimile acestor vectori și sinusul unghiului dintre ei:

.

Produs vectorial al vectorilor în coordonate:

Expresia din dreapta este un determinant de ordinul doi:

Spre deosebire de definiția dată în geometria analitică, acesta este un scalar.

Semnul produsului încrucișat determină poziția vectorilor unul față de celălalt:

A și b orientat pozitiv.

Dacă valoarea este , atunci perechea de vectori A și b orientat negativ.

Produsul încrucișat al vectorilor nenuli este zero dacă și numai dacă sunt coliniari ( ). Aceasta înseamnă că se află pe aceeași linie sau pe linii paralele.

Să luăm în considerare câteva sarcini simple necesare pentru rezolvarea celor mai complexe.

Definim ecuația unei drepte în termeni de coordonatele a două puncte.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte diferite date de coordonatele lor.

Pe linie sunt date două puncte necoincidente: cu coordonatele (x1;y1) și cu coordonatele (x2; y2). În consecință, vectorul cu începutul în punct și sfârșitul în punct are coordonate (x2-x1, y2-y1). Dacă P(x, y) este un punct arbitrar pe dreapta noastră, atunci coordonatele vectorului sunt (x-x1, y - y1).

Cu ajutorul produsului încrucișat, condiția de coliniaritate a vectorilor și poate fi scrisă după cum urmează:

Acestea. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Rescriem ultima ecuație după cum urmează:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Deci, linia dreaptă poate fi dată printr-o ecuație de forma (1).

Sarcina 1. Sunt date coordonatele a două puncte. Găsiți reprezentarea sa sub forma ax + by + c = 0.

În această lecție, ne-am familiarizat cu câteva informații din geometria computațională. Am rezolvat problema găsirii ecuației dreptei după coordonatele a două puncte.

În lecția următoare, vom scrie un program pentru a găsi punctul de intersecție a două drepte date de ecuațiile noastre.

Definiție. Orice dreaptă din plan poate fi dată printr-o ecuație de ordinul întâi

Ah + Wu + C = 0,

iar constantele A, B nu sunt egale cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuația generală a unei drepte. In functie de valori constanta A, Bși C, sunt posibile următoarele cazuri speciale:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - linia trece prin origine

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Prin + C \u003d 0) - linia este paralelă cu axa Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - linia este paralelă cu axa Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - linia dreaptă coincide cu axa Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - linia dreaptă coincide cu axa Ox

Ecuația unei linii drepte poate fi reprezentată în diferite formeîn funcţie de orice condiţii iniţiale date.

Ecuația unei drepte printr-un punct și un vector normal

Definiție.Într-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian, un vector cu componente (A, B) este perpendicular pe dreapta dată de ecuația Ax + By + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctul A(1, 2) perpendicular pe (3, -1).

Soluţie. Să compunem la A \u003d 3 și B \u003d -1 ecuația dreptei: 3x - y + C \u003d 0. Pentru a găsi coeficientul C, înlocuim coordonatele punctului dat A în expresia rezultată. Obținem: 3 - 2 + C \u003d 0, prin urmare, C \u003d -1 . Total: ecuația dorită: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte

Să fie date două puncte M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2) în spațiu, apoi ecuația unei drepte care trece prin aceste puncte:

Dacă oricare dintre numitori este egal cu zero, numărătorul corespunzător trebuie setat egal cu zero. În plan, ecuația dreaptă scrisă mai sus este simplificată:

dacă x 1 ≠ x 2 și x = x 1 dacă x 1 = x 2.

Se numește fracția = k factor de pantă Drept.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctele A(1, 2) și B(3, 4).

Soluţie. Aplicând formula de mai sus, obținem:

Ecuația unei drepte dintr-un punct și o pantă

Dacă totalul Ax + Wu + C = 0 duce la forma:

și desemnează , atunci ecuația rezultată se numește ecuația unei drepte cu pantăk.

Ecuația unei drepte cu un vector punct și direcție

Prin analogie cu punctul care are în vedere ecuația unei drepte prin vectorul normal, puteți introduce alocarea unei drepte printr-un punct și a unui vector de direcție al unei drepte.

Definiție. Fiecare vector diferit de zero (α 1, α 2), ale cărui componente îndeplinesc condiția A α 1 + B α 2 = 0 se numește vector de direcție al dreptei

Ah + Wu + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte cu vector de direcție (1, -1) și care trece prin punctul A(1, 2).

Soluţie. Vom căuta ecuația dreptei dorite sub forma: Ax + By + C = 0. Conform definiției, coeficienții trebuie să îndeplinească condițiile:

1 * A + (-1) * B = 0, adică A = B.

Atunci ecuația unei drepte are forma: Ax + Ay + C = 0, sau x + y + C / A = 0. pentru x = 1, y = 2 obținem C / A = -3, adică. ecuația dorită:

Ecuația unei drepte în segmente

Dacă în ecuația generală a dreptei Ah + Wu + C = 0 C≠0, atunci, împărțind la –C, obținem: sau

sens geometric coeficienți în care coeficientul A este coordonata punctului de intersecție al dreptei cu axa x și b- coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Oy.

Exemplu. Având în vedere ecuația generală a dreptei x - y + 1 = 0. Aflați ecuația acestei drepte în segmente.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Ecuația normală a unei linii drepte

Dacă ambele părți ale ecuației Ax + Vy + C = 0 sunt înmulțite cu numărul , Care e numit factor de normalizare, apoi primim

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

ecuația normală a unei linii drepte. Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Exemplu. Având în vedere ecuația generală a dreptei 12x - 5y - 65 \u003d 0. Este necesar să scrieți tipuri diferite ecuațiile acestei linii.

ecuația acestei drepte în segmente:

ecuația acestei drepte cu panta: (împarte la 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Trebuie remarcat faptul că nu orice dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, drepte paralele cu axele sau care trec prin origine.

Exemplu. Linia dreaptă taie segmente pozitive egale pe axele de coordonate. Scrieți ecuația unei drepte dacă aria triunghiului format din aceste segmente este de 8 cm2.

Soluţie. Ecuația dreptei are forma: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctul A (-2, -3) și originea.

Soluţie. Ecuația unei drepte are forma: , unde x 1 = y 1 = 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Unghiul dintre liniile unui plan

Definiție. Dacă sunt date două drepte y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , atunci colt ascutitîntre aceste linii va fi definită ca

.

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2 . Două drepte sunt perpendiculare dacă k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. Liniile drepte Ax + Vy + C \u003d 0 și A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sunt paralele atunci când coeficienții A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB sunt proporționali. Dacă și С 1 = λС, atunci liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată

Definiție. Linia care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și perpendiculară pe dreapta y \u003d kx + b este reprezentată de ecuația:

Distanța de la punct la linie

Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la linia Ax + Vy + C \u003d 0 este definită ca

.

Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza perpendicularei căzute de la punctul M la o dreaptă dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:

(1)

Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite ca soluție a sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei linii drepte care trece prin pe punct dat M 0 este perpendiculară pe o dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Să se determine unghiul dintre drepte: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Exemplu. Arătați că dreptele 3x - 5y + 7 = 0 și 10x + 6y - 3 = 0 sunt perpendiculare.

Soluţie. Găsim: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, prin urmare, liniile sunt perpendiculare.

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Găsiți ecuația pentru înălțimea desenată din vârful C.

Soluţie. Găsim ecuația laturii AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ecuația de înălțime dorită este: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b. k = . Atunci y = . pentru că înălțimea trece prin punctul C, apoi coordonatele sale satisfac această ecuație: de unde b = 17. Total: .

Răspuns: 3x + 2y - 34 = 0.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii. Condiția de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte

1. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat A(X 1 , y 1) într-o direcție dată, determinată de pantă k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Această ecuație definește un creion de linii care trec printr-un punct A(X 1 , y 1), care se numește centrul fasciculului.

2. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: A(X 1 , y 1) și B(X 2 , y 2) se scrie astfel:

Panta unei drepte care trece prin două puncte date este determinată de formula

3. Unghiul dintre liniile drepte Ași B este unghiul cu care trebuie rotită prima linie dreaptă Aîn jurul punctului de intersecție al acestor linii în sens invers acelor de ceasornic până când acesta coincide cu a doua linie B. Dacă două drepte sunt date prin ecuații de pante

y = k 1 X + B 1 ,