Cum se găsesc coordonatele unei parabole. Ecuație în trei puncte: cum să găsești vârful unei parabole, formulă

În matematică există un întreg ciclu de identități, printre care ecuațiile pătratice ocupă un loc semnificativ. Astfel de egalități pot fi rezolvate atât separat, cât și pentru a construi grafice pe axa de coordonate. ecuațiile sunt punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei oh.

Forma generală

ÎN vedere generala are următoarea structură:

Atât variabilele individuale, cât și expresiile întregi pot fi considerate „X”. De exemplu:

(x+7) 2 +3(x+7)+2=0.

În cazul în care rolul lui x este o expresie, este necesar să o reprezentăm ca variabilă și să găsiți, după aceea, echivalați polinomul cu ele și găsiți x.

Deci, dacă (x+7)=a, atunci ecuația ia forma a 2 +3a+2=0.

D=32-4*1*2=1;

şi 1 =(-3-1)/2*1=-2;

și 2 =(-3+1)/2*1=-1.

Cu rădăcini egale cu -2 și -1, obținem următoarele:

x+7=-2 și x+7=-1;

Rădăcinile sunt valoarea coordonatei x a punctului în care parabola intersectează axa x. În principiu, valoarea lor nu este atât de importantă dacă sarcina este doar de a găsi vârful parabolei. Dar pentru trasarea unui grafic, rădăcinile joacă un rol important.

Să revenim la ecuația inițială. Pentru a răspunde la întrebarea cum să găsiți vârful unei parabole, trebuie să cunoașteți următoarea formulă:

unde x VP este valoarea coordonatei x a punctului dorit.

Dar cum să găsim vârful unei parabole fără valoarea coordonatei y? Inlocuim valoarea x rezultata in ecuatie si gasim variabila dorita. De exemplu, să rezolvăm următoarea ecuație:

Găsiți valoarea coordonatei x pentru vârful parabolei:

x VP =-b/2a=-3/2*1;

Găsiți valoarea coordonatei y pentru vârful parabolei:

y=2x 2 +4x-3=(-1,5) 2 +3*(-1,5)-5;

Ca urmare, constatăm că vârful parabolei este situat în punctul cu coordonatele (-1,5;-7,25).

O parabolă este o legătură de puncte care are o verticală Din acest motiv, construcția ei în sine nu este deosebit de dificilă. Cel mai dificil lucru este să faci calcule corecte ale coordonatelor punctelor.

Merită să acordați o atenție deosebită coeficienților ecuației pătratice.

Coeficientul a afectează direcția parabolei. În cazul în care are valoare negativă, ramurile vor fi îndreptate în jos, iar când semnul este pozitiv, ramurile vor fi îndreptate în sus.

Coeficientul b indică cât de lat va fi brațul parabolei. Cu cât valoarea sa este mai mare, cu atât va fi mai largă.

Coeficientul c indică deplasarea parabolei de-a lungul axei operaționale în raport cu originea.

Am învățat deja cum să găsim vârful unei parabole și pentru a găsi rădăcinile, ar trebui să ne ghidăm după următoarele formule:

unde D este discriminantul necesar pentru a găsi rădăcinile ecuației.

x 1 =(-b+V - D)/2a

x 2 =(-b-V - D)/2a

Valorile x rezultate vor corespunde cu valori y zero, deoarece sunt punctele de intersecție cu axa OX.

După aceasta, marchem valorile rezultate în partea de sus a parabolei. Pentru un grafic mai detaliat, trebuie să găsiți mai multe puncte. Pentru a face acest lucru, alegeți orice valoare a lui x permisă de domeniul definiției și înlocuiți-o în ecuația funcției. Rezultatul calculelor va fi coordonata punctului de-a lungul axei op-amp.

Pentru a simplifica procesul de reprezentare grafică, puteți trage o linie verticală prin partea de sus a parabolei și perpendiculară pe axa OX. Acesta va fi cu ajutorul căruia, având un punct, puteți desemna un al doilea, echidistant de linia trasată.

O parabolă este graficul unei funcții pătratice. Această linie are semnificative sens fizic. Pentru a facilita găsirea vârfului parabolei, trebuie să o desenați. Apoi îi puteți vedea cu ușurință partea de sus pe grafic. Dar pentru a construi o parabolă, trebuie să știi cum să găsești punctele parabolei și cum să găsești coordonatele parabolei.

Aflarea punctelor și vârfurilor parabolei

ÎN ideea generala funcţia pătratică are următoarea formă: y = ax 2 + bx + c. Graficul acestei ecuații este o parabolă. Când valoarea este a › 0, ramurile sale sunt îndreptate în sus, iar când valoarea este a ‹ 0, ele sunt îndreptate în jos. Pentru a construi o parabolă pe un grafic, trebuie să cunoașteți trei puncte dacă aceasta trece de-a lungul axei ordonatelor. În caz contrar, trebuie cunoscute patru puncte de construcție.

Când găsiți abscisa (x), trebuie să luați coeficientul lui (x) din formula polinomială dată, apoi să împărțiți cu coeficientul dublu al lui (x 2), apoi să înmulțiți cu numărul - 1.

Pentru a găsi ordonata, trebuie să găsiți discriminantul, apoi să îl înmulțiți cu – 1 și apoi să împărțiți cu coeficientul de la (x 2), după ce îl înmulțiți cu 4.

În continuare, prin înlocuirea valorilor numerice, se calculează vârful parabolei. Pentru toate calculele, este recomandabil să utilizați un calculator de inginerie, iar atunci când desenați grafice și parabole, utilizați o riglă și un lumograf, acest lucru va crește semnificativ acuratețea calculelor dvs.

Să ne uităm la următorul exemplu pentru a ne ajuta să înțelegem cum să găsim vârful unei parabole.

x 2 -9=0. ÎN în acest caz, Coordonatele vârfurilor se calculează astfel: punctul 1 (-0/(2*1); punctul 2 -(0^2-4*1*(-9))/(4*1)). Astfel, coordonatele vârfului sunt valorile (0; 9).

Aflarea abscisei vârfului

Odată ce știți cum să găsiți o parabolă și puteți calcula punctele ei de intersecție cu axa de coordonate (x), puteți calcula cu ușurință abscisa vârfului.

Fie (x 1) și (x 2) rădăcinile parabolei. Rădăcinile unei parabole sunt punctele de intersecție cu axa x. Aceste valori sunt setate la zero ecuație pătratică următorul tip: ax 2 + bx + c.

Mai mult |x 2 | > |x 1 |, ceea ce înseamnă că vârful parabolei este situat la mijloc între ele. Astfel, poate fi găsit folosind următoarea expresie: x 0 = ½(|x 2 | - |x 1 |).

Găsirea zonei figurii

Pentru a găsi aria unei figuri pe planul de coordonate, trebuie să cunoașteți integrala. Și pentru a-l aplica, este suficient să cunoști anumiți algoritmi. Pentru a găsi aria delimitată de parabole, este necesar să o imaginezi într-un sistem de coordonate carteziene.

Mai întâi, conform metodei descrise mai sus, se determină coordonata vârfului axei (x), apoi axa (y), după care se află vârful parabolei. Acum trebuie să stabilim limitele integrării. De regulă, ele sunt indicate în enunțul problemei folosind variabilele (a) și (b). Aceste valori ar trebui plasate în părțile superioare și, respectiv, inferioare ale integralei. În continuare, ar trebui să introduceți valoarea funcției în formă generală și să o înmulțiți cu (dx). În cazul unei parabole: (x 2)dx.

Apoi, trebuie să calculați valoarea antiderivată a funcției în formă generală. Pentru a face acest lucru, ar trebui să utilizați un tabel special de valori. Înlocuind acolo limitele integrării, se constată diferența. Această diferență va fi zona.

Ca exemplu, luați în considerare sistemul de ecuații: y = x 2 +1 și x + y = 3.

Abcisele punctelor de intersecție se găsesc: x 1 = -2 și x 2 = 1.

Presupunem că y 2 = 3 și y 1 = x 2 + 1, înlocuim valorile în formula de mai sus și obținem o valoare egală cu 4,5.

Acum am învățat cum să găsim o parabolă și, de asemenea, pe baza acestor date, să calculăm aria figurii pe care o limitează.

O parabolă este una dintre curbele de ordinul doi; punctele sale sunt construite în conformitate cu o ecuație pătratică. Principalul lucru în construirea acestei curbe este să găsești top parabole. Acest lucru se poate face în mai multe moduri.

Instrucțiuni

Pentru a găsi coordonatele unui vârf parabole, utilizați următoarea formulă: x=-b/2a, unde a este coeficientul lui x pătrat și b este coeficientul lui x. Conectați-vă valorile și calculați valoarea acesteia. Apoi înlocuiți valoarea rezultată pentru x în ecuație și calculați ordonata vârfului. De exemplu, dacă vi se oferă ecuația y=2x^2-4x+5, atunci găsiți abscisa după cum urmează: x=-(-4)/2*2=1. Înlocuind x=1 în ecuație, calculați valoarea y pentru vârf parabole: y=2*1^2-4*1+5=3. Deci partea de sus parabole are coordonatele (1-3).

Valoarea ordonatei parabole poate fi găsită fără a calcula mai întâi abscisa. Pentru a face acest lucru, utilizați formula y=-b^2/4ac+c.

Dacă sunteți familiarizat cu conceptul de derivat, găsiți top parabole folosind derivate, profitând de următoarea proprietate a oricărei funcții: derivata întâi a unei funcții, egală cu zero, indică puncte extreme. De la vârf parabole, indiferent dacă ramurile sale sunt direcționate în sus sau în jos, este un punct extremum, calculați derivata pentru funcția dvs. În general, va arăta ca f(x)=2ax+b. Echivalează-l cu zero și obțineți coordonatele vârfului parabole, corespunzătoare funcției dvs.

Încerca să găsească top parabole, profitând de proprietățile sale precum simetria. Pentru a face acest lucru, găsiți punctele de intersecție parabole cu axa x, echivalând funcția cu zero (înlocuind y = 0). Rezolvând ecuația pătratică, veți găsi x1 și x2. Deoarece parabola este simetrică față de directricea care trece prin top, aceste puncte vor fi echidistante de abscisa vârfului. Pentru a o găsi, împărțiți distanța dintre puncte la jumătate: x=(Ix1-x2I)/2.

Dacă oricare dintre coeficienți este zero (cu excepția a), calculați coordonatele vârfului parabole folosind formule simplificate. De exemplu, dacă b=0, adică ecuația are forma y=ax^2+c, atunci vârful se va afla pe axa oy și coordonatele sale vor fi egale cu (0-c). Dacă nu numai coeficientul b=0, ci și c=0, atunci vârful parabole este situat la origine, punctul (0-0).

O funcție de forma unde este numită funcţie pătratică.

Graficul unei funcții pătratice – parabolă.

Să luăm în considerare cazurile:

I CAZ, PARABOLA CLASICA

Acesta este , ,

Pentru a construi, completați tabelul înlocuind valorile x în formula:

Marcați punctele (0;0); (1;1); (-1;1), etc. pe planul de coordonate (cu cât este mai mic pasul luăm valorile x (în acest caz, pasul 1), și cu cât luăm mai multe valori x, cu atât curba va fi mai netedă), obținem o parabolă:

Este ușor de observat că dacă luăm cazul , , , adică, atunci obținem o parabolă care este simetrică față de axa (oh). Este ușor să verificați acest lucru completând un tabel similar:

II CAZUL, „a” ESTE DIFERIT DE UNITATEA

Ce se va întâmpla dacă luăm , , ? Cum se va schimba comportamentul parabolei? Cu title="Redată de QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

În prima imagine (vezi mai sus) se vede clar că punctele din tabel pentru parabolă (1;1), (-1;1) au fost transformate în puncte (1;4), (1;-4), adică, cu aceleași valori, ordonata fiecărui punct este înmulțită cu 4. Acest lucru se va întâmpla cu toate punctele cheie ale tabelului original. Raționăm în mod similar în cazurile imaginilor 2 și 3.

Și când parabola „devine mai lată” decât parabola:

Să rezumăm:

1)Semnul coeficientului determină direcția ramurilor. Cu title="Redată de QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Valoare absolută coeficientul (modulul) este responsabil pentru „expansiunea” și „compresia” parabolei. Cu cât este mai mare, cu atât parabola este mai îngustă; cu cât |a| este mai mic, cu atât parabola este mai largă.

CAZUL III, APARE „C”.

Acum să introducem în joc (adică să luăm în considerare cazul când), vom lua în considerare parabole de forma . Nu este greu să ghiciți (vă puteți referi întotdeauna la tabel) că parabola se va deplasa în sus sau în jos de-a lungul axei, în funcție de semn:

CAZUL IV, AARE „b”.

Când se va „desprinde” parabola de axă și, în cele din urmă, „se va plimba” de-a lungul întregului plan de coordonate? Când va înceta să mai fie egal?

Aici avem nevoie pentru a construi o parabolă formula pentru calcularea vârfului: , .

Deci, în acest moment (ca la punctul (0;0) sistem nou coordonate) vom construi o parabolă, ceea ce o putem face deja. Dacă avem de-a face cu cazul, atunci din vârf punem un segment de unitate la dreapta, unul în sus, - punctul rezultat este al nostru (în mod similar, un pas la stânga, un pas în sus este punctul nostru); dacă avem de-a face cu, de exemplu, atunci de la vârf punem un segment de unitate la dreapta, două - în sus etc.

De exemplu, vârful unei parabole:

Acum, principalul lucru de înțeles este că la acest vârf vom construi o parabolă conform modelului parabolei, deoarece în cazul nostru.

La construirea unei parabole după ce s-au găsit coordonatele vârfului foarteEste convenabil să luați în considerare următoarele puncte:

1) parabolă va trece cu siguranță prin punct . Într-adevăr, înlocuind x=0 în formulă, obținem că . Adică, ordonata punctului de intersecție al parabolei cu axa (oy) este . În exemplul nostru (mai sus), parabola intersectează ordonata în punctul , deoarece .

2) axa de simetrie parabole este o linie dreaptă, deci toate punctele parabolei vor fi simetrice față de ea. În exemplul nostru, luăm imediat punctul (0; -2) și îl construim simetric față de axa de simetrie a parabolei, obținem punctul (4; -2) prin care va trece parabola.

3) Echivalând cu , aflăm punctele de intersecție ale parabolei cu axa (oh). Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația. În funcție de discriminant, vom obține unul (, ), doi ( title="Rendered by QuickLaTeX.com)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . În exemplul anterior, rădăcina noastră a discriminantului nu este un număr întreg; atunci când construim, nu prea are sens să găsim rădăcinile, dar vedem clar că vom avea două puncte de intersecție cu axa (oh) (din moment ce title="Redată de QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Deci hai să rezolvăm

Algoritm pentru construirea unei parabole dacă este dat sub forma

1) determinați direcția ramurilor (a>0 – sus, a<0 – вниз)

2) găsim coordonatele vârfului parabolei folosind formula , .

3) găsim punctul de intersecție al parabolei cu axa (oy) folosind termenul liber, construim un punct simetric față de acest punct față de axa de simetrie a parabolei (de remarcat că se întâmplă ca nu este rentabil să se marcheze acest punct, de exemplu, pentru că valoarea este mare... sărim peste acest punct...)

4) În punctul găsit - vârful parabolei (ca și în punctul (0;0) al noului sistem de coordonate) construim o parabolă. Dacă title="Redată de QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa (oy) (dacă nu au „ieșit la suprafață”) rezolvând ecuația

Exemplul 1

Exemplul 2

Nota 1. Dacă parabola ne este dată inițial sub forma , unde sunt unele numere (de exemplu, ), atunci va fi și mai ușor să o construim, deoarece ni s-au dat deja coordonatele vârfului . De ce?

Hai sa luam trinom pătraticși selectați un pătrat complet în el: Uite, am primit asta , . Tu și cu mine anterior numiam vârful unei parabole, adică acum,.

De exemplu, . Marcam vârful parabolei pe plan, înțelegem că ramurile sunt îndreptate în jos, parabola este extinsă (în raport cu ). Adică realizăm punctele 1; 3; 4; 5 din algoritmul pentru construirea unei parabole (vezi mai sus).

Nota 2. Dacă parabola este dată într-o formă similară cu aceasta (adică prezentată ca un produs al doi factori liniari), atunci vedem imediat punctele de intersecție ale parabolei cu axa (bou). În acest caz – (0;0) și (4;0). În rest, acționăm conform algoritmului, deschizând parantezele.

Probabil că toată lumea știe ce este o parabolă. Dar vom analiza mai jos cum să-l folosim corect și competent atunci când rezolvăm diverse probleme practice.

În primul rând, să subliniem conceptele de bază pe care algebra și geometria le dau acestui termen. Să luăm în considerare totul tipuri posibile această diagramă.

Să aflăm toate caracteristicile principale ale acestei funcții. Să înțelegem elementele de bază ale construcției curbei (geometrie). Să învățăm cum să găsim vârful și alte valori de bază ale unui grafic de acest tip.

Să aflăm: cum să construiți corect curba dorită folosind ecuația, la ce trebuie să acordați atenție. Să vedem elementele de bază uz practic această valoare unică în viața umană.

Ce este o parabolă și cum arată?

Algebră: Acest termen se referă la graficul unei funcții pătratice.

Geometrie: aceasta este o curbă de ordinul doi care are o serie de caracteristici specifice:

Ecuația parabolei canonice

Figura prezintă un sistem de coordonate dreptunghiular (XOY), un extremum, direcția ramurilor funcției desenând de-a lungul axei absciselor.

Ecuația canonică este:

y 2 = 2 * p * x,

unde coeficientul p este parametrul focal al parabolei (AF).

În algebră se va scrie diferit:

y = a x 2 + b x + c (model de recunoscut: y = x 2).

Proprietățile și graficul unei funcții pătratice

Funcția are o axă de simetrie și un centru (extrem). Domeniul de definiție este toate valorile axei absciselor.

Gama de valori ale funcției – (-∞, M) sau (M, +∞) depinde de direcția ramurilor curbei. Parametrul M înseamnă aici valoarea funcției din partea de sus a liniei.

Cum să determinați unde sunt îndreptate ramurile unei parabole

Pentru a găsi direcția unei curbe de acest tip dintr-o expresie, trebuie să determinați semnul înaintea primului parametru expresie algebrica. Dacă a ˃ 0, atunci ele sunt direcționate în sus. Dacă este invers, jos.

Cum să găsiți vârful unei parabole folosind formula

Găsirea extremului este pasul principal în rezolvarea multor probleme practice. Desigur, puteți deschide special calculatoare online, dar este mai bine să poți să o faci singur.

Cum să o determine? Există o formulă specială. Când b nu este egal cu 0, trebuie să căutăm coordonatele acestui punct.

Formule pentru găsirea vârfului:

• x 0 = -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Exemplu.

Există o funcție y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Să găsim vârfurile acestei funcție.

Pentru o linie ca aceasta:

• x = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Obținem coordonatele vârfului (-2, -41).

Deplasarea parabolei

Cazul clasic este atunci când într-o funcție pătratică y = a x 2 + b x + c, al doilea și al treilea parametru sunt egali cu 0, iar = 1 - vârful este în punctul (0; 0).

Mișcarea de-a lungul axelor de abscisă sau ordonate se datorează modificărilor parametrilor b și, respectiv, c. Linia de pe plan va fi deplasată exact cu numărul de unități egal cu valoarea parametrului.

Exemplu.

Avem: b = 2, c = 3.

Aceasta înseamnă că forma clasică a curbei se va deplasa cu 2 segmente unitare de-a lungul axei absciselor și cu 3 de-a lungul axei ordonatelor.

Cum se construiește o parabolă folosind o ecuație pătratică

Este important ca elevii să învețe cum să deseneze corect o parabolă folosind parametrii dați.

Analizând expresiile și ecuațiile, puteți vedea următoarele:

1. Punctul de intersecție al dreptei dorite cu vectorul ordonate va avea o valoare egală cu c.
2. Toate punctele graficului (de-a lungul axei x) vor fi simetrice față de extremul principal al funcției.

În plus, punctele de intersecție cu OX pot fi găsite cunoscând discriminantul (D) al unei astfel de funcții:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Pentru a face acest lucru, trebuie să echivalați expresia cu zero.

Prezența rădăcinilor unei parabole depinde de rezultat:

• D ˃ 0, atunci x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D = 0, atunci x 1, 2 = -b / (2 * a);
• D ˂ 0, atunci nu există puncte de intersecție cu vectorul OX.

Obținem algoritmul pentru construirea unei parabole:

• determinați direcția ramurilor;
• găsiți coordonatele vârfului;
• găsiți intersecția cu axa ordonatelor;
• găsiți intersecția cu axa x.

Exemplul 1.

Având în vedere funcția y = x 2 - 5 * x + 4. Este necesară construirea unei parabole. Urmăm algoritmul:

1. a = 1, prin urmare, ramurile sunt îndreptate în sus;
2. coordonate extreme: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. se intersectează cu axa ordonatelor la valoarea y = 4;
4. să găsim discriminantul: D = 25 - 16 = 9;
5. caut radacini:

• X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

Exemplul 2.

Pentru funcția y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 trebuie să construiți o parabolă. Acționăm conform algoritmului dat:

1. a = 3, prin urmare, ramurile sunt îndreptate în sus;
2. coordonate extreme: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. se va intersecta cu axa y la valoarea y = -1;
4. să găsim discriminantul: D = 4 + 12 = 16. Deci rădăcinile sunt:

• X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• X2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Folosind punctele obținute, puteți construi o parabolă.

Directrix, excentricitate, focalizarea unei parabole

Pe baza ecuației canonice, focalizarea lui F are coordonate (p/2, 0).

Linia dreaptă AB este o directrice (un fel de coardă a unei parabole de o anumită lungime). Ecuația sa este x = -p/2.

Excentricitate (constant) = 1.

Concluzie

Ne-am uitat la un subiect pe care elevii îl studiază în liceu. Acum știi, privind funcția pătratică a unei parabole, cum să-i găsești vârful, în ce direcție vor fi direcționate ramurile, dacă există o deplasare de-a lungul axelor și, având un algoritm de construcție, îi poți desena graficul.