Construirea unei tangente la graficul unei funcții. Tangenta la graficul unei functii intr-un punct. Ecuația tangentei. Sensul geometric al derivatului

Pe scena modernă dezvoltarea educației, una dintre sarcinile sale principale este formarea unei personalități care gândesc creativ. Capacitatea de creativitate la studenți poate fi dezvoltată numai dacă aceștia sunt implicați sistematic în bazele activităților de cercetare. Fundația pentru ca elevii să-și folosească forţelor creatoare, abilitățile și talentele sunt formate cunoștințe și abilități cu drepturi depline. În acest sens, problema formării unui sistem de cunoștințe și abilități de bază pentru fiecare subiect curs şcolar matematica are o importanță nu mică. În același timp, abilitățile cu drepturi depline ar trebui să fie scopul didactic nu al sarcinilor individuale, ci al unui sistem atent gândit al acestora. În sensul cel mai larg, un sistem este înțeles ca un set de elemente interconectate care interacționează care au integritate și o structură stabilă.

Să luăm în considerare o tehnică pentru a-i învăța pe elevi cum să scrie o ecuație pentru o tangentă la graficul unei funcții. În esență, toate problemele de găsire a ecuației tangentei se rezumă la necesitatea de a selecta dintr-o mulțime (mănunchi, familie) de linii pe acelea care satisfac o anumită cerință - sunt tangente la graficul unei anumite funcții. În acest caz, setul de linii din care se efectuează selecția poate fi specificat în două moduri:

a) un punct situat pe planul xOy (creion central de linii);
b) coeficient unghiular (fascicul paralel de drepte).

În acest sens, la studierea subiectului „Tangentă la graficul unei funcții” pentru a izola elementele sistemului, am identificat două tipuri de probleme:

1) probleme pe o tangentă dată de punctul prin care trece;
2) probleme pe o tangentă dată de panta acesteia.

Instruirea în rezolvarea problemelor tangente a fost realizată folosind algoritmul propus de A.G. Mordkovici. A lui diferenta fundamentala dintre cele deja cunoscute este că abscisa punctului de tangență se notează cu litera a (în loc de x0), și de aceea ecuația tangentei ia forma

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(comparați cu y = f(x 0) + f „(x 0)(x – x 0)). Această tehnică metodologică, în opinia noastră, permite elevilor să înțeleagă rapid și ușor unde sunt scrise coordonatele punctului curent în ecuația tangentei generale și unde sunt punctele de contact.

Algoritm pentru alcătuirea ecuației tangente la graficul funcției y = f(x)

1. Desemnați abscisa punctului tangent cu litera a.
2. Găsiți f(a).
3. Găsiți f „(x) și f „(a).
4. Înlocuiți numerele găsite a, f(a), f "(a) în ecuația generală tangentă y = f(a) = f "(a)(x – a).

Acest algoritm poate fi compilat pe baza identificării independente a operațiunilor de către studenți și a secvenței implementării lor.

Practica a arătat că soluția secvențială a fiecăreia dintre problemele cheie folosind un algoritm vă permite să dezvoltați abilitățile de a scrie ecuația unei tangente la graficul unei funcții în etape, iar pașii algoritmului servesc drept puncte de referință pentru acțiuni. . Această abordare corespunde teoriei formării treptate a acțiunilor mentale dezvoltată de P.Ya. Galperin și N.F. Talizina.

În primul tip de sarcini au fost identificate două sarcini cheie:

• tangenta trece printr-un punct situat pe curbă (problema 1);
• tangenta trece printr-un punct care nu se află pe curbă (problema 2).

Sarcina 1. Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției în punctul M(3; – 2).

Soluţie. Punctul M(3; – 2) este un punct tangent, deoarece

1. a = 3 – abscisa punctului tangent.
2. f(3) = – 2.
3. f „(x) = x 2 – 4, f „(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – ecuația tangentei.

Problema 2. Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor la graficul funcției y = – x 2 – 4x + 2 care trece prin punctul M(– 3; 6).

Soluţie. Punctul M(– 3; 6) nu este un punct tangent, deoarece f(– 3) 6 (Fig. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f „(x) = – 2x – 4, f „(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – ecuația tangentei.

Tangenta trece prin punctul M(– 3; 6), prin urmare, coordonatele ei satisfac ecuația tangentei.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Dacă a = – 4, atunci ecuația tangentei este y = 4x + 18.

Dacă a = – 2, atunci ecuația tangentei are forma y = 6.

În al doilea tip, sarcinile cheie vor fi următoarele:

• tangenta este paralelă cu o dreaptă (problema 3);
• tangenta trece la un anumit unghi fata de dreapta data (problema 4).

Problema 3. Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor la graficul funcției y = x 3 – 3x 2 + 3, paralele cu dreapta y = 9x + 1.

1. a – abscisa punctului tangent.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f „(x) = 3x 2 – 6x, f „(a) = 3a 2 – 6a.

Dar, pe de altă parte, f "(a) = 9 (condiția de paralelism). Aceasta înseamnă că trebuie să rezolvăm ecuația 3a 2 – 6a = 9. Rădăcinile sale sunt a = – 1, a = 3 (Fig. 3). ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – ecuația tangentei;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f „(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – ecuația tangentei.

Problema 4. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y = 0,5x 2 – 3x + 1, trecând cu un unghi de 45° la dreapta y = 0 (Fig. 4).

Soluţie. Din condiția f „(a) = tan 45° găsim a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – abscisa punctului tangent.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f „(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – ecuația tangentei.

Este ușor să arăți că soluția oricărei alte probleme se rezumă la rezolvarea uneia sau mai multor probleme cheie. Luați în considerare următoarele două probleme ca exemplu.

1. Scrieți ecuațiile tangentelor la parabola y = 2x 2 – 5x – 2, dacă tangentele se intersectează în unghi drept și una dintre ele atinge parabola în punctul cu abscisa 3 (Fig. 5).

Soluţie. Deoarece abscisa punctului tangent este dată, prima parte a soluției este redusă la problema cheie 1.

1. a = 3 – abscisa punctului de tangenta a uneia dintre laturi unghi drept.
2. f(3) = 1.
3. f „(x) = 4x – 5, f „(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – ecuația primei tangente.

Fie a unghiul de înclinare al primei tangente. Deoarece tangentele sunt perpendiculare, atunci este unghiul de înclinare al celei de-a doua tangente. Din ecuația y = 7x – 20 a primei tangente avem tg a = 7. Să găsim

Aceasta înseamnă că panta celei de-a doua tangente este egală cu .

Soluția ulterioară se reduce la sarcina cheie 3.

Fie B(c; f(c)) punctul de tangență al celei de-a doua drepte, atunci

1. – abscisa celui de-al doilea punct de tangenta.
2.
3.
4.
– ecuația celei de-a doua tangente.

Notă. Coeficientul unghiular al tangentei poate fi găsit mai ușor dacă elevii cunosc raportul dintre coeficienții dreptelor perpendiculare k 1 k 2 = – 1.

2. Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor comune la graficele funcțiilor

Soluţie. Problema se rezumă la găsirea abscisei punctelor de tangență ale tangentelor comune, adică la rezolvarea problemei cheie 1 în vedere generala, întocmind un sistem de ecuații și soluția lui ulterioară (Fig. 6).

1. Fie a abscisa punctului tangent situat pe graficul funcției y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f „(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Fie c abscisa punctului tangent situat pe graficul funcției
2.
3. f „(c) = c.
4.

Din moment ce tangentele sunt generale, atunci

Deci y = x + 1 și y = – 3x – 3 sunt tangente comune.

Scopul principal al sarcinilor luate în considerare este de a pregăti elevii să recunoască în mod independent tipul de problemă cheie atunci când rezolvă probleme mai complexe care necesită anumite abilități de cercetare (capacitatea de a analiza, compara, generaliza, prezenta o ipoteză etc.). Astfel de sarcini includ orice sarcină în care sarcina cheie este inclusă ca componentă. Să luăm ca exemplu problema (inversa cu problema 1) de a găsi o funcție din familia tangentelor sale.

3. Pentru ce b și c sunt dreptele y = x și y = – 2x tangente la graficul funcției y = x 2 + bx + c?

Fie t abscisa punctului de tangență al dreptei y = x cu parabola y = x 2 + bx + c; p este abscisa punctului de tangență al dreptei y = – 2x cu parabola y = x 2 + bx + c. Atunci ecuația tangentei y = x va lua forma y = (2t + b)x + c – t 2 , iar ecuația tangentei y = – 2x va lua forma y = (2p + b)x + c – p 2 .

Să compunem și să rezolvăm un sistem de ecuații

Răspuns:

Luați în considerare următoarea figură:

Acesta descrie o anumită funcție y = f(x), care este diferențiabilă în punctul a. Punctul M cu coordonatele (a; f(a)) este marcat. O secantă MR este trasată printr-un punct arbitrar P(a + ∆x; f(a + ∆x)) al graficului.

Dacă acum punctul P este deplasat de-a lungul graficului către punctul M, atunci linia dreaptă MR se va roti în jurul punctului M. În acest caz, ∆x va tinde spre zero. De aici putem formula definiția unei tangente la graficul unei funcții.

Tangenta la graficul unei functii

Tangenta la graficul unei funcții este poziția limită a secantei, deoarece incrementul argumentului tinde spre zero. Trebuie înțeles că existența derivatei funcției f în punctul x0 înseamnă că în acest punct al graficului există tangentă către el.

În acest caz, coeficientul unghiular al tangentei va fi egal cu derivata acestei funcții în acest punct f’(x0). Acesta este sensul geometric al derivatului. Tangenta la graficul unei functii f diferentiabila in punctul x0 este o anumita dreapta care trece prin punctul (x0;f(x0)) si avand un coeficient unghiular f’(x0).

Ecuația tangentei

Să încercăm să obținem ecuația tangentei la graficul unei funcții f în punctul A(x0; f(x0)). Ecuația unei drepte cu panta k are următoarea vedere:

Deoarece coeficientul nostru de pantă este egal cu derivata f’(x0), atunci ecuația va lua următoarea formă: y = f’(x0)*x + b.

Acum să calculăm valoarea lui b. Pentru a face acest lucru, folosim faptul că funcția trece prin punctul A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, de aici exprimăm b și obținem b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Inlocuim valoarea rezultata in ecuatia tangentei:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Luați în considerare următorul exemplu: găsiți ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 în punctul x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Înlocuiți valorile obținute în formula tangentei, obținem: y = 1 + 4*(x - 2). Deschizând parantezele și aducând termeni similari obținem: y = 4*x - 7.

Răspuns: y = 4*x - 7.

Schema generala de alcatuire a ecuatiei tangentei la graficul funcției y = f(x):

1. Determinați x0.

2. Calculați f(x0).

3. Calculați f’(x)

În acest articol vom analiza toate tipurile de probleme de găsit

Să ne amintim sensul geometric al derivatului: dacă o tangentă este trasată la graficul unei funcții într-un punct, atunci coeficientul de pantă al tangentei (egal cu tangentei unghiului dintre tangentă și direcția pozitivă a axei) este egal cu derivata funcției la punct.

Să luăm un punct arbitrar pe tangenta cu coordonate:

Și luați în considerare un triunghi dreptunghic:

În acest triunghi

De aici

Aceasta este ecuația tangentei trasate la graficul funcției în punct.

Pentru a scrie ecuația tangentei, trebuie doar să cunoaștem ecuația funcției și punctul în care este trasată tangenta. Apoi putem găsi și .

Există trei tipuri principale de probleme de ecuații tangente.

1. Dat un punct de contact

2. Se dă coeficientul de pantă tangentă, adică valoarea derivatei funcției în punct.

3. Sunt date coordonatele punctului prin care se trasează tangenta, dar care nu este punctul de tangență.

Să ne uităm la fiecare tip de sarcină.

1 . Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției la punct .

.

b) Aflați valoarea derivatei în punctul . Mai întâi să găsim derivata funcției

Să substituim valorile găsite în ecuația tangentei:

Să deschidem parantezele din partea dreaptă a ecuației. Primim:

Răspuns: .

2. Aflați abscisa punctelor în care funcțiile sunt tangente la grafic paralel cu axa x.

Dacă tangenta este paralelă cu axa x, deci unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei este zero, deci tangentea unghiului tangentei este zero. Aceasta înseamnă că valoarea derivatei funcției la punctele de contact este zero.

a) Aflați derivata funcției .

b) Să echivalăm derivata cu zero și să găsim valorile în care tangenta este paralelă cu axa:

Echivalând fiecare factor cu zero, obținem:

Răspuns: 0;3;5

3. Scrieți ecuații pentru tangente la graficul unei funcții , paralel Drept .

O tangentă este paralelă cu o dreaptă. Panta acestei drepte este -1. Deoarece tangentei este paralelă cu această dreaptă, prin urmare, panta tangentei este de asemenea -1. Acesta este cunoaștem panta tangentei, și, prin urmare, valoare derivată în punctul de tangență.

Acesta este al doilea tip de problemă pentru a găsi ecuația tangentei.

Deci, ni se dă funcția și valoarea derivatei în punctul de tangență.

a) Aflați punctele în care derivata funcției este egală cu -1.

Mai întâi, să găsim ecuația derivată.

Să echivalăm derivata cu numărul -1.

Să găsim valoarea funcției în punct.

(dupa conditie)

.

b) Aflați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul .

Să găsim valoarea funcției în punct.

(după condiție).

Să substituim aceste valori în ecuația tangentei:

.

Răspuns:

4 . Scrieți ecuația tangentei la curbă , trecând printr-un punct

Mai întâi, să verificăm dacă punctul este un punct tangent. Dacă un punct este un punct tangent, atunci el aparține graficului funcției, iar coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuația funcției. Să substituim coordonatele punctului în ecuația funcției.

Titlu="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} un număr negativ, egalitatea nu este adevărată, iar punctul nu aparține graficului funcției și nu este un punct de contact.

Acesta este ultimul tip de problemă pentru a găsi ecuația tangentei. Primul lucru trebuie să găsim abscisa punctului tangent.

Să găsim valoarea.

Să fie punctul de contact. Punctul aparține tangentei la graficul funcției. Dacă înlocuim coordonatele acestui punct în ecuația tangentei, obținem egalitatea corectă:

.

Valoarea funcției într-un punct este .

Să găsim valoarea derivatei funcției în punct.

Mai întâi, să găsim derivata funcției. Acest .

Derivata intr-un punct este egala cu .

Să înlocuim expresiile pentru și în ecuația tangentei. Obținem ecuația pentru:

Să rezolvăm această ecuație.

Reduceți numărătorul și numitorul fracției cu 2:

Să dăm partea dreapta ecuatii la numitor comun. Primim:

Să simplificăm numărătorul fracției și să înmulțim ambele părți cu - această expresie este strict mai mare decât zero.

Obținem ecuația

Să rezolvăm. Pentru a face acest lucru, să pătram ambele părți și să trecem la sistem.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Să rezolvăm prima ecuație.

Să decidem ecuație pătratică, primim

A doua rădăcină nu îndeplinește condiția title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Să scriem ecuația tangentei la curbă în punct. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valoarea în ecuație - Am înregistrat-o deja.

Răspuns:
.

Instrucțiuni

Determinăm coeficientul unghiular al tangentei la curbă în punctul M.
Curba reprezentând graficul funcției y = f(x) este continuă într-o anumită vecinătate a punctului M (inclusiv punctul M însuși).

Dacă valoarea f‘(x0) nu există, atunci fie nu există tangentă, fie rulează vertical. Având în vedere acest lucru, prezența unei derivate a funcției în punctul x0 se datorează existenței unei tangente neverticale tangente la graficul funcției în punctul (x0, f(x0)). În acest caz, coeficientul unghiular al tangentei va fi egal cu f "(x0). Astfel, sensul geometric al derivatei devine clar - calculul coeficientului unghiular al tangentei.

Găsiți valoarea de abscisă a punctului tangent, care este notat cu litera „a”. Dacă coincide cu un punct tangent dat, atunci „a” va fi coordonata sa x. Determinați valoarea funcții f(a) prin substituirea în ecuație funcții valoare de abscisă.

Determinați prima derivată a ecuației funcții f’(x) și înlocuiți valoarea punctului „a” în ea.

Luați ecuația tangentei generale, care este definită ca y = f(a) = f (a)(x – a) și înlocuiți valorile găsite ale lui a, f(a), f "(a) în ea. Ca rezultat, soluția graficului va fi găsită și tangentă.

Rezolvați problema într-un mod diferit dacă punctul tangent dat nu coincide cu punctul tangent. În acest caz, este necesar să înlocuiți „a” în loc de numere în ecuația tangentei. După aceea, în loc de literele „x” și „y”, înlocuiți valoarea coordonatei punct dat. Rezolvați ecuația rezultată în care „a” este necunoscutul. Introduceți valoarea rezultată în ecuația tangentei.

Scrieți o ecuație pentru o tangentă cu litera „a” dacă enunțul problemei specifică ecuația funcțiiși ecuația unei drepte paralele în raport cu tangentei dorite. După aceasta avem nevoie de derivată funcții

Notite importante!
1. Dacă vedeți gobbledygook în loc de formule, ștergeți memoria cache. Cum se face acest lucru în browser este scris aici:
2. Înainte de a începe să citiți articolul, acordați atenție navigatorului nostru pentru cele mai utile resurse pt

Știți deja ce este un derivat? Dacă nu, citește mai întâi subiectul. Deci spui că știi derivatul. Să verificăm acum. Găsiți incrementul funcției când incrementul argumentului este egal cu. Ai reușit? Ar trebui să funcționeze. Acum găsiți derivata funcției într-un punct. Răspuns: . S-a întâmplat? Dacă aveți dificultăți cu oricare dintre aceste exemple, vă recomand cu tărie să reveniți la subiect și să îl studiați din nou. Știu că subiectul este foarte mare, dar altfel nu are rost să mergi mai departe. Luați în considerare graficul unei funcții:

Să selectăm un anumit punct pe linia graficului. Fie abscisa, atunci ordonata este egală. Apoi selectăm punctul cu abscisa aproape de punct; ordonata sa este:

Să tragem o linie dreaptă prin aceste puncte. Se numește secanta (la fel ca în geometrie). Să notăm unghiul de înclinare al dreptei față de axă ca. Ca și în trigonometrie, acest unghi este măsurat din direcția pozitivă a axei x în sens invers acelor de ceasornic. Ce valori poate lua unghiul? Indiferent cum înclinați această linie dreaptă, o jumătate va rămâne în sus. Prin urmare, unghiul maxim posibil este , iar unghiul minim posibil este . Mijloace, . Unghiul nu este inclus, deoarece poziția liniei drepte în acest caz coincide exact cu și este mai logic să alegeți un unghi mai mic. Să luăm un punct din figură astfel încât linia dreaptă să fie paralelă cu axa absciselor și a este axa ordonatelor:

Din figură se poate observa că, a. Atunci raportul de creștere este:

(deoarece este dreptunghiular).

Să o reducem acum. Apoi punctul se va apropia de punctul. Când devine infinitezimal, raportul devine egal cu derivata funcției din punct. Ce se va întâmpla cu secantei? Punctul va fi infinit aproape de punct, astfel încât să poată fi considerați același punct. Dar o linie dreaptă care are doar una cu o curbă punct comun- asta nu este nimic mai mult decât tangentă(V în acest caz, această condiție este îndeplinită doar într-o zonă mică - aproape de punct, dar este suficient). Ei spun că în acest caz secantul ia poziție limită.

Să numim unghiul de înclinare al secantei față de axă. Apoi se dovedește că derivatul

acesta este derivata este egală cu tangentei unghiului de înclinare a tangentei la graficul funcției într-un punct dat.

Deoarece o tangentă este o dreaptă, să ne amintim acum ecuația unei linii:

De ce este responsabil coeficientul? Pentru panta dreptei. Asa se numeste: pantă. Ce înseamnă? Și faptul că este egală cu tangentei unghiului dintre linie dreaptă și axă! Deci iată ce se întâmplă:

Dar am obținut această regulă luând în considerare o funcție crescătoare. Ce se va schimba dacă funcția scade? Să vedem:
Acum unghiurile sunt obtuze. Și incrementul funcției este negativ. Să luăm din nou în considerare: . Pe de altă parte, . Obținem: , adică totul este la fel ca data trecută. Să direcționăm din nou punctul către punct, iar secanta va lua o poziție limită, adică se va transforma într-o tangentă la graficul funcției din punct. Deci, să formulăm regula finală:
Derivata unei functii intr-un punct dat este egala cu tangenta unghiului de inclinare al tangentei la graficul functiei in acest punct sau (care este aceeasi) panta acestei tangente:

Asta e sensul geometric al derivatului. Bine, toate acestea sunt interesante, dar de ce avem nevoie de ele? Aici exemplu:
Figura prezintă un grafic al unei funcții și o tangentă la aceasta în punctul de abscisă. Aflați valoarea derivatei funcției în punct.
Soluţie.
După cum am aflat recent, valoarea derivatei în punctul de tangență este egală cu panta tangentei, care la rândul ei este egală cu tangentei unghiului de înclinare a acestei tangente la axa absciselor: . Aceasta înseamnă că pentru a găsi valoarea derivatei trebuie să găsim tangenta unghiului tangentei. În figură am marcat două puncte situate pe tangentă, ale căror coordonate ne sunt cunoscute. Deci haideți să finalizăm construcția unui triunghi dreptunghic care trece prin aceste puncte și să găsim tangenta unghiului tangentei!

Unghiul de înclinare al tangentei la axă este. Să găsim tangenta acestui unghi: . Astfel, derivata funcției într-un punct este egală cu.
Răspuns:. Acum încercați singur:

Raspunsuri:

știind sensul geometric al derivatului, putem explica foarte simplu regula că derivata în punctul unui maxim sau minim local este egală cu zero. Într-adevăr, tangenta la grafic în aceste puncte este „orizontală”, adică paralelă cu axa x:

De ce egal cu unghiul intre linii paralele? Desigur, zero! Și tangenta lui zero este, de asemenea, zero. Deci derivata este egală cu zero:

Citiți mai multe despre acest lucru în subiectul „Monotonitatea funcțiilor. Puncte extreme.”

Acum să ne concentrăm asupra tangentelor arbitrare. Să presupunem că avem o funcție, de exemplu, . I-am desenat graficul și vrem să tragem o tangentă la el la un moment dat. De exemplu, la un moment dat. Luăm o riglă, o atașăm la grafic și desenăm:

Ce știm despre această linie? Care este cel mai important lucru de știut despre o linie pe un plan de coordonate? Pentru că o linie dreaptă este o imagine funcție liniară, ar fi foarte convenabil să-i cunoaștem ecuația. Adică coeficienții din ecuație

Dar știm deja! Aceasta este panta tangentei, care este egală cu derivata funcției în acel punct:

În exemplul nostru va fi așa:

Acum tot ce rămâne este să-l găsești. Este la fel de simplu ca decojirea perelor: la urma urmei - valoarea de. Grafic, aceasta este coordonata intersecției dreptei cu axa ordonatelor (la urma urmei, în toate punctele axei):

Să-l desenăm (deci este dreptunghiular). Apoi (la același unghi între tangentă și axa x). Ce sunt și egal cu? Figura arată clar că, a. Atunci obținem:

Combinăm toate formulele obținute în ecuația unei linii drepte:

Acum decideți singuri:

1. Găsi ecuația tangentei la o funcție într-un punct.
2. Tangenta la o parabolă intersectează axa la un unghi. Găsiți ecuația acestei tangente.
3. Linia este paralelă cu tangenta la graficul funcției. Aflați abscisa punctului tangent.
4. Linia este paralelă cu tangenta la graficul funcției. Aflați abscisa punctului tangent.

Solutii si raspunsuri:

ECUAȚIA TANGENTEI LA GRAFICUL UNEI FUNCȚII. SCURTĂ DESCRIERE ȘI FORMULE DE BAZĂ

Derivata unei funcții într-un anumit punct este egală cu tangentei tangentei la graficul funcției în acest punct sau cu panta acestei tangente:

Ecuația tangentei la graficul unei funcții într-un punct:

Algoritm pentru găsirea ecuației tangentei:

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru succes promovarea examenului de stat unificat, pentru admiterea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună, câștigă mult mai mult decât cei care nu l-au primit. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neapărat cu soluții, analiză detaliată si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 499 RUR

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

În concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!