Volumul piramidei. Formule de volum pentru o piramidă triunghiulară regulată. Exemple de rezolvare a problemelor

Aici vom analiza exemple legate de conceptul de volum. Pentru a rezolva astfel de sarcini, este imperativ să cunoașteți formula pentru volumul piramidei:

S

h - înălțimea piramidei

Baza poate fi orice poligon. Dar, în majoritatea problemelor la examen, condiția, de regulă, este legată de piramidele corecte. Permiteți-mi să vă reamintesc una dintre proprietățile sale:

Vârful unei piramide obișnuite este proiectat în centrul bazei sale.

Uită-te la proiecția piramidelor triunghiulare, pătrangulare și hexagonale obișnuite (VEDERE SUPLIMENTARĂ):

O puteți citi pe blog, unde ați discutat despre sarcinile asociate cu găsirea volumului piramidei.Luați în considerare sarcinile:

27087. Găsiți volumul unei piramide triunghiulare regulate, ale cărei laturi ale bazei sunt egale cu 1, iar înălțimea este egală cu rădăcina a trei.

S- zona bazei piramidei

h- înălțimea piramidei

Să găsim aria bazei piramidei, acesta este un triunghi regulat. Să folosim formula - aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturilor adiacente prin sinusul unghiului dintre ele, ceea ce înseamnă:

Răspuns: 0,25

27088. Aflați înălțimea unei piramide triunghiulare regulate, ale cărei laturi ale bazei sunt egale cu 2, iar volumul este egal cu rădăcina a trei.

Concepte precum înălțimea piramidei și caracteristicile bazei sale sunt legate de formula volumului:

S- zona bazei piramidei

h- înălțimea piramidei

Cunoaștem volumul în sine, putem găsi aria bazei, deoarece cunoaștem laturile triunghiului, care este baza. Cunoscând valorile indicate, putem găsi cu ușurință înălțimea.

Pentru a găsi aria bazei, vom folosi formula - aria triunghiului este egală cu jumătate din produsul laturilor adiacente prin sinusul unghiului dintre ele, ceea ce înseamnă:

Astfel, substituind aceste valori în formula volumului, putem calcula înălțimea piramidei:

Înălțimea este de trei.

Răspuns: 3

27109. Într-o piramidă patrulateră regulată, înălțimea este 6, marginea laterală este 10. Găsește-i volumul.

Volumul piramidei este calculat prin formula:

S- zona bazei piramidei

h- înălțimea piramidei

Știm înălțimea. Trebuie să găsiți zona bazei. Permiteți-mi să vă reamintesc că vârful unei piramide obișnuite este proiectat în centrul bazei sale. Baza unei piramide patrulatere regulate este un pătrat. Ii putem gasi diagonala. Luați în considerare un triunghi unghiular (evidențiat în albastru):

Segmentul care leagă centrul pătratului cu punctul B este piciorul, care este jumătate din diagonala pătratului. Acest picior poate fi calculat prin teorema lui Pitagora:

Prin urmare BD = 16. Calculați aria unui pătrat folosind formula pentru aria unui patrulater:

Prin urmare:

Astfel, volumul piramidei este:

Răspuns: 256

27178. Într-o piramidă patrulateră regulată, înălțimea este 12, volumul este 200. Găsiți marginea laterală a acestei piramide.

Înălțimea piramidei și volumul și volumul acesteia sunt cunoscute, deci putem găsi aria pătratului, care este baza. Cunoscând aria unui pătrat, putem găsi diagonala acestuia. Mai mult, considerând un triunghi unghiular după teorema lui Pitagora, calculăm marginea laterală:

Găsiți suprafața pătratului (baza piramidei):

Să calculăm diagonala pătratului. Deoarece aria sa este de 50, latura va fi egală cu rădăcina de cincizeci și de teorema lui Pitagora:

Punctul O împarte diagonala BD în jumătate, ceea ce înseamnă piciorul triunghiului unghiular OB = 5.

Astfel, putem calcula cu ce este egală marginea laterală a piramidei:

Răspuns: 13

245353. Găsiți volumul piramidei prezentat în figură. Baza sa este un poligon, ale cărui laturi adiacente sunt perpendiculare, iar una dintre marginile laterale este perpendiculară pe planul de bază și este egală cu 3.

După cum sa spus de mai multe ori - volumul piramidei este calculat prin formula:

S- zona bazei piramidei

h- înălțimea piramidei

Marginea laterală perpendiculară pe bază este de trei, ceea ce înseamnă că înălțimea piramidei este de trei. Baza piramidei este un poligon cu o suprafață egală cu:

Prin urmare:

Răspuns: 27

27086. Baza piramidei este un dreptunghi cu laturile 3 și 4. Volumul său este 16. Aflați înălțimea acestei piramide.

Asta e tot. Succes pentru tine!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: Aș fi recunoscător dacă ne-ați putea spune despre site pe rețelele de socializare.

Principala caracteristică a oricărei figuri geometrice din spațiu este volumul său. În acest articol, vom analiza ce este o piramidă cu un triunghi la bază și vom arăta, de asemenea, cum să găsiți volumul unei piramide triunghiulare - regulat complet și trunchiat.

Ce este aceasta - o piramidă triunghiulară?

Toată lumea a auzit de vechile piramide egiptene, cu toate acestea, ele sunt dreptunghiulare regulate, nu triunghiulare. Să explicăm cum se obține o piramidă triunghiulară.

Luați un triunghi arbitrar și conectați toate vârfurile sale cu un punct situat în afara planului acestui triunghi. Figura formată va fi numită piramidă triunghiulară. Este prezentat în figura de mai jos.

După cum puteți vedea, figura luată în considerare este formată din patru triunghiuri, care sunt în general diferite. Fiecare triunghi este o latură sau o față a unei piramide. Această piramidă este adesea numită tetraedru, adică o figură volumetrică pe patru fețe.

Pe lângă laturi, piramida are și margini (sunt 6) și vârfuri (sunt 4).

baza triunghiulara

O figură obținută folosind un triunghi arbitrar și un punct în spațiu va fi, în general, o piramidă înclinată neregulată. Acum imaginați-vă că triunghiul original are aceleași laturi, iar punctul din spațiu este situat exact deasupra centrului său geometric la o distanță h de planul triunghiului. Piramida construită folosind aceste date inițiale va fi corectă.

Evident, numărul muchiilor, laturilor și vârfurilor pentru o piramidă triunghiulară regulată va fi același ca pentru o piramidă construită dintr-un triunghi arbitrar.

Cu toate acestea, figura corectă are câteva trăsături distinctive:

• înălțimea sa, trasă de sus, va intersecta exact baza în centrul geometric (punctul de intersecție al medianelor);
• suprafața laterală a unei astfel de piramide este formată din trei triunghiuri identice, care sunt isosceli sau echilaterale.

O piramidă triunghiulară regulată nu este doar un obiect geometric pur teoretic. Unele structuri din natură au forma sa, de exemplu, rețeaua cristalină a unui diamant, unde un atom de carbon este conectat la patru dintre aceiași atomi prin legături covalente sau o moleculă de metan, unde vârfurile unei piramide sunt formate din atomi de hidrogen .

piramida triunghiulară

Puteți determina volumul absolut oricărei piramide cu un n-gon arbitrar la bază folosind următoarea expresie:

Aici simbolul S o denotă aria bazei, h este înălțimea figurii desenate la baza marcată din vârful piramidei.

Deoarece aria unui triunghi arbitrar este egală cu jumătate din produsul lungimii laturii sale a de către apotema h a căzută pe această parte, formula pentru volumul unei piramide triunghiulare poate fi scrisă în următoarea formă:

V = 1/6 × a × h a × h

Pentru un tip general, determinarea înălțimii nu este o sarcină ușoară. Pentru a-l rezolva, cel mai simplu mod este să folosiți formula pentru distanța dintre un punct (vârf) și un plan (bază triunghiulară), reprezentat printr-o ecuație generală.

Pentru cea corectă, are un aspect specific. Aria bazei (triunghi echilateral) pentru aceasta este egală cu:

Înlocuind-o în expresia generală pentru V, obținem:

V = √3 / 12 × a 2 × h

Un caz special este situația în care toate laturile unui tetraedru se dovedesc a fi aceleași triunghiuri echilaterale. În acest caz, volumul său poate fi determinat numai pe baza cunoașterii parametrului marginii sale a. Expresia corespunzătoare este:

Piramida trunchiată

Dacă partea superioară care conține vârful este tăiată într-o piramidă triunghiulară regulată, atunci veți obține o figură trunchiată. Spre deosebire de original, acesta va consta din două baze triunghiulare echilaterale și trei trapezoide isoscele.

Fotografia de mai jos arată cum arată o piramidă triunghiulară trunchiată obișnuită din hârtie.

Pentru a determina volumul unei piramide triunghiulare trunchiate, este necesar să se cunoască trei dintre caracteristicile sale liniare: fiecare dintre laturile bazelor și înălțimea figurii, egală cu distanța dintre bazele superioare și inferioare. Formula corespunzătoare pentru volum este scrisă după cum urmează:

V = √3 / 12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Aici h este înălțimea figurii, A și a sunt lungimile laturilor triunghiurilor echilaterale mari (inferioare) și mici (superioare), respectiv.

Soluția problemei

Pentru ca informațiile furnizate în articol să fie mai clare pentru cititor, vom arăta cu un exemplu ilustrativ cum să utilizați unele dintre formulele scrise.

Să fie volumul piramidei triunghiulare să fie de 15 cm 3. Se știe că cifra este corectă. Apotema a b a coastei laterale trebuie găsită dacă se știe că înălțimea piramidei este de 4 cm.

Deoarece volumul și înălțimea figurii sunt cunoscute, puteți utiliza formula adecvată pentru a calcula lungimea laturii bazei sale. Avem:

V = √3 / 12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm

a b = √ (h 2 + a 2/12) = √ (16 + 25,98 2/12) = 8,5 cm

Lungimea calculată a apotemului figurii sa dovedit a fi mai mare decât înălțimea sa, ceea ce este adevărat pentru orice tip de piramidă.

O piramidă este un poliedru cu un poligon la baza sa. Toate fețele, la rândul lor, formează triunghiuri care converg la un vârf. Piramidele sunt triunghiulare, patrulatere și așa mai departe. Pentru a determina ce piramidă este în fața ta, este suficient să numeri numărul de colțuri de la baza ei. Definiția „înălțimii piramidei” este foarte frecventă în problemele de geometrie din programa școlară. În articol vom încerca să luăm în considerare diferite moduri de a-l găsi.

Părți ale piramidei

Fiecare piramidă constă din următoarele elemente:

• fețele laterale, care au trei colțuri și converg în partea de sus;
• apotema este înălțimea care coboară din vârful său;
• vârful piramidei este un punct care leagă marginile laterale, dar nu se află în planul bazei;
• baza este un poligon care nu are un vârf;
• înălțimea piramidei este un segment care traversează vârful piramidei și formează un unghi drept cu baza sa.

Cum se găsește înălțimea unei piramide dacă se cunoaște volumul acesteia

Prin formula V = (S * h) / 3 (în formula V este volumul, S este aria bazei, h este înălțimea piramidei), constatăm că h = (3 * V) / S. Pentru a consolida materialul, să rezolvăm problema imediat. Baza triunghiulară este de 50 cm 2, în timp ce volumul său este de 125 cm 3. Înălțimea piramidei triunghiulare este necunoscută, pe care trebuie să o găsim. Totul este simplu aici: inserăm date în formula noastră. Obținem h = (3 * 125) / 50 = 7,5 cm.

Cum să găsiți înălțimea unei piramide dacă știți lungimea diagonalei și marginile acesteia

După cum ne amintim, înălțimea piramidei formează un unghi drept cu baza sa. Și asta înseamnă că înălțimea, marginea și jumătatea diagonalei se formează împreună. Mulți, desigur, își amintesc teorema lui Pitagora. Cunoscând două măsurători, nu va fi dificil să găsești a treia cantitate. Reamintim bine-cunoscuta teoremă a² = b² + c², unde a este hipotenuza și, în cazul nostru, marginea piramidei; b - primul picior sau jumătate din diagonală și, respectiv, c - al doilea picior sau înălțimea piramidei. Din această formulă, c² = a² - b².

Acum problema: într-o piramidă obișnuită, diagonala este de 20 cm, în timp ce lungimea coastei este de 30 cm. Este necesar să se găsească înălțimea. Rezolvăm: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Prin urmare, c = √ 500 = aproximativ 22,4.

Cum se găsește înălțimea unei piramide trunchiate

Este un poligon care are o secțiune paralelă cu baza sa. Înălțimea unei piramide trunchiate este un segment de linie care leagă cele două baze ale sale. Înălțimea poate fi găsită la piramida corectă dacă sunt cunoscute lungimile diagonalelor ambelor baze, precum și marginea piramidei. Fie diagonala bazei mai mari să fie d1, în timp ce diagonala bazei mai mici este d2, iar marginea are lungimea l. Pentru a găsi înălțimea, puteți coborî înălțimile de la cele două puncte opuse superioare ale diagramei la baza acesteia. Vedem că avem două triunghiuri unghiulare, rămâne să găsim lungimea picioarelor lor. Pentru a face acest lucru, scădeți-l pe cel mai mic din diagonala mai mare și împărțiți la 2. Deci găsim un picior: a = (d1-d2) / 2. După aceea, conform teoremei lui Pitagora, trebuie doar să găsim al doilea picior, care este înălțimea piramidei.

Acum, să privim totul în practică. Avem o sarcină în fața noastră. Piramida trunchiată are un pătrat la bază, lungimea diagonalei bazei mai mari este de 10 cm, în timp ce cea mai mică are 6 cm, iar marginea este de 4 cm. Este necesar să se găsească înălțimea. Pentru început, găsim un picior: a = (10-6) / 2 = 2 cm. Un picior are 2 cm, iar hipotenuza este de 4 cm. Se pare că al doilea picior sau înălțimea va fi de 16-4 = 12, adică h = √12 = aproximativ 3,5 cm.

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizările de diapozitive au doar scop informativ și pot să nu reprezinte toate opțiunile de prezentare. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiectivele lecției.

Educațional: obțineți o formulă pentru calcularea volumului unei piramide

Dezvoltare: pentru a dezvolta interesul cognitiv al elevilor pentru disciplinele academice, capacitatea de a-și aplica cunoștințele în practică.

Educațional: educați atenția, acuratețea, lărgiți orizontul elevilor.

Echipamente și materiale: computer, ecran, proiector, prezentare „Volumul piramidei”.

1. Sondaj frontal. Diapozitive 2, 3

Ceea ce se numește piramidă, baza piramidei, coaste, înălțime, axă, apotemă. Care piramidă se numește piramidă regulată, tetraedru, trunchiată?

O piramidă este un poliedru format dintr-un plat poligon, puncte neînclinat în planul acestui poligon și toate segmentele conectând acest punct la punctele poligonului.

Acest punct numit culmea piramide, iar un poligon plat este baza piramidei. Segmente conectarea vârfului piramidei cu vârful bazei sunt numite coaste . Înălţime piramide - perpendicular coborât din vârful piramidei în planul bazei. Apotem - înălțimea feței laterale piramida corectă. Piramida cu în partea de jos minciuni corecte n-gon, A înălțimea bazei coincide cu centrul fundației numit corect piramida n-laterală. Axă o piramidă regulată se numește linie dreaptă care conține înălțimea acesteia. O piramidă triunghiulară regulată se numește tetraedru. Dacă piramida este traversată de un plan paralel cu planul bazei, atunci va tăia piramida, similar dat. Restul se numește piramida trunchiată.

2. Derivarea formulei pentru calcularea volumului piramidei V = SH / 3 Diapozitive 4, 5, 6

1. Fie SABC o piramidă triunghiulară cu vârful S și baza ABC.

2. Să adăugăm această piramidă la o prismă triunghiulară cu aceeași bază și înălțime.

3. Această prismă este compusă din trei piramide:

1) din această piramidă SABC.

2) piramide SCC 1 B 1.

3) și piramidele SCBB 1.

4. A doua și a treia piramidă au baze egale CC 1 B 1 și B 1 BC și înălțimea totală trasă din vârful lui S către fața paralelogramului BB 1 C 1 C. Prin urmare, au volume egale.

5. Prima și a treia piramidă au, de asemenea, baze egale SAB și BB 1 S și aceleași înălțimi trase de la vârful C la fața paralelogramului ABB 1 S. Prin urmare, au și volume egale.

Aceasta înseamnă că toate cele trei piramide au același volum. Deoarece suma acestor volume este egală cu volumul prismei, volumele piramidelor sunt SH / 3.

Volumul oricărei piramide triunghiulare este egal cu o treime din produsul zonei bazei și înălțimii.

3. Consolidarea materialului nou. Soluție de exerciții.

1) Sarcină № 33 din manualul lui A.N. Pogorelova. Diapozitivele 7, 8, 9

Pe partea laterală a bazei? iar marginea laterală b găsește volumul piramidei regulate, la baza căreia se află:

1) triunghi,

2) un patrulater,

3) hexagon.

Într-o piramidă regulată, înălțimea trece prin centrul cercului din jurul bazei. Apoi: (Cerere)

4. Informații istorice despre piramide. Diapozitivele 15, 16, 17

Primul dintre contemporanii noștri care a stabilit o serie de fenomene neobișnuite asociate piramidei a fost omul de știință francez Antoine Bovy. Explorând piramida lui Keops în anii 30 ai secolului al XX-lea, el a descoperit că trupurile animalelor mici care au intrat accidental în camera regelui au fost mumificate. Bowie și-a explicat motivul pentru el însuși prin forma piramidei și, după cum sa dovedit, nu s-a înșelat. Lucrările sale au stat la baza cercetărilor moderne, în urma cărora, în ultimii 20 de ani, au apărut multe cărți și publicații care confirmă faptul că energia piramidelor poate avea o importanță practică.

Misterul piramidelor

Unii cercetători susțin că piramida conține o cantitate imensă de informații despre structura Universului, a sistemului solar și a omului, codificate în forma sa geometrică, sau mai bine zis, sub forma unui octaedru, din care jumătate este piramida. Piramida cu partea de sus simbolizează viața, partea de sus în jos - moartea, lumea cealaltă. La fel ca părțile constitutive ale Stelei lui David (Magen David), unde triunghiul îndreptat în sus simbolizează ascensiunea către Cel Mai Înalt Motiv, Dumnezeu, iar triunghiul, coborât cu vârful în jos, simbolizează coborârea sufletului pe Pământ, material existență ...

Valoarea digitală a codului care criptează informații despre Univers în piramidă, numărul 365, nu a fost aleasă întâmplător. În primul rând, acesta este ciclul anual de viață al planetei noastre. În plus, 365 are trei cifre 3, 6 și 5. Ce înseamnă acestea? Dacă în sistemul solar Soarele trece la numărul 1, Mercur - 2, Venus - 3, Pământ - 4, Marte - 5, Jupiter - 6, Saturn - 7, Uranus - 8, Neptun - 9, Pluto - 10, atunci 3 este Venus, 6 - Jupiter și 5 - Marte. În consecință, Pământul este conectat într-un mod special cu aceste planete. Adunând numerele 3, 6 și 5, obținem 14, dintre care 1 este Soarele și 4 este Pământul.

Numărul 14 are, în general, o semnificație globală: pe el, în special, se bazează structura mâinilor umane, numărul total de falange ale degetelor fiecăruia dintre ele fiind și 14. Acest cod se referă și la constelația Ursa Major, care include Soarele nostru și în care a fost odată o altă stea care a distrus Phaethon, o planetă situată între Marte și Jupiter, după care Pluto a apărut în sistemul solar și caracteristicile celorlalte planete s-au schimbat.

Multe surse ezoterice susțin că umanitatea de pe Pământ a suferit deja o catastrofă mondială de patru ori. A treia rasă lemuriană cunoștea știința divină a Universului, apoi această doctrină secretă a fost transmisă doar inițiaților. La începutul ciclurilor și jumătăților de ciclu ale anului sideral, au construit piramide. Au ajuns aproape să descopere codul vieții. Civilizația Atlantidei a reușit foarte mult, dar la un anumit nivel de cunoaștere au fost opriți de o altă catastrofă planetară, însoțită de o schimbare de rase. Probabil că inițiații au vrut să ne transmită că cunoașterea legilor cosmice este așezată în piramide ...

Dispozitivele speciale sub formă de piramide neutralizează radiațiile electromagnetice negative de pe o persoană de pe un computer, TV, frigider și alte aparate electrice.

Una dintre cărți descrie un caz în care o piramidă instalată în habitaclul unei mașini a redus consumul de combustibil și a redus conținutul de CO din gazele de eșapament.

Semințele culturilor de grădină îmbătrânite în piramide au avut cea mai bună germinare și productivitate. Publicațiile au recomandat chiar înmuierea semințelor în apă piramidală înainte de semănat.

S-a constatat că piramidele au un efect benefic asupra situației ecologice. Eliminați zonele patogene din apartamente, birouri și căsuțe de vară, creând o aură pozitivă.

Cercetătorul olandez Paul Dickens oferă exemple de proprietăți curative ale piramidelor în cartea sa. El a observat că, cu ajutorul lor, este posibilă ameliorarea durerilor de cap, a durerilor articulare, a opririi sângerării cu mici tăieturi și că energia piramidelor stimulează metabolismul și întărește sistemul imunitar.

În unele publicații moderne se remarcă faptul că medicamentele păstrate într-o piramidă scurtează cursul tratamentului, iar materialul pentru pansament, saturat cu energie pozitivă, promovează vindecarea rănilor.

Cremele și unguentele cosmetice își îmbunătățesc efectul.

Băuturile, inclusiv cele alcoolice, le îmbunătățesc gustul, iar apa conținută în 40% vodcă devine vindecătoare. Este adevărat, pentru a încărca o sticlă standard de 0,5 litri cu energie pozitivă, aveți nevoie de o piramidă înaltă.

Un articol din ziar spune că, dacă depozitați bijuterii sub o piramidă, acestea se autocurăță și dobândesc o strălucire specială, iar pietrele prețioase și semiprețioase acumulează bioenergie pozitivă și apoi le redau treptat.

Potrivit oamenilor de știință americani, produsele alimentare, cum ar fi cerealele, făina, sarea, zahărul, cafeaua, ceaiul, după ce au vizitat piramida, își îmbunătățesc gustul, iar țigările ieftine devin similare cu nobilii lor omologi.

Poate pentru mulți, acest lucru nu va fi relevant, dar într-o mică piramidă, lamele vechi de ras se auto-ascută, iar într-o piramidă mare, apa nu îngheță la -40 grade Celsius.

Potrivit majorității cercetătorilor, toate acestea sunt dovezi ale existenței energiei piramidelor.

De-a lungul a 5000 de ani de existență, piramidele s-au transformat într-un fel de simbol care personifică dorința unei persoane de a ajunge la culmea cunoașterii.

5. Rezumând lecția.

Bibliografie.

1) http://schools.techno.ru

2) Pogorelov A. V. Geometrie 10-11, Editura „Educație”.

3) Enciclopedia „Arborele cunoașterii” Marshall K.

Una dintre cele mai simple figuri volumetrice este o piramidă triunghiulară, deoarece constă din cel mai mic număr de fețe din care se poate forma o figură în spațiu. În acest articol, vom lua în considerare formulele cu care puteți găsi volumul unei piramide regulate triunghiulare.

Piramida triunghiulară

Conform definiției generale, o piramidă este un poligon, ale cărui vârfuri sunt conectate la un punct care nu este situat în planul acestui poligon. Dacă acesta din urmă este un triunghi, atunci întreaga figură se numește piramidă triunghiulară.

Piramida în cauză constă dintr-o bază (triunghi) și trei fețe laterale (triunghiuri). Punctul în care sunt conectate cele trei fețe laterale se numește vârful formei. Perpendicularul căzut la baza din acest vârf este înălțimea piramidei. Dacă punctul de intersecție al perpendicularului cu baza coincide cu punctul de intersecție al medianelor triunghiului de la bază, atunci se vorbește despre o piramidă regulată. În caz contrar, va fi oblic.

După cum sa menționat, baza unei piramide triunghiulare poate fi un triunghi general. Cu toate acestea, dacă este echilateral, iar piramida în sine este dreaptă, atunci se vorbește despre cifra volumetrică corectă.

Orice piramidă triunghiulară are 4 fețe, 6 margini și 4 vârfuri. Dacă lungimile tuturor muchiilor sunt egale, atunci o astfel de figură se numește tetraedru.

tip general

Înainte de a scrie o piramidă triunghiulară regulată, să oferim o expresie a acestei mărimi fizice pentru o piramidă generală. Această expresie arată ca:

Aici S o este aria bazei, h este înălțimea figurii. Această egalitate va fi adevărată pentru orice tip de bază a unui poligon piramidal, precum și pentru un con. Dacă la bază există un triunghi cu lungimea laturii a și înălțimea h o coborât pe el, atunci formula pentru volum se va scrie după cum urmează:

Formule de volum pentru o piramidă triunghiulară regulată

O piramidă triunghiulară regulată are la bază un triunghi echilateral. Se știe că înălțimea acestui triunghi este legată de lungimea laturii sale prin egalitate:

Înlocuind această expresie în formula volumului unei piramide triunghiulare, scrisă în paragraful anterior, obținem:

V = 1/6 * a * h o * h = √3 / 12 * a 2 * h.

Volumul unei piramide obișnuite cu o bază triunghiulară este o funcție de lungimea laturii bazei și înălțimea figurii.

Deoarece orice poligon regulat poate fi înscris într-un cerc, a cărui rază va determina în mod unic lungimea laturii poligonului, atunci această formulă poate fi scrisă în termenii razei corespunzătoare r:

Această formulă poate fi ușor obținută din cea anterioară, dacă ținem cont că raza r a cercului circumscris prin lungimea laturii a triunghiului este determinată de expresia:

Problema determinării volumului unui tetraedru

Să arătăm cum să folosim formulele de mai sus pentru a rezolva probleme specifice de geometrie.

Se știe că un tetraedru are o lungime a muchiei de 7 cm. Găsiți volumul unei piramide-tetraedru triunghiulare regulate.

Amintiți-vă că un tetraedru este regulat în care toate bazele sunt egale. Pentru a utiliza formula volumului triunghiular, trebuie să calculați două cantități:

• lungimea laturii triunghiului;
• înălțimea figurii.

Prima valoare este cunoscută din starea problemei:

Pentru a determina înălțimea, luați în considerare figura prezentată în figură.

Triunghiul marcat ABC este dreptunghiular, unde unghiul ABC este de 90 o. Partea AC este hipotenuza, a cărei lungime este a. Prin raționament geometric simplu, se poate arăta că latura BC are lungimea:

Rețineți că lungimea BC este raza unui cerc circumscris în jurul unui triunghi.

h = AB = √ (AC 2 - BC 2) = √ (a 2 - a 2/3) = a * √ (2/3).

Acum putem substitui h și a în formula corespunzătoare pentru volum:

V = √3 / 12 * a 2 * a * √ (2/3) = √2 / 12 * a 3.

Astfel, am obținut formula pentru volumul unui tetraedru. Se poate observa că volumul depinde doar de lungimea coastei. Dacă substituim valoarea din starea problemei în expresie, atunci obținem răspunsul:

V = √2 / 12 * 7 3 ≈ 40,42 cm 3.

Dacă comparăm această valoare cu volumul unui cub având aceeași margine, obținem că volumul unui tetraedru este de 8,5 ori mai mic. Acest lucru indică faptul că tetraedrul este o figură compactă care se realizează în unele substanțe naturale. De exemplu, o moleculă de metan este tetraedrică și fiecare atom de carbon dintr-un diamant este legat de alți patru atomi pentru a forma un tetraedru.

Problemă cu piramidele homotetice

Să rezolvăm o problemă geometrică interesantă. Să presupunem că există o piramidă triunghiulară regulată cu un anumit volum V 1. De câte ori ar trebui redusă dimensiunea acestei figuri pentru a obține o piramidă omotetică cu un volum de trei ori mai mic decât cel inițial?

Să începem să rezolvăm problema scriind formula pentru piramida regulată originală:

V 1 = √3 / 12 * a 1 2 * h 1.

Să se obțină volumul figurii, necesar în funcție de starea problemei, dacă înmulțim parametrii acesteia cu coeficientul k. Avem:

V 2 = √3 / 12 * k 2 * a 1 2 * k * h 1 = k 3 * V 1.

Deoarece raportul volumelor de cifre este cunoscut din condiție, obținem valoarea coeficientului k:

k = ∛ (V 2 / V 1) = ∛ (1/3) ≈ 0,693.

Rețineți că am obține o valoare similară a coeficientului k pentru o piramidă de tip arbitrar și nu doar pentru una triunghiulară regulată.