Funkcia f x sa nazýva nepárne ak. Párne a nepárne funkcie. Obdobie funkcie. Extrémy funkcie

aj keď pre všetky \(x\) z domény definície platí nasledovné: \(f(-x)=f(x)\) .

Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi \(y\):

Príklad: funkcia \(f(x)=x^2+\cos x\) je párna, pretože \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Funkcia \(f(x)\) sa nazýva nepárna, ak pre všetky \(x\) z jej definičnej domény platí: \(f(-x)=-f(x) \) .

Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu:

Príklad: funkcia \(f(x)=x^3+x\) je nepárna, pretože \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Funkcie, ktoré nie sú párne ani nepárne, sa nazývajú funkcie všeobecný pohľad. Takáto funkcia môže byť vždy jednoznačne reprezentovaná ako súčet párnej a nepárnej funkcie.

Napríklad funkcia \(f(x)=x^2-x\) je súčtom párnej funkcie \(f_1=x^2\) a nepárnej \(f_2=-x\) .

\(\blacktriangleright\) Niektoré vlastnosti:

1) Súčin a podiel dvoch funkcií rovnakej parity je párna funkcia.

2) Súčin a kvocient dvoch funkcií rôznych parít je nepárna funkcia.

3) Súčet a rozdiel párnych funkcií - párna funkcia.

4) Súčet a rozdiel nepárnych funkcií - nepárna funkcia.

5) Ak \(f(x)\) je párna funkcia, potom rovnica \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) má jedinečný koreň vtedy a len vtedy, keď \( x = 0\).

6) Ak \(f(x)\) je párna alebo nepárna funkcia a rovnica \(f(x)=0\) má koreň \(x=b\), potom táto rovnica bude mať nevyhnutne druhý koreň \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Funkcia \(f(x)\) sa nazýva periodická na \(X\), ak pre nejaké číslo \(T\ne 0\) platí: \(f(x)=f( x+T) \), kde \(x, x+T\v X\) . Najmenšia \(T\), pre ktorú je táto rovnosť splnená, sa nazýva hlavná (hlavná) perióda funkcie.

U periodická funkciaľubovoľné číslo v tvare \(nT\) , kde \(n\in \mathbb(Z)\) bude tiež bodka.

Príklad: akýkoľvek goniometrická funkcia je periodický;
pre funkcie \(f(x)=\sin x\) a \(f(x)=\cos x\) sa hlavná perióda rovná \(2\pi\), pre funkcie \(f(x) )=\mathrm( tg)\,x\) a \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) hlavná perióda sa rovná \(\pi\) .

Aby ste vytvorili graf periodickej funkcie, môžete nakresliť jej graf na ľubovoľný segment dĺžky \(T\) (hlavná perióda); potom sa graf celej funkcie dokončí posunutím zostrojenej časti o celý počet období doprava a doľava:

\(\blacktriangleright\) Oblasť \(D(f)\) funkcie \(f(x)\) je množina pozostávajúca zo všetkých hodnôt argumentu \(x\), pre ktoré má funkcia zmysel (je definovaný).

Príklad: funkcia \(f(x)=\sqrt x+1\) má doménu definície: \(x\in

Úloha 1 #6364

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Pri akých hodnotách parametra \(a\) platí rovnica

Má jediné rozhodnutie?

Všimnite si, že keďže \(x^2\) a \(\cos x\) sú párne funkcie, ak má rovnica koreň \(x_0\) , bude mať aj koreň \(-x_0\) .
Nech je \(x_0\) koreň, to znamená, že rovnosť \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) je pravdivá. Nahradiť \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\ ,(\cos x_0)+a^2=0\) .

Ak teda \(x_0\ne 0\) , rovnica už bude mať aspoň dva korene. Preto \(x_0=0\) . potom:

Pre parameter \(a\) sme dostali dve hodnoty. Všimnite si, že sme použili skutočnosť, že \(x=0\) je presne koreňom pôvodnej rovnice. Ale nikdy sme nevyužili to, že je jediný. Preto je potrebné dosadiť výsledné hodnoty parametra \(a\) do pôvodnej rovnice a skontrolovať, pre ktoré konkrétne \(a\) bude koreň \(x=0\) skutočne jedinečný.

1) Ak \(a=0\) , potom rovnica bude mať tvar \(2x^2=0\) . Je zrejmé, že táto rovnica má iba jeden koreň \(x=0\) . Preto nám vyhovuje hodnota \(a=0\).

2) Ak \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , tak rovnica bude mať tvar \ Rovnicu prepíšeme do tvaru \ Od \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) , potom \(- \mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\) . V dôsledku toho hodnoty pravej strany rovnice (*) patria do segmentu \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\) .

Keďže \(x^2\geqslant 0\) , potom ľavá strana rovnica (*) je väčšia alebo rovná \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Rovnosť (*) teda môže platiť iba vtedy, keď sa obe strany rovnice rovnajú \(\mathrm(tg)^2\,1\) . To znamená, že \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Preto nám vyhovuje hodnota \(a=-\mathrm(tg)\,1\) .

odpoveď:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Úloha 2 #3923

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Nájdite všetky hodnoty parametra \(a\) , pre každú z nich je graf funkcie \

symetrické podľa pôvodu.

Ak je graf funkcie symetrický vzhľadom na počiatok, potom je takáto funkcia nepárna, to znamená, že \(f(-x)=-f(x)\) platí pre ľubovoľné \(x\) z domény. definície funkcie. Preto je potrebné nájsť tie hodnoty parametrov, pre ktoré \(f(-x)=-f(x).\)

\[\začiatok(zarovnané) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(zarovnané)\]

Posledná rovnica musí byť splnená pre všetky \(x\) z oblasti definície \(f(x)\), preto \(\sin(2\pi a)=0 \Šípka doprava a=\dfrac n2, n \in\ mathbb(Z)\) .

odpoveď:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Úloha 3 #3069

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Nájdite všetky hodnoty parametra \(a\) , pre každé z nich má rovnica \ 4 riešenia, kde \(f\) je párna periodická funkcia s periódou \(T=\dfrac(16)3\) definované na celej číselnej osi a \(f(x)=ax^2\) pre \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Úloha od predplatiteľov)

Keďže \(f(x)\) je párna funkcia, jej graf je symetrický vzhľadom na zvislú os, preto pre \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^ 2\). Teda pre \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) , a toto je segment dĺžky \(\dfrac(16)3\), je funkcia \(f(x)=ax^2\ ).

1) Nech \(a>0\) . Potom bude graf funkcie \(f(x)\) vyzerať takto:


Potom, aby rovnica mala 4 riešenia, je potrebné, aby graf \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) prechádzal bodom \(A\) :


Preto \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zhromaždené)\begin(zarovnané) &9(a+2)=32a\\ &9 (a+2)=-32a\koniec (zarovnané)\koniec (zhromaždené)\vpravo. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zhromaždené)\begin(zarovnané) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(zarovnané) \end( zhromaždené)\vpravo.\] Keďže \(a>0\) , potom je vhodné \(a=\dfrac(18)(23)\).

2) Nech \(a0\) ). Ak je súčin dvoch koreňov kladný a ich súčet kladný, potom samotné korene budú kladné. Preto potrebujete: \[\začiatok(prípady) 12-a>0\\-(a-10)>0\koniec(prípady)\štvorica\šípka vľavo\štvorica a