Objem pyramídy. Objemové vzorce pre pravidelnú trojuholníkovú pyramídu. Príklady riešenia problémov

Tu budeme analyzovať príklady spojené s pojmom objem. Na vyriešenie týchto úloh je nevyhnutné poznať vzorec pre objem pyramídy:

S

h - výška pyramídy

Základom môže byť akýkoľvek mnohouholník. Ale pri väčšine problémov na skúške je stav spravidla o správnych pyramídach. Dovoľte mi, aby som vám pripomenul jednu z jej vlastností:

Horná časť pravidelnej pyramídy je premietnutá do stredu svojej základne.

Pozrite sa na priemet pravidelných trojuholníkových, štvoruholníkových a šesťuholníkových pyramíd (TOP VIEW):

Môžete navštíviť blog, kde boli vytriedené úlohy spojené s nájdením objemu pyramídy.Zvážte úlohy:

27087. Nájdite objem pravidelnej trojuholníkovej pyramídy, ktorej strany základne sa rovnajú 1 a výška sa rovná koreňu troch.

S- plocha základne pyramídy

h- výška pyramídy

Nájdeme oblasť základne pyramídy, jedná sa o pravidelný trojuholník. Použime vzorec - plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu susedných strán sínusom uhla medzi nimi, čo znamená:

Odpoveď: 0,25

27088. Nájdite výšku pravidelnej trojuholníkovej pyramídy, ktorej bočné strany základne sa rovnajú 2 a objem sa rovná koreňu troch.

Pojmy ako výška pyramídy a vlastnosti jej základne súvisia s objemovým vzorcom:

S- plocha základne pyramídy

h- výška pyramídy

Poznáme samotný objem, môžeme nájsť plochu základne, keďže poznáme strany trojuholníka, ktorý je základňou. Ak poznáme uvedené hodnoty, ľahko zistíme výšku.

Na nájdenie oblasti základne použijeme vzorec - plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu susedných strán sínusom uhla medzi nimi, čo znamená:

Nahradením týchto hodnôt do objemového vzorca teda môžeme vypočítať výšku pyramídy:

Výška je tri.

Odpoveď: 3

27109. V pravidelnej štvoruholníkovej pyramíde je výška 6, bočná hrana 10. Nájdite jej objem.

Objem pyramídy sa vypočíta podľa vzorca:

S- plocha základne pyramídy

h- výška pyramídy

Poznáme výšku. Musíte nájsť plochu základne. Pripomínam, že vrchol pravidelnej pyramídy je premietnutý do stredu svojej základne. Základom pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy je štvorec. Nájdeme jeho uhlopriečku. Zvážte pravouhlý trojuholník (zvýraznený modrou farbou):

Segment spájajúci stred štvorca s bodom B je noha, ktorá predstavuje polovicu uhlopriečky štvorca. Túto nohu možno vypočítať pomocou Pytagorovej vety:

Preto BD = 16. Vypočítajte plochu štvorca pomocou vzorca pre plochu štvoruholníka:

Preto:

Teda objem pyramídy je:

Odpoveď: 256

27178. V pravidelnej štvoruholníkovej pyramíde je výška 12, objem 200. Nájdite bočný okraj tejto pyramídy.

Výška pyramídy a jej objem a objem sú známe, takže môžeme nájsť plochu štvorca, ktorý je základňou. Ak poznáme plochu štvorca, môžeme nájsť jeho uhlopriečku. Ďalej, berúc do úvahy pravouhlý trojuholník Pytagorovej vety, vypočítame bočnú hranu:

Nájdeme plochu štvorca (základňa pyramídy):

Vypočítajme uhlopriečku štvorca. Pretože jeho plocha je 50, strana sa bude rovnať koreňu päťdesiatky a Pytagorovou vetou:

Bod O rozdeľuje uhlopriečku BD na polovicu, čo znamená nohu pravouhlého trojuholníka OB = 5.

Môžeme teda vypočítať, čomu sa rovná bočný okraj pyramídy:

Odpoveď: 13

245353. Nájdite objem pyramídy zobrazenej na obrázku. Jeho základňou je mnohouholník, ktorého susedné strany sú kolmé a jeden z bočných okrajov je kolmý na základnú rovinu a je rovný 3.

Ako už bolo mnohokrát povedané - objem pyramídy sa počíta podľa vzorca:

S- plocha základne pyramídy

h- výška pyramídy

Bočná hrana kolmá na základňu je tri, čo znamená, že výška pyramídy je tri. Základňa pyramídy je mnohouholník s plochou rovnajúcou sa:

Touto cestou:

Odpoveď: 27

27086. Základňu pyramídy tvorí obdĺžnik so stranami 3 a 4. Jeho objem je 16. Nájdite výšku tejto pyramídy.

To je všetko. Úspech pre vás!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste nám o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Hlavnou charakteristikou každého geometrického útvaru v priestore je jeho objem. V tomto článku zvážime, čo je to pyramída s trojuholníkom v spodnej časti, a tiež ukážeme, ako zistiť objem trojuholníkovej pyramídy - pravidelnej plnej a skrátenej.

Čo je to trojuholníková pyramída?

Každý už počul o staroegyptských pyramídach, sú však obdĺžnikové pravidelné, nie trojuholníkové. Vysvetlíme si, ako získať trojuholníkovú pyramídu.

Vezmite ľubovoľný trojuholník a spojte všetky jeho vrcholy s niektorým bodom umiestneným mimo rovinu tohto trojuholníka. Vyformovaná postava sa bude nazývať trojuholníková pyramída. Je to znázornené na obrázku nižšie.

Ako vidíte, uvažovaná postava je tvorená štyrmi trojuholníkmi, ktoré sa všeobecne líšia. Každý trojuholník je stranou alebo tvárou pyramídy. Táto pyramída sa často nazýva štvorsten, to znamená štvorstranný volumetrický útvar.

Pyramída má okrem strán aj okraje (má 6) a vrcholy (sú ich 4).

trojuholníková základňa

Údaj získaný pomocou ľubovoľného trojuholníka a bodu v priestore bude všeobecne nepravidelne sklonenou pyramídou. Teraz si predstavte, že pôvodný trojuholník má rovnaké strany a bod v priestore sa nachádza presne nad jeho geometrickým stredom vo vzdialenosti h od roviny trojuholníka. Pyramída postavená pomocou týchto počiatočných údajov bude správna.

Je zrejmé, že počet hrán, strán a vrcholov pre pravidelnú trojuholníkovú pyramídu bude rovnaký ako pre pyramídu postavenú z ľubovoľného trojuholníka.

Správna postava má však niektoré charakteristické črty:

• jeho výška, nakreslená zhora, bude presne pretínať základňu v geometrickom strede (priesečník stredov);
• bočnú plochu takejto pyramídy tvoria tri rovnaké trojuholníky, ktoré sú rovnoramenné alebo rovnostranné.

Pravidelná trojuholníková pyramída nie je iba čisto teoretickým geometrickým objektom. Niektoré štruktúry v prírode majú svoju formu, napríklad kryštalická mriežka diamantu, kde je atóm uhlíka spojený so štyrmi rovnakými atómami kovalentnými väzbami, alebo molekula metánu, kde vrcholy pyramídy tvoria atómy vodíka. .

trojuholníková pyramída

Objem absolútne akejkoľvek pyramídy s ľubovoľným n-gónom na základni môžete určiť pomocou nasledujúceho výrazu:

Tu symbol S o označuje plochu základne, h je výška obrázku nakresleného k označenej základni z vrchu pyramídy.

Pretože plocha ľubovoľného trojuholníka sa rovná polovici súčinu dĺžky jeho strany a apotémou h a klesla na túto stranu, vzorec pre objem trojuholníkovej pyramídy môžeme napísať v tomto tvare:

V = 1/6 × a × h a × h

Pre všeobecný typ nie je určenie výšky ľahká úloha. Najjednoduchším spôsobom riešenia je použiť vzorec pre vzdialenosť medzi bodom (vrcholom) a rovinou (trojuholníkový základ), ktorý predstavuje všeobecná rovnica.

Pre ten pravý má špecifický vzhľad. Plocha základne (rovnostranný trojuholník) sa rovná:

Dosadením do všeobecného výrazu pre V dostaneme:

V = √3 / 12 × a 2 × h

Špeciálnym prípadom je situácia, keď sa všetky strany štvorstena ukážu ako rovnaké rovnostranné trojuholníky. V takom prípade je možné jeho objem určiť iba na základe znalosti parametra jeho okraja a. Zodpovedajúci výraz je:

Zrezaná pyramída

Ak je horná časť obsahujúca vrchol odrezaná pri pravidelnej trojuholníkovej pyramíde, získate skrátenú postavu. Na rozdiel od pôvodnej bude pozostávať z dvoch rovnostranných trojuholníkových báz a troch rovnoramenných lichobežníkov.

Na fotografii nižšie je znázornené, ako vyzerá bežná zrezaná trojuholníková pyramída vyrobená z papiera.

Na stanovenie objemu zrezanej trojuholníkovej pyramídy je potrebné poznať jej tri lineárne charakteristiky: každá zo strán základne a výška postavy, rovná sa vzdialenosti medzi hornou a dolnou základňou. Zodpovedajúci vzorec pre objem je napísaný takto:

V = √3 / 12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Tu h je výška obrázku, A a a sú dĺžky strán veľkých (dolných) a malých (horných) rovnostranných trojuholníkov.

Riešenie problému

Aby sme čitateľom objasnili informácie uvedené v článku, ukážeme si na názornom príklade, ako používať niektoré z písomných vzorcov.

Nech je objem trojuholníkovej pyramídy 15 cm 3. Je známe, že údaj je správny. Apotéma b bočného rebra by sa mala nájsť, ak je známe, že výška pyramídy je 4 cm.

Keďže objem a výška postavy sú známe, môžete pomocou príslušného vzorca vypočítať dĺžku bočnej strany jej základne. Máme:

V = √3 / 12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm

a b = √ (h 2 + a 2/12) = √ (16 + 25,98 2/12) = 8,5 cm

Vypočítaná dĺžka apotému figúry sa ukázala byť väčšia ako jej výška, čo platí pre akýkoľvek typ pyramídy.

Pyramída je mnohosten, ktorý má na základni mnohouholník. Všetky tváre zase tvoria trojuholníky, ktoré sa zbiehajú v jednom vrchole. Pyramídy sú trojuholníkové, štvoruholníkové atď. Aby ste určili, ktorá pyramída je pred vami, stačí spočítať počet rohov na jej základni. Definícia „výšky pyramídy“ je veľmi častá pri problémoch s geometriou v školských učebných osnovách. V článku sa pokúsime zvážiť rôzne spôsoby jeho hľadania.

Časti pyramídy

Každá pyramída sa skladá z nasledujúcich prvkov:

• bočné plochy, ktoré majú tri rohy a na vrchu sa zbiehajú;
• apotém je výška, ktorá klesá z jeho vrcholu;
• vrchol pyramídy je bod, ktorý spája bočné okraje, ale neleží v rovine základne;
• base je mnohouholník, ktorý nemá vrchol;
• výška pyramídy je segment, ktorý prechádza cez vrchol pyramídy a tvorí s jej základňou pravý uhol.

Ako zistiť výšku pyramídy, ak je známy jej objem

Prostredníctvom vzorca V = (S * h) / 3 (vo vzorci V je objem, S je plocha základne, h je výška pyramídy), zistíme, že h = (3 * V) / S. Aby sme spevnili materiál, poďme hneď problém vyriešiť. Trojuholníková základňa má 50 cm 2, zatiaľ čo jej objem je 125 cm 3. Výška trojuholníkovej pyramídy nie je známa, čo musíme zistiť. Všetko je tu jednoduché: údaje vkladáme do nášho vzorca. Získame h = (3 * 125) / 50 = 7,5 cm.

Ako zistiť výšku pyramídy, ak poznáte dĺžku uhlopriečky a jej okraje

Ako si pamätáme, výška pyramídy tvorí so základňou pravý uhol. A to znamená, že výška, hrana a polovica uhlopriečky spolu tvoria. Mnohí si, samozrejme, pamätajú na Pytagorovu vetu. Ak poznáte dve merania, nebude ťažké nájsť tretiu veličinu. Pripomeňme si známu vetu a² = b² + c², kde a je prepona a v našom prípade okraj pyramídy; b - prvé rameno alebo polovica uhlopriečky ac - druhé rameno alebo výška pyramídy. Z tohto vzorca c² = a² - b².

Teraz problém: v bežnej pyramíde je uhlopriečka 20 cm, zatiaľ čo dĺžka rebra 30 cm. Je potrebné zistiť výšku. Riešime: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Preto c = √ 500 = asi 22,4.

Ako zistiť výšku zrezanej pyramídy

Je to mnohouholník, ktorý má rez rovnobežný s jeho základňou. Výška zrezanej pyramídy je líniový úsek, ktorý spája jej dve základne. Výšku nájdeme pri správnej pyramíde, ak sú známe dĺžky uhlopriečok oboch základní a tiež hrana pyramídy. Nech je uhlopriečka väčšej základne d1, zatiaľ čo uhlopriečka menšej základne je d2, a hrana má dĺžku l. Ak chcete zistiť výšku, môžete znížiť výšky od dvoch horných protiľahlých bodov diagramu po jeho základňu. Vidíme, že máme dva pravouhlé trojuholníky, zostáva zistiť dĺžku ich nôh. Za týmto účelom odčítajte menšiu od väčšej uhlopriečky a vydelte ju 2. Nájdeme teda jednu nohu: a = (d1-d2) / 2. Potom už podľa Pytagorovej vety musíme nájsť iba druhé rameno, čo je výška pyramídy.

Teraz sa pozrime na celú vec v praxi. Máme pred sebou úlohu. Zrezaná pyramída má pri základni štvorec, dĺžka uhlopriečky väčšej základne je 10 cm, zatiaľ čo menšia je 6 cm a okraja sú 4 cm. Je potrebné zistiť výšku. Na začiatok nájdeme jednu nohu: a = (10-6) / 2 = 2 cm. Jedna noha je 2 cm a prepona je 4 cm. Ukazuje sa, že druhá noha alebo výška bude 16-4 = 12, to znamená, h = √12 = asi 3,5 cm.

Naspäť vpred

Pozor! Ukážky snímok slúžia iba na informačné účely a nemusia predstavovať všetky možnosti prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si úplnú verziu.

Ciele lekcie.

Naučné: Odvodiť vzorec na výpočet objemu pyramídy

Rozvíjanie: rozvíjať kognitívny záujem študentov o akademické disciplíny, schopnosť uplatniť svoje vedomosti v praxi.

Vzdelávacie: vzdelávať pozornosť, presnosť, rozširovať obzory študentov.

Vybavenie a materiály: počítač, plátno, projektor, prezentácia „Objem pyramídy“.

1. Frontálny prieskum. Diapozitívy 2, 3

Čo sa nazýva pyramída, základňa pyramídy, rebrá, výška, os, apotém. Ktorá pyramída sa nazýva pravidelná, štvorstenná, skrátená pyramída?

Pyramída je mnohosten, ktorý sa skladá z plochého mnohouholník, bodov neležať v rovine tohto mnohouholníka a všetky segmenty spojenie tohto bodu s bodmi mnohouholníka.

Tento bod zavolal vrchol pyramídy a plochý polygón je základňou pyramídy. Segmenty spájajúce vrch pyramídy s vrchom základne sa nazývajú rebrá . Výška pyramídy - kolmý spustený z vrcholu pyramídy do roviny základne. Apothem - výška bočnej tváre správna pyramída. Pyramída s na spodku leží správne n-gon, ale výška základne sa zhoduje s centrum nadácie zavolal správne n-stranná pyramída. Os pravidelná pyramída sa nazýva priamka obsahujúca jej výšku. Pravidelná trojuholníková pyramída sa nazýva štvorsten. Ak pyramídu pretína rovina rovnobežná s rovinou základne, pyramída ju odreže, podobný daný. Zvyšok sa volá skrátená pyramída.

2. Odvodenie vzorca na výpočet objemu pyramídy V = SH / 3 Snímky 4, 5, 6

1. Nech SABC je trojuholníková pyramída s vrcholom S a základňou ABC.

2. Pridajme túto pyramídu k trojuholníkovému hranolu s rovnakou základňou a výškou.

3. Tento hranol sa skladá z troch pyramíd:

1) tejto pyramídy SABC.

2) pyramídy SCC 1 B 1.

3) a pyramídy SCBB 1.

4. Druhá a tretia pyramída majú rovnaké základy CC 1 B 1 a B 1 BC a celkovú výšku nakreslenú od vrcholu S k lícu rovnobežníka BB 1 C 1 C. Preto majú rovnaké objemy.

5. Prvá a tretia pyramída majú tiež rovnaké základy SAB a BB 1 S a rovnaké výšky nakreslené od vrcholu C k lícu rovnobežníka ABB 1 S. Preto majú tiež rovnaké objemy.

To znamená, že všetky tri pyramídy majú rovnaký objem. Pretože súčet týchto objemov sa rovná objemu hranola, sú objemy pyramíd SH / 3.

Objem akejkoľvek trojuholníkovej pyramídy sa rovná jednej tretine súčinu plochy základne a výšky.

3. Konsolidácia nového materiálu. Riešenie cvičenia.

1) Úloha № 33 z učebnice A.N. Pogorelova. Snímky 7, 8, 9

Na boku podstavca? a bočná hrana b nájdeme objem pravidelnej pyramídy, na ktorej základni leží:

1) trojuholník,

2) štvoruholník,

3) šesťuholník.

V pravidelnej pyramíde výška prechádza stredom kruhu okolo základne. Potom: (Aplikácia)

4. Historické informácie o pyramídach. Snímky 15, 16, 17

Prvým z našich súčasníkov, ktorý založil množstvo neobvyklých javov spojených s pyramídou, bol francúzsky vedec Antoine Bovy. Pri skúmaní Cheopsovej pyramídy v 30. rokoch dvadsiateho storočia zistil, že telá malých zvierat, ktoré sa náhodou dostali do kráľovskej izby, boli mumifikované. Bowie si svoj dôvod vysvetlil tvarom pyramídy a ako sa ukázalo, nemýlil sa. Jeho práce tvorili základ moderného výskumu, vďaka čomu sa za posledných 20 rokov objavilo veľa kníh a publikácií, ktoré potvrdzujú, že energia pyramíd môže mať praktický význam.

Záhada pyramíd

Niektorí vedci tvrdia, že pyramída obsahuje obrovské množstvo informácií o štruktúre vesmíru, slnečnej sústave a človeku, zakódovaných v ich geometrickej podobe, alebo lepšie povedané vo forme osemstena, z ktorého polovica je pyramída. Pyramída s vrchom hore symbolizuje život, zhora nadol - smrť, druhý svet. Rovnako ako základné súčasti Dávidovej hviezdy (Magen David), kde trojuholník smerujúci nahor symbolizuje výstup na Vyšší dôvod, Boha, a trojuholník smerujúci dole symbolizuje zostup duše na Zem, hmotnú existenciu. .

Digitálna hodnota kódu, ktorý šifruje informácie o vesmíre v pyramíde, číslo 365, nebola vybraná náhodou. V prvom rade je to ročný životný cyklus našej planéty. Okrem toho má 365 tri číslice 3, 6 a 5. Čo znamenajú? Ak v slnečnej sústave Slnko prechádza na číslo 1, Merkúr - 2, Venuša - 3, Zem - 4, Mars - 5, Jupiter - 6, Saturn - 7, Urán - 8, Neptún - 9, Pluto - 10, potom 3 je Venuša, 6 - Jupiter a 5 - Mars. V dôsledku toho je Zem zvláštnym spôsobom spojená s týmito planétami. Sčítaním čísel 3, 6 a 5 dostaneme 14, z ktorých 1 je Slnko a 4 je Zem.

Číslo 14 má vo všeobecnosti globálny význam: predovšetkým na ňom je založená štruktúra ľudských rúk, celkový počet falangov prstov každej z nich je tiež 14. Tento kódex tiež odkazuje na súhvezdie Veľkej medvedice, ktorá zahŕňa naše Slnko a v ktorej bola kedysi ďalšou hviezdou, ktorá zničila Phaethon, planétu nachádzajúcu sa medzi Marsom a Jupiterom, po ktorej sa v slnečnej sústave objavilo Pluto, a zmenili sa charakteristiky ostatných planét.

Mnoho ezoterických zdrojov tvrdí, že ľudstvo na Zemi už zažilo celosvetovú katastrofu štyrikrát. Tretia lemurská rasa poznala božskú vedu o vesmíre, potom sa táto tajná doktrína odovzdala iba zasvätencom. Na začiatku cyklov a pol cyklov hviezdneho roku stavali pyramídy. Prišli blízko k objaveniu kódu života. Civilizácia Atlantídy dokázala veľa, ale na istej úrovni poznania ich zastavila ďalšia planetárna katastrofa sprevádzaná zmenou rás. Pravdepodobne nám chceli zasvätení oznámiť, že vedomosti o kozmických zákonoch sú uložené v pyramídach ...

Špeciálne zariadenia vo forme pyramíd neutralizujú negatívne elektromagnetické žiarenie na človeka z počítača, televízora, chladničky a iných elektrických spotrebičov.

Jedna z kníh popisuje prípad, keď pyramída inštalovaná v kabíne vozidla znížila spotrebu paliva a znížil obsah CO vo výfukových plynoch.

Semená záhradných plodín dozrievané v pyramídach mali najlepšiu klíčivosť a produktivitu. Publikácie dokonca odporúčali namočiť semená pred sejbou do pyramidálnej vody.

Zistilo sa, že pyramídy majú priaznivý vplyv na ekologickú situáciu. Odstráňte patogénne zóny v bytoch, kanceláriách a letných chatách a vytvorte pozitívnu auru.

Holandský bádateľ Paul Dickens vo svojej knihe uvádza príklady liečivých vlastností pyramíd. Všimol si, že s ich pomocou je možné zmierniť bolesti hlavy, bolesti kĺbov, zastaviť krvácanie v prípade malých rezných rán a že energia pyramíd stimuluje metabolizmus a posilňuje imunitný systém.

V niektorých moderných publikáciách sa uvádza, že lieky uchovávané v pyramíde skracujú priebeh liečby a obväzový materiál nasýtený pozitívnou energiou podporuje hojenie rán.

Kozmetické krémy a masti zlepšujú ich účinok.

Nápoje, vrátane alkoholických, zlepšujú ich chuť a voda obsiahnutá v 40% vodke sa stáva liečivou. Je pravda, že na nabitie štandardnej 0,5 litrovej fľaše pozitívnou energiou potrebujete vysokú pyramídu.

Jeden článok v novinách hovorí, že ak šperky skladujete pod pyramídou, samočistia sa a získavajú špeciálny lesk. Drahé a polodrahokamy akumulujú pozitívnu bioenergiu a postupne ju vracajú.

Podľa amerických vedcov potravinové výrobky, ako sú obilniny, múka, soľ, cukor, káva, čaj, po návšteve pyramídy zlepšujú ich chuť a lacné cigarety sa podobajú ich vznešeným kolegom.

Možno to pre mnohých nebude relevantné, ale v malej pyramíde sa staré žiletky samoostria a vo veľkej pyramíde voda nezamŕza pri -40 stupňoch Celzia.

Podľa väčšiny vedcov je to všetko dôkazom existencie energie pyramíd.

Za viac ako 5 000 rokov svojej existencie sa pyramídy zmenili na akýsi symbol, ktorý zosobňuje ľudskú túžbu dosiahnuť vrchol poznania.

5. Zhrnutie lekcie.

Bibliografia.

1) http://schools.techno.ru

2) Pogorelov A. V. Geometry 10-11, vydavateľstvo „Education“.

3) Encyklopédia „Strom poznania“ Marshall K.

Jednou z najjednoduchších objemových figúrok je trojuholníková pyramída, pretože pozostáva z najmenšieho počtu tvárí, z ktorých je možné v priestore formovať figúru. V tomto článku zvážime vzorce, pomocou ktorých nájdete objem trojuholníkovej pravidelnej pyramídy.

Trojuholníková pyramída

Podľa všeobecnej definície je pyramída polygón, ktorého všetky vrcholy sú spojené s jedným bodom, ktorý sa nenachádza v rovine tohto polygónu. Ak je tento trojuholník, potom sa celá postava nazýva trojuholníková pyramída.

Predmetná pyramída sa skladá zo základne (trojuholník) a troch bočných plôch (trojuholníky). Bod, v ktorom sú spojené tri bočné plochy, sa nazýva vrchná časť tvaru. Kolmica spadnutá na základňu z tohto vrcholu je výška pyramídy. Ak sa priesečník kolmice so základňou zhoduje s priesečníkom mediánov trojuholníka v základni, potom hovoria o pravidelnej pyramíde. V opačnom prípade to bude šikmé.

Ako bolo uvedené, základom trojuholníkovej pyramídy môže byť všeobecný trojuholník. Ak je to však rovnostranné a samotná pyramída je rovná, potom hovoria o správnom objemovom obrazci.

Akákoľvek trojuholníková pyramída má 4 tváre, 6 okrajov a 4 vrcholy. Ak sú dĺžky všetkých hrán rovnaké, potom sa takáto postava nazýva štvorsten.

všeobecný typ

Predtým, ako si zapíšeme pravidelnú trojuholníkovú pyramídu, dajme vyjadrenie tejto fyzikálnej veličiny pre všeobecnú pyramídu. Tento výraz vyzerá takto:

Tu S o je plocha základne, h je výška postavy. Táto rovnosť bude platiť pre akýkoľvek typ základne pyramídového polygónu, ako aj pre kužeľ. Ak je na základni trojuholník s dĺžkou strany a a výškou h o na ňu spadnutou, potom bude vzorec pre objem napísaný takto:

Objemové vzorce pre pravidelnú trojuholníkovú pyramídu

Pravidelná trojuholníková pyramída má na základni rovnostranný trojuholník. Je známe, že výška tohto trojuholníka súvisí s dĺžkou jeho strany podľa rovnosti:

Dosadením tohto výrazu do vzorca pre objem trojuholníkovej pyramídy, napísaného v predchádzajúcom odseku, dostaneme:

V = 1/6 * a * h o * h = √3 / 12 * a 2 * h.

Objem pravidelnej pyramídy s trojuholníkovou základňou je funkciou dĺžky strany základne a výšky postavy.

Pretože ľubovoľný pravidelný mnohouholník možno vpísať do kruhu, ktorého polomer jednoznačne určuje dĺžku strany mnohouholníka, možno tento vzorec zapísať z hľadiska zodpovedajúceho polomeru r:

Tento vzorec možno ľahko získať z predchádzajúceho, ak vezmeme do úvahy, že polomer r opísanej kružnice po celej dĺžke strany a trojuholníka je určený výrazom:

Problém určenia objemu štvorstena

Ukážme si, ako použiť vyššie uvedené vzorce pri riešení konkrétnych problémov geometrie.

Je známe, že štvorsten má dĺžku okraja 7 cm. Nájdite objem pravidelného trojuholníkového pyramídového štvorstena.

Pripomeňme, že štvorsten je pravidelný, v ktorom sú všetky bázy rovnaké. Ak chcete použiť vzorec trojuholníkového objemu, musíte vypočítať dve veličiny:

• dĺžka strany trojuholníka;
• výška postavy.

Prvá hodnota je známa zo stavu problému:

Pri určovaní výšky zvážte údaj zobrazený na obrázku.

Označený trojuholník ABC je pravouhlý, pričom uhol ABC je 90 o. AC stranou je prepona, ktorej dĺžka je a. Jednoduchým geometrickým uvažovaním možno preukázať, že strana BC má dĺžku:

Upozorňujeme, že dĺžka BC je polomer kruhu opísaného okolo trojuholníka.

h = AB = √ (AC 2 - BC 2) = √ (a 2 - a 2/3) = a * √ (2/3).

Teraz môžeme v príslušnom vzorci pre objem nahradiť h a a:

V = √3 / 12 * a 2 * a * √ (2/3) = √2 / 12 * a 3.

Získali sme teda vzorec pre objem štvorstenu. Je vidieť, že objem závisí iba od dĺžky rebra. Ak do výrazu dosadíme hodnotu z podmienky úlohy, dostaneme odpoveď:

V = √2 / 12 * 7 3 ≈ 40,42 cm 3.

Ak porovnáme túto hodnotu s objemom kocky, ktorá má rovnakú hranu, dostaneme, že objem štvorstenu je 8,5 krát menší. To naznačuje, že štvorsten je kompaktný údaj, ktorý sa dosahuje v niektorých prírodných látkach. Napríklad molekula metánu je štvorboká a každý atóm uhlíka v diamantu je naviazaný na ďalšie štyri atómy, aby vytvoril štvorsten.

Problém s homotetickými pyramídami

Vyriešime zaujímavý geometrický problém. Predpokladajme, že existuje trojuholníková pravidelná pyramída s určitým objemom V 1. Koľkokrát by sa mala veľkosť tohto obrázka zmenšiť, aby sa získala homotetická pyramída s objemom trikrát menším ako pôvodný?

Začnime vyriešiť problém napísaním vzorca pre pôvodnú pravidelnú pyramídu:

V 1 = √3 / 12 * a 1 2 * h 1.

Nech objem figúry, potrebný podľa stavu úlohy, získame, ak jej parametre vynásobíme koeficientom k. Máme:

V 2 = √3 / 12 * k 2 * a 1 2 * k * h 1 = k 3 * V 1.

Pretože pomer objemov čísel je známy z podmienky, dostaneme hodnotu koeficientu k:

k = ∛ (V 2 / V 1) = ∛ (1/3) ≈ 0,693.

Všimnite si, že by sme dostali podobnú hodnotu koeficientu k pre pyramídu ľubovoľného typu, nielen pre pravidelnú trojuholníkovú.