Ulomke neenačb s kvadratnimi enačbami. Kvadratne neenakosti
Lekcija in predstavitev na temo: "Kvadratne neenakosti, primeri rešitev"
Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja! Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.
Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 9. razred
Elektronski učbenik "Razumljiva geometrija" za 7.-9
Izobraževalni kompleks 1C: "Geometrija, 9. razred"
Fantje, že vemo, kako rešiti kvadratne enačbe. Zdaj pa se naučimo reševati kvadratne neenakosti.
Kvadratna neenakost Ta vrsta neenakosti se imenuje:
$ax^2+bx+c>0$.
Predznak neenakosti je lahko poljuben, koeficienti a, b, c so lahko poljubna števila ($a≠0$).
Vsa pravila, ki smo jih definirali za linearne neenakosti, delujejo tudi tukaj. Ponovite ta pravila tudi sami!
Predstavimo še eno pomembno pravilo:
Če ima trinom $ax^2+bx+c$ negativno diskriminanto, bo predznak trinoma enak predznaku koeficienta a, če nadomestite katero koli vrednost x.
Primeri reševanja kvadratnih neenačb
lahko rešimo z izrisovanjem grafov ali izrisovanjem intervalov. Oglejmo si primere rešitev neenačb.Primeri.
1. Rešite neenačbo: $x^2-2x-8
rešitev:
Poiščimo korenine enačbe $x^2-2x-8=0$.
$x_1=4$ in $x_2=-2$.
Narišimo kvadratno enačbo. Os x se seka v točkah 4 in -2. 2. Rešite neenačbo: $5x-6 rešitev: Zgradimo graf kvadratne enačbe, os x se seka v točkah 2 in 3. 3. Rešite neenačbo: $2^2+2x+1≥0$. rešitev: 4. Rešite neenačbo: $x^2+x-2 Ta članek vsebuje gradivo na temo " reševanje kvadratnih neenačb" Najprej pokažemo, kaj so kvadratne neenačbe z eno spremenljivko, in jih podamo splošni pogled. Nato si podrobno ogledamo, kako rešiti kvadratne neenakosti. Prikazani so glavni pristopi k reševanju: grafična metoda, intervalna metoda in z osamitvijo kvadrata binoma na levi strani neenakosti. Podane so rešitve tipičnih primerov. Navigacija po straneh. Seveda, preden govorimo o reševanju kvadratnih neenakosti, moramo jasno razumeti, kaj je kvadratna neenakost. Z drugimi besedami, kvadratne neenačbe morate znati razlikovati od drugih vrst neenačb glede na vrsto zapisa. Opredelitev.
Kvadratna neenakost je neenačba oblike a x 2 +b x+c<0
(вместо знака >lahko je katerikoli drug znak neenakosti ≤, >, ≥), kjer so a, b in c nekatera števila, a≠0, x pa je spremenljivka (spremenljivko lahko označimo s katero koli drugo črko). Takoj dajmo drugo ime za kvadratne neenakosti - neenakosti druge stopnje. To ime je razloženo z dejstvom, da je na levi strani neenakosti a x 2 +b x+c<0
находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства». Včasih lahko slišite tudi kvadratne neenakosti, imenovane kvadratne neenakosti. To ni povsem pravilno: definicija "kvadratnega" se nanaša na funkcije, definirane z enačbami oblike y=a·x 2 +b·x+c. Torej, obstajajo kvadratne neenakosti in kvadratne funkcije, vendar ne kvadratne neenakosti. Pokažimo nekaj primerov kvadratnih neenakosti: 5 x 2 −3 x+1>0, tukaj je a=5, b=−3 in c=1; −2,2·z 2 −0,5·z−11≤0, so koeficienti te kvadratne neenakosti a=−2,2, b=−0,5 in c=−11; , v tem primeru Upoštevajte, da v definiciji kvadratne neenakosti velja, da je koeficient a pri x 2 različen od nič. To je razumljivo, enakost koeficienta a na nič bo dejansko "odstranila" kvadrat in imeli bomo opravka z linearno neenakostjo oblike b x+c>0 brez kvadrata spremenljivke. Toda koeficienta b in c sta lahko enaka nič, ločeno in hkrati. Tukaj so primeri takih kvadratnih neenakosti: x 2 −5≥0, tukaj je koeficient b za spremenljivko x enak nič; −3 x 2 −0,6 x<0
, здесь c=0
; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 sta b in c enaka nič. Zdaj vas lahko zmede vprašanje, kako rešiti kvadratne neenakosti. V bistvu se za rešitev uporabljajo tri glavne metode: Naj takoj naredimo pridržek, da se metoda reševanja kvadratnih neenakosti, ki jo zdaj obravnavamo, v šolskih učbenikih algebre ne imenuje grafična. Vendar pa je v bistvu to, kar je. Še več, prvo spoznavanje z grafična metoda za reševanje neenačb običajno se začne, ko se pojavi vprašanje, kako rešiti kvadratne neenakosti. Grafična metoda za reševanje kvadratnih neenačb a x 2 +b x+c<0
(≤, >, ≥) je analizirati graf kvadratna funkcija y=a·x 2 +b·x+c, da poiščete intervale, v katerih podana funkcija zavzame negativne, pozitivne, nepozitivne ali nenegativne vrednosti. Ti intervali predstavljajo rešitve kvadratnih neenačb a x 2 +b x+c<0
, a·x 2 +b·x+c>0, a x 2 +b x+c≤0 oziroma a x 2 +b x+c≥0. Za reševanje kvadratnih neenačb z eno spremenljivko je poleg grafične precej priročna intervalna metoda, ki je že sama po sebi zelo univerzalna in primerna za reševanje različnih neenačb, ne le kvadratnih. Njena teoretična stran je onkraj meja predmeta algebra v 8. in 9. razredu, ko se učijo reševati kvadratne neenačbe. Zato se tukaj ne bomo spuščali v teoretično utemeljitev intervalne metode, ampak se bomo osredotočili na to, kako se z njeno pomočjo rešujejo kvadratne neenakosti. Bistvo intervalne metode v zvezi z reševanjem kvadratnih neenačb a x 2 +b x+c<0
(≤, >, ≥), je sestavljen iz identifikacijskih znakov, ki imajo pomen kvadratni trinom a·x 2 +b·x+c na intervalih, na katere je koordinatna os razdeljena z ničlami tega trinoma (če obstajajo). Intervali s predznaki minus predstavljajo rešitve kvadratne neenačbe a x 2 +b x+c<0
, со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0, pri reševanju nestrogih neenačb pa se navedenim intervalom dodajo točke, ki ustrezajo ničlam trinoma. Lahko se seznanite z vsemi podrobnostmi te metode, njenim algoritmom, pravili za postavljanje znakov na intervalih in razmislite o že pripravljenih rešitvah tipičnih primerov z ilustracijami, ki so na voljo, tako da se sklicujete na gradivo v članku o reševanju kvadratnih neenakosti z intervalno metodo . Poleg grafične in intervalne metode obstajajo tudi drugi pristopi, ki vam omogočajo reševanje kvadratnih neenakosti. In pridemo do enega od njih, ki temelji na binom na kvadrat na levi strani kvadratne neenakosti. Načelo te metode reševanja kvadratnih neenačb je izvedba ekvivalentnih transformacij neenačbe, ki omogočajo nadaljevanje reševanja ekvivalentne neenačbe oblike (x−p) 2 In kako poteka prehod na neenakost (x−p) 2? V praksi imamo zelo pogosto opravka z neenačbami, ki jih je mogoče reducirati z ekvivalentnimi transformacijami na kvadratne neenačbe oblike a x 2 +b x+c<0
(знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам. Začnimo s primeri najpreprostejših neenakosti, ki se reducirajo na kvadratne neenakosti. Včasih je za prehod na kvadratno neenakost dovolj, da člene v tej neenakosti prerazporedimo ali premaknemo iz enega dela v drugega. Na primer, če prenesemo vse člene z desne strani neenačbe 5≤2·x−3·x 2 na levo, dobimo kvadratno neenačbo v zgoraj navedeni obliki 3·x 2 −2·x+5≤ 0. Še en primer: preureditev leve strani neenačbe 5+0,6 x 2 −x<0
слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0
. V šoli se pri pouku algebre, ko se učijo reševati kvadratne neenačbe, ukvarjajo tudi z reševanje racionalnih neenačb, zmanjšanje na kvadratne. Njihova rešitev vključuje prenos vseh členov na levo stran in nato transformacijo tam oblikovanega izraza v obliko a·x 2 +b·x+c z izvedbo . Poglejmo si primer. Primer. Poiščite številne rešitve neenakosti 3·(x−1)·(x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5
.iracionalna neenakost Reference. Kvadratna neenakost – “OD in DO”.V tem članku si bomo ogledali rešitev kvadratnih neenakosti, kot pravijo, vse do tankosti. Priporočam, da natančno preučite gradivo v članku, ne da bi ničesar zamudili. Članka ne boste mogli obvladati takoj, priporočam, da to storite v več pristopih, informacij je veliko. Vsebina: Uvod. Pomembno! Uvod. Pomembno! Kvadratna neenakost je neenakost oblike: Če vzamete kvadratno enačbo in zamenjate enačaj s katerim koli od zgornjih, dobite kvadratno neenakost. Reševanje neenakosti pomeni odgovor na vprašanje, za katere vrednosti x bo ta neenakost resnična. Primeri: 10
x 2
– 6
x+12 ≤ 0
2
x 2
+ 5
x –500 > 0
– 15
x 2
– 2
x+13 > 0
8
x 2
– 15
x+45≠ 0
Kvadratno neenakost je mogoče določiti implicitno, na primer: 10
x 2
– 6
x+14
x 2
–5
x +2≤ 56
2
x 2
> 36
8
x 2
<–15
x 2
– 2
x+13
0> – 15
x 2
– 2
x+13
V tem primeru je potrebno izvesti algebraične transformacije in ga pripeljati v standardno obliko (1). * Koeficienti so lahko delni in iracionalni, vendar so takšni primeri redki v šolskem kurikulumu in jih sploh ni v nalogah enotnega državnega izpita. Vendar ne bodite prestrašeni, če na primer naletite na: Tudi to je kvadratna neenakost. Najprej si poglejmo preprost algoritem rešitve, ki ne zahteva razumevanja, kaj je kvadratna funkcija in kako njen graf izgleda na koordinatni ravnini glede na koordinatne osi. Če si lahko informacije zapomnite trdno in dolgo ter jih redno utrjujete z vajo, vam bo algoritem pomagal. Tudi če, kot pravijo, morate takšno neenakost rešiti "naenkrat", vam bo algoritem pomagal. Če ga boste upoštevali, boste rešitev zlahka implementirali. Če se učite v šoli, vam toplo priporočam, da začnete preučevati članek iz drugega dela, ki pove celoten pomen rešitve (glejte spodaj od točke -). Če razumete bistvo, se vam ne bo treba učiti ali zapomniti določenega algoritma; zlahka boste rešili katero koli kvadratno neenakost. Seveda bi moral razlago takoj začeti z grafom kvadratne funkcije in razlago samega pomena, a sem se odločil, da članek “konstruiram” na ta način. Še ena teoretična točka! Poglejte formulo za faktorizacijo kvadratnega trinoma: kjer sta x 1 in x 2 korena kvadratne enačbe ax 2+
bx+c=0
*Da bi rešili kvadratno neenačbo, bo treba faktorizirati kvadratni trinom. Spodaj predstavljeni algoritem se imenuje tudi intervalna metoda. Primeren je za reševanje neenačb oblike f(x)>0,
f(x)<0
, f(x)≥0 inf(x)≤0
. Upoštevajte, da sta lahko več kot dva množitelja, na primer: (x–10)(x+5)(x–1)(x+104)(x+6)(x–1)<0
Algoritem rešitve. Intervalna metoda. Primeri. Glede na neenakost sekira 2
+
bx+ c > 0 (poljubni znak).
1. Napišite kvadratno enačbo sekira 2
+
bx+ c = 0
in jo reši. Dobimo x 1 in x 2– korenine kvadratne enačbe. 2. Nadomestite koeficient v formulo (2) a
in korenine. : a(x –
x 1
)(x –
x 2)>0
3. Določite intervale na številski premici (koreni enačbe delijo številsko premico na intervale): 4. Določite »predznake« na intervalih (+ ali –) tako, da v izraz nadomestite poljubno vrednost »x« iz vsakega nastalega intervala: a(x –
x 1
)(x –
x2)
in jih slavite. 5. Ostaja le še, da zapišemo intervale, ki nas zanimajo, označeni so: - z znakom “+”, če je neenakost vsebovala “>0” ali “≥0”. - znak "–", če je neenakost vključena "<0» или «≤0».
BODITE POZORNI!!!
Sami znaki v neenakosti so lahko: strogo - to je “>”, “<» и нестрогими – это «≥», «≤».
Kako to vpliva na izid odločitve? Pri strogih znakih neenakosti meje intervala NISO VKLJUČENE v rešitev, medtem ko je v odgovoru sam interval zapisan v obliki ( x 1
;
x 2
) – okrogli oklepaji. Za šibke znake neenakosti so meje intervala vključene v rešitev, odgovor pa je zapisan v obliki [ x 1
;
x 2
] – oglati oklepaji. *To ne velja samo za kvadratne neenakosti. Oglati oklepaj pomeni, da je sama meja intervala vključena v rešitev. To boste videli v primerih. Oglejmo si jih nekaj, da razjasnimo vsa vprašanja o tem. V teoriji se algoritem morda zdi nekoliko zapleten, v resnici pa je vse preprosto. 1. PRIMER: Reši x 2
– 60
x+500 ≤ 0
Reševanje kvadratne enačbe x 2
–60
x+500=0
D =
b 2
–4
ac = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600
Iskanje korenin: Nadomestite koeficient a x 2
–60
x+500 = (x–50)(x–10)
Neenačbo zapišemo v obrazec (x–50)(x–10) ≤ 0
Koreni enačbe delijo številsko premico na intervale. Pokažimo jih na številski premici: Dobili smo tri intervale (–∞;10), (10;50) in (50;+∞). Določimo "znake" na intervalih; to naredimo tako, da nadomestimo poljubne vrednosti vsakega nastalega intervala v izraz (x–50)(x–10) in pogledamo ujemanje nastalega "znaka" z znakom v neenakost (x–50)(x–10) ≤ 0:
pri x=2 (x–50)(x–10) =
384 > 0 napačno pri x=20 (x–50)(x–10) =
–300 < 0 верно
pri x=60 (x–50)(x–10) = 500 > 0 nepravilno Rešitev bo interval. Za vse vrednosti x iz tega intervala bo neenakost resnična. *Upoštevajte, da smo vključili oglate oklepaje. Za x = 10 in x = 50 bo tudi neenakost resnična, to pomeni, da so meje vključene v rešitev. Odgovor: x∊ Še enkrat: — Meje intervala so VKLJUČENE v rešitev neenačbe, kadar pogoj vsebuje znak ≤ ali ≥ (nestroga neenačba). V tem primeru je običajno prikazati nastale korenine v skici s krogom HASHED. — Meje intervala NISO VKLJUČENE v rešitev neenačbe, kadar pogoj vsebuje predznak< или >(stroga neenakost). V tem primeru je običajno, da se koren na skici prikaže kot NEHASHED krog. PRIMER 2: Reši x 2
+ 4
x–21 > 0
Reševanje kvadratne enačbe x 2
+ 4
x–21 = 0
D =
b 2
–4
ac = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100
Iskanje korenin: Nadomestite koeficient a in korenine v formuli (2), dobimo: x 2
+ 4
x–21 = (x–3)(x+7)
Neenačbo zapišemo v obrazec (x–3)(x+7) > 0.
Koreni enačbe delijo številsko premico na intervale. Označimo jih na številski premici: *Neenakost ni stroga, zato simboli za korenine NISO osenčeni. Dobili smo tri intervale (–∞;–7), (–7;3) in (3;+∞). Določimo "znake" na intervalih, to naredimo tako, da poljubne vrednosti teh intervalov nadomestimo v izraz (x–3)(x+7) in iščemo skladnost z neenakostjo (x–3)(x+7)> 0:
pri x= –10 (–10–3)(–10 +7) = 39 > 0 pravilno pri x= 0 (0–3)(0 +7) = –21< 0 неверно
pri x=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 pravilno Rešitev bosta dva intervala (–∞;–7) in (3;+∞). Za vse vrednosti x iz teh intervalov bo neenakost resnična. *Upoštevajte, da smo vključili oklepaje. Pri x = 3 in x = –7 bo neenakost napačna - meje niso vključene v rešitev. Odgovor: x∊(–∞;–7) U (3;+∞) PRIMER 3: Reši –
x 2
–9
x–20 > 0
Reševanje kvadratne enačbe –
x 2
–9
x–20 = 0.
a = –1
b = –9
c = –20
D =
b 2
–4
ac = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.
Iskanje korenin: Nadomestite koeficient a in korenine v formuli (2), dobimo: –
x 2
–9
x–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= –(x+5)(x+4)
Neenačbo zapišemo v obrazec –(x+5)(x+4) > 0.
Koreni enačbe delijo številsko premico na intervale. Označimo na številski premici: *Neenakost je stroga, zato simboli za korenine niso zasenčeni. Dobili smo tri intervale (–∞;–5), (–5; –4) in (–4;+∞). Na intervalih definiramo »znake«, to naredimo s substitucijo v izraz –(x+5)(x+4) poljubne vrednosti teh intervalov in si oglejte ujemanje z neenakostjo –(x+5)(x+4)>0:
pri x= –10 – (–10+5)(–10 +4) = –30< 0 неверно
pri x= –4,5 – (–4,5+5)(–4,5+4) = 0,25 > 0 pravilno pri x= 0 – (0+5)(0 +4) = –20< 0 неверно
*Upoštevajte, da meje niso del rešitve. Za x = –5 in x = –4 neenakost ne bo resnična. KOMENTIRAJ! Pri reševanju kvadratne enačbe lahko končamo z enim korenom ali brez korenin, potem pa pri uporabi ta metoda Na slepo bo morda težko določiti rešitev. Majhen povzetek! Metoda je dobra in priročna za uporabo, še posebej, če ste seznanjeni s kvadratno funkcijo in poznate lastnosti njenega grafa. Če ne, si oglejte in pojdite na naslednji razdelek. Uporaba grafa kvadratne funkcije. priporočam! Kvadratna je funkcija oblike: Njen graf je parabola, veje parabole so usmerjene navzgor ali navzdol: Graf je lahko postavljen na naslednji način: lahko seka os x v dveh točkah, lahko se je dotika v eni točki (točki) ali pa se ne seka. Več o tem pozneje. Zdaj pa si poglejmo ta pristop na primeru. Celoten postopek rešitve je sestavljen iz tri stopnje. Rešimo neenačbo x 2
+2
x –8 >0.
Prva stopnja
Reševanje enačbe x 2
+2
x–8=0.
D =
b 2
–4
ac = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36
Iskanje korenin: Dobili smo x 1 = 2 in x 2 = – 4. Druga stopnja
Sestavljanje parabole y=x 2
+2
x–8
po točkah: Točki 4 in 2 sta presečišči parabole in osi x. Enostavno je! Kaj si naredil? Rešili smo kvadratno enačbo x 2
+2
x–8=0.
Oglejte si njegovo objavo takole: 0 = x 2+2x – 8
Nič je za nas vrednost "y". Ko je y = 0, dobimo absciso točk presečišča parabole z osjo x. Lahko rečemo, da je ničelna vrednost "y" os x. Zdaj pa poglejte, katere vrednosti x izraza x 2
+2
x – 8
večji (ali manjši) od nič? To ni težko ugotoviti iz grafa parabole, pravijo, da je vse na vidiku: 1. Na x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x 2
+2
x –8
bo pozitiven. 2. Pri –4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x 2
+2
x –8
bo negativna. 3. Pri x > 2 leži veja parabole nad osjo x. Za navedeni x, trinom x 2
+2
x –8
bo pozitiven. Tretja stopnja
Iz parabole lahko takoj vidimo, pri kolikšnem x je izraz x 2
+2
x–8
večji od nič, enak nič, manjši od nič. To je bistvo tretje stopnje rešitve, in sicer videti in prepoznati pozitivna in negativna področja na risbi. Dobljeni rezultat primerjamo z izvirno neenačbo in zapišemo odgovor. V našem primeru je treba določiti vse vrednosti x, za katere je izraz x 2
+2
x–8
več kot nič. To smo storili v drugi fazi. Preostane le še zapis odgovora. Odgovor: x∊(–∞;–4) U (2;∞). Povzemimo: ko smo v prvem koraku izračunali korenine enačbe, lahko označimo dobljene točke na osi x (to so točke presečišča parabole z osjo x). Nato shematsko sestavimo parabolo in že lahko vidimo rešitev. Zakaj shematski? Ne potrebujemo matematično natančnega urnika. In predstavljajte si, na primer, če se korenine izkažejo za 10 in 1500, poskusite zgraditi natančen graf na listu papirja s takšnim razponom vrednosti. Postavlja se vprašanje! No, dobili smo korenine, no, označili smo jih na o-osi, ampak ali bi morali skicirati lokacijo same parabole - z njenimi vejami navzgor ali navzdol? Tukaj je vse preprosto! Koeficient za x 2 vam bo povedal: - če je večja od nič, so veje parabole usmerjene navzgor. - če je manjša od nič, so veje parabole usmerjene navzdol. V našem primeru je enaka ena, torej pozitivna. *Opomba! Če neenačba vsebuje nestrogi znak, to je ≤ ali ≥, potem morajo biti koreni na številski premici osenčeni, to običajno pomeni, da je meja intervala sama vključena v rešitev neenačbe. IN v tem primeru korenine niso zasenčene (preluknjane), ker je naša neenakost stroga (tam je znak ">"). Še več, v tem primeru odgovor uporablja oklepaje namesto oglatih (obrobe niso vključene v rešitev). Veliko je bilo napisanega, verjetno sem koga zmotil. Če pa s parabolami rešite vsaj 5 neenačb, potem vaše občudovanje ne bo poznalo meja. Enostavno je! Torej na kratko: 1. Neenačbo zapišemo in reduciramo na standardno. 2. Zapiši kvadratno enačbo in jo reši. 3. Narišite os x, označite dobljene korenine, shematsko narišite parabolo, z vejami navzgor, če je koeficient x 2 pozitiven, ali vejami navzdol, če je negativen. 4. Vizualno identificirajte pozitivna ali negativna področja in zapišite odgovor na prvotno neenakost. Poglejmo si primere. 1. PRIMER: Reši x 2
–15
x+50 > 0
Prva stopnja. Reševanje kvadratne enačbe x 2
–15
x+50=0
D =
b 2
–4
ac = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25
Iskanje korenin: Druga stopnja. Gradimo os o. Označimo nastale korenine. Ker je naša neenakost stroga, jih ne bomo senčili. Shematično sestavimo parabolo, ki se nahaja z vejami navzgor, saj je koeficient x 2 pozitiven: Tretja stopnja. Vizualno določimo pozitivna in negativna področja, tukaj smo jih označili različne barve zaradi jasnosti vam tega ni treba narediti. Odgovor zapišemo. Odgovor: x∊(–∞;5) U (10;∞). *Znak U označuje rešitev poenotenja. Figurativno povedano je rešitev »ta« IN »ta« interval. PRIMER 2: Reši –
x 2
+
x+20 ≤ 0
Prva stopnja. Reševanje kvadratne enačbe –
x 2
+
x+20=0
D =
b 2
–4
ac = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81
Iskanje korenin: Druga stopnja. Gradimo os o. Označimo nastale korenine. Ker naša neenakost ni stroga, zasenčimo oznake korenin. Shematično konstruiramo parabolo, ki se nahaja z vejami navzdol, saj je koeficient x 2 negativen (je enak –1): Tretja stopnja. Vizualno prepoznamo pozitivna in negativna področja. Primerjamo jo z izvirno neenakostjo (naš predznak je ≤ 0). Neenakost bo veljala za x ≤ – 4 in x ≥ 5. Odgovor zapišemo. Odgovor: x∊(–∞;–4] U ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) ali x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 . Primer 3 Rešite kvadratno neenačbo - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов. rešitev
Najprej poiščimo korenine kvadratnega trinoma z leve strani neenakosti: D " = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7 To je stroga neenakost, zato na grafu uporabimo "prazno" točko. S koordinato 7. Sedaj moramo določiti predznake na dobljenih intervalih (− ∞, 7) in (7, + ∞). Ker je diskriminanta kvadratnega trinoma enaka nič in je vodilni koeficient negativen, vpišemo predznake − , − : Ker rešujemo neenačbo s predznakom< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус: V tem primeru sta rešitvi oba intervala (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) . odgovor:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) ali v drugem zapisu x ≠ 7 . Primer 4 Ali velja kvadratna neenakost x 2 + x + 7< 0 решения? rešitev
Poiščimo korenine kvadratnega trinoma z leve strani neenačbe. Da bi to naredili, poiščimo diskriminanco: D = 1 2 − 4 · 1 · 7 = 1 − 28 = − 27 . Diskriminanta je manjša od nič, kar pomeni, da ni pravih korenin. Grafična podoba bo videti kot številska premica brez označenih točk. Določimo predznak vrednosti kvadratnega trinoma. Pri D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + : V tem primeru bi lahko uporabili senčenje nad prostori z znakom "-". Ampak nimamo takih vrzeli. Zato je risba videti takole: Kot rezultat izračunov smo prejeli prazen komplet. To pomeni, da ta kvadratna neenačba nima rešitev. odgovor:št. Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Naš kvadratni trinom ima vrednosti manjše od nič, kjer je graf funkcije pod osjo x.
Če pogledamo graf funkcije, dobimo odgovor: $x^2-2x-8 Odgovor: $-2
Transformirajmo neenačbo: $-x^2+5x-6 Delimo neenačbo z minus ena. Ne pozabimo spremeniti predznaka: $x^2-5x+6>0$.
Poiščimo korenine trinoma: $x_1=2$ in $x_2=3$.
Naš kvadratni trinom sprejema vrednosti, večje od nič, kjer je graf funkcije nad osjo x. Če pogledamo graf funkcije, dobimo odgovor: $5x-6
Poiščimo korenine našega trinoma; da bi to naredili, izračunamo diskriminant: $D=2^2-4*2=-4 Diskriminant je manjši od nič. Uporabimo pravilo, ki smo ga predstavili na začetku. Predznak neenakosti bo enak predznaku koeficienta kvadrata. V našem primeru je koeficient pozitiven, kar pomeni, da bo naša enačba pozitivna za katero koli vrednost x.
Odgovor: Za vse x je neenakost večja od nič.
rešitev:
Poiščimo korenine trinoma in jih postavimo na koordinatno premico: $x_1=-2$ in $x_2=1$. 
Če $x>1$ in $x Če $x>-2$ in $x Odgovor: $x>-2$ in $xProblemi za reševanje kvadratnih neenačb
Reši neenačbe:
a) $x^2-11x+30 b) $2x+15≥x^2$.
c) $3x^2+4x+3 d) $4x^2-5x+2>0$. Kaj je kvadratna neenakost?
.Kako rešiti kvadratne neenačbe?
Grafično
Intervalna metoda
S kvadriranjem binoma
, ≥), kjer sta p in q nekaj števil.
, ≥) in kako jo rešiti, članek pojasnjuje rešitev kvadratnih neenačb z izolacijo kvadrata binoma. Obstajajo tudi primeri reševanja kvadratnih neenačb s to metodo in potrebne grafične ponazoritve.
Neenakosti, ki se reducirajo na kvadratne
je enakovredna kvadratni neenakosti x 2 −6 x−9<0
, а logaritemska neenakost 
– neenakost x 2 +x−2≥0.
Rešitev bo interval (–5,–4). Za vse vrednosti "x", ki mu pripadajo, bo neenakost resnična.
Novi članki
- Zaščitimo se in zdravimo vnetne bolezni ORL doma
- Generator vodikove vode Hydrolight H2, Japonska
- Vrste mikroskopov: opis, glavne značilnosti, namen
- Značilnosti masaže za ploska stopala
- Rentgenski pregledovalnik 1 okvir oborožen
- Irigatorji: ocena, ocene
- Instrumenti za merjenje mase Kakšna naprava je potrebna za merjenje mase
- Predstavitev zdravilnih rastlin za lekcijo biologije na temo Predstavitev zdravilnih rastlin
- Vsebina in pomen predstavitve proračuna
- Predstavitev na temo "anorganske snovi" Predstavitev anorganskih snovi
Priljubljeni članki
- Članki v angleškem jeziku 5000 znakov
- Velika Britanija ob koncu viktorijanske dobe. Kaj pomeni, da delavnice sveta postajajo preteklost
- Zgodba o študiju na Moskovskem konservatoriju
- Predstavitev na temo Einstein
- Virus Epstein-Barr: simptomi in zdravljenje, manifestacije pri otrocih Zdravstvene nastavitve Virus Epstein-Barr
- Kaj ne storiti s tonusom maternice
- Slovanske molitve-hvalnice Staroslovanske hvalnice bogovom
- Enako kot otrobi. Indikacije za uporabo
- Vitamin D in povečanje testosterona pri moških: pregled zdravil
- Porfirija - bolezen, ki te spremeni v vampirja