Vektorning o'qga proyeksiyasi yordamida masofalarni topish uchun asosiy formulalar. Vektor proyeksiyasi. Koordinata o'qlari. Nuqta proyeksiyasi. O'qdagi nuqta koordinatalari O'qdagi proyeksiyaning belgisini qanday aniqlash mumkin

a. A nuqtaning PQ o'qiga proyeksiyasi (4-rasm) berilgan nuqtadan berilgan o'qqa tushirilgan perpendikulyarning a asosidir. Biz proyeksiya qiladigan o'q proyeksiya o'qi deb ataladi.

b. Rasmda ko'rsatilganidek, ikkita o'q va A B vektori berilsin. besh.

Boshlanishi boshi va oxirining proyeksiyasi - bu vektorning oxirining proyeksiyasi bo'lgan vektor A B vektorining PQ o'qiga proyeksiyasi deyiladi, Bu shunday yoziladi;

Ba'zan PQ indikatori pastki qismida yozilmaydi, bu PQ dan tashqari proyeksiyalash mumkin bo'lgan boshqa o'q bo'lmagan hollarda amalga oshiriladi.

Bilan. Teorema I. Bir o'qda yotgan vektorlarning qiymatlari ularning har qanday o'qdagi proyeksiyalarining qiymatlari bilan bog'liq.

6-rasmda ko'rsatilgan o'qlar va vektorlar berilsin.Uchburchaklarning o'xshashligidan vektorlarning uzunliklari ularning proyeksiyalarining uzunliklari kabi bog'langanligini ko'rish mumkin, ya'ni.

Chizmadagi vektorlar turli yo'nalishlarga yo'naltirilganligi sababli, ularning kattaliklari har xil qiymatlarga ega, shuning uchun

Shubhasiz, proyeksiya qiymatlari ham boshqa belgiga ega:

(2) ni (3) ni (1) ga almashtirib, hosil qilamiz

Belgilarni o'zgartirib, biz olamiz

Agar vektorlar teng yo'naltirilgan bo'lsa, unda bitta yo'nalish va ularning proyeksiyalari bo'ladi; (2) va (3) formulalarda minus belgilari bo'lmaydi. (2) va (3) ni tenglikka (1) almashtirsak, biz darhol tenglikni (4) olamiz. Shunday qilib, teorema barcha holatlar uchun isbotlangan.

d. II teorema. Vektorning har qanday o'qqa proyeksiyasining qiymati vektorning proyeksiyalar o'qi bilan vektor o'qi orasidagi burchakning kosinusiga ko'paytirilgan qiymatiga teng.Vektor o'qga rasmda ko'rsatilganidek berilsin. . 7. O'z o'qi bilan teng yo'naltirilgan va kechiktirilgan vektorni, masalan, o'qlarning kesishgan nuqtasidan quramiz. Uning uzunligi birga teng bo'lsin. Keyin uning qiymati

§ 3. Koordinata o'qlaridagi vektor proyeksiyalari

1. Geometrik usulda proyeksiyalarni topish.

Vektor
- vektorning o'qga proyeksiyasi OX
- vektorning o'qga proyeksiyasi OY

Ta'rif 1. Vektor proyeksiyasi har qanday koordinata o'qida vektorning boshidan va oxiridan koordinata o'qiga tushirilgan perpendikulyarlar asoslari orasida joylashgan segment uzunligiga mos keladigan "ortiqcha" yoki "minus" belgisi bilan olingan raqam deyiladi.

Proyeksiya belgisi quyidagicha aniqlanadi. Agar koordinata o'qi bo'ylab harakatlanayotganda vektor boshining proyeksiya nuqtasidan vektor oxirining proyeksiya nuqtasiga o'qning musbat yo'nalishi bo'yicha harakat bo'lsa, u holda vektorning proyeksiyasi musbat hisoblanadi. . Agar - o'qga qarama-qarshi bo'lsa, u holda proyeksiya salbiy hisoblanadi.

Rasmdan ko'rinib turibdiki, agar vektor qandaydir tarzda koordinata o'qiga qarama-qarshi yo'naltirilgan bo'lsa, uning bu o'qdagi proyeksiyasi manfiy bo'ladi. Agar vektor qandaydir tarzda koordinata o'qining musbat yo'nalishiga yo'naltirilgan bo'lsa, uning bu o'qdagi proyeksiyasi ijobiy bo'ladi.

Agar vektor koordinata o'qiga perpendikulyar bo'lsa, uning bu o'qdagi proyeksiyasi nolga teng.
Agar vektor o'q bilan birgalikda yo'naltirilgan bo'lsa, uning bu o'qga proyeksiyasi vektor moduliga teng bo'ladi.
Agar vektor koordinata o'qiga qarama-qarshi bo'lsa, u holda uning bu o'qdagi proyeksiyasi mutlaq qiymatda minus belgisi bilan olingan vektor moduliga teng bo'ladi.

2. Proyeksiyaning eng umumiy ta'rifi.

To'g'ri uchburchakdan ABD: .

Ta'rif 2. Vektor proyeksiyasi har qanday koordinata o'qi bo'yicha vektor moduli va koordinata o'qining musbat yo'nalishi bo'lgan vektor tomonidan hosil qilingan burchak kosinusining ko'paytmasiga teng son deyiladi.

Proyeksiyaning belgisi o'qning musbat yo'nalishi bo'lgan vektor tomonidan hosil qilingan burchakning kosinus belgisi bilan aniqlanadi.
Agar burchak o'tkir bo'lsa, u holda kosinus ijobiy belgiga ega va proyeksiyalar ijobiydir. O'tkir burchaklar uchun kosinus manfiy belgiga ega, shuning uchun bunday hollarda o'qga proyeksiyalar manfiy bo'ladi.
- shuning uchun o'qga perpendikulyar vektorlar uchun proyeksiya nolga teng.

O'q - bu yo'nalish. Demak, o'qga yoki yo'naltirilgan chiziqqa proyeksiya bir xil deb hisoblanadi. Proyeksiya algebraik yoki geometrik bo'lishi mumkin. Geometrik so'zlarda vektorning o'qga proyeksiyasi vektor, algebraik so'zlar bilan aytganda, son deb tushuniladi. Ya'ni vektorning o'qga proyeksiyasi va vektorning o'qga sonli proyeksiyasi tushunchalari qo'llaniladi.

Agar bizda L o'qi va nolga teng bo'lmagan vektor A B → bo'lsa, u holda A 1 B 1 ⇀ vektorini qurishimiz mumkin, bu esa uning A 1 va B 1 nuqtalarining proyeksiyalarini bildiradi.

A 1 B → 1 A B → vektorining L ga proyeksiyasi bo'ladi.

Ta'rif 1

Vektorning o'qga proyeksiyasi vektor deyiladi, uning boshi va oxiri berilgan vektorning boshi va oxirining proyeksiyalaridir. n p L A B → → A B → ning L ga proyeksiyasini belgilash odatiy holdir. L ga proyeksiyani qurish uchun L ga perpendikulyarlarni tushiring.

1-misol

Vektorning o'qga proyeksiyasiga misol.

O x y koordinata tekisligida M 1 (x 1, y 1) nuqta ko'rsatilgan. M 1 nuqtaning radius vektori tasviri uchun O x va O y ustida proyeksiyalar qurish kerak. (x 1 , 0) va (0 , y 1) vektorlarining koordinatalarini olamiz.

Agar biz a → ning nolga teng bo'lmagan b → yoki a ning b → yo'nalishi bo'yicha proyeksiyasi haqida gapiradigan bo'lsak, u holda biz a → ning b → yo'nalishi mos keladigan o'qga proyeksiyasini tushunamiz. b → bilan aniqlangan chiziqqa a → proyeksiyasi n p b → a → → bilan belgilanadi. Ma'lumki, burchak a → va b → orasida bo'lganda, biz n p b → a → → va b → ko'p yo'nalishli deb hisoblashimiz mumkin. Burchak o'tmas bo'lgan holatda, n p b → a → → va b → qarama-qarshi yo'naltiriladi. Perpendikulyarlik a → va b → va a → nolga teng bo‘lgan vaziyatda a → ning b → yo‘nalishi bo‘yicha proyeksiyasi nol vektor hisoblanadi.

Vektorni o'qqa proyeksiyalashning sonli xarakteristikasi vektorning berilgan o'qga sonli proyeksiyasidir.

Ta'rif 2

Vektorning o'qga sonli proyeksiyasi berilgan vektor uzunligi va berilgan vektor va o'qning yo'nalishini aniqlaydigan vektor orasidagi burchak kosinusining ko'paytmasiga teng bo'lgan sonni chaqiring.

A B → ning L ga sonli proyeksiyasi n p L A B →, a → esa b → - n p b → a → deb belgilanadi.

Formulaga asoslanib, biz n p b → a → = a → · cos a →, b → ^ ni olamiz, bu erdan a → vektorning uzunligi a → , a ⇀ , b → ^ a → va vektorlari orasidagi burchak. b → .

Raqamli proyeksiyani hisoblash formulasini olamiz: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Bu a → va b → ma'lum uzunliklar va ular orasidagi burchak uchun amal qiladi. Formula ma'lum a → va b → koordinatalari uchun amal qiladi, ammo uning soddalashtirilgan versiyasi mavjud.

2-misol

A → uzunligi a → 8 ga teng va ular orasidagi burchak 60 gradus bo'lgan b → yo'nalishidagi to'g'ri chiziqqa sonli proyeksiyani toping. Shart bo'yicha bizda a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 ° . Shunday qilib, biz raqamli qiymatlarni n p b ⇀ a → = a → · cos a →, b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 formulasiga almashtiramiz.

Javob: 4.

Ma'lum cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → bilan biz a → va b → ning skalyar ko'paytmasi sifatida a →, b → ga egamiz. n p b → a → = a → · cos a ⇀, b → ^ formulasidan kelib chiqib, b → vektor bo‘ylab yo‘naltirilgan a → sonli proyeksiyani topib, n p b → a → = a →, b → b → ni olishimiz mumkin. Formula bandning boshida berilgan ta'rifga teng.

Ta'rif 3

a → vektorining b → yo'nalishi bo'yicha mos keladigan o'qdagi sonli proyeksiyasi a → va b → vektorlarining skalar ko'paytmasining b → uzunligiga nisbati. n p b → a → = a →, b → b → formulasi a → va b → koordinatalari ma'lum bo'lgan b → yo'nalishi bo'yicha mos keladigan to'g'ri chiziqqa a → ning sonli proyeksiyasini topish uchun qo'llaniladi.

3-misol

Berilgan b → = (- 3 , 4) . L ga a → = (1 , 7) sonli proyeksiyasini toping.

Qaror

Koordinata tekisligida n p b → a → = a →, b → b → n p b → a → = a →, b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 ko‘rinishga ega, a → = (a x, a y ) va b → = b x, b y. a → vektorining L o'qiga sonli proyeksiyasini topish uchun quyidagilar kerak: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 = 1 (- 3) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .

Javob: 5.

4-misol

a → L ga proyeksiyani toping, b → yo'nalishiga to'g'ri keladi, bu erda a → = - 2 , 3 , 1 va b → = (3 , - 2 , 6) . Uch o'lchamli bo'sh joy beriladi.

Qaror

Berilgan a → = a x, a y, a z va b → = b x, b y, b z skalar ko‘paytmani hisoblang: a ⇀ , b → = a x b x + a y b y + a z b z . b → uzunligini b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 formulasi bilan topamiz. Bundan kelib chiqadiki, a → sonli proyeksiyani aniqlash formulasi: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 bo‘ladi.

Raqamli qiymatlarni almashtiramiz: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Javob: - 6 7 .

a → on L va a → ning L proyeksiyasining uzunligi o'rtasidagi bog'lanishni ko'rib chiqamiz. A → va b → nuqtadan L ga qo'shib L o'qni chizamiz, shundan so'ng a → oxiridan L ga perpendikulyar chiziq chizamiz va L ga proyeksiya qilamiz. Tasvirning 5 ta varianti mavjud:

Birinchi a → = n p b → a → → a → = n p b → a → → ni bildirsa, demak, n p b → a → = a → cos (a , → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Ikkinchi case n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , shuning uchun n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → dan foydalanishni nazarda tutadi.

Uchinchisi hodisa tushuntiradi: n p b → a → → = 0 → n p b ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0, keyin n p b → a → → = 0 va n p b → ni olamiz. a → = 0 = n p b → a → →.

To'rtinchi holat n p b → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^) ni ko‘rsatadi, n p b → a → = a → cos (a → , b) ni ko‘rsatadi. → ^) = - n p b → a → → .

Beshinchisi holat a → = n p b → a → → ni ko‘rsatadi, bu a → = n p b → a → → ni bildiradi, demak, bizda n p b → a → = a → cos a → , b → ^ = a → cos 180 ° = - a → = - n p b → a → .

Ta'rif 4

a → vektorining b → kabi yo'naltirilgan L o'qidagi sonli proyeksiyasi ma'noga ega:

• a → vektorining L ga proyeksiyasining uzunligi a → va b → orasidagi burchak 90 darajadan kam yoki 0 ga teng bo'lishi sharti bilan: n p b → a → = n p b → a → → 0 ≤ (a →) sharti bilan , b →) ^< 90 ° ;
• a → va b → perpendikulyarlik sharti ostida nolga teng: n p b → a → = 0 (a → , b → ^) = 90 ° ;
• proyeksiya uzunligi a → L ga, a → va b → : n p b → a → = - n p b → a → → 90° shartli vektorlarning o‘tmas yoki tekislangan burchagi bo‘lganda -1 marta.< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

5-misol

A → L ga proyeksiyaning uzunligi berilgan, 2 ga teng. Burchak 5 p 6 radian ekanligini hisobga olib a → sonli proyeksiyasini toping.

Qaror

Bu burchakning o'tmas bo'lishi shartidan ko'rinadi: p 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Javob: - 2.

6-misol

A → vektorining uzunligi 6 3 ga teng, b → (- 2, 1, 2) 30 gradus burchakli O x y z tekislik berilgan. L o'qiga a → proyeksiyasining koordinatalarini toping.

Qaror

Birinchidan, a → : n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 ni a → : n p L a → vektorning sonli proyeksiyasini hisoblaymiz.

Shartga ko'ra, burchak o'tkir, keyin a → = sonli proyeksiya vektor a → : n p L a → = n p L a → → = 9 proyeksiyasining uzunligi. Bu holat n p L a → → va b → vektorlarining birgalikda yo‘naltirilganligini ko‘rsatadi, ya’ni tenglik to‘g‘ri bo‘lgan t soni mavjud: n p L a → → = t · b → . Bu yerdan n p L a → → = t b → ekanligini ko‘ramiz, shuning uchun t parametrining qiymatini topish mumkin: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3.

Keyin n p L a → → = 3 b → a → vektorining L o'qiga proyeksiyasining koordinatalari bilan b → = (- 2, 1, 2) bo'ladi, bu erda qiymatlarni 3 ga ko'paytirish kerak. Bizda n p L a → → = (- 6, 3, 6) mavjud. Javob: (- 6 , 3 , 6) .

Vektor kollinearlik sharti haqida avval o'rganilgan ma'lumotlarni takrorlash kerak.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Ikki vektor va fazoda berilgan bo'lsin. Ixtiyoriy nuqtadan chetga surib qo'ying O vektorlar va . burchak vektorlar orasidagi va burchaklarning eng kichiki deyiladi. Belgilangan .

O'qni ko'rib chiqing l va unga birlik vektorni (ya'ni uzunligi birga teng vektor) chizamiz.

Vektor va eksa orasidagi burchak l va vektorlar orasidagi burchakni tushunish.

Shunday qilib, ruxsat bering l ba'zi o'q va vektor hisoblanadi.

tomonidan belgilang A 1 va B1 eksa bo'yicha proyeksiyalar l ball A va B. Keling, shunday da'vo qilaylik A 1 koordinatasiga ega x 1, a B1- muvofiqlashtirish x2 aks ustida l.

Keyin proyeksiya eksa boshiga vektor l farq deyiladi x 1 – x2 vektorning oxiri va boshi proyeksiyalarining koordinatalari o'rtasida bu o'qga.

Vektorning o'qga proyeksiyasi l belgilaymiz.

Vektor va eksa orasidagi burchak bo'lsa, aniq l keyin keskin x2> x 1, va proyeksiya x2 – x 1> 0; agar bu burchak to'siq bo'lsa, u holda x2< x 1 va proyeksiya x2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, keyin x2= x 1 va x2– x 1=0.

Shunday qilib, vektorning o'qga proyeksiyasi l segment uzunligi hisoblanadi A 1 B 1 ma'lum bir belgi bilan olingan. Shuning uchun vektorning o'qga proyeksiyasi son yoki skalerdir.

Bir vektorning boshqasiga proyeksiyasi ham xuddi shunday aniqlanadi. Bunda bu vektor uchlarining proyeksiyalari 2-vektor yotadigan chiziqda topiladi.

Keling, ba'zi asosiylarini ko'rib chiqaylik proyeksiya xususiyatlari.

VEKTORLARNING CHIZIQLI BOG'LI VA CHIZIQLI MUSTAQIL TIZIMLARI.

Keling, bir nechta vektorlarni ko'rib chiqaylik.

Chiziqli birikma bu vektorlarning har qanday vektori shaklning istalgan vektoridir, bu erda ba'zi raqamlar. Raqamlar chiziqli birikmaning koeffitsientlari deb ataladi. Bundan tashqari, bu holatda berilgan vektorlar bo'yicha chiziqli ifodalanganligi aytiladi, ya'ni. ulardan chiziqli amallar orqali olinadi.

Masalan, agar uchta vektor berilgan bo'lsa, vektorlar ularning chiziqli birikmasi sifatida ko'rib chiqilishi mumkin:

Agar vektor ba'zi vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalansa, u holda deyiladi parchalangan bu vektorlar bo'ylab.

Vektorlar deyiladi chiziqli bog'liq, agar bunday raqamlar mavjud bo'lsa, hammasi nolga teng emas, bu . Ko'rinib turibdiki, berilgan vektorlar chiziqli bog'liq bo'ladi, agar bu vektorlardan birortasi boshqalari bilan chiziqli ifodalangan bo'lsa.

Aks holda, ya'ni. nisbat qachon faqat qachon amalga oshiriladi , bu vektorlar deyiladi chiziqli mustaqil.

Teorema 1. Har qanday ikkita vektor, agar ular kollinear bo'lsa, chiziqli bog'liqdir.

Isbot:

Quyidagi teorema ham xuddi shunday isbotlanishi mumkin.

Teorema 2. Uchta vektor, agar ular koplanar bo'lsa, chiziqli bog'liqdir.

Isbot.

ASOS

Asos nolga teng bo'lmagan chiziqli mustaqil vektorlar to'plamidir. Bazis elementlari bilan belgilanadi.

Oldingi bo'limda biz tekislikdagi ikkita kollinear bo'lmagan vektor chiziqli mustaqil ekanligini ko'rdik. Shuning uchun, oldingi banddagi 1-teoremaga ko'ra, tekislikdagi asos bu tekislikdagi har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektordir.

Xuddi shunday, har qanday uchta koplanar bo'lmagan vektor fazoda chiziqli mustaqildir. Shuning uchun uchta tekis bo'lmagan vektor fazoda bazis deb ataladi.

Quyidagi tasdiq haqiqatdir.

Teorema. Kosmosda asos berilsin. Keyin har qanday vektor chiziqli birikma sifatida ifodalanishi mumkin , qayerda x, y, z- ba'zi raqamlar. Bunday parchalanish o'ziga xosdir.

Isbot.

Shunday qilib, bazis har bir vektorni uchta sonli sonlar bilan yagona bog'lash imkonini beradi - bu vektorning asos vektorlari bo'yicha kengayish koeffitsientlari: . Buning aksi ham to'g'ri, raqamlarning har bir uchligi x, y, z asosdan foydalanib, agar siz chiziqli kombinatsiyani qilsangiz, vektorga mos kelishingiz mumkin .

Agar asos va , keyin raqamlar x, y, z chaqirdi koordinatalar berilgan asosdagi vektorlar. Vektor koordinatalari ni bildiradi.

KARTEZIY KOORDINATLAR TIZIMI

Kosmosda nuqta berilgan bo'lsin O va uchta koplanar bo'lmagan vektor.

Dekart koordinatalar tizimi fazoda (tekislikda) nuqta va asosning to'plami deb ataladi, ya'ni. nuqta to'plami va shu nuqtadan chiqadigan uchta tekis bo'lmagan vektor (2 ta kollinear bo'lmagan vektor).

Nuqta O kelib chiqishi deb ataladi; koordinata o'qlari - abscissa, ordinata va qo'llash o'qlari - koordinata o'qlari yo'nalishi bo'yicha koordinata o'qi orqali o'tadigan to'g'ri chiziqlar. Koordinata o'qlaridan o'tuvchi tekisliklar koordinata tekisliklari deyiladi.

Tanlangan koordinatalar tizimidagi ixtiyoriy nuqtani ko'rib chiqing M. Nuqta koordinatasi tushunchasini kiritamiz M. Koordinatani nuqta bilan bog'laydigan vektor M. chaqirdi radius vektori ball M.

Tanlangan asosdagi vektor uchlik sonlar bilan bog'lanishi mumkin - uning koordinatalari: .

Nuqta radiusi vektor koordinatalari M. chaqirdi M nuqtaning koordinatalari. ko'rib chiqilayotgan koordinatalar tizimida. M(x,y,z). Birinchi koordinata abscissa, ikkinchisi ordinata, uchinchisi applikatsiya deb ataladi.

Tekislikdagi Dekart koordinatalari ham xuddi shunday aniqlanadi. Bu erda nuqta faqat ikkita koordinataga ega - abscissa va ordinata.

Ko'rinib turibdiki, berilgan koordinatalar tizimi uchun har bir nuqta ma'lum koordinatalarga ega. Boshqa tomondan, raqamlarning har bir uchligi uchun koordinatalar sifatida ushbu raqamlarga ega bo'lgan bitta nuqta mavjud.

Agar tanlangan koordinatalar sistemasida asos qilib olingan vektorlar uzunlik birligiga ega bo‘lsa va juft perpendikulyar bo‘lsa, u holda koordinatalar sistemasi deyiladi. Dekart to'rtburchak.

Buni ko'rsatish oson.

Vektorning yo'nalish kosinuslari uning yo'nalishini to'liq aniqlaydi, lekin uning uzunligi haqida hech narsa aytmaydi.

Yopiq kuchlar ko'pburchaklarini qurish yo'li bilan yaqinlashuvchi kuchlar muvozanatiga oid masalalarni yechish noqulay konstruktsiyalar bilan bog'liq. Bunday muammolarni hal qilishning universal usuli - berilgan kuchlarning koordinata o'qlari bo'yicha proyeksiyalarini aniqlashga o'tish va bu proyeksiyalar bilan ishlash. Eksa to'g'ri chiziq deb ataladi, unga ma'lum bir yo'nalish beriladi.

Vektorning o'qga proyeksiyasi skalyar qiymat bo'lib, u vektorning boshidan va oxiridan unga tushirilgan perpendikulyarlar tomonidan kesilgan o'q segmenti bilan belgilanadi.

Agar proyeksiyaning boshidan oxirigacha bo'lgan yo'nalish o'qning musbat yo'nalishiga to'g'ri kelsa, vektorning proyeksiyasi ijobiy hisoblanadi. Agar proyeksiyaning boshidan oxirigacha bo'lgan yo'nalish o'qning musbat yo'nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, vektorning proyeksiyasi salbiy hisoblanadi.

Shunday qilib, kuchning koordinata o'qiga proyeksiyasi kuch moduli va kuch vektori bilan o'qning musbat yo'nalishi orasidagi burchak kosinusining mahsulotiga teng.

O'qga kuchlarni proyeksiyalashning bir qator holatlarini ko'rib chiqing:

Kuch vektori F(15-rasm) x o'qining musbat yo'nalishi bilan o'tkir burchak hosil qiladi.

Proyeksiyani topish uchun kuch vektorining boshidan va oxiridan o'qga perpendikulyarlarni tushiramiz oh; olamiz

1. Fx = F cosa

Bu holda vektorning proyeksiyasi ijobiydir

Kuch F(16-rasm) o'qning ijobiy yo'nalishi bilan X to'g'ri burchak a.

Keyin F x= F cos a, lekin a = 180 0 - ph bo'lgani uchun,

F x= F cosa = F cos180 0 - ph =- F cos phi.

Kuch proyeksiyasi F aks boshiga oh bu holda salbiy.

Kuch F(17-rasm) o'qga perpendikulyar oh.

F kuchning o‘qga proyeksiyasi X nol

F x= F cos 90° = 0.

Samolyotda joylashgan kuch qanday qilib(18-rasm), ikkita koordinata o'qiga proyeksiya qilish mumkin oh va OU.

Kuch F tarkibiy qismlarga bo'linishi mumkin: F x va F y . Vektor moduli F x vektor proyeksiyasiga teng F aks boshiga ho'kiz, va vektorning moduli F y vektorning proyeksiyasiga teng F aks boshiga oy.

D dan OAB: F x= F kosa, F x= F sina.

D dan SLA: F x= F cos phi, F x= F sin phi.

Kuch modulini Pifagor teoremasi yordamida topish mumkin:

Vektor yig'indisi yoki natijaning istalgan o'qdagi proyeksiyasi bir xil o'qdagi vektorlar hadlari proyeksiyalarining algebraik yig'indisiga teng.

Birlashtiruvchi kuchlarni ko'rib chiqing F 1 , F 2 , F 3 va F 4, (19-rasm, a). Bu kuchlarning geometrik yig'indisi yoki natijasi F kuch poligonining yopilish tomoni bilan aniqlanadi

Kuchli ko'pburchakning tepalaridan eksa ustiga tushing x perpendikulyarlar.

To'g'ridan-to'g'ri tugallangan qurilishdan olingan kuchlarning prognozlarini hisobga olgan holda, bizda mavjud

F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x

bu yerda n - vektorlar hadlari soni. Ularning proyeksiyalari tegishli belgi bilan yuqoridagi tenglamaga kiradi.

Tekislikda kuchlarning geometrik yig'indisi ikkita koordinata o'qiga, fazoda esa mos ravishda uchta o'qga proyeksiyalanishi mumkin.