Konusning lateral sirt maydoni formula bo'yicha topiladi. Konusning umumiy sirt maydoni

Biz konusning nima ekanligini bilamiz, keling, uning sirt maydonini topishga harakat qilaylik. Nima uchun bunday muammoni hal qilish kerak? Misol uchun, siz qancha ekanligini tushunishingiz kerak test ishlaydi vafli konusini tayyorlash uchunmi? Yoki g'ishtli qal'a tomini yasash uchun qancha g'isht kerak?

Konusning lateral yuzasini o'lchashni oddiygina qilib bo'lmaydi. Lekin bir xil shoxni matoga o'ralgan holda tasavvur qilaylik. Matoning maydonini topish uchun siz uni kesib, stolga qo'yishingiz kerak. Natijada tekis raqam, biz uning maydonini topa olamiz.

Guruch. 1. Konusning generatriks bo'ylab kesmasi

Keling, konus bilan ham xuddi shunday qilaylik. Keling, uni "kesamiz" lateral yuzasi har qanday generatrix bo'ylab, masalan (1-rasmga qarang).

Keling, yon sirtni tekislikka "echamiz". Biz sektorni olamiz. Bu sektorning markazi konusning cho'qqisi bo'lib, sektor radiusi konusning generatriksiga teng va uning yoyi uzunligi konus asosining aylanasiga to'g'ri keladi. Bunday sektor konusning lateral yuzasining rivojlanishi deb ataladi (2-rasmga qarang).

Guruch. 2. Yon yuzaning rivojlanishi

Guruch. 3. Burchakni radianlarda o‘lchash

Keling, mavjud ma'lumotlardan foydalanib, sektorning maydonini topishga harakat qilaylik. Birinchidan, yozuvni kiritamiz: sektorning tepasidagi burchak radianlarda bo'lsin (3-rasmga qarang).

Biz ko'pincha muammolarni supurishning yuqori qismidagi burchak bilan shug'ullanishimiz kerak bo'ladi. Hozircha, keling, savolga javob berishga harakat qilaylik: bu burchak 360 darajadan ortiq bo'lishi mumkin emasmi? Ya'ni, supurish o'z-o'zidan bir-biriga yopishib qolmaydimi? Albatta yo'q. Keling, buni matematik tarzda isbotlaylik. Skanerlash o'z-o'zidan "superpose" bo'lsin. Bu shuni anglatadiki, süpürme yoyi uzunligi radius doirasining uzunligidan kattaroqdir. Ammo, yuqorida aytib o'tilganidek, supurish yoyi uzunligi radius doirasining uzunligi . Va konusning asosining radiusi, albatta, generatrixdan kichikdir, masalan, to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i gipotenuzadan kichikdir.

Keyin planimetriya kursidan ikkita formulani eslaylik: yoy uzunligi. Soha hududi: .

Bizning holatda, rol generator tomonidan o'ynaydi , va yoyning uzunligi konusning asosining atrofiga teng, ya'ni. Bizda ... bor:

Nihoyat biz olamiz: .

Yanal sirt maydoni bilan birga umumiy sirt maydonini ham topish mumkin. Buning uchun taglikning maydoni lateral yuzaning maydoniga qo'shilishi kerak. Lekin asos radiusli aylana bo'lib, uning maydoni formula bo'yicha ga teng.

Nihoyat bizda: , silindr asosining radiusi qayerda, generatrix.

Berilgan formulalar yordamida bir-ikkita masalani yechamiz.

Guruch. 4. Kerakli burchak

1-misol. Konusning lateral yuzasining rivojlanishi tepada burchakka ega bo'lgan sektordir. Konusning balandligi 4 sm va asosning radiusi 3 sm bo'lsa, bu burchakni toping (4-rasmga qarang).

Guruch. 5. Konusni hosil qiluvchi to'g'ri burchakli uchburchak

Birinchi harakat bilan, Pifagor teoremasiga ko'ra, biz generatorni topamiz: 5 sm (5-rasmga qarang). Keyingi, biz buni bilamiz .

2-misol. Konusning eksenel kesma maydoni ga, balandligi esa ga teng. Umumiy sirt maydonini toping (6-rasmga qarang).

Orqaga oldinga

Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot uchun mo'ljallangan va taqdimotning barcha xususiyatlarini aks ettirmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.

Dars turi: muammoli rivojlantiruvchi o‘qitish metodi elementlaridan foydalangan holda yangi materialni o‘rganish darsi.

Dars maqsadlari:

• tarbiyaviy:
  • yangi matematik tushuncha bilan tanishish;
  • yangi o'quv markazlarini shakllantirish;
  • amaliy muammolarni hal qilish ko'nikmalarini shakllantirish.
• rivojlanmoqda:
  • talabalarning mustaqil fikrlash qobiliyatini rivojlantirish;
  • maktab o'quvchilarining to'g'ri nutq ko'nikmalarini rivojlantirish.
• tarbiyaviy:
  • jamoada ishlash ko'nikmalarini rivojlantirish.

Dars jihozlari: magnit doska, kompyuter, ekran, multimedia proyektori, konus modeli, dars taqdimoti, tarqatma materiallar.

Dars maqsadlari (talabalar uchun):

• yangi geometrik tushuncha - konus bilan tanishish;
• konusning sirt maydonini hisoblash formulasini oling;
• amaliy masalalarni yechishda olingan bilimlarni qo‘llashni o‘rganish.

Darslar davomida

I bosqich. Tashkiliy.

O`tilgan mavzu bo`yicha uy test ishi yozilgan daftarlarni topshirish.

Talabalarga jumboqni yechish orqali bo'lajak dars mavzusini aniqlash taklif etiladi (1-slayd):

1-rasm.

Dars mavzusi va maqsadlarini talabalarga e'lon qilish (2-slayd).

II bosqich. Yangi materialni tushuntirish.

1) O'qituvchining ma'ruzasi.

Doskada konusning rasmi tushirilgan stol bor. Yangi material“Stereometriya” dasturiy materiali bilan izohlanadi. Ekranda konusning uch o'lchamli tasviri paydo bo'ladi. O'qituvchi konusning ta'rifini beradi va uning elementlari haqida gapiradi. (3-slayd). Aytishlaricha, konus to'g'ri burchakli uchburchakning oyoqqa nisbatan aylanishidan hosil bo'lgan jismdir. (4, 5-slaydlar). Konusning yon yuzasini skanerlash tasviri paydo bo'ladi. (6-slayd)

2) Amaliy ish.

Asosiy bilimlarni yangilash: aylananing maydonini, sektorning maydonini, aylana uzunligini, aylana yoyi uzunligini hisoblash uchun formulalarni takrorlang. (7–10-slaydlar)

Sinf guruhlarga bo'lingan. Har bir guruh qog'ozdan kesilgan konusning lateral yuzasining skanerini oladi (belgilangan raqamga ega bo'lgan doira sektori). Talabalar kerakli o'lchovlarni oladilar va natijada olingan sektorning maydonini hisoblaydilar. Ekranda ishni bajarish bo'yicha ko'rsatmalar, savollar - muammoli bayonotlar paydo bo'ladi (slaydlar 11–14). Har bir guruh vakili hisoblar natijalarini doskaga tayyorlangan jadvalga yozadi. Har bir guruh ishtirokchilari o'zlarida mavjud bo'lgan naqshdan konusning maketini yopishtiradilar. (slayd 15)

3) Muammoning bayoni va yechimi.

Konusning lateral sirt maydonini qanday hisoblash mumkin, agar faqat poydevorning radiusi va konusning avlodining uzunligi ma'lum bo'lsa? (slayd 16)

Har bir guruh kerakli o'lchovlarni oladi va mavjud ma'lumotlardan foydalangan holda kerakli maydonni hisoblash uchun formulani olishga harakat qiladi. Bu ishni bajarishda talabalar konusning asosining aylanasi sektor yoyi uzunligiga teng ekanligini - bu konusning lateral yuzasining rivojlanishiga e'tibor berishlari kerak. (slaydlar 17–21) Kerakli formulalar yordamida kerakli formula olinadi. Talabalarning dalillari quyidagicha ko'rinishi kerak:

Sektorni tozalash radiusi teng l, yoyning daraja o'lchovi - ph. Sektorning maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: bu sektorni chegaralovchi yoy uzunligi R konusning asosining radiusiga teng. Konusning tagida yotgan doira uzunligi C = 2pR. . E'tibor bering, konusning lateral yuzasining maydoni uning lateral yuzasining rivojlanish maydoniga teng bo'lganligi sababli, u holda

Shunday qilib, konusning lateral yuzasining maydoni formula bo'yicha hisoblanadi S BOD = pRl.

Mustaqil ravishda olingan formuladan foydalanib, konus modelining lateral yuzasi maydonini hisoblab chiqqandan so'ng, har bir guruh vakili hisob-kitoblar natijasini model raqamlariga muvofiq doskadagi jadvalga yozadi. Har bir satrda hisoblash natijalari teng bo'lishi kerak. Shunga asoslanib, o'qituvchi har bir guruh xulosalarining to'g'riligini aniqlaydi. Natijalar jadvali quyidagicha ko'rinishi kerak:

Model raqami	vazifam	II vazifa
	(125/3)p ~ 41,67 p
	(425/9)p ~ 47,22 p
	(539/9)p ~ 59,89 p

Model parametrlari:

1. l=12 sm, ph =120°
2. l=10 sm, ph =150°
3. l=15 sm, ph =120°
4. l=10 sm, ph =170°
5. l=14 sm, ph =110°

Hisob-kitoblarning yaqinlashishi o'lchov xatolari bilan bog'liq.

Natijalarni tekshirgandan so'ng, ekranda konusning lateral va umumiy sirtlari uchun formulalar chiqishi paydo bo'ladi. (slaydlar 22–26), o‘quvchilar daftarlarida qaydlarni yuritadilar.

III bosqich. O'rganilgan materialni birlashtirish.

1) Talabalar taklif etiladi tayyor chizmalar bo'yicha og'zaki yechish uchun masalalar.

Shakllarda ko'rsatilgan konuslarning to'liq yuzalarining maydonlarini toping (slaydlar 27–32).

2) Savol: Bitta to'g'ri burchakli uchburchakni turli oyoqlar atrofida aylantirish natijasida hosil bo'lgan konuslarning yuzalarining maydonlari tengmi? Talabalar gipoteza o'ylab, uni sinab ko'rishadi. Gipoteza masalalar yechish orqali tekshiriladi va talaba tomonidan doskaga yoziladi.

Berilgan: D ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

VAA", AVV" – aylanish jismlari.

Toping: S PPK 1, S PPK 2.

5-rasm. (33-slayd)

Yechim:

1) R=BC = a; S PPK 1 = S BOD 1 + S asosiy 1 = p a c + p a 2 = p a (a + c).

2) R=AC = b; S PPK 2 = S BOD 2 + S asos 2 = p b c+p b 2 = p b (b + c).

Agar S PPK 1 = S PPK 2 bo'lsa, u holda a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Chunki a, b, c - musbat sonlar (uchburchak tomonlarining uzunliklari), tenglik faqat to'g'ri bo'ladi, agar a =b.

Xulosa: Ikki konusning sirt maydonlari faqat uchburchakning tomonlari teng bo'lganda teng bo'ladi. (34-slayd)

3) Darslikdan masala yechish: 565-son.

IV bosqich. Darsni yakunlash.

Uy vazifasi: 55, 56-bandlar; 548-son, 561-son. (35-slayd)

Belgilangan baholarni e'lon qilish.

Dars davomidagi xulosalar, dars davomida olingan asosiy ma’lumotlarni takrorlash.

Adabiyot (36-slayd)

1. Geometriya 10-11 sinflar - Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B.Kadomtsev va boshqalar, M., "Prosveshchenie", 2008.
2. "Matematik jumboqlar va charades" - N.V. Udaltsova, "Birinchi sentyabr" kutubxonasi, "MATEMATIKA" seriyasi, 35-son, M., Chistye Prudy, 2010 yil.

Geometriya matematikaning fazodagi tuzilmalar va ular orasidagi munosabatlarni o'rganadigan bo'limidir. O'z navbatida, u ham bo'limlardan iborat bo'lib, ulardan biri stereometriyadir. U kosmosda joylashgan uch o'lchamli figuralarning xususiyatlarini o'rganishni o'z ichiga oladi: kub, piramida, shar, konus, silindr va boshqalar.

Konus - Evklid fazosida konussimon sirt va uning generatorlarining uchlari yotadigan tekislik bilan chegaralangan jism. Uning shakllanishi to'g'ri burchakli uchburchakning har qanday oyoqlari atrofida aylanishi paytida sodir bo'ladi, shuning uchun u inqilob jismlariga tegishli.

Konusning tarkibiy qismlari

Farqlash quyidagi turlar konuslar: qiya (yoki moyil) va tekis. Oblique - bu o'qi asosining markazi bilan to'g'ri burchak ostida kesishmaydigan. Shu sababli, bunday konusdagi balandlik o'qga to'g'ri kelmaydi, chunki u 90 ° burchak ostida tananing yuqori qismidan poydevorining tekisligiga tushirilgan segmentdir.

O'qi asosiga perpendikulyar bo'lgan konus to'g'ri deyiladi. Bunday geometrik jismdagi o'q va balandlik bir-biriga to'g'ri keladi, chunki undagi tepa poydevor diametrining markazidan yuqorida joylashgan.

Konus quyidagi elementlardan iborat:

1. Uning asosi bo'lgan doira.
2. Yon yuza.
3. Poydevor tekisligida yotmaydigan nuqta konusning tepasi deb ataladi.
4. Geometrik jism asosi aylanasi nuqtalarini va uning cho'qqisini bog'lovchi segmentlar.

Bu segmentlarning barchasi konusning generatorlari. Ular geometrik jismning asosiga moyil bo'lib, to'g'ri konus bo'lsa, ularning proyeksiyalari tengdir, chunki cho'qqi asos aylanasi nuqtalaridan teng masofada joylashgan. Shunday qilib, muntazam (to'g'ri) konusda generatorlar teng, ya'ni ular bir xil uzunlikka ega va o'q (yoki balandlik) va asos bilan bir xil burchaklarni hosil qiladi, degan xulosaga kelishimiz mumkin.

Qiyma (yoki qiya) aylanish jismida tepa asosiy tekislikning markaziga nisbatan siljiganligi sababli, bunday jismdagi generatrislar turli uzunliklar va proyeksiya, chunki ularning har biri asos aylanasidagi istalgan ikkita nuqtadan har xil masofada joylashgan. Bundan tashqari, ular orasidagi burchaklar va konusning balandligi ham boshqacha bo'ladi.

To'g'ri konusdagi generatrislarning uzunligi

Yuqorida yozilganidek, to'g'ri geometrik aylanish jismidagi balandlik poydevor tekisligiga perpendikulyar. Shunday qilib, asosning generatrix, balandligi va radiusi konusda to'g'ri burchakli uchburchak hosil qiladi.

Ya'ni, bazaning radiusi va balandligini bilib, Pifagor teoremasidan formuladan foydalanib, siz generatrixning uzunligini hisoblashingiz mumkin, bu bazaning radiusi va balandligi kvadratlari yig'indisiga teng bo'ladi:

l 2 = r 2 + h 2 yoki l = √r 2 + h 2

bu erda l - generator;

r - radius;

h - balandlik.

Eğimli konusdagi generator

Eğimli yoki eğimli konusda generatorlar bir xil uzunlikka ega emasligiga asoslanib, ularni qo'shimcha konstruktsiyalar va hisob-kitoblarsiz hisoblash mumkin bo'lmaydi.

Avvalo, siz balandlikni, o'q uzunligini va tayanch radiusini bilishingiz kerak.

r 1 = √k 2 - h 2

bu erda r 1 - o'q va balandlik orasidagi radiusning qismi;

k - o'q uzunligi;

h - balandlik.

Radiusni (r) va uning o'q va balandlik o'rtasida joylashgan qismini (r 1) qo'shish natijasida siz konusning to'liq hosil qilingan generatrisini, uning balandligi va diametrining bir qismini bilib olishingiz mumkin:

bu erda R - balandlik, generator va taglik diametrining bir qismi bilan hosil qilingan uchburchakning oyog'i;

r - asosning radiusi;

r 1 - eksa va balandlik orasidagi radiusning bir qismi.

Pifagor teoremasidan bir xil formuladan foydalanib, konusning generatrix uzunligini topishingiz mumkin:

l = √h 2 + R 2

yoki R ni alohida hisoblamasdan, ikkita formulani bittaga birlashtiring:

l = √h 2 + (r + r 1) 2.

Konusning to'g'ri yoki qiya bo'lishidan qat'i nazar, kirish ma'lumotlari qanday bo'lishidan qat'i nazar, generatrix uzunligini topishning barcha usullari har doim bitta natijaga tushadi - Pifagor teoremasidan foydalanish.

Konus qismi

Eksenel - bu o'z o'qi yoki balandligi bo'ylab o'tadigan tekislik. To'g'ri konusda bunday kesma teng burchakli uchburchak bo'lib, unda uchburchakning balandligi tananing balandligi, uning tomonlari generatorlar, taglik esa taglikning diametridir. Teng tomonli geometrik jismda eksenel qism teng qirrali uchburchakdir, chunki bu konusda taglik va generatorlarning diametri tengdir.

To'g'ri konusdagi eksenel kesimning tekisligi uning simmetriya tekisligidir. Buning sababi shundaki, uning ustki qismi poydevorining markazidan yuqorida joylashgan, ya'ni eksenel kesimning tekisligi konusni ikkita bir xil qismga ajratadi.

Eğimli hajmli jismda balandlik va o'q mos kelmasligi sababli, eksenel kesim tekisligi balandlikni o'z ichiga olmaydi. Agar bunday konusda ko'plab eksenel qismlarni qurish mumkin bo'lsa, buning uchun faqat bitta shart bajarilishi kerak - u faqat o'qdan o'tishi kerak, u holda bu konusning balandligi tegishli bo'lgan tekislikning eksenel kesimini faqat chizish mumkin. biri, chunki shartlar soni ortadi va ma'lumki, ikkita to'g'ri chiziq (birgalikda) faqat bitta tekislikka tegishli bo'lishi mumkin.

Ko'ndalang kesim maydoni

Konusning yuqorida aytib o'tilgan eksenel qismi uchburchakdir. Shunga asoslanib, uning maydoni uchburchakning maydoni formulasi yordamida hisoblanishi mumkin:

S = 1/2 * d * h yoki S = 1/2 * 2r * h

bu erda S - kesmaning maydoni;

d - asosiy diametri;

r - radius;

h - balandlik.

Egri yoki eğimli konusda eksa bo'ylab kesma ham uchburchakdir, shuning uchun undagi tasavvurlar maydoni xuddi shunday tarzda hisoblanadi.

Ovoz balandligi

Konus bo'lgani uchun hajmli raqam uch o'lchovli fazoda, keyin uning hajmini hisoblash mumkin. Konusning hajmi - bu jismni hajm birligida, ya'ni m3 da tavsiflovchi raqam. Hisoblash uning to'g'ri yoki qiya (qiyshiq) ekanligiga bog'liq emas, chunki bu ikki turdagi jismlar uchun formulalar farq qilmaydi.

Yuqorida aytib o'tilganidek, to'g'ri konusning shakllanishi to'g'ri burchakli uchburchakning uning oyoqlaridan biri bo'ylab aylanishi tufayli sodir bo'ladi. Eğimli yoki qiya konus boshqacha shakllanadi, chunki uning balandligi tananing asosi tekisligining markazidan chetga suriladi. Shunga qaramay, strukturadagi bunday farqlar uning hajmini hisoblash usuliga ta'sir qilmaydi.

Hajmni hisoblash

Har qanday konus quyidagicha ko'rinadi:

V = 1/3 * p * h * r 2

bu erda V - konusning hajmi;

h - balandlik;

r - radius;

p - 3,14 ga teng doimiy.

Tananing balandligini hisoblash uchun siz poydevorning radiusini va uning generatrix uzunligini bilishingiz kerak. Radius, balandlik va generator to'g'ri burchakli uchburchakda birlashtirilganligi sababli, balandlikni Pifagor teoremasi formulasi yordamida hisoblash mumkin (a 2 + b 2 = c 2 yoki bizning holatlarimizda h 2 + r 2 = l 2, bu erda l generator). Balandlik gipotenuza va boshqa oyoq kvadratlari orasidagi farqning kvadrat ildizini olish orqali hisoblanadi:

a = √c 2 - b 2

Ya'ni, konusning balandligi generatrix uzunligi kvadrati va poydevor radiusi kvadrati o'rtasidagi farqning kvadrat ildizini olgandan keyin olingan qiymatga teng bo'ladi:

h = √l 2 - r 2

Ushbu usul yordamida balandlikni hisoblash va uning asosining radiusini bilish orqali siz konusning hajmini hisoblashingiz mumkin. O'qituvchi o'ynaydi muhim rol, chunki u hisob-kitoblarda yordamchi element bo'lib xizmat qiladi.

Xuddi shunday, agar tananing balandligi va uning avlodining uzunligi ma'lum bo'lsa, uning asosining radiusini ajratib olish orqali bilish mumkin. Kvadrat ildiz generator kvadrati va balandlik kvadrati o'rtasidagi farqdan:

r = √l 2 - h 2

Keyin, yuqoridagi kabi bir xil formuladan foydalanib, konusning hajmini hisoblang.

Eğimli konusning hajmi

Konusning hajmining formulasi barcha turdagi aylanish jismlari uchun bir xil bo'lganligi sababli, uni hisoblashdagi farq balandlikni qidirishdir.

Eğimli konusning balandligini bilish uchun kirish ma'lumotlariga generatrix uzunligi, asosning radiusi va poydevor markazi va tananing balandligining tekislik bilan kesishishi orasidagi masofani kiritish kerak. uning bazasidan. Buni bilib, siz to'g'ri burchakli uchburchakning asosi bo'ladigan asosiy diametrning qismini osongina hisoblashingiz mumkin (balandligi, generatrix va poydevor tekisligi bilan hosil qilingan). Keyin yana Pifagor teoremasidan foydalanib, konusning balandligini va keyinchalik uning hajmini hisoblang.

Maktabda o'rganiladigan aylanish jismlari silindr, konus va shardir.

Agar matematikadan Yagona davlat imtihonidagi muammoda siz konusning hajmini yoki sharning maydonini hisoblashingiz kerak bo'lsa, o'zingizni omadli deb hisoblang.

Silindr, konus va sharning hajmi va sirt maydoni uchun formulalarni qo'llang. Ularning barchasi bizning jadvalimizda. Yoddan o'rganing. Bu erda stereometriya haqidagi bilim boshlanadi.

Ba'zan yuqoridan ko'rinishni chizish yaxshi. Yoki, bu muammoda bo'lgani kabi, pastdan.

2. Konusning hajmi necha marta to'g'ri tasvirlangan to'rtburchak piramida, bu piramidaga chizilgan konusning hajmidan kattami?

Bu oddiy - ko'rinishni pastdan chizish. Biz katta doiraning radiusi kichikroq doiraning radiusidan bir necha marta katta ekanligini ko'ramiz. Ikkala konusning balandligi bir xil. Shuning uchun kattaroq konusning hajmi ikki barobar katta bo'ladi.

Yana bitta muhim nuqta. Esda tutingki, B qismining muammolarida Yagona davlat imtihonlari variantlari matematikada javob butun yoki chekli son sifatida yoziladi kasr. Shuning uchun, B qismidagi javobingizda hech qanday yoki bo'lmasligi kerak. Raqamning taxminiy qiymatini ham almashtirishga hojat yo'q! Bu, albatta, qisqarishi kerak! Aynan shu maqsadda ba'zi masalalarda vazifa, masalan, quyidagicha tuzilgan: "Tsilindrning lateral yuzasining maydonini ga bo'lingan holda toping."

Inqilob jismlarining hajmi va sirt maydoni formulalari yana qayerda ishlatiladi? Albatta, C2 muammosida (16). Bu haqda sizga ham aytib beramiz.