Най-малката и най-голямата стойност на функция в сегмент. Най-голямата и най-малката стойност на функция върху сегмент

Скъпи приятели! Групата задачи свързани с производната включва задачи - условието дава графика на функция, няколко точки на тази графика и въпросът е:

В кой момент производната е най-голяма (най-малка)?

Да повторим накратко:

Производната в точка е равна на наклонминаваща допирателнатази точка на графиката.

UГлобалният коефициент на тангентата от своя страна е равен на тангенса на ъгъла на наклон на тази допирателна.

*Това се отнася за ъгъла между тангентата и оста x.

1. На интервали с нарастваща функция производната има положителна стойност.

2. На интервали на намаляване на производната има отрицателна стойност.

Помислете за следната скица:

В точки 1,2,4 производната на функцията има отрицателна стойност, тъй като тези точки принадлежат към намаляващи интервали.

В точки 3,5,6 производната на функцията има положителна стойност, тъй като тези точки принадлежат към нарастващи интервали.

Както можете да видите, всичко е ясно със значението на производната, тоест изобщо не е трудно да се определи какъв знак има (положителен или отрицателен) в определена точка на графиката.

Освен това, ако мислено конструираме допирателни в тези точки, ще видим, че правите линии, минаващи през точки 3, 5 и 6, образуват ъгли с оста oX в диапазона от 0 до 90 o, а правите линии, минаващи през точки 1, 2 и 4, образуват с оста oX ъглите варират от 90 o до 180 o.

*Връзката е ясна: допирателните, минаващи през точки, принадлежащи на интервали от нарастващи функции, се образуват с оста oX остри ъгли, допирателните, минаващи през точки, принадлежащи на интервали от намаляващи функции, образуват тъпи ъгли с оста oX.

Сега важният въпрос!

Как се променя стойността на производната? В крайна сметка допирателната в различни точкиГрафиката на непрекъсната функция прави различни ъгли в зависимост от това през коя точка от графиката минава.

* Или, говорейки на прост език, допирателната е разположена сякаш "хоризонтално" или "вертикално". Виж:

Правите линии образуват ъгли с оста oX в диапазона от 0 до 90 o

Правите линии образуват ъгли с оста oX в диапазона от 90° до 180°

Ето защо, ако имате въпроси:

- в коя от дадените точки на графиката производната има най-малка стойност?

- в коя от дадените точки на графиката производната има най-голяма стойност?

тогава, за да отговорите, е необходимо да разберете как се променя стойността на тангенса на допирателния ъгъл в диапазона от 0 до 180 o.

*Както вече споменахме, стойността на производната на функцията в точка е равна на тангенса на ъгъла на наклон на допирателната към оста oX.

Стойността на допирателната се променя, както следва:

Когато ъгълът на наклона на правата линия се промени от 0° до 90°, стойността на тангенса и следователно производната се променя съответно от 0 до +∞;

Когато ъгълът на наклона на правата линия се промени от 90° на 180°, стойността на тангенса и следователно производната се променя съответно –∞ на 0.

Това може ясно да се види от графиката на функцията тангенс:

С прости думи:

При ъгъл на наклон на тангенс от 0° до 90°

Колкото по-близо е до 0 o, толкова по-голяма стойност на производната ще бъде близо до нула (от положителната страна).

Колкото по-близо е ъгълът до 90°, толкова повече стойността на производната ще се увеличи към +∞.

При ъгъл на наклон на тангенс от 90° до 180°

Колкото по-близо е до 90 o, толкова повече стойността на производната ще намалява към –∞.

Колкото по-близо е ъгълът до 180°, толкова по-голяма стойност на производната ще бъде близо до нула (от отрицателната страна).

317543. Фигурата показва графиката на функцията y = f(х) и точките са маркирани–2, –1, 1, 2. В коя от тези точки производната е най-голяма? Моля, посочете тази точка в отговора си.

Имаме четири точки: две от тях принадлежат на интервалите, на които функцията намалява (това са точки –1 и 1) и две на интервалите, на които функцията нараства (това са точки –2 и 2).

Веднага можем да заключим, че в точки –1 и 1 производната е с отрицателна стойност, а в точки –2 и 2 е с положителна стойност. Следователно в в такъв случайнеобходимо е да се анализират точки –2 и 2 и да се определи коя от тях ще има най-голяма стойност. Да построим допирателни, минаващи през посочените точки:

Стойността на тангенса на ъгъла между права линия a и абсцисната ос ще бъде по-голяма стойносттангенс на ъгъла между права b и тази ос. Това означава, че стойността на производната в точка –2 ще бъде най-голяма.

Ние ще отговорим следващ въпрос: В коя точка –2, –1, 1 или 2 производната е най-отрицателна? Моля, посочете тази точка в отговора си.

Производната ще има отрицателна стойност в точки, принадлежащи на намаляващите интервали, така че нека разгледаме точки –2 и 1. Нека конструираме допирателни, минаващи през тях:

Виждаме, че тъпият ъгъл между правата b и оста oX е „по-близо“ до 180О , следователно неговият тангенс ще бъде по-голям от тангенса на ъгъла, образуван от правата a и оста oX.

Така в точката x = 1 стойността на производната ще бъде най-голяма отрицателна.

317544. Фигурата показва графиката на функцията y = f(х) и точките са маркирани–2, –1, 1, 4. В коя от тези точки производната е най-малка? Моля, посочете тази точка в отговора си.

Имаме четири точки: две от тях принадлежат на интервалите, на които функцията намалява (това са точки –1 и 4), а две на интервалите, на които функцията нараства (това са точки –2 и 1).

Веднага можем да заключим, че в точки –1 и 4 производната е с отрицателна стойност, а в точки –2 и 1 е с положителна стойност. Следователно в този случай е необходимо да се анализират точки –1 и 4 и да се определи коя от тях ще има най-малка стойност. Да построим допирателни, минаващи през посочените точки:

Стойността на тангенса на ъгъла между права линия a и абсцисната ос ще бъде по-голяма от стойността на тангенса на ъгъла между права линия b и тази ос. Това означава, че стойността на производната в точката x = 4 ще бъде най-малка.

Отговор: 4

Надявам се, че не съм ви "претоварил" с много писане. Всъщност всичко е много просто, просто трябва да разберете свойствата на производната, неговата геометричен смисъли как се променя тангенса на ъгъла от 0 до 180o.

1. Първо определете знаците на производната в тези точки (+ или -) и изберете необходимите точки (в зависимост от зададения въпрос).

2. Построете допирателни в тези точки.

3. Използвайки графиката на тангесоида, маркирайте схематично ъглите и дисплеяАлександър.

P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.

От практическа гледна точка най-голям интерес представлява използването на производната за намиране на най-голямата и най-малката стойност на функция. С какво е свързано това? Максимизиране на печалбите, минимизиране на разходите, определяне на оптималното натоварване на оборудването... С други думи, в много области на живота ни се налага да решаваме проблеми с оптимизирането на някои параметри. И това са задачите за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция.

Трябва да се отбележи, че най-големите и най-малките стойности на функция обикновено се търсят на определен интервал X, който е или цялата област на функцията, или част от областта на дефиниция. Самият интервал X може да бъде сегмент, отворен интервал , безкраен интервал.

В тази статия ще говорим за намирането на най-големите и най-малките стойности изрично дадена функцияедна променлива y=f(x) .

Навигация в страницата.

Най-голяма и най-малка стойност на функция - определения, илюстрации.

Нека разгледаме накратко основните определения.

Най-голямата стойност на функцията че за всеки неравенството е вярно.

Най-малката стойност на функцията y=f(x) на интервала X се нарича такава стойност че за всеки неравенството е вярно.

Тези дефиниции са интуитивни: най-голямата (най-малката) стойност на функция е най-голямата (най-малката) приета стойност на разглеждания интервал на абсцисата.

Стационарни точки– това са стойностите на аргумента, при които производната на функцията става нула.

Защо се нуждаем от стационарни точки, когато намираме най-големите и най-малките стойности? Отговор на този въпрос дава теоремата на Ферма. От тази теорема следва, че ако диференцируема функция има екстремум (локален минимум или локален максимум) в дадена точка, тогава тази точка е неподвижна. По този начин функцията често приема своята най-голяма (най-малка) стойност на интервала X в една от стационарните точки от този интервал.

Също така, една функция често може да приеме своите най-големи и най-малки стойности в точки, в които първата производна на тази функция не съществува и самата функция е дефинирана.

Нека веднага да отговорим на един от най-често срещаните въпроси по тази тема: „Винаги ли е възможно да се определи най-голямата (най-малката) стойност на функция“? Не винаги. Понякога границите на интервала X съвпадат с границите на областта на дефиниране на функцията или интервалът X е безкраен. А някои функции в безкрайност и на границите на областта на дефиницията могат да приемат както безкрайно големи, така и безкрайно малки стойности. В тези случаи не може да се каже нищо за най-голямата и най-малката стойност на функцията.

За яснота ще дадем графична илюстрация. Вижте снимките и много неща ще ви станат по-ясни.

На сегмента

На първата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в стационарни точки, разположени вътре в сегмента [-6;6].

Разгледайте случая, изобразен на втората фигура. Нека променим сегмента на . В този пример най-малката стойност на функцията се постига в стационарна точка, а най-голямата в точката с абсцисата, съответстваща на дясната граница на интервала.

На фигура 3 граничните точки на сегмента [-3;2] са абсцисите на точките, съответстващи на най-голямата и най-малката стойност на функцията.

На отворен интервал

На четвъртата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в стационарни точки, разположени вътре в отворения интервал (-6;6).

На интервала не могат да се направят изводи за най-голямата стойност.

В безкрайност

В примера, представен на седмата фигура, функцията приема най-голямата стойност (max y) в стационарна точка с абциса x=1, а най-малката стойност (min y) се постига на дясната граница на интервала. При минус безкрайност стойностите на функцията асимптотично се доближават до y=3.

През интервала функцията не достига нито най-малката, нито най-голямата стойност. Когато x=2 се приближава отдясно, стойностите на функцията клонят към минус безкрайност (линията x=2 е вертикална асимптота), а когато абсцисата клони към плюс безкрайност, стойностите на функцията асимптотично се доближават до y=3. Графична илюстрация на този пример е показана на фигура 8.

Алгоритъм за намиране на най-големите и най-малките стойности на непрекъсната функция на сегмент.

Нека напишем алгоритъм, който ни позволява да намерим най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент.

1. Намираме домейна на дефиниция на функцията и проверяваме дали съдържа целия сегмент.
2. Намираме всички точки, в които първата производна не съществува и които се съдържат в отсечката (обикновено такива точки се намират във функции с аргумент под знака на модула и в степенни функции с дробно-рационален показател). Ако няма такива точки, преминете към следващата точка.
3. Определяме всички неподвижни точки, попадащи в сегмента. За да направите това, ние го приравняваме към нула, решаваме полученото уравнение и избираме подходящи корени. Ако няма стационарни точки или нито една от тях не попада в сегмента, преминете към следващата точка.
4. Изчисляваме стойностите на функцията в избрани стационарни точки (ако има такива), в точки, в които първата производна не съществува (ако има такава), както и при x=a и x=b.
5. От получените стойности на функцията избираме най-голямата и най-малката - те ще бъдат съответно необходимите най-големи и най-малки стойности на функцията.

Нека анализираме алгоритъма за решаване на пример за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция в сегмент.

Пример.

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция

• на сегмента;
• на отсечката [-4;-1] .

Решение.

Домейнът на функция е цялото множество реални числа, с изключение на нула, т.е. И двата сегмента попадат в областта на дефиницията.

Намерете производната на функцията по отношение на:

Очевидно производната на функцията съществува във всички точки на отсечките и [-4;-1].

Определяме стационарни точки от уравнението. Единственият истински корен е x=2. Тази неподвижна точка попада в първия сегмент.

За първия случай изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента и в стационарната точка, т.е. за x=1, x=2 и x=4:

Следователно най-голямата стойност на функцията се постига при x=1 и най-малката стойност – при х=2.

За втория случай изчисляваме стойностите на функцията само в краищата на сегмента [-4;-1] (тъй като не съдържа нито една неподвижна точка):

Понякога в задачи B15 има „лоши“ функции, за които е трудно да се намери производна. Преди това се случваше само по време на примерни тестове, но сега тези задачи са толкова чести, че вече не могат да бъдат пренебрегнати при подготовката за истинския Единен държавен изпит.

В този случай работят други техники, една от които е монотонен.

Казва се, че функция f (x) е монотонно нарастваща върху сегмента, ако за произволни точки x 1 и x 2 от този сегмент е валидно следното:

х 1< x 2 ⇒ f (х 1) < f (х 2).

Казва се, че функция f (x) е монотонно намаляваща върху сегмента, ако за произволни точки x 1 и x 2 от този сегмент е валидно следното:

х 1< x 2 ⇒ f (х 1) > f ( х 2).

С други думи, за нарастваща функция, колкото по-голямо е x, толкова по-голямо е f(x). За намаляваща функция е вярно обратното: колкото по-голямо е x, толкова по-малко f(x).

Например, логаритъмът нараства монотонно, ако основата a > 1, и монотонно намалява, ако 0< a < 1. Не забывайте про область приемливи стойностилогаритъм: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Аритметичният квадратен (и не само квадратен) корен нараства монотонно в цялата област на дефиниция:

Експоненциалната функция се държи подобно на логаритъма: тя нараства за a > 1 и намалява за 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, експоненциална функциядефиниран за всички числа, не само за x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

И накрая, градуси с отрицателен показател. Можете да ги напишете като дроб. Те имат точка на прекъсване, където се нарушава монотонността.

Всички тези функции никога не се намират в чиста форма. Събират полиноми, дроби и други глупости, което затруднява изчисляването на производната. Нека да видим какво се случва в този случай.

Координати на върха на парабола

Най-често аргументът на функцията се заменя с квадратен тричленпод формата y = ax 2 + bx + c. Графиката му е стандартна парабола, от която се интересуваме:

1. Клоните на парабола могат да вървят нагоре (за a > 0) или надолу (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Върхът на парабола е екстремалната точка на квадратична функция, в която тази функция взема своя минимум (за a > 0) или максимум (a< 0) значение.

Най-голям интерес представлява връх на парабола, чиято абциса се изчислява по формулата:

И така, намерихме екстремната точка на квадратичната функция. Но ако първоначалната функция е монотонна, за нея точката x 0 също ще бъде точка на екстремум. И така, нека формулираме основното правило:

Екстремни точки квадратен тричлени комплексната функция, в която е включена, съвпадат. Следователно можете да търсите x 0 за квадратен тричлен и да забравите за функцията.

От горните разсъждения остава неясно коя точка получаваме: максимална или минимална. Задачите обаче са специално разработени, така че това да няма значение. Преценете сами:

1. Няма сегмент в изложението на проблема. Следователно не е необходимо да се изчисляват f(a) и f(b). Остава да се разгледат само екстремните точки;
2. Но има само една такава точка - това е върхът на параболата x 0, чиито координати се изчисляват буквално устно и без никакви производни.

По този начин решаването на проблема е значително опростено и се свежда само до две стъпки:

1. Напишете уравнението на параболата y = ax 2 + bx + c и намерете нейния връх по формулата: x 0 = −b /2a ;
2. Намерете стойността на оригиналната функция в тази точка: f (x 0). Ако не допълнителни условияне, това ще бъде отговорът.

На пръв поглед този алгоритъм и неговата обосновка може да изглеждат сложни. Умишлено не публикувам „гола“ диаграма на решение, тъй като необмисленото прилагане на такива правила е изпълнено с грешки.

Нека да разгледаме реалните проблеми от пробен единен държавен изпитв математиката - това е мястото, където тази техника се среща най-често. В същото време ще се уверим, че по този начин много проблеми с B15 стават почти орални.

Под корен стои квадратична функция y = x 2 + 6x + 13. Графиката на тази функция е парабола с клонове нагоре, тъй като коефициентът a = 1 > 0.

Връх на параболата:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Тъй като клоните на параболата са насочени нагоре, в точката x 0 = −3 функцията y = x 2 + 6x + 13 приема минималната си стойност.

Коренът нараства монотонно, което означава, че x 0 е минималната точка на цялата функция. Ние имаме:

Задача. Намерете най-малката стойност на функцията:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Под логаритъма отново има квадратична функция: y = x 2 + 2x + 9. Графиката е парабола с разклонения нагоре, т.к. а = 1 > 0.

Връх на параболата:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

И така, в точката x 0 = −1 квадратната функция приема минималната си стойност. Но функцията y = log 2 x е монотонна, така че:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Показателят съдържа квадратната функция y = 1 − 4x − x 2 . Нека го пренапишем в нормална форма: y = −x 2 − 4x + 1.

Очевидно графиката на тази функция е парабола, разклонена надолу (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Първоначалната функция е експоненциална, тя е монотонна, така че най-голямата стойност ще бъде в намерената точка x 0 = −2:

Внимателният читател вероятно ще забележи, че не сме написали диапазона от допустими стойности на корена и логаритъма. Но това не се изисква: вътре има функции, чиито стойности винаги са положителни.

Следствия от областта на функция

Понякога просто намирането на върха на параболата не е достатъчно за решаване на задача B15. Стойността, която търсите, може да лъже в края на сегмента, а не в крайната точка. Ако проблемът изобщо не показва сегмент, погледнете диапазон от приемливи стойностиоригинална функция. а именно:

Моля, обърнете внимание отново: нулата може да е под корена, но никога в логаритъма или знаменателя на дроб. Нека да видим как работи това с конкретни примери:

Задача. Намерете най-голямата стойност на функцията:

Под корена отново има квадратна функция: y = 3 − 2x − x 2 . Неговата графика е парабола, но се разклонява надолу, защото a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Корен квадратенна отрицателно число не съществува.

Изписваме обхвата на допустимите стойности (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Сега нека намерим върха на параболата:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Точката x 0 = −1 принадлежи на отсечката ODZ - и това е добре. Сега изчисляваме стойността на функцията в точката x 0, както и в краищата на ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

И така, имаме числата 2 и 0. От нас се иска да намерим най-голямото - това е числото 2.

Задача. Намерете най-малката стойност на функцията:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

Вътре в логаритъма има квадратична функция y = 6x − x 2 − 5. Това е парабола с разклонения надолу, но в логаритъм не може да има отрицателни числа, така че изписваме ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Моля, обърнете внимание: неравенството е строго, така че краищата не принадлежат към ODZ. Това различава логаритъма от корена, където краищата на сегмента ни подхождат доста добре.

Търсим върха на параболата:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Върхът на параболата се вписва според ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Но тъй като не се интересуваме от краищата на сегмента, изчисляваме стойността на функцията само в точката x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Как да намерим най-голямата и най-малката стойност на функция на сегмент?

За това следваме добре познат алгоритъм:

1 . Намираме функциите ODZ.

2 . Намиране на производната на функцията

3 . Приравняване на производната на нула

4 . Намираме интервалите, през които производната запазва знака си, и от тях определяме интервалите на нарастване и намаляване на функцията:

Ако на интервал I производната на функцията е 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} се увеличава през този интервал.

Ако на интервала I производната на функцията , тогава функцията намалява през този интервал.

5 . Намираме максимални и минимални точки на функцията.

IN в максималната точка на функцията производната променя знака от “+” на “-”.

IN минимална точка на функциятапроизводната променя знака от "-" на "+".

6 . Намираме стойността на функцията в краищата на сегмента,

• след това сравняваме стойността на функцията в краищата на сегмента и в максималните точки, и изберете най-голямата от тях, ако трябва да намерите най-голямата стойност на функцията
• или сравнете стойността на функцията в краищата на сегмента и в минималните точки, и изберете най-малката от тях, ако трябва да намерите най-малката стойност на функцията

Въпреки това, в зависимост от това как функцията се държи на сегмента, този алгоритъм може да бъде значително намален.

Помислете за функцията . Графиката на тази функция изглежда така:

Нека да разгледаме няколко примера за решаване на проблеми от Open Task Bank за

1. Задача B15 (№ 26695)

На сегмента.

1. Функцията е дефинирана за всички реални стойности на x

Очевидно това уравнение няма решения и производната е положителна за всички стойности на x. Следователно функцията нараства и приема най-голяма стойност в десния край на интервала, тоест при x=0.

Отговор: 5.

2 . Задача B15 (№ 26702)

Намерете най-голямата стойност на функцията на сегмента.

1. ODZ функции title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Производната е равна на нула при , но в тези точки не променя знака:

Следователно title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} нараства и приема най-голямата стойност в десния край на интервала, при .

За да стане ясно защо производната не променя знака, трансформираме израза за производната, както следва:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Отговор: 5.

3. Задача B15 (№ 26708)

Намерете най-малката стойност на функцията върху отсечката.

1. ODZ функции: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Нека поставим корените на това уравнение върху тригонометричната окръжност.

Интервалът съдържа две числа: и

Да сложим знаци. За да направим това, определяме знака на производната в точката x=0: . При преминаване през точки и производната променя знака.

Нека изобразим промяната на знаците на производната на функция върху координатната линия:

Очевидно точката е минимална точка (в която производната променя знака от "-" на "+") и за да намерите най-малката стойност на функцията в сегмента, трябва да сравните стойностите на функцията при минималната точка и в левия край на сегмента, .

Нека функцията y =f(Х)е непрекъснат на интервала [ а, б]. Както е известно, такава функция достига своите максимални и минимални стойности на този сегмент. Функцията може да приеме тези стойности или във вътрешната точка на сегмента [ а, б] или на границата на сегмента.

За да намерите най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмента [ а, б] необходимо:

1) намерете критичните точки на функцията в интервала ( а, б);

2) изчисляване на стойностите на функцията в откритите критични точки;

3) изчислете стойностите на функцията в краищата на сегмента, т.е х=Аи x = b;

4) от всички изчислени стойности на функцията изберете най-голямата и най-малката.

Пример.Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция

на сегмента.

Намиране на критични точки:

Тези точки лежат вътре в сегмента; г(1) = ‒ 3; г(2) = ‒ 4; г(0) = ‒ 8; г(3) = 1;

в точката х= 3 и в точката х= 0.

Изследване на функция за изпъкналост и инфлексна точка.

функция г = f (х) Наречен изпъкналмежду (а, b) , ако неговата графика лежи под допирателната, начертана във всяка точка от този интервал, и се нарича изпъкнал надолу (вдлъбнат), ако нейната графика лежи над тангентата.

Точката, през която изпъкналостта се заменя с вдлъбнатост или обратното, се нарича инфлексна точка.

Алгоритъм за изследване на изпъкналост и точка на инфлексия:

1. Намерете критични точки от втори род, т.е. точки, в които втората производна е равна на нула или не съществува.

2. Начертайте критични точки върху числовата права, като я разделите на интервали. Намерете знака на втората производна на всеки интервал; ако , тогава функцията е изпъкнала нагоре, ако, тогава функцията е изпъкнала надолу.

3. Ако при преминаване през критична точка от втори род знакът се промени и в тази точка втората производна е равна на нула, то тази точка е абсцисата на инфлексната точка. Намерете ординатата му.

Асимптоти на графиката на функция. Изследване на функция за асимптоти.

Определение.Асимптотата на графиката на функция се нарича прав, което има свойството, че разстоянието от всяка точка на графиката до тази линия клони към нула, тъй като точката на графиката се движи неограничено от началото.

Има три вида асимптоти: вертикални, хоризонтални и наклонени.

Определение.Правата се нарича вертикална асимптотафункционална графика y = f(x), ако поне една от едностранните граници на функцията в тази точка е равна на безкрайност, т.е.

където е точката на прекъсване на функцията, тоест тя не принадлежи към областта на дефиниция.

Пример.

Д ( г) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

х= 2 – точка на прекъсване.

Определение.Направо y =АНаречен хоризонтална асимптотафункционална графика y = f(x)в , ако

Пример.

х
г

Определение.Направо y =кx +b (к≠ 0) се извиква наклонена асимптотафункционална графика y = f(x)в , къде

Обща схема за изучаване на функции и построяване на графики.

Алгоритъм за изследване на функциятаy = f(x) :

1. Намерете домейна на функцията д (г).

2. Намерете (ако е възможно) точките на пресичане на графиката с координатните оси (ако х= 0 и при г = 0).

3. Разгледайте четността и нечетността на функцията ( г (‒ х) = г (х) ‒ паритет; г(‒ х) = ‒ г (х) ‒ странно).

4. Намерете асимптотите на графиката на функцията.

5. Намерете интервалите на монотонност на функцията.

6. Намерете екстремумите на функцията.

7. Намерете интервалите на изпъкналост (вдлъбнатост) и точки на инфлексия на графиката на функцията.

8. Въз основа на проведеното изследване постройте графика на функцията.

Пример.Разгледайте функцията и постройте нейната графика.

1) д (г) =

х= 4 – точка на прекъсване.

2) Кога х = 0,

(0; ‒ 5) – пресечна точка с ох.

При г = 0,

3) г(‒ х)= функция общ изглед(нито четно, нито нечетно).

4) Проверяваме за асимптоти.

а) вертикална

б) хоризонтална

в) намерете наклонените асимптоти, където

‒уравнение на наклонена асимптота

5) В това уравнение не е необходимо да се намират интервали на монотонност на функцията.

6)

Тези критични точки разделят цялата област на дефиниране на функцията на интервал (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) и (10; +∞). Удобно е да представим получените резултати под формата на следната таблица.