Номер на модула (абсолютна стойност на число), дефиниции, примери, свойства. Абсолютната стойност на число. Ненаучно обяснение защо е необходимо Основни свойства на модула на реално число

Първо определяме знака на израза под знака на модула и след това разширяваме модула:

• ако стойността на израза е по-голяма от нула, тогава просто го преместваме под знака на модула,
• ако изразът е по-малък от нула, тогава го изваждаме под знака на модула, като сменяме знака, както направихме по-рано в примерите.

Е, ще опитаме ли? Нека преценим:

(Забравих, повторете.)

Ако, тогава какъв знак има? Добре, разбира се, !

И следователно разширяваме знака на модула, променяйки знака на израза:

Разбрах? След това опитайте сами:

Отговори:

Какви други свойства има модулът?

Ако трябва да умножим числата вътре в знака за модул, можем лесно да умножим модулите на тези числа !!!

В математически термини, модулът на произведението на числата е равен на произведението на модулите на тези числа.

Например:

Ами ако трябва да разделим две числа (изрази) под знака за модул?

Да, същото като при умножението! Нека се разделим на две отделни числа (изрази) под знака за модул:

при условие, че (тъй като не можете да разделите на нула).

Струва си да запомните още едно свойство на модула:

Модулът на сбора от числа винаги е по-малък или равен на сбора от модулите на тези числа:

Защо така? Всичко е много просто!

Както помним, модулът винаги е положителен. Но знакът за модул може да съдържа произволно число: както положително, така и отрицателно. Да предположим, че числата и са положителни. Тогава левият израз ще бъде равен на десния израз.

Да вземем пример:

Ако под знака на модула едно число е отрицателно, а другото положително, левият израз винаги ще бъде по-малък от десния:

Изглежда, че всичко е ясно с това свойство, нека разгледаме още няколко полезни свойства на модула.

Ами ако имаме този израз:

Какво можем да направим с този израз? Не знаем стойността на x, но вече знаем какво, което означава.

Числото е по-голямо от нула, което означава, че можете просто да напишете:

Така стигнахме до друг имот, който най-общо може да бъде представен по следния начин:

И на какво е равен този израз:

И така, трябва да дефинираме знака под модула. Необходимо ли е да се дефинира знак тук?

Разбира се, че не, ако помните, че всяко число в квадрат винаги е по-голямо от нула! Ако не помниш виж темата. И какво се случва? Ето какво:

Страхотно, а? Доста удобно. И сега конкретен пример за коригиране:

Е, защо съмнения? Действаме смело!

разбра ли го? Тогава продължете и тренирайте с примери!

1. Намерете стойността на израза if.

2. На кои числа е равен модулът?

3. Намерете значението на изразите:

Ако все още не всичко е ясно и има трудности в решенията, тогава нека да го разберем:

Решение 1:

И така, нека заменим стойностите в израза

Решение 2:

Както помним, противоположните числа са равни по абсолютна стойност. Това означава, че стойността на модула е равна на две числа: и.

Решение 3:

а)
б)
v)
ж)

Хванахте ли всичко? Тогава е време да преминете към по-трудното!

Нека се опитаме да опростим израза

Решение:

И така, помним, че стойността на модула не може да бъде по-малка от нула. Ако знакът на модула е положителен, тогава можем просто да изхвърлим знака: модулът на числото ще бъде равен на това число.

Но ако знакът на модула е отрицателен, тогава стойността на модула е равна на противоположното число (тоест числото, взето със знака "-").

За да намерите модула на всеки израз, първо трябва да разберете дали той приема положителна или отрицателна стойност.

Оказва се стойността на първия израз под модула.

Следователно изразът под знака на модула е отрицателен. Вторият израз под знака на модула винаги е положителен, тъй като събираме две положителни числа.

И така, стойността на първия израз под знака на модула е отрицателен, вторият е положителен:

Това означава, че разширявайки знака на модула на първия израз, трябва да вземем този израз със знака "-". Като този:

Във втория случай просто отхвърляме знака за модул:

Нека опростим целия израз:

Модул на число и неговите свойства (строги дефиниции и доказателства)

определение:

Модулът (абсолютната стойност) на числото е самото число, ако и числото, ако:

Например:

пример:

Опростете израза.

Решение:

Основни свойства на модула

За всички:

пример:

Докажете свойство № 5.

доказателство:

Да предположим, че има такива

Нека квадратурираме лявата и дясната страна на неравенството (това може да се направи, тъй като и двете страни на неравенството винаги са неотрицателни):

и това е в противоречие с определението за модул.

Следователно такива не съществуват и следователно за всички неравенство

Примери за независимо решение:

1) Докажете свойство 6.

2) Опростете израза.

Отговори:

1) Нека използваме свойство № 3: и тъй като тогава

За да запазите нещата прости, трябва да разширите модулите. И за да разширите модулите, трябва да разберете дали изразите под модула са положителни или отрицателни?

а. Нека сравним числата и и:

б. Сега нека сравним и:

Добавете стойностите на модулите:

Абсолютната стойност на число. Накратко за основното.

Модулът (абсолютната стойност) на числото е самото число, ако и числото, ако:

Свойства на модула:

1. Модулът на число е неотрицателно число:;
2. Модулите с противоположни числа са равни:;
3. Модулът на произведението на две (или повече) числа е равен на произведението на техните модули:;
4. Модулът на частното от две числа е равен на частното от техните модули:;
5. Модулът на сбора от числа винаги е по-малък или равен на сбора от модулите на тези числа:;
6. Постоянен положителен фактор може да се вземе извън знака на модула: at;

За да използвате визуализацията на презентации, създайте си акаунт в Google (акаунт) и влезте в него: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Цели и задачи на урока Въведете дефиницията на модула на реално число, разгледайте свойствата и обяснете геометричния смисъл на модула; Въведете функцията y = | x | , показва правилата за изграждане на неговата графика; Да преподава по различни начини за решаване на уравнения, съдържащи модул; Развивайте интерес към математиката, самостоятелност, логическо мислене, математическа реч, възпитавайте точност и старание.

Определение. Например: | 8 | = 8; | -8 | = - (- 8) = 8;

Свойства на модула

Геометричното значение на модула за линейни числа е добър пример за набор от реални числа. Нека отбележим две точки a и b на числовата права и се опитаме да намерим разстоянието ρ (a; b) между тези точки. Очевидно това разстояние е равно на b-a, ако b> a Ако размените, тоест a> b, разстоянието ще бъде равно на a - b. Ако a = b тогава разстоянието е нула, тъй като се получава точка. Можем да опишем и трите случая по еднакъв начин:

Пример. Решете уравнението: а) | x-3 | = 6 б) | x + 5 | = 3 в) | x | = 2,8 г) Решение. а) Трябва да намерим точки на координатната права, които са отдалечени от точка 3 на разстояние, равно на 6. Такива точки са 9 и -3. (Те добавят и изваждат шестте от трите.) Отговор: x = 9 и x = -3 b) | x +5 | = 3, пренаписваме уравнението като | х - (- 5) | = 3. Нека намерим разстоянието от точката -5, отдалечена на 3. Оказва се, че това разстояние от две точки: x = 2 и x = -8 Отговор: x = 2 и x = -8. в) | x | = 2,8, може да се представи като | x-0 | = 2,8 или Очевидно, x = -2,8 или x = 2,8 Отговор: x = -2,8 и x = 2,8. г) еквивалент Очевидно,

Функция y = | x |

Решете уравнението | x-1 | = 4 1 начин (аналитична) Задача 2

Метод 2 (графичен)

Модул на реално число. Идентичност Помислете за израза, ако a> 0, тогава знаем какво. Но какво ще стане, ако 0. 2. Нека обобщим: По дефиниция на модула: Това е

Модул на реално число. Пример. Опростете израза, ако: a) a-2≥0 b) a -2

Модул на реално число. Пример. Изчислете решение. Знаем, че: Остава да разширим модулите. Помислете за първия израз:

Помислете за втория израз: Използвайки дефиницията, разкриваме знаците на модулите: В резултат получаваме: Отговор: 1.

Осигуряване на нов материал. No 16.2, No 16.3, No 16.4, No 16.12, No 16.16 (а, г), No 16.19

Задачи за самостоятелно решение. 1. Решете уравнението: а) | х -10 | = 3 б) | х +2 | = 1 в) | x | = 2,8 г) 2. Решете уравнението: а) | 3 x -9 | = 33 б) | 8-4 x | = 16 в) | x +7 | = -3 3. Опростете израза, ако a) a-3≥0 b) a -3

Списък на използваната литература: Zvavich L.I. алгебра. Разширено проучване. 8 клас: проблемна книга / Л.И. Звавич, А.Р. Рязановски. - 4-то изд., Rev. - М .: Мнемозина, 2006 .-- 284 с. Мордкович A.G. алгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от учебни заведения / А.Г. Мордкович. - 12-то изд., Изтрито. - М .: Мнемозина, 2014 .-- 215 с. Мордкович A.G. и др. Алгебра. 8 клас. В 2 часа, част 2. Проблемна тетрадка за студенти от учебни заведения / изд. A.G. Мордкович. - 12-то изд., преп. и добавете. - М .: Мнемозина, 2014 .-- 271 с.

§ 1 Модул на реално число

В този урок ще изследваме концепцията за "модул" за всяко реално число.

Нека запишем свойствата на модула на реално число:

§ 2 Решение на уравнения

Използвайки геометричния смисъл на модула на реално число, решаваме няколко уравнения.

Следователно уравнението има 2 корена: -1 и 3.

По този начин уравнението има 2 корена: -3 и 3.

На практика се използват различни свойства на модулите.

Помислете за това в пример 2:

И така, в този урок изучавахте понятието "модул на реално число", неговите основни свойства и геометрично значение. Решихме и няколко типични задачи за приложението на свойствата и геометричното представяне на модула с реални числа.

Списък на използваната литература:

1. Мордкович A.G. "Алгебра" 8 клас. В 2 часа, част 1. Учебник за учебни заведения / А.Г. Мордкович. - 9-то изд., преп. - М .: Мнемозина, 2007 .-- 215с.: Ил.
2. Мордкович A.G. "Алгебра" 8 клас. В 2 часа, част 2. Проблемна книга за учебни заведения / A.G. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тулчинская .. - 8-мо изд., - М .: Мнемозина, 2006. - 239с.
3. алгебра. 8 клас. Тестови работи за студенти от образователни институции L.A. Александров, изд. A.G. Мордкович 2-ро изд., Изтрито. - М .: Мнемозина, 2009 .-- 40-те години.
4. алгебра. 8 клас. Самостоятелна работа за студенти от образователни институции: към учебника от A.G. Мордкович, Л.А. Александров, изд. A.G. Мордкович, 9 изд., Изтрити. - М .: Мнемозина, 2013 .-- 112с.

В тази статия ще анализираме подробно абсолютната стойност на число... Ще дадем различни дефиниции на модула на число, ще въведем нотация и ще предоставим графични илюстрации. В този случай ще разгледаме различни примери за намиране на модула на число по дефиниция. След това ще изброим и обосновим основните свойства на модула. В края на статията нека поговорим за това как се определя и намира модулът на комплексно число.

Навигация в страницата.

Модул за числа - дефиниция, обозначение и примери

Първо се представяме числови модул нотация... Модулът на числото а ще се запише като, тоест отляво и отдясно на числото ще поставим вертикални тирета, образуващи знака за модул. Ето няколко примера. Например, по модул -7 може да се запише като; модул 4.125 се записва като, а модулът се записва като.

Следващата дефиниция на модул се отнася до и следователно до и до цели числа, и до рационални, и до ирационални числа, като съставни части от множеството от реални числа. Ще говорим за модула с комплексни числа в.

Определение.

Модул на число аДали самото число a, ако a е положително число, или числото −a, противоположно на числото a, ако a е отрицателно число, или 0, ако a = 0.

Озвучената дефиниция на модула на числото често се записва в следната форма , тази нотация означава, че ако a> 0, ако a = 0 и ако a<0 .

Записът може да бъде представен в по-компактен вид ... Тази нотация означава, че ако (a е по-голямо или равно на 0), и ако a<0 .

Има и запис ... Тук случаят, когато a = 0, трябва да бъде изяснен отделно. В този случай имаме, но −0 = 0, тъй като нулата се счита за число, което е противоположно на себе си.

Нека дадем примери за намиране на модула на числоизползвайки формулираната дефиниция. Например, нека намерим модулите на числата 15 и. Нека започнем с намирането. Тъй като числото 15 е положително, неговият модул по дефиниция е равен на самото това число, т.е. И каква е абсолютната стойност на число? Тъй като е отрицателно число, неговият модул е ​​равен на противоположното число, тоест на числото ... По този начин, .

В заключение на този параграф представяме едно заключение, което е много удобно за прилагане на практика при намиране на модула на число. От определението на модула на число следва, че модулът на число е равен на числото под знака на модула, без да се съобразява с неговия знак, а от разгледаните по-горе примери това е много ясно видимо. Посоченото твърдение обяснява защо се извиква и модулът на число абсолютна стойност на числото... Така модулът на число и абсолютната стойност на числото са едно и също.

Модул на числото като разстояние

Геометрично, модулът на число може да се интерпретира като разстояние... Нека дадем определяне на модула на число по отношение на разстоянието.

Определение.

Модул на число аДали разстоянието от началото на координатната права до точката, съответстваща на числото a.

Това определение е в съответствие с определението за модула на числото, дадено в първия параграф. Нека изясним тази точка. Разстоянието от началото до точката, съответстваща на положително число, е равно на това число. Нулата съответства на началото, така че разстоянието от началото до точката с координата 0 е равно на нула (не е необходимо да отлагате единичен сегмент и нито един сегмент, който съставлява част от единичен сегмент, за да стигнете от точка O до точка с координата 0). Разстоянието от началото до точка с отрицателна координата е равно на числото, противоположно на координатата на тази точка, тъй като е равно на разстоянието от началото до точката, чиято координата е противоположното число.

Например, абсолютната стойност на 9 е 9, тъй като разстоянието от началото до точката с координата 9 е девет. Нека дадем друг пример. Точката с координата −3.25 е на разстояние 3.25 от точка O, т.е .

Озвученото определение на модула на число е частен случай на определяне на модула на разликата на две числа.

Определение.

Модул на разликата на две числа a и b е равно на разстоянието между точките на координатната права с координати a и b.

Тоест, ако точките са дадени на координатната права A (a) и B (b), тогава разстоянието от точка A до точка B е равно на модула на разликата между числата a и b. Ако вземем точка O (произход) като точка B, тогава получаваме дефиницията на модула на число, дадено в началото на този параграф.

Определяне на модула на число чрез аритметичен квадратен корен

Понякога се появява дефиниция на модула по отношение на аритметичен квадратен корен.

Например, нека изчислим абсолютните стойности на числата −30 и въз основа на това определение. Ние имаме. По същия начин изчисляваме модула на двете трети: .

Дефиницията на модула на число чрез аритметичния квадратен корен също е в съответствие с определението, дадено в първия параграф на този член. Нека го покажем. Нека a е положително число, докато числото −a е отрицателно. Тогава и , ако a = 0, тогава .

Свойства на модула

Модулът има редица характерни резултати - свойства на модула... Сега ще дадем основните и най-често използваните. Когато обосноваваме тези свойства, ще разчитаме на дефиницията на модула на число по отношение на разстоянието.

Нека започнем с най-очевидното свойство на модула - модулът на число не може да бъде отрицателен... В буквална форма това свойство има запис на формата за произволно число a. Това свойство е много лесно за оправдаване: модулът на числото е разстояние, а разстоянието не може да бъде изразено като отрицателно число.

Нека да преминем към следващото свойство на модула. Абсолютната стойност на едно число е нула, ако и само ако това число е нула... Модулът на нула е нула по дефиниция. Нулата съответства на началото, никоя друга точка от координатната линия не съответства на нула, тъй като всяко реално число е свързано с една точка на координатната линия. По същата причина всяко число, различно от нула, съответства на точка, различна от началото. И разстоянието от началото до всяка точка, различна от точка O, не е нула, тъй като разстоянието между две точки е нула, ако и само ако тези точки съвпадат. Горните разсъждения доказват, че само модулът на нула е равен на нула.

Продължавай. Противоположните числа имат равни модули, тоест за всяко число a. Всъщност две точки на координатната права, чиито координати са противоположни числа, са на едно и също разстояние от началото, което означава, че абсолютните стойности на противоположните числа са равни.

Следващото свойство на модула е както следва: модулът на произведението на две числа е равен на произведението на модулите на тези числа, това е, . По дефиниция модулът на произведението на числа a и b е равен или на a b, ако, или на - (a b), ако. От правилата за умножение на реални числа следва, че произведението на абсолютните стойности на числата a и b е равно или на a b, или на - (a b), ако, което доказва разглежданото свойство.

Модулът на частното от делене на a на b е равен на частното от разделянето на модула на числото a на модула на числото b, това е, . Нека да обосновем това свойство на модула. Тъй като частното е равно на произведението, тогава. По силата на предишното свойство имаме ... Остава само да се използва равенството, което е валидно по силата на дефиницията на модула на число.

Следното свойство на модул се записва като неравенство: , a, b и c са произволни реални числа. Написаното неравенство не е нищо повече от неравенство на триъгълник... За да стане ясно, вземете точките A (a), B (b), C (c) на координатната права и разгледайте изродения триъгълник ABC, чиито върхове лежат на една права линия. По дефиниция модулът на разликата е равен на дължината на отсечката AB, е дължината на отсечката AC и е дължината на отсечката CB. Тъй като дължината на която и да е страна на триъгълник не надвишава сбора от дължините на другите две страни, неравенството следователно неравенството също е вярно.

Току-що доказаното неравенство е много по-често срещано във формата ... Написаното неравенство обикновено се разглежда като отделно свойство на модула с формулировката: „ Абсолютната стойност на сбора от две числа не надвишава сумата от абсолютните стойности на тези числа". Но неравенството следва директно от неравенството, ако поставим −b вместо b и вземем c = 0.

Модул за комплексни числа

Да дадем определяне на модула на комплексно число... Нека ни се даде комплексно число, написана в алгебрична форма, където x и y са някои реални числа, които представляват съответно реалната и имагинерната част на дадено комплексно число z и е въображаема единица.