शंकु सूत्र का आधार क्षेत्र। शंकु के पार्श्व और पूर्ण सतह का क्षेत्रफल

हम जानते हैं कि शंकु क्या होता है, आइए इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करें। आपको ऐसी समस्या को हल करने की आवश्यकता क्यों है? उदाहरण के लिए, आपको यह समझने की जरूरत है कि वफ़ल कोन बनाने में कितना आटा लगेगा? या किसी महल की ईंट की छत को गिराने में कितनी ईंटें लगती हैं?

शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल को मापना आसान नहीं है। लेकिन आइए कल्पना करें कि उसी सींग को कपड़े में लपेटा गया है। कपड़े के एक टुकड़े के क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको इसे टेबल पर काटने और फैलाने की जरूरत है। हमें एक समतल आकृति प्राप्त होगी, हम इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

चावल। 1. जेनरेट्रिक्स के साथ शंकु का खंड

चलो शंकु के साथ भी ऐसा ही करते हैं। आइए किसी भी जेनरेटर के साथ इसकी पार्श्व सतह को "काट" दें, उदाहरण के लिए, (चित्र 1 देखें)।

अब हम एक प्लेन पर साइड की सतह को "खोलेंगे"। हमें सेक्टर मिलता है। इस त्रिज्यखंड का केंद्र शंकु का शीर्ष है, त्रिज्यखंड की त्रिज्या शंकु के जनक के बराबर है, और इसके चाप की लंबाई शंकु के आधार की परिधि के साथ मेल खाती है। ऐसे त्रिज्यखंड को शंकु की पार्श्व सतह का झाडू कहा जाता है (चित्र 2 देखें)।

चावल। 2. पार्श्व सतह का विकास

चावल। 3. रेडियन में कोण माप

आइए उपलब्ध आंकड़ों के अनुसार क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करें। सबसे पहले, आइए संकेतन का परिचय दें: रेडियन में त्रिज्यखंड के शीर्ष पर कोण दें (चित्र 3 देखें)।

कार्यों में हमें अक्सर स्वीप के शीर्ष पर कोण से निपटना होगा। अभी के लिए, आइए इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें: क्या यह कोण 360 डिग्री से अधिक नहीं हो सकता है? यानी क्या यह पता नहीं चलेगा कि स्कैन अपने आप सुपरइम्पोज़ हो जाएगा? बिल्कुल नहीं। आइए इसे गणितीय रूप से सिद्ध करें। स्कैन को "ओवरलैप" करने दें। इसका मतलब है कि स्वीप चाप की लंबाई त्रिज्या की परिधि से अधिक है। लेकिन, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, स्वीप आर्क की लंबाई त्रिज्या के साथ सर्कल की लंबाई है। और शंकु के आधार की त्रिज्या, निश्चित रूप से, जेनरेट्रिक्स से कम है, उदाहरण के लिए, क्योंकि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण से कम है

फिर आइए प्लैनिमेट्री पाठ्यक्रम से दो सूत्र याद करें: चाप की लंबाई। सेक्टर क्षेत्र:।

हमारे मामले में, भूमिका जनरेटर द्वारा निभाई जाती है , और चाप की लंबाई शंकु के आधार की परिधि के बराबर है, अर्थात। हमारे पास है:

अंत में हमें मिलता है:।

पार्श्व सतह क्षेत्र के साथ, कुल सतह क्षेत्र भी पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आधार क्षेत्र को पार्श्व सतह क्षेत्र में जोड़ें। लेकिन आधार त्रिज्या का एक वृत्त है, जिसका क्षेत्रफल बराबर है।

अंत में, हमारे पास है: , जहाँ बेलन के आधार की त्रिज्या है, जनक है।

आइए दिए गए सूत्रों का उपयोग करके कुछ समस्याओं को हल करें।

चावल। 4. वांछित कोण

उदाहरण 1... शंकु की चपटी भुजा शीर्ष कोण वाला त्रिज्यखंड है। यदि शंकु की ऊँचाई 4 सेमी है और आधार की त्रिज्या 3 सेमी है, तो यह कोण ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 4)।

चावल। 5. एक शंकु बनाने वाला समकोण त्रिभुज

पहली क्रिया से, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हम जनरेटर पाते हैं: 5 सेमी (चित्र 5 देखें)। इसके अलावा, हम जानते हैं कि .

उदाहरण 2... शंकु के अक्षीय खंड का क्षेत्रफल बराबर है, ऊंचाई के बराबर है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 6)।

स्कूल में पढ़े गए क्रांति के पिंड एक सिलेंडर, एक शंकु और एक गेंद हैं।

यदि गणित की परीक्षा में किसी समस्या में आपको शंकु के आयतन या गोले के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है - तो अपने आप को भाग्यशाली समझें।

एक बेलन, शंकु और गेंद के लिए आयतन और सतह क्षेत्र सूत्र लागू करें। वे सभी हमारी तालिका में हैं। कंठस्थ करना। यहीं से स्टीरियोमेट्री का ज्ञान शुरू होता है।

कभी-कभी शीर्ष दृश्य बनाना एक अच्छा विचार होता है। या, जैसा कि इस समस्या में है, नीचे से।

2. एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड के बारे में वर्णित शंकु का आयतन इस पिरामिड में खुदे हुए शंकु के आयतन से कितनी गुना अधिक है?

यह आसान है - एक निचला दृश्य बनाएं। हम देखते हैं कि बड़े वृत्त की त्रिज्या छोटे वृत्त की त्रिज्या से कई गुना बड़ी होती है। दोनों शंकुओं की ऊँचाई समान है। नतीजतन, बड़े शंकु का आयतन दोगुना बड़ा होगा।

एक और महत्वपूर्ण बिंदु। याद रखें कि गणित में यूएसई संस्करणों के भाग बी की समस्याओं में, उत्तर एक पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में लिखा जाता है। अतः भाग ब में कोई या आपके उत्तर में नहीं होना चाहिए। आपको संख्या के अनुमानित मान को बदलने की भी आवश्यकता नहीं है! इसे हर हाल में कम करना होगा! इसके लिए, कुछ समस्याओं में कार्य तैयार किया जाता है, उदाहरण के लिए, इस प्रकार है: "सिलेंडर की पार्श्व सतह के क्षेत्र को विभाजित करके खोजें"।

और क्रांति के पिंडों के आयतन और सतह क्षेत्र के सूत्र और कहाँ लागू होते हैं? बेशक, समस्या C2 (16) में। हम आपको इसके बारे में भी बताएंगे।

शंकु का सतह क्षेत्र (या केवल शंकु की सतह) आधार और पार्श्व सतह के क्षेत्रों के योग के बराबर है।

शंकु के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: S = πR मैं, जहां R शंकु के आधार की त्रिज्या है, और मैं- शंकु का जनक।

चूँकि शंकु के आधार का क्षेत्रफल πR 2 (एक वृत्त के क्षेत्रफल के रूप में) के बराबर है, शंकु की पूरी सतह का क्षेत्रफल बराबर होगा: πR 2 + R मैं= R (आर + मैं).

एक शंकु के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र की व्युत्पत्ति को निम्नलिखित तर्क द्वारा समझाया जा सकता है। चित्र को शंकु की पार्श्व सतह के विकास को दिखाने दें। हम चाप AB को यथासंभव समान भागों में विभाजित करते हैं और सभी विभाजन बिंदुओं को चाप के केंद्र से जोड़ते हैं, और पड़ोसी बिंदुओं को जीवाओं द्वारा एक दूसरे से जोड़ते हैं।

हमें समान त्रिभुजों की एक श्रृंखला प्राप्त होती है। प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल है एएच / 2, जहां एत्रिभुज के आधार की लंबाई है, a एच- उसका उच्च।

सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग होगा: एएच / 2 एन = अन्ह / 2, जहां एनत्रिभुजों की संख्या है।

बड़ी संख्या में विभाजनों के साथ, त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग झाडू के क्षेत्रफल के बहुत करीब हो जाता है, अर्थात् शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल। त्रिभुजों के आधारों का योग, अर्थात्। एक, चाप AB की लंबाई के बहुत करीब हो जाता है, यानी शंकु के आधार की परिधि के लिए। प्रत्येक त्रिभुज की ऊँचाई चाप की त्रिज्या के बहुत करीब हो जाती है, अर्थात शंकु के जनक के बहुत करीब हो जाती है।

इन मात्राओं के आकार में नगण्य अंतर की उपेक्षा करते हुए, हम शंकु (एस) की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

एस = सी मैं / 2, जहाँ C शंकु के आधार की परिधि है, मैं- शंकु का जनक।

यह जानते हुए कि = 2πR, जहाँ R शंकु के आधार की परिधि की त्रिज्या है, हम प्राप्त करते हैं: S = R मैं.

ध्यान दें।सूत्र में एस = सी मैं / 2, एक सटीक का संकेत, और अनुमानित नहीं, समानता निर्धारित है, हालांकि उपरोक्त तर्क के आधार पर, हम इस समानता को अनुमानित मान सकते हैं। लेकिन हाई स्कूल उस समानता को साबित करता है

एस = सी मैं / 2 सटीक, अनुमानित नहीं।

प्रमेय। शंकु की पार्श्व सतह, आधार की परिधि के गुणनफल और जेनरेटर के आधे भाग के बराबर होती है।

आइए हम शंकु में कुछ नियमित पिरामिड अंकित करें (चित्र) और अक्षरों द्वारा निरूपित करें आरतथा मैंइस पिरामिड के आधार और एपोथेम की परिधि की लंबाई को व्यक्त करने वाली संख्याएँ।

फिर इसकी पार्श्व सतह को 1/2 . के उत्पाद द्वारा व्यक्त किया जाएगा आर मैं .

अब मान लीजिए कि आधार में अंकित बहुभुज की भुजाओं की संख्या अनिश्चित काल के लिए बढ़ जाती है। फिर परिधि आरआधार की परिधि और एपोथेम की लंबाई सी के रूप में ली गई सीमा तक पहुंच जाएगी मैंएक सीमा के रूप में एक शंकु जनरेटर होगा (क्योंकि यह SAK से अनुसरण करता है कि SA - SK
1 / 2 आर मैं, 1/2 C . की सीमा तक जाएगा L. यह सीमा शंकु के पार्श्व पृष्ठ के मान के रूप में ली जाती है। शंकु की पार्श्व सतह को S अक्षर से निर्दिष्ट करने के बाद, हम लिख सकते हैं:

एस = 1/2 सी एल = सी 1/2 ली

परिणाम।
1) चूंकि सी = 2 π आर, तो शंकु की पार्श्व सतह सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है:

एस = 1/2 2π आर एल = π आर एल

2) हम शंकु की पूरी सतह प्राप्त करते हैं यदि हम पार्श्व सतह को आधार क्षेत्र में जोड़ते हैं; इसलिए, पूर्ण सतह को T से निरूपित करने पर, हमारे पास होगा:

टी = π आरएल + π आर 2 = π आर (एल + आर)

प्रमेय। काटे गए शंकु की पार्श्व सतह आधारों और जनरेटर के हलकों की लंबाई के आधे योग के उत्पाद के बराबर है।

आइए हम काटे गए शंकु (चित्र) में कुछ नियमित रूप से काटे गए पिरामिड को अंकित करें और इसे अक्षरों से निरूपित करें पी, पी 1 और मैंसमान रैखिक इकाइयों में, निचले और ऊपरी आधारों की परिधि की लंबाई और इस पिरामिड के एपोथेम को व्यक्त करने वाली संख्याएँ।

तब उत्कीर्ण पिरामिड की पार्श्व सतह 1/2 के बराबर होती है ( पी + पी 1) मैं

उत्कीर्ण पिरामिड के पार्श्व फलकों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ, परिमाप आरतथा आर 1 आधार सर्कल की लंबाई C और C 1 और एपोथेम के रूप में ली गई सीमाओं की ओर जाता है मैंएक काटे गए शंकु का एक सीमा जनरेटर एल है। नतीजतन, उत्कीर्ण पिरामिड की पार्श्व सतह का मान (С + 1) एल के बराबर सीमा तक जाता है। इस सीमा को काटे गए शंकु की पार्श्व सतह के मान के रूप में लिया जाता है। काटे गए शंकु की पार्श्व सतह को S अक्षर से निरूपित करते हुए, हमारे पास होगा:

एस = 1/2 (सी + सी 1) एल

परिणाम।
1) यदि R और R 1 का अर्थ निचले और ऊपरी आधारों के वृत्तों की त्रिज्या है, तो काटे गए शंकु की पार्श्व सतह होगी:

एस = 1/2 (2 .) π आर + 2 π आर 1) एल = π (आर + आर 1) एल।

2) यदि समलम्ब चतुर्भुज OO 1 A 1 A (चित्र।) में, जिसके घूर्णन से एक छोटा शंकु प्राप्त होता है, हम मध्य रेखा BC खींचते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं:

बीसी = 1/2 (ओए + ओ 1 ए 1) = 1/2 (आर + आर 1),

आर + आर 1 = 2BC।

इसलिये,

एस = 2 π ईसा पूर्व एल,

अर्थात। काटे गए शंकु की पार्श्व सतह जेनरेट्रिक्स द्वारा मध्य खंड की परिधि के उत्पाद के बराबर है।

3) काटे गए शंकु का पूर्ण पृष्ठ T इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

टी = π (आर 2 + आर 1 2 + आरएल + आर 1 एल)

हम जानते हैं कि शंकु क्या होता है, आइए इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करें। आपको ऐसी समस्या को हल करने की आवश्यकता क्यों है? उदाहरण के लिए, आपको यह समझने की जरूरत है कि वफ़ल कोन बनाने में कितना आटा लगेगा? या किसी महल की ईंट की छत को गिराने में कितनी ईंटें लगती हैं?

शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल को मापना आसान नहीं है। लेकिन आइए कल्पना करें कि उसी सींग को कपड़े में लपेटा गया है। कपड़े के एक टुकड़े के क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको इसे टेबल पर काटने और फैलाने की जरूरत है। हमें एक समतल आकृति प्राप्त होगी, हम इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

चावल। 1. जेनरेट्रिक्स के साथ शंकु का खंड

चलो शंकु के साथ भी ऐसा ही करते हैं। आइए किसी भी जेनरेटर के साथ इसकी पार्श्व सतह को "काट" दें, उदाहरण के लिए, (चित्र 1 देखें)।

अब हम एक प्लेन पर साइड की सतह को "खोलेंगे"। हमें सेक्टर मिलता है। इस त्रिज्यखंड का केंद्र शंकु का शीर्ष है, त्रिज्यखंड की त्रिज्या शंकु के जनक के बराबर है, और इसके चाप की लंबाई शंकु के आधार की परिधि के साथ मेल खाती है। ऐसे त्रिज्यखंड को शंकु की पार्श्व सतह का झाडू कहा जाता है (चित्र 2 देखें)।

चावल। 2. पार्श्व सतह का विकास

चावल। 3. रेडियन में कोण माप

आइए उपलब्ध आंकड़ों के अनुसार क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करें। सबसे पहले, आइए संकेतन का परिचय दें: रेडियन में त्रिज्यखंड के शीर्ष पर कोण दें (चित्र 3 देखें)।

कार्यों में हमें अक्सर स्वीप के शीर्ष पर कोण से निपटना होगा। अभी के लिए, आइए इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें: क्या यह कोण 360 डिग्री से अधिक नहीं हो सकता है? यानी क्या यह पता नहीं चलेगा कि स्कैन अपने आप सुपरइम्पोज़ हो जाएगा? बिल्कुल नहीं। आइए इसे गणितीय रूप से सिद्ध करें। स्कैन को "ओवरलैप" करने दें। इसका मतलब है कि स्वीप चाप की लंबाई त्रिज्या की परिधि से अधिक है। लेकिन, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, स्वीप आर्क की लंबाई त्रिज्या के साथ सर्कल की लंबाई है। और शंकु के आधार की त्रिज्या, निश्चित रूप से, जेनरेट्रिक्स से कम है, उदाहरण के लिए, क्योंकि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण से कम है

फिर आइए प्लैनिमेट्री पाठ्यक्रम से दो सूत्र याद करें: चाप की लंबाई। सेक्टर क्षेत्र:।

हमारे मामले में, भूमिका जनरेटर द्वारा निभाई जाती है , और चाप की लंबाई शंकु के आधार की परिधि के बराबर है, अर्थात। हमारे पास है:

अंत में हमें मिलता है:।

पार्श्व सतह क्षेत्र के साथ, कुल सतह क्षेत्र भी पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आधार क्षेत्र को पार्श्व सतह क्षेत्र में जोड़ें। लेकिन आधार त्रिज्या का एक वृत्त है, जिसका क्षेत्रफल बराबर है।

अंत में, हमारे पास है: , जहाँ बेलन के आधार की त्रिज्या है, जनक है।

आइए दिए गए सूत्रों का उपयोग करके कुछ समस्याओं को हल करें।

चावल। 4. वांछित कोण

उदाहरण 1... शंकु की चपटी भुजा शीर्ष कोण वाला त्रिज्यखंड है। यदि शंकु की ऊँचाई 4 सेमी है और आधार की त्रिज्या 3 सेमी है, तो यह कोण ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 4)।

चावल। 5. एक शंकु बनाने वाला समकोण त्रिभुज

पहली क्रिया से, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हम जनरेटर पाते हैं: 5 सेमी (चित्र 5 देखें)। इसके अलावा, हम जानते हैं कि .

उदाहरण 2... शंकु के अक्षीय खंड का क्षेत्रफल बराबर है, ऊंचाई के बराबर है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 6)।