ऑनलाइन डिफरेंशियल कैलकुलस की विधियों द्वारा दिए गए कार्यों का अन्वेषण करें। फ़ंक्शन और प्लॉटिंग के अध्ययन की सामान्य योजना

आइए हम फलन \ (y = \ frac (x ^ 3) (1-x) \) की जांच करें और इसका ग्राफ बनाएं।

1. परिभाषा का क्षेत्र।
एक परिमेय फलन (अंश) की परिभाषा का क्षेत्र होगा: हर शून्य के बराबर नहीं है, अर्थात। \ (1 -x \ ne 0 => x \ ne 1 \)। दायरा $$ D_f = (- \ infty; 1) \ कप (1; + \ infty) $$

2. किसी फ़ंक्शन के ब्रेकप्वाइंट और उनका वर्गीकरण।
फ़ंक्शन में एक ब्रेकपॉइंट x = 1 . है
बिंदु x = 1 की जाँच करें। असंततता बिंदु के दाईं और बाईं ओर फ़ंक्शन की सीमा का पता लगाएं, दाईं ओर $$ \ lim_ (x \ से 1 + 0) (\ frac (x ^ 3) (1-x) )) = - \ infty $$ और बिंदु के बाईं ओर $$ \ lim_ (x \ से 1-0) (\ frac (x ^ 3) (1-x)) = + \ infty $$ यह एक है दूसरी तरह का असंततता बिंदु क्योंकि एकतरफा सीमाएं \ (\ infty \) हैं।

सीधी रेखा \ (x = 1 \) ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है।

3. समारोह की समता।
समता के लिए जाँच करें \ (f (-x) = \ frac ((- x) ^ 3) (1 + x) \) फलन न तो सम है और न ही विषम।

4. फ़ंक्शन के शून्य (ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु)। फ़ंक्शन के साइन अंतराल.
फ़ंक्शन के शून्य (ऑक्स-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु): हम \ (y = 0 \) को समान करते हैं, हमें \ (\ frac (x ^ 3) (1-x) = 0 => x = 0 \) मिलता है। वक्र में निर्देशांक \ ((0; 0) \) के साथ ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन का एक बिंदु है।

समारोह की स्थिरता के अंतराल।
माना अंतराल पर \ ((- \ infty; 1) \ cup (1; + \ infty) \) वक्र में ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन का एक बिंदु है, इसलिए हम तीन अंतरालों पर परिभाषा के डोमेन पर विचार करेंगे।

आइए हम परिभाषा के क्षेत्र के अंतरालों पर फलन के चिह्न का निर्धारण करें:
अंतराल \ ((- \ infty; 0) \) किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें \ (f (-4) = \ frac (x ^ 3) (1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
अंतराल \ ((0; 1) \) किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें \ (f (0.5) = \ frac (x ^ 3) (1-x)> 0 \), इस अंतराल पर फ़ंक्शन सकारात्मक है \ (एफ (एक्स)> 0 \), यानी। ऑक्स अक्ष के ऊपर स्थित है।
अंतराल \ ((1; + \ infty) \) किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें \ (f (4) = \ frac (x ^ 3) (1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. ओए अक्ष के साथ चौराहे के बिंदु: हम \ (x = 0 \) को बराबर करते हैं, हमें \ (f (0) = \ frac (x ^ 3) (1-x) = 0 \) मिलता है। ओए अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक \ ((0; 0) \)

6. एकरसता के अंतराल। फंक्शन एक्स्ट्रेमा।
महत्वपूर्ण (स्थिर) बिंदु खोजें, इसके लिए हम पहला व्युत्पन्न पाते हैं और इसे शून्य $$ y "= (\ frac (x ^ 3) (1-x))" = \ frac (3x ^ 2 (1-) के बराबर करते हैं। x) + x ^ 3) ((1-x) ^ 2) = \ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2) $$ 0 $$ \ frac (x ^ के बराबर) 2 (3 -2x)) ((1-x) ^ 2) = 0 => x_1 = 0 \ quad x_2 = \ frac (3) (2) $$ इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें \ (f ( 0) = 0 \) और \ (f (\ frac (3) (2)) = -6.75 \)। हमें निर्देशांक \ ((0; 0) \) और \ ((1.5; -6.75) \) के साथ दो महत्वपूर्ण बिंदु मिले हैं।

मोनोटोनिक अंतराल।
फ़ंक्शन के दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं (संभावित चरम बिंदु के बिंदु), इसलिए, चार अंतरालों पर एकरसता पर विचार किया जाएगा:
अंतराल \ ((- \ infty; 0) \) अंतराल में किसी भी बिंदु पर पहले अवकलज का मान ज्ञात कीजिए \ (f (-4) = \ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ) ^ 2)>
अंतराल \ ((0; 1) \) अंतराल में किसी भी बिंदु पर पहले व्युत्पन्न का मान पाएं \ (f (0.5) = \ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2 )> 0 \) , इस अंतराल पर फलन बढ़ता है।
अंतराल \ ((1; 1.5) \) अंतराल में किसी भी बिंदु पर पहले व्युत्पन्न का मान पाएं \ (f (1.2) = \ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2 )> 0 \) , इस अंतराल पर फलन बढ़ता है।
अंतराल \ ((1.5; + \ infty) \) अंतराल में किसी भी बिंदु पर पहले व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें \ (f (4) = \ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

फंक्शन एक्स्ट्रेमा।

फलन के अध्ययन में परिभाषा के क्षेत्र के अंतराल पर दो क्रांतिक (स्थिर) बिंदु प्राप्त हुए। निर्धारित करें कि क्या वे एक्स्ट्रेमा हैं। आइए हम महत्वपूर्ण बिंदुओं से गुजरते समय व्युत्पन्न के संकेत में परिवर्तन पर विचार करें:

बिंदु \ (x = 0 \) व्युत्पन्न परिवर्तन चिह्न \ (\ क्वाड + \ क्वाड 0 \ क्वाड + \ क्वाड \) के साथ - बिंदु एक चरम नहीं है।
बिंदु \ (x = 1.5 \) व्युत्पन्न परिवर्तन चिह्न \ (\ क्वाड + \ क्वाड 0 \ क्वाड - \ क्वाड \) से संकेत करते हैं - बिंदु एक अधिकतम बिंदु है।

7. उत्तलता और अवतलता के अंतराल। विवर्तन बिंदु।

उत्तलता और अवतलता के अंतराल को खोजने के लिए, हम फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं और इसे शून्य $$ y "" = (\ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2) के बराबर करते हैं। ) "= \ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) ^ 3) $$ शून्य के बराबर $$ \ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1 -x) ^ 3) = 0 => 2x (x ^ 2-3x + 3) = 0 => x = 0 $$ फ़ंक्शन में निर्देशांक के साथ दूसरे प्रकार का एक महत्वपूर्ण बिंदु होता है \ ((0; 0) \) .
आइए हम दूसरे प्रकार के महत्वपूर्ण बिंदु (संभावित विभक्ति के बिंदु) को ध्यान में रखते हुए, परिभाषा के क्षेत्र के अंतराल पर उत्तलता को परिभाषित करें।

अंतराल \ ((- \ infty; 0) \) किसी भी बिंदु पर दूसरे अवकलज का मान ज्ञात कीजिए \ (f "" (- 4) = \ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1- एक्स) ^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
अंतराल \ ((0; 1) \) किसी भी बिंदु पर दूसरे अवकलज का मान ज्ञात कीजिए \ (f "" (0.5) = \ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) ^ 3)> 0 \), इस अंतराल पर फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है \ (f "" (x)> 0 \) फ़ंक्शन उत्तल नीचे की ओर (उत्तल) है।
अंतराल \ ((1; \ infty) \) किसी भी बिंदु पर दूसरे व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें \ (f "" (4) = \ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) ^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

विवर्तन बिंदु।

आइए हम दूसरी तरह के महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरने पर दूसरे व्युत्पन्न के संकेत में परिवर्तन पर विचार करें:
बिंदु \ (x = 0 \) पर दूसरा व्युत्पन्न परिवर्तन चिह्न \ (\ क्वाड - \ क्वाड 0 \ क्वाड + \ क्वाड \) से होता है, फ़ंक्शन का ग्राफ उत्तलता बदलता है, अर्थात। यह निर्देशांक \ ((0; 0) \) के साथ एक विभक्ति बिंदु है।

8. स्पर्शोन्मुख।

ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोट... फलन के ग्राफ़ में एक लंबवत अनंतस्पर्शी \ (x = 1 \) है (आइटम 2 देखें)।
तिरछा स्पर्शोन्मुख।
फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए \ (y = \ frac (x ^ 3) (1-x) \) \ (x \ से \ infty \) के साथ एक तिरछी अनंतस्पर्शी \ (y = kx + b \) है , यह आवश्यक और पर्याप्त है ताकि दो सीमाएं हों $$ \ lim_ (x \ to + \ infty) = \ frac (f (x)) (x) = k $$ इसे $$ \ lim_ (x \ to \ infty) (\ frac ( x ^ 3) (x (1-x))) = \ infty => k = \ infty $$ और दूसरी सीमा $$ \ lim_ (x \ to + \ infty) (f (x) ) - केएक्स) = बी $ $, क्योंकि \ (k = \ infty \) - कोई तिरछा स्पर्शोन्मुख नहीं है।

समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखा:क्षैतिज अनंतस्पर्शी मौजूद रहने के लिए, सीमा मौजूद होनी चाहिए $$ \ lim_ (x \ to \ infty) f (x) = b $$ इसे $$ \ lim_ (x \ to + \ infty) (\ frac ( x ^) खोजें 3) (1-x)) = - \ infty $$$$ \ lim_ (x \ to - \ infty) (\ frac (x ^ 3) (1-x)) = - \ infty $$
कोई क्षैतिज स्पर्शोन्मुख नहीं है।

9. फंक्शन ग्राफ।

कार्यों के अध्ययन और उनके रेखांकन के निर्माण में संदर्भ बिंदु विशेषता बिंदु हैं - समन्वय अक्षों के साथ असंतुलन, चरम, विभक्ति, चौराहे के बिंदु। डिफरेंशियल कैलकुलस की मदद से, कार्यों में परिवर्तन की विशिष्ट विशेषताओं को स्थापित करना संभव है: वृद्धि और कमी, मैक्सिमा और मिनिमा, ग्राफ की उत्तलता और उत्तलता की दिशा, स्पर्शोन्मुख की उपस्थिति।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ का स्केच स्पर्शोन्मुख और चरम बिंदुओं को खोजने के बाद (और चाहिए) स्केच किया जा सकता है, और अध्ययन के दौरान फ़ंक्शन के अध्ययन के लिए पिवट तालिका को भरना सुविधाजनक है।

आमतौर पर, निम्नलिखित फ़ंक्शन अध्ययन योजना का उपयोग किया जाता है।

1.फलन का प्रांत, निरंतरता के अंतराल और विराम बिंदु ज्ञात कीजिए.

2.समरूपता या विषमता (ग्राफ की अक्षीय या केंद्रीय समरूपता) के लिए फलन की जाँच करें।

3.स्पर्शोन्मुख (ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज, या तिरछा) खोजें।

4.फलन के बढ़ने और घटने के अंतरालों, इसके चरम बिन्दुओं का पता लगाएँ और उनकी जाँच करें।

5.वक्र की उत्तलता और अवतलता के अंतराल, इसके विभक्ति के बिंदु ज्ञात कीजिए।

6.निर्देशांक अक्षों के साथ वक्र के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए, यदि वे मौजूद हैं।

7.अध्ययन की एक सारांश तालिका तैयार करें।

8.उपरोक्त बिंदुओं पर किए गए फलन के अध्ययन को ध्यान में रखते हुए एक आलेख का निर्माण करें।

उदाहरण।समारोह का अन्वेषण करें

और इसका एक ग्राफ बनाएं।

7. आइए फ़ंक्शन के अध्ययन की एक सारांश तालिका बनाएं, जहां हम सभी विशिष्ट बिंदुओं और उनके बीच के अंतराल को दर्ज करेंगे। फ़ंक्शन की समता को देखते हुए, हमें निम्न तालिका मिलती है:

				अनुसूची की विशेषताएं
[-1, 0[			की बढ़ती	उत्तल
				(0; 1) - अधिकतम बिंदु
]0, 1[			कम हो जाती है	उत्तल
				विभक्ति बिंदु, अक्ष के साथ रूप ऑक्सअधिक कोण

किसी फ़ंक्शन की जांच कैसे करें और इसे कैसे प्लॉट करें?

ऐसा लगता है कि मैं विश्व सर्वहारा वर्ग के नेता के भावपूर्ण, भावपूर्ण चेहरे को समझने लगा हूं, जो 55 खंडों में एकत्रित कार्यों के लेखक हैं…। धीमी गति के बारे में प्राथमिक जानकारी के साथ शुरू हुआ कार्य और रेखांकन, और अब एक श्रमसाध्य विषय पर काम एक प्राकृतिक परिणाम के साथ समाप्त होता है - लेख समारोह के संपूर्ण अध्ययन के बारे में... लंबे समय से प्रतीक्षित कार्य निम्नानुसार तैयार किया गया है:

डिफरेंशियल कैलकुलस के तरीकों का उपयोग करके फ़ंक्शन की जांच करें और अध्ययन के परिणामों के आधार पर, इसके ग्राफ का निर्माण करें

या, संक्षेप में: किसी फ़ंक्शन की जांच करें और ग्राफ़ प्लॉट करें।

शोध क्यों?साधारण मामलों में, हमारे लिए प्राथमिक कार्यों से निपटना मुश्किल नहीं होगा, इसका उपयोग करके प्राप्त एक ग्राफ बनाएं प्राथमिक ज्यामितीय परिवर्तनआदि। हालांकि, अधिक जटिल कार्यों के गुण और ग्राफिक्स स्पष्ट नहीं हैं, इसलिए एक संपूर्ण अध्ययन की आवश्यकता है।

समाधान के मुख्य चरणों को संदर्भ सामग्री में संक्षेपित किया गया है। फंक्शन स्टडी डायग्राम, यह अनुभाग के लिए आपका मार्गदर्शक है। डमी को विषय के चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण की आवश्यकता होती है, कुछ पाठकों को यह नहीं पता होता है कि कहां से शुरू करना है और अध्ययन को कैसे व्यवस्थित करना है, और उन्नत छात्रों को केवल कुछ बिंदुओं में रुचि हो सकती है। लेकिन आप जो भी हैं, प्रिय आगंतुक, कम से कम संभव समय में विभिन्न पाठों के संकेत के साथ प्रस्तावित सारांश आपको रुचि की दिशा में उन्मुख और निर्देशित करेगा। रोबोट आंसू बहाते हैं =) मैनुअल को एक पीडीएफ फाइल के रूप में तैयार किया गया था और पेज पर इसकी अच्छी तरह से जगह ले ली गई थी गणितीय सूत्र और टेबल.

मैं एक फ़ंक्शन के अध्ययन को 5-6 बिंदुओं में विभाजित करता था:

6) अतिरिक्त अंक और शोध परिणामों के आधार पर एक ग्राफ।

अंतिम कार्रवाई की कीमत पर, मुझे लगता है कि हर कोई सब कुछ समझता है - यह बहुत आक्रामक होगा यदि कुछ ही सेकंड में इसे पार कर दिया जाता है और कार्य को संशोधन के लिए वापस कर दिया जाता है। सही और सटीक ड्राइंग निर्णय का मुख्य परिणाम है! यह सबसे अधिक संभावना है कि विश्लेषणात्मक निरीक्षणों को "कवर अप" किया जाएगा, जबकि एक गलत और / या मैला शेड्यूल पूरी तरह से किए गए शोध के साथ भी समस्याएं पैदा करेगा।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अन्य स्रोतों में अनुसंधान बिंदुओं की संख्या, उनके कार्यान्वयन का क्रम और डिजाइन की शैली मेरे द्वारा प्रस्तावित योजना से काफी भिन्न हो सकती है, लेकिन ज्यादातर मामलों में यह काफी पर्याप्त है। समस्या के सबसे सरल संस्करण में केवल 2-3 चरण होते हैं और इसे कुछ इस तरह तैयार किया जाता है: "व्युत्पन्न का उपयोग करके फ़ंक्शन की जांच करें और एक ग्राफ बनाएं" या "पहली और दूसरी डेरिवेटिव का उपयोग करके फ़ंक्शन की जांच करें, एक ग्राफ बनाएं"।

स्वाभाविक रूप से, यदि आपके मैनुअल में किसी अन्य एल्गोरिदम का विस्तार से विश्लेषण किया गया है, या आपके शिक्षक को सख्ती से आपको अपने व्याख्यान का पालन करने की आवश्यकता है, तो आपको समाधान में कुछ समायोजन करना होगा। कांटे को चेनसॉ चम्मच से बदलना जितना आसान है।

आइए सम / विषम समता के लिए फ़ंक्शन की जाँच करें:

इसके बाद एक टेम्प्लेट अनसब्सक्राइब होता है:
, इसलिए यह फ़ंक्शन सम या विषम नहीं है।

चूँकि फलन निरंतर चालू है, कोई लम्बवत अनंतस्पर्शी नहीं हैं।

कोई तिरछा स्पर्शोन्मुख भी नहीं हैं।

ध्यान दें : याद दिलाएं कि उच्चतर वृद्धि का क्रमकी तुलना में, इसलिए, अंतिम सीमा बिल्कुल " एक से अधिकअनंतता "।

आइए जानें कि फ़ंक्शन अनंत पर कैसे व्यवहार करता है:

दूसरे शब्दों में, यदि हम दाईं ओर जाते हैं, तो चार्ट असीम रूप से बहुत ऊपर जाता है, यदि बाईं ओर - असीम रूप से बहुत नीचे। हां, सिंगल एंट्री के तहत भी दो सीमाएं हैं। यदि आपको संकेतों को समझने में कोई कठिनाई हो रही है, तो कृपया के बारे में पाठ देखें अतिसूक्ष्म कार्य.

तो समारोह ऊपर से सीमित नहींतथा नीचे से सीमित नहीं... यह देखते हुए कि हमारे पास कोई विराम बिंदु नहीं है, यह स्पष्ट हो जाता है और फंक्शन रेंज:- कोई वास्तविक संख्या भी।

उपयोगी तकनीकी सहायता

कार्य का प्रत्येक चरण फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बारे में नई जानकारी लाता हैइसलिए, समाधान के दौरान एक प्रकार के लेआउट का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। आइए मसौदे पर कार्टेशियन समन्वय प्रणाली बनाएं। क्या पहले से ही निश्चित रूप से जाना जाता है? सबसे पहले, ग्राफ में कोई स्पर्शोन्मुख नहीं है, इसलिए, सीधी रेखाएं खींचने की कोई आवश्यकता नहीं है। दूसरा, हम जानते हैं कि फलन अनंत पर कैसे व्यवहार करता है। विश्लेषण के अनुसार, हम पहला सन्निकटन करेंगे:

ध्यान दें कि के कारण निरंतरतापर कार्य करता है और यह तथ्य कि ग्राफ को कम से कम एक बार अक्ष को पार करना चाहिए। या शायद चौराहे के कई बिंदु हैं?

3) फ़ंक्शन के शून्य और निरंतरता के अंतराल।

सबसे पहले, आइए निर्देशांक अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजें। यह आसान है। फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करना आवश्यक है जब:

समुद्र तल से डेढ़ सौ.

अक्ष (फ़ंक्शन के शून्य) के साथ चौराहे के बिंदुओं को खोजने के लिए, आपको समीकरण को हल करने की आवश्यकता है, और फिर एक अप्रिय आश्चर्य हमें इंतजार कर रहा है:

अंत में, एक मुक्त सदस्य दुबक जाता है, जो कार्य को काफी जटिल करता है।

इस तरह के समीकरण में कम से कम एक वास्तविक मूल होता है, और अक्सर यह मूल अपरिमेय होता है। सबसे खराब परियों की कहानी में, तीन छोटे सूअर हमारी प्रतीक्षा कर रहे हैं। समीकरण तथाकथित का उपयोग करके हल करने योग्य है कार्डानो सूत्रलेकिन कागज बर्बाद करना लगभग पूरे अध्ययन के बराबर है। इस संबंध में, मौखिक रूप से या मसौदे पर कम से कम एक को खोजने का प्रयास करना बुद्धिमानी है पूरा का पूराजड़। आइए देखें कि क्या संख्याएँ नहीं हैं:
- योग्य नहीं;
- यहां है!

यहाँ भाग्यशाली। विफलता के मामले में, आप परीक्षण भी कर सकते हैं, और यदि ये संख्याएं फिट नहीं होती हैं, तो समीकरण के लाभदायक समाधान की संभावना, मुझे डर है, बहुत कम है। फिर शोध बिंदु को पूरी तरह से छोड़ देना बेहतर है - शायद अंतिम चरण में कुछ स्पष्ट हो जाएगा, जब अतिरिक्त बिंदु टूट जाएंगे। और अगर जड़ (जड़ें) स्पष्ट रूप से "खराब" हैं, तो बेहतर है कि साइन कॉन्स्टेंसी के अंतराल के बारे में चुप रहें और ड्राइंग को अधिक सावधानी से बनाएं।

हालांकि, हमारे पास एक सुंदर जड़ है, इसलिए हम बहुपद को विभाजित करते हैं शेष के बिना:

एक बहुपद को एक बहुपद से विभाजित करने के लिए एल्गोरिथ्म पाठ के पहले उदाहरण में विस्तृत है चुनौतीपूर्ण सीमाएं.

नतीजतन, मूल समीकरण के बाईं ओर एक काम में विघटित:

और अब एक स्वस्थ जीवन शैली के बारे में थोड़ा। मैं निश्चित रूप से समझता हूँ कि द्विघातीय समीकरणहर दिन हल करने की जरूरत है, लेकिन आज हम एक अपवाद करेंगे: समीकरण दो वैध जड़ें हैं।

संख्या रेखा पर पाए गए मानों को अलग रखें तथा अंतराल विधिफ़ंक्शन के संकेतों को परिभाषित करें:


इस प्रकार, अंतराल पर ग्राफ स्थित है
भुज अक्ष के नीचे, और अंतराल पर - इस धुरी के ऊपर।

निष्कर्ष हमें अपने लेआउट का विस्तार करने की अनुमति देते हैं, और ग्राफ़ का दूसरा सन्निकटन इस तरह दिखता है:

ध्यान दें कि किसी फ़ंक्शन में अंतराल पर कम से कम एक अधिकतम और अंतराल पर कम से कम एक न्यूनतम होना चाहिए। लेकिन कितनी बार, कहां और कब शेड्यूल "ट्विस्ट" करेगा, हम अभी तक नहीं जानते हैं। वैसे, एक फलन में अपरिमित रूप से अनेक हो सकते हैं एक्सट्रीमा.

4) फ़ंक्शन की वृद्धि, कमी और चरम सीमा।

आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदु:

इस समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं। आइए हम उन्हें संख्या रेखा पर एक तरफ रख दें और अवकलज के चिह्न ज्ञात करें:


इसलिए, फ़ंक्शन बढ़ जाता है और घट जाती है।
एक बिंदु पर, फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुंच जाता है: .
एक बिंदु पर, फ़ंक्शन न्यूनतम तक पहुंच जाता है: .

स्थापित तथ्य हमारे खाके को एक कठोर ढांचे में ले जाते हैं:

कहने की जरूरत नहीं है, डिफरेंशियल कैलकुलस एक शक्तिशाली चीज है। आइए अंत में ग्राफ के आकार को समझते हैं:

5) उत्तलता, अवतलता और विभक्ति बिंदु।

आइए दूसरे व्युत्पन्न के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें:

आइए संकेतों को परिभाषित करें:


फंक्शन ग्राफ उत्तल होता है और अवतल होता है। आइए विभक्ति बिंदु के कोटि की गणना करें:।

लगभग सब कुछ साफ हो गया।

6) यह अतिरिक्त बिंदुओं को खोजने के लिए बनी हुई है जो आपको अधिक सटीक रूप से एक ग्राफ बनाने और आत्म-परीक्षण करने में मदद करेंगे। इस मामले में, उनमें से कुछ हैं, लेकिन हम उपेक्षा नहीं करेंगे:

आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

विभक्ति बिंदु को हरे रंग में चिह्नित किया गया है, अतिरिक्त बिंदुओं को क्रॉस के साथ चिह्नित किया गया है। क्यूबिक फ़ंक्शन ग्राफ अपने विभक्ति बिंदु के बारे में सममित है, जो हमेशा अधिकतम और न्यूनतम के बीच में होता है।

असाइनमेंट के दौरान, मैंने तीन काल्पनिक मध्यवर्ती चित्र बनाए। व्यवहार में, यह एक समन्वय प्रणाली तैयार करने, पाए गए बिंदुओं को चिह्नित करने और अध्ययन के प्रत्येक बिंदु के बाद मानसिक रूप से यह पता लगाने के लिए पर्याप्त है कि फ़ंक्शन ग्राफ़ कैसा दिख सकता है। अच्छे स्तर की तैयारी वाले छात्रों के लिए इस तरह का विश्लेषण पूरी तरह से अपने दिमाग में मसौदे को शामिल किए बिना करना मुश्किल नहीं होगा।

एक स्वतंत्र समाधान के लिए:

उदाहरण 2

फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और ग्राफ़ प्लॉट करें।

यहां सब कुछ तेज और अधिक मजेदार है, पाठ के अंत में खत्म करने का एक अनुमानित उदाहरण।

भिन्नात्मक-तर्कसंगत कार्यों के अध्ययन से बहुत सारे रहस्य उजागर होते हैं:

उदाहरण 3

डिफरेंशियल कैलकुलस की विधियों का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन की जांच करें और अध्ययन के परिणामों के आधार पर इसका ग्राफ बनाएं।

समाधान: परिभाषा के क्षेत्र में एक छेद के अपवाद के साथ, अध्ययन के पहले चरण में कुछ भी उल्लेखनीय नहीं है:

1) बिंदु को छोड़कर पूर्ण संख्या रेखा पर फलन परिभाषित और सतत है, कार्यक्षेत्र: .

, इसलिए यह फ़ंक्शन सम या विषम नहीं है।

जाहिर है, फ़ंक्शन गैर-आवधिक है।

फ़ंक्शन का ग्राफ बाएं और दाएं आधे विमानों में स्थित दो निरंतर शाखाओं का प्रतिनिधित्व करता है - यह शायद पहले बिंदु का सबसे महत्वपूर्ण निष्कर्ष है।

2) स्पर्शोन्मुख, अनंत पर एक फ़ंक्शन का व्यवहार।

ए) एकतरफा सीमाओं का उपयोग करते हुए, हम एक संदिग्ध बिंदु के पास फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करते हैं, जहां लंबवत स्पर्शोन्मुख स्पष्ट रूप से होना चाहिए:

वास्तव में, कार्य सहन करते हैं अंतहीन विरामबिंदु पर
और सीधी रेखा (अक्ष) है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोटग्राफिक्स।

बी) जांचें कि क्या तिरछे स्पर्शोन्मुख हैं:

हाँ, सीधा है तिरछा स्पर्शोन्मुखग्राफिक्स अगर।

सीमाओं का विश्लेषण करने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि यह पहले से ही स्पष्ट है कि फ़ंक्शन अपने तिरछे स्पर्शोन्मुख के साथ आलिंगन में है ऊपर से सीमित नहींतथा नीचे से सीमित नहीं.

शोध का दूसरा बिंदु समारोह के बारे में बहुत सारी महत्वपूर्ण जानकारी लेकर आया। आइए एक मोटा स्केच करें:

निष्कर्ष # 1 स्थिरता के अंतराल की चिंता करता है। "माइनस इनफिनिटी" पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ विशिष्ट रूप से एब्सिस्सा अक्ष के नीचे स्थित होता है, और "प्लस इनफिनिटी" पर - इस अक्ष के ऊपर। इसके अलावा, एकतरफा सीमा ने हमें बताया कि बिंदु के बाएँ और दाएँ का कार्य भी शून्य से अधिक है। ध्यान दें कि बाएं आधे तल में, ग्राफ को कम से कम एक बार भुज को पार करना चाहिए। दाहिने आधे तल में फलन का कोई भी शून्य नहीं हो सकता है।

निष्कर्ष # 2 यह है कि फ़ंक्शन बिंदु के बाईं ओर बढ़ता है ("नीचे से ऊपर की ओर")। इस बिंदु के दाईं ओर, फ़ंक्शन घटता है ("ऊपर से नीचे तक जाता है")। चार्ट की दाहिनी शाखा में कम से कम एक न्यूनतम होना चाहिए। बाईं ओर, चरम सीमाओं की गारंटी नहीं है।

निष्कर्ष 3 बिंदु के आसपास के क्षेत्र में ग्राफ की अंतराल के बारे में विश्वसनीय जानकारी देता है। अभी तक, हम अनंत पर उत्तलता / अवतलता के बारे में कुछ नहीं कह सकते हैं, क्योंकि रेखा को ऊपर और नीचे दोनों तरफ से स्पर्शोन्मुख तक दबाया जा सकता है। सामान्यतया, अभी पता लगाने का एक विश्लेषणात्मक तरीका है, लेकिन बाद के चरण में ग्राफ़ का आकार "नि: शुल्क" स्पष्ट हो जाएगा।

इतने सारे शब्द क्यों? बाद के शोध बिंदुओं को नियंत्रित करने और गलतियों से बचने के लिए! आगे की गणना निकाले गए निष्कर्षों के विपरीत नहीं होनी चाहिए।

3) निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन के बिंदु, फ़ंक्शन के निरंतर चिह्न के अंतराल।

फ़ंक्शन ग्राफ़ अक्ष को पार नहीं करता है।

अंतराल की विधि का उपयोग करते हुए, हम संकेतों को परिभाषित करते हैं:

, अगर ;
, अगर .

पैराग्राफ के परिणाम पूरी तरह से निष्कर्ष संख्या 1 के अनुरूप हैं। प्रत्येक चरण के बाद, मसौदे को देखें, मानसिक रूप से अनुसंधान का संदर्भ लें, और फ़ंक्शन ग्राफ़ को आरेखित करना समाप्त करें।

विचाराधीन उदाहरण में, अंश को हर द्वारा पद दर पद विभाजित किया जाता है, जो विभेदन के लिए बहुत फायदेमंद होता है:

दरअसल, स्पर्शोन्मुख खोजने पर यह पहले ही किया जा चुका है।

- महत्वपूर्ण बिंदु।

आइए संकेतों को परिभाषित करें:

द्वारा बढ़ता है और घट जाता है

एक बिंदु पर, फ़ंक्शन न्यूनतम तक पहुंच जाता है: .

निष्कर्ष # 2 में भी कोई विसंगति नहीं थी, और सबसे अधिक संभावना है कि हम सही रास्ते पर हैं।

इसका मतलब है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ परिभाषा के पूरे डोमेन पर अवतल है।

बहुत बढ़िया - और आपको कुछ भी खींचने की ज़रूरत नहीं है।

कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं।

अंतराल निष्कर्ष संख्या 3 के अनुरूप है, इसके अलावा, यह इंगित करता है कि अनंत पर (वहां और वहां दोनों) फ़ंक्शन का ग्राफ स्थित है के ऊपरइसका तिरछा स्पर्शोन्मुख।

6) कर्तव्यनिष्ठा से अतिरिक्त बिंदुओं के साथ कार्य को पिन करें। यह वह जगह है जहाँ आपको कड़ी मेहनत करनी है, क्योंकि हम अध्ययन से केवल दो बिंदु जानते हैं।

और तस्वीर, जो, शायद, बहुतों ने बहुत पहले प्रस्तुत की है:

असाइनमेंट के दौरान, आपको सावधानीपूर्वक निगरानी करने की आवश्यकता है ताकि अध्ययन के चरणों के बीच कोई विरोधाभास न हो, लेकिन कभी-कभी स्थिति अत्यावश्यक या बेहद मृत-अंत भी होती है। यहाँ विश्लेषक "फिट नहीं है" - और बस। इस मामले में, मैं एक आपातकालीन विधि की सलाह देता हूं: हम ग्राफ से संबंधित अधिक से अधिक बिंदु पाते हैं (कितना धैर्य पर्याप्त है), और उन्हें समन्वय विमान पर चिह्नित करें। ज्यादातर मामलों में, पाए गए मूल्यों का एक ग्राफिकल विश्लेषण आपको बताएगा कि सच्चाई कहां है और झूठ कहां है। इसके अलावा, ग्राफ को कुछ प्रोग्राम का उपयोग करके पूर्व-निर्मित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, उसी एक्सेल में (बेशक, इसके लिए कौशल की आवश्यकता होती है)।

उदाहरण 4

डिफरेंशियल कैलकुलस की विधियों का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन की जांच करें और उसका ग्राफ बनाएं।

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। इसमें, फ़ंक्शन की समता से आत्म-नियंत्रण बढ़ाया जाता है - ग्राफ अक्ष के बारे में सममित है, और यदि आपके शोध में कुछ इस तथ्य का खंडन करता है, तो एक त्रुटि की तलाश करें।

एक सम या विषम फलन की जांच केवल पर की जा सकती है, और फिर ग्राफ की समरूपता का उपयोग कर सकते हैं। यह समाधान इष्टतम है, लेकिन मेरी राय में, यह बहुत ही असामान्य लगता है। व्यक्तिगत रूप से, मैं संपूर्ण संख्या अक्ष पर विचार करता हूं, लेकिन मुझे अभी भी केवल दाईं ओर अतिरिक्त अंक मिलते हैं:

उदाहरण 5

फलन का पूरा अध्ययन करें और उसका ग्राफ बनाएं।

समाधान: जोर से दौड़ा:

1) फलन पूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित और सतत है:।

इसका अर्थ है कि यह फलन विषम है, इसका ग्राफ मूल के सापेक्ष सममित है।

जाहिर है, फ़ंक्शन गैर-आवधिक है।

2) स्पर्शोन्मुख, अनंत पर एक फ़ंक्शन का व्यवहार।

चूँकि फलन सतत चालू है, कोई लम्बवत अनंतस्पर्शी नहीं हैं

एक घातांक वाले फ़ंक्शन के लिए, आमतौर पर अलग"प्लस" और "माइनस इनफिनिटी" का अध्ययन, लेकिन ग्राफ की समरूपता से हमारा जीवन आसान हो जाता है - या तो बाईं ओर और दाईं ओर एक स्पर्शोन्मुख है, या यह नहीं है। इसलिए, एक ही प्रविष्टि के तहत दोनों अनंत सीमाओं को औपचारिक रूप दिया जा सकता है। समाधान के दौरान, हम उपयोग करते हैं ल अस्पताल का नियम:

सीधी रेखा (अक्ष) पर ग्राफ़ का क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है।

ध्यान दें कि कैसे मैंने चतुराई से तिरछे स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए पूर्ण एल्गोरिथ्म से परहेज किया: सीमा काफी कानूनी है और अनंत पर फ़ंक्शन के व्यवहार को स्पष्ट करती है, और क्षैतिज स्पर्शोन्मुख "जैसे कि एक ही समय में" पाया गया था।

निरंतरता पर और एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी के अस्तित्व से, यह इस प्रकार है कि फ़ंक्शन ऊपर से बंधा हुआतथा नीचे से घिरा हुआ.

3) निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन के बिंदु, निरंतरता के अंतराल।

यहां हम समाधान को भी छोटा करते हैं:
ग्राफ मूल के माध्यम से जाता है।

निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन के कोई अन्य बिंदु नहीं हैं। इसके अलावा, संकेत की स्थिरता के अंतराल स्पष्ट हैं, और अक्ष को छोड़ा जा सकता है:, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन का संकेत केवल "x" पर निर्भर करता है:
, अगर ;
, अगर ।

4) फ़ंक्शन की वृद्धि, कमी, चरम सीमा।


- महत्वपूर्ण बिंदु।

अंक शून्य के बारे में सममित हैं, जैसा कि उन्हें होना चाहिए।

आइए हम व्युत्पन्न के संकेतों को परिभाषित करें:


फ़ंक्शन अंतराल पर बढ़ता है और अंतराल पर घटता है

एक बिंदु पर, फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुंच जाता है: .

संपत्ति के आधार पर (फ़ंक्शन की विषमता) न्यूनतम छोड़ा जा सकता है:

चूंकि अंतराल में फ़ंक्शन घटता है, तो, जाहिर है, "माइनस इनफिनिटी" पर ग्राफ स्थित है अंतर्गतइसके स्पर्शोन्मुख। अंतराल पर, फ़ंक्शन भी कम हो जाता है, लेकिन यहां विपरीत सच है - अधिकतम बिंदु से गुजरने के बाद, रेखा ऊपर से पहले से ही अक्ष पर पहुंचती है।

ऊपर से यह भी पता चलता है कि फ़ंक्शन का ग्राफ "माइनस इनफिनिटी" पर उत्तल है और "प्लस इनफिनिटी" पर अवतल है।

शोध के इस बिंदु के बाद, फ़ंक्शन के मूल्यों की सीमा भी तैयार की गई थी:

यदि आपको किसी बिंदु की गलतफहमी है, तो मैं एक बार फिर आपसे एक नोटबुक में निर्देशांक अक्षों को खींचने और हाथ में एक पेंसिल लेकर सत्रीय कार्य के प्रत्येक निष्कर्ष का पुन: विश्लेषण करने का आग्रह करता हूं।

5) उत्तलता, अवतलता, ग्राफ किंक।

- महत्वपूर्ण बिंदु।

बिंदुओं की समरूपता संरक्षित है, और, सबसे अधिक संभावना है, हम गलत नहीं हैं।

आइए संकेतों को परिभाषित करें:


फंक्शन ग्राफ उत्तल है और अवतल .

चरम अंतराल पर उभार / समतलता की पुष्टि की गई।

सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं पर, ग्राफ में विभक्ति होती है। फ़ंक्शन की विषमता का उपयोग करके गणनाओं की संख्या को फिर से कम करते हुए, विभक्ति बिंदुओं के निर्देशांक खोजें:

एक पूर्ण शोध करें और फ़ंक्शन को प्लॉट करें

y (x) = x2 + 81 - x.y (x) = x2 + 81 - x।

1) फ़ंक्शन परिभाषा क्षेत्र। चूँकि फलन एक भिन्न है, आपको हर के शून्य ज्ञात करने होंगे।

1 - x = 0, x = 1.1 - x = 0, x = 1।

हम फलन के प्रांत से एकमात्र बिंदु x = 1x = 1 को हटा देते हैं और प्राप्त करते हैं:

डी (वाई) = (- ∞; 1) ∪ (1; + ∞)। डी (वाई) = (- ∞; 1) ∪ (1; + ∞)।

2) आइए हम असंततता बिंदु के आस-पास फलन के व्यवहार की जाँच करें। आइए एकतरफा सीमाएं खोजें:

चूँकि सीमाएँ अनंत के बराबर हैं, बिंदु x = 1x = 1 दूसरे प्रकार का एक असंततता है, सीधी रेखा x = 1x = 1 ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है।

3) आइए निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को परिभाषित करें।

कोटि अक्ष OyOy के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें, जिसके लिए हम x = 0x = 0 की बराबरी करते हैं:

इस प्रकार, OyOy अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक (0; 8) (0; 8) हैं।

एब्सिसा अक्ष ऑक्सऑक्स के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें, जिसके लिए हम y = 0y = 0 रखते हैं:

समीकरण की कोई जड़ नहीं है, इसलिए ऑक्सऑक्स अक्ष के साथ कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं।

ध्यान दें कि x2 + 8> 0x2 + 8> 0 किसी भी xx के लिए। इसलिए, x∈ (−∞; 1) x∈ (−∞; 1) के लिए फंक्शन y> 0y> 0 (सकारात्मक मान लेता है, ग्राफ एब्सिस्सा अक्ष के ऊपर स्थित है), x∈ (1; + ∞) के लिए x∈ (1; + ∞) फलन y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) फलन न तो सम और न ही विषम है क्योंकि:

5) आइए हम आवधिकता के लिए फ़ंक्शन की जांच करें। फलन आवर्त नहीं है, क्योंकि यह एक भिन्नात्मक परिमेय फलन है।

6) आइए हम एक्स्ट्रेमा और एकरसता के लिए कार्य की जांच करें। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न पाते हैं:

आइए हम पहले अवकलज को शून्य के बराबर करें और स्थिर बिंदु खोजें (जिस पर y = 0y ′ = 0):

हमें तीन महत्वपूर्ण बिंदु मिले: x = −2, x = 1, x = 4x = −2, x = 1, x = 4। हम दिए गए बिंदुओं के साथ फ़ंक्शन के पूरे डोमेन को अंतराल में विभाजित करते हैं और प्रत्येक अंतराल में व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करते हैं:

x∈ (−∞; −2), (4; + ∞) x∈ (−∞; −2), (4; + ∞) व्युत्पन्न y के लिए<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

x∈ (−2; 1), (1; 4) x∈ (−2; 1), (1; 4) व्युत्पन्न y> 0y> 0 के लिए, इन अंतरालों पर फलन बढ़ता है।

इस मामले में, x = −2x = −2 एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है (फ़ंक्शन घटता है और फिर बढ़ता है), x = 4x = 4 एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है (फ़ंक्शन बढ़ता है और फिर घटता है)।

आइए इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान खोजें:

इस प्रकार, न्यूनतम बिंदु (−2; 4) (- 2; 4) है, अधिकतम बिंदु (4; −8) (4; −8) है।

7) आइए हम विभक्तियों और उत्तलता के लिए कार्य की जांच करें। आइए फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न खोजें:

आइए दूसरे व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें:

परिणामी समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं, इसलिए कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं। इसके अलावा, जब x∈ (−∞; 1) x∈ (−∞; 1) y > 0y ″> 0 धारण करता है, अर्थात, x∈ (1; + ∞) x∈ (1; + ) वाई<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) आइए हम फलन के अनंत पर, अर्थात् पर व्यवहार की जाँच करें।

चूँकि सीमाएँ अनंत हैं, इसलिए कोई क्षैतिज स्पर्शोन्मुख नहीं हैं।

आइए y = kx + by = kx + b के रूप के तिरछे स्पर्शोन्मुख को निर्धारित करने का प्रयास करें। हम प्रसिद्ध सूत्रों के अनुसार k, bk, b के मानों की गणना करते हैं:

हमने पाया कि फलन में एक तिरछी अनंतस्पर्शी y = -x - 1y = -x - 1 है।

9) अतिरिक्त अंक। आइए कुछ अन्य बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें ताकि ग्राफ़ को अधिक सटीक रूप से बनाया जा सके।

y (−5) = 5.5; y (2) = - 12; y (7) = - 9.5.y (−5) = 5.5; y (2) = - 12; y (7) = - 9.5।

10) प्राप्त आंकड़ों के आधार पर, हम एक ग्राफ बनाते हैं, इसे स्पर्शोन्मुख x = 1x = 1 (नीला), y = -x - 1y = -x - 1 (हरा) के साथ पूरक करते हैं और विशेषता बिंदुओं को चिह्नित करते हैं (कोर्डिनेट के साथ बैंगनी प्रतिच्छेदन अक्ष, नारंगी एक्स्ट्रेमा, काला अतिरिक्त बिंदु):

कार्य 4: ज्यामितीय, आर्थिक समस्याएं (मुझे नहीं पता कि कौन सी हैं, यहां समाधान और सूत्रों के साथ समस्याओं का अनुमानित चयन है)

उदाहरण 3.23। ए

समाधान। एक्सतथा आप आप
वाई = ए - 2 × ए / 4 = ए / 2। चूँकि x = a / 4 ही एकमात्र क्रांतिक बिंदु है, आइए देखें कि क्या इस बिंदु से गुजरने पर व्युत्पन्न का चिह्न बदल जाता है। एक्स / 4 एस "> 0, और एक्स> ए / 4 एस" के लिए< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

उदाहरण 3.24।

समाधान।
आर = 2, एच = 16/4 = 4।

उदाहरण 3.22।फलन f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 का चरम ज्ञात कीजिए।

समाधान।चूँकि f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x -2) (x - 3), तो फलन x 1 = 2 और x 2 = 3 के क्रांतिक बिंदु केवल इन बिंदुओं पर हो सकते हैं। इसलिए जब बिंदु x 1 = 2 से गुजरते समय व्युत्पन्न अपना चिह्न प्लस माइनस में बदल देता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का अधिकतम होता है। बिंदु x 2 = 3 से गुजरने पर व्युत्पन्न परिवर्तन ऋण से प्लस में बदल जाता है, इसलिए बिंदु x 2 = 3 पर फ़ंक्शन का न्यूनतम होता है। फ़ंक्शन के मानों को बिंदुओं में परिकलित करना
x 1 = 2 और x 2 = 3, हम फलन का एक्स्ट्रेमा पाते हैं: अधिकतम f (2) = 14 और न्यूनतम f (3) = 13।

उदाहरण 3.23।पत्थर की दीवार के पास एक आयताकार क्षेत्र बनाना आवश्यक है ताकि तीन तरफ से इसे तार की जाली से बंद कर दिया जाए और चौथी तरफ यह दीवार से सटा हो। इसके लिए है एजाल के मीटर चल रहे हैं। किस पक्षानुपात पर साइट का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होगा?

समाधान।हम साइट के किनारों को द्वारा निरूपित करते हैं एक्सतथा आप... साइट का क्षेत्रफल S = xy है। होने देना आपदीवार से सटे पक्ष की लंबाई है। फिर, शर्त के अनुसार, समानता 2x + y = a अवश्य ही पूरी होनी चाहिए। इसलिए, y = a - 2x और S = x (a - 2x), जहाँ
0 ≤ x ≤ a / 2 (साइट की लंबाई और चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)। एस "= ए - 4x, ए - 4x = 0 एक्स = ए / 4 के लिए, जहां से
वाई = ए - 2 × ए / 4 = ए / 2। चूँकि x = a / 4 ही एकमात्र क्रांतिक बिंदु है, आइए देखें कि क्या इस बिंदु से गुजरने पर व्युत्पन्न का चिह्न बदल जाता है। एक्स / 4 एस "> 0, और एक्स> ए / 4 एस" के लिए< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

उदाहरण 3.24। V = 16p 50 m 3 की क्षमता वाले एक बंद बेलनाकार टैंक का निर्माण करना आवश्यक है। टैंक के आयाम क्या हैं (त्रिज्या आर और ऊंचाई एच) ताकि इसे बनाने के लिए कम से कम सामग्री का उपयोग किया जा सके?

समाधान।बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 2pR (R + H) है। हम सिलेंडर वी = पीआर 2 एच Þ एच = वी / पीआर 2 = 16p / पीआर 2 = 16 / आर 2 की मात्रा जानते हैं। इसलिए, एस (आर) = 2 पी (आर 2 + 16 / आर)। इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
S "(R) = 2p (2R- 16 / R 2) = 4p (R- 8 / R 2)। S" (R) = 0 जब R 3 = 8, इसलिए,
आर = 2, एच = 16/4 = 4।

इसी तरह की जानकारी।

फ़ंक्शन के संपूर्ण अध्ययन और इसके ग्राफ़ को प्लॉट करने के लिए, निम्नलिखित योजना का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है:

1) फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें;

2) फ़ंक्शन के असंततता के बिंदु और ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख (यदि वे मौजूद हैं) का पता लगाएं;

3) अनंत पर फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करें, क्षैतिज और तिरछी स्पर्शोन्मुख खोजें;

4) समता (विषमता) और आवर्तता (त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए) के लिए फलन की जाँच करें;

5) फ़ंक्शन की एकरसता के चरम और अंतराल का पता लगाएं;

6) उत्तलता के अंतराल और विभक्ति के बिंदु निर्धारित करें;

7) यदि संभव हो तो निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें, और कुछ अतिरिक्त बिंदु जो ग्राफ को परिष्कृत करते हैं।

फ़ंक्शन का अध्ययन इसके ग्राफ के निर्माण के साथ-साथ किया जाता है।

उदाहरण 9फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और ग्राफ़ प्लॉट करें।

1. परिभाषा का दायरा :;

2. फ़ंक्शन बिंदुओं पर टूटा हुआ है
,
;

आइए हम ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शियों की उपस्थिति के लिए फलन की जाँच करें।

;
,
लंबवत स्पर्शोन्मुख।

;
,
लंबवत स्पर्शोन्मुख।

3. आइए हम तिरछे और क्षैतिज अनंतस्पर्शियों की उपस्थिति के फलन की जाँच करें।

सीधा
─ तिरछा स्पर्शोन्मुख यदि
,
.

,
.

सीधा
क्षैतिज स्पर्शोन्मुख।

4. फलन सम है क्योंकि
... फलन की समता, कोटि अक्ष के परितः ग्राफ की समरूपता को इंगित करती है।

5. आइए फ़ंक्शन की एकरसता और एक्स्ट्रेमा के अंतराल खोजें।

आइए महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजें, अर्थात्। जिन बिंदुओं पर व्युत्पन्न 0 है या मौजूद नहीं है:
;
... हमारे पास तीन अंक हैं
;

... ये बिंदु संपूर्ण वैध अक्ष को चार स्थानों में विभाजित करते हैं। आइए संकेतों को परिभाषित करें उनमें से प्रत्येक पर।

अंतराल पर (-∞; -1) और (-1; 0) फ़ंक्शन बढ़ता है, अंतराल पर (0; 1) और (1; + ∞) घटता है। एक बिंदु को पार करते समय
व्युत्पन्न परिवर्तन प्लस से माइनस में संकेत करते हैं, इसलिए, इस बिंदु पर फ़ंक्शन का अधिकतम होता है
.

6. उत्तल अंतराल, विभक्ति बिंदु ज्ञात कीजिए।

उन बिंदुओं को खोजें जिन पर 0 है, या मौजूद नहीं है।

कोई वैध जड़ें नहीं हैं।
,
,

अंक
तथा
वास्तविक अक्ष को तीन अंतरालों में विभाजित करें। आइए संकेत को परिभाषित करें प्रत्येक अंतराल पर।

इस प्रकार, अंतराल पर वक्र
तथा
उत्तल नीचे की ओर, अंतराल पर (-1; 1) उत्तल ऊपर की ओर; कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं, क्योंकि बिंदुओं पर कार्य होता है
तथा
अनिर्दिष्ट।

7. कुल्हाड़ियों के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें।

अक्ष के साथ
फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिंदु (0; -1), और अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है
ग्राफ ओवरलैप नहीं करता है, क्योंकि इस फ़ंक्शन के अंश का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ़ चित्र 1 में दिखाया गया है।

चित्र 1 फंक्शन ग्राफ

अर्थशास्त्र में व्युत्पन्न की अवधारणा का अनुप्रयोग। समारोह की लोच

आर्थिक प्रक्रियाओं का अध्ययन करने और अन्य लागू समस्याओं को हल करने के लिए, अक्सर एक फ़ंक्शन की लोच की अवधारणा का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा।समारोह की लोच
फ़ंक्शन के सापेक्ष वेतन वृद्धि के अनुपात की सीमा कहा जाता है चर के सापेक्ष वृद्धि के लिए पर
,। (सात)

किसी फ़ंक्शन की लोच फ़ंक्शन में परिवर्तन का अनुमानित प्रतिशत दर्शाती है
स्वतंत्र चर बदलते समय 1% से।

फ़ंक्शन की लोच मांग और खपत के विश्लेषण में लागू होती है। यदि मांग की लोच (निरपेक्ष मूल्य में)
, तो मांग लोचदार मानी जाती है यदि
तटस्थ अगर
कीमत (या आय) के संबंध में बेलोचदार।

उदाहरण 10किसी फ़ंक्शन की लोच की गणना करें
और के लिए लोच सूचकांक का मान ज्ञात कीजिए = 3.

हल: सूत्र (VII) के अनुसार फलन की लोच:

माना x = 3, तब
इसका अर्थ यह है कि यदि व्याख्यात्मक चर में 1% की वृद्धि होती है, तो आश्रित चर का मान 1.42% बढ़ जाता है।

उदाहरण 11मांग को कार्य करने दें कीमत के बारे में रूप है
, कहाँ पे ─ निरंतर गुणांक। x = 3 मांद की कीमत पर मांग फलन के लोच सूचकांक का मान ज्ञात कीजिए। इकाइयों

हल: सूत्र (VII) द्वारा मांग फलन की लोच की गणना करें

यह मानते हुए
मौद्रिक इकाइयाँ, हमें मिलती हैं
... इसका मतलब है कि कीमत पर
मौद्रिक इकाइयाँ 1% मूल्य वृद्धि से मांग में 6% की कमी आएगी, अर्थात। मांग लोचदार है।