क्या शून्य से भाग देना संभव है? गणितज्ञ उत्तर देता है। आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते? दशमलव से भाग देने का उदाहरणात्मक उदाहरण

यह पाठ 10, 100, 0.1, 0.001 के रूप की संख्याओं से गुणा और भाग कैसे करें, इस पर ध्यान देगा। इस विषय पर विभिन्न उदाहरण भी हल किये जायेंगे।

व्यायाम।संख्या 25.78 को 10 से कैसे गुणा करें?

किसी दी गई संख्या का दशमलव अंकन राशि के लिए एक आशुलिपि अंकन है। इसका अधिक विस्तार से वर्णन करना आवश्यक है:

इस प्रकार, आपको राशि को गुणा करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आप बस प्रत्येक पद को गुणा कर सकते हैं:

यह पता चला है कि...

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दशमलव भिन्न को 10 से गुणा करना बहुत सरल है: आपको दशमलव बिंदु को दाईं ओर ले जाना होगा।

व्यायाम। 25.486 को 100 से गुणा करें।

100 से गुणा करना 10 से दो बार गुणा करने के समान है। दूसरे शब्दों में, आपको दशमलव बिंदु को दो बार दाईं ओर ले जाना होगा:

व्यायाम। 25.78 को 10 से भाग दें।

पिछले मामले की तरह, आपको संख्या 25.78 को योग के रूप में प्रस्तुत करना होगा:

चूँकि आपको योग को विभाजित करने की आवश्यकता है, यह प्रत्येक पद को विभाजित करने के बराबर है:

इससे पता चलता है कि 10 से विभाजित करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु को बाईं ओर एक स्थान पर ले जाना होगा। उदाहरण के लिए:

व्यायाम। 124.478 को 100 से विभाजित करें।

100 से विभाजित करना दो बार 10 से विभाजित करने के समान है, इसलिए दशमलव बिंदु 2 स्थान बायीं ओर चला जाता है:

यदि दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000 इत्यादि से गुणा करने की आवश्यकता है, तो आपको दशमलव बिंदु को दाईं ओर उतने स्थानों तक ले जाना होगा, जितने गुणक में शून्य हों।

इसके विपरीत, यदि दशमलव अंश को 10, 100, 1000, इत्यादि से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो आपको दशमलव बिंदु को बाईं ओर उतने स्थानों तक ले जाना होगा, जितने गुणक में शून्य हों।

उदाहरण 1

100 से गुणा करने का अर्थ है दशमलव स्थान को दो स्थान दाहिनी ओर खिसकाना।

बदलाव के बाद, आप पा सकते हैं कि दशमलव बिंदु के बाद कोई और अंक नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि भिन्नात्मक भाग गायब है। तब अल्पविराम की कोई आवश्यकता नहीं है, संख्या एक पूर्णांक है।

उदाहरण 2

आपको दाईं ओर 4 स्थान स्थानांतरित करने की आवश्यकता है। लेकिन दशमलव बिंदु के बाद केवल दो अंक होते हैं। यह याद रखने योग्य है कि भिन्न 56.14 के लिए एक समतुल्य अंकन है।

अब 10,000 से गुणा करना आसान है:

यदि यह बहुत स्पष्ट नहीं है कि आप पिछले उदाहरण में भिन्न में दो शून्य क्यों जोड़ सकते हैं, तो लिंक पर अतिरिक्त वीडियो इसमें मदद कर सकता है।

समतुल्य दशमलव संकेतन

प्रविष्टि 52 का अर्थ निम्नलिखित है:

यदि हम 0 को सामने रखते हैं, तो हमें प्रविष्टि 052 मिलती है। ये प्रविष्टियाँ समतुल्य हैं।

क्या सामने दो शून्य लगाना संभव है? हाँ, ये प्रविष्टियाँ समतुल्य हैं।

आइए अब दशमलव भिन्न को देखें:

यदि आप शून्य निर्दिष्ट करते हैं, तो आपको मिलता है:

ये प्रविष्टियाँ समतुल्य हैं. इसी तरह, आप एकाधिक शून्य निर्दिष्ट कर सकते हैं।

इस प्रकार, किसी भी संख्या में भिन्नात्मक भाग के बाद कई शून्य और पूर्णांक भाग से पहले कई शून्य हो सकते हैं। ये एक ही संख्या की समतुल्य प्रविष्टियाँ होंगी।

उदाहरण 3

चूंकि 100 से विभाजन होता है, इसलिए दशमलव बिंदु को 2 स्थिति बाईं ओर ले जाना आवश्यक है। दशमलव बिंदु के बाईं ओर कोई संख्या नहीं बची है. एक पूरा हिस्सा गायब है. यह नोटेशन अक्सर प्रोग्रामर द्वारा उपयोग किया जाता है। गणित में यदि कोई पूर्ण भाग न हो तो उसके स्थान पर शून्य लगा देते हैं।

उदाहरण 4

आपको इसे तीन स्थानों तक बाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है, लेकिन वहां केवल दो स्थान हैं। यदि आप किसी संख्या के आगे कई शून्य लिखते हैं, तो यह एक तुल्य अंकन होगा।

अर्थात्, बाईं ओर शिफ्ट होने पर, यदि संख्याएँ समाप्त हो जाती हैं, तो आपको उन्हें शून्य से भरना होगा।

उदाहरण 5

इस मामले में, यह याद रखने योग्य है कि अल्पविराम हमेशा पूरे भाग के बाद आता है। तब:

संख्याओं 10, 100, 1000 से गुणा और भाग करना एक बहुत ही सरल प्रक्रिया है। संख्या 0.1, 0.01, 0.001 के साथ स्थिति बिल्कुल वैसी ही है।

उदाहरण. 25.34 को 0.1 से गुणा करें।

आइए दशमलव भिन्न 0.1 को एक साधारण भिन्न के रूप में लिखें। लेकिन इससे गुणा करना 10 से भाग देने के समान है। इसलिए, आपको दशमलव बिंदु 1 को बाईं ओर ले जाना होगा:

इसी प्रकार, 0.01 से गुणा करना 100 से विभाजित करना है:

उदाहरण। 5.235 को 0.1 से विभाजित किया गया।

इस उदाहरण का समाधान इसी तरह से बनाया गया है: 0.1 को एक सामान्य अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है, और से विभाजित करना 10 से गुणा करने के समान है:

यानी, 0.1 से विभाजित करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु को दाईं ओर एक स्थान पर ले जाना होगा, जो 10 से गुणा करने के बराबर है।

10 से गुणा करना और 0.1 से भाग देना एक ही बात है। अल्पविराम को 1 स्थान से दाईं ओर ले जाना चाहिए।

10 से भाग देना और 0.1 से गुणा करना एक ही बात है। अल्पविराम को 1 स्थान से दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है:

संख्या 0 की कल्पना वास्तविक संख्याओं की दुनिया को काल्पनिक या नकारात्मक संख्याओं से अलग करने वाली एक निश्चित सीमा के रूप में की जा सकती है। अस्पष्ट स्थिति के कारण, इस संख्यात्मक मान वाले कई ऑपरेशन गणितीय तर्क का पालन नहीं करते हैं। शून्य से विभाजित करने की असंभवता इसका एक प्रमुख उदाहरण है। और शून्य के साथ अनुमत अंकगणितीय संचालन आम तौर पर स्वीकृत परिभाषाओं का उपयोग करके किया जा सकता है।

शून्य का इतिहास

शून्य सभी मानक संख्या प्रणालियों में संदर्भ बिंदु है। यूरोपीय लोगों ने अपेक्षाकृत हाल ही में इस संख्या का उपयोग करना शुरू किया, लेकिन यूरोपीय गणितज्ञों द्वारा खाली संख्या का नियमित रूप से उपयोग किए जाने से एक हजार साल पहले प्राचीन भारत के ऋषियों ने शून्य का उपयोग किया था। भारतीयों से पहले भी, माया संख्यात्मक प्रणाली में शून्य एक अनिवार्य मान था। इन अमेरिकी लोगों ने ग्रहणी संख्या प्रणाली का उपयोग किया, और प्रत्येक महीने का पहला दिन शून्य से शुरू होता था। यह दिलचस्प है कि मायाओं के बीच "शून्य" को दर्शाने वाला चिन्ह "अनंत" को दर्शाने वाले चिन्ह से पूरी तरह मेल खाता है। इस प्रकार, प्राचीन मायाओं ने निष्कर्ष निकाला कि ये मात्राएँ समान और अज्ञात हैं।

शून्य के साथ गणितीय संक्रियाएँ

शून्य के साथ मानक गणितीय संक्रियाओं को कुछ नियमों तक कम किया जा सकता है।

जोड़: यदि आप किसी मनमानी संख्या में शून्य जोड़ते हैं, तो इससे उसका मान (0+x=x) नहीं बदलेगा।

घटाव: किसी भी संख्या से शून्य घटाने पर, घटाव का मान अपरिवर्तित रहता है (x-0=x)।

गुणन: किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर 0 (a*0=0) प्राप्त होता है।

भाग: शून्य को किसी भी ऐसी संख्या से विभाजित किया जा सकता है जो शून्य के बराबर न हो। इस स्थिति में, ऐसे भिन्न का मान 0 होगा। और शून्य से विभाजन निषिद्ध है।

घातांक। यह क्रिया किसी भी संख्या के साथ की जा सकती है. एक मनमानी संख्या को शून्य घात तक बढ़ाने पर 1 (x 0 =1) प्राप्त होगा।

किसी भी घात का शून्य 0 (0 a = 0) के बराबर होता है।

इस मामले में, तुरंत एक विरोधाभास उत्पन्न होता है: अभिव्यक्ति 0 0 का कोई मतलब नहीं है।

गणित के विरोधाभास

बहुत से लोग स्कूल से जानते हैं कि शून्य से भाग देना असंभव है। लेकिन किसी कारण से इस तरह के प्रतिबंध का कारण बताना असंभव है। वास्तव में, शून्य से विभाजित करने का सूत्र मौजूद क्यों नहीं है, लेकिन इस संख्या के साथ अन्य क्रियाएं काफी उचित और संभव हैं? इस प्रश्न का उत्तर गणितज्ञों द्वारा दिया गया है।

बात यह है कि स्कूली बच्चे प्राथमिक विद्यालय में जो सामान्य अंकगणितीय संक्रियाएँ सीखते हैं, वास्तव में, वे उतनी समान नहीं हैं जितना हम सोचते हैं। सभी सरल संख्या संक्रियाओं को दो तक घटाया जा सकता है: जोड़ और गुणा। ये क्रियाएं संख्या की अवधारणा का सार बनाती हैं, और अन्य परिचालन इन दोनों के उपयोग पर निर्मित होते हैं।

जोड़ और गुणा

आइए एक मानक घटाव उदाहरण लें: 10-2=8। स्कूल में वे इसे सरलता से मानते हैं: यदि आप दस विषयों में से दो घटा दें, तो आठ बच जाते हैं। लेकिन गणितज्ञ इस ऑपरेशन को बिल्कुल अलग तरीके से देखते हैं। आख़िरकार, घटाव जैसा कोई ऑपरेशन उनके लिए मौजूद नहीं है। इस उदाहरण को दूसरे तरीके से लिखा जा सकता है: x+2=10. गणितज्ञों के लिए, अज्ञात अंतर केवल वह संख्या है जिसे आठ बनाने के लिए दो में जोड़ने की आवश्यकता होती है। और यहां किसी घटाव की आवश्यकता नहीं है, आपको बस उचित संख्यात्मक मान ज्ञात करने की आवश्यकता है।

गुणा और भाग को एक समान माना जाता है। उदाहरण 12:4=3 में आप समझ सकते हैं कि हम आठ वस्तुओं को दो बराबर ढेरों में विभाजित करने के बारे में बात कर रहे हैं। लेकिन वास्तव में, यह 3x4 = 12 लिखने का एक उलटा सूत्र मात्र है। विभाजन के ऐसे उदाहरण अनगिनत दिए जा सकते हैं।

0 से विभाजन के उदाहरण

यहीं पर यह थोड़ा स्पष्ट हो जाता है कि आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते। शून्य से गुणा और भाग अपने नियमों का पालन करते हैं। इस मात्रा को विभाजित करने के सभी उदाहरण 6:0 = x के रूप में तैयार किए जा सकते हैं। लेकिन यह अभिव्यक्ति 6 ​​* x=0 का उलटा अंकन है। लेकिन, जैसा कि आप जानते हैं, किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर गुणनफल में केवल 0 आता है। यह गुण शून्य मान की अवधारणा में अंतर्निहित है।

इससे पता चलता है कि ऐसी कोई संख्या नहीं है, जिसे 0 से गुणा करने पर कोई ठोस मान मिले, यानी इस समस्या का कोई समाधान नहीं है। आपको इस उत्तर से डरना नहीं चाहिए; यह इस प्रकार की समस्याओं के लिए एक स्वाभाविक उत्तर है। बात बस इतनी है कि 6:0 रिकॉर्ड का कोई मतलब नहीं है और यह कुछ भी स्पष्ट नहीं कर सकता। संक्षेप में, इस अभिव्यक्ति को अमर "शून्य से विभाजन असंभव है" द्वारा समझाया जा सकता है।

क्या कोई 0:0 ऑपरेशन है? दरअसल, यदि 0 से गुणा करने की प्रक्रिया कानूनी है, तो क्या शून्य को शून्य से विभाजित किया जा सकता है? आख़िरकार, 0x 5=0 के रूप का एक समीकरण काफी कानूनी है। अंक 5 के स्थान पर आप 0 लगा सकते हैं, गुणनफल नहीं बदलेगा।

दरअसल, 0x0=0. लेकिन आप अभी भी 0 से विभाजित नहीं कर सकते। जैसा कि कहा गया है, विभाजन केवल गुणन का उलटा है। इस प्रकार, यदि उदाहरण 0x5=0 में, आपको दूसरा कारक निर्धारित करने की आवश्यकता है, तो हमें 0x0=5 मिलता है। या 10. या अनंत. अनंत को शून्य से विभाजित करना - आपको यह कैसा लगा?

लेकिन यदि कोई संख्या अभिव्यक्ति में फिट बैठती है, तो इसका कोई मतलब नहीं है; हम अनंत संख्याओं में से केवल एक को नहीं चुन सकते हैं। और यदि हां, तो इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 0:0 का कोई मतलब नहीं है। इससे पता चलता है कि शून्य को भी शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता।

उच्च गणित

स्कूली गणित के लिए शून्य से भाग एक सिरदर्द है। तकनीकी विश्वविद्यालयों में अध्ययन किया जाने वाला गणितीय विश्लेषण उन समस्याओं की अवधारणा को थोड़ा विस्तारित करता है जिनका कोई समाधान नहीं है। उदाहरण के लिए, पहले से ज्ञात अभिव्यक्ति 0:0 में नए जोड़े गए हैं, जिनका स्कूली गणित पाठ्यक्रमों में समाधान नहीं है:

• अनंत को अनंत से विभाजित किया गया: ?:?;
• अनंत घटा अनंत: ???;
• इकाई को अनंत शक्ति तक बढ़ाया गया: 1? ;
• अनंत को 0 से गुणा किया गया: ?*0;
• कुछ दुसरे।

प्राथमिक विधियों का उपयोग करके ऐसे भावों को हल करना असंभव है। लेकिन उच्च गणित, कई समान उदाहरणों के लिए अतिरिक्त संभावनाओं के लिए धन्यवाद, अंतिम समाधान प्रदान करता है। यह सीमा के सिद्धांत से समस्याओं पर विचार करते समय विशेष रूप से स्पष्ट है।

अनिश्चितता को खोलना

सीमा के सिद्धांत में, मान 0 को एक सशर्त अतिसूक्ष्म चर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। और वे भाव जिनमें वांछित मान को प्रतिस्थापित करने पर शून्य से विभाजन प्राप्त होता है, रूपांतरित हो जाते हैं। सामान्य बीजगणितीय परिवर्तनों का उपयोग करके सीमा का विस्तार करने का एक मानक उदाहरण नीचे दिया गया है:

जैसा कि आप उदाहरण में देख सकते हैं, किसी भिन्न को कम करने मात्र से उसका मान पूरी तरह से तर्कसंगत उत्तर तक पहुंच जाता है।

त्रिकोणमितीय कार्यों की सीमाओं पर विचार करते समय, उनकी अभिव्यक्तियाँ पहली उल्लेखनीय सीमा तक कम हो जाती हैं। उन सीमाओं पर विचार करते समय जिनमें एक सीमा प्रतिस्थापित करने पर हर 0 हो जाता है, एक दूसरी उल्लेखनीय सीमा का उपयोग किया जाता है।

एल हॉस्पिटल विधि

कुछ मामलों में, अभिव्यक्ति की सीमा को उनके व्युत्पन्न की सीमा से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। गिलाउम एल'हॉपिटल एक फ्रांसीसी गणितज्ञ हैं, जो गणितीय विश्लेषण के फ्रांसीसी स्कूल के संस्थापक हैं। उन्होंने सिद्ध किया कि अभिव्यक्तियों की सीमाएँ इन अभिव्यक्तियों के व्युत्पत्तियों की सीमाओं के बराबर हैं। गणितीय अंकन में उनका नियम इस प्रकार दिखता है।

वर्तमान में, 0:0 या?:? प्रकार की अनिश्चितताओं को हल करने के लिए L'Hopital की विधि का सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है।

0.1 से भाग और गुणा कैसे करें; 0.01; 0.001, आदि?

भाग एवं गुणन के नियम लिखिए।

किसी संख्या को 0.1 से गुणा करने के लिए, आपको बस दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करना होगा।

उदाहरण के लिए यह था 56 , ये बन गया 5,6 .

समान संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको अल्पविराम को विपरीत दिशा में ले जाना होगा:

उदाहरण के लिए यह था 56 , ये बन गया 560 .

संख्या 0.01 के साथ सब कुछ समान है, लेकिन आपको इसे एक नहीं, बल्कि 2 अंकों में ले जाना होगा।

सामान्य तौर पर, आपको जितनी आवश्यकता हो उतने शून्य स्थानांतरित करें।

उदाहरण के लिए, एक संख्या है 123456789.

आपको इसे 0.000000001 से गुणा करना होगा

संख्या 0.000000001 में नौ शून्य हैं (हम दशमलव बिंदु के बाईं ओर के शून्य को भी गिनते हैं), जिसका अर्थ है कि हम संख्या 123456789 को 9 अंकों से स्थानांतरित करते हैं:

यह 123456789 था और अब 0.123456789 है।

गुणा करने के लिए नहीं, बल्कि उसी संख्या से विभाजित करने के लिए, हम दूसरी दिशा में जाते हैं:

यह 123456789 था और अब 123456789000000000 है।

किसी पूर्णांक को इस प्रकार स्थानांतरित करने के लिए, हम बस उसमें एक शून्य जोड़ते हैं। और भिन्नात्मक में हम अल्पविराम लगाते हैं।

किसी संख्या को 0.1 से विभाजित करना उस संख्या को 10 से गुणा करने के समान है

किसी संख्या को 0.01 से विभाजित करना उस संख्या को 100 से गुणा करने के समान है

0.001 से भाग देने पर 1000 से गुणा होता है।

याद रखना आसान बनाने के लिए, हम उस संख्या को पढ़ते हैं जिससे हमें दाएं से बाएं भाग देना होता है, अल्पविराम पर ध्यान न देते हुए, और परिणामी संख्या से गुणा करना होता है।

उदाहरण: 50: 0.0001. यह 50 को गुणा करने के समान है (दाएँ से बाएँ बिना अल्पविराम के पढ़ें - 10000) 10000। यह 500000 निकलता है।

गुणन के साथ भी यही बात, केवल विपरीत में:

400 x 0.01 400 को विभाजित करने के समान है (दाएं से बाएं बिना अल्पविराम के पढ़ें - 100) 100: 400: 100 = 4।

उन लोगों के लिए जिन्हें ऐसी संख्याओं से गुणा और भाग करते समय विभाजित करते समय अल्पविराम को दाईं ओर और गुणा करते समय बाईं ओर ले जाना अधिक सुविधाजनक लगता है, आप ऐसा कर सकते हैं।

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5.5.6. दशमलव से विभाजन

मैं। किसी संख्या को दशमलव अंश से विभाजित करने के लिए, आपको लाभांश और भाजक में अल्पविराम को दाईं ओर ले जाना होगा, जितने अंक भाजक में दशमलव बिंदु के बाद हों, और फिर प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना होगा।

प्रथमry.

विभाजन करें: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

समाधान।

उदाहरण 1) 16,38: 0,7.

डिवाइडर में 0,7 दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है, इसलिए आइए लाभांश और भाजक में अल्पविराम को एक अंक से दाईं ओर ले जाएं।

फिर हमें बंटवारा करना होगा 163,8 पर 7 .

आइए दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के नियम के अनुसार विभाजन करें।

हम उसी प्रकार विभाजित करते हैं जैसे प्राकृतिक संख्याएँ विभाजित होती हैं। नंबर कैसे हटाएं 8 - दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक (अर्थात दशम स्थान का अंक), तो तुरंत भागफल में अल्पविराम लगाएंऔर बांटना जारी रखें.

उत्तर: 23.4.

उदाहरण 2) 15,6: 0,15.

हम लाभांश में अल्पविराम लगाते हैं ( 15,6 ) और भाजक ( 0,15 ) दाहिनी ओर दो अंक, क्योंकि भाजक में 0,15 दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं.

हमें याद है कि आप दाईं ओर के दशमलव अंश में जितने चाहें उतने शून्य जोड़ सकते हैं, और इससे दशमलव अंश नहीं बदलेगा।

15,6:0,15=1560:15.

हम प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन करते हैं।

उत्तर: 104.

उदाहरण 3) 3,114: 4,5.

लाभांश और भाजक में अल्पविराम को एक अंक दाईं ओर ले जाएँ और विभाजित करें 31,14 पर 45 दशमलव भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के नियम के अनुसार।

3,114:4,5=31,14:45.

भागफल में संख्या हटाते ही हम अल्पविराम लगा देते हैं 1 दसवें स्थान पर. फिर हम बांटना जारी रखते हैं।

विभाजन को पूरा करने के लिए हमें कार्यभार सौंपना था शून्यसंख्या के लिए 9 - संख्याओं के बीच अंतर 414 और 405 . (हम जानते हैं कि दशमलव भिन्न के दाईं ओर शून्य जोड़ा जा सकता है)

उत्तर: 0.692.

उदाहरण 4) 53,84: 0,1.

लाभांश और भाजक में अल्पविराम को स्थानांतरित करें 1 दाईं ओर का नंबर.

हम पाते हैं: 538,4:1=538,4.

आइए समानता का विश्लेषण करें: 53,84:0,1=538,4. इस उदाहरण में लाभांश में अल्पविराम और परिणामी भागफल में अल्पविराम पर ध्यान दें। हमने देखा कि लाभांश में अल्पविराम को स्थानांतरित कर दिया गया है 1 दाईं ओर संख्या, जैसे कि हम गुणा कर रहे हों 53,84 पर 10. (वीडियो देखें "दशमलव को 10, 100, 1000, आदि से गुणा करना") इसलिए दशमलव को विभाजित करने का नियम 0,1; 0,01; 0,001 वगैरह।

द्वितीय. दशमलव को 0.1 से विभाजित करने के लिए; 0.01; 0.001, आदि, आपको दशमलव बिंदु को 1, 2, 3, आदि अंकों से दाईं ओर ले जाना होगा। (दशमलव को 0.1, 0.01, 0.001, आदि से विभाजित करना उस दशमलव को 10, 100, 1000, आदि से गुणा करने के समान है।)

उदाहरण।

विभाजन करें: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

समाधान।

उदाहरण 1) 617,35: 0,1.

नियम के अनुसार द्वितीय द्वारा विभाजन 0,1 से गुणा करने के बराबर है 10 , और अल्पविराम को लाभांश में ले जाएँ दाईं ओर 1 अंक:

1) 617,35:0,1=6173,5.

उदाहरण 2) 0,235: 0,01.

द्वारा विभाजन 0,01 से गुणा करने के बराबर है 100 , जिसका अर्थ है कि हम लाभांश में अल्पविराम को हटा देते हैं पर दाईं ओर 2 अंक:

2) 0,235:0,01=23,5.

उदाहरण 3) 2,7845: 0,001.

क्योंकि द्वारा विभाजन 0,001 से गुणा करने के बराबर है 1000 , फिर अल्पविराम हटाएँ दाईं ओर 3 अंक:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

उदाहरण 4) 26,397: 0,0001.

दशमलव को इससे विभाजित करें 0,0001 - यह इसे गुणा करने जैसा ही है 10000 (अल्पविराम हटाएँ 4 अंकों से सही). हम पाते हैं:

www.mathematics-repetition.com

10, 100, 0.1, 0.01 के रूप की संख्याओं से गुणा और भाग

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यह पाठ 10, 100, 0.1, 0.001 के रूप की संख्याओं से गुणा और भाग कैसे करें, इस पर ध्यान देगा। इस विषय पर विभिन्न उदाहरण भी हल किये जायेंगे।

संख्याओं को 10, 100 से गुणा करना

व्यायाम।संख्या 25.78 को 10 से कैसे गुणा करें?

किसी दी गई संख्या का दशमलव अंकन राशि के लिए एक आशुलिपि अंकन है। इसका अधिक विस्तार से वर्णन करना आवश्यक है:

इस प्रकार, आपको राशि को गुणा करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आप बस प्रत्येक पद को गुणा कर सकते हैं:

यह पता चला है कि...

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दशमलव भिन्न को 10 से गुणा करना बहुत सरल है: आपको दशमलव बिंदु को दाईं ओर ले जाना होगा।

व्यायाम। 25.486 को 100 से गुणा करें।

100 से गुणा करना 10 से दो बार गुणा करने के समान है। दूसरे शब्दों में, आपको दशमलव बिंदु को दो बार दाईं ओर ले जाना होगा:

संख्याओं को 10, 100 से विभाजित करना

व्यायाम। 25.78 को 10 से भाग दें।

पिछले मामले की तरह, आपको संख्या 25.78 को योग के रूप में प्रस्तुत करना होगा:

चूँकि आपको योग को विभाजित करने की आवश्यकता है, यह प्रत्येक पद को विभाजित करने के बराबर है:

इससे पता चलता है कि 10 से विभाजित करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु को बाईं ओर एक स्थान पर ले जाना होगा। उदाहरण के लिए:

व्यायाम। 124.478 को 100 से विभाजित करें।

100 से विभाजित करना 10 से दो बार विभाजित करने के समान है, इसलिए दशमलव बिंदु 2 स्थानों से बाईं ओर चला जाता है:

10, 100, 1000 से गुणा और भाग का नियम

यदि दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000 इत्यादि से गुणा करने की आवश्यकता है, तो आपको दशमलव बिंदु को दाईं ओर उतने स्थानों तक ले जाना होगा, जितने गुणक में शून्य हों।

इसके विपरीत, यदि दशमलव अंश को 10, 100, 1000, इत्यादि से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो आपको दशमलव बिंदु को बाईं ओर उतने स्थानों तक ले जाना होगा, जितने गुणक में शून्य हों।

उदाहरण जब अल्पविराम को स्थानांतरित करना आवश्यक हो, लेकिन कोई और संख्या नहीं बची हो

100 से गुणा करने का अर्थ है दशमलव स्थान को दो स्थान दाहिनी ओर खिसकाना।

बदलाव के बाद, आप पा सकते हैं कि दशमलव बिंदु के बाद कोई और अंक नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि भिन्नात्मक भाग गायब है। तब अल्पविराम की कोई आवश्यकता नहीं है, संख्या एक पूर्णांक है।

आपको दाईं ओर 4 स्थान स्थानांतरित करने की आवश्यकता है। लेकिन दशमलव बिंदु के बाद केवल दो अंक होते हैं। यह याद रखने योग्य है कि भिन्न 56.14 के लिए एक समतुल्य अंकन है।

अब 10,000 से गुणा करना आसान है:

यदि यह बहुत स्पष्ट नहीं है कि आप पिछले उदाहरण में भिन्न में दो शून्य क्यों जोड़ सकते हैं, तो लिंक पर अतिरिक्त वीडियो इसमें मदद कर सकता है।

समतुल्य दशमलव संकेतन

प्रविष्टि 52 का अर्थ निम्नलिखित है:

यदि हम 0 को सामने रखते हैं, तो हमें प्रविष्टि 052 मिलती है। ये प्रविष्टियाँ समतुल्य हैं।

क्या सामने दो शून्य लगाना संभव है? हाँ, ये प्रविष्टियाँ समतुल्य हैं।

आइए अब दशमलव भिन्न को देखें:

यदि आप शून्य निर्दिष्ट करते हैं, तो आपको मिलता है:

ये प्रविष्टियाँ समतुल्य हैं. इसी तरह, आप एकाधिक शून्य निर्दिष्ट कर सकते हैं।

इस प्रकार, किसी भी संख्या में भिन्नात्मक भाग के बाद कई शून्य और पूर्णांक भाग से पहले कई शून्य हो सकते हैं। ये एक ही संख्या की समतुल्य प्रविष्टियाँ होंगी।

चूंकि 100 से विभाजन होता है, इसलिए दशमलव बिंदु को 2 स्थिति बाईं ओर ले जाना आवश्यक है। दशमलव बिंदु के बाईं ओर कोई संख्या नहीं बची है. एक पूरा हिस्सा गायब है. यह नोटेशन अक्सर प्रोग्रामर द्वारा उपयोग किया जाता है। गणित में यदि कोई पूर्ण भाग न हो तो उसके स्थान पर शून्य लगा देते हैं।

आपको इसे तीन स्थानों तक बाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है, लेकिन वहां केवल दो स्थान हैं। यदि आप किसी संख्या के आगे कई शून्य लिखते हैं, तो यह एक तुल्य अंकन होगा।

अर्थात्, बाईं ओर शिफ्ट होने पर, यदि संख्याएँ समाप्त हो जाती हैं, तो आपको उन्हें शून्य से भरना होगा।

इस मामले में, यह याद रखने योग्य है कि अल्पविराम हमेशा पूरे भाग के बाद आता है। तब:

0.1, 0.01, 0.001 से गुणा और भाग करना

संख्याओं 10, 100, 1000 से गुणा और भाग करना एक बहुत ही सरल प्रक्रिया है। संख्या 0.1, 0.01, 0.001 के साथ स्थिति बिल्कुल वैसी ही है।

उदाहरण. 25.34 को 0.1 से गुणा करें।

आइए दशमलव भिन्न 0.1 को एक साधारण भिन्न के रूप में लिखें। लेकिन इससे गुणा करना 10 से भाग देने के समान है। इसलिए, आपको दशमलव बिंदु 1 को बाईं ओर ले जाना होगा:

इसी प्रकार, 0.01 से गुणा करना 100 से विभाजित करना है:

उदाहरण। 5.235 को 0.1 से विभाजित किया गया।

इस उदाहरण का समाधान इसी तरह से बनाया गया है: 0.1 को एक सामान्य अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है, और से विभाजित करना 10 से गुणा करने के समान है:

यानी, 0.1 से विभाजित करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु को दाईं ओर एक स्थान पर ले जाना होगा, जो 10 से गुणा करने के बराबर है।

0.1, 0.01, 0.001 से गुणा और भाग का नियम

10 से गुणा करना और 0.1 से भाग देना एक ही बात है। अल्पविराम को 1 स्थान से दाईं ओर ले जाना चाहिए।

10 से भाग देना और 0.1 से गुणा करना एक ही बात है। अल्पविराम को 1 स्थान से दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है:

उदाहरणों को हल करना

निष्कर्ष

इस पाठ में 10, 100 और 1000 से भाग और गुणा के नियमों का अध्ययन किया गया। इसके अलावा, 0.1, 0.01, 0.001 से गुणा और भाग के नियमों की जांच की गई।

इन नियमों के अनुप्रयोग के उदाहरणों की समीक्षा की गई और उनका समाधान किया गया।

ग्रन्थसूची

1. विलेनकिन एन.वाई.ए. गणित: पाठ्यपुस्तक। 5वीं कक्षा के लिए. सामान्य शिक्षा uchr. 17वां संस्करण. - एम.: मेनेमोसिन, 2005।

2. शेवकिन ए.वी. गणित शब्द समस्याएँ: 5-6। - एम.: इलेक्सा, 2011।

3. एर्शोवा ए.पी., गोलोबोरोडको वी.वी. स्वतंत्र और परीक्षण कार्य में सभी स्कूली गणित। गणित 5-6. - एम.: इलेक्सा, 2006।

4. खलेवन्युक एन.एन., इवानोवा एम.वी. गणित के पाठों में कंप्यूटिंग कौशल का गठन। ग्रेड 5-9. - एम.: इलेक्सा, 2011 .

1. इंटरनेट पोर्टल "शैक्षणिक विचारों का त्योहार" (स्रोत)

2. इंटरनेट पोर्टल "Matematica-na.ru" (स्रोत)

3. इंटरनेट पोर्टल "School.xvanit.com" (स्रोत)

गृहकार्य

3. भावों के अर्थों की तुलना करें:

शून्य के साथ क्रियाएँ

गणित में संख्या शून्यएक विशेष स्थान रखता है। तथ्य यह है कि संक्षेप में इसका अर्थ "कुछ नहीं", "खालीपन" है, लेकिन इसके महत्व को कम करके आंकना वाकई मुश्किल है। ऐसा करने के लिए, कम से कम यह याद रखना पर्याप्त है कि वास्तव में क्या है शून्य चिह्नऔर किसी भी समन्वय प्रणाली में बिंदु की स्थिति के निर्देशांक की गिनती शुरू हो जाती है।

शून्यदशमलव बिंदु के पहले और बाद में, "रिक्त" स्थानों के मान निर्धारित करने के लिए दशमलव अंशों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इसके अलावा, अंकगणित का एक मूलभूत नियम इसके साथ जुड़ा हुआ है, जो बताता है शून्यविभाजित नहीं किया जा सकता. इसका तर्क, सख्ती से कहें तो, इस संख्या के सार से उत्पन्न होता है: वास्तव में, यह कल्पना करना असंभव है कि इससे भिन्न कोई मूल्य (और स्वयं भी) "कुछ नहीं" में विभाजित किया जाएगा।

साथ शून्यसभी अंकगणितीय ऑपरेशन किए जाते हैं, और इसके "साझेदार" के रूप में वे पूर्णांक, साधारण और दशमलव अंशों का उपयोग कर सकते हैं, और उन सभी में सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान हो सकते हैं। आइए हम उनके कार्यान्वयन के उदाहरण और उनके लिए कुछ स्पष्टीकरण दें।

जोड़ते समय शून्यएक निश्चित संख्या (पूर्णांक और भिन्नात्मक दोनों, धनात्मक और ऋणात्मक दोनों) तक, इसका मान बिल्कुल अपरिवर्तित रहता है।

चौबीस प्लस शून्यचौबीस के बराबर है.

सत्रह दशमलव तीन आठवां प्लस शून्यसत्रह दशमलव तीन आठवें के बराबर है।

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शून्य अपने आप में एक बहुत ही दिलचस्प संख्या है. अपने आप में इसका मतलब खालीपन, अर्थ की कमी है और दूसरे नंबर के आगे इसका महत्व 10 गुना बढ़ जाता है। शून्य घात की कोई भी संख्या हमेशा 1 देती है। इस चिन्ह का उपयोग माया सभ्यता में किया गया था, और यह "शुरुआत, कारण" की अवधारणा को भी दर्शाता था। यहां तक ​​कि कैलेंडर की शुरुआत भी शून्य दिन से हुई। यह आंकड़ा सख्त प्रतिबंध से भी जुड़ा है.

हमारे प्राथमिक विद्यालय के वर्षों से, हम सभी ने यह नियम स्पष्ट रूप से सीखा है कि "आप शून्य से विभाजित नहीं हो सकते।" लेकिन अगर बचपन में आप बहुत सी चीजें विश्वास पर लेते हैं और किसी वयस्क की बातें शायद ही कभी संदेह पैदा करती हैं, तो समय के साथ कभी-कभी आप कारणों को समझना चाहते हैं, यह समझने के लिए कि कुछ नियम क्यों स्थापित किए गए थे।

आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते? मैं इस प्रश्न के लिए एक स्पष्ट तार्किक स्पष्टीकरण प्राप्त करना चाहूंगा। पहली कक्षा में, शिक्षक ऐसा नहीं कर सकते थे, क्योंकि गणित में नियमों को समीकरणों का उपयोग करके समझाया जाता है, और उस उम्र में हमें पता नहीं था कि यह क्या था। और अब इसका पता लगाने और स्पष्ट तार्किक स्पष्टीकरण प्राप्त करने का समय आ गया है कि आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते।

तथ्य यह है कि गणित में, संख्याओं के साथ चार बुनियादी संक्रियाओं (+, -, x, /) में से केवल दो को स्वतंत्र माना जाता है: गुणा और जोड़। शेष परिचालनों को व्युत्पन्न माना जाता है। आइए एक सरल उदाहरण देखें.

मुझे बताओ, यदि आप 20 में से 18 घटा दें तो आपको कितना मिलेगा? स्वाभाविक रूप से, उत्तर तुरंत हमारे दिमाग में उठता है: यह 2 होगा। हम इस नतीजे पर कैसे पहुंचे? यह प्रश्न कुछ लोगों को अजीब लगेगा - आखिरकार, सब कुछ स्पष्ट है कि परिणाम 2 होगा, कोई समझाएगा कि उसने 20 कोपेक में से 18 लिए और दो कोपेक प्राप्त किए। तार्किक रूप से, ये सभी उत्तर संदेह में नहीं हैं, लेकिन गणितीय दृष्टिकोण से, इस समस्या को अलग तरीके से हल किया जाना चाहिए। आइए हम एक बार फिर याद करें कि गणित में मुख्य संक्रियाएं गुणा और जोड़ हैं, और इसलिए हमारे मामले में उत्तर निम्नलिखित समीकरण को हल करने में निहित है: x + 18 = 20. जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि x = 20 - 18, x = 2 . ऐसा प्रतीत होता है, हर चीज़ का इतने विस्तार से वर्णन क्यों करें? आख़िरकार, सब कुछ इतना सरल है। हालाँकि, इसके बिना यह समझाना कठिन है कि आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते।

अब देखते हैं कि यदि हम 18 को शून्य से विभाजित करना चाहें तो क्या होगा। आइए फिर से समीकरण बनाएं: 18: 0 = x. चूँकि विभाजन संक्रिया गुणन प्रक्रिया का व्युत्पन्न है, हमारे समीकरण को बदलने पर हमें x * 0 = 18 मिलता है। यहीं से गतिरोध शुरू होता है। X के स्थान पर किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर 0 आएगा और हम 18 नहीं प्राप्त कर पाएंगे। अब यह बिल्कुल स्पष्ट हो गया है कि आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते। शून्य को किसी भी संख्या से विभाजित किया जा सकता है, लेकिन इसके विपरीत - अफसोस, यह असंभव है।

यदि आप शून्य को स्वयं से विभाजित करें तो क्या होगा? इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: 0: 0 = x, या x * 0 = 0. इस समीकरण में अनंत संख्या में समाधान हैं। अत: अंतिम परिणाम अनंत है। इसलिए, इस मामले में ऑपरेशन का भी कोई मतलब नहीं है।

0 से विभाजन कई काल्पनिक गणितीय चुटकुलों के मूल में है जिनका उपयोग यदि चाहें तो किसी भी अज्ञानी व्यक्ति को भ्रमित करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें: 4*x - 20 = 7*x - 35. आइए बाईं ओर के कोष्ठक में से 4 और दाईं ओर 7 निकालें। हमें मिलता है: 4*(x - 5) = 7*(x - 5). आइए अब समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को भिन्न 1 / (x - 5) से गुणा करें। समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा: 4*(x - 5)/(x - 5) = 7*(x - 5)/ (x - 5)। आइए भिन्नों को (x - 5) से कम करें और यह पता चलता है कि 4 = 7. इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि 2*2 = 7! निःसंदेह, यहाँ समस्या यह है कि यह 5 के बराबर है और भिन्नों को रद्द करना असंभव था, क्योंकि इसके कारण शून्य से विभाजन होता था। इसलिए, भिन्नों को कम करते समय, आपको हमेशा यह जांचना चाहिए कि हर में गलती से शून्य न आ जाए, अन्यथा परिणाम पूरी तरह से अप्रत्याशित होगा।

गणित में संख्या शून्यएक विशेष स्थान रखता है। तथ्य यह है कि संक्षेप में इसका अर्थ "कुछ नहीं", "खालीपन" है, लेकिन इसके महत्व को कम करके आंकना वाकई मुश्किल है। ऐसा करने के लिए, कम से कम यह याद रखना पर्याप्त है कि वास्तव में क्या है शून्य चिह्नऔर किसी भी समन्वय प्रणाली में बिंदु की स्थिति के निर्देशांक की गिनती शुरू हो जाती है।

शून्यदशमलव बिंदु के पहले और बाद में, "रिक्त" स्थानों के मान निर्धारित करने के लिए दशमलव अंशों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इसके अलावा, अंकगणित का एक मूलभूत नियम इसके साथ जुड़ा हुआ है, जो बताता है शून्यविभाजित नहीं किया जा सकता. इसका तर्क, सख्ती से कहें तो, इस संख्या के सार से उत्पन्न होता है: वास्तव में, यह कल्पना करना असंभव है कि इससे भिन्न कोई मूल्य (और स्वयं भी) "कुछ नहीं" में विभाजित किया जाएगा।

गणना उदाहरण

साथ शून्यसभी अंकगणितीय ऑपरेशन किए जाते हैं, और इसके "साझेदार" के रूप में वे पूर्णांक, साधारण और दशमलव अंशों का उपयोग कर सकते हैं, और उन सभी में सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान हो सकते हैं। आइए हम उनके कार्यान्वयन के उदाहरण और उनके लिए कुछ स्पष्टीकरण दें।

जोड़ना

जोड़ते समय शून्यएक निश्चित संख्या (पूर्णांक और भिन्नात्मक दोनों, धनात्मक और ऋणात्मक दोनों) तक, इसका मान बिल्कुल अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण 1

चौबीस प्लस शून्यचौबीस के बराबर है.

उदाहरण 2

सत्रह दशमलव तीन आठवां प्लस शून्यसत्रह दशमलव तीन आठवें के बराबर है।

गुणा

किसी भी संख्या (पूर्णांक, भिन्न, धनात्मक या ऋणात्मक) को गुणा करते समय शून्ययह पता चला है शून्य.

उदाहरण 1

पांच सौ छियासी बार शून्यके बराबर होती है शून्य.

उदाहरण 2

शून्यएक सौ पैंतीस दशमलव छह सात से गुणा किया गया शून्य.

उदाहरण 3

शून्यगुणा करके शून्यके बराबर होती है शून्य.

विभाजन

ऐसे मामलों में जहां संख्याओं में से एक शून्य है, संख्याओं को एक-दूसरे से विभाजित करने के नियम इस बात पर निर्भर करते हैं कि शून्य स्वयं क्या भूमिका निभाता है: लाभांश या भाजक?

ऐसे मामलों में जहां शून्यलाभांश का प्रतिनिधित्व करता है, तो विभाजक के मूल्य की परवाह किए बिना, परिणाम हमेशा इसके बराबर होता है।

उदाहरण 1

शून्यदो सौ पैंसठ से विभाजित बराबर शून्य.

उदाहरण 2

शून्यसत्रह पांच सौ छियानवे से विभाजित बराबर शून्य.

0:

= 0

विभाजित करना शून्य से शून्यगणित के नियमों के अनुसार यह असंभव है। इसका मतलब यह है कि ऐसी प्रक्रिया करते समय भागफल अनिश्चित होता है। इस प्रकार, सिद्धांत रूप में, यह बिल्कुल किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकता है।

0: 0 = 8 क्योंकि 8 × 0 = 0

गणित में एक समस्या है जैसे शून्य से शून्य का विभाजन, इसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसका परिणाम एक अनंत सेट है। हालाँकि, यह कथन सत्य है यदि कोई अतिरिक्त डेटा प्रदान नहीं किया गया है जो अंतिम परिणाम को प्रभावित कर सकता है।

इनमें, यदि मौजूद हैं, तो लाभांश और भाजक दोनों के परिमाण में परिवर्तन की डिग्री का संकेत देना चाहिए, और उस क्षण से पहले भी जब वे बदल गए थे शून्य. यदि इसे परिभाषित किया जाए तो एक अभिव्यक्ति जैसे शून्यसे भाग शून्य, अधिकांश मामलों में कुछ अर्थ जोड़े जा सकते हैं।

शून्य से विभाजनगणित में वह भाग जिसमें भाजक शून्य होता है। ऐसे विभाजन को औपचारिक रूप से लिखा जा सकता है ⁄ 0, लाभांश कहाँ है।

सामान्य अंकगणित में (वास्तविक संख्याओं के साथ), इस अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि:

• ≠ 0 के लिए ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसे 0 से गुणा करने पर कोई संख्या प्राप्त हो, इसलिए किसी भी संख्या को भागफल ⁄ 0 के रूप में नहीं लिया जा सकता है;
• = 0 पर, शून्य से विभाजन भी अपरिभाषित है, क्योंकि किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर 0 मिलता है और भागफल 0 ⁄ 0 के रूप में लिया जा सकता है।

ऐतिहासिक रूप से, मान निर्दिष्ट करने की गणितीय असंभवता के पहले संदर्भों में से एक ⁄ 0 जॉर्ज बर्कले की इनफिनिटसिमल कैलकुलस की आलोचना में निहित है।

तार्किक त्रुटियाँ

चूँकि जब हम किसी संख्या को शून्य से गुणा करते हैं, तो परिणाम के रूप में हमें हमेशा शून्य प्राप्त होता है, जब हम अभिव्यक्ति के दोनों भागों को विभाजित करते हैं × 0 = × 0, जो कि मान की परवाह किए बिना सत्य है और, 0 से हमें अभिव्यक्ति = मिलती है, जो मनमाने ढंग से निर्दिष्ट चर के मामले में गलत है। चूँकि शून्य को स्पष्ट रूप से नहीं, बल्कि एक जटिल गणितीय अभिव्यक्ति के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए बीजगणितीय परिवर्तनों के माध्यम से एक दूसरे से कम किए गए दो मूल्यों के अंतर के रूप में, ऐसा विभाजन एक स्पष्ट त्रुटि हो सकता है। स्पष्ट रूप से अलग-अलग मात्राओं की पहचान दिखाने के लिए प्रमाण की प्रक्रिया में इस तरह के विभाजन का अगोचर परिचय, जिससे कोई भी बेतुका बयान साबित हो, गणितीय परिष्कार की किस्मों में से एक है।

कंप्यूटर विज्ञान में

प्रोग्रामिंग में, प्रोग्रामिंग भाषा, डेटा प्रकार और लाभांश के मूल्य के आधार पर, शून्य से विभाजित करने के प्रयास के अलग-अलग परिणाम हो सकते हैं। पूर्णांक और वास्तविक अंकगणित में शून्य से विभाजन के परिणाम मौलिक रूप से भिन्न हैं:

• कोशिश करना पूर्णांकशून्य से विभाजन हमेशा एक गंभीर त्रुटि होती है जो प्रोग्राम के आगे निष्पादन को असंभव बना देती है। यह या तो एक अपवाद फेंकता है (जिसे प्रोग्राम स्वयं संभाल सकता है, जिससे दुर्घटना से बचा जा सकता है), या प्रोग्राम को तुरंत बंद कर देता है, एक अचूक त्रुटि संदेश और संभवतः कॉल स्टैक की सामग्री प्रदर्शित करता है। कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं में, जैसे कि गो, शून्य स्थिरांक द्वारा पूर्णांक विभाजन को एक वाक्यविन्यास त्रुटि माना जाता है और प्रोग्राम को असामान्य रूप से संकलित करने का कारण बनता है।
• में असलीविभिन्न भाषाओं में अंकगणितीय परिणाम भिन्न हो सकते हैं:

• अपवाद फेंकना या प्रोग्राम को रोकना, जैसा कि पूर्णांक विभाजन के साथ होता है;
• किसी ऑपरेशन के परिणामस्वरूप एक विशेष गैर-संख्यात्मक मान प्राप्त करना। इस मामले में, गणना बाधित नहीं होती है, और उनके परिणाम को बाद में प्रोग्राम या उपयोगकर्ता द्वारा सार्थक मूल्य या गलत गणना के सबूत के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। एक व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला सिद्धांत यह है कि ⁄ 0 की तरह विभाजित करते समय, जहां ≠ 0 एक फ्लोटिंग पॉइंट संख्या है, परिणाम सकारात्मक या नकारात्मक (लाभांश के संकेत के आधार पर) अनंत के बराबर होता है - या, और जब = 0 परिणाम होता है विशेष मान NaN (संक्षेप अंग्रेजी से "एक संख्या नहीं" - "एक संख्या नहीं")। यह दृष्टिकोण IEEE 754 मानक में अपनाया गया है, जो कई आधुनिक प्रोग्रामिंग भाषाओं द्वारा समर्थित है।

कंप्यूटर प्रोग्राम में शून्य से आकस्मिक विभाजन कभी-कभी प्रोग्राम द्वारा नियंत्रित हार्डवेयर में महंगी या खतरनाक खराबी का कारण बन सकता है। उदाहरण के लिए, 21 सितंबर 1997 को, अमेरिकी नौसेना क्रूजर यूएसएस यॉर्कटाउन (सीजी-48) के कम्प्यूटरीकृत नियंत्रण प्रणाली में शून्य से विभाजन के परिणामस्वरूप, सिस्टम के सभी इलेक्ट्रॉनिक उपकरण बंद हो गए, जिससे जहाज की प्रणोदन प्रणाली बंद हो गई। संचालन बंद करो.

यह सभी देखें

टिप्पणियाँ

फ़ंक्शन = 1 ⁄ . जब यह दाईं ओर से शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, तो यह अनंत की ओर प्रवृत्त होता है; जब बायीं ओर से शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, तो शून्य से अनंत की ओर प्रवृत्त होता है

यदि आप नियमित कैलकुलेटर पर किसी भी संख्या को शून्य से विभाजित करते हैं, तो यह आपको अक्षर ई या त्रुटि शब्द देगा, अर्थात "त्रुटि"।

इसी तरह के मामले में, कंप्यूटर कैलकुलेटर (Windows XP में) लिखता है: "शून्य से विभाजन निषिद्ध है।"

सब कुछ स्कूल के ज्ञात नियम के अनुरूप है कि आप शून्य से भाग नहीं दे सकते।

आइए जानें क्यों।

भाग गुणन के विपरीत गणितीय संक्रिया है। भाग का निर्धारण गुणन द्वारा किया जाता है।

किसी संख्या को विभाजित करें ए(विभाज्य, उदाहरण के लिए 8) संख्या से बी(भाजक, उदाहरण के लिए संख्या 2) - का अर्थ है ऐसी संख्या ज्ञात करना एक्स(भागफल), जब एक भाजक से गुणा किया जाता है बीइससे लाभांश प्राप्त होता है ए(4 2 = 8), अर्थात् एसे भाग बीइसका अर्थ है समीकरण x · b = a को हल करना।

समीकरण a: b = x, समीकरण x · b = a के समतुल्य है।

हम भाग को गुणन से बदलते हैं: 8:2 = x के बजाय हम x · 2 = 8 लिखते हैं।

8: 2 = 4, 4 2 = 8 के बराबर है

18: 3 = 6, 6 3 = 18 के बराबर है

20: 2 = 10, 10 2 = 20 के बराबर है

भाग के परिणाम को सदैव गुणन द्वारा जांचा जा सकता है। किसी भाजक को भागफल से गुणा करने का परिणाम लाभांश होना चाहिए।

आइए इसी प्रकार शून्य से भाग देने का प्रयास करें।

उदाहरण के लिए, 6: 0 = ... हमें एक ऐसी संख्या ढूंढनी है, जिसे 0 से गुणा करने पर 6 मिले। लेकिन हम जानते हैं कि जब शून्य से गुणा किया जाता है, तो हमें हमेशा शून्य मिलता है। ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसे शून्य से गुणा करने पर शून्य के अलावा कुछ और मिलता हो।

जब वे कहते हैं कि शून्य से विभाजित करना असंभव या निषिद्ध है, तो उनका मतलब है कि ऐसे विभाजन के परिणाम के अनुरूप कोई संख्या नहीं है (शून्य से विभाजित करना संभव है, लेकिन विभाजित करना नहीं है :))।

वे स्कूल में क्यों कहते हैं कि आप शून्य से भाग नहीं दे सकते?

इसलिए में परिभाषा a को b से विभाजित करने की क्रिया तुरंत इस बात पर जोर देती है कि b ≠ 0 है।

यदि ऊपर लिखी हर बात आपको बहुत जटिल लग रही है, तो बस इसे आज़माएं: 8 को 2 से विभाजित करने का मतलब यह पता लगाना है कि 8 प्राप्त करने के लिए आपको कितने दो जोड़ने की आवश्यकता है (उत्तर: 4)। 18 को 3 से विभाजित करने का मतलब यह पता लगाना है कि 18 प्राप्त करने के लिए आपको कितने तीन लेने होंगे (उत्तर: 6)।

6 को शून्य से विभाजित करने का अर्थ है यह पता लगाना कि 6 प्राप्त करने के लिए आपको कितने शून्य लेने होंगे। आप चाहे कितने भी शून्य लें, फिर भी आपको एक शून्य ही मिलेगा, लेकिन आपको कभी भी 6 नहीं मिलेगा, यानी शून्य से विभाजन अपरिभाषित है।

यदि आप एंड्रॉइड कैलकुलेटर पर किसी संख्या को शून्य से विभाजित करने का प्रयास करते हैं तो एक दिलचस्प परिणाम प्राप्त होता है। स्क्रीन ∞ (अनंत) (या ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने पर - ∞) प्रदर्शित करेगी। यह परिणाम गलत है क्योंकि संख्या ∞ मौजूद नहीं है। जाहिरा तौर पर, प्रोग्रामर ने पूरी तरह से अलग-अलग ऑपरेशनों को भ्रमित कर दिया - संख्याओं को विभाजित करना और संख्या अनुक्रम n/x की सीमा का पता लगाना, जहां x → 0. शून्य को शून्य से विभाजित करने पर, NaN (एक संख्या नहीं) लिखा जाएगा।

"आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!" - अधिकांश स्कूली बच्चे बिना कोई प्रश्न पूछे इस नियम को कंठस्थ कर लेते हैं। सभी बच्चे जानते हैं कि "आप नहीं कर सकते" क्या है और यदि आप इसके उत्तर में पूछें: "क्यों?" तो क्या होगा? लेकिन वास्तव में यह जानना बेहद दिलचस्प और जरूरी है कि ऐसा क्यों संभव नहीं हो पाता।

बात यह है कि अंकगणित की चार संक्रियाएँ - जोड़, घटाव, गुणा और भाग - वास्तव में असमान हैं। गणितज्ञ उनमें से केवल दो को ही मान्य मानते हैं: जोड़ और गुणा। ये संक्रियाएँ और उनके गुण संख्या की अवधारणा की परिभाषा में ही शामिल हैं। अन्य सभी क्रियाएँ किसी न किसी रूप में इन्हीं दोनों से निर्मित होती हैं।

उदाहरण के लिए, घटाव पर विचार करें। मतलब क्या है 5 - 3 ? छात्र इसका सरलता से उत्तर देगा: आपको पांच वस्तुएं लेनी होंगी, उनमें से तीन को हटा देना होगा और देखना होगा कि कितनी बची हैं। लेकिन गणितज्ञ इस समस्या को बिल्कुल अलग तरीके से देखते हैं। इसमें कोई घटाव नहीं है, केवल जोड़ है। इसलिए प्रवेश 5 - 3 एक संख्या का मतलब है, जब किसी संख्या में जोड़ा जाता है 3 एक नंबर देंगे 5 . वह है 5 - 3 यह समीकरण का बस एक आशुलिपि संस्करण है: एक्स + 3 = 5. इस समीकरण में कोई घटाव नहीं है.

शून्य से विभाजन

केवल एक कार्य है - एक उपयुक्त संख्या ढूँढ़ना।

गुणा और भाग के साथ भी यही सच है। अभिलेख 8: 4 इसे आठ वस्तुओं को चार बराबर ढेरों में विभाजित करने के परिणाम के रूप में समझा जा सकता है। परंतु वास्तव में यह समीकरण का संक्षिप्त रूप मात्र है 4 x = 8.

यहीं पर यह स्पष्ट हो जाता है कि शून्य से विभाजित करना असंभव (या बल्कि असंभव) क्यों है। अभिलेख 5: 0 का संक्षिप्त रूप है 0 एक्स = 5. अर्थात् यह कार्य एक ऐसी संख्या ज्ञात करना है, जिसे गुणा करने पर 0 दे देंगे 5 . लेकिन हम जानते हैं कि जब इसे गुणा किया जाता है 0 यह हमेशा काम करता है 0 . यह शून्य का एक अंतर्निहित गुण है, कड़ाई से कहें तो इसकी परिभाषा का हिस्सा है।

ऐसी संख्या जिसे गुणा करने पर 0 शून्य के अलावा कुछ और देगा, इसका अस्तित्व ही नहीं है। यानी हमारी समस्या का कोई समाधान नहीं है. (हाँ, ऐसा होता है; हर समस्या का समाधान नहीं होता।) जिसका अर्थ है अभिलेख 5: 0 किसी विशिष्ट संख्या के अनुरूप नहीं है, और इसका कोई मतलब नहीं है और इसलिए इसका कोई अर्थ नहीं है। इस प्रविष्टि की निरर्थकता को संक्षेप में यह कहकर व्यक्त किया गया है कि आप शून्य से भाग नहीं दे सकते।

इस स्थान पर सबसे चौकस पाठक निश्चित रूप से पूछेंगे: क्या शून्य को शून्य से विभाजित करना संभव है?

दरअसल, समीकरण 0 एक्स = 0सफलतापूर्वक हल किया गया. उदाहरण के तौर पर आप ले सकते हैं एक्स = 0, और फिर हमें मिलता है 0 0 = 0. यह पता चला है 0: 0=0 ? लेकिन आइए जल्दबाजी न करें। आइए लेने का प्रयास करें एक्स = 1. हम पाते हैं 0 1 = 0. सही? मतलब, 0: 0 = 1 ? लेकिन आप कोई भी नंबर ले सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 वगैरह।

लेकिन यदि कोई संख्या उपयुक्त है तो हमारे पास उनमें से किसी एक को चुनने का कोई कारण नहीं है। अर्थात्, हम यह नहीं कह सकते कि प्रविष्टि किस संख्या से मेल खाती है 0: 0 . और यदि हां, तो हमें यह स्वीकार करने के लिए मजबूर होना पड़ता है कि इस प्रविष्टि का भी कोई मतलब नहीं है। इससे पता चलता है कि शून्य को भी शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता। (गणितीय विश्लेषण में, ऐसे मामले होते हैं, जब समस्या की अतिरिक्त स्थितियों के कारण, कोई समीकरण के संभावित समाधानों में से किसी एक को प्राथमिकता दे सकता है 0 एक्स = 0; ऐसे मामलों में, गणितज्ञ "अनिश्चितता प्रकट होने" की बात करते हैं, लेकिन अंकगणित में ऐसे मामले नहीं होते हैं।)

यह डिवीजन ऑपरेशन की खासियत है. अधिक सटीक रूप से, गुणन की संक्रिया और उससे जुड़ी संख्या में शून्य होता है।

खैर, अब तक पढ़ने वाले सबसे सूक्ष्म लोग पूछ सकते हैं: ऐसा क्यों होता है कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते, लेकिन आप शून्य घटा सकते हैं? एक तरह से, यहीं से वास्तविक गणित शुरू होता है। आप इसका उत्तर केवल संख्यात्मक सेटों की औपचारिक गणितीय परिभाषाओं और उन पर संक्रियाओं से परिचित होकर ही दे सकते हैं। यह उतना कठिन नहीं है, लेकिन किसी कारणवश इसे स्कूल में नहीं पढ़ाया जाता। लेकिन विश्वविद्यालय में गणित के व्याख्यानों में सबसे पहले आपको यही सिखाया जाएगा।

विभाजन फ़ंक्शन उस श्रेणी के लिए परिभाषित नहीं है जहां भाजक शून्य है। आप विभाजित कर सकते हैं, लेकिन परिणाम निश्चित नहीं है

आप शून्य से भाग नहीं दे सकते. माध्यमिक विद्यालय ग्रेड 2 गणित।

यदि मेरी स्मृति सही ढंग से मेरी सेवा करती है, तो शून्य को एक अतिसूक्ष्म मान के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए अनंत होगा। और स्कूल "शून्य - कुछ भी नहीं" सिर्फ एक सरलीकरण है; स्कूल गणित में उनमें से बहुत सारे हैं)। लेकिन उनके बिना यह असंभव है, सब कुछ नियत समय पर होगा।

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शून्य से विभाजन

भागफल से शून्य से विभाजनशून्य के अलावा कोई संख्या नहीं है.

यहां तर्क इस प्रकार है: चूंकि इस मामले में कोई भी संख्या भागफल की परिभाषा को संतुष्ट नहीं कर सकती है।

आइए लिखें, उदाहरण के लिए,

आप जो भी संख्या आज़माएँ (जैसे, 2, 3, 7), वह उपयुक्त नहीं है क्योंकि:

\[2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[7 0 = 0 \]

यदि आप 0 से भाग दें तो क्या होगा?

आदि, लेकिन आपको उत्पाद में 2,3,7 प्राप्त करने की आवश्यकता है।

हम कह सकते हैं कि किसी गैर-शून्य संख्या को शून्य से विभाजित करने की समस्या का कोई समाधान नहीं है। हालाँकि, शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या को इच्छानुसार शून्य के करीब की संख्या से विभाजित किया जा सकता है, और भाजक शून्य के जितना करीब होगा, भागफल उतना ही बड़ा होगा। इसलिए, यदि हम 7 को विभाजित करते हैं

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

तब हमें भागफल 70, 700, 7000, 70,000 आदि प्राप्त होते हैं, जो बिना किसी सीमा के बढ़ते हैं।

इसलिए, वे अक्सर कहते हैं कि 7 को 0 से विभाजित करने पर भागफल "अनंत बड़ा" या "अनंत के बराबर" होता है, और लिखते हैं

\[7:0 = \इन्फिन \]

इस अभिव्यक्ति का अर्थ यह है कि यदि भाजक शून्य के करीब पहुंचता है और लाभांश 7 के बराबर रहता है (या 7 के करीब पहुंचता है), तो भागफल बिना किसी सीमा के बढ़ता है।