द्विघात असमानता शून्य से कम है। वर्ग असमानताएँ। अंतराल विधि लागू करने के लिए एल्गोरिदम

वर्ग असमानता - "FROM and TO"।इस लेख में, हम द्विघात असमानताओं के समाधान पर विचार करेंगे, जिसे सूक्ष्मता कहा जाता है। मेरा सुझाव है कि बिना कुछ खोए लेख की सामग्री का ध्यानपूर्वक अध्ययन करें। आप तुरंत लेख में महारत हासिल नहीं कर पाएंगे, मैं इसे कई तरीकों से करने की सलाह देता हूं, बहुत सारी जानकारी है।

विषय:

परिचय। जरूरी!

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द्विघात असमानता प्रपत्र की असमानता है:

यदि आप एक द्विघात समीकरण लेते हैं और उपरोक्त में से किसी के साथ समान चिह्न को प्रतिस्थापित करते हैं, तो आपको द्विघात असमानता प्राप्त होती है। एक असमानता को हल करने का अर्थ है इस प्रश्न का उत्तर देना कि दी गई असमानता के कौन से मान x के लिए सत्य होंगे। उदाहरण:

10 एक्स 2 – 6 एक्स+12 ≤ 0

2 एक्स 2 + 5 एक्स –500 > 0

– 15 एक्स 2 – 2 एक्स+13 > 0

8 एक्स 2 – 15 एक्स+45≠ 0

उदाहरण के लिए, द्विघात असमानता को स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है:

10 एक्स 2 – 6 एक्स+14 एक्स 2 –5 एक्स +2≤ 56

2 एक्स 2 > 36

8 एक्स 2 <–15 एक्स 2 – 2 एक्स+13

0> – 15 एक्स 2 – 2 एक्स+13

इस मामले में, बीजीय परिवर्तन करना और इसे मानक रूप (1) में लाना आवश्यक है।

* गुणांक भिन्नात्मक और अपरिमेय दोनों हो सकते हैं, लेकिन स्कूल पाठ्यक्रम में ऐसे उदाहरण दुर्लभ हैं, और वे यूएसई असाइनमेंट में बिल्कुल नहीं पाए जाते हैं। लेकिन डरो मत अगर, उदाहरण के लिए, आप मिलते हैं:

यह भी एक द्विघात असमानता है।

सबसे पहले, एक सरल समाधान एल्गोरिथ्म पर विचार करें जिसमें यह समझने की आवश्यकता नहीं है कि द्विघात फ़ंक्शन क्या है और समन्वय अक्षों के सापेक्ष समन्वय विमान पर इसका ग्राफ़ कैसा दिखता है। यदि आप नियमित रूप से अभ्यास के साथ इसे मजबूत करते हुए जानकारी को दृढ़ता से और लंबे समय तक याद रखने में सक्षम हैं, तो एल्गोरिथम आपकी मदद करेगा। इसके अलावा, यदि आप, जैसा कि वे कहते हैं, इस तरह की असमानता को "एक बार में" हल करने की आवश्यकता है, तो एल्गोरिथ्म आपकी मदद करेगा। इसका पालन करने से आप समाधान को आसानी से लागू कर पाएंगे।

यदि आप स्कूल में पढ़ते हैं, तो मैं दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं कि आप दूसरे भाग से लेख का अध्ययन करना शुरू करें, जो समाधान का पूरा अर्थ बताता है (पैराग्राफ से नीचे देखें -)। यदि सार की समझ है, तो सीखना आवश्यक नहीं होगा, निर्दिष्ट एल्गोरिदम को याद नहीं करना, आप आसानी से किसी भी द्विघात असमानता को आसानी से हल कर सकते हैं।

बेशक, किसी को तुरंत द्विघात फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ स्पष्टीकरण शुरू करना चाहिए और स्वयं अर्थ की व्याख्या करनी चाहिए, लेकिन मैंने इस तरह से लेख को "निर्माण" करने का निर्णय लिया।

एक और सैद्धांतिक क्षण! एक वर्ग त्रिपद को गुणनखंडों में विभाजित करने के सूत्र को देखें:

जहाँ x 1 और x 2 द्विघात समीकरण ax 2 . के मूल हैं+ बीएक्स+सी = 0

*द्विघात असमानता को हल करने के लिए वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करना आवश्यक होगा।

नीचे प्रस्तुत एल्गोरिथम को अंतराल विधि भी कहा जाता है। यह फॉर्म की असमानताओं को हल करने के लिए उपयुक्त है एफ(एक्स)>0, एफ(एक्स)<0 , एफ(एक्स)≥0 औरएफ(एक्स)≤0 . कृपया ध्यान दें कि दो से अधिक गुणक हो सकते हैं, उदाहरण के लिए:

(x-10)(x+5)(x-1)(x+104)(x+6)(x-1)<0

समाधान एल्गोरिथ्म। अंतराल विधि। उदाहरण।

असमानता को देखते हुए कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स+ ग > 0 (कोई भी चिन्ह)।

1. द्विघात समीकरण लिखिए कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स+ सी = 0 और हम इसे हल करते हैं। हमें मिला एक्स 1 और एक्स 2द्विघात समीकरण के मूल हैं।

2. सूत्र में प्रतिस्थापित करें (2) गुणांक ए और जड़ें। :

ए (एक्स – एक्स 1 )(एक्स – एक्स 2)>0

3. संख्या रेखा पर अंतराल निर्धारित करें (समीकरण की जड़ें संख्या अक्ष को अंतराल में विभाजित करती हैं):

4. हम व्यंजक में प्रत्येक प्राप्त अंतराल से "x" के मनमाना मान को प्रतिस्थापित करके अंतराल (+ या -) पर "संकेत" निर्धारित करते हैं:

ए (एक्स – एक्स 1 )(एक्स – x2)

और उन्हें मनाते हैं।

5. यह केवल हमारे लिए ब्याज के अंतराल को लिखने के लिए बनी हुई है, उन्हें चिह्नित किया गया है:

- अगर असमानता ">0" या "≥0" थी तो "+" पर हस्ताक्षर करें।

- चिह्न "-", यदि असमानता थी "<0» или «≤0».

ध्यान दें!!! असमानता में स्वयं संकेत हो सकते हैं:

सख्त है ">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».

यह निर्णय के परिणाम को कैसे प्रभावित करता है?

सख्त असमानता के संकेतों के साथ, अंतराल की सीमाओं को समाधान में शामिल नहीं किया जाता है, जबकि उत्तर में अंतराल को ही लिखा जाता है ( एक्स 1 ; एक्स 2 ) गोल कोष्ठक हैं।

गैर-सख्त असमानता संकेतों के लिए, अंतराल की सीमाएं समाधान दर्ज करें, और उत्तर के रूप में लिखा गया है [ एक्स 1 ; एक्स 2 ] - वर्ग कोष्ठक।

* यह न केवल वर्ग असमानताओं पर लागू होता है। वर्गाकार कोष्ठक का अर्थ है कि अंतराल की सीमा ही समाधान में शामिल है।

आप इसे उदाहरणों में देखेंगे। आइए इसके बारे में सभी प्रश्नों को दूर करने के लिए कुछ पर एक नज़र डालें। सिद्धांत रूप में, एल्गोरिथ्म कुछ जटिल लग सकता है, वास्तव में, सब कुछ सरल है।

उदाहरण 1: निर्णय लें एक्स 2 – 60 एक्स+500 ≤ 0

हम एक द्विघात समीकरण हल करते हैं एक्स 2 –60 एक्स+500=0

डी = बी 2 –4 एसी = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

जड़ें ढूँढना:

हम गुणांक को प्रतिस्थापित करते हैं ए

एक्स 2 –60 एक्स+500 = (x-50)(x-10)

हम असमानता को फॉर्म में लिखते हैं (х–50)(х–10) 0

समीकरण के मूल संख्या रेखा को अंतरालों में विभाजित करते हैं। आइए उन्हें संख्या रेखा पर दिखाते हैं:

हमें तीन अंतराल (-∞;10), (10;50) और (50;+∞) मिले।

हम अंतराल पर "संकेत" निर्धारित करते हैं, प्रत्येक प्राप्त अंतराल के मनमाना मूल्यों को अभिव्यक्ति (x-50) (x-10) में प्रतिस्थापित करके ऐसा करते हैं और प्राप्त "चिह्न" के पत्राचार को देखते हैं असमानता में साइन इन करें (х–50)(х–10) 0:

x=2 पर (x-50)(x-10) = 384 > 0 गलत है

x=20 पर (x-50)(x-10) = –300 < 0 верно

x=60 पर (x-50)(x-10) = 500 > 0 गलत है

समाधान अंतराल होगा।

इस अंतराल से x के सभी मानों के लिए, असमानता सत्य होगी।

*कृपया ध्यान दें कि हमने वर्ग कोष्ठक शामिल किए हैं।

x = 10 और x = 50 के लिए, असमानता भी सत्य होगी, अर्थात समाधान में सीमाएं शामिल हैं।

उत्तर: x∊

फिर से:

- अंतराल की सीमाओं को असमानता के समाधान में शामिल किया जाता है जब स्थिति में या (गैर-सख्त असमानता) का संकेत होता है। उसी समय, स्केच में प्राप्त जड़ों को HASHED सर्कल के साथ प्रदर्शित करने की प्रथा है।

- अंतराल की सीमाओं को असमानता के समाधान में शामिल नहीं किया जाता है जब स्थिति में संकेत होता है< или >(सख्त असमानता)। उसी समय, स्केच में रूट को UNSHATCHED सर्कल के साथ प्रदर्शित करने की प्रथा है।

उदाहरण 2: हल करें एक्स 2 + 4 एक्स–21 > 0

हम एक द्विघात समीकरण हल करते हैं एक्स 2 + 4 एक्स–21 = 0

डी = बी 2 –4 एसी = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

जड़ें ढूँढना:

हम गुणांक को प्रतिस्थापित करते हैं एऔर मूल सूत्र (2) में, हम प्राप्त करते हैं:

एक्स 2 + 4 एक्स-21 = (x-3)(x+7)

हम असमानता को फॉर्म में लिखते हैं (х–3)(х+7) > 0.

समीकरण के मूल संख्या रेखा को अंतरालों में विभाजित करते हैं। आइए उन्हें संख्या रेखा पर चिह्नित करें:

*असमानता सख्त नहीं है, इसलिए जड़ों का अंकन छायांकित नहीं है। हमें तीन अंतराल (–∞;–7), (–7;3) और (3;+∞) प्राप्त हुए।

हम अंतराल पर "संकेत" निर्धारित करते हैं, हम इन अंतरालों के मनमाने मूल्यों को अभिव्यक्ति (x–3) (x + 7) में प्रतिस्थापित करके ऐसा करते हैं और असमानता के पत्राचार को देखते हैं (х–3)(х+7)> 0:

पर x= -10 (-10-3)(-10 +7) = 39 > 0 सत्य

x \u003d 0 (0–3) (0 + 7) \u003d -21 . पर< 0 неверно

पर x=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 सत्य

समाधान दो अंतराल (-∞;–7) और (3;+∞) होगा। इन अंतरालों से x के सभी मानों के लिए, असमानता सत्य होगी।

* कृपया ध्यान दें कि हमने कोष्ठक शामिल किए हैं। x = 3 और x = -7 के लिए, असमानता गलत होगी - समाधान में सीमाएं शामिल नहीं हैं।

उत्तर: x∊(–∞;–7) यू (3;+∞)

उदाहरण 3: हल करें – एक्स 2 –9 एक्स–20 > 0

हम एक द्विघात समीकरण हल करते हैं – एक्स 2 –9 एक्स–20 = 0.

ए = –1 बी = –9 सी = –20

डी = बी 2 –4 एसी = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

जड़ें ढूँढना:

हम गुणांक को प्रतिस्थापित करते हैं एऔर मूल सूत्र (2) में, हम प्राप्त करते हैं:

– एक्स 2 –9 एक्स-20 =–(x–(–5))(x–(–4))= –(x+5)(x+4)

हम असमानता को फॉर्म में लिखते हैं -(x+5)(x+4) > 0.

समीकरण के मूल संख्या रेखा को अंतरालों में विभाजित करते हैं। संख्या रेखा पर ध्यान दें:

*असमानता सख्त है, इसलिए जड़ों के प्रतीक छायांकित नहीं हैं। हमें तीन अंतराल (–∞;–5), (–5; –4) और (–4;+∞) प्राप्त हुए।

हम अंतराल पर "संकेत" निर्धारित करते हैं, हम इसे अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करके करते हैं -(x+5)(x+4)इन अंतरालों के मनमाना मूल्य और असमानता के पत्राचार को देखें -(x+5)(x+4)>0:

पर x= -10 - (-10+5)(-10 +4) = -30< 0 неверно

पर x= -4.5 - (-4.5+5)(-4.5+4) = 0.25 > 0 सच

x \u003d 0 - (0 + 5) (0 + 4) \u003d -20 . पर< 0 неверно

समाधान अंतराल (-5; -4) होगा। इससे संबंधित "x" के सभी मूल्यों के लिए, असमानता सही होगी।

*कृपया ध्यान दें कि समाधान में सीमाएं शामिल नहीं हैं। x = -5 और x = -4 के लिए, असमानता सत्य नहीं होगी।

टिप्पणी!

द्विघात समीकरण को हल करते समय, हमें एक मूल मिल सकता है या कोई मूल नहीं होगा, तो इस विधि का आँख बंद करके उपयोग करते समय, समाधान का निर्धारण करना मुश्किल हो सकता है।

छोटा सारांश! विधि अच्छी और उपयोग में सुविधाजनक है, खासकर यदि आप द्विघात फलन से परिचित हैं और इसके ग्राफ के गुणों को जानते हैं। यदि नहीं, तो कृपया इसे पढ़ें, अगले भाग पर जाएँ।

द्विघात फलन के ग्राफ़ का उपयोग करना। मेरा सुझाव है!

द्विघात रूप का एक कार्य है:

इसका ग्राफ एक परवलय है, परवलय की शाखाएँ ऊपर या नीचे निर्देशित होती हैं:

ग्राफ निम्नानुसार स्थित हो सकता है: यह दो बिंदुओं पर एक्स-अक्ष को पार कर सकता है, यह इसे एक बिंदु (शीर्ष) पर छू सकता है, यह पार नहीं कर सकता है। इस पर और बाद में।

आइए अब इस दृष्टिकोण को एक उदाहरण के साथ देखें। संपूर्ण निर्णय प्रक्रिया में तीन चरण होते हैं। आइए असमानता को हल करें एक्स 2 +2 एक्स –8 >0.

पहला कदम

प्रश्न हल करें एक्स 2 +2 एक्स–8=0.

डी = बी 2 –4 एसी = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

जड़ें ढूँढना:

हमें x 1 \u003d 2 और x 2 \u003d - 4 मिला।

दूसरा चरण

एक परवलय का निर्माण वाई =एक्स 2 +2 एक्स–8 अंक के अनुसार:

अंक - 4 और 2 परवलय और x-अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। सब कुछ सरल है! उन्होंने क्या किया? हमने द्विघात समीकरण को हल कर लिया है एक्स 2 +2 एक्स–8=0. उनकी पोस्ट को इस तरह देखें:

0 = x2+2x-8

हमारे लिए शून्य "y" का मान है। जब y = 0, हम x-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का भुज प्राप्त करते हैं। हम कह सकते हैं कि "y" का शून्य मान x-अक्ष है।

अब देखें कि एक्स एक्सप्रेशन के कौन से मूल्य हैं एक्स 2 +2 एक्स – 8 शून्य से बड़ा (या कम)? परवलय ग्राफ के अनुसार, यह निर्धारित करना मुश्किल नहीं है, जैसा कि वे कहते हैं, सब कुछ स्पष्ट है:

1. x . पर< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен एक्स 2 +2 एक्स –8 सकारात्मक होगा।

2. पर -4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен एक्स 2 +2 एक्स –8 नकारात्मक होगा।

3. x > 2 के लिए परवलय की शाखा x-अक्ष के ऊपर होती है। दिए गए x के लिए, त्रिपद एक्स 2 +2 एक्स –8 सकारात्मक होगा।

तीसरा चरण

परवलय से, हम तुरंत देख सकते हैं कि किस x के लिए व्यंजक एक्स 2 +2 एक्स–8 शून्य से बड़ा, शून्य के बराबर, शून्य से कम। यह समाधान के तीसरे चरण का सार है, अर्थात् आकृति में सकारात्मक और नकारात्मक क्षेत्रों को देखना और निर्धारित करना। हम परिणाम की तुलना मूल असमानता से करते हैं और उत्तर लिख देते हैं। हमारे उदाहरण में, x के सभी मानों को निर्धारित करना आवश्यक है जिसके लिए व्यंजक एक्स 2 +2 एक्स–8 शून्य के ऊपर। हमने इसे दूसरे चरण में किया।

इसका उत्तर लिखना बाकी है।

उत्तर: x∊(–∞;–4) यू (2;∞)।

संक्षेप में: पहले चरण में समीकरण की जड़ों की गणना करने के बाद, हम प्राप्त बिंदुओं को x-अक्ष पर चिह्नित कर सकते हैं (ये x-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं)। अगला, हम योजनाबद्ध रूप से एक परवलय बनाते हैं और हम पहले से ही समाधान देख सकते हैं। स्केच क्यों? हमें गणितीय रूप से सटीक शेड्यूल की आवश्यकता नहीं है। हां, और कल्पना करें, उदाहरण के लिए, यदि जड़ें 10 और 1500 हो जाती हैं, तो इस तरह के मूल्यों के साथ एक सेल में एक शीट पर एक सटीक ग्राफ बनाने का प्रयास करें। सवाल उठता है! ठीक है, हमें जड़ें मिलीं, ठीक है, हमने उन्हें एक्स-अक्ष पर चिह्नित किया, और परवलय के स्थान को ही स्केच किया - शाखाओं के ऊपर या नीचे? यहाँ सब कुछ सरल है! x 2 पर गुणांक आपको बताएगा:

- यदि यह शून्य से अधिक है, तो परवलय की शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है।

- यदि शून्य से कम है, तो परवलय की शाखाओं को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है।

हमारे उदाहरण में, यह एक के बराबर है, यानी यह सकारात्मक है।

*ध्यान दें! यदि असमानता में एक गैर-सख्त चिह्न है, अर्थात या , तो संख्या रेखा पर जड़ों को छायांकित किया जाना चाहिए, यह सशर्त रूप से इंगित करता है कि अंतराल की सीमा ही असमानता के समाधान में शामिल है। इस मामले में, जड़ें छायांकित (छिद्रित) नहीं होती हैं, क्योंकि हमारी असमानता सख्त है (">" चिन्ह है)। उत्तर क्या है, इस मामले में, गोल कोष्ठक लगाएं, वर्ग कोष्ठक नहीं (समाधान में सीमाएँ शामिल नहीं हैं)।

बहुत कुछ लिखा, किसी ने भ्रमित किया, शायद। लेकिन अगर आप परवलय का उपयोग करके कम से कम 5 असमानताओं को हल करते हैं, तो आपकी प्रशंसा की कोई सीमा नहीं होगी। सब कुछ सरल है!

तो, संक्षेप में:

1. हम असमानता को लिखते हैं, हम इसे मानक एक पर लाते हैं।

2. हम द्विघात समीकरण लिखते हैं और इसे हल करते हैं।

3. x-अक्ष बनाएं, प्राप्त जड़ों को चिह्नित करें, योजनाबद्ध रूप से एक परवलय बनाएं, यदि x 2 पर गुणांक धनात्मक है, या ऋणात्मक होने पर नीचे शाखाएं।

4. हम दृष्टिगत रूप से सकारात्मक या नकारात्मक क्षेत्रों का निर्धारण करते हैं और मूल असमानता के अनुसार उत्तर लिखते हैं।

उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1: निर्णय लें एक्स 2 –15 एक्स+50 > 0

पहला कदम।

हम एक द्विघात समीकरण हल करते हैं एक्स 2 –15 एक्स+50=0

डी = बी 2 –4 एसी = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

जड़ें ढूँढना:

दूसरा चरण।

हम एक धुरी का निर्माण करते हैं ओह। आइए प्राप्त जड़ों को चिह्नित करें। चूंकि हमारी असमानता सख्त है, हम उन्हें छाया नहीं देंगे। हम योजनाबद्ध रूप से एक परवलय का निर्माण करते हैं, यह शाखाओं के साथ स्थित है, क्योंकि x 2 पर गुणांक सकारात्मक है:

तीसरा चरण।

हम नेत्रहीन सकारात्मक और नकारात्मक क्षेत्रों को परिभाषित करते हैं, यहां हमने स्पष्टता के लिए उन्हें अलग-अलग रंगों से चिह्नित किया है, आप ऐसा नहीं कर सकते।

हम उत्तर लिखते हैं।

उत्तर: x∊(–∞;5) यू (10;∞)।

*चिह्न यू एक संघ समाधान को दर्शाता है। लाक्षणिक रूप से, समाधान "यह" और "यह" अंतराल है।

उदाहरण 2: हल करें – एक्स 2 + एक्स+20 ≤ 0

पहला कदम।

हम एक द्विघात समीकरण हल करते हैं – एक्स 2 + एक्स+20=0

डी = बी 2 –4 एसी = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

जड़ें ढूँढना:

दूसरा चरण।

हम एक धुरी का निर्माण करते हैं ओह। आइए प्राप्त जड़ों को चिह्नित करें। चूंकि हमारी असमानता सख्त नहीं है, इसलिए हम जड़ों के अंकन को छायांकित करते हैं। हम योजनाबद्ध रूप से एक परवलय का निर्माण करते हैं, यह नीचे की शाखाओं के साथ स्थित है, क्योंकि x 2 पर गुणांक ऋणात्मक है (यह -1 के बराबर है):

तीसरा चरण।

हम दृष्टि से सकारात्मक और नकारात्मक क्षेत्रों को परिभाषित करते हैं। मूल असमानता से तुलना करें (हमारा चिन्ह 0)। असमानता x - 4 और x 5 के लिए सही होगी।

हम उत्तर लिखते हैं।

उत्तर: x∊(–∞;–4] यू ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) या x 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4।

उदाहरण 3

द्विघात असमानता को हल करें - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.

समाधान

सबसे पहले, आइए असमानता के बाईं ओर से वर्ग त्रिपद के मूल ज्ञात करें:

डी " \u003d 1 2 - - 1 7 - 7 \u003d 0 x 0 \u003d - 1 - 1 7 x 0 \u003d 7

यह एक सख्त असमानता है, इसलिए हम ग्राफ़ पर "खाली" बिंदु का उपयोग करते हैं। समन्वय के साथ 7.

अब हमें प्राप्त अंतरालों (− , 7) और (7 , + ) पर संकेतों को निर्धारित करने की आवश्यकता है। चूँकि वर्ग त्रिपद का विभेदक शून्य के बराबर है, और अग्रणी गुणांक ऋणात्मक है, इसलिए हम चिह्नों को नीचे रखते हैं - , - :

चूंकि हम एक हस्ताक्षरित असमानता को हल कर रहे हैं< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

इस मामले में, समाधान दोनों अंतराल (− , 7) , (7 , + ) हैं।

उत्तर:(- ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) या अन्य संकेतन x ≠ 7 में।

उदाहरण 4

क्या द्विघात असमानता x 2 + x + 7 . है< 0 решения?

समाधान

आइए असमानता के बाईं ओर से वर्ग त्रिपद के मूल ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम विभेदक पाते हैं: डी = 1 2 - 4 1 7 = 1 - 28 = - 27। विवेचक शून्य से कम है, इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं है।

ग्राफिक छवि उस पर चिह्नित बिंदुओं के बिना एक संख्या रेखा की तरह दिखेगी।

आइए हम वर्ग त्रिपद के मानों का चिह्न निर्धारित करें। डी पर< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :

इस मामले में, हम "-" चिह्न के साथ अंतराल पर हैचिंग लागू कर सकते हैं। लेकिन हमारे पास ऐसे अंतराल नहीं हैं। तो चित्र इस तरह दिखता है:

गणना के परिणामस्वरूप, हमें एक खाली सेट मिला। इसका मतलब है कि इस द्विघात असमानता का कोई समाधान नहीं है।

उत्तर:नहीं।

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इस खंड में, हमने द्विघात असमानताओं और उनके समाधान के मुख्य तरीकों के बारे में जानकारी एकत्र की है। हम उदाहरणों के विश्लेषण के साथ सामग्री को समेकित करेंगे।

द्विघात असमानता क्या है

आइए देखें कि रिकॉर्ड के प्रकार के आधार पर विभिन्न प्रकार की असमानताओं के बीच अंतर कैसे करें और उनमें से वर्ग का चयन करें।

परिभाषा 1

वर्ग असमानताएक असमानता है जो दिखती है ए एक्स 2 + बी एक्स + सी< 0 , जहां ए , बी और सीकुछ संख्याएं हैं, और एशून्य के बराबर नहीं। x एक चर है, और चिह्न के स्थान पर < कोई अन्य असमानता संकेत हो सकता है।

द्विघात समीकरणों का दूसरा नाम "दूसरी डिग्री की असमानता" का नाम है। दूसरे नाम के अस्तित्व को इस प्रकार समझाया जा सकता है। असमानता के बाईं ओर दूसरी डिग्री का एक बहुपद है - एक वर्ग त्रिपद। द्विघात असमानताओं के लिए "द्विघात असमानताओं" शब्द का प्रयोग गलत है, क्योंकि द्विघात फलन प्रपत्र के समीकरणों द्वारा दिए गए हैं वाई = ए एक्स 2 + बी एक्स + सी.

द्विघात असमानता का एक उदाहरण यहां दिया गया है:

उदाहरण 1

चलो ले लो 5 x 2 - 3 x + 1 > 0. इस स्थिति में a = 5 , b = -3 और सी = 1.

या यह असमानता:

उदाहरण 2

− 2 , 2 z 2 − 0 , 5 z − 11 ≤ 0, जहां a = - 2 , 2 , b = − 0 , 5 और सी = - 11.

आइए द्विघात असमानताओं के कुछ उदाहरण दिखाते हैं:

उदाहरण 3

इस तथ्य पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए कि गुणांक x2शून्य माना जाता है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि अन्यथा हमें फॉर्म की रैखिक असमानता मिलती है बी एक्स + सी > 0, क्योंकि द्विघात चर, जब शून्य से गुणा किया जाता है, तो स्वयं शून्य के बराबर हो जाएगा। उसी समय, गुणांक बीऔर सीशून्य के बराबर दोनों एक साथ और अलग-अलग हो सकते हैं।

उदाहरण 4

ऐसी असमानता का एक उदाहरण एक्स 2 - 5 ≥ 0.

द्विघात असमानताओं को हल करने के तरीके

तीन मुख्य विधियाँ हैं:

परिभाषा 2

• ग्राफिक;
• अंतराल विधि;
• बायीं ओर द्विपद के वर्ग के चयन के माध्यम से।

ग्राफिक विधि

इस विधि में द्विघात फलन के ग्राफ का निर्माण और विश्लेषण शामिल है वाई = ए एक्स 2 + बी एक्स + सीवर्ग असमानताओं के लिए a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ). द्विघात असमानता का समाधान वह अंतराल या अंतराल है जिस पर निर्दिष्ट फ़ंक्शन सकारात्मक और नकारात्मक मान लेता है।

रिक्ति विधि

आप अंतराल विधि का उपयोग करके एक चर के साथ द्विघात असमानता को हल कर सकते हैं। यह विधि किसी भी प्रकार की असमानताओं को हल करने के लिए लागू होती है, न कि केवल वर्ग की असमानताओं को हल करने के लिए। विधि का सार अंतराल के संकेतों को निर्धारित करना है जिसमें समन्वय अक्ष को ट्रिनोमियल के शून्य से विभाजित किया जाता है ए एक्स 2 + बी एक्स + सीअगर उपलब्ध हो।

असमानता के लिए ए एक्स 2 + बी एक्स + सी< 0 असमानता के लिए समाधान ऋण चिह्न के साथ अंतराल हैं ए एक्स 2 + बी एक्स + सी > 0, एक प्लस चिह्न के साथ अंतराल। यदि हम गैर-सख्त असमानताओं से निपट रहे हैं, तो समाधान एक अंतराल बन जाता है जिसमें ट्रिनोमियल के शून्य के अनुरूप बिंदु शामिल होते हैं।

द्विपद के वर्ग का चयन

द्विपद असमानता के बाईं ओर द्विपद के वर्ग का चयन करने का सिद्धांत समान परिवर्तन करना है जो हमें फॉर्म (x - p) 2 के समतुल्य असमानता के समाधान पर जाने की अनुमति देता है।< q (≤ , >, ) , जहाँ पीऔर क्यू- कुछ नंबर।

अन्य प्रकार की असमानताओं से समतुल्य परिवर्तनों की सहायता से द्विघात असमानताओं पर आना संभव है। यह विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दी गई असमानता में पदों को पुनर्व्यवस्थित करके या पदों को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करके।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। असमानता के एक समान परिवर्तन पर विचार करें 5 2 x - 3 x2. यदि हम सभी पदों को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, तो हमें रूप की द्विघात असमानता प्राप्त होती है 3 x 2 - 2 x + 5 ≤ 0.

उदाहरण 5

असमानता 3 (x - 1) (x + 1) के समाधानों का एक सेट खोजना आवश्यक है।< (x − 2) 2 + x 2 + 5 .

समाधान

समस्या को हल करने के लिए, हम संक्षिप्त गुणन के सूत्रों का उपयोग करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम असमानता के बाईं ओर के सभी पदों को एकत्र करते हैं, कोष्ठक खोलते हैं और समान शब्द देते हैं:

3 (x - 1) (x + 1) - (x - 2) 2 - x 2 - 5< 0 , 3 · (x 2 − 1) − (x 2 − 4 · x + 4) − x 2 − 5 < 0 , 3 · x 2 − 3 − x 2 + 4 · x − 4 − x 2 − 5 < 0 , x 2 + 4 · x − 12 < 0 .

हमने एक समान द्विघात असमानता प्राप्त की है, जिसे विभेदक और प्रतिच्छेदन बिंदुओं का निर्धारण करके रेखांकन द्वारा हल किया जा सकता है।

डी ' = 2 2 - 1 (-12) = 16, x 1 = - 6, x 2 = 2

एक ग्राफ बनाने के बाद, हम देख सकते हैं कि समाधानों का समुच्चय अंतराल (− 6 , 2) है।

उत्तर: (− 6 , 2) .

अपरिमेय और लघुगणकीय असमानताएँ उन असमानताओं के उदाहरण हैं जो अक्सर वर्गों में कम हो जाती हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, असमानता 2 x 2 + 5< x 2 + 6 · x + 14

द्विघात असमानता के बराबर है एक्स 2 - 6 एक्स - 9< 0 , और लघुगणकीय असमानता लॉग 3 (x 2 + x + 7) ≥ 2 असमानता के लिए एक्स 2 + एक्स - 2 ≥ 0.

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इस लेख में विषय को कवर करने वाली सामग्री है " वर्ग असमानताओं का समाधान". सबसे पहले, यह दिखाया गया है कि एक चर के साथ द्विघात असमानताएं क्या हैं, उनका सामान्य रूप दिया गया है। और फिर इसका विस्तार से विश्लेषण किया जाता है कि द्विघात असमानताओं को कैसे हल किया जाए। समाधान के लिए मुख्य दृष्टिकोण दिखाए गए हैं: ग्राफिकल विधि, अंतराल की विधि, और असमानता के बाईं ओर द्विपद के वर्ग को हाइलाइट करके। विशिष्ट उदाहरणों के समाधान दिए गए हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

द्विघात असमानता क्या है?

स्वाभाविक रूप से, द्विघात असमानताओं को हल करने के बारे में बात करने से पहले, किसी को स्पष्ट रूप से समझना चाहिए कि द्विघात असमानता क्या है। दूसरे शब्दों में, आपको रिकॉर्ड के प्रकार के आधार पर वर्ग असमानताओं को अन्य प्रकार की असमानताओं से अलग करने में सक्षम होना चाहिए।

परिभाषा।

वर्ग असमानता a x 2 +b x+c . के रूप की असमानता है<0 (вместо знака >कोई अन्य असमानता चिह्न ≤, >, ) हो सकता है, जहां a, b और c कुछ संख्याएं हैं, और a≠0, और x एक चर है (चर को किसी अन्य अक्षर से दर्शाया जा सकता है)।

आइए तुरंत द्विघात असमानताओं को दूसरा नाम दें - दूसरी डिग्री की असमानता. यह नाम इस तथ्य से समझाया गया है कि असमानताओं के बाईं ओर a x 2 +b x+c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

आप कभी-कभी यह भी सुन सकते हैं कि द्विघात असमानताएँ द्विघात असमानताएँ कहलाती हैं। यह पूरी तरह से सही नहीं है: "द्विघात" की परिभाषा y=a x 2 +b x+c रूप के समीकरणों द्वारा दिए गए कार्यों को संदर्भित करती है। अतः द्विघात असमानताएँ हैं और द्विघात कार्य, लेकिन द्विघात असमानताएँ नहीं।

आइए वर्ग असमानताओं के कुछ उदाहरण दिखाएं: 5 x 2 −3 x+1>0 , यहां a=5 , b=−3 और c=1 ; −2.2 z 2 −0.5 z−11≤0, इस द्विघात असमानता के गुणांक a=−2.2 , b=−0.5 और c=−11 हैं; , इस मामले में .

ध्यान दें कि द्विघात असमानता की परिभाषा में, x 2 पर गुणांक a को गैर-शून्य माना जाता है। यह समझ में आता है, गुणांक ए से शून्य की समानता वास्तव में वर्ग को "हटा" देगी, और हम चर के वर्ग के बिना फॉर्म बी एक्स + सी> 0 की रैखिक असमानता से निपटेंगे। लेकिन गुणांक b और c शून्य के बराबर हो सकते हैं, दोनों अलग-अलग और एक साथ। ऐसी वर्ग असमानताओं के उदाहरण यहां दिए गए हैं: x 2 −5≥0, यहां चर x के लिए गुणांक b शून्य के बराबर है; −3 x 2 −0.6 x<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 और बी और सी शून्य हैं।

द्विघात असमानताओं को कैसे हल करें?

अब आप इस सवाल से हैरान हो सकते हैं कि द्विघात असमानताओं को कैसे हल किया जाए। मूल रूप से, हल करने के लिए तीन मुख्य विधियों का उपयोग किया जाता है:

• चित्रमय विधि (या, ए.जी. मोर्दकोविच के रूप में, कार्यात्मक-चित्रमय),
• अंतराल विधि,
• और बायीं ओर द्विपद के वर्ग को हाइलाइट करके द्विघात असमानताओं को हल करना।

रेखांकन

आइए तुरंत एक आरक्षण करें कि द्विघात असमानताओं को हल करने की विधि, जिस पर हम विचार करना शुरू कर रहे हैं, बीजगणित स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में ग्राफिकल नहीं कहा जाता है। हालाँकि, संक्षेप में, वह यही है। इसके अलावा, के साथ पहला परिचित असमानताओं को हल करने का चित्रमय तरीकाआमतौर पर तब शुरू होता है जब सवाल उठता है कि द्विघात असमानताओं को कैसे हल किया जाए।

द्विघात असमानताओं को हल करने का आलेखीय तरीका a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥) द्विघात फलन y=a x 2 +b x+c के ग्राफ का विश्लेषण करने के लिए उन अंतरालों को खोजने के लिए है जिनमें निर्दिष्ट फ़ंक्शन नकारात्मक, सकारात्मक, गैर-सकारात्मक या गैर-ऋणात्मक मान लेता है। ये अंतराल द्विघात असमानताओं के समाधान का गठन करते हैं a x 2 +b x+c<0 , a·x 2 +b·x+c>0 , a x 2 +b x+c≤0 और a x 2 +b x+c≥0 क्रमशः।

अंतराल विधि

एक चर के साथ वर्ग असमानताओं को हल करने के लिए, ग्राफिकल विधि के अलावा, अंतराल विधि काफी सुविधाजनक है, जो अपने आप में बहुत बहुमुखी है, और विभिन्न असमानताओं को हल करने के लिए उपयुक्त है, न कि केवल वर्ग वाले। इसका सैद्धांतिक पक्ष कक्षा 8, 9 के बीजगणित पाठ्यक्रम से बाहर है, जब वे द्विघात असमानताओं को हल करना सीखते हैं। इसलिए, यहां हम अंतराल विधि के सैद्धांतिक औचित्य में नहीं जाएंगे, बल्कि इस बात पर ध्यान देंगे कि इसकी सहायता से द्विघात असमानताओं को कैसे हल किया जाता है।

वर्ग असमानताओं के समाधान के संबंध में अंतराल विधि का सार a x 2 +b x + c<0 (≤, >, ), उन संकेतों को निर्धारित करने में शामिल हैं जिनके पास अंतराल पर वर्ग ट्रिनोमियल a x 2 + b x + c के मान हैं, जिसमें समन्वय अक्ष को इस ट्रिनोमियल (यदि कोई हो) के शून्य से विभाजित किया गया है। ऋण चिह्नों के साथ अंतराल द्विघात असमानता का समाधान बनाते हैं a x 2 +b x+c<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0 , और गैर-सख्त असमानताओं को हल करते समय, ट्रिनोमियल के शून्य के अनुरूप अंक संकेतित अंतराल में जोड़े जाते हैं।

आप इस पद्धति के सभी विवरणों, इसके एल्गोरिथ्म, अंतराल पर संकेत रखने के नियमों से परिचित हो सकते हैं और अंतराल विधि द्वारा द्विघात असमानताओं को हल करने वाले लेख की सामग्री का हवाला देते हुए दिए गए उदाहरणों के साथ विशिष्ट उदाहरणों के लिए तैयार समाधानों पर विचार कर सकते हैं। .

द्विपद के वर्ग को पृथक करके

चित्रमय विधि और अंतराल विधि के अलावा, अन्य दृष्टिकोण भी हैं जो द्विघात असमानताओं को हल करने की अनुमति देते हैं। और हम उनमें से एक पर आते हैं, जो पर आधारित है द्विपद का वर्ग करनाद्विघात असमानता के बाईं ओर।

द्विघात असमानताओं को हल करने की इस पद्धति का सिद्धांत असमानता के समतुल्य परिवर्तन करना है, जिससे व्यक्ति को फॉर्म (x−p) 2 के समतुल्य असमानता के समाधान पर जाने की अनुमति मिलती है। , ), जहाँ p और q कुछ संख्याएँ हैं।

और असमानता में संक्रमण कैसे होता है (x−p) 2 , ) और इसे कैसे हल करें, लेख की सामग्री द्विपद के वर्ग को हाइलाइट करके द्विघात असमानताओं के समाधान की व्याख्या करती है। इस तरह से द्विघात असमानताओं को हल करने के उदाहरण भी हैं और आवश्यक ग्राफिक चित्र दिए गए हैं।

द्विघात असमानताएँ

व्यवहार में, बहुत बार किसी को उन असमानताओं से निपटना पड़ता है जिन्हें a x 2 +b x + c के रूप की द्विघात असमानताओं के समतुल्य परिवर्तनों की सहायता से कम किया जा सकता है।<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

आइए सबसे सरल असमानताओं के उदाहरणों से शुरू करें जिन्हें वर्ग में घटाया जा सकता है। कभी-कभी, द्विघात असमानता को पारित करने के लिए, इस असमानता में शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करने या उन्हें एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, यदि हम असमानता 5≤2 x−3 x 2 के दाईं ओर से सभी पदों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, तो हमें 3 x 2 −2 x+5≤0 के ऊपर निर्दिष्ट रूप में एक द्विघात असमानता प्राप्त होती है। . एक अन्य उदाहरण: असमानता 5+0.6 x 2 −x को बाईं ओर पुनर्व्यवस्थित करना<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .

स्कूल में, बीजगणित के पाठों में, जब वे द्विघात असमानताओं को हल करना सीखते हैं, तो वे एक साथ व्यवहार करते हैं तर्कसंगत असमानताओं का समाधान, वर्ग को कम करना। उनके समाधान में सभी पदों को बाईं ओर स्थानांतरित करना शामिल है, जिसके बाद वहां बने व्यंजक के बाद के परिवर्तन को क्रियान्वित करके a x 2 +b x + c के रूप में परिवर्तित किया जाता है। एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

असमानता के समाधान का एक सेट खोजें 3 (x−1) (x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5 .तर्कहीन असमानता द्विघात असमानता के बराबर है x 2 −6 x−9<0 , а लघुगणक असमानता - असमानता x 2 +x−2≥0 ।

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