एक नियमित पिरामिड के पार्श्व चेहरे का क्षेत्र। पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें: आधार, पक्ष और पूर्ण

पिरामिड का सतह क्षेत्र। इस लेख में, हम आपके साथ सही पिरामिड की समस्याओं को देखेंगे। आपको याद दिला दूं कि एक नियमित पिरामिड एक पिरामिड होता है, जिसका आधार एक नियमित बहुभुज होता है, पिरामिड का शीर्ष इस बहुभुज के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

ऐसे पिरामिड का पार्श्व फलक एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है।नियमित पिरामिड के शीर्ष से खींचे गए इस त्रिभुज की ऊंचाई को एपोथेम कहा जाता है, एसएफ एपोथेम है:

नीचे प्रस्तुत समस्याओं के प्रकार में संपूर्ण पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल या उसकी पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है। ब्लॉग ने पहले से ही नियमित पिरामिड के साथ कई समस्याओं पर विचार किया है, जहां तत्वों (ऊंचाई, आधार किनारे, किनारे के किनारे) को खोजने के बारे में सवाल उठाया गया था।

परीक्षा के कार्यों में, एक नियम के रूप में, नियमित त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय और षट्कोणीय पिरामिडों पर विचार किया जाता है। मुझे नियमित पंचकोणीय और हेप्टागोनल पिरामिड के साथ समस्याओं का सामना नहीं करना पड़ा है।

संपूर्ण सतह के क्षेत्रफल का सूत्र सरल है - आपको पिरामिड के आधार के क्षेत्रफल और उसकी पार्श्व सतह के क्षेत्रफल का योग ज्ञात करना होगा:

कार्यों पर विचार करें:

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार की भुजाएँ 72 हैं, भुजाएँ 164 हैं। इस पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

पिरामिड का सतह क्षेत्र पार्श्व और आधार क्षेत्रों के योग के बराबर है:

* पार्श्व सतह में समान क्षेत्रफल के चार त्रिभुज होते हैं। पिरामिड का आधार एक वर्ग है।

पिरामिड के किनारे के क्षेत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

इस प्रकार, पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल है:

उत्तर: 28224

एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड के आधार की भुजाएँ 22 हैं, भुजाएँ 61 हैं। इस पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड का आधार एक नियमित षट्भुज है।

इस पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र में 61.61 और 22 भुजाओं वाले समान त्रिभुजों के छह क्षेत्र हैं:

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, हीरोन के सूत्र का प्रयोग कीजिए:

इस प्रकार, पार्श्व सतह क्षेत्र बराबर है:

उत्तर: 3240

* ऊपर प्रस्तुत समस्याओं में, एक अलग त्रिकोण सूत्र का उपयोग करके पार्श्व चेहरे का क्षेत्र पाया जा सकता है, लेकिन इसके लिए आपको एपोटेम की गणना करने की आवश्यकता है।

27155. एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके आधार की भुजाएँ 6 हैं और ऊँचाई 4 है।

पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें आधार क्षेत्रफल और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल को जानना होगा:

आधार क्षेत्रफल 36 है, क्योंकि यह 6 भुजा वाला एक वर्ग है।

पार्श्व सतह में चार फलक होते हैं, जो समान त्रिभुज होते हैं। ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसका आधार और ऊँचाई (एपोथेम) जानने की आवश्यकता है:

* एक त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार के गुणनफल के आधे और इस आधार तक खींची गई ऊँचाई के बराबर होता है।

आधार ज्ञात है, यह छह के बराबर है। आइए ऊंचाई का पता लगाएं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें (पीले रंग में हाइलाइट किया गया):

एक पैर 4 है, क्योंकि यह पिरामिड की ऊंचाई है, दूसरा 3 है, क्योंकि यह आधार का आधा किनारा है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हम कर्ण पा सकते हैं:

तो पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल बराबर है:

इस प्रकार, संपूर्ण पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल है:

उत्तर: 96

27069. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार की भुजाएँ 10 हैं, भुजाएँ 13 हैं। इस पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

27070. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड के आधार की भुजाएँ 10 हैं, भुजाएँ 13 हैं। इस पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के लिए सूत्र भी हैं। एक नियमित पिरामिड में, आधार पार्श्व सतह का एक ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है, इसलिए:

पी- आधार परिधि, मैं- पिरामिड का एपोथेम

* यह सूत्र त्रिभुज सूत्र के क्षेत्रफल पर आधारित है।

यदि आप इस बारे में अधिक जानना चाहते हैं कि ये सूत्र कैसे प्राप्त होते हैं, तो इसे देखना न भूलें, लेखों के प्रकाशन का अनुसरण करें।बस इतना ही। आपको सफलता!

सादर, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख।

पुनश्च: यदि आप हमें सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बता सकते हैं तो मैं आभारी रहूंगा।

इस ट्यूटोरियल में:

• समस्या 1. पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
• समस्या 2. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

संबंधित सामग्री भी देखें:
.

ध्यान दें ... यदि आपको एक ज्यामिति समस्या को हल करने की आवश्यकता है जो यहां नहीं है, तो इसके बारे में फोरम में लिखें। कार्यों में, "वर्गमूल" प्रतीक के बजाय, sqrt () फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है, जिसमें sqrt वर्गमूल प्रतीक होता है, और मूल अभिव्यक्ति कोष्ठक में इंगित की जाती है। सरल मूल भावों के लिए, "√" चिह्न का उपयोग किया जा सकता है.

समस्या 1... एक नियमित पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के आधार की ऊंचाई 3 सेमी है, और पक्ष के चेहरे और पिरामिड के आधार के बीच का कोण 45 डिग्री है।
एक पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

समाधान.

एक समबाहु त्रिभुज एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के आधार पर स्थित होता है।
इसलिए, समस्या को हल करने के लिए, हम एक नियमित त्रिभुज के गुणों का उपयोग करेंगे:

हम त्रिभुज की ऊँचाई जानते हैं, जहाँ से हम उसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
एच = √3 / 2 ए
ए = एच / (√3 / 2)
ए = 3 / (√3 / 2)
ए = 6 / 3

जहां से आधार क्षेत्र बराबर होगा:
एस = 3 / 4 ए 2
एस = 3 / 4 (6 / √3) 2
एस = 3√3

पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, ऊँचाई KM की गणना कीजिए। समस्या कथन के अनुसार OKM कोण 45 डिग्री है।
इस तरह:
ओके / एमके = क्योंकि 45
आइए त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका का उपयोग करें और ज्ञात मूल्यों को प्रतिस्थापित करें।

ठीक / एमके = 2 / 2

आइए ध्यान रखें कि ओके खुदा हुआ सर्कल की त्रिज्या के बराबर है। फिर
ठीक = 3 / 6 ए
ठीक = 3 / 6 * 6 / 3 = 1

फिर
ठीक / एमके = 2 / 2
1 / एमके = 2 / 2
एमके = 2 / √2

पार्श्व चेहरे का क्षेत्र तब ऊंचाई के आधे उत्पाद और त्रिभुज के आधार के बराबर होता है।
साइड = 1/2 (6 / 3) (2 / √2) = 6 / 6

इस प्रकार, पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बराबर होगा
एस = 3√3 + 3 * 6 / √6
एस = 3√3 + 18 / 6

उत्तर: 3√3 + 18/√6

टास्क 2... एक नियमित पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड में ऊंचाई 10 सेमी और आधार की भुजा 16 सेमी . है ... पार्श्व सतह क्षेत्र खोजें .

समाधान.

चूँकि एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आधार एक समबाहु त्रिभुज है, AO आधार के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है।
(यह इस प्रकार है)

एक समबाहु त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या उसके गुणों से ज्ञात की जाती है

जहां से एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के किनारों की लंबाई बराबर होगी:
एएम 2 = एमओ 2 + एओ 2
पिरामिड की ऊंचाई स्थिति (10 सेमी), एओ = 16√3 / 3 . से जानी जाती है
AM 2 = 100 + 256/3
AM = (556/3)

पिरामिड की प्रत्येक भुजा एक समद्विबाहु त्रिभुज है। एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल नीचे प्रस्तुत पहले सूत्र से ज्ञात होता है

एस = 1/2 * 16 वर्ग ((√ (556/3) + 8) (√ (556/3) - 8))
एस = 8 वर्ग ((556/3) - 64)
एस = 8 वर्ग (364/3)
एस = 16 वर्ग (91/3)

चूँकि एक नियमित पिरामिड के तीनों फलक समान होते हैं, पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल किसके बराबर होगा?
3एस = 48 (91/3)

उत्तर: 48 √(91/3)

समस्या 3. एक नियमित पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की भुजा 3 सेमी है और पिरामिड के पार्श्व फलक और आधार के बीच का कोण 45 डिग्री है। पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए.

समाधान.
चूंकि पिरामिड नियमित है, एक समबाहु त्रिभुज इसके आधार पर स्थित है। इसलिए, आधार का क्षेत्रफल है


तो = 9 * 3 / 4

पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, ऊँचाई KM की गणना कीजिए। समस्या कथन के अनुसार OKM कोण 45 डिग्री है।
इस तरह:
ओके / एमके = क्योंकि 45
हम इस्तेमाल करेंगे

एक मनमाना पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। एक नियमित पिरामिड के मामले में इस क्षेत्र को व्यक्त करने के लिए एक विशेष सूत्र देना समझ में आता है। तो, मान लीजिए कि एक नियमित पिरामिड दिया गया है, जिसके आधार पर एक नियमित n-gon है जिसकी भुजा a के बराबर है। मान लीजिए h पार्श्व फलक की ऊँचाई है, जिसे भी कहते हैं एपोथेमपिरामिड। एक तरफ के चेहरे का क्षेत्रफल 1 / 2ah के बराबर है, और पिरामिड की पूरी पार्श्व सतह का क्षेत्रफल n / 2ha के बराबर है। चूंकि ना पिरामिड के आधार की परिधि है, इसलिए हम पाया गया सूत्र लिख सकते हैं प्रपत्र में:

पार्श्व सतह क्षेत्रएक नियमित पिरामिड का योग उसके एपोथेम के गुणनफल और आधार के आधे परिमाप के बराबर होता है।

विषय में कुल सतह क्षेत्रफल, फिर बस आधार क्षेत्र को किनारे पर जोड़ें।

उत्कीर्ण और वर्णित क्षेत्र और गेंद... यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पिरामिड में अंकित गोले का केंद्र पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमानों के चौराहे पर स्थित है। पिरामिड के पास वर्णित गोले का केंद्र पिरामिड के किनारों के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाले विमानों के चौराहे पर स्थित है और उनके लंबवत है।

कटा हुआ पिरामिड।यदि पिरामिड को उसके आधार के समांतर समतल द्वारा काटा जाता है, तो छेदक तल और आधार के बीच संलग्न भाग कहलाता है कटा हुआ पिरामिड।आंकड़ा एक पिरामिड दिखाता है, इसके हिस्से को छोड़कर जो काटने वाले विमान के ऊपर स्थित है, हमें एक छोटा पिरामिड मिलता है। यह स्पष्ट है कि छोटा त्यागा हुआ पिरामिड बड़े पिरामिड के समरूप होता है जिसके शीर्ष पर समरूपता का केंद्र होता है। समानता का गुणांक ऊंचाई के अनुपात के बराबर है: के = एच 2 / एच 1, या साइड किनारों, या दोनों पिरामिड के अन्य संबंधित रैखिक आयाम। हम जानते हैं कि ऐसी आकृतियों के क्षेत्रफल रैखिक विमाओं के वर्गों के रूप में संबंधित होते हैं; इसलिए दोनों पिरामिडों के आधारों के क्षेत्र (अर्थात काटे गए पिरामिड के आधारों का क्षेत्रफल) कहलाते हैं

यहां एस 1 निचले आधार का क्षेत्र है, और एस 2 काटे गए पिरामिड के ऊपरी आधार का क्षेत्र है। पिरामिडों की पार्श्व सतहें एक ही संबंध में हैं। वॉल्यूम के लिए एक समान नियम है।

समान निकायों के आयतनउनके रैखिक आयामों के लिए घन के रूप में देखें; उदाहरण के लिए, पिरामिड के आयतन आधारों के क्षेत्र पर उनकी ऊंचाई के उत्पादों के रूप में संबंधित हैं, जहां से हमारा नियम तुरंत प्राप्त होता है। इसका पूरी तरह से सामान्य चरित्र है और इस तथ्य से सीधे अनुसरण करता है कि मात्रा में हमेशा लंबाई की तीसरी शक्ति का आयाम होता है। इस नियम का उपयोग करते हुए, हम आधारों की ऊंचाई और क्षेत्रफल के संदर्भ में काटे गए पिरामिड के आयतन को व्यक्त करने वाला एक सूत्र प्राप्त करते हैं।

मान लीजिए कि ऊंचाई h और आधार क्षेत्रों S 1 और S 2 के साथ एक छोटा पिरामिड दिया गया है। यदि हम कल्पना करें कि यह एक पूर्ण पिरामिड के लिए जारी है, तो पूर्ण पिरामिड और छोटे पिरामिड के बीच समानता का गुणांक आसानी से एस 2 / एस 1 के अनुपात की जड़ के रूप में पाया जा सकता है। काटे गए पिरामिड की ऊंचाई h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k) के रूप में व्यक्त की जाती है। अब हमारे पास काटे गए पिरामिड के आयतन के लिए है (V 1 और V 2 पूर्ण और छोटे पिरामिडों के आयतन को दर्शाता है)

छोटा पिरामिड आयतन सूत्र

आइए हम आधारों की परिधि पी 1 और पी 2 और एपोथेम की लंबाई के माध्यम से एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्र एस के लिए सूत्र प्राप्त करें। हम ठीक उसी तरह तर्क देते हैं जैसे आयतन का सूत्र निकालते समय। हम ऊपरी भाग के साथ पिरामिड को पूरक करते हैं, हमारे पास पी 2 = केपी 1, एस 2 = के 2 एस 1 है, जहां के समानता गुणांक है, पी 1 और पी 2 आधारों की परिधि हैं, और एस 1 और एस 2 क्रमशः संपूर्ण परिणामी पिरामिड और उसके शीर्ष भाग की पार्श्व सतहों के घोड़े हैं। पार्श्व सतह के लिए, हम पाते हैं (ए 1 और 2 पिरामिड के एपोथेम हैं, ए = ए 1 - ए 2 = ए 1 (1-के))

एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के लिए सूत्र

संक्षेप में मुख्य बात के बारे में

सतह क्षेत्र (2019)

प्रिज्म सतह क्षेत्र

क्या कोई सामान्य सूत्र है? नहीं, सामान्य तौर पर, नहीं। आपको केवल पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों को देखने और उनका योग करने की आवश्यकता है।

सूत्र के लिए लिखा जा सकता है सीधा प्रिज्म:

आधार की परिधि कहाँ है।

लेकिन फिर भी, प्रत्येक विशिष्ट मामले में अतिरिक्त सूत्रों को याद करने की तुलना में सभी क्षेत्रों को जोड़ना बहुत आसान है। एक उदाहरण के रूप में, आइए एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म की कुल सतह की गणना करें।

सभी पार्श्व फलक आयताकार हैं। माध्यम।

वॉल्यूम की गणना करते समय यह पहले ही काटा जा चुका है।

तो हमें मिलता है:

पिरामिड सतह क्षेत्र

पिरामिड के लिए, सामान्य नियम भी लागू होता है:

अब आइए सबसे लोकप्रिय पिरामिडों के सतह क्षेत्र की गणना करें।

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल

मान लें कि आधार की भुजा बराबर है और भुजा का किनारा बराबर है। आपको खोजने की जरूरत है और।

आइए अब याद करते हैं कि

यह एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल है।

और आइए याद करें कि इस क्षेत्र को कैसे देखना है। हम क्षेत्र सूत्र का उपयोग करते हैं:

हमारे पास "" - यह, और "" - यह भी, और।

अब हम पाएंगे।

मूल क्षेत्रफल सूत्र और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं

ध्यान:यदि आपके पास नियमित टेट्राहेड्रोन (यानी) है, तो सूत्र इस प्रकार है:

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का सतह क्षेत्र

मान लें कि आधार की भुजा बराबर है और भुजा का किनारा बराबर है।

नीचे एक वर्ग है, और इसलिए।

यह पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करना बाकी है

एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल।

आधार के किनारे को बराबर होने दें, और किनारे के किनारे को।

कैसे ढूंढें? एक षट्भुज में ठीक छह समान नियमित त्रिभुज होते हैं। एक नियमित त्रिभुज पिरामिड के सतह क्षेत्र की गणना करते समय हम पहले से ही एक नियमित त्रिभुज के क्षेत्र की तलाश कर चुके हैं, यहाँ हम पाए गए सूत्र का उपयोग करते हैं।

खैर, हम पहले ही दो बार साइड फेस के क्षेत्र की खोज कर चुके हैं।

खैर, विषय समाप्त हो गया है। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं, तो आप बहुत मस्त हैं।

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निर्देश

सबसे पहले, यह समझने योग्य है कि पिरामिड की पार्श्व सतह को कई त्रिकोणों द्वारा दर्शाया गया है, जिनके क्षेत्रों को ज्ञात आंकड़ों के आधार पर विभिन्न प्रकार के सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

एस = (ए * एच) / 2, जहां एच ऊंचाई को एक तरफ कम किया जाता है;

S = a * b * sinβ, जहाँ a, b त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और β इन भुजाओं के बीच का कोण है;

S = (r * (a + b + c)) / 2, जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और r इस त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है;

S = (a * b * c) / 4 * R, जहाँ R वृत्त के चारों ओर परिबद्ध त्रिभुज की त्रिज्या है;

एस = (ए * बी) / 2 = आर² + 2 * आर * आर (यदि त्रिभुज आयताकार है);

एस = एस = (a² * √3) / 4 (यदि त्रिभुज समबाहु है)।

वास्तव में, त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ये केवल सबसे बुनियादी ज्ञात सूत्र हैं।

उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके पिरामिड के चेहरे वाले सभी त्रिकोणों के क्षेत्रों की गणना करने के बाद, हम इस पिरामिड के क्षेत्र की गणना करना शुरू कर सकते हैं। यह बहुत सरलता से किया जाता है: पिरामिड की पार्श्व सतह बनाने वाले सभी त्रिभुजों के क्षेत्रों को जोड़ना आवश्यक है। सूत्र इसे इस तरह व्यक्त कर सकता है:

Sп = Si, जहाँ Sп पार्श्व क्षेत्र है, Si i-वें त्रिभुज का क्षेत्रफल है, जो इसकी पार्श्व सतह का हिस्सा है।

अधिक स्पष्टता के लिए, आप एक छोटे से उदाहरण पर विचार कर सकते हैं: एक नियमित पिरामिड दिया गया है, जिसके पार्श्व फलक समबाहु त्रिभुजों द्वारा बनते हैं, और इसके आधार पर एक वर्ग है। इस पिरामिड के किनारे की लंबाई 17 सेमी है।इस पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है।

हल: इस पिरामिड के किनारे की लंबाई ज्ञात है, ज्ञात है कि इसके फलक समबाहु त्रिभुज हैं। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि पार्श्व सतह के सभी त्रिभुजों के सभी पक्ष 17 सेमी हैं। इसलिए, इनमें से किसी भी त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको सूत्र लागू करने की आवश्यकता होगी:

एस = (17² * √3) / 4 = (289 * 1.732) / 4 = 125.137 सेमी²

यह ज्ञात है कि पिरामिड के आधार पर एक वर्ग है। इस प्रकार, यह स्पष्ट है कि चार समबाहु त्रिभुज दिए गए हैं। फिर पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है:

125.137 सेमी² * 4 = 500.548 सेमी²

उत्तर: पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 500.48 सेमी² है

सबसे पहले, हम पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना करते हैं। पार्श्व सतह का अर्थ है सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग। यदि आप एक नियमित पिरामिड के साथ काम कर रहे हैं (अर्थात, एक आधार पर एक नियमित बहुभुज के साथ, और शीर्ष इस बहुभुज के केंद्र में प्रक्षेपित है), तो संपूर्ण पार्श्व सतह की गणना करने के लिए, यह आधार परिधि को गुणा करने के लिए पर्याप्त है (अर्थात, आधार पिरामिड पर स्थित बहुभुज के सभी पक्षों की लंबाई का योग) पार्श्व चेहरे की ऊंचाई से (अन्यथा एपोथेम कहा जाता है) और परिणामी मान को 2 से विभाजित करें: Sb = 1 / 2P * h, जहां एसबी पार्श्व सतह का क्षेत्र है, पी आधार की परिधि है, एच पार्श्व चेहरे (एपोथेम) की ऊंचाई है।

यदि आपके सामने एक मनमाना पिरामिड है, तो आपको सभी चेहरों के क्षेत्रों की अलग-अलग गणना करनी होगी, और फिर उन्हें जोड़ना होगा। चूँकि पिरामिड की भुजाएँ त्रिभुज हैं, त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का उपयोग करें: S = 1/2b * h, जहाँ b त्रिभुज का आधार है और h ऊँचाई है। जब सभी चेहरों के क्षेत्रफलों की गणना कर ली जाती है, तो पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए उन्हें जोड़ना शेष रह जाता है।

फिर आपको पिरामिड के आधार के क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है। गणना के लिए सूत्र का चुनाव इस बात पर निर्भर करता है कि पिरामिड के आधार पर कौन सा बहुभुज स्थित है: सही (अर्थात, एक, जिसके सभी पक्षों की लंबाई समान है) या गलत। एक नियमित बहुभुज के क्षेत्र की गणना बहुभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या से परिधि को गुणा करके और परिणामी मान को 2 से विभाजित करके की जा सकती है: Sn = 1/2P * r, जहाँ Sn का क्षेत्रफल है बहुभुज, P परिधि है, और r बहुभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है ...

एक छोटा पिरामिड एक बहुफलक है जो एक पिरामिड और आधार के समानांतर उसके खंड द्वारा बनता है। किसी पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करना बिल्कुल भी कठिन नहीं है। यह बहुत ही सरल है: क्षेत्रफल आधारों के आधे योग के उत्पाद के बराबर है। आइए पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि आपको सही पिरामिड दिया गया है। आधार की लंबाई बी = 5 सेमी, सी = 3 सेमी है। एपोथेम ए = 4 सेमी। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको पहले आधारों की परिधि का पता लगाना होगा। एक बड़े आधार में, यह p1 = 4b = 4 * 5 = 20 सेमी के बराबर होगा। छोटे आधार में, सूत्र इस प्रकार होगा: p2 = 4c = 4 * 3 = 12 सेमी। परिणामस्वरूप, क्षेत्रफल होगा : एस = 1/2 (20 + 12 ) * 4 = 32/2 * 4 = 64 सेमी।

यदि पिरामिड के आधार पर एक अनियमित बहुभुज है, तो पूरे आकार के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको पहले बहुभुज को त्रिकोणों में विभाजित करना होगा, प्रत्येक के क्षेत्र की गणना करनी होगी, और फिर इसे जोड़ना होगा। अन्य मामलों में, पिरामिड की पार्श्व सतह को खोजने के लिए, आपको इसके प्रत्येक पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा और परिणामों को जोड़ना होगा। कुछ मामलों में, पिरामिड की पार्श्व सतह को खोजने का कार्य आसान हो सकता है। यदि एक पार्श्व फलक आधार के लंबवत है या दो आसन्न पार्श्व फलक आधार के लंबवत हैं, तो पिरामिड के आधार को इसकी पार्श्व सतह के एक भाग का एक ओर्थोगोनल प्रक्षेपण माना जाता है, और वे सूत्रों द्वारा संबंधित होते हैं।

पिरामिड के सतह क्षेत्र की गणना को पूरा करने के लिए पिरामिड के पार्श्व और आधार क्षेत्रों को जोड़ें।

एक पिरामिड एक बहुफलक होता है, जिसका एक फलक (आधार) एक मनमाना बहुभुज होता है, और अन्य फलक (पक्ष) त्रिभुज होते हैं। पिरामिड के आधार के कोणों की संख्या के अनुसार, यह त्रिकोणीय (चतुष्फलक), चतुर्भुज, आदि है।

पिरामिड एक बहुभुज के रूप में एक आधार के साथ एक बहुफलक है, और शेष फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष के साथ त्रिभुज हैं। एपोथेम एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई है, जो इसके शीर्ष से खींचा जाता है।

एक पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन होता है जिसके आधार पर एक बहुभुज होता है, और पार्श्व फलक त्रिभुज होते हैं जिनमें एक सामान्य शीर्ष होता है। वर्ग सतह पिरामिडपार्श्व क्षेत्रों के योग के बराबर सतहऔर मैदान पिरामिड.

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• कागज, कलम, कैलकुलेटर

निर्देश

सबसे पहले, हम पार्श्व के क्षेत्र की गणना करते हैं सतह ... पार्श्व सतह का अर्थ है सभी पार्श्व चेहरों का योग। यदि आप एक नियमित पिरामिड के साथ काम कर रहे हैं (अर्थात, जिसमें एक नियमित बहुभुज है, और शीर्ष इस बहुभुज के केंद्र में प्रक्षेपित है), तो पूरे पार्श्व की गणना करने के लिए सतहयह आधार की परिधि को गुणा करने के लिए पर्याप्त है (अर्थात, आधार पर स्थित बहुभुज के सभी पक्षों की लंबाई का योग पिरामिड) साइड फेस की ऊंचाई से (अन्यथा कहा जाता है) और परिणामी मान को 2 से विभाजित करें: Sb = 1/2P * h, जहां Sb पक्ष का क्षेत्रफल है सतह, P आधार की परिधि है, h पार्श्व फलक (एपोथेम) की ऊंचाई है।

यदि आपके सामने एक मनमाना पिरामिड है, तो आपको सभी चेहरों के क्षेत्रों की गणना करनी होगी, और फिर उन्हें जोड़ना होगा। चूंकि पक्ष का सामना करना पड़ता है पिरामिडहैं, त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का उपयोग करें: S = 1/2b * h, जहाँ b त्रिभुज का आधार है और h ऊँचाई है। जब सभी चेहरों के क्षेत्रों की गणना की जाती है, तो यह केवल पार्श्व के क्षेत्र को प्राप्त करने के लिए उन्हें जोड़ने के लिए रहता है सतह पिरामिड.

फिर आपको आधार के क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है पिरामिड... गणना के लिए विकल्प कि क्या बहुभुज पिरामिड के आधार पर स्थित है: सही (अर्थात, एक, जिसके सभी पक्षों की लंबाई समान है) या। वर्गएक नियमित बहुभुज की गणना बहुभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या से परिधि को गुणा करके और परिणामी मान को 2 से विभाजित करके की जा सकती है: Sn = 1/2P * r, जहाँ Sn बहुभुज का क्षेत्रफल है, P है परिधि, और r बहुभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है।

अगर तल पर पिरामिडएक अनियमित बहुभुज है, तो संपूर्ण आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको फिर से बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित करना होगा, प्रत्येक के क्षेत्रफल की गणना करनी होगी, और फिर जोड़ना होगा।

क्षेत्र गणना को पूरा करने के लिए सतह पिरामिड, चौकोर तरफ मोड़ो सतहऔर मैदान पिरामिड.

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बहुभुज एक ज्यामितीय आकृति है जिसे पॉलीलाइन को बंद करके बनाया गया है। बहुभुज कई प्रकार के होते हैं, जो शीर्षों की संख्या के आधार पर भिन्न होते हैं। प्रत्येक प्रकार के बहुभुज के लिए कुछ निश्चित तरीकों से क्षेत्रफल की गणना की जाती है।

निर्देश

यदि आपको एक वर्ग या आयत के क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है, तो पक्षों की लंबाई गुणा करें। यदि आप एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल जानना चाहते हैं, तो इसे एक आयत तक बढ़ाएँ, इसके क्षेत्रफल की गणना करें और इसे दो से विभाजित करें।

क्षेत्र की गणना करने के लिए निम्न विधि का उपयोग करें यदि आकार में 180 डिग्री (उत्तल बहुभुज) से अधिक नहीं है, और इसके सभी कोने समन्वय ग्रिड में हैं, और स्वयं को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।
इस तरह के बहुभुज के चारों ओर एक आयत बनाएं ताकि इसकी भुजाएँ ग्रिड लाइनों (निर्देशांक अक्ष) के समानांतर हों। इस स्थिति में, बहुभुज का कम से कम एक शीर्ष आयत का शीर्ष होना चाहिए।

दो आधारों में केवल एक छोटा किया जा सकता है पिरामिड... इस मामले में, दूसरा आधार बड़े आधार के समानांतर एक खंड द्वारा बनता है पिरामिड... इनमें से एक खोजें मैदानयदि ज्ञात हो तो संभव है या दूसरे के रेखा तत्व।

आपको चाहिये होगा

• - पिरामिड के गुण;
• - त्रिकोणमितीय फलन;
• - आंकड़ों की समानता;
• - बहुभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात करना।

निर्देश

यदि आधार समकोण त्रिभुज है, तो उसे खोजें वर्गभुजा के वर्ग को 3 के वर्गमूल से 4 से विभाजित करके गुणा करके। यदि आधार एक वर्ग है, तो भुजा को दूसरी घात तक बढ़ाएँ। सामान्य तौर पर, किसी भी नियमित बहुभुज के लिए, सूत्र S = (n / 4) a² ctg (180º / n) लागू करें, जहाँ n एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या है, a इसकी भुजा की लंबाई है।

सूत्र b = 2 (a / (2 tg (180º / n)) - h / tan (α)) tg (180º / n) का उपयोग करके छोटे आधार का पक्ष खोजें। यहाँ a बड़ा आधार है, h काटे गए की ऊँचाई है पिरामिड, α इसके आधार पर डायहेड्रल कोण है, n पक्षों की संख्या है मैदान(यह एक ही है)। पहले के समान दूसरे आधार का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, सूत्र में इसकी भुजा S = (n / 4) b² ctg (180º / n) की लंबाई का उपयोग करके।

यदि आधार अन्य प्रकार के बहुभुज हैं, तो इनमें से किसी एक के सभी पक्ष मैदान, और दूसरे के एक तरफ, फिर बाकी पक्षों की गणना समान रूप से की जाती है। उदाहरण के लिए, बड़े आधार की भुजाएँ 4, 6, 8 सेमी हैं। छोटे आधार की बड़ी भुजा 4 सेमी घाव है। आनुपातिकता गुणांक की गणना करें, 4/8 = 2 (हम प्रत्येक में भुजाएँ लेते हैं) मैदान), और अन्य भुजाओं की गणना 6/2 = 3 सेमी, 4/2 = 2 सेमी करें। हमें भुजा के छोटे आधार में भुजाएँ 2, 3, 4 सेमी प्राप्त होती हैं। अब इन्हें त्रिभुजों के क्षेत्रफल के रूप में परिकलित करें।

यदि काट-छाँट में संबंधित तत्वों का अनुपात ज्ञात हो, तो क्षेत्रफलों का अनुपात मैदानइन तत्वों के वर्गों के अनुपात के बराबर होगा। उदाहरण के लिए, यदि संबंधित पक्ष ज्ञात हैं मैदान a और a1, फिर a² / a1² = S / S1।

अंतर्गत क्षेत्र पिरामिडआमतौर पर इसकी पार्श्व या पूर्ण सतह के क्षेत्र के रूप में समझा जाता है। इस ज्यामितीय निकाय के आधार पर एक बहुभुज है। पार्श्व फलक आकार में त्रिभुजाकार होते हैं। उनके पास एक सामान्य शीर्ष है, जो एक शीर्ष भी है पिरामिड.

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - कलम;
• - कैलकुलेटर;
• - दिए गए मापदंडों के साथ पिरामिड।

निर्देश

सत्रीय कार्य में दिए गए पिरामिड पर विचार कीजिए। निर्धारित करें कि क्या एक नियमित या अनियमित बहुभुज इसके आधार पर स्थित है। सही एक में, सभी पक्ष समान हैं। इस मामले में क्षेत्र परिधि और त्रिज्या के उत्पाद के आधे के बराबर है। भुजा l की लंबाई को n भुजाओं की संख्या से गुणा करके परिमाप ज्ञात कीजिए, अर्थात् P = l * n। आप आधार के क्षेत्रफल को सूत्र Sо = 1 / 2P * r द्वारा व्यक्त कर सकते हैं, जहाँ P परिधि है, और r उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है।

एक अनियमित बहुभुज की परिधि और क्षेत्रफल की गणना अलग तरीके से की जाती है। भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की होती हैं। प्रति