लघुगणक से x को कैसे व्यक्त करें। लघुगणक के साथ एक क्रिया नियम का लघुगणक

इसकी परिभाषा से अनुसरण किया गया। और इसलिए संख्या का लघुगणक बीवजह से एको उस डिग्री के संकेतक के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस तक संख्या को बढ़ाया जाना चाहिए एनंबर पाने के लिए बी(केवल धनात्मक संख्याओं का लघुगणक होता है)।

इस सूत्रीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणना एक्स = लॉग ए बी, समीकरण को हल करने के बराबर है एक एक्स = बी।उदाहरण के लिए, लॉग 2 8 = 3चूंकि 8 = 2 3 ... लघुगणक का निरूपण यह सिद्ध करना संभव बनाता है कि यदि बी = एक सी, तो संख्या का लघुगणक बीवजह से एके बराबर है साथ... यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक लेने का विषय संख्या की शक्ति के विषय से निकटता से संबंधित है।

लघुगणक के साथ, जैसा कि किसी भी संख्या के साथ होता है, आप कर सकते हैं जोड़, घटाव संचालनऔर हर संभव तरीके से रूपांतरित करें। लेकिन इस तथ्य के कारण कि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, यहां विशेष नियम लागू होते हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

लघुगणक का जोड़ और घटाव।

आइए समान आधारों वाले दो लघुगणक लें: लॉग एक xतथा आप लॉग इन करें... फिर इसे हटा दें जोड़ और घटाव संचालन करना संभव है:

लॉग ए एक्स + लॉग ए वाई = लॉग ए (एक्स वाई);

लॉग ए एक्स - लॉग ए वाई = लॉग ए (एक्स: वाई)।

लॉग ए(एक्स 1 . एक्स 2 . एक्स 3 ... एक्स के) = लॉग एक x 1 + लॉग एक x 2 + लॉग एक x 3 + ... + लॉग ए x k.

से भागफल लघुगणक प्रमेयआप लघुगणक का एक और गुण प्राप्त कर सकते हैं। यह सर्वविदित है कि लॉग ए 1 = 0, इसलिए

लॉग ए 1 /बी= लॉग ए 1 - लॉग एक बी= - लॉग एक बी.

तो समानता होती है:

लॉग ए 1 / बी = - लॉग ए बी।

दो परस्पर प्रतिलोम संख्याओं के लघुगणकएक ही आधार पर एक दूसरे से विशेष रूप से चिन्ह द्वारा भिन्न होंगे। इसलिए:

लॉग 3 9 = - लॉग 3 1/9; लॉग 5 1/125 = -लॉग 5 125।

लघुगणक चिह्न के तहत ऋणात्मक संख्याओं या संख्याओं की जाँच करें।यह विधि प्रपत्र के व्यंजकों पर लागू होती है लॉग बी ⁡ (एक्स) लॉग बी ⁡ (ए) (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ फ्रैक (\ लॉग _ (बी) (एक्स)) (\ लॉग _ (बी) (ए))))... हालांकि, यह कुछ विशेष मामलों के लिए उपयुक्त नहीं है:
- किसी भी आधार के लिए ऋणात्मक संख्या का लघुगणक अपरिभाषित होता है (उदाहरण के लिए, लॉग (- 3) (\ डिस्प्लेस्टाइल \ लॉग (-3))या लॉग 4 (- 5) (\ डिस्प्लेस्टाइल \ लॉग _ (4) (- 5))) इस मामले में, "कोई समाधान नहीं" लिखें।
- किसी भी आधार के लिए शून्य का लघुगणक भी अपरिभाषित है। पकड़े गए तो एलएन (0) (\ डिस्प्लेस्टाइल \ एलएन (0)), "कोई समाधान नहीं" लिखें।
- किसी भी आधार के लिए इकाई का लघुगणक ( लॉग (1) (\ डिस्प्लेस्टाइल \ लॉग (1))) हमेशा शून्य होता है, क्योंकि x 0 = 1 (\ डिस्प्लेस्टाइल x ^ (0) = 1)सभी मूल्यों के लिए एक्स... इस लघुगणक के स्थान पर 1 लिखें और नीचे दी गई विधि का प्रयोग न करें।
- यदि लघुगणक के अलग-अलग आधार हैं, उदाहरण के लिए एल ओ जी 3 (एक्स) एल ओ जी 4 (ए) (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ फ्रैक (लॉग_ (3) (एक्स)) (लॉग_ (4) (ए)))), और पूर्णांकों के लिए पुनरावर्तनीय नहीं हैं, व्यंजक का मान मैन्युअल रूप से नहीं पाया जा सकता है।
व्यंजक को एक लघुगणक में बदलें।यदि व्यंजक उपरोक्त विशेष मामलों पर लागू नहीं होता है, तो इसे एकल लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसके लिए निम्न सूत्र का प्रयोग करें: लॉग बी ⁡ (एक्स) लॉग बी ⁡ (ए) = लॉग ए ⁡ (एक्स) (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ फ्रैक (\ लॉग _ (बी) (एक्स)) (\ लॉग _ (बी) (ए))) = \ लॉग _ (ए) (एक्स)).
- उदाहरण 1: एक व्यंजक पर विचार करें लॉग ⁡ 16 लॉग ⁡ 2 (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ फ़्रेक (\ लॉग (16)) (\ लॉग (2)))).
  सबसे पहले, आइए उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके व्यंजक को एकल लघुगणक के रूप में निरूपित करें: लॉग ⁡ 16 लॉग ⁡ 2 = लॉग 2 ⁡ (16) (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ फ्रैक (\ लॉग (16)) (\ लॉग (2))) = \ लॉग _ (2) (16)).
- लघुगणक का यह "आधार परिवर्तन" सूत्र लघुगणक के मूल गुणों से प्राप्त होता है।
यदि संभव हो तो व्यंजक के मान का मैन्युअल रूप से मूल्यांकन करें।ढूँढ़ने के लिए लॉग ए (एक्स) (\ डिस्प्लेस्टाइल \ लॉग _ (ए) (एक्स)), अभिव्यक्ति की कल्पना करें " ए? = एक्स (\ डिस्प्लेस्टाइल ए ^ (?) = एक्स)", अर्थात्, निम्नलिखित प्रश्न पूछें:" किस हद तक उठाना आवश्यक है ए, प्राप्त करना एक्स? "। इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए आपको एक कैलकुलेटर की आवश्यकता हो सकती है, लेकिन यदि आप भाग्यशाली हैं, तो आप इसे मैन्युअल रूप से पा सकते हैं।
- उदाहरण 1 जारी रखा: के रूप में फिर से लिखें 2? = 16 (\ डिस्प्लेस्टाइल 2 ^ (?) = 16)... आपको यह पता लगाना है कि "?" के स्थान पर कौन सी संख्या होनी चाहिए। यह परीक्षण और त्रुटि द्वारा किया जा सकता है:
  2 2 = 2 2 = 4 (\ डिस्प्लेस्टाइल 2 ^ (2) = 2 * 2 = 4)
  2 3 = 4 2 = 8 (\ डिस्प्लेस्टाइल 2 ^ (3) = 4 * 2 = 8)
  2 4 = 8 2 = 16 (\ डिस्प्लेस्टाइल 2 ^ (4) = 8 * 2 = 16)
  तो, अभीष्ट संख्या 4 है: लॉग 2 (16) (\ डिस्प्लेस्टाइल \ लॉग _ (2) (16)) = 4 .
यदि आप इसे सरल नहीं कर सकते हैं तो अपने उत्तर को लघुगणकीय रूप में छोड़ दें।कई लघुगणक मैन्युअल रूप से गणना करना बहुत मुश्किल है। इस मामले में, आपको सटीक उत्तर प्राप्त करने के लिए एक कैलकुलेटर की आवश्यकता है। हालाँकि, यदि आप पाठ में समस्या को हल करते हैं, तो शिक्षक सबसे अधिक संभावना एक लघुगणकीय रूप में उत्तर से संतुष्ट होंगे। अधिक जटिल उदाहरण को हल करने के लिए विचाराधीन विधि का उपयोग किया जाता है:
- उदाहरण 2: बराबर क्या है लॉग 3 (58) लॉग 3 ⁡ (7) (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ फ्रैक (\ लॉग _ (3) (58)) (\ लॉग _ (3) (7))))?
- आइए इस व्यंजक को एक लघुगणक में रूपांतरित करें: लॉग 3 (58) लॉग 3 ⁡ (7) = लॉग 7 ⁡ (58) (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ फ्रैक (\ लॉग _ (3) (58)) (\ लॉग _ (3) (7))) = \ लॉग _ (7) (58))... ध्यान दें कि आधार 3 दोनों लघुगणक के लिए उभयनिष्ठ गायब हो जाता है; यह किसी भी कारण से सच है।
- आइए व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखें 7? = 58 (\ डिस्प्लेस्टाइल 7 ^ (?) = 58)और मूल्य खोजने का प्रयास करें ?:
  7 2 = 7 7 = 49 (\ डिस्प्लेस्टाइल 7 ^ (2) = 7 * 7 = 49)
  7 3 = 49 7 = 343 (\ डिस्प्लेस्टाइल 7 ^ (3) = 49 * 7 = 343)
  चूंकि 58 इन दो संख्याओं के बीच है, इसलिए इसे पूर्णांक के रूप में व्यक्त नहीं किया जाता है।
- हम उत्तर को लघुगणकीय रूप में छोड़ते हैं: लॉग 7 (58) (\ डिस्प्लेस्टाइल \ लॉग _ (7) (58)).

संख्या का लघुगणक एन वजह से ए घातांक कहा जाता है एक्स जिस पर आप निर्माण करना चाहते हैं ए नंबर पाने के लिए एन

उसे उपलब्ध कराया
,
,

यह लघुगणक की परिभाषा से निम्नानुसार है कि
, अर्थात।
- यह समानता बुनियादी लघुगणकीय पहचान है।

लघुगणक के आधार 10 को दशमलव लघुगणक कहा जाता है। के बजाय
लिखो
.

आधार के लिए लघुगणक इ प्राकृतिक कहलाते हैं और निरूपित होते हैं
.

लघुगणक के मूल गुण।

किसी भी आधार के लिए एक का लघुगणक शून्य होता है

उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर होता है।

3) भागफल का लघुगणक लघुगणक के अंतर के बराबर होता है

फ़ैक्टर
आधार पर लघुगणक से संक्रमण का मापांक कहा जाता है ए आधार पर लघुगणक के लिए बी .

गुण 2-5 का उपयोग करते हुए, एक जटिल व्यंजक के लघुगणक को लघुगणक पर सरल अंकगणितीय संक्रियाओं के परिणाम तक कम करना अक्सर संभव होता है।

उदाहरण के लिए,

लघुगणक के ऐसे परिवर्तनों को लघुगणक कहा जाता है। लघुगणक के विपरीत रूपांतरण को पोटेंशिएशन कहा जाता है।

अध्याय 2. उच्च गणित के तत्व।

1. सीमाएं

समारोह की सीमा
एक परिमित संख्या A है यदि, जैसे xx 0 प्रत्येक पूर्व निर्धारित के लिए
, ऐसी एक संख्या है
कि एक बार
, फिर
.

एक फ़ंक्शन जिसकी एक सीमा होती है, उससे एक असीम रूप से छोटी राशि भिन्न होती है:
, एक b.m.v. कहाँ है, अर्थात।
.

उदाहरण। समारोह पर विचार करें
.

प्रयास करते समय
, समारोह आप शून्य हो जाता है:

1.1. सीमा पर मूल प्रमेय।

एक स्थिर मान की सीमा इस स्थिर मान के बराबर होती है

कार्यों की एक सीमित संख्या के योग (अंतर) की सीमा इन कार्यों की सीमाओं के योग (अंतर) के बराबर है।

सीमित संख्या में फलनों के गुणनफल की सीमा इन फलनों की सीमाओं के गुणनफल के बराबर होती है।

दो फलनों की भागफल सीमा इन फलनों की सीमा के भागफल के बराबर होती है यदि हर की सीमा शून्य न हो।

अद्भुत सीमाएं

,
, कहाँ पे

1.2. सीमा गणना उदाहरण

हालांकि, सभी सीमाओं की गणना करना आसान नहीं है। अधिक बार, सीमा की गणना प्रकार की अनिश्चितता के प्रकटीकरण के लिए कम हो जाती है: या ।

2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

आइए एक फ़ंक्शन करें
खंड पर निरंतर
.

तर्क कुछ वृद्धि मिली
... तब फ़ंक्शन को एक वेतन वृद्धि प्राप्त होगी
.

तर्क मूल्य फ़ंक्शन मान से मेल खाती है
.

तर्क मूल्य
फ़ंक्शन के मान से मेल खाता है।

इसलिये, ।

आइए इस अनुपात की सीमा ज्ञात करें
... यदि यह सीमा मौजूद है, तो इसे इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कहा जाता है।

परिभाषा 3 इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न
तर्क से जब तर्क की वृद्धि मनमाने ढंग से शून्य हो जाती है, तो तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा कहा जाता है।

एक समारोह का व्युत्पन्न
निम्नानुसार नामित किया जा सकता है:

; ; ; .

परिभाषा 4 किसी फलन का अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है भेदभाव।

2.1. व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ।

किसी कठोर पिंड या भौतिक बिंदु की सीधी गति पर विचार करें।

चलो किसी समय गतिमान बिंदु
दूर था प्रारंभिक स्थिति से
.

एक निश्चित समय के बाद
वह दूर चली गई
... रवैया =- एक भौतिक बिंदु की औसत गति
... आइए हम इस अनुपात की सीमा ज्ञात करें, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि
.

नतीजतन, एक भौतिक बिंदु की गति की तात्कालिक गति का निर्धारण समय में पथ के व्युत्पन्न को खोजने के लिए कम हो जाता है।

2.2. व्युत्पन्न ज्यामितीय मान

मान लीजिए कि हमारे पास ग्राफिक रूप से कुछ फ़ंक्शन दिया गया है
.

चावल। 1. व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ

अगर
फिर बिंदु
, वक्र के साथ आगे बढ़ेगा, बिंदु पर पहुंचेगा
.

इसलिये
, अर्थात। व्युत्पन्न का मान तर्क का मान दिया गया है संख्यात्मक रूप से अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा द्वारा बनाए गए कोण के स्पर्शरेखा के बराबर
.

2.3. भेदभाव के लिए बुनियादी सूत्रों की तालिका।

ऊर्जा समीकरण

घातांक प्रकार्य

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन

त्रिकोणमितीय कार्य

उलटा त्रिकोणमितीय कार्य

2.4. विभेदन नियम।

से व्युत्पन्न

कार्यों के योग (अंतर) का व्युत्पन्न

दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न

दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न

2.5. एक जटिल कार्य से व्युत्पन्न।

एक फंक्शन दिया जाए
जैसे कि इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

तथा
जहां चर एक मध्यवर्ती तर्क है, तो

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न x के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न द्वारा मध्यवर्ती तर्क के संबंध में इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है।

उदाहरण 1।

उदाहरण 2।

3. विभेदक कार्य।

उसे वही रहने दो
कुछ खंड पर अवकलनीय
जाने दो पर इस फ़ंक्शन का एक व्युत्पन्न है

तब हम लिख सकते हैं

(1),

कहाँ पे - अनंत मूल्य,

चूंकि ए.टी

समानता के सभी पदों को गुणा करना (1) द्वारा
अपने पास:

कहां
- बी.एम.वी. उच्च आदेश।

महत्व
फ़ंक्शन का अंतर कहा जाता है
और निरूपित

3.1. अंतर का ज्यामितीय मूल्य।

एक फंक्शन दिया जाए
.

रेखा चित्र नम्बर 2। अंतर का ज्यामितीय अर्थ।

जाहिर है, फ़ंक्शन का अंतर
इस बिंदु पर स्पर्शरेखा के कोटि की वृद्धि के बराबर है।

3.2. विभिन्न आदेशों के डेरिवेटिव और अंतर।

अगर वहाँ है
, फिर
प्रथम व्युत्पन्न कहा जाता है।

पहले व्युत्पन्न के व्युत्पन्न को दूसरे क्रम के व्युत्पन्न कहा जाता है और इसे लिखा जाता है
.

फ़ंक्शन का nवां क्रम व्युत्पन्न
(n-1) -वें क्रम के व्युत्पन्न को कहा जाता है और लिखा जाता है:

किसी फ़ंक्शन के अंतर के अंतर को दूसरा अंतर या दूसरे क्रम का अंतर कहा जाता है।

.

.

3.3 विभेदीकरण का उपयोग करके जैविक समस्याओं को हल करना।

कार्य 1। अध्ययनों से पता चला है कि सूक्ष्मजीवों के एक उपनिवेश का विकास कानून का पालन करता है
, कहाँ पे एन - सूक्ष्मजीवों की संख्या (हजारों में), टी - समय (दिन)।

ख) क्या इस अवधि के दौरान कॉलोनी का आकार बढ़ेगा या घटेगा?

उत्तर। कॉलोनी का आकार बढ़ेगा।

कार्य 2. रोगजनक बैक्टीरिया की सामग्री को नियंत्रित करने के लिए झील के पानी का समय-समय पर परीक्षण किया जाता है। आर - पार टी परीक्षण के दिनों के बाद, बैक्टीरिया की एकाग्रता अनुपात द्वारा निर्धारित की जाती है

झील में बैक्टीरिया की न्यूनतम सांद्रता कब आएगी और उसमें तैरना संभव होगा?

हल एक फलन अधिकतम या न्यूनतम तक पहुँच जाता है जब उसका अवकलज शून्य होता है।

आइए परिभाषित करें कि अधिकतम या न्यूनतम 6 दिनों में होगा। इसके लिए हम दूसरा व्युत्पन्न लेते हैं।

उत्तर: 6 दिनों के बाद, बैक्टीरिया की न्यूनतम सांद्रता होगी।

लॉगरिदम, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और रूपांतरित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

इन नियमों को जानना अनिवार्य है - इनके बिना कोई भी गंभीर लघुगणकीय समस्या हल नहीं हो सकती है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - एक दिन में सब कुछ सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू करते है।

लघुगणक का जोड़ और घटाव

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: log ए एक्सऔर लॉग ए आप... फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

लॉग ए एक्स+ लॉग ए आप= लॉग ए (एक्स · आप);
लॉग ए एक्स- लॉग ए आप= लॉग ए (एक्स : आप).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। कृपया ध्यान दें, यहाँ मुख्य बिंदु है - समान आधार... अगर कारण अलग हैं, तो ये नियम काम नहीं करते हैं!

ये सूत्र आपको एक लघुगणकीय व्यंजक की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों की गणना न की गई हो (पाठ "क्या एक लघुगणक है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें - और देखें:

लॉग 6 4 + लॉग 6 9.

चूंकि लघुगणक के आधार समान हैं, इसलिए हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 2 48 - लघुगणक 2 3।

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48: 3) = लॉग 2 16 = 4।

कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5.

फिर से आधार समान हैं, इसलिए हमारे पास है:
लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5 = लघुगणक 3 (135: 5) = लघुगणक 3 27 = 3.

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल भाव "खराब" लघुगणक से बने होते हैं, जिनकी अलग से गणना नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, काफी सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई परीक्षण इस तथ्य पर आधारित हैं। लेकिन क्या नियंत्रण - सभी गंभीरता में ऐसे भाव (कभी-कभी - व्यावहारिक रूप से अपरिवर्तित) परीक्षा में पेश किए जाते हैं।

घातांक को लघुगणक से हटाना

अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक डिग्री पर आधारित है? तब इस डिग्री के घातांक को निम्न नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन यह सब समान रूप से याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणना की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम समझ में आते हैं यदि लघुगणक का ODV देखा जाता है: ए > 0, ए ≠ 1, एक्स> 0. और एक बात: न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी सभी सूत्रों को लागू करना सीखें। आप लघुगणक के चिह्न के सामने संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। यह वही है जो सबसे अधिक बार आवश्यक होता है।

कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 7 49 6.

आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लघुगणक 7 49 6 = 6 लघुगणक 7 49 = 6 2 = 12

कार्य। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:
[आंकड़ा शीर्षक]

ध्यान दें कि हर में लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं: 16 = 2 4; 49 = 7 2. हमारे पास है:

[आंकड़ा शीर्षक]

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण को कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ गायब हो गए? अंतिम क्षण तक, हम केवल हर के साथ काम करते हैं। हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतकों को सामने लाया - हमें "तीन मंजिला" अंश मिला।

अब आइए मूल भिन्न को देखें। अंश और हर में एक ही संख्या होती है: लॉग 2 7. लॉग 2 7 0 के बाद से, हम भिन्न को रद्द कर सकते हैं - हर 2/4 रहता है। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर था: 2.

एक नई नींव की ओर बढ़ना

लॉगरिदम के जोड़ और घटाव के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से इस बात पर जोर दिया कि वे केवल एक ही आधार के लिए काम करते हैं। क्या होगा अगर कारण अलग हैं? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक शक्तियां नहीं हैं?

एक नई नींव में संक्रमण के लिए सूत्र बचाव के लिए आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

बता दें कि लघुगणक को लघुगणक दिया जाता है ए एक्स... फिर किसी भी संख्या के लिए सीऐसा है कि सी> 0 और सी 1, समानता सत्य है:
[आंकड़ा शीर्षक]
विशेष रूप से, यदि हम डालते हैं सी = एक्स, हम पाते हैं:
[आंकड़ा शीर्षक]

दूसरे सूत्र से यह निम्नानुसार है कि आधार और लघुगणक के तर्क को स्वैप करना संभव है, लेकिन इस मामले में पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है।

ये सूत्र पारंपरिक संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में शायद ही कभी पाए जाते हैं। यह आकलन करना संभव है कि लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही वे कितने सुविधाजनक होते हैं।

हालांकि, ऐसे कार्य हैं जो आम तौर पर एक नई नींव में संक्रमण के अलावा हल नहीं होते हैं। इनमें से एक जोड़े पर विचार करें:

कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 5 16 लघुगणक 2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक अंश होते हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लघुगणक 2 25 = लघुगणक 2 5 2 = 2 लघुगणक 2 5;

अब दूसरे लघुगणक को "फ्लिप" करते हैं:

[आंकड़ा शीर्षक]

चूंकि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है, हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक के साथ व्यवहार किया।

कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 9 100 · lg 3.

पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक अंश हैं। आइए इसे लिख लें और मेट्रिक्स से छुटकारा पाएं:

[आंकड़ा शीर्षक]

आइए अब नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

[आंकड़ा शीर्षक]

मूल लघुगणकीय पहचान

अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार के लिए एक संख्या को लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या एनतर्क में खड़े होने की डिग्री का संकेतक बन जाता है। संख्या एनबिल्कुल कुछ भी हो सकता है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक व्याख्यात्मक परिभाषा है। इसे कहते हैं कि: मूल लघुगणकीय पहचान।

वास्तव में, क्या होता है यदि संख्या बीऐसी शक्ति के लिए कि संख्या बीइस डिग्री के लिए नंबर देता है ए? यह सही है: आपको यही नंबर मिलता है ए... इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - बहुत से लोग इसे "लटका" देते हैं।

एक नए आधार पर संक्रमण के सूत्रों की तरह, बुनियादी लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभव समाधान होता है।

कार्य। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:
[आंकड़ा शीर्षक]

ध्यान दें कि लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - बस वर्ग को आधार और लॉगरिदम तर्क से बाहर ले जाया गया। समान आधार से अंशों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

[आंकड़ा शीर्षक]

अगर किसी को पता नहीं है, तो यह परीक्षा से एक वास्तविक समस्या थी :)

लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लॉगरिदम की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं का सामना करते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

लॉग ए ए= 1 लघुगणक इकाई है। एक बार और सभी के लिए याद रखें: किसी भी आधार के लिए लघुगणक एइसी आधार से एक के बराबर है।
लॉग ए 1 = 0 लघुगणकीय शून्य है। आधार एकुछ भी हो सकता है, लेकिन अगर तर्क एक है, तो लघुगणक शून्य है! चूंकि ए 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

वह सब गुण है। उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास करना सुनिश्चित करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

a (a> 0, a ≠ 1) को आधार बनाने के लिए b (b> 0) का लघुगणकवह घातांक है जिसके लिए आपको b प्राप्त करने के लिए संख्या a को बढ़ाने की आवश्यकता है।

b से आधार 10 का लघुगणक इस प्रकार लिखा जा सकता है एलजी (बी), और आधार e (प्राकृतिक लघुगणक) का लघुगणक है एलएन (बी).

लॉगरिदम के साथ समस्याओं को हल करते समय अक्सर उपयोग किया जाता है:

लघुगणक के गुण

चार मुख्य हैं लघुगणक के गुण.

मान लीजिए a> 0, a 1, x> 0, और y> 0।

संपत्ति 1. उत्पाद का लघुगणक

उत्पाद का लघुगणकलघुगणक के योग के बराबर है:

log a (x y) = log a x + log a y

गुण 2. भागफल का लघुगणक

भागफल का लघुगणकलघुगणक के अंतर के बराबर है:

लॉग ए (एक्स / वाई) = लॉग ए एक्स - लॉग ए वाई

संपत्ति 3. डिग्री का लघुगणक

डिग्री का लघुगणकलघुगणक द्वारा शक्ति के उत्पाद के बराबर है:

यदि लघुगणक का आधार शक्ति में है, तो दूसरा सूत्र काम करता है:

गुण 4. जड़ का लघुगणक

यह गुण डिग्री के लघुगणक के गुण से प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि nth डिग्री का मूल डिग्री 1 / n के बराबर होता है:

एक आधार में लघुगणक से दूसरे आधार में लघुगणक में संक्रमण का सूत्र

इस सूत्र का उपयोग अक्सर लघुगणक की विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए भी किया जाता है:

एक विशेष मामला:

लघुगणक की तुलना (असमानता)

मान लीजिए कि हमारे पास समान आधार वाले लॉगरिदम के तहत 2 फ़ंक्शन f (x) और g (x) हैं और उनके बीच एक असमानता का संकेत है:

उनकी तुलना करने के लिए, आपको सबसे पहले a के लघुगणक के आधार को देखना होगा:

यदि a> 0, तो f (x)> g (x)> 0
अगर 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

लघुगणक के साथ समस्याओं को कैसे हल करें: उदाहरण

लघुगणक कार्यटास्क 5 और टास्क 7 में ग्रेड 11 के लिए गणित में यूएसई में शामिल, आप संबंधित अनुभागों में हमारी वेबसाइट पर समाधान के साथ कार्य पा सकते हैं। साथ ही, गणित में कार्यों के बैंक में लघुगणक वाले कार्य पाए जाते हैं। सभी उदाहरण साइट खोज के माध्यम से मिल सकते हैं।

एक लघुगणक क्या है

हाई स्कूल गणित में लॉगरिदम को हमेशा एक कठिन विषय माना गया है। लघुगणक की कई अलग-अलग परिभाषाएँ हैं, लेकिन अधिकांश पाठ्यपुस्तकें किसी न किसी तरह सबसे कठिन और दुर्भाग्यपूर्ण का उपयोग करती हैं।

हम लघुगणक को सरल और स्पष्ट रूप से परिभाषित करेंगे। ऐसा करने के लिए, आइए एक तालिका बनाएं:

तो, हमारे सामने दो की शक्तियां हैं।

लघुगणक - गुण, सूत्र, कैसे हल करें

यदि आप नीचे की रेखा से संख्या लेते हैं, तो आप आसानी से उस डिग्री का पता लगा सकते हैं जिस तक आपको इस संख्या को प्राप्त करने के लिए दो को बढ़ाना होगा। उदाहरण के लिए, 16 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को चौथी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। और 64 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को छठी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। इसे तालिका से देखा जा सकता है।

और अब - वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा:

तर्क x से आधार a वह शक्ति है जिसके लिए संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या को उठाया जाना चाहिए।

नोटेशन: लॉग a x = b, जहां a आधार है, x तर्क है, b वास्तव में लॉगरिदम है।

उदाहरण के लिए, 2 3 = 8 लॉग 2 8 = 3 (8 का लघुगणक आधार 2 तीन है, क्योंकि 2 3 = 8)। उसी सफलता के साथ लॉग 2 64 = 6, क्योंकि 2 6 = 64।

किसी दिए गए आधार में किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है। तो, चलिए अपनी टेबल में एक नई लाइन जोड़ते हैं:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
लॉग 2 2 = 1	लॉग 2 4 = 2	लॉग 2 8 = 3	लॉग 2 16 = 4	लॉग 2 32 = 5	लॉग 2 64 = 6

दुर्भाग्य से, सभी लघुगणक की गणना इतनी आसानी से नहीं की जाती है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 5 खोजने का प्रयास करें। संख्या 5 तालिका में नहीं है, लेकिन तर्क बताता है कि लॉगरिदम खंड पर कहीं स्थित होगा। क्योंकि 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्याएँ अनिश्चित काल तक लिखी जा सकती हैं, और वे कभी भी दोहराई नहीं जाती हैं। यदि लॉगरिदम अपरिमेय हो जाता है, तो इसे इस तरह छोड़ना बेहतर है: लॉग 2 5, लॉग 3 8, लॉग 5 100।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि लघुगणक दो चर (आधार और तर्क) के साथ एक व्यंजक है। सबसे पहले, कई लोग भ्रमित होते हैं कि आधार कहाँ है, और तर्क कहाँ है। कष्टप्रद गलतफहमी से बचने के लिए, बस तस्वीर पर एक नज़र डालें:

हमारे सामने लघुगणक की परिभाषा से ज्यादा कुछ नहीं है। याद रखना: लघुगणक डिग्री हैजिस पर तर्क प्राप्त करने के लिए आधार उठाया जाना चाहिए। यह आधार है जिसे शक्ति तक बढ़ाया जाता है - चित्र में इसे लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। यह पता चला है कि आधार हमेशा सबसे नीचे होता है! मैं अपने छात्रों को यह अद्भुत नियम पहले पाठ में बताता हूं - और कोई भ्रम नहीं पैदा होता है।

लघुगणक कैसे गिनें

हमने परिभाषा का पता लगा लिया - यह सीखना बाकी है कि लॉगरिदम कैसे गिनें, यानी। लॉग साइन से छुटकारा पाएं। आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि परिभाषा से दो महत्वपूर्ण तथ्य अनुसरण करते हैं:

तर्क और मूलांक हमेशा शून्य से बड़ा होना चाहिए। यह एक तर्कसंगत संकेतक द्वारा डिग्री की परिभाषा का अनुसरण करता है, जिससे लघुगणक की परिभाषा कम हो जाती है।
आधार एक से अलग होना चाहिए, क्योंकि एक अभी भी किसी भी हद तक एक है। इस वजह से, यह प्रश्न "दो प्राप्त करने के लिए इकाई को किस हद तक बढ़ाना चाहिए" का कोई अर्थ नहीं है। ऐसी कोई डिग्री नहीं है!

ऐसे प्रतिबंधों को कहा जाता है मान्य मानों की श्रेणी(ओडीजेड)। यह पता चला है कि लघुगणक का ODZ इस तरह दिखता है: लॉग a x = b ⇒x> 0, a> 0, a 1।

ध्यान दें कि संख्या b (लघुगणक का मान) पर कोई प्रतिबंध नहीं है। उदाहरण के लिए, लघुगणक ऋणात्मक भी हो सकता है: लॉग 2 0.5 = -1, क्योंकि 0.5 = 2 -1।

हालाँकि, अब हम केवल संख्यात्मक व्यंजकों पर विचार कर रहे हैं, जहाँ लघुगणक के ODV को जानना आवश्यक नहीं है। टास्क कंपाइलर्स द्वारा सभी प्रतिबंधों को पहले ही ध्यान में रखा जा चुका है। लेकिन जब लॉगरिदमिक समीकरण और असमानताएं आती हैं, तो डीएचएस आवश्यकताएं अनिवार्य हो जाएंगी। दरअसल, आधार और तर्क में बहुत मजबूत निर्माण हो सकते हैं जो जरूरी नहीं कि उपरोक्त प्रतिबंधों के अनुरूप हों।

आइए अब लघुगणक की गणना के लिए सामान्य योजना को देखें। इसमें तीन चरण होते हैं:

मूलांक a और तर्क x को एक घात के रूप में प्रस्तुत करें जिसमें एक से अधिक छोटे संभव मूलांक हों। साथ ही, दशमलव अंशों से छुटकारा पाना बेहतर है;
चर b के लिए समीकरण हल करें: x = a b;
परिणामी संख्या b उत्तर होगी।

बस इतना ही! यदि लघुगणक अपरिमेय हो जाता है, तो यह पहले चरण में ही दिखाई देगा। आधार के एक से अधिक होने की आवश्यकता बहुत प्रासंगिक है: यह त्रुटि की संभावना को कम करता है और गणना को बहुत सरल करता है। दशमलव अंशों के साथ भी ऐसा ही है: यदि आप उन्हें तुरंत सामान्य में बदल देते हैं, तो कई गुना कम त्रुटियां होंगी।

आइए देखें कि यह योजना विशिष्ट उदाहरणों के साथ कैसे काम करती है:

कार्य। लॉग इन की गणना करें: लॉग 5 25

आइए आधार और तर्क को पांच की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करें: 5 = 5 1; 25 = 5 2;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 5 25 = बी ⇒ (5 1) बी = 5 2 ⇒5 बी = 5 2 ⇒ बी = 2;

उत्तर प्राप्त हुआ: 2.

कार्य। लघुगणक की गणना करें:

कार्य। लॉग इन की गणना करें: लॉग 4 64

आइए आधार और तर्क को दो की घात के रूप में निरूपित करें: 4 = 2 2; 64 = 2 6;
आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
log 4 64 = b (2 2) b = 2 6 2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 b = 3;
उत्तर प्राप्त हुआ: 3.

कार्य। लघुगणक की गणना करें: लॉग 16 1

आइए आधार और तर्क को दो की घात के रूप में निरूपित करें: 16 = 2 4; 1 = 2 0;
आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
log 16 1 = b (2 4) b = 2 0 2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
उत्तर प्राप्त हुआ: 0.

कार्य। लॉग इन की गणना करें: लॉग 7 14

आइए आधार और तर्क को सात की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करें: 7 = 7 1; 14 को सात की शक्ति के रूप में नहीं दर्शाया गया है, क्योंकि 7 1< 14 < 7 2 ;
पिछले पैराग्राफ से यह इस प्रकार है कि लघुगणक की गणना नहीं की जाती है;
उत्तर कोई परिवर्तन नहीं है: लॉग 7 14.

अंतिम उदाहरण पर एक छोटा सा नोट। आप कैसे सुनिश्चित करते हैं कि एक संख्या दूसरी संख्या की सटीक घात नहीं है? यह बहुत आसान है - बस इसे प्रमुख कारकों में शामिल करें। यदि गुणनखंड में कम से कम दो अलग-अलग कारक हैं, तो संख्या एक सटीक शक्ति नहीं है।

कार्य। पता लगाएँ कि क्या संख्या की सटीक शक्तियाँ हैं: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 2 2 = 2 3 - सटीक डिग्री, क्योंकि केवल एक कारक है;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - एक सटीक डिग्री नहीं है, क्योंकि दो कारक हैं: 3 और 2;
81 = 9 9 = 3 3 3 3 3 = 3 4 - सटीक डिग्री;
35 = 7 · 5 - फिर से एक सटीक डिग्री नहीं;
14 = 7 2 - फिर से एक सटीक डिग्री नहीं;

यह भी ध्यान दें कि प्राइम स्वयं हमेशा स्वयं की सटीक शक्तियां होते हैं।

दशमलव लघुगणक

कुछ लघुगणक इतने सामान्य होते हैं कि उनका एक विशेष नाम और पदनाम होता है।

तर्क x का आधार 10 लघुगणक है, अर्थात। संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या 10 को जिस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलजी एक्स।

उदाहरण के लिए, एलजी 10 = 1; एलजी 100 = 2; एलजी 1000 = 3 - आदि।

अब से, जब पाठ्यपुस्तक में "फाइंड एलजी 0.01" जैसा वाक्यांश आता है, तो आपको पता होना चाहिए: यह टाइपो नहीं है। यह दशमलव लघुगणक है। हालाँकि, यदि आप इस तरह के पदनाम के अभ्यस्त नहीं हैं, तो आप इसे हमेशा फिर से लिख सकते हैं:
लॉग x = लॉग 10 x

साधारण लघुगणक के लिए जो कुछ भी सत्य है वह दशमलव के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक

एक और लघुगणक है जिसका अपना अंकन है। एक तरह से यह दशमलव से भी ज्यादा महत्वपूर्ण है। यह प्राकृतिक लघुगणक है।

तर्क x का लघुगणक आधार e है, अर्थात। संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या ई को जिस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलएन एक्स।

कई लोग पूछेंगे: ई नंबर और क्या है? यह एक अपरिमेय संख्या है, इसका सटीक अर्थ खोजा और लिखा नहीं जा सकता है। मैं केवल इसके पहले आंकड़े दूंगा:
ई = 2.7182818828459 ...

हम यह नहीं समझेंगे कि यह संख्या क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है। बस याद रखें कि ई प्राकृतिक लघुगणक का आधार है:
एलएन एक्स = लॉग ई एक्स

इस प्रकार, एलएन ई = 1; एलएन ई 2 = 2; एलएन ई 16 = 16 - आदि। दूसरी ओर, ln 2 एक अपरिमेय संख्या है। सामान्य तौर पर, किसी भी परिमेय संख्या का प्राकृतिक लघुगणक अपरिमेय होता है। बेशक, इकाइयों को छोड़कर: एलएन 1 = 0।

प्राकृतिक लघुगणक के लिए, सभी नियम सत्य हैं जो सामान्य लघुगणक के लिए सत्य हैं।

यह सभी देखें:

लघुगणक। लघुगणक के गुण (लघुगणक की शक्ति)।

मैं किसी संख्या को लघुगणक के रूप में कैसे प्रदर्शित करूं?

हम लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हैं।

लॉगरिदम एक घातांक है जिसके लिए लॉगरिदम के चिह्न के तहत संख्या प्राप्त करने के लिए आधार को ऊपर उठाया जाना चाहिए।

इस प्रकार, आधार a के लिए लघुगणक के रूप में कुछ संख्या c का प्रतिनिधित्व करने के लिए, लघुगणक के संकेत के तहत शक्ति को उसी आधार के साथ रखना आवश्यक है जो लघुगणक के संकेत के तहत है, और इस संख्या को c में लिखें प्रतिपादक:

लघुगणक के रूप में, बिल्कुल किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है - सकारात्मक, नकारात्मक, पूर्ण, भिन्नात्मक, परिमेय, अपरिमेय:

नियंत्रण या परीक्षा की तनावपूर्ण परिस्थितियों में a और c को भ्रमित न करने के लिए, आप याद रखने के लिए निम्नलिखित नियम का उपयोग कर सकते हैं:

जो नीचे है वह नीचे जाता है, जो ऊपर है वह ऊपर जाता है।

उदाहरण के लिए, आप संख्या 2 को आधार 3 के लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना चाह सकते हैं।

हमारे पास दो संख्याएँ हैं - 2 और 3। ये संख्याएँ आधार और घातांक हैं, जिन्हें हम लघुगणक के चिह्न के नीचे लिखेंगे। यह निर्धारित करना बाकी है कि इनमें से कौन सी संख्या को डिग्री के आधार पर, और कौन से - अप, एक्सपोनेंट में लिखा जाना चाहिए।

लघुगणक में आधार 3 सबसे नीचे है, जिसका अर्थ है कि जब हम आधार 3 के लघुगणक के रूप में दो का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो 3 भी आधार के नीचे लिखा जाएगा।

2 तीन के ऊपर खड़ा है। और दो की शक्ति के संकेतन में, हम इसे तीन के ऊपर, यानी घातांक में लिखते हैं:

लघुगणक। प्रथम स्तर।

लघुगणक

लोगारित्मसकारात्मक संख्या बीवजह से ए, कहाँ पे ए> 0, ए 1, वह घातांक कहलाता है जिस पर संख्या बढ़ाई जानी चाहिए ए, प्राप्त करना बी.

लघुगणक की परिभाषासंक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

यह समानता के लिए मान्य है बी> 0, ए> 0, ए 1.इसे आमतौर पर कहा जाता है लघुगणकीय पहचान।
किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है लघुगणक लेकर।

लघुगणक गुण:

उत्पाद का लघुगणक:

भागफल का लघुगणक:

लघुगणक के आधार को बदलना:

डिग्री का लघुगणक:

जड़ का लघुगणक:

शक्ति लघुगणक:

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक।

दशमलव लघुगणकसंख्याएँ इस संख्या के आधार 10 लघुगणक पर कॉल करें और लिखें & nbsp lg बी
प्राकृतिकसंख्याएँ उस संख्या का आधार लघुगणक कहते हैं इ, कहाँ पे इ- एक अपरिमेय संख्या, लगभग 2.7 के बराबर। इस मामले में, वे ln . लिखते हैं बी.

बीजगणित और ज्यामिति पर अन्य नोट्स

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक का जोड़ और घटाव

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: a x लॉग करें और y लॉग करें। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

लॉग ए एक्स + लॉग ए वाई = लॉग ए (एक्स वाई);
लॉग ए एक्स - लॉग ए वाई = लॉग ए (एक्स: वाई)।

लॉग 6 4 + लॉग 6 9.

कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 2 48 - लघुगणक 2 3।

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48: 3) = लॉग 2 16 = 4।

कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5.

घातांक को लघुगणक से हटाना

बेशक, ये सभी नियम समझ में आते हैं यदि लॉगरिदम का ओडीएल मनाया जाता है: ए> 0, ए 1, x> 0. और एक और बात: न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी सभी सूत्रों को लागू करना सीखें , अर्थात आप लघुगणक के चिह्न के सामने संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं।

लघुगणक कैसे हल करें

यह वही है जो सबसे अधिक बार आवश्यक होता है।

कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 7 49 6.

कार्य। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

एक नई नींव की ओर बढ़ना

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक a x दिया जाता है। फिर, किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c> 0 और c 1, निम्नलिखित समानता रखती है:

विशेष रूप से, यदि हम c = x रखते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 5 16 लघुगणक 2 25.

अब दूसरे लघुगणक को "फ्लिप" करते हैं:

कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 9 100 · lg 3.

आइए अब नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

मूल लघुगणकीय पहचान

अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार के लिए एक संख्या को लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है।

इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में घातांक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक व्याख्यात्मक परिभाषा है। कहा जाता है कि:.

वास्तव में, क्या होता है यदि संख्या b को इतनी घात तक बढ़ा दिया जाता है कि इस घात की संख्या b संख्या a देती है? यह सही है: आपको यह बहुत ही नंबर a मिलता है। इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - बहुत से लोग इसे "लटका" देते हैं।

कार्य। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

अगर किसी को पता नहीं है, तो यह परीक्षा से एक वास्तविक समस्या थी

लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

लॉग ए = 1 है। एक बार और सभी के लिए याद रखें: इस आधार से किसी भी आधार के लिए लघुगणक एक के बराबर है।
लॉग ए 1 = 0 है। आधार a कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क एक है, तो लघुगणक शून्य है! क्योंकि 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

लघुगणक से x को कैसे व्यक्त करें। लघुगणक के साथ एक क्रिया नियम का लघुगणक

लघुगणक का जोड़ और घटाव।

अध्याय 2. उच्च गणित के तत्व।

2.1. व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ।

लघुगणक का जोड़ और घटाव

घातांक को लघुगणक से हटाना

एक नई नींव की ओर बढ़ना

मूल लघुगणकीय पहचान

लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

लघुगणक के गुण

संपत्ति 1. उत्पाद का लघुगणक

गुण 2. भागफल का लघुगणक

संपत्ति 3. डिग्री का लघुगणक

गुण 4. जड़ का लघुगणक

एक आधार में लघुगणक से दूसरे आधार में लघुगणक में संक्रमण का सूत्र

लघुगणक की तुलना (असमानता)

लघुगणक के साथ समस्याओं को कैसे हल करें: उदाहरण

एक लघुगणक क्या है

लघुगणक - गुण, सूत्र, कैसे हल करें

लघुगणक कैसे गिनें

दशमलव लघुगणक

प्राकृतिक

लघुगणक। लघुगणक के गुण (लघुगणक की शक्ति)।

लघुगणक। प्रथम स्तर।

लघुगणक

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक।

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक का जोड़ और घटाव

घातांक को लघुगणक से हटाना

लघुगणक कैसे हल करें

एक नई नींव की ओर बढ़ना

मूल लघुगणकीय पहचान

लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

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