दो बिंदुओं से एक सीधी रेखा कैसे सेट करें। एक समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण। दिशा वेक्टर एक सीधी रेखा है। सामान्य वेक्टर

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण। लेख" " मैंने आपको एक फ़ंक्शन के दिए गए ग्राफ़ और इस ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के लिए व्युत्पन्न खोजने की प्रस्तुत समस्याओं को हल करने की दूसरी विधि का विश्लेषण करने का वादा किया था। हम इस विधि का विश्लेषण करेंगे , खोना मत! क्योंअगले में?

तथ्य यह है कि एक सीधी रेखा के समीकरण के सूत्र का उपयोग वहां किया जाएगा। बेशक, आप केवल इस सूत्र को दिखा सकते हैं और आपको इसे सीखने की सलाह दे सकते हैं। लेकिन यह समझाना बेहतर है - यह कहां से आता है (इसे कैसे प्राप्त किया जाता है)। यह जरुरी है! यदि आप इसे भूल जाते हैं, तो इसे जल्दी से पुनर्स्थापित करेंमुश्किल नहीं होगा। सब कुछ नीचे विस्तृत है। अतः, निर्देशांक तल पर हमारे पास दो बिंदु A हैं(x 1; y 1) और B (x 2; y 2), इंगित बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जाती है:

यहाँ सीधी रेखा के लिए सूत्र है:

* अर्थात्, बिंदुओं के विशिष्ट निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें y = kx + b के रूप का एक समीकरण प्राप्त होता है।

** यदि यह सूत्र केवल "दांतेदार" है, तो सूचकांकों के साथ भ्रमित होने की एक उच्च संभावना है एक्स... इसके अलावा, सूचकांकों को विभिन्न तरीकों से निरूपित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

इसलिए इसका अर्थ समझना जरूरी है।

अब इस सूत्र का निष्कर्ष। सब कुछ बहुत आसान है!

त्रिभुज ABE और ACF न्यून कोण में समान हैं (समकोण त्रिभुजों की समरूपता का पहला चिन्ह)। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि संबंधित तत्वों के संबंध समान हैं, अर्थात्:

अब हम इन खंडों को केवल बिंदुओं के निर्देशांक में अंतर के रूप में व्यक्त करते हैं:

बेशक, यदि आप तत्वों के संबंधों को एक अलग क्रम में लिखते हैं तो कोई गलती नहीं होगी (मुख्य बात पत्राचार रखना है):

परिणाम सीधी रेखा का समान समीकरण होगा। यह सब है!

अर्थात्, बिंदु स्वयं (और उनके निर्देशांक) कैसे भी निर्दिष्ट हैं, इस सूत्र को समझने से आपको हमेशा एक सीधी रेखा का समीकरण मिलेगा।

वैक्टर के गुणों का उपयोग करके सूत्र प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन अनुमान का सिद्धांत समान होगा, क्योंकि हम उनके निर्देशांक की आनुपातिकता के बारे में बात करेंगे। इस मामले में, समकोण त्रिभुजों की समान समानता काम करती है। मेरी राय में, ऊपर वर्णित आउटपुट स्पष्ट है))।

वेक्टर निर्देशांक के माध्यम से आउटपुट देखें >>>

मान लीजिए कि दिए गए दो बिंदुओं A (x 1; y 1) और B (x 2; y 2) से गुजरने वाले निर्देशांक तल पर एक सीधी रेखा का निर्माण होता है। आइए हम सीधी रेखा पर निर्देशांक के साथ एक मनमाना बिंदु C चिह्नित करें ( एक्स; आप) हम दो वैक्टरों को भी निरूपित करते हैं:

यह ज्ञात है कि समानांतर रेखाओं (या एक सीधी रेखा पर) पर स्थित सदिशों के लिए, उनके संगत निर्देशांक समानुपाती होते हैं, अर्थात्:

- हम संबंधित निर्देशांक के अनुपातों की समानता लिखते हैं:

आइए एक उदाहरण पर विचार करें:

निर्देशांक (2; 5) और (7: 3) के साथ दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

आपको स्वयं सीधी रेखा बनाने की भी आवश्यकता नहीं है। हम सूत्र लागू करते हैं:

यह महत्वपूर्ण है कि आप अनुपात बनाते समय पत्राचार को पकड़ लें। यदि आप लिखते हैं तो आप गलत नहीं हो सकते:

उत्तर: y = -2 / 5x + 29/5 गो y = -0.4x + 5.8

यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्राप्त समीकरण सही पाया गया है, एक चेक करना सुनिश्चित करें - इसमें बिंदुओं की स्थिति में डेटा के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें। आपको सही समानताएं मिलनी चाहिए।

बस इतना ही। मुझे आशा है कि सामग्री आपके लिए उपयोगी थी।

निष्ठा से, सिकंदर।

पुनश्च: यदि आप हमें सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बता सकते हैं तो मैं आभारी रहूंगा।

"ज्यामितीय एल्गोरिदम" श्रृंखला से पाठ

नमस्कार प्रिय पाठक!

आज हम ज्यामिति से संबंधित एल्गोरिदम की खोज शुरू करने जा रहे हैं। तथ्य यह है कि कम्प्यूटेशनल ज्यामिति से संबंधित कंप्यूटर विज्ञान में ओलंपियाड की बहुत सारी समस्याएं हैं, और ऐसी समस्याओं का समाधान अक्सर कठिनाइयों का कारण बनता है।

कुछ पाठों में, हम कई प्राथमिक उपसमस्याओं को देखेंगे जिन पर अधिकांश कम्प्यूटेशनल ज्यामिति समस्याओं का समाधान आधारित है।

इस पाठ में, हम इसके लिए एक कार्यक्रम तैयार करेंगे सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करनादिए गए के माध्यम से गुजर रहा है दो बिंदु... ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए, हमें कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के कुछ ज्ञान की आवश्यकता है। हम उन्हें जानने के लिए पाठ का एक हिस्सा समर्पित करेंगे।

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति अंतर्दृष्टि

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति कंप्यूटर विज्ञान की एक शाखा है जो ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम का अध्ययन करती है।

ऐसे कार्यों के लिए प्रारंभिक डेटा एक विमान पर बिंदुओं का एक सेट, खंडों का एक सेट, एक बहुभुज (निर्दिष्ट, उदाहरण के लिए, दक्षिणावर्त क्रम में इसके शीर्षों की सूची द्वारा) आदि हो सकता है।

परिणाम या तो किसी प्रश्न का उत्तर हो सकता है (जैसे कि एक बिंदु एक खंड से संबंधित है, चाहे दो खंड प्रतिच्छेद करते हैं, ...), या कुछ ज्यामितीय वस्तु (उदाहरण के लिए, दिए गए बिंदुओं को जोड़ने वाला सबसे छोटा उत्तल बहुभुज, का क्षेत्रफल एक बहुभुज, आदि) ...

हम केवल एक समतल पर और केवल एक कार्तीय समन्वय प्रणाली में कम्प्यूटेशनल ज्यामिति की समस्याओं पर विचार करेंगे।

सदिश और निर्देशांक

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के तरीकों को लागू करने के लिए, ज्यामितीय छवियों को संख्याओं की भाषा में अनुवाद करना आवश्यक है। हम मानेंगे कि एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली विमान पर निर्दिष्ट है, जिसमें रोटेशन की दिशा वामावर्त को सकारात्मक कहा जाता है।

ज्यामितीय वस्तुओं को अब विश्लेषणात्मक रूप से व्यक्त किया जाता है। तो, एक बिंदु निर्धारित करने के लिए, इसके निर्देशांक इंगित करने के लिए पर्याप्त है: संख्याओं की एक जोड़ी (x; y)। एक खंड को इसके सिरों के निर्देशांक निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट किया जा सकता है, इसके बिंदुओं की एक जोड़ी के निर्देशांक निर्दिष्ट करके एक सीधी रेखा निर्दिष्ट की जा सकती है।

लेकिन समस्याओं को हल करने का मुख्य साधन वैक्टर होंगे। इसलिए मैं आपको उनके बारे में कुछ जानकारी याद दिला दूं।

अनुभाग अब, कब एशुरुआत (आवेदन का बिंदु), और बिंदु माना जाता है वी- अंत को सदिश कहा जाता है अबऔर या तो या एक बोल्ड लोअरकेस अक्षर को दर्शाता है, उदाहरण के लिए ए .

एक सदिश की लंबाई (अर्थात, संबंधित खंड की लंबाई) को दर्शाने के लिए, हम मापांक चिह्न (उदाहरण के लिए,) का उपयोग करेंगे।

एक मनमाना वेक्टर के अंत और शुरुआत के संबंधित निर्देशांक के बीच अंतर के बराबर निर्देशांक होंगे:

,

यहाँ अंक एतथा बी निर्देशांक हैं क्रमश।

गणना के लिए, हम अवधारणा का उपयोग करेंगे उन्मुख कोण, यानी वह कोण जो वैक्टर की सापेक्ष स्थिति को ध्यान में रखता है।

सदिशों के बीच उन्मुख कोण ए तथा बी सकारात्मक अगर वेक्टर से दूर रोटेशन ए वेक्टर करने के लिए बी सकारात्मक दिशा (वामावर्त) में किया जाता है और अन्यथा नकारात्मक। अंजीर देखें। 1 ए, अंजीर। 1 बी। वे यह भी कहते हैं कि सदिशों का एक जोड़ा ए तथा बी सकारात्मक (नकारात्मक) उन्मुख।

इस प्रकार, उन्मुख कोण का मान उस क्रम पर निर्भर करता है जिसमें वैक्टर सूचीबद्ध होते हैं और सीमा में मान ले सकते हैं।

कई कम्प्यूटेशनल ज्यामिति समस्याएं वैक्टर के वेक्टर (तिरछा या स्यूडोस्केलर) उत्पादों की अवधारणा का उपयोग करती हैं।

सदिश a और b का सदिश गुणनफल उनके बीच के कोण की ज्या द्वारा इन सदिशों की लंबाई का गुणनफल होता है:

.

निर्देशांक में सदिशों का सदिश गुणनफल:

दाईं ओर का व्यंजक दूसरे क्रम का निर्धारक है:

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में दी गई परिभाषा के विपरीत, यह एक अदिश राशि है।

क्रॉस उत्पाद चिह्न एक दूसरे के सापेक्ष वैक्टर की स्थिति निर्धारित करता है:

ए तथा बी सकारात्मक रूप से उन्मुख।

यदि कोई मान है, तो सदिशों की एक जोड़ी ए तथा बी नकारात्मक उन्मुख।

शून्येतर सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि वे संरेख हैं ( ) इसका मतलब है कि वे एक सीधी रेखा पर या समानांतर रेखाओं पर स्थित हैं।

आइए अधिक जटिल कार्यों को हल करते समय आवश्यक कुछ सरल कार्यों पर विचार करें।

आइए हम दो बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण को परिभाषित करें।

दो अलग-अलग बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण, उनके निर्देशांकों द्वारा दिया गया।

मान लीजिए कि एक सीधी रेखा पर दो गैर-संपाती बिंदु दिए गए हैं: निर्देशांक (x1; y1) और निर्देशांक (x2; y2) के साथ। तदनुसार, एक सदिश जिसका एक बिंदु से आरंभ और एक बिंदु पर अंत होता है, उसके निर्देशांक (x2-x1, y2-y1) होते हैं। यदि P (x, y) हमारी रेखा पर एक मनमाना बिंदु है, तो सदिश निर्देशांक (x-x1, y - y1) हैं।

वेक्टर उत्पाद का उपयोग करते हुए, वैक्टर के लिए संपार्श्विकता की स्थिति और निम्नानुसार लिखी जा सकती है:

वे। (x-x1) (y2-y1) - (y-y1) (x2-x1) = 0

(y2-y1) x + (x1-x2) y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) = 0

हम अंतिम समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखते हैं:

कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0, (1)

सी = x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)

तो, एक सीधी रेखा को फॉर्म (1) के समीकरण द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।

कार्य 1. दो बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं। ax + by + c = 0 के रूप में इसका निरूपण ज्ञात कीजिए।

इस पाठ में, हम कम्प्यूटेशनल ज्यामिति से कुछ जानकारी से परिचित हुए। हमने दो बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा एक रेखा के समीकरण को खोजने की समस्या को हल किया।

अगले पाठ में, हम अपने समीकरणों द्वारा दी गई दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए एक कार्यक्रम की रचना करेंगे।

परिभाषा।समतल पर किसी भी सीधी रेखा को प्रथम-क्रम समीकरण द्वारा दिया जा सकता है

कुल्हाड़ी + वू + सी = 0,

और स्थिरांक A, B एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं। इस प्रथम-क्रम समीकरण को कहा जाता है सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।स्थिरांक ए, बी और सी के मूल्यों के आधार पर, निम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

सी = 0, ए 0, बी ≠ 0 - रेखा मूल से होकर गुजरती है

ए = 0, बी 0, सी ≠ 0 (बाय + सी = 0) - सीधी रेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर है

बी = 0, ए 0, सी ≠ 0 (एक्स + सी = 0) - सीधी रेखा ओए अक्ष के समानांतर है

बी = सी = 0, ए 0 - सीधी रेखा ओए अक्ष के साथ मेल खाती है

ए = सी = 0, बी ≠ 0 - सीधी रेखा ऑक्स अक्ष के साथ मेल खाती है

एक सीधी रेखा के समीकरण को दी गई प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है।

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण

परिभाषा।एक कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली में, घटकों (ए, बी) के साथ एक वेक्टर समीकरण एक्स + वाई + सी = 0 द्वारा दी गई सीधी रेखा के लंबवत है।

उदाहरण... बिंदु A (1, 2) से (3, -1) के लंबवत जाने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान... A = 3 और B = -1 पर, हम सरल रेखा के समीकरण की रचना करते हैं: 3x - y + C = 0. गुणांक C ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए बिंदु A के निर्देशांकों को परिणामी व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं। हमें प्राप्त होता है: 3 - 2 + सी = 0, इसलिए, सी = -1 ... कुल: आवश्यक समीकरण: 3x - y - 1 = 0।

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

मान लीजिए अंतरिक्ष में दो बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) दिए गए हैं, तो इन बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण:

यदि हर में से कोई भी शून्य के बराबर है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर किया जाना चाहिए। समतल पर, ऊपर लिखी गई सीधी रेखा के समीकरण को सरल बनाया गया है:

यदि x 1 x 2 और x = x 1, यदि x 1 = x 2 है।

भिन्न = k कहा जाता है ढालसीधा।

उदाहरण... बिंदु A (1, 2) और B (3, 4) से गुजरने वाली सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान।उपरोक्त सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

बिंदु और ढलान द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण

यदि कुल कुल्हाड़ी + Vu + C = 0 के रूप में लाया जाता है:

और नामित करें , तो परिणामी समीकरण कहलाता है ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरणक.

एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण

सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करने वाले पैराग्राफ के अनुरूप, आप एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा के विनिर्देश और एक सीधी रेखा के एक दिशा वेक्टर में प्रवेश कर सकते हैं।

परिभाषा।प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर (α 1, α 2) जिसके घटक А α 1 + В α 2 = 0 की स्थिति को संतुष्ट करते हैं, रेखा का निर्देशन वेक्टर कहलाता है

कुल्हाड़ी + वू + सी = 0।

उदाहरण। एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसमें एक दिशा सदिश (1, -1) है और बिंदु A (1, 2) से गुजरती है।

समाधान।वांछित सीधी रेखा के समीकरण को इस रूप में खोजा जाएगा: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0। परिभाषा के अनुसार, गुणांक को शर्तों को पूरा करना चाहिए:

1 * ए + (-1) * बी = 0, यानी। ए = बी।

तब सरल रेखा के समीकरण का रूप होता है: Ax + Ay + C = 0, या x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 के लिए हम C / A = -3 प्राप्त करते हैं, अर्थात। आवश्यक समीकरण:

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण

यदि सरल रेखा के सामान्य समीकरण में Ax + Vy + C = 0 C 0, तो –C से भाग देने पर, हम प्राप्त करते हैं: या

गुणांक का ज्यामितीय अर्थ यह है कि गुणांक एऑक्स अक्ष के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है, और बी- ओए अक्ष के साथ सीधी रेखा के चौराहे के बिंदु का समन्वय।

उदाहरण।सरल रेखा x - y + 1 = 0 का सामान्य समीकरण दिया गया है। इस सरल रेखा का समीकरण खण्डों में ज्ञात कीजिए।

सी = 1, ए = -1, बी = 1।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण

यदि समीकरण Ax + Vy + C = 0 के दोनों पक्षों को संख्या से गुणा किया जाता है इससे कहते है सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण। सामान्यीकरण कारक का ± चिन्ह चुना जाना चाहिए ताकि μ *< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

उदाहरण... सरल रेखा 12x - 5y - 65 = 0 का एक सामान्य समीकरण दिया गया है।इस सरल रेखा के विभिन्न प्रकार के समीकरणों को लिखना आवश्यक है।

खंडों में इस सीधी रेखा का समीकरण:

ढलान के साथ इस सीधी रेखा का समीकरण: (5 से विभाजित करें)

; cos = 12/13; पाप = -5/13; पी = 5.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में समीकरण द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, कुल्हाड़ियों के समानांतर या मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाएं।

उदाहरण... सीधी रेखा निर्देशांक अक्षों पर समान धनात्मक खंडों को काटती है। यदि इन खण्डों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 8 सेमी 2 है, तो एक सरल रेखा समीकरण बनाइए।

समाधान।सीधी रेखा के समीकरण का रूप है: ab / 2 = 8; एबी = 16; ए = 4, ए = -4। ए = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

उदाहरण... बिंदु A (-2, -3) और मूल बिंदु से गुजरने वाली सरल रेखा का समीकरण बनाइए।

समाधान. सीधी रेखा समीकरण का रूप है: , जहां x 1 = y 1 = 0; एक्स 2 = -2; वाई 2 = -3।

समतल पर सीधी रेखाओं के बीच का कोण

परिभाषा।यदि दो सीधी रेखाएँ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 दी गई हैं, तो इन सीधी रेखाओं के बीच न्यून कोण को परिभाषित किया जाएगा

.

दो सीधी रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि k 1 = k 2। दो सीधी रेखाएँ लंबवत हैं यदि k 1 = -1 / k 2।

प्रमेय।सीधी रेखाएँ Ax + By + C = 0 और A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 समानांतर हैं जब आनुपातिक गुणांक A 1 = A, B 1 = λB। यदि 1 = भी हो, तो रेखाएँ संपाती होती हैं। दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन सीधी रेखाओं के समीकरणों के निकाय के हल के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दी गई सीधी रेखा के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

परिभाषा।बिंदु M 1 (x 1, y 1) से होकर जाने वाली सीधी रेखा और सीधी रेखा y = kx + b के लंबवत को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से रेखा की दूरी

प्रमेय।यदि एक बिंदु M (x 0, y 0) दिया जाता है, तो सीधी रेखा Ax + Vy + C = 0 की दूरी इस प्रकार निर्धारित की जाती है

.

सबूत।मान लीजिए कि बिंदु M 1 (x 1, y 1) किसी दी गई सीधी रेखा पर बिंदु M से गिराए गए लंब का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

(1)

निर्देशांक x 1 और y 1 को समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

सिस्टम का दूसरा समीकरण किसी दिए गए बिंदु M 0 से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है जो किसी दी गई सीधी रेखा के लंबवत है। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को फॉर्म में बदलते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में रखने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध होता है।

उदाहरण... सीधी रेखाओं के बीच के कोण का निर्धारण करें: y = -3 x + 7; वाई = 2 एक्स + 1।

कश्मीर 1 = -3; कश्मीर 2 = 2; टीजीφ = ; = / 4.

उदाहरण... दिखाएँ कि सीधी रेखाएँ 3x - 5y + 7 = 0 और 10x + 6y - 3 = 0 लंबवत हैं।

समाधान... हम पाते हैं: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, इसलिए सीधी रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण... त्रिभुज A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान... हम भुजा AB का समीकरण पाते हैं: ; 4 एक्स = 6 वाई - 6;

2 एक्स - 3 वाई + 3 = 0;

आवश्यक ऊंचाई समीकरण है: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0 या वाई = केएक्स + बी। कश्मीर =. फिर वाई =। चूंकि ऊंचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं: जहां से बी = 17. कुल:।

उत्तर: 3 x + 2 y - 34 = 0।

किसी दिए गए बिंदु से दी गई दिशा में गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण। दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण। दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण। दो रेखाओं के समांतरता और लंबवतता की स्थिति। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण

1. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ए(एक्स 1 , आप 1) ढलान द्वारा निर्धारित किसी दिशा में क,

आप - आप 1 = क(एक्स - एक्स 1). (1)

यह समीकरण बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाओं के एक बंडल को परिभाषित करता है ए(एक्स 1 , आप 1), जिसे बीम का केंद्र कहा जाता है।

2. दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण: ए(एक्स 1 , आप 1) और बी(एक्स 2 , आप 2) इस प्रकार लिखा गया है:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का ढलान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3. सीधी रेखाओं के बीच का कोण एतथा बीवह कोण कहलाता है जिससे आपको पहले सीधे मुड़ने की आवश्यकता होती है एइन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के चारों ओर वामावर्त जब तक यह दूसरी पंक्ति के साथ मेल नहीं खाता बी... यदि ढलान वाले समीकरणों द्वारा दो सीधी रेखाएँ दी जाती हैं

आप = क 1 एक्स + बी 1 ,