Vienas yra pirminis skaičius ar ne. Pirminiai skaičiai: neįmintos mįslės kasdienybė

• Vertimas

Savybės pirminiai skaičiai pirmą kartą pradėjo mokytis matematikos Senovės Graikija. Pitagoro mokyklos (500 – 300 m. pr. Kr.) matematikai pirmiausia domėjosi mistinėmis ir numerologinėmis pirminių skaičių savybėmis. Jie buvo pirmieji, kurie sugalvojo tobulus ir draugiškus skaičius.

Tobulas skaičius turi savo daliklių sumą, lygią jam pačiam. Pavyzdžiui, tinkami skaičiaus 6 dalikliai yra 1, 2 ir 3. 1 + 2 + 3 = 6. Skaičiaus 28 dalikliai yra 1, 2, 4, 7 ir 14. Be to, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Skaičiai vadinami draugiškaisiais, jei vieno skaičiaus tinkamųjų daliklių suma yra lygi kitam, ir atvirkščiai – pavyzdžiui, 220 ir 284. Galima sakyti, kad tobulas skaičius yra draugiškas sau.

Iki Euklido elementų 300 m. pr. Kr. kelios jau įrodytos svarbius faktus dėl pirminių skaičių. IX elementų knygoje Euklidas įrodė, kad pirminių skaičių yra be galo daug. Tai, beje, vienas iš pirmųjų įrodymų panaudojimo prieštaravimu pavyzdžių. Jis taip pat įrodo pagrindinę aritmetikos teoremą – kiekvienas sveikas skaičius gali būti pavaizduotas unikaliai kaip pirminių skaičių sandauga.

Jis taip pat parodė, kad jei skaičius 2n-1 yra pirminis, tada skaičius 2n-1 * (2n-1) bus tobulas. Kitas matematikas Euleris 1747 m. sugebėjo parodyti, kad visi net tobuli skaičiai gali būti užrašyti šia forma. Iki šiol nežinoma, ar egzistuoja nelyginiai tobuli skaičiai.

200 metais prieš Kristų. Graikas Eratostenas sugalvojo pirminių skaičių paieškos algoritmą, vadinamą Eratosteno sietu.

Ir tada įvyko didelis lūžis pirminių skaičių, siejamų su viduramžiais, tyrimo istorijoje.

Šiuos atradimus jau XVII amžiaus pradžioje padarė matematikas Fermatas. Jis įrodė Alberto Girardo spėjimą, kad bet kurį pirminį 4n+1 formos skaičių galima parašyti vienareikšmiškai kaip dviejų kvadratų sumą, taip pat suformulavo teoremą, kad bet kurį skaičių galima užrašyti kaip keturių kvadratų sumą.

Jis išsivystė naujas metodas faktorizavimas dideli skaičiai, ir pademonstravo jį skaičiumi 2027651281 = 44021 × 46061. Jis taip pat įrodė mažąją Ferma teoremą: jei p yra pirminis skaičius, tai bet kuriam sveikajam skaičiui a bus tiesa, kad a p = modulo p.

Šis teiginys įrodo pusę to, kas buvo žinoma kaip „kinų spėjimas“ ir yra 2000 metų senumo: sveikasis skaičius n yra pirminis tada ir tik tada, kai 2 n -2 dalijasi iš n. Antroji hipotezės dalis pasirodė klaidinga - pavyzdžiui, 2 341 - 2 dalijasi iš 341, nors skaičius 341 yra sudėtinis: 341 = 31 × 11.

Mažoji Ferma teorema buvo daugelio kitų skaičių teorijos rezultatų ir metodų, skirtų patikrinti, ar skaičiai yra pirminiai skaičiai, pagrindas – daugelis jų vis dar naudojami ir šiandien.

Fermatas daug susirašinėjo su savo amžininkais, ypač su vienuoliu, vardu Maren Mersenne. Viename iš savo laiškų jis iškėlė hipotezę, kad 2 n +1 formos skaičiai visada bus pirminiai, jei n yra dviejų laipsnis. Jis išbandė tai, kai n = 1, 2, 4, 8 ir 16, ir buvo įsitikinęs, kad tuo atveju, kai n nėra dviejų laipsnis, skaičius nebūtinai yra pirminis. Šie skaičiai vadinami Ferma skaičiais ir tik po 100 metų Euleris parodė, kad kitas skaičius 2 32 + 1 = 4294967297 dalijasi iš 641, todėl nėra pirminis.

2 formos n - 1 skaičiai taip pat buvo tiriami, nes nesunku parodyti, kad jei n yra sudėtinis, tai ir pats skaičius yra sudėtinis. Šie skaičiai vadinami Merseno skaičiais, nes jis juos daug tyrinėjo.

Tačiau ne visi 2 formos n - 1 skaičiai, kur n yra pirminis, yra pirminiai. Pavyzdžiui, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Pirmą kartą tai buvo atrasta 1536 m.

Daugelį metų tokio pobūdžio skaičiai matematikams suteikdavo didžiausius žinomus pirminius skaičius. Kad M 19 įrodė Cataldi 1588 m., ir 200 metų buvo didžiausias žinomas pirminis skaičius, kol Euleris įrodė, kad M 31 taip pat yra pirminis. Šis rekordas išliko dar šimtą metų, o tada Lucas parodė, kad M 127 yra pirminis (ir tai jau yra 39 skaitmenų skaičius), o po to tyrimai tęsėsi atsiradus kompiuteriams.

1952 m. buvo įrodytas skaičių M 521, M 607, M 1279, M 2203 ir M 2281 pirmumas.

Iki 2005 m. buvo rasti 42 Mersenne pirminiai laipsniai. Didžiausias iš jų, M 25964951, susideda iš 7816230 skaitmenų.

Eulerio darbas turėjo didžiulę įtaką skaičių teorijai, įskaitant pirminius skaičius. Jis išplėtė Ferma mažąją teoremą ir įvedė φ funkciją. Faktorizuotas 5-asis Fermato skaičius 2 32 +1, surasta 60 porų draugiškų skaičių ir suformuluotas (bet negalėjo įrodyti) kvadratinio abipusiškumo dėsnis.

Jis pirmasis pristatė matematinės analizės metodus ir sukūrė analitinę skaičių teoriją. Jis įrodė, kad ne tik harmonikų serija ∑ (1/n), bet ir formos eilutė

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Pirminių skaičių atvirkštinių dydžių suma gautas rezultatas taip pat skiriasi. Harmonikos eilutės n narių suma auga maždaug kaip log(n), o antroji eilutė skiriasi lėčiau kaip log[ log(n) ]. Tai reiškia, kad, pavyzdžiui, visų iki šiol rastų pirminių skaičių atvirkštinių dydžių suma duos tik 4, nors eilutės vis tiek skiriasi.

Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad pirminiai skaičiai tarp sveikųjų skaičių pasiskirsto gana atsitiktinai. Pavyzdžiui, tarp 100 skaičių prieš pat 10000000 yra 9 pirminiai skaičiai, o tarp 100 skaičių iškart po šios reikšmės yra tik 2. Tačiau dideliuose segmentuose pirminiai skaičiai pasiskirsto gana tolygiai. Legendre ir Gaussas sprendė jų platinimo klausimus. Gaussas kartą pasakė draugui, kad per bet kurias laisvas 15 minučių jis visada skaičiuoja pirminių skaičių kituose 1000 skaičių. Iki savo gyvenimo pabaigos jis buvo suskaičiavęs visus pirminius skaičius iki 3 mln. Legendre ir Gaussas vienodai apskaičiavo, kad dideliems n pirminis tankis yra 1/log(n). Legendre apskaičiavo pirminių skaičių diapazone nuo 1 iki n as

π(n) = n/(log(n) – 1,08366)

O Gausas yra tarsi logaritminis integralas

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Su integravimo intervalu nuo 2 iki n.

Teiginys apie pirminių skaičių 1/log(n) tankį yra žinomas kaip pirminio skirstinio teorema. Jie bandė tai įrodyti visą XIX amžių, o pažangą pasiekė Čebyševas ir Riemannas. Jie susiejo tai su Riemann hipoteze, vis dar neįrodyta hipoteze apie Riemann zeta funkcijos nulių pasiskirstymą. Pirminių skaičių tankį vienu metu įrodė Hadamardas ir Vallée-Poussin 1896 m.

Pirminių skaičių teorijoje vis dar yra daug neišspręstų klausimų, kai kuriems iš jų yra šimtai metų:

• Dvynių pirminių skaičių hipotezė yra apie begalinį skaičių porų pirminių skaičių, kurios viena nuo kitos skiriasi 2
• Goldbacho spėjimas: bet koks lyginis skaičius, prasidedantis 4, gali būti pavaizduotas kaip dviejų pirminių skaičių suma
• Ar yra begalinis skaičius pirminių skaičių formos n 2 + 1?
• Ar visada galima rasti pirminį skaičių tarp n 2 ir (n + 1) 2? (faktą, kad visada yra pirminis skaičius tarp n ir 2n, įrodė Čebyševas)
• Ar Ferma pirminių skaičių skaičius yra begalinis? Ar po 4 yra Fermat pirminių skaičių?
• ar jis egzistuoja aritmetinė progresija iš eilės einančių pirminių skaičių bet kuriam tam tikram ilgiui? pavyzdžiui, 4 ilgiui: 251, 257, 263, 269. Didžiausias rastas ilgis yra 26.
• Ar aritmetinėje progresijoje yra begalinis trijų iš eilės pirminių skaičių aibių skaičius?
• n 2 – n + 41 yra pirminis skaičius, kai 0 ≤ n ≤ 40. Ar yra begalinis tokių pirminių skaičių skaičius? Tas pats klausimas formulei n 2 - 79 n + 1601. Šie skaičiai yra pirminiai, kai 0 ≤ n ≤ 79.
• Ar yra begalinis skaičius pirminių skaičių formos n# + 1? (n# yra visų pirminių skaičių, mažesnių už n, padauginimo rezultatas)
• Ar yra begalinis skaičius pirminių skaičių formos n# -1 ?
• Ar yra begalinis skaičius n formos pirminių skaičių? + 1?
• Ar yra begalinis skaičius n formos pirminių skaičių? - 1?
• jei p yra pirminis, ar 2 p -1 tarp jo veiksnių visada neturi pirminių kvadratų?
• ar Fibonačio sekoje yra begalinis pirminių skaičių skaičius?

Didžiausi dvyniai pirminiai skaičiai yra 2003663613 × 2 195000 ± 1. Jie susideda iš 58711 skaitmenų ir buvo atrasti 2007 m.

Didžiausias pirminis faktorinis skaičius (n! ± 1 tipo) yra 147855! - 1. Jį sudaro 142891 skaitmuo ir rastas 2002 m.

Didžiausias pirminis skaičius (n# ± 1 formos skaičius) yra 1098133# + 1.

Žymos: pridėti žymų

Apibrėžimas 1. pirminis skaičius− yra natūralusis skaičius, didesnis už tą, kuris dalijasi tik iš savęs ir iš 1.

Kitaip tariant, skaičius yra pirminis, jei jis turi tik du skirtingus natūraliuosius daliklius.

Apibrėžimas 2. Vadinamas bet koks natūralusis skaičius, turintis kitus daliklius, be jo paties ir vieno sudėtinis skaičius.

Kitaip tariant, natūralieji skaičiai, kurie nėra pirminiai skaičiai, vadinami sudėtiniais skaičiais. Iš 1 apibrėžimo matyti, kad sudėtinis skaičius turi daugiau nei du natūraliuosius daliklius. Skaičius 1 nėra nei pirminis, nei sudėtinis, nes turi tik vieną daliklį 1 ir, be to, daugelis teoremų, susijusių su pirminiais skaičiais, negalioja vienybei.

Iš 1 ir 2 apibrėžimų matyti, kad kiekvienas teigiamas sveikasis skaičius, didesnis nei 1, yra pirminis arba sudėtinis skaičius.

Žemiau yra programa, rodanti pirminius skaičius iki 5000. Užpildykite langelius, spustelėkite mygtuką "Sukurti" ir palaukite kelias sekundes.

Pirminių skaičių lentelė

pareiškimas 1. Jeigu p- pirminis skaičius ir a bet kuris sveikasis skaičius, tada arba a padalytą p, arba p Ir a pirminiai skaičiai.

Tikrai. Jeigu p Pirminis skaičius dalijasi tik iš savęs ir iš 1, jei a nedalomas iš p, tada didžiausias bendras daliklis a Ir p yra lygus 1. Tada p Ir a pirminiai skaičiai.

pareiškimas 2. Jei kelių skaičių sandauga a 1 , a 2 , a 3, ... dalijasi iš pirminio skaičiaus p, tada bent vienas iš skaičių a 1 , a 2 , a 3, ...dalomas iš p.

Tikrai. Jei nė vienas skaičius nesidalytų iš p, tada skaičiai a 1 , a 2 , a 3, ... būtų pirminiai skaičiai p. Tačiau iš 3 išvados () išplaukia, kad jų produktas a 1 , a 2 , a 3, ... taip pat yra santykinai svarbiausias p, o tai prieštarauja pareiškimo sąlygai. Todėl bent vienas iš skaičių dalijasi iš p.

Teorema 1. Bet koks sudėtinis skaičius visada gali būti pavaizduotas kaip baigtinio pirminių skaičių sandauga ir unikaliu būdu.

Įrodymas. Leisti k sudėtinis skaičius ir tegul a 1 yra vienas iš jo daliklių, kuris skiriasi nuo 1 ir savęs. Jeigu a 1 yra sudėtinis, tada turi be 1 ir a 1 ir kitas daliklis a 2. Jeigu a 2 yra sudėtinis skaičius, tada jis turi, be 1 ir a 2 ir dar vienas daliklis a 3. Taip samprotaujant ir atsižvelgiant į tai, kad skaičiai a 1 , a 2 , a 3 , ... mažėja ir šioje eilutėje yra baigtinis skaičius narių, pasieksime kokį nors pirminį skaičių p 1 . Tada k gali būti pavaizduotas formoje

Tarkime, kad yra du skaičiaus skilimai k:

Nes k=p 1 p 2 p 3...dalijasi iš pirminio skaičiaus q 1, tada, pavyzdžiui, bent vienas iš veiksnių p 1 dalijasi iš q 1 . Bet p 1 yra pirminis skaičius ir dalijasi tik iš 1 ir savęs. Vadinasi p 1 =q 1 (nes q 1 ≠1)

Tada iš (2) galime išskirti p 1 ir q 1:

Taigi, esame įsitikinę, kad kiekvienas pirminis skaičius, kuris pasirodo kaip veiksnys pirmojoje išplėtimo metu vieną ar kelis kartus, taip pat pasirodo antrajame išplėtime bent tiek kartų, ir atvirkščiai, bet koks pirminis skaičius, kuris pasirodo kaip veiksnys antrojo išplėtimo metu. vieną ar kelis kartus taip pat pasirodo pirmajame plėtinyje bent tiek pat kartų. Todėl bet kuris pirminis skaičius pasirodo kaip veiksnys abiejuose plėtiniuose tiek pat kartų, taigi šie du išplėtimai yra vienodi.

Sudėtinio skaičiaus išplėtimas k gali būti parašytas tokia forma

(3)

Kur p 1 , p 2, ... įvairūs pirminiai skaičiai, α, β, γ ... teigiami sveikieji skaičiai.

Išplėtimas (3) vadinamas kanoninė plėtra numeriai.

Pirminiai skaičiai natūraliųjų skaičių eilutėje atsiranda netolygiai. Vienose eilės vietose jų daugiau, kitose – mažiau. Kuo toliau judame skaičių serija, mažiau paplitę pirminiai skaičiai. Kyla klausimas, ar yra didžiausias pirminis skaičius? Senovės graikų matematikas Euklidas įrodė, kad pirminių skaičių yra be galo daug. Pateikiame šį įrodymą žemiau.

Teorema 2. Pirminių skaičių skaičius yra begalinis.

Įrodymas. Tarkime, kad yra baigtinis pirminių skaičių skaičius ir tebūnie didžiausias pirminis skaičius p. Laikykime visus skaičius didesniais p. Darant prielaidą, kad šie skaičiai turi būti sudėtiniai ir dalytis bent iš vieno pirminio skaičiaus. Pasirinkime skaičių, kuris yra visų šių pirminių skaičių ir 1 sandauga:

Skaičius z daugiau p nes 2p jau daugiau p. p nesidalija iš nė vieno iš šių pirminių skaičių, nes padalijus iš kiekvieno iš jų liekana 1. Taip pasiekiame prieštaravimą. Todėl pirminių skaičių yra begalinis skaičius.

Ši teorema yra ypatingas bendresnės teoremos atvejis:

Teorema 3. Tegu pateikiama aritmetinė progresija

Tada bet kuris pirminis skaičius įtrauktas į n, turėtų būti įtraukta m, todėl in n kiti pagrindiniai veiksniai, kurie neįtraukti m ir, be to, šie pagrindiniai veiksniai n yra įtraukti ne daugiau kartų nei į m.

Taip pat yra priešingai. Jei kiekvienas skaičiaus pirminis veiksnys nįtraukta į skaičių bent tiek kartų m, Tai m padalytą n.

pareiškimas 3. Leisti a 1 ,a 2 ,a 3,... įvairūs pirminiai skaičiai, įtraukti į m Taigi

Kur i=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . pastebėti, kad α i priima α +1 vertės, β j priima β +1 vertės, γ k priima γ +1 vertės, ... .

Nuo senovės graikų laikų pirminiai skaičiai buvo labai patrauklūs matematikams. Jie nuolatos ieško Skirtingi keliai jų vieta, bet dauguma efektyvus būdas Pirminių skaičių „gaudymas“ yra Aleksandrijos astronomas ir matematikas Eratostenas. Šiam metodui jau apie 2000 metų.

Kurie skaičiai yra pirminiai

Kaip nustatyti pirminį skaičių? Daugelis skaičių dalijasi iš kitų skaičių be liekanos. Skaičius, iš kurio padalytas sveikasis skaičius, vadinamas dalikliu.

IN tokiu atveju mes kalbame apie padalijimą be liekanos. Pavyzdžiui, skaičių 36 galima padalyti iš 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 ir iš savęs, tai yra, iš 36. Tai reiškia, kad 36 yra 9 dalikliai. Skaičius 23 dalijasi tik iš savęs ir iš 1, tai yra, šis skaičius turi 2 daliklius – šis skaičius yra pirminis.

Skaičiai, turintys tik du daliklius, vadinami pirminiais skaičiais. Tai yra, skaičius, kuris be liekanos dalijasi tik iš savęs ir vienas, vadinamas pirminiu.

Matematikams labai svarbu atrasti skaičių sekos modelius, kuriuos vėliau galima panaudoti hipotezėms kurti. malonus renginys. Tačiau pirminiai skaičiai atsisako paklusti bet kokiam modeliui. Tačiau yra būdas nustatyti pirminius skaičius. Šį metodą atrado Eratostenas, jis vadinamas „Eratosteno sietu“. Pažiūrėkime į tokio „sieto“ versiją, pateiktą skaičių lentelės iki 48 pavidalu, ir suprasime, kaip ji sudaryta.

Šioje lentelėje pažymėti visi pirminiai skaičiai, mažesni nei 48 oranžinė. Jie buvo rasti taip:

• 1 – turi vieną daliklį, todėl nėra pirminis skaičius;
• 2 yra mažiausias pirminis skaičius ir vienintelis lyginis, nes visi kiti lyginiai skaičiai dalijasi iš 2, tai yra, jie turi bent 3 daliklius, šie skaičiai sumažinami iki violetinė kolona;
• 3 yra pirminis skaičius, turi du daliklius, visi kiti skaičiai, kurie dalijasi iš 3, neįtraukiami – šie skaičiai apibendrinami geltoname stulpelyje. Stulpelyje, pažymėtame ir violetine, ir geltona spalva, yra skaičiai, kurie dalijasi ir iš 2, ir iš 3;
• 5 yra pirminis skaičius, visi skaičiai, kurie dalijasi iš 5, neįtraukiami – šie skaičiai apibraukti žaliu ovalu;
• 7 yra pirminis skaičius, visi skaičiai, kurie dalijasi iš 7, apibraukti raudonu ovalu – jie nėra pirminiai;

Visi skaičiai, kurie nėra pirminiai, pažymėti mėlyna spalva. Tada galite patys sudaryti šią lentelę pagal vaizdą ir panašumą.

Skaičiai yra skirtingi: natūralūs, racionalūs, racionalūs, sveikieji ir trupmeniniai, teigiami ir neigiami, kompleksiniai ir pirminiai, nelyginiai ir lyginiai, tikrieji ir tt Iš šio straipsnio galite sužinoti, kas yra pirminiai skaičiai.

Kokie skaičiai angliškai vadinami „paprastais“?

Labai dažnai moksleiviai iš pirmo žvilgsnio nežino, kaip atsakyti į vieną paprasčiausių matematikos klausimų, kas yra pirminis skaičius. Jie dažnai painioja pirminius skaičius su natūraliaisiais skaičiais (ty skaičiais, kuriuos žmonės naudoja skaičiuodami objektus, o kai kuriuose šaltiniuose jie prasideda nuliu, o kituose - vienetu). Tačiau tai yra visiškai dvi skirtingos sąvokos. Pirminiai skaičiai yra natūralūs skaičiai, tai yra sveikieji ir teigiami skaičiai, kurie yra didesni už vieną ir turi tik 2 natūraliuosius daliklius. Be to, vienas iš šių daliklių yra duotas numeris, o antrasis yra vienas. Pavyzdžiui, trys yra pirminis skaičius, nes jo negalima padalyti be likučio iš jokio kito skaičiaus, išskyrus jį patį ir vieną.

Sudėtiniai skaičiai

Pirminių skaičių priešingybė yra sudėtiniai skaičiai. Jie taip pat yra natūralūs, taip pat didesni už vieną, bet turi ne du, o didelis kiekis skirstytuvai. Taigi, pavyzdžiui, skaičiai 4, 6, 8, 9 ir kt. yra natūralūs, sudėtiniai, bet ne pirminiai skaičiai. Kaip matote, tai dažniausiai lyginiai skaičiai, bet ne visi. Tačiau „du“ yra lyginis skaičius ir „pirmasis skaičius“ pirminių skaičių serijoje.

Pasekmė

Norint sudaryti pirminių skaičių seką, reikia pasirinkti iš visų natūraliųjų skaičių, atsižvelgiant į jų apibrėžimą, tai yra, reikia veikti prieštaringai. Būtina ištirti kiekvieną iš teigiamų natūraliųjų skaičių, kad pamatytumėte, ar jis turi daugiau nei du daliklius. Pabandykime sukurti seriją (seką), kurią sudaro pirminiai skaičiai. Sąrašas prasideda dviem, o paskui trimis, nes jis dalijasi tik iš savęs ir vieno. Apsvarstykite skaičių keturi. Ar jis turi kitus daliklius nei keturi ir vienas? Taip, tas skaičius yra 2. Taigi keturi nėra pirminis skaičius. Penki taip pat yra pirminiai (jis nesidalija iš jokio kito skaičiaus, išskyrus 1 ir 5), bet šeši dalijasi. Ir apskritai, jei vadovausitės visais lyginiais skaičiais, pastebėsite, kad, išskyrus „du“, nė vienas iš jų nėra pirminis. Iš to darome išvadą, kad lyginiai skaičiai, išskyrus du, nėra pirminiai. Kitas atradimas: visi skaičiai, dalijami iš trijų, išskyrus pačius tris, nesvarbu, ar jie lyginiai, ar nelyginiai, taip pat nėra pirminiai (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 ir kt.). Tas pats pasakytina apie skaičius, kurie dalijasi iš penkių ir septynių. Visa jų gausybė taip pat nėra paprasta. Apibendrinkime. Taigi, prie paprastų vienženkliai skaičiaiĮtraukti visi nelyginiai skaičiai, išskyrus vieną ir devynis, o net „du“ yra lyginiai skaičiai. Patys dešimtukai (10, 20,... 40 ir kt.) nėra paprasti. Pirminius dviženklius, triženklius ir kt.

Teorijos apie pirminių skaičių savybes

Yra mokslas, tiriantis sveikųjų skaičių, įskaitant pirminius skaičius, savybes. Tai matematikos šaka, vadinama aukštąja. Be sveikųjų skaičių savybių, ji taip pat nagrinėja algebrinius, transcendentinius skaičius ir funkcijas įvairios kilmės susiję su šių skaičių aritmetika. Šiuose tyrimuose, be elementariųjų ir algebrinių metodų, naudojami ir analitiniai bei geometriniai. Konkrečiai, „Skaičių teorija“ yra susijusi su pirminių skaičių tyrimu.

Pirminiai skaičiai yra natūraliųjų skaičių „statybiniai blokai“.

Aritmetikoje yra teorema, vadinama pagrindine teorema. Pagal ją bet koks natūralusis skaičius, išskyrus vieną, gali būti pavaizduotas kaip sandauga, kurios veiksniai yra pirminiai skaičiai, o veiksnių eilė yra unikali, vadinasi, vaizdavimo būdas yra unikalus. Tai vadinama natūraliojo skaičiaus faktorinavimu į pirminius veiksnius. Yra ir kitas šio proceso pavadinimas – skaičių faktorizacija. Remiantis tuo, pirminiai skaičiai gali būti vadinami „statybine medžiaga“, „blokais“ natūraliųjų skaičių konstravimui.

Ieškokite pirminių skaičių. Paprastumo testai

Daugelis skirtingų laikų mokslininkų bandė rasti tam tikrus principus (sistemas), kaip rasti pirminių skaičių sąrašą. Mokslas žino sistemas, vadinamas Atkin sietu, Sundartham sietu ir Eratosthenes sietu. Tačiau jie neduoda jokių reikšmingų rezultatų, o pirminiams skaičiams rasti naudojame paprastas patikrinimas. Matematikai taip pat sukūrė algoritmus. Paprastai jie vadinami pirmumo testais. Pavyzdžiui, yra Rabino ir Millerio sukurtas testas. Jį naudoja kriptografai. Taip pat yra Kayal-Agrawal-Sasquena testas. Tačiau, nepaisant pakankamo tikslumo, jį labai sunku apskaičiuoti, o tai sumažina jo praktinę reikšmę.

Ar pirminių skaičių aibė turi ribą?

Senovės graikų mokslininkas Euklidas savo knygoje „Elementai“ rašė, kad pirminių skaičių aibė yra begalybė. Jis pasakė taip: „Akimirkai įsivaizduokime, kad pirminiai skaičiai turi ribą. Tada padauginkime juos tarpusavyje ir pridėkime vieną prie produkto. Skaičius, gautas atlikus šiuos paprastus veiksmus, negali būti padalintas iš bet kurios pirminių skaičių serijos, nes likusioji dalis visada bus viena. Tai reiškia, kad yra dar koks nors skaičius, kuris dar neįtrauktas į pirminių skaičių sąrašą. Todėl mūsų prielaida nėra teisinga, ir ši aibė negali turėti ribos. Be Euklido įrodymo, yra ir modernesnė formulė, kurią pateikė XVIII amžiaus šveicarų matematikas Leonhardas Euleris. Pagal ją pirmųjų n skaičių sumos atvirkštinė suma didėja neribotai didėjant skaičiui n. O štai teoremos formulė dėl pirminių skaičių skirstinio: (n) auga kaip n/ln (n).

Koks yra didžiausias pirminis skaičius?

Tas pats Leonardas Euleris sugebėjo rasti didžiausią savo laiko pirminį skaičių. Tai yra 2 31 – 1 = 2147483647. Tačiau iki 2013 metų buvo paskaičiuotas dar vienas tiksliausias pirminių skaičių sąrašo didžiausias – 2 57885161 – 1. Jis vadinamas Merseno skaičiumi. Jame yra apie 17 milijonų dešimtainių skaitmenų. Kaip matote, aštuonioliktojo amžiaus mokslininko rastas skaičius yra kelis kartus mažesnis už šį. Taip ir turėjo būti, nes Euleris šį skaičiavimą atliko rankiniu būdu, o mūsų amžininkui tikriausiai padėjo kompiuteris. Be to, šis skaičius buvo gautas Matematikos fakultete vienoje iš Amerikos katedrų. Šio mokslininko vardu pavadinti skaičiai išlaiko Luc-Lemaire pirmumo testą. Tačiau mokslas tuo sustoti nenori. „Electronic Frontier Foundation“, kuris buvo įkurtas 1990 m. Jungtinėse Amerikos Valstijose (EFF), pasiūlė piniginį atlygį už didelių pirminių skaičių suradimą. Ir jei iki 2013 metų premija būtų skirta tiems mokslininkams, kurie juos suras iš 1 ir 10 mln. dešimtainiai skaičiai, tada šiandien šis skaičius pasiekė nuo 100 mln. iki 1 mlrd. Prizai siekia nuo 150 iki 250 tūkstančių JAV dolerių.

Specialiųjų pirminių skaičių pavadinimai

Tie skaičiai, kurie buvo rasti tam tikrų mokslininkų sukurtų algoritmų dėka ir išlaikė paprastumo testą, vadinami ypatingais. Štai keletas iš jų:

1. Merssenas.

4. Kalenas.

6. Mills ir kt.

Šių skaičių, pavadintų aukščiau minėtų mokslininkų vardu, paprastumas nustatomas naudojant šiuos testus:

1. Luc-Lemaire.

2. Pepina.

3. Ryzelis.

4. Billhart – Lemaire – Selfridge ir kt.

Šiuolaikinis mokslas tuo nesibaigia ir tikriausiai netolimoje ateityje pasaulis sužinos vardus tų, kurie sugebėjo laimėti 250 000 USD prizą suradę didžiausią pirminį skaičių.

Šiame straipsnyje mes išnagrinėsime pirminiai ir sudėtiniai skaičiai. Pirmiausia pateiksime pirminių ir sudėtinių skaičių apibrėžimus, taip pat pateiksime pavyzdžių. Po to įrodysime, kad pirminių skaičių yra be galo daug. Toliau užrašysime pirminių skaičių lentelę ir apsvarstysime pirminių skaičių lentelės sudarymo būdus, ypatingą dėmesį skirdami metodui, vadinamam Eratosteno sietu. Baigdami pabrėšime pagrindinius dalykus, į kuriuos reikia atsižvelgti įrodant, kad duotas skaičius yra pirminis arba sudėtinis.

Puslapio naršymas.

Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai – apibrėžimai ir pavyzdžiai

Pirminių skaičių ir sudėtinių skaičių sąvokos reiškia skaičius, didesnius už vienetą. Tokie sveikieji skaičiai, priklausomai nuo jų teigiamų daliklių, skirstomi į pirminius ir sudėtinius skaičius. Taigi suprasti pirminių ir sudėtinių skaičių apibrėžimai, turite gerai suprasti, kas yra dalikliai ir kartotiniai.

Apibrėžimas.

pirminiai skaičiai yra sveikieji skaičiai, dideli vienetai, turintys tik du teigiamus daliklius, būtent save ir 1.

Apibrėžimas.

Sudėtiniai skaičiai yra sveikieji skaičiai, dideli, turintys bent tris teigiamus daliklius.

Atskirai pažymime, kad skaičius 1 netaikomas nei pirminiams, nei sudėtiniams skaičiams. Vienetas turi tik vieną teigiamą daliklį, kuris yra pats skaičius 1. Tai išskiria skaičių 1 nuo visų kitų teigiamų sveikųjų skaičių, turinčių bent du teigiamus daliklius.

Atsižvelgiant į tai, kad teigiami sveikieji skaičiai yra , o vienas turi tik vieną teigiamą daliklį, galime pateikti kitas pirminių ir sudėtinių skaičių apibrėžimų formuluotes.

Apibrėžimas.

pirminiai skaičiai yra natūralūs skaičiai, turintys tik du teigiamus daliklius.

Apibrėžimas.

Sudėtiniai skaičiai yra natūralūs skaičiai, turintys daugiau nei du teigiamus daliklius.

Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienas teigiamas sveikasis skaičius, didesnis už vienetą, yra pirminis arba sudėtinis skaičius. Kitaip tariant, nėra nė vieno sveikojo skaičiaus, kuris nebūtų nei pirminis, nei sudėtinis. Tai išplaukia iš dalijamumo savybės, kuri teigia, kad skaičiai 1 ir a visada yra bet kurio sveikojo skaičiaus a dalikliai.

Remdamiesi ankstesnėje pastraipoje pateikta informacija, galime pateikti tokį sudėtinių skaičių apibrėžimą.

Apibrėžimas.

Vadinami natūralieji skaičiai, kurie nėra pirminiai sudėtinis.

Duokim pirminių ir sudėtinių skaičių pavyzdžiai.

Sudėtinių skaičių pavyzdžiai yra 6, 63, 121 ir 6 697. Šį teiginį taip pat reikia paaiškinti. Skaičius 6, be teigiamų daliklių 1 ir 6, taip pat turi daliklius 2 ir 3, nes 6 = 2 3, todėl 6 tikrai yra sudėtinis skaičius. Teigiami koeficientai 63 yra skaičiai 1, 3, 7, 9, 21 ir 63. Skaičius 121 yra lygus sandaugai 11·11, todėl jo teigiami dalikliai yra 1, 11 ir 121. Ir skaičius 6 697 yra sudėtinis, nes jo teigiami dalikliai, be 1 ir 6 697, taip pat yra skaičiai 37 ir 181.

Baigdamas šį klausimą taip pat norėčiau atkreipti dėmesį į tai, kad pirminiai skaičiai ir pirminiai skaičiai toli gražu nėra tas pats dalykas.

Pirminių skaičių lentelė

Pirminiai skaičiai, tolimesnio jų naudojimo patogumui, įrašomi į lentelę, vadinamą pirminių skaičių lentele. Žemiau yra pirminių skaičių lentelė iki 1000.

Kyla logiškas klausimas: „Kodėl pirminių skaičių lentelę užpildėme tik iki 1000, ar negalima sukurti visų esamų pirminių skaičių lentelės“?

Pirmiausia atsakykime į pirmąją šio klausimo dalį. Daugeliui problemų, kurioms reikia naudoti pirminius skaičius, pakaks pirminių skaičių tūkstančio ribose. Kitais atvejais greičiausiai teks griebtis specialių sprendimų. Nors tikrai galime sukurti pirminių skaičių lentelę iki savavališkai didelio baigtinio teigiamo sveikojo skaičiaus, nesvarbu, ar tai būtų 10 000 ar 1 000 000 000, kitoje pastraipoje kalbėsime apie pirminių skaičių lentelių kūrimo metodus, ypač pažvelgsime į metodą. paskambino.

Dabar pažvelkime į galimybę (tiksliau, neįmanomumą) sudaryti visų esamų pirminių skaičių lentelę. Negalime sudaryti visų pirminių skaičių lentelės, nes pirminių skaičių yra be galo daug. Paskutinis teiginys yra teorema, kurią įrodysime po šios pagalbinės teoremos.

Teorema.

Mažiausias teigiamas natūraliojo skaičiaus, didesnio už vienetą, daliklis, išskyrus 1, yra pirminis skaičius.

Įrodymas.

Leisti a yra natūralusis skaičius, didesnis už vieną, o b yra mažiausias teigiamas kito nei vienas daliklis. Įrodykime, kad b yra pirminis skaičius prieštaravimu.

Tarkime, kad b yra sudėtinis skaičius. Tada yra skaičiaus b daliklis (pažymime jį b 1), kuris skiriasi ir nuo 1, ir nuo b. Jei dar atsižvelgsime į tai, kad daliklio absoliuti reikšmė neviršija absoliučioji vertė dalijasi (tai žinome iš dalijimosi savybių), tuomet turi būti tenkinama 1 sąlyga

Kadangi skaičius a dalijasi iš b pagal sąlygą, o mes sakėme, kad b dalijasi iš b 1, dalijimosi sąvoka leidžia kalbėti apie sveikųjų skaičių q ir q 1 egzistavimą, kad a=b q ir b=b 1 q 1 , iš kur a= b 1 · (q 1 · q) . Iš to seka, kad dviejų sveikųjų skaičių sandauga yra sveikasis skaičius, tai lygybė a=b 1 ·(q 1 ·q) rodo, kad b 1 yra skaičiaus a daliklis. Atsižvelgiant į pirmiau minėtus nelygumus 1

Dabar galime įrodyti, kad pirminių skaičių yra be galo daug.

Teorema.

Pirminių skaičių yra begalinis skaičius.

Įrodymas.

Tarkime, kad taip nėra. Tai yra, tarkime, kad yra tik n pirminių skaičių ir šie pirminiai skaičiai yra p 1, p 2, ..., p n. Parodykime, kad visada galime rasti pirminį skaičių, kuris skiriasi nuo nurodytųjų.

Apsvarstykite skaičių p lygų p 1 · p 2 ·… · p n +1. Akivaizdu, kad šis skaičius skiriasi nuo kiekvieno pirminio skaičiaus p 1, p 2, ..., p n. Jei skaičius p yra pirminis, tai teorema įrodyta. Jei šis skaičius yra sudėtinis, tai pagal ankstesnę teoremą yra šio skaičiaus pirminis daliklis (žymime jį p n+1). Parodykime, kad šis daliklis nesutampa nė su vienu iš skaičių p 1, p 2, ..., p n.

Jei taip nebūtų, tada sandauga p 1 ·p 2 ·…·p n pagal dalomumo savybes būtų padalinta iš p n+1. Tačiau skaičius p taip pat dalijasi iš p n+1, lygus sumai p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Iš to seka, kad p n+1 turi padalyti antrąjį šios sumos narį, kuris yra lygus vienetui, bet tai neįmanoma.

Taigi buvo įrodyta, kad visada galima rasti naują pirminį skaičių, kuris nėra įtrauktas į jokį iš anksto nustatytų pirminių skaičių skaičių. Todėl pirminių skaičių yra be galo daug.

Taigi dėl to, kad pirminių skaičių yra be galo daug, sudarydami pirminių skaičių lenteles visada apsiribojate iš viršaus į kokį nors skaičių, dažniausiai 100, 1000, 10000 ir t.t.

Eratosteno sietelis

Dabar aptarsime pirminių skaičių lentelių kūrimo būdus. Tarkime, kad turime sudaryti pirminių skaičių lentelę iki 100.

Akivaizdžiausias šios problemos sprendimo būdas yra nuosekliai tikrinti teigiamus sveikuosius skaičius, pradedant nuo 2 ir baigiant 100, ar nėra teigiamo daliklio, kuris yra didesnis nei 1 ir mažesnis už tikrinamą skaičių (iš mums žinomų dalijamumo savybių kad daliklio absoliuti reikšmė neviršytų absoliučios dividendo vertės, ne nulis). Jei tokio daliklio nerandama, tada tikrinamas skaičius yra pirminis, ir jis įrašomas į pirminių skaičių lentelę. Jei toks daliklis randamas, tai tikrinamas skaičius yra sudėtinis, jis NĖRA įrašytas į pirminių skaičių lentelę. Po to pereinama prie kito skaičiaus, kuris panašiai tikrinamas, ar nėra daliklio.

Apibūdinkime kelis pirmuosius žingsnius.

Pradedame nuo 2 skaičiaus. Skaičius 2 neturi teigiamų daliklių, išskyrus 1 ir 2. Todėl tai paprasta, todėl įvedame jį į pirminių skaičių lentelę. Čia reikėtų pasakyti, kad 2 yra mažiausias pirminis skaičius. Pereikime prie numerio 3. Galimas teigiamas jo daliklis, išskyrus 1 ir 3, yra skaičius 2. Bet 3 nesidalija iš 2, todėl 3 yra pirminis skaičius, jį taip pat reikia įtraukti į pirminių skaičių lentelę. Pereikime prie 4 numerio. Jo teigiami dalikliai, išskyrus 1 ir 4, gali būti skaičiai 2 ir 3, patikrinkime juos. Skaičius 4 dalijasi iš 2, todėl 4 yra sudėtinis skaičius ir jo nereikia įtraukti į pirminių skaičių lentelę. Atminkite, kad 4 yra mažiausias sudėtinis skaičius. Pereikime prie numerio 5. Tikriname, ar bent vienas iš skaičių 2, 3, 4 yra jo daliklis. Kadangi 5 nesidalija iš 2, 3 ar 4, tai jis yra pirminis ir turi būti užrašytas pirminių skaičių lentelėje. Tada pereinama prie skaičių 6, 7 ir tt iki 100.

Šis pirminių skaičių lentelės sudarymo metodas toli gražu nėra idealus. Vienaip ar kitaip, jis turi teisę egzistuoti. Atkreipkite dėmesį, kad naudojant šį sveikųjų skaičių lentelės sudarymo būdą galite naudoti dalijamumo kriterijus, kurie šiek tiek pagreitins daliklių paieškos procesą.

Yra patogesnis būdas sukurti pirminių skaičių lentelę, vadinamą. Pavadinime esantis žodis „sietas“ nėra atsitiktinis, nes šio metodo veiksmai padeda tarsi „persijoti“ sveikus skaičius ir didelius vienetus per Eratosteno sietą, kad būtų atskirti paprasti nuo sudėtinių.

Parodykime veikiantį Eratosteno sietą, kai sudaroma pirminių skaičių iki 50 lentelę.

Pirmiausia užrašykite skaičius 2, 3, 4, ..., 50.

Pirmasis parašytas skaičius 2 yra pirminis. Dabar nuo 2 skaičiaus paeiliui judame į dešinę dviem skaičiais ir išbraukiame šiuos skaičius, kol pasieksime sudaromos skaičių lentelės pabaigą. Taip bus išbraukti visi skaičiai, kurie yra dviejų kartotiniai.

Pirmasis skaičius po 2, kuris nėra perbrauktas, yra 3. Šis skaičius yra pirminis. Dabar nuo 3 skaičiaus paeiliui pereiname į dešinę trimis skaičiais (atsižvelgiant į jau perbrauktus skaičius) ir juos perbraukiame. Taip bus išbraukti visi skaičiai, kurie yra trijų kartotiniai.

Pirmasis skaičius po 3, kuris nėra perbrauktas, yra 5. Šis skaičius yra pirminis. Dabar nuo skaičiaus 5 nuosekliai pereiname į dešinę 5 skaičiais (taip pat atsižvelgiame į anksčiau perbrauktus skaičius) ir juos perbraukiame. Taip bus išbraukti visi skaičiai, kurie yra penkių kartotiniai.

Toliau išbraukiame skaičius, kurie yra 7 kartotiniai, tada 11 kartotiniai ir pan. Procesas baigiasi, kai nebėra skaičių, kuriuos reikia perbraukti. Žemiau yra užpildyta pirminių skaičių iki 50 lentelė, gauta naudojant Eratosteno sietą. Visi neperbraukti skaičiai yra pirminiai, o visi perbraukti skaičiai yra sudėtiniai.

Taip pat suformuluokime ir įrodykime teoremą, kuri pagreitins pirminių skaičių lentelės sudarymo procesą naudojant Eratosteno sietą.

Teorema.

Mažiausias teigiamas sudėtinio skaičiaus a daliklis, kuris skiriasi nuo vieneto, neviršija , kur yra iš a .

Įrodymas.

Raide b pažymėkime mažiausią sudėtinio skaičiaus a daliklį, kuris skiriasi nuo vieno (skaičius b yra pirminis, kaip matyti iš teoremos, įrodytos pačioje ankstesnės pastraipos pradžioje). Tada yra sveikasis skaičius q, kad a=b·q (čia q yra teigiamas sveikasis skaičius, kuris išplaukia iš sveikųjų skaičių daugybos taisyklių), ir (b>q sąlyga, kad b yra mažiausias a daliklis, pažeidžiama , nes q taip pat yra skaičiaus a daliklis dėl lygybės a=q·b ). Padauginus abi nelygybės puses teigiamu ir sveikuoju skaičiumi, didesniu už vieną (mums leidžiama tai padaryti), gauname , Iš kurių ir .

Ką mums duoda įrodyta teorema apie Eratosteno sietą?

Pirma, sudėtinių skaičių, kurie yra pirminio skaičiaus b kartotiniai, perbraukimas turėtų prasidėti skaičiumi, lygiu (tai išplaukia iš nelygybės). Pavyzdžiui, skaičių, kurie yra dviejų kartotiniai, perbraukimas turėtų prasidėti skaičiumi 4, trijų kartotiniai - skaičiumi 9, penkių kartotiniai - skaičiumi 25 ir pan.

Antra, pirminių skaičių lentelės sudarymas iki skaičiaus n naudojant Eratosteno sietą gali būti laikomas baigtu, kai visi sudėtiniai skaičiai, kurie yra pirminių skaičių kartotiniai, neviršija . Mūsų pavyzdyje n=50 (kadangi mes sudarome pirminių skaičių lentelę iki 50), todėl Eratosteno sietas turėtų pašalinti visus sudėtinius skaičius, kurie yra pirminių skaičių 2, 3, 5 ir 7 kartotiniai. neviršija aritmetinės kvadratinės šaknies iš 50. Tai reiškia, kad mums nebereikia ieškoti ir išbraukti skaičių, kurie yra pirminių skaičių 11, 13, 17, 19, 23 kartotiniai ir tt iki 47, nes jie jau bus nubraukti kaip mažesnių pirminių skaičių 2 kartotiniai. , 3, 5 ir 7 .

Ar šis skaičius pirminis ar sudėtinis?

Kai kurioms užduotims reikia išsiaiškinti, ar nurodytas skaičius yra pirminis, ar sudėtinis. Apskritai ši užduotis toli gražu nėra paprasta, ypač skaičiams, kurių rašymą sudaro daug simbolių. Daugeliu atvejų turite ieškoti konkretaus būdo, kaip tai išspręsti. Tačiau mes stengsimės duoti kryptį minčių traukiniui paprastiems atvejams.

Žinoma, galite pabandyti naudoti dalijamumo testus, kad įrodytumėte, jog nurodytas skaičius yra sudėtinis. Jei, pavyzdžiui, koks nors dalijimosi testas rodo, kad tam tikras skaičius dalijasi iš kokio nors teigiamo sveikojo skaičiaus, didesnio už vienetą, tada pradinis skaičius yra sudėtinis.

Pavyzdys.

Įrodykite, kad 898 989 898 989 898 989 yra sudėtinis skaičius.

Sprendimas.

Šio skaičiaus skaitmenų suma lygi 9·8+9·9=9·17. Kadangi skaičius, lygus 9·17, dalijasi iš 9, tai pagal dalumą iš 9 galime teigti, kad pradinis skaičius taip pat dalijasi iš 9. Todėl jis yra sudėtinis.

Reikšmingas šio metodo trūkumas yra tas, kad dalijamumo kriterijai neleidžia įrodyti skaičiaus pirmumo. Todėl bandydami skaičių, kad pamatytumėte, ar jis pirminis, ar sudėtinis, turite elgtis kitaip.

Logiškiausias būdas yra išbandyti visus galimus tam tikro skaičiaus daliklius. Jei nė vienas iš galimų daliklių nėra tikrasis tam tikro skaičiaus daliklis, tada šis skaičius bus pirminis, priešingu atveju jis bus sudėtinis. Iš teoremų, įrodytų ankstesnėje pastraipoje, išplaukia, kad tam tikro skaičiaus a daliklių reikia ieškoti tarp pirminių skaičių, neviršijančių . Taigi duotą skaičių a galima nuosekliai padalyti iš pirminių skaičių (kurie patogiai paimti iš pirminių skaičių lentelės), bandant rasti skaičiaus a daliklį. Jei rastas daliklis, tada skaičius a yra sudėtinis. Jei tarp pirminių skaičių, neviršijančių , nėra skaičiaus a daliklio, tada skaičius a yra pirminis.

Pavyzdys.

Skaičius 11 723 paprastas ar sudėtinis?

Sprendimas.

Sužinokime, iki kokio pirminio skaičiaus gali būti skaičiaus 11 723 dalikliai. Norėdami tai padaryti, įvertinkime.

Gana akivaizdu, kad , nuo 200 2 = 40 000 ir 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью skaičių palyginimas). Taigi galimi pirminiai koeficientai 11 723 yra mažesni nei 200. Tai jau labai palengvina mūsų užduotį. Jei to nežinotume, turėtume pereiti visus pirminius skaičius ne iki 200, o iki skaičiaus 11 723.

Jei pageidaujate, galite įvertinti tiksliau. Kadangi 108 2 = 11 664 ir 109 2 = 11 881, tada 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Taigi bet kuris pirminis skaičius, mažesnis nei 109, potencialiai yra pirminis duoto skaičiaus 11 723 koeficientas.

Dabar skaičių 11 723 iš eilės padalinsime į pirminius skaičius 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Jei skaičius 11 723 yra padalintas iš vieno iš užrašytų pirminių skaičių, jis bus sudėtinis. Jei jis nesidalija iš nė vieno užrašyto pirminio skaičiaus, tada pirminis skaičius yra pirminis.

Viso šio monotoniško ir monotoniško dalijimosi proceso neaprašysime. Iš karto pasakykime, kad 11 723