Modulio numeris (absoliuti skaičiaus reikšmė), apibrėžimai, pavyzdžiai, savybės. Absoliuti skaičiaus reikšmė. Nemokslinis paaiškinimas, kodėl to reikia Pagrindinės tikrojo skaičiaus modulio savybės

Pirmiausia po modulio ženklu apibrėžiame išraiškos ženklą, o tada išplečiame modulį:

• jei išraiškos reikšmė yra didesnė už nulį, tada ją tiesiog pašaliname iš modulio ženklo,
• jei išraiška mažesnė už nulį, tada ją išimame iš po modulio ženklo, keisdami ženklą, kaip darėme anksčiau pavyzdžiuose.

Na, ar pabandysime? Apskaičiuokime:

(Pamiršau, pakartokite.)

Jei, tai kokį ženklą jis turi? Na žinoma, !

Ir todėl išplečiame modulio ženklą, pakeisdami išraiškos ženklą:

Supratau? Tada pabandykite patys:

Atsakymai:

Kokias dar savybes turi modulis?

Jei mums reikia padauginti skaičius modulio ženklo viduje, galime lengvai padauginti šių skaičių modulius !!!

Kalbant matematine prasme, skaičių sandaugos modulis lygus šių skaičių modulių sandaugai.

Pavyzdžiui:

Ką daryti, jei reikia atskirti du skaičius (išraiškas) po modulio ženklu?

Taip, kaip ir dauginant! Padalinkime į du atskirus skaičius (išraiškas) po modulio ženklu:

su sąlyga, kad (nes negalima dalyti iš nulio).

Verta prisiminti dar vieną modulio savybę:

Skaičių sumos modulis visada yra mažesnis arba lygus šių skaičių modulių sumai:

Kodėl taip? Viskas labai paprasta!

Kaip prisimename, modulis visada yra teigiamas. Tačiau modulio ženkle gali būti bet koks skaičius: ir teigiamas, ir neigiamas. Tarkime, kad skaičiai ir abu yra teigiami. Tada kairioji išraiška bus lygi dešiniajai.

Paimkime pavyzdį:

Jei po modulio ženklu vienas skaičius yra neigiamas, o kitas teigiamas, kairioji išraiška visada bus mažesnė už dešinę:

Atrodo, kad su šia savybe viskas aišku, panagrinėkime dar porą naudingų modulio savybių.

Ką daryti, jei turime šią išraišką:

Ką galime padaryti su šia išraiška? Mes nežinome x reikšmės, bet jau žinome, ką, o tai reiškia.

Skaičius yra didesnis už nulį, o tai reiškia, kad galite tiesiog parašyti:

Taigi mes priėjome prie kitos nuosavybės, kurią apskritai galima pavaizduoti taip:

Ir kam ši išraiška lygi:

Taigi, turime apibrėžti ženklą po moduliu. Ar čia reikia apibrėžti ženklą?

Žinoma, ne, jei atsimenate, kad bet kuris skaičius kvadrate visada yra didesnis už nulį! Jei neprisimenate, žiūrėkite temą. Ir kas atsitiks? Štai kas:

Puiku, a? Visai patogu. O dabar konkretus pavyzdys, kaip taisyti:

Na, kodėl abejonės? Elgiamės drąsiai!

Ar sugalvojai? Tada pirmyn ir treniruokitės su pavyzdžiais!

1. Raskite reiškinio if reikšmę.

2. Kuriems skaičiams modulis yra lygus?

3. Raskite posakių reikšmę:

Jei dar ne viskas aišku ir sprendimuose yra sunkumų, išsiaiškinkime:

1 sprendimas:

Taigi, pakeiskime reikšmes į išraišką

2 sprendimas:

Kaip prisimename, priešingi skaičiai yra lygūs absoliučia verte. Tai reiškia, kad modulio reikšmė yra lygi dviem skaičiams: ir.

3 sprendimas:

a)
b)
v)
G)

Ar viską pagavote? Tada laikas pereiti prie sunkesnio!

Pabandykime supaprastinti išraišką

Sprendimas:

Taigi, mes prisimename, kad modulio reikšmė negali būti mažesnė už nulį. Jei modulio ženklas yra teigiamas, tada ženklą galime tiesiog atmesti: skaičiaus modulis bus lygus šiam skaičiui.

Bet jei modulio ženklas yra neigiamas, tada modulio reikšmė yra lygi priešingam skaičiui (tai yra skaičiui, paimtam su "-" ženklu).

Norėdami rasti bet kurios išraiškos modulį, pirmiausia turite išsiaiškinti, ar ji turi teigiamą ar neigiamą reikšmę.

Pasirodo, pirmosios modulio išraiškos reikšmė.

Todėl išraiška po modulio ženklu yra neigiama. Antroji išraiška po modulio ženklu visada yra teigiama, nes pridedame du teigiamus skaičius.

Taigi, pirmosios išraiškos reikšmė po modulio ženklu yra neigiama, antroji - teigiama:

Tai reiškia, kad išplečiant pirmosios išraiškos modulio ženklą, šią išraišką turime priimti su ženklu „-“. Kaip šitas:

Antruoju atveju tiesiog atmetame modulio ženklą:

Supaprastinkime visą išraišką:

Skaičiaus modulis ir jo savybės (griežti apibrėžimai ir įrodymai)

Apibrėžimas:

Skaičiaus modulis (absoliuti reikšmė) yra pats skaičius, jei, ir skaičius, jei:

Pavyzdžiui:

Pavyzdys:

Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas:

Pagrindinės modulio savybės

Visiems:

Pavyzdys:

Įrodykite savybę Nr. 5.

Įrodymas:

Tarkime, yra tokių

Padėkime kairę ir dešinę nelygybės puses kvadratu (tai galima padaryti, nes abi nelygybės pusės visada yra neneigiamos):

ir tai prieštarauja modulio apibrėžimui.

Vadinasi, tokių nėra, taigi ir nelygybė visiems

Nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai:

1) Įrodykite 6 savybę.

2) Supaprastinkite išraišką.

Atsakymai:

1) Naudokime savybę # 3: ir nuo tada

Kad viskas būtų paprasta, reikia išplėsti modulius. O norint išplėsti modulius, reikia išsiaiškinti, ar po moduliu esančios išraiškos yra teigiamos ar neigiamos?

a. Palyginkime skaičius ir ir:

b. Dabar palyginkime ir:

Pridėkite modulių reikšmes:

Absoliuti skaičiaus reikšmė. Trumpai apie pagrindinį dalyką.

Skaičiaus modulis (absoliuti reikšmė) yra pats skaičius, jei, ir skaičius, jei:

Modulio savybės:

1. Skaičiaus modulis yra neneigiamas skaičius:;
2. Priešingų skaičių moduliai yra lygūs:;
3. Dviejų (ar daugiau) skaičių sandaugos modulis yra lygus jų modulių sandaugai:;
4. Dviejų skaičių dalinio modulis lygus jų modulių daliniui:;
5. Skaičių sumos modulis visada yra mažesnis arba lygus šių skaičių modulių sumai:;
6. Nuolatinis teigiamas veiksnys gali būti paimtas už modulio ženklo ribų: at;

Norėdami naudoti pristatymų peržiūrą, susikurkite sau Google paskyrą (paskyrą) ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Pamokos tikslai ir uždaviniai Supažindinti su realaus skaičiaus modulio apibrėžimu, apsvarstyti savybes ir paaiškinti geometrinę modulio reikšmę; Įveskite funkciją y = | x | , parodykite jo grafiko sudarymo taisykles; Mokyti įvairiais būdais spręsti lygtis, kuriose yra modulis; Ugdykite domėjimąsi matematika, savarankiškumą, loginį mąstymą, matematinę kalbą, ugdykite tikslumą ir kruopštumą.

Apibrėžimas. Pavyzdžiui: | 8 | = 8; | -8 | = - (- 8) = 8;

Modulio savybės

Geometrinė tiesinio skaičiaus modulio reikšmė yra geras realiųjų skaičių rinkinio pavyzdys. Skaičių tiesėje pažymėkime du taškus a ir b ir pabandykime rasti atstumą ρ (a; b) tarp šių taškų. Akivaizdu, kad šis atstumas lygus b-a, jei b> a Jei sukeisite, tai yra a> b, atstumas bus lygus a - b. Jei a = b, tada atstumas lygus nuliui, nes gaunamas taškas. Visus tris atvejus galime apibūdinti vienodai:

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: a) | x-3 | = 6 b) | x + 5 | = 3 c) | x | = 2,8 d) Sprendimas. a) Turime rasti koordinačių tiesės taškus, kurie yra nutolę nuo taško 3 tokiu atstumu, kuris lygus 6. Tokie taškai yra 9 ir -3. (Jie sudėjo ir atėmė šešis iš trijų.) Atsakymas: x = 9 ir x = -3 b) | x +5 | = 3, perrašome lygtį kaip | x – (– 5) | = 3. Raskime atstumą nuo taško -5 nutolusio 3. Šis atstumas, pasirodo, nuo dviejų taškų: x = 2 ir x = -8 Atsakymas: x = 2 ir x = -8. c) | x | = 2,8, gali būti pavaizduotas kaip | x-0 | = 2,8 arba Akivaizdu, kad x = -2,8 arba x = 2,8 Atsakymas: x = -2,8 ir x = 2,8. d) lygiavertis Akivaizdu,

Funkcija y = | x |

Išspręskite lygtį | x-1 | = 4 1 būdas (analitinis) 2 užduotis

2 metodas (grafinis)

Realiojo skaičiaus modulis. Tapatybė Apsvarstykite išraišką, jei a> 0, tai žinome ką. Bet ką daryti, jei 0. 2. Apibendrinkime: Pagal modulio apibrėžimą: Tai yra

Realiojo skaičiaus modulis. Pavyzdys. Supaprastinkite išraišką, jei: a) a-2≥0 b) a -2

Realiojo skaičiaus modulis. Pavyzdys. Apskaičiuokite sprendimą. Mes žinome, kad: Belieka išplėsti modulius. Apsvarstykite pirmąją išraišką:

Apsvarstykite antrąją išraišką: Naudodami apibrėžimą atskleidžiame modulių požymius: Rezultate gavome: Atsakymas: 1.

Naujos medžiagos tvirtinimas. Nr.16.2, Nr.16.3, Nr.16.4, Nr.16.12, Nr.16.16 (a, d), Nr.16.19

Savarankiško sprendimo užduotys. 1. Išspręskite lygtį: a) | x -10 | = 3 b) | x +2 | = 1 c) | x = 2,8 d) 2. Išspręskite lygtį: a) | 3 x -9 | = 33 b) | 8-4 x | = 16 c) | x +7 | = -3 3. Supaprastinkite išraišką, jei a) a-3≥0 b) a -3

Naudotos literatūros sąrašas: Zvavich L.I. Algebra. Išplėstinė studija. 8 klasė: probleminė knyga / L.I. Zvavičius, A.R. Riazanovskis. - 4-asis leidimas, kun. - M .: Mnemosina, 2006 .-- 284 p. Mordkovičius A.G. Algebra. 8 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis ugdymo įstaigų mokiniams / A.G. Mordkovičius. – 12 leid., Ištrinta. - M .: Mnemosina, 2014 .-- 215 p. Mordkovichas A.G. ir kt., Algebra. 8 klasė. Per 2 val., 2 dalis. Probleminė knyga ugdymo įstaigų mokiniams / red. A.G. Mordkovičius. - 12 leidimas, kun. ir pridėkite. - M .: Mnemosina, 2014 .-- 271 p.

§ 1 Realiojo skaičiaus modulis

Šioje pamokoje mes išnagrinėsime bet kurio realaus skaičiaus „modulio“ sąvoką.

Užrašykime tikrojo skaičiaus modulio savybes:

§ 2 Lygčių sprendimas

Naudodamiesi geometrine realaus skaičiaus modulio reikšme, išsprendžiame kelias lygtis.

Todėl lygtis turi 2 šaknis: -1 ir 3.

Taigi lygtis turi 2 šaknis: -3 ir 3.

Praktikoje naudojamos įvairios modulių savybės.

Apsvarstykite tai 2 pavyzdyje:

Taigi, šioje pamokoje išstudijavote „tikrojo skaičiaus modulio“ sąvoką, pagrindines jo savybes ir geometrinę reikšmę. Taip pat išsprendėme keletą tipinių realaus skaičiaus modulio savybių taikymo ir geometrinio atvaizdavimo uždavinių.

Naudotos literatūros sąrašas:

1. Mordkovičius A.G. „Algebra“ 8 klasė. 2 val., 1 dalis. Vadovėlis ugdymo įstaigoms / A.G. Mordkovičius. – 9-asis leidimas, kun. - M .: Mnemosina, 2007 .-- 215p.: Ill.
2. Mordkovičius A.G. „Algebra“ 8 klasė. 2 val., 2 dalis. Probleminė knyga švietimo įstaigoms / A.G. Mordkovičius, T.N. Mišustina, E.E. Tulčinskaja .. - 8 leid., - M .: Mnemosina, 2006. - 239p.
3. Algebra. 8 klasė. Testiniai darbai mokymo įstaigų mokiniams L.A. Aleksandrovas, red. A.G. Mordkovičius, 2 leid., Ištrintas. - M .: Mnemosina, 2009 .-- 40s.
4. Algebra. 8 klasė. Savarankiškas darbas švietimo įstaigų studentams: į vadovėlį A.G. Mordkovičius, L.A. Aleksandrovas, red. A.G. Mordkovičius, 9 leidimas, Ištrintas. - M .: Mnemosina, 2013 .-- 112s.

Šiame straipsnyje mes išsamiai išanalizuosime absoliuti skaičiaus reikšmė... Pateiksime įvairius skaičiaus modulio apibrėžimus, supažindinsime su žymėjimu, pateiksime grafines iliustracijas. Šiuo atveju apsvarstysime įvairius skaičiaus modulio radimo pagal apibrėžimą pavyzdžius. Po to išvardinsime ir pagrįsime pagrindines modulio savybes. Straipsnio pabaigoje pakalbėkime apie tai, kaip nustatomas ir randamas kompleksinio skaičiaus modulis.

Puslapio naršymas.

Skaičių modulis – apibrėžimas, žymėjimas ir pavyzdžiai

Pirmiausia pristatome skaičiaus modulio žymėjimas... Skaičiaus a modulis bus parašytas kaip, tai yra, skaičiaus kairėje ir dešinėje įdėsime vertikalius brūkšnius, sudarančius modulio ženklą. Štai keletas pavyzdžių. Pavyzdžiui, modulo -7 gali būti parašytas kaip; modulis 4.125 parašytas kaip, o modulis parašytas kaip.

Toliau pateiktame modulio apibrėžime nurodomi sveikieji skaičiai, racionalieji ir neracionalieji skaičiai, kaip sudedamosios realiųjų skaičių aibės dalys. Mes kalbėsime apie kompleksinių skaičių modulį.

Apibrėžimas.

Skaičiaus a modulis Ar pats skaičius a, jei a yra teigiamas skaičius, arba skaičius −a, priešingas skaičiui a, jei a yra neigiamas skaičius, arba 0, jei a = 0.

Skambus skaičiaus modulio apibrėžimas dažnai rašomas tokia forma , šis žymėjimas reiškia, kad jei a> 0, jei a = 0 ir jei a<0 .

Įrašas gali būti pateiktas kompaktiškesne forma ... Šis žymėjimas reiškia, kad jei (a yra didesnis arba lygus 0), o jei a<0 .

Taip pat yra rekordas ... Šiuo atveju atvejis, kai a = 0, turėtų būti paaiškintas atskirai. Šiuo atveju turime, bet −0 = 0, nes nulis laikomas skaičiumi, kuris yra priešingas jam pačiam.

Duokim skaičiaus modulio radimo pavyzdžiai naudojant artikuliuotą apibrėžimą. Pavyzdžiui, suraskime skaičių 15 ir modulius. Pradėkime nuo suradimo. Kadangi skaičius 15 yra teigiamas, jo modulis pagal apibrėžimą yra lygus pačiam šiam skaičiui, tai yra. O kokia yra absoliuti skaičiaus reikšmė? Kadangi yra neigiamas skaičius, jo modulis yra lygus priešingam skaičiui, tai yra skaičiui ... Šiuo būdu, .

Šios pastraipos pabaigoje pateikiame vieną išvadą, kurią labai patogu pritaikyti praktikoje ieškant skaičiaus modulio. Iš skaičiaus modulio apibrėžimo išplaukia, kad skaičiaus modulis yra lygus skaičiui po modulio ženklu, neatsižvelgiant į jo ženklą, o iš aukščiau pateiktų pavyzdžių tai labai aiškiai matyti. Nurodytas teiginys paaiškina, kodėl taip pat vadinamas skaičiaus modulis absoliuti skaičiaus vertė... Taigi skaičiaus modulis ir absoliuti skaičiaus reikšmė yra vienas ir tas pats.

Skaičiaus modulis kaip atstumas

Geometriškai skaičiaus modulis gali būti interpretuojamas kaip atstumas... Duokim skaičiaus modulio pagal atstumą nustatymas.

Apibrėžimas.

Skaičiaus a modulis Ar atstumas nuo koordinačių linijos pradžios iki taško, atitinkančio skaičių a.

Šis apibrėžimas atitinka pirmoje pastraipoje pateiktą skaičiaus modulio apibrėžimą. Paaiškinkime šį dalyką. Atstumas nuo pradžios iki taško, atitinkančio teigiamą skaičių, yra lygus šiam skaičiui. Nulis atitinka pradinę vietą, todėl atstumas nuo pradžios iki taško, kurio koordinatė 0, yra lygus nuliui (norint gauti iš taškas O į tašką, kurio koordinatė 0). Atstumas nuo pradžios iki taško, kurio koordinatė yra neigiama, yra lygus skaičiui, priešingam šio taško koordinatei, nes jis yra lygus atstumui nuo pradžios iki taško, kurio koordinatė yra priešinga.

Pavyzdžiui, absoliuti 9 reikšmė yra 9, nes atstumas nuo pradžios iki taško, kurio koordinatė 9, yra devyni. Pateikime kitą pavyzdį. Taškas, kurio koordinatė −3,25 yra 3,25 atstumu nuo taško O, taigi .

Įgarsintas skaičiaus modulio apibrėžimas yra ypatingas dviejų skaičių skirtumo modulio nustatymo atvejis.

Apibrėžimas.

Dviejų skaičių skirtumo modulis a ir b lygus atstumui tarp koordinačių linijos taškų su koordinatėmis a ir b.

Tai yra, jei taškai pateikti koordinačių tiesėje A (a) ir B (b), tai atstumas nuo taško A iki taško B yra lygus skaičių a ir b skirtumo moduliui. Jei tašką B laikysime tašku O (kilmė), tada gausime skaičiaus modulio apibrėžimą, pateiktą šios pastraipos pradžioje.

Skaičiaus modulio nustatymas per aritmetinę kvadratinę šaknį

Retkarčiais pasitaiko modulio apibrėžimas pagal aritmetinę kvadratinę šaknį.

Pavyzdžiui, apskaičiuokime absoliučias skaičių vertes −30 ir remdamiesi šiuo apibrėžimu. Mes turime. Panašiai apskaičiuojame dviejų trečdalių modulį: .

Skaičiaus modulio apibrėžimas per aritmetinę kvadratinę šaknį taip pat atitinka šio straipsnio pirmoje pastraipoje pateiktą apibrėžimą. Parodykime. Tegu a yra teigiamas skaičius, o skaičius −a yra neigiamas. Tada ir , jei a = 0, tada .

Modulio savybės

Modulis turi keletą būdingų rezultatų - modulio savybės... Dabar pateiksime pagrindinius ir dažniausiai naudojamus. Pagrįsdami šias savybes, remsimės skaičiaus modulio apibrėžimu pagal atstumą.

Pradėkime nuo akivaizdžiausios modulio savybės – skaičiaus modulis negali būti neigiamas... Pažodine forma ši savybė turi bet kurio skaičiaus a formos įrašą. Šią savybę labai lengva pagrįsti: skaičiaus modulis yra atstumas, o atstumas negali būti išreikštas neigiamu skaičiumi.

Pereikime prie kitos modulio savybės. Absoliuti skaičiaus reikšmė lygi nuliui tada ir tik tada, kai šis skaičius yra nulis... Nulio modulis pagal apibrėžimą yra lygus nuliui. Nulis atitinka pradžios tašką, joks kitas koordinačių linijos taškas neatitinka nulio, nes kiekvienas realusis skaičius yra susietas su vienu koordinačių linijos tašku. Dėl tos pačios priežasties bet koks skaičius, išskyrus nulį, atitinka kitą tašką nei pradžios taškas. Ir atstumas nuo pradžios iki bet kurio taško, išskyrus tašką O, nėra lygus nuliui, nes atstumas tarp dviejų taškų yra nulis tada ir tik tada, kai šie taškai sutampa. Aukščiau pateiktas samprotavimas įrodo, kad tik nulio modulis yra lygus nuliui.

Pirmyn. Priešingi skaičiai turi vienodus modulius, tai yra, bet kuriam skaičiui a. Iš tiesų, du koordinačių linijos taškai, kurių koordinatės yra priešingi skaičiai, yra vienodu atstumu nuo pradžios, o tai reiškia, kad priešingų skaičių absoliučios reikšmės yra lygios.

Kita modulio savybė yra tokia: dviejų skaičių sandaugos modulis lygus šių skaičių modulių sandaugai, tai yra, . Pagal apibrėžimą skaičių a ir b sandaugos modulis yra lygus arba a b, jei, arba - (a b), jei. Iš realiųjų skaičių dauginimo taisyklių išplaukia, kad skaičių a ir b absoliučių verčių sandauga yra lygi arba a b, arba - (a b), jei tai įrodo nagrinėjamą savybę.

Dalyvio a dalijimosi iš b modulis yra lygus skaičiaus a modulio dalijimo iš skaičiaus b modulio, tai yra, . Pagrįskime šią modulio savybę. Kadangi koeficientas yra lygus sandaugai, tada. Dėl ankstesnės nuosavybės mes turime ... Belieka tik naudoti lygybę, kuri galioja pagal skaičiaus modulio apibrėžimą.

Ši modulio savybė parašyta kaip nelygybė: , a, b ir c yra savavališki realieji skaičiai. Parašyta nelygybė yra ne kas kita trikampio nelygybė... Kad tai būtų aišku, paimkite koordinačių linijos taškus A (a), B (b), C (c) ir apsvarstykite išsigimusią trikampį ABC, kurio viršūnės yra vienoje tiesėje. Pagal apibrėžimą skirtumo modulis yra lygus atkarpos AB ilgiui, atkarpos AC ilgiui ir atkarpos CB ilgiui. Kadangi bet kurios trikampio kraštinės ilgis neviršija kitų dviejų kraštinių ilgių sumos, nelygybė taigi nelygybė taip pat teisinga.

Ką tik įrodyta nelygybė yra daug dažnesnė formoje ... Parašyta nelygybė paprastai laikoma atskira modulio savybe su formuluote: „ Absoliuti dviejų skaičių sumos vertė neviršija šių skaičių absoliučių verčių sumos“. Tačiau nelygybė tiesiogiai išplaukia iš nelygybės, jei vietoj b įdėsime −b ir imsime c = 0.

Sudėtingų skaičių modulis

Duokim kompleksinio skaičiaus modulio nustatymas... Tegul tai mums duota kompleksinis skaičius, parašytas algebrine forma, kur x ir y yra kai kurie realieji skaičiai, atitinkamai nurodantys tikrosią ir įsivaizduojamą kompleksinio skaičiaus z dalis ir yra įsivaizduojamas vienetas.