Apskritimo sektoriaus plotas per centrinį kampą. Apskritimo sektoriaus plotas

IR ratas - geometrines figūras, tarpusavyje susiję. yra ribinė trūkinė linija (kreivė) ratas,

Apibrėžimas. Apskritimas yra uždara kreivė, kurios kiekvienas taškas yra vienodu atstumu nuo taško, vadinamo apskritimo centru.

Norint sukurti apskritimą, pasirenkamas savavališkas taškas O, kuris laikomas apskritimo centru, ir kompasu nubrėžiama uždara linija.

Jei apskritimo centro taškas O yra sujungtas su savavališkais apskritimo taškais, tada visos gautos atkarpos bus lygios viena kitai, o tokios atkarpos vadinamos spinduliais, sutrumpintai lotyniška mažąja arba didžiąja raide „er“ ( r arba R). Apskritime galite nubrėžti tiek spindulių, kiek yra apskritimo ilgio taškų.

Atkarpa, jungianti du apskritimo taškus ir einanti per jo centrą, vadinama skersmeniu. Skersmuo susideda iš dviejų spinduliai, guli ant tos pačios tiesios linijos. Skersmuo žymimas lotyniška mažąja arba didžiąja raide „de“ ( d arba D).

Taisyklė. Skersmuo apskritimas yra lygus dviem jo spinduliai.

d = 2r
D = 2R

Apskritimo perimetras apskaičiuojamas pagal formulę ir priklauso nuo apskritimo spindulio (skersmens). Formulėje yra skaičius ¶, kuris parodo, kiek kartų perimetras yra didesnis už jo skersmenį. Skaičius ¶ turi begalinį skaičių po kablelio. Skaičiavimams buvo paimta ¶ = 3,14.

Apskritimo perimetras žymimas lotyniška didžiąja raide „tse“ ( C). Apskritimo perimetras proporcingas jo skersmeniui. Apskritimo perimetro apskaičiavimo pagal spindulį ir skersmenį formulės:

C = ¶d
C = 2¶r

• Pavyzdžiai
• Duota: d = 100 cm.
• Apimtis: C=3,14*100cm=314cm
• Duota: d = 25 mm.
• Perimetras: C = 2 * 3,14 * 25 = 157 mm

Apskritimo sekantas ir apskritimo lankas

Kiekviena sekantė (tiesi linija) kerta apskritimą dviejuose taškuose ir padalija jį į du lankus. Apskritimo lanko dydis priklauso nuo atstumo tarp centro ir sekanto ir matuojamas išilgai uždaros kreivės nuo pirmojo sekanto susikirtimo su apskritimu taško iki antrojo.

Arkos apskritimai yra padalinti sekantasį mažąjį ir mažąjį, jei sekantas nesutampa su skersmeniu, ir į du vienodus lankus, jei sekantas eina išilgai apskritimo skersmens.

Jei sekantas eina per apskritimo centrą, tada jo atkarpa, esanti tarp susikirtimo su apskritimu taškų, yra apskritimo skersmuo arba didžiausia apskritimo styga.

Kuo toliau nuo apskritimo centro yra sekantas, tuo mažesnis mažesnio apskritimo lanko laipsnio matas ir tuo didesnis didesnis apskritimo lankas, o atkarpos segmentas, vadinamas akordas, mažėja, kai sekantas tolsta nuo apskritimo centro.

Apibrėžimas. Apskritimas yra plokštumos dalis, esanti apskritimo viduje.

Apskritimo centras, spindulys ir skersmuo kartu yra ir atitinkamo apskritimo centras, spindulys ir skersmuo.

Kadangi apskritimas yra plokštumos dalis, vienas iš jo parametrų yra plotas.

Taisyklė. Apskritimo plotas ( S) yra lygus spindulio ( r 2) į skaičių ¶.

• Pavyzdžiai
• Duota: r = 100 cm
• Apskritimo plotas:
• S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31 400 cm 2 ≈ 3 m 2
• Duota: d = 50 mm
• Apskritimo plotas:
• S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1 963 mm 2 ≈ 20 cm 2

Jei apskritime nubrėžiate du spindulius skirtingus taškus apskritimas, tada susidaro dvi apskritimo dalys, kurios vadinamos sektoriuose. Jei nubrėžiate stygą apskritime, tada vadinama plokštumos dalis tarp lanko ir stygos apskritimo segmentas.

Nereikia mokytis apskritimo sektoriaus ploto ir atkarpos ploto! Mieli draugai!Tikriausiai ne kartą peržiūrėjote žinyną su matematinėmis formulėmis ir tikriausiai kilo mintis: „Ar tikrai įmanoma jas visas išmokti? Aš jums pasakysiu, kas įmanoma, bet kodėl? Kam pildyti galvą daugybe formulių, nuolat jas kartoti, baisėtis, kad kai kurias pamiršai ir vėl jas kartoti? Nereikia!

Tiesą sakant, užtenka prisiminti trečdalį visų formulių, pagrindines formules ar net mažiau. Toliau jūs suprasite, apie ką mes kalbame. Visas kitas formules galima greitai išvesti žinant pagrindus, taikant logiką ir prisiminus principus, kurių reikia laikytis.

Pateiksiu pavyzdį: yra 32 mažinimo formulės, kurių mokymasis yra beprasmis pratimas. Kaip greitai įsiminti bet kurį iš jų, aprašyta straipsnyje „“, pažiūrėkite.

Šiame straipsnyje apžvelgsime, kaip atmintyje greitai atkurti apskritimo sektoriaus ploto, jo atkarpos ploto ir apskritimo lanko ilgio formules. Būtent šios formulės bus reikalingos planimetrijos serijoms išspręsti, kurias analizuosime kitame straipsnyje.Taigi, „pagrindinės“ formulės, jas reikia išmokti ir žinoti!

Apskritimo plotas (formulė):

Apimties formulė:

Pavaizduokime sektorių, atitinkantį tam tikrą centrinį kampą n:

Mes svarstome logiškai: jei apskritimo plotas yra S= PR 2 , tada plotas, atitinkantis vieno laipsnio sektorių, bus lygus 1/360 apskritimo ploto (žinome, kad visas apskritimas yra 360 laipsnių kampas), tai yra

Be to, aišku, kad sektoriaus plotas, atitinkantis centrinį n laipsnių kampą, yra lygus vienos trijų šimtų šešiasdešimtosios apskritimo ploto ir centrinio kampo n sandaugai (atitinkančio sektorių) , tai yra

Čia yra sektoriaus srities formulė.

Arba galite susisteminti savo samprotavimus taip:

1 laipsnio sektorius yra atitinkamai 1/360 apskritimo, n laipsnių sektorius yra n/360 apskritimo. Tai yra, sektoriaus plotas bus lygus apskritimo ploto ir šios dalies sandaugai:

Tai paprasta. Iš sektoriaus ploto reikia atimti trikampio plotą (jis nurodytas geltona). Trikampio plotas, kaip žinome, yra lygus pusei gretimų kraštinių sandaugos ir kampo tarp jų sinuso (reikia žinoti šią formulę, tai nėrakompleksas). IN tokiu atveju Tai:

Reiškia,

Tiek apie segmento sritį!

Segmento plotas, kur centrinis kampas daugiau nei 180 laipsnių randama paprasčiausiai:

Iš apskritimo ploto atimkite gautos atkarpos plotą:

Kampas 360–n laipsnių yra kampas, atitinkantis pavaizduotą sektorių (geltona):

Tai yra, kitaip tariant, mes pridedame trikampio plotą prie jo ploto ir gauname nurodyto segmento plotą.

Panašiai nustatome apskritimo lanko ilgį. Kaip jau minėta, perimetras yra lygus:

Tai reiškia, kad vieną laipsnį atitinkančio apskritimo lanko ilgis bus lygus vienai trims šimtams šešiasdešimtajai 2πR, tai yra

Gauname apskritimo lanko ilgį. Žinoma, mokytojai suteikia šią informaciją mokiniams, o jūs nieko tokio slapto nesužinote. Bet aš tikiu, kad straipsnis jums bus naudingas.

Kartoju, kad svarbiausia žinoti apskritimo ploto ir apskritimo formules, tada veikia tik logika.

Siūlau pažiūrėti papildomą Dmitrijaus Tarasovo pamoką šia tema. Nagrinėjamos apskritimo lanko ilgio ir sektoriaus ploto formulės, kuriose centrinis kampas pateikiamas radianais.

Tai viskas. Linkiu sėkmės!!

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Apskritimas yra pagrindinė geometrijos figūra, kurios savybės mokomasi mokykloje 8 klasėje. Viena iš tipiškų problemų, susijusių su apskritimu, yra rasti tam tikros jo dalies plotą, kuris vadinamas apskritimu. Straipsnyje pateikiamos sektoriaus ploto ir jo lanko ilgio formulės, taip pat jų panaudojimo sprendžiant konkrečią problemą pavyzdys.

Apimties ir apskritimo samprata

Prieš pateikdami apskritimo sektoriaus ploto formulę, pagalvokime, kas yra nurodyta figūra. Pagal matematinį apibrėžimą apskritimas yra figūra plokštumoje, kurios visi taškai yra vienodu atstumu nuo tam tikro taško (centro).

Kalbant apie ratą, naudojama ši terminija:

• Spindulys yra atkarpa, nubrėžta nuo centro taško iki apskritimo kreivės. Paprastai jis žymimas raide R.
• Skersmuo yra linijos atkarpa, jungianti du apskritimo taškus, bet taip pat einanti per figūros centrą. Paprastai jis žymimas raide D.
• Lankas yra lenkto apskritimo dalis. Jis matuojamas ilgio vienetais arba naudojant kampus.

Apskritimas yra dar viena svarbi geometrijos figūra; tai taškų rinkinys, kurį riboja apskritimo kreivė.

Apskritimo ir apskritimo plotas

Elemento pavadinime nurodytos reikšmės apskaičiuojamos naudojant dvi paprastas formules. Jie pateikiami žemiau:

• Perimetras: L = 2*pi*R.
• Apskritimo plotas: S = pi*R 2 .

Šiose formulėse pi yra tam tikra konstanta, vadinama Pi skaičiumi. Jis yra neracionalus, tai yra, jo negalima tiksliai išreikšti paprasta trupmena. Apytikslė Pi reikšmė yra 3,1416.

Kaip matyti iš aukščiau pateiktų išraiškų, norint apskaičiuoti plotą ir ilgį, pakanka žinoti tik apskritimo spindulį.

Apskritimo sektoriaus plotas ir jo lanko ilgis

Prieš svarstydami atitinkamas formules, prisiminkime, kad geometrijos kampai paprastai išreiškiami dviem pagrindiniais būdais:

• šešiasdešimtaisiais laipsniais, kai visas apsisukimas aplink savo ašį yra 360 o;
• radianais, kurie išreiškiami skaičiaus pi dalimis ir yra susieti su laipsniais tokia lygybe: 2*pi = 360 o.

Apskritimo sektorius yra figūra, kurią riboja trys linijos: apskritimo lankas ir du spinduliai, esantys šio lanko galuose. Apvalaus sektoriaus pavyzdys parodytas toliau esančioje nuotraukoje.

Įgijus supratimą, kas yra apskritimo sektorius, nesunku suprasti, kaip apskaičiuoti jo plotą ir atitinkamo lanko ilgį. Iš aukščiau esančio paveikslo matyti, kad sektoriaus lankas atitinka kampą θ. Žinome, kad visas apskritimas atitinka 2*pi radianus, o tai reiškia, kad apskritimo sektoriaus ploto formulė bus tokia: S 1 = S*θ/(2*pi) = pi*R 2 * θ/(2*pi) = θ*R 2 /2. Čia kampas θ išreiškiamas radianais. Panaši sektoriaus ploto formulė, jei kampas θ matuojamas laipsniais, atrodys taip: S 1 = pi*θ*R 2 /360.

Sektorių formuojančio lanko ilgis apskaičiuojamas pagal formulę: L 1 = θ*2*pi*R/(2*pi) = θ*R. Ir jei θ žinomas laipsniais, tai: L 1 = pi*θ*R/180.

Problemos sprendimo pavyzdys

Naudodami paprastą uždavinį kaip pavyzdį parodysime, kaip naudoti apskritimo sektoriaus ploto ir jo lanko ilgio formules.

Yra žinoma, kad ratas turi 12 stipinų. Kai ratas padaro vieną pilną apsisukimą, jis įveikia 1,5 metro atstumą. Koks plotas yra tarp dviejų gretimų rato stipinų ir koks lanko ilgis tarp jų?

Kaip matyti iš atitinkamų formulių, norint jomis naudotis, reikia žinoti du dydžius: apskritimo spindulį ir lanko kampą. Spindulį galima apskaičiuoti remiantis žiniomis apie rato perimetrą, nes atstumas, kurį jis nuvažiuoja per vieną apsisukimą, tiksliai jį atitinka. Turime: 2*R*pi = 1,5, iš kur: R = 1,5/(2*pi) = 0,2387 metro. Kampą tarp artimiausių stipinų galima nustatyti žinant jų skaičių. Darant prielaidą, kad visi 12 stipinų tolygiai padalija apskritimą į lygius sektorius, gauname 12 vienodų sektorių. Atitinkamai, lanko tarp dviejų stipinų kampinis matas yra lygus: θ = 2*pi/12 = pi/6 = 0,5236 radiano.

Mes radome visus reikiamus dydžius, dabar galime juos pakeisti į formules ir apskaičiuoti reikšmes, kurių reikia pagal problemos sąlygą. Gauname: S 1 = 0,5236 * (0,2387) 2 /2 = 0,0149 m 2 arba 149 cm 2; L 1 = 0,5236 * 0,2387 = 0,125 m arba 12,5 cm.

„Trikampių lygybės ženklai“ - trikampių tipai. Trikampio aukštis Trikampių lygybės ženklai. Kampo trisektoriai. Bet kuris trikampis turi tris medianas. Pirmąjį trikampio ir jo savybių paminėjimą randame Egipto papirusuose. Trikampių medianų, pusiaukampių ir aukščių savybės. Lygiašonis ir lygiakraštis trikampis.

„Popieriaus lapas“ – geometrijoje popierius naudojamas: rašyti, piešti; supjaustyti; lenkti. Visi žinomas faktas Degantis popierius geometrijoje nenaudojamas. Geometrija ir popieriaus lapas. Paskalis. Iš popieriaus iškirptas trikampis. Lapelis iš sąsiuvinio. Tarp daugelio galimus veiksmus Naudojant popierių, svarbu, kad jį būtų galima pjaustyti.

"Geometrijos istorija" - Senovės Egiptas. Viduramžiai. „Principai“ susideda iš 13 knygų. Geometrijos atsiradimas ir raida. Liubačevskio geometrijoje yra trikampių su poromis lygiagrečios pusės. Senovės Graikija. Geometrijoje yra daug formulių, figūrų, teoremų, uždavinių ir aksiomų. Thalesas pristatė judėjimo, ypač sukimosi, sąvoką.

„Pitagoro teoremos įrodymas“ - teoremos reikšmė yra ta, kad iš jos arba su jos pagalba galima išvesti daugumą geometrijos teoremų. Algebrinis įrodymas. Pitagoro teoremos prasmė. Ir dabar Pitagoro teorema yra teisinga, kaip ir jo tolimame amžiuje. Pitagoro teorema yra viena iš svarbiausių geometrijos teoremų. Pitagoro teorema. Euklido įrodymas.

"Thales of Miletus" - THALES yra senovės graikų mąstytojas, senovės filosofijos ir mokslo įkūrėjas. Kartais reikia išmatuoti atstumą iki neprieinamo objekto. Atstumo nustatymas naudojant degtuką. Talis atrado metų ilgį ir padalijo jį į 365 dienas. Talis iš Mileto. Thalesas išpranašavo saulės užtemimas 585 metų gegužės 28 d

„Įprastas daugiakampis“ – ikosaedras yra labiausiai supaprastintas. Modelis saulės sistema I.Kepleris. Gyvojoje gamtoje randami reguliarūs daugiakampiai. Keplerio „Kosminė taurė“. Taisyklingasis dodekaedras paliktas iš dvylikos taisyklingų penkiakampių. Ikozaedro plokštuminių kampų suma kiekvienoje viršūnėje yra 300?. Taisyklingas ikosaedras.

Iš viso yra 41 pristatymas

Apskritimas, jo dalys, jų dydžiai ir santykiai – tai dalykai, su kuriais juvelyras nuolat susiduria. Žiedai, apyrankės, kastos, vamzdeliai, rutuliukai, spiralės – daug apvalių dalykų tenka pagaminti. Kaip visa tai apskaičiuoti, ypač jei pasisekė praleisti geometrijos pamokas mokykloje?..

Pirmiausia pažiūrėkime, kokias dalis sudaro apskritimas ir kaip jos vadinamos.

• Apskritimas yra linija, kuri gaubia apskritimą.
• Lankas yra apskritimo dalis.
• Spindulys yra atkarpa, jungianti apskritimo centrą su bet kuriuo apskritimo tašku.
• Akordas yra atkarpa, jungianti du apskritimo taškus.
• Atkarpa yra apskritimo dalis, kurią riboja styga ir lankas.
• Sektorius yra apskritimo dalis, kurią riboja du spinduliai ir lankas.

Mus dominantys kiekiai ir jų pavadinimai:

Dabar pažiūrėkime, kokias problemas, susijusias su apskritimo dalimis, reikia išspręsti.

• Raskite bet kurios žiedo dalies (apyrankės) išsivystymo ilgį. Atsižvelgdami į skersmenį ir stygą (parinktis: skersmuo ir centrinis kampas), raskite lanko ilgį.
• Yra brėžinys plokštumoje, jo dydį reikia sužinoti projekcijoje sulenkus į lanką. Atsižvelgdami į lanko ilgį ir skersmenį, raskite stygos ilgį.
• Išsiaiškinkite detalės aukštį, gautą sulenkus plokščią ruošinį į lanką. Duomenų šaltinio parinktys: lanko ilgis ir skersmuo, lanko ilgis ir styga; raskite segmento aukštį.

Gyvenimas pateiks kitų pavyzdžių, bet aš juos pateikiau tik norėdamas parodyti, kad reikia nustatyti du parametrus, kad būtų galima rasti visus kitus. Tai mes darysime. Būtent, paimsime penkis atkarpos parametrus: D, L, X, φ ir H. Tada iš jų pasirinkę visas įmanomas poras, laikysime juos pradiniais duomenimis, o visus likusius rasime minčių šturmu.

Kad be reikalo neapsunkinčiau skaitytojo, detalių sprendimų nepateiksiu, o pateiksiu tik rezultatus formulių pavidalu (tuos atvejus, kai nėra formalaus sprendimo, aptarsiu pakeliui).

Ir dar viena pastaba: apie matavimo vienetus. Visi dydžiai, išskyrus centrinį kampą, matuojami tais pačiais abstrakčiais vienetais. Tai reiškia, kad jei, pavyzdžiui, nurodysite vieną reikšmę milimetrais, tada kitos nereikia nurodyti centimetrais, o gautos vertės bus matuojamos tais pačiais milimetrais (o plotai kvadratiniais milimetrais). Tą patį galima pasakyti apie colius, pėdas ir jūrmyles.

Ir tik centrinis kampas visais atvejais matuojamas laipsniais ir niekuo kitu. Kadangi, kaip taisyklė, žmonės, kuriantys kažką apvalaus, nėra linkę matuoti kampų radianais. Frazė „kampas pi keturiais“ daugelį suklaidina, o „keturiasdešimt penkių laipsnių kampas“ yra suprantamas visiems, nes jis yra tik penkiais laipsniais didesnis nei įprasta. Tačiau visose formulėse bus dar vienas kampas – α – kaip tarpinė reikšmė. Pagal prasmę tai yra pusė centrinio kampo, išmatuoto radianais, tačiau galite drąsiai nesigilinti į šią reikšmę.

1. Duotas skersmuo D ir lanko ilgis L

; akordo ilgis ;
segmento aukštis ; centrinis kampas .

2. Duotas skersmuo D ir stygos ilgis X

; arkos ilgis ;
segmento aukštis ; centrinis kampas .

Kadangi styga padalija apskritimą į dvi atkarpas, ši problema turi ne vieną, o du sprendimus. Norėdami gauti antrąjį, aukščiau pateiktose formulėse kampą α turite pakeisti kampu .

3. Duotas skersmuo D ir centrinis kampas φ

; arkos ilgis ;
akordo ilgis ; segmento aukštis .

4. Duotas skersmuo D ir atkarpos H aukštis

; arkos ilgis ;
akordo ilgis ; centrinis kampas .

6. Duotas lanko ilgis L ir centrinis kampas φ

; skersmuo;
akordo ilgis ; segmento aukštis .

8. Duotas stygos ilgis X ir centrinis kampas φ

; arkos ilgis ;
skersmuo; segmento aukštis .

9. Duotas stygos ilgis X ir atkarpos H aukštis

; arkos ilgis ;
skersmuo; centrinis kampas .

10. Duotas centrinis kampas φ ir atkarpos H aukštis

; skersmens ;
arkos ilgis ; akordo ilgis .

Dėmesingas skaitytojas negalėjo nepastebėti, kad praleidau du variantus:

5. Duotas lanko ilgis L ir stygos ilgis X

7. Duotas lanko ilgis L ir atkarpos H aukštis

Tai tik tie du nemalonūs atvejai, kai problema neturi sprendimo, kurį būtų galima parašyti formulės forma. Ir užduotis nėra tokia reta. Pavyzdžiui, turite plokščią L ilgio gabalą ir norite jį sulenkti taip, kad jo ilgis būtų X (arba aukštis būtų H). Kokio skersmens turėčiau paimti šerdį (skersinį)?

Ši problema kyla sprendžiant lygtis:
; - 5 variante
; - 7 variante
ir nors jie negali būti išspręsti analitiškai, juos galima nesunkiai išspręsti programiškai. Ir net žinau, kur gauti tokią programą: šioje svetainėje pavadinimu . Ji daro viską, ką aš tau čia ilgai sakau, mikrosekundėmis.

Norėdami užbaigti paveikslėlį, prie mūsų skaičiavimų rezultatų pridėkite apskritimą ir tris ploto reikšmes - apskritimą, sektorių ir segmentą. (Plotai mums labai padės skaičiuojant visų apvalių ir pusapvalių dalių masę, bet daugiau apie tai atskirame straipsnyje.) Visi šie dydžiai apskaičiuojami naudojant tas pačias formules:

perimetras;
apskritimo plotas ;
sektoriaus sritis;
segmento plotas ;

Ir pabaigai leiskite man dar kartą priminti apie absoliučios egzistavimą nemokama programa, kuris atlieka visus aukščiau nurodytus skaičiavimus, todėl jums nereikia prisiminti, kas yra arktangentas ir kur jo ieškoti.