Kaip pridėti mišrias trupmenas su panašiais vardikliais. Kaip pridėti trupmenas su panašiais vardikliais

Kai kurios iš jų yra sunkiausiai suprantamos studentui skirtingus veiksmus su paprastosiomis trupmenomis. Taip yra dėl to, kad vaikams vis dar sunku mąstyti abstrakčiai, o trupmenos iš tikrųjų jiems atrodo būtent taip. Todėl, pristatydami medžiagą, mokytojai dažnai griebiasi analogijų ir trupmenų atėmimą bei sudėjimą aiškina pažodžiui ant pirštų. Nors nei viena mokyklinė matematikos pamoka neapsieina be taisyklių ir apibrėžimų.

Pagrindinės sąvokos

Prieš pradedant, patartina suprasti keletą pagrindinių apibrėžimų ir taisyklių. Iš pradžių svarbu suprasti, kas yra trupmena. Tai reiškia skaičių, kuris reiškia vieną ar daugiau vieneto dalių. Pavyzdžiui, jei kepalą supjaustysite į 8 dalis ir 3 jų riekeles įdėsite į lėkštę, tai 3/8 bus trupmena. Be to, šiame rašte tai bus paprasta trupmena, kur skaičius virš eilutės yra skaitiklis, o žemiau jo yra vardiklis. Bet jei užrašysite kaip 0,375, tai jau bus dešimtainė trupmena.

Be to, paprastos frakcijos skirstomos į tinkamas, netinkamas ir mišrias. Pirmieji apima visus tuos, kurių skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Jei, priešingai, vardiklis yra mažesnis už skaitiklį, tai jau bus netinkama trupmena. Jei prieš teisingą skaičių rašomas sveikasis skaičius, jie vadinami mišriaisiais skaičiais. Taigi trupmena 1/2 yra tinkama, bet 7/2 ne. Ir jei parašysite tokia forma: 3 1/2, tada jis taps mišrus.

Kad būtų lengviau suprasti, kas yra trupmenų pridėjimas, ir tai padaryti lengviau, toliau taip pat svarbu prisiminti jo esmę. Jei skaitiklis ir vardiklis padauginami iš to paties skaičiaus, trupmena nepasikeis. Būtent ši savybė leidžia atlikti paprastas operacijas su įprastomis ir kitomis trupmenomis. Tiesą sakant, tai reiškia, kad 1/15 ir 3/45 iš esmės yra tas pats skaičius.

Sudėjus trupmenas su panašiais vardikliais

Šio veiksmo atlikimas paprastai nesukelia didelių sunkumų. Trupmenų pridėjimas šiuo atveju yra labai panašus į panašią operaciją su sveikaisiais skaičiais. Vardiklis lieka nepakitęs, o skaitikliai tiesiog sudedami. Pavyzdžiui, jei jums reikia pridėti trupmenas 2/7 ir 3/7, tada mokyklos problemos sprendimas sąsiuvinyje bus toks:

2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7.

Be to, šį frakcijų pridėjimą galima paaiškinti naudojant paprastas pavyzdys. Paimkite įprastą obuolį ir supjaustykite, pavyzdžiui, į 8 dalis. Pirmiausia atskirai išdėliokite 3 dalis, o po to pridėkite prie jų dar 2. Dėl to puodelyje bus 5/8 viso obuolio. Pats aritmetinis uždavinys parašytas taip, kaip parodyta žemiau:

3/8 + 2/8 = (3+2)/8 = 5/8.

Tačiau dažnai kyla sudėtingesnių problemų, kai reikia sudėti, pavyzdžiui, 5/9 ir 3/5. Čia ir iškyla pirmieji sunkumai dirbant su trupmenomis. Juk sudėjus tokius skaičius reikės papildomų žinių. Dabar turėsite visiškai atsiminti pagrindinę jų savybę. Norėdami pridėti trupmenas iš pavyzdžio, pirmiausia turite jas sujungti į vieną bendrą vardiklį. Norėdami tai padaryti, jums tiesiog reikia padauginti 9 ir 5 kartu, skaitiklį "5" padauginti atitinkamai iš 5 ir "3" atitinkamai iš 9. Taigi, šios trupmenos jau pridedamos: 25/45 ir 27/45. Dabar belieka pridėti skaitiklius ir gauti atsakymą 52/45. Ant popieriaus lapo pavyzdys atrodytų taip:

5/9 + 3/5 = (5 x 5)/(9 x 5) + (3 x 9)/(5 x 9) = 25/45 + 27/45 = (25+27)/45 = 52/ 45 = 17/45.

Tačiau sudėjus trupmenas su tokiais vardikliais ne visada reikia tiesiog padauginti skaičius po eilute. Pirmiausia ieškokite mažiausio Bendras vardiklis. Pavyzdžiui, kaip trupmenoms 2/3 ir 5/6. Jiems tai bus skaičius 6. Tačiau atsakymas ne visada akivaizdus. Tokiu atveju verta prisiminti taisyklę, kaip rasti dviejų skaičių mažiausią bendrą kartotinį (sutrumpintai LCM).

Jis suprantamas kaip mažiausiai bendras dviejų sveikųjų skaičių koeficientas. Norėdami jį rasti, jie išskaido kiekvieną į pagrindinius veiksnius. Dabar užrašykite tuos iš jų, kurie rodomi bent kartą kiekviename skaičiuje. Jie padaugina juos kartu ir gauna tą patį vardiklį. Realiai viskas atrodo kiek paprasčiau.

Pavyzdžiui, reikia pridėti trupmenas 4/15 ir 1/6. Taigi, 15 gaunamas padauginus paprastus skaičius 3 ir 5, o šeši gaunamas padauginus paprastus skaičius du ir tris. Tai reiškia, kad LCM jiems bus 5 x 3 x 2 = 30. Dabar 30 padalijus iš pirmosios trupmenos vardiklio, gauname jo skaitiklio daugiklį - 2. O antrosios trupmenos tai bus skaičius 5 Taigi, belieka pridėti paprastąsias trupmenas 8/30 ir 5/30 ir gauti atsakymą 13/30. Viskas nepaprastai paprasta. Savo užrašų knygelėje šią užduotį turėtumėte užsirašyti taip:

4/15 + 1/6 = (4 x 2)/(15 x 2) + (1 x 5)/(6 x 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30.

LCM(15; 6) = 30.

Mišrių skaičių pridėjimas

Dabar, kai žinote visus pagrindinius paprastų trupmenų pridėjimo būdus, galite išbandyti sudėtingesnius pavyzdžius. Ir tai bus mišrūs skaičiai, kurie reiškia šios formos trupmeną: 2 2/3. Čia prieš parašant tinkamą trupmeną visa dalis. Ir daugelis žmonių sutrinka atlikdami veiksmus su tokiais skaičiais. Tiesą sakant, čia galioja tos pačios taisyklės.

Norėdami pridėti mišrius skaičius, atskirai pridėkite visas dalis ir tinkamas trupmenas. Ir tada šie 2 rezultatai yra sumuojami. Praktiškai viskas daug paprasčiau, tereikia šiek tiek pasitreniruoti. Pavyzdžiui, norint išspręsti problemą, reikia pridėti šiuos mišrius skaičius: 1 1/3 ir 4 2/5. Norėdami tai padaryti, pirmiausia pridėkite 1 ir 4, kad gautumėte 5. Tada pridėkite 1/3 ir 2/5 naudodami mažiausio bendro vardiklio metodus. Sprendimas bus 11/15. Ir galutinis atsakymas yra 5 11/15. Mokykliniame sąsiuvinyje jis atrodys daug trumpesnis:

1 1 / 3 + 4 2 / 5 = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5 11 / 15 .

Dešimtainių skaičių pridėjimas

Be paprastųjų trupmenų, yra ir po kablelio. Beje, jos daug dažniau pasitaiko gyvenime. Pavyzdžiui, kaina parduotuvėje dažnai atrodo taip: 20,3 rub. Tai ta pati frakcija. Žinoma, tokius sulankstyti daug lengviau nei paprastus. Iš esmės tereikia pridėti 2 įprastus skaičius, svarbiausia tai reikiamoje vietojeįdėti kablelį. Čia ir kyla sunkumų.

Pavyzdžiui, reikia pridėti 2,5 ir 0,56. Kad tai padarytumėte teisingai, pabaigoje prie pirmojo reikia pridėti nulį ir viskas bus gerai.

2,50 + 0,56 = 3,06.

Svarbu žinoti, kad bet kurį dešimtainį skaičių galima paversti trupmena, bet ne kiekvieną trupmeną galima parašyti kaip dešimtainį skaičių. Taigi iš mūsų pavyzdžio 2,5 = 2 1/2 ir 0,56 = 14/25. Tačiau tokia trupmena kaip 1/6 bus tik apytiksliai lygi 0,16667. Ta pati situacija nutiks ir su kitais panašiais skaičiais – 2/7, 1/9 ir pan.

Išvada

Daugelis moksleivių, nesuprasdami praktinės darbo su trupmenomis pusės, šią temą traktuoja nerūpestingai. Tačiau šios pagrindinės žinios leis jums nulaužti sudėtingus pavyzdžius naudojant logaritmus ir rasti išvestinių, pavyzdžiui, riešutų. Todėl verta vieną kartą nuodugniai perprasti operacijas su trupmenomis, kad vėliau nusivylęs negraužtumėte alkūnių. Juk vargu ar gimnazijos mokytojas grįš prie šios jau gvildentos temos. Bet kuris vidurinės mokyklos moksleivis turėtų sugebėti atlikti tokius pratimus.

Veiksmai su trupmenomis.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)

Taigi, kas yra trupmenos, trupmenų rūšys, transformacijos – prisiminėme. Pereikime prie pagrindinio klausimo.

Ką galite padaryti su trupmenomis? Taip, viskas taip pat, kaip ir su įprastais skaičiais. Sudėti, atimti, dauginti, padalyti.

Visi šie veiksmai su dešimtainis darbas su trupmenomis nesiskiria nuo darbo su sveikaisiais skaičiais. Tiesą sakant, tuo jie ir yra gerai, dešimtainiai. Vienintelis dalykas yra tai, kad reikia teisingai dėti kablelį.

Mišrūs skaičiai, kaip jau sakiau, yra mažai naudingi daugeliui veiksmų. Jas dar reikia paversti paprastosiomis trupmenomis.

Tačiau veiksmai su paprastosios trupmenos jie bus gudresni. Ir daug svarbiau! Leiskite man jums priminti: visi veiksmai su trupmeninėmis išraiškomis su raidėmis, sinusais, nežinomais ir tt ir tt niekuo nesiskiria nuo veiksmų su paprastomis trupmenomis! Veiksmai su paprastosiomis trupmenomis yra visos algebros pagrindas. Būtent dėl ​​šios priežasties mes čia labai detaliai išanalizuosime visą šią aritmetiką.

Trupmenų pridėjimas ir atėmimas.

Pridėkite (atimkite) trupmenas iš tie patys vardikliai visi gali (labai tikiuosi!). Na, priminsiu tiems, kurie visiškai užmiršta: pridedant (atimant) vardiklis nesikeičia. Skaitikliai sudedami (atimami), kad būtų gautas rezultato skaitiklis. Tipas:

Trumpai tariant, į bendras vaizdas:

Ką daryti, jei vardikliai skiriasi? Tada, naudodami pagrindinę trupmenos savybę (čia ji vėl praverčia!), vardiklius padarome vienodus! Pavyzdžiui:

Čia turėjome padaryti trupmeną 4/10 iš trupmenos 2/5. Vien tam, kad vardikliai būtų vienodi. Leiskite man, tik tuo atveju, pažymėti, kad 2/5 ir 4/10 yra ta pati trupmena! Tik 2/5 mums nepatogūs, o 4/10 tikrai gerai.

Beje, tai yra bet kokių matematikos uždavinių sprendimo esmė. Kai mes iš nepatogus darome išraiškas tas pats, bet patogiau spręsti.

Kitas pavyzdys:

Situacija panaši. Čia mes gauname 48 iš 16. Paprasčiausiai dauginant iš 3. Viskas aišku. Bet mes susidūrėme su tokiais dalykais kaip:

Kaip būti?! Sunku iš septynių surinkti devynetą! Bet mes protingi, žinome taisykles! Transformuokime kas trupmeną, kad vardikliai būtų vienodi. Tai vadinama „sumažinti iki bendro vardiklio“:

Oho! Iš kur aš sužinojau apie 63? Labai paprasta! 63 yra skaičius, kuris tuo pačiu metu dalijasi iš 7 ir 9. Tokį skaičių visada galima gauti padauginus vardiklius. Pavyzdžiui, jei skaičių padauginsime iš 7, rezultatas tikrai bus dalijamas iš 7!

Jei reikia pridėti (atimti) kelias trupmenas, nereikia to daryti poromis, žingsnis po žingsnio. Jums tereikia rasti visoms trupmenoms bendrą vardiklį ir kiekvieną trupmeną sumažinti iki to paties vardiklio. Pavyzdžiui:

O koks bus bendras vardiklis? Žinoma, galite padauginti iš 2, 4, 8 ir 16. Gauname 1024. Košmaras. Lengviau įvertinti, kad skaičius 16 puikiai dalijasi iš 2, 4 ir 8. Todėl iš šių skaičių nesunku gauti 16. Šis skaičius bus bendras vardiklis. Paverskime 1/2 į 8/16, 3/4 į 12/16 ir t.t.

Beje, jei imsite 1024 kaip bendrą vardiklį, viskas susitvarkys, galų gale viskas sumažės. Tačiau ne visi pasieks šį tikslą, dėl skaičiavimų...

Užbaikite pavyzdį patys. Ne koks logaritmas... Turėtų būti 29/16.

Taigi, trupmenų pridėjimas (atėmimas) aiškus, tikiuosi? Žinoma, lengviau dirbti sutrumpinta versija, su papildomais daugikliais. Bet šis malonumas prieinamas tiems, kurie sąžiningai dirbo žemesnėse klasėse... Ir nieko nepamiršo.

Ir dabar mes atliksime tuos pačius veiksmus, bet ne su trupmenomis, o su trupmeninės išraiškos. Čia bus atrastas naujas grėblys, taip...

Taigi, turime pridėti dvi trupmenines išraiškas:

Reikia, kad vardikliai būtų vienodi. Ir tik su pagalba daugyba! Tai lemia pagrindinė trupmenos savybė. Todėl aš negaliu pridėti vieneto prie X pirmoje vardiklio trupmenoje. (tai būtų puiku!). Bet jei padauginsite vardiklius, pamatysite, viskas auga kartu! Taigi užrašome trupmenos eilutę, paliekame tuščią vietą viršuje, tada pridedame, o žemiau užrašome vardklių sandaugą, kad nepamirštume:

Ir, žinoma, mes nieko nedauginame dešinėje pusėje, neatidarome skliaustų! Ir dabar, žiūrėdami į bendrą vardiklį dešinėje, suprantame: norint gauti vardiklį x(x+1) pirmoje trupmenoje, reikia šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginti iš (x+1) . O antroje trupmenoje - iki x. Štai ką jūs gaunate:

Pastaba! Štai skliaustai! Tai grėblys, ant kurio užlipa daugelis žmonių. Žinoma, ne skliausteliuose, o jų nebuvime. Skliaustai atsiranda, nes dauginamės visi skaitiklis ir visi vardiklis! Ir ne jų atskiros dalys...

Dešiniosios pusės skaitiklyje rašome skaitiklių sumą, viskas kaip skaitinėse trupmenose, tada dešinės pusės skaitiklyje skliaustus atveriame, t.y. Viską padauginame ir duodame panašius. Nereikia vardikliuose atversti skliaustų ar nieko dauginti! Apskritai vardikliuose (bet kokiuose) produktas visada yra malonesnis! Mes gauname:

Taigi mes gavome atsakymą. Procesas atrodo ilgas ir sunkus, bet tai priklauso nuo praktikos. Kai išspręsite pavyzdžius, priprasite, viskas taps paprasta. Tie, kurie įvaldė trupmenas skirtą laiką, visos šios operacijos atliekamos viena kaire ranka, automatiškai!

Ir dar viena pastaba. Daugelis protingai elgiasi su trupmenomis, bet įstringa ties pavyzdžiais visas numeriai. Patinka: 2 + 1/2 + 3/4= ? Kur tvirtinti dviejų dalių? Nereikia niekur tvirtinti, reikia padaryti trupmeną iš dviejų. Tai nėra lengva, bet labai paprasta! 2 = 2/1. Kaip šitas. Bet koks sveikas skaičius gali būti parašytas trupmena. Skaitiklis yra pats skaičius, vardiklis yra vienas. 7 yra 7/1, 3 yra 3/1 ir pan. Tas pats ir su raidėmis. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 ir kt. Ir tada mes dirbame su šiomis trupmenomis pagal visas taisykles.

Na, o trupmenų sudėjimo ir atėmimo žinios buvo atnaujintos. Buvo pakartotas trupmenų konvertavimas iš vienos rūšies į kitą. Taip pat galite pasitikrinti. Ar šiek tiek sutvarkysime?)

Apskaičiuoti:

Atsakymai (netvarkingai):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Trupmenų daugyba/dalyba – kitoje pamokoje. Taip pat yra užduočių visoms operacijoms su trupmenomis.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo taisyklės yra labai paprastos.

Žingsnis po žingsnio pažvelkime į trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo taisykles:

1. Raskite vardiklių LCM (mažiausią bendrąjį kartotinį). Gautas LCM bus bendrasis trupmenų vardiklis;

2. Sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio;

3. Sudėkite trupmenas, sumažintas iki bendro vardiklio.

Naudodamiesi paprastu pavyzdžiu, sužinosime, kaip taikyti trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo taisykles.

Pavyzdys

Trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo pavyzdys.

Pridėkite trupmenas su skirtingais vardikliais:

1	+	5
6		12

Mes nuspręsime žingsnis po žingsnio.

1. Raskite vardiklių LCM (mažiausią bendrąjį kartotinį).

Skaičius 12 dalijasi iš 6.

Iš to darome išvadą, kad 12 yra mažiausias bendras skaičių 6 ir 12 kartotinis.

Atsakymas: skaičių 6 ir 12 skaičius yra 12:

LCM(6; 12) = 12

Gautas LCM bus bendras dviejų trupmenų 1/6 ir 5/12 vardiklis.

2. Sumažinkite trupmenas iki bendro vardiklio.

Mūsų pavyzdyje tik pirmąją trupmeną reikia sumažinti iki bendro vardiklio 12, nes antroji trupmena jau turi 12 vardiklį.

Padalinkite bendrą 12 vardiklį iš pirmosios trupmenos vardiklio:

2 turi papildomą daugiklį.

Pirmosios trupmenos (1/6) skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš papildomo koeficiento 2.

Trupmenines išraiškas vaikui sunku suprasti. Dauguma žmonių turi sunkumų. Studijuodamas temą „skaidmenų su sveikaisiais skaičiais pridėjimas“, vaikas patenka į stuporą, jam sunku išspręsti problemą. Daugelyje pavyzdžių prieš atliekant veiksmą reikia atlikti daugybę skaičiavimų. Pavyzdžiui, konvertuokite trupmenas arba pakeiskite netinkamą trupmeną į tinkamą trupmeną.

Aiškiai tai paaiškinkime vaikui. Imkime tris obuolius, iš kurių du bus sveiki, o trečią supjaustykime į 4 dalis. Atskirkite vieną griežinėlį nuo supjaustyto obuolio, o likusius tris padėkite šalia dviejų sveikų vaisių. Iš vienos pusės gauname ¼ obuolio, o iš kitos – 2 ¾. Jei juos sujungsime, gausime tris obuolius. Pabandykime 2 ¾ obuolių sumažinti ¼, tai yra, nuimkite kitą griežinėlį, gausime 2 2/4 obuolių.

Pažvelkime atidžiau į operacijas su trupmenomis, kuriose yra sveikųjų skaičių:

Pirmiausia prisiminkime trupmeninių išraiškų su bendru vardikliu skaičiavimo taisyklę:

Iš pirmo žvilgsnio viskas paprasta ir paprasta. Bet tai taikoma tik posakiams, kurių nereikia konvertuoti.

Kaip rasti išraiškos vertę, kai vardikliai skiriasi

Kai kuriose užduotyse reikia rasti posakio, kuriame vardikliai skiriasi, reikšmę. Pažvelkime į konkretų atvejį:
3 2/7+6 1/3

Raskime šios išraiškos reikšmę radę bendrą dviejų trupmenų vardiklį.

Skaičiams 7 ir 3 tai yra 21. Sveikąsias dalis paliekame tokias pačias, o trupmenines dalis paverčiame iki 21, tam padauginame pirmąją trupmeną iš 3, antrąją iš 7 ir gauname:
6/21+7/21, nepamirškite, kad negalima konvertuoti ištisų dalių. Dėl to gauname dvi trupmenas su tuo pačiu vardikliu ir apskaičiuojame jų sumą:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Ką daryti, jei pridėjimo rezultatas yra netinkama trupmena, kuri jau turi sveikąją dalį:
2 1/3+3 2/3
IN tokiu atveju Sudedame visas dalis ir trupmenines dalis, gauname:
5 3/3, kaip žinote, 3/3 yra vienas, o tai reiškia 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Surasti sumą aišku, pažiūrėkime į atimtį:

Iš viso to, kas pasakyta, seka operacijų su mišriais skaičiais taisyklė:

• Jei reikia atimti sveikąjį skaičių iš trupmeninės išraiškos, antrojo skaičiaus nereikia vaizduoti trupmenos, užtenka operaciją atlikti tik su sveikosiomis dalimis.

Pabandykime patys apskaičiuoti posakių reikšmę:

Pažvelkime atidžiau į pavyzdį po raide „m“:

4 5/11-2 8/11, pirmosios trupmenos skaitiklis yra mažesnis nei antrosios. Norėdami tai padaryti, pasiskoliname vieną sveikąjį skaičių iš pirmosios trupmenos, gauname
3 5/11+11/11=3 visa 16/11, iš pirmosios trupmenos atimkite antrąją:
3 11/16-2 8/11=1 visa 8/11

• Būkite atsargūs atlikdami užduotį, nepamirškite netinkamų trupmenų paversti mišriomis trupmenomis, paryškindami visą dalį. Norėdami tai padaryti, turite padalyti skaitiklio reikšmę iš vardiklio vertės, tada tai, kas atsitiks, pakeičia visą dalį, likusi dalis bus skaitiklis, pavyzdžiui:

19/4=4 ¾, patikrinkime: 4*4+3=19, vardiklis 4 lieka nepakitęs.

Apibendrinti:

Prieš pradėdami atlikti užduotį, susijusią su trupmenomis, turite išanalizuoti, kokia tai išraiška, kokias transformacijas reikia atlikti trupmenoje, kad sprendimas būtų teisingas. Ieškokite racionalesnio sprendimo. Neik sunkiausiu keliu. Suplanuokite visus veiksmus, pirmiausia išspręskite juos juodraštyje, tada perkelkite į savo mokyklinį sąsiuvinį.

Kad išvengtumėte painiavos sprendžiant trupmenines išraiškas, turite laikytis nuoseklumo taisyklės. Viską spręskite atsargiai, neskubėdami.

Penktame amžiuje prieš Kristų senovės graikų filosofas Zenonas iš Elėjos suformulavo savo garsiąsias aporijas, iš kurių garsiausia yra „Achilo ir vėžlio“ aporija. Štai kaip tai skamba:

Tarkime, Achilas bėga dešimt kartų greičiau už vėžlį ir atsilieka nuo jo tūkstančiu žingsnių. Per tą laiką, kurio Achilui reikia nubėgti šį atstumą, vėžlys nušliaups šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Kai Achilas nubėga šimtą žingsnių, vėžlys šliaužia dar dešimt žingsnių ir t.t. Procesas tęsis iki begalybės, Achilas niekada nepasivys vėžlio.

Šis samprotavimas tapo logišku šoku visoms vėlesnėms kartoms. Aristotelis, Diogenas, Kantas, Hegelis, Hilbertas... Visi jie vienaip ar kitaip svarstė Zenono aporiją. Šokas buvo toks stiprus, kad " ... diskusijos tęsiasi iki šiol, mokslo bendruomenė dar nesugebėjo prieiti bendros nuomonės apie paradoksų esmę ... į problemos tyrimą įtraukta matematinė analizė, aibių teorija, nauji fizikiniai ir filosofiniai požiūriai. ; nė vienas iš jų netapo visuotinai priimtu problemos sprendimu..."[Wikipedia, "Zeno aporia". Visi supranta, kad yra kvailinami, bet niekas nesupranta, iš ko susideda apgaulė.

Matematiniu požiūriu Zenonas savo aporijoje aiškiai pademonstravo perėjimą nuo kiekybės prie . Šis perėjimas reiškia taikymą, o ne nuolatinį. Kiek suprantu, matematinis aparatas kintamiems matavimo vienetams naudoti arba dar nėra sukurtas, arba nebuvo pritaikytas Zenono aporijai. Taikydami savo įprastą logiką, mes patenkame į spąstus. Mes, dėl mąstymo inercijos, abipusei vertei taikome pastovius laiko vienetus. Iš fizinės pusės tai atrodo kaip laikas sulėtėjęs, kol visiškai sustoja tuo metu, kai Achilas pasiveja vėžlį. Jei laikas sustos, Achilas nebegali aplenkti vėžlio.

Jei apverstume savo įprastą logiką, viskas stoja į savo vietas. Achilas bėga pastoviu greičiu. Kiekviena paskesnė jo kelio atkarpa yra dešimt kartų trumpesnė nei ankstesnė. Atitinkamai, laikas, skirtas jai įveikti, yra dešimt kartų mažesnis nei ankstesnis. Jei šioje situacijoje pritaikytume „begalybės“ sąvoką, būtų teisinga sakyti „Achilas be galo greitai pasivys vėžlį“.

Kaip išvengti šių loginių spąstų? Laikykitės pastovių laiko vienetų ir neperjunkite prie abipusių vienetų. Zenono kalba tai atrodo taip:

Per tą laiką, kurio prireiks Achilui nubėgti tūkstantį žingsnių, vėžlys nuropos šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Per kitą laiko intervalą, lygų pirmajam, Achilas nubėgs dar tūkstantį žingsnių, o vėžlys nuropos šimtą žingsnių. Dabar Achilas aštuoniais šimtais žingsnių lenkia vėžlį.

Šis požiūris adekvačiai apibūdina tikrovę be jokių loginių paradoksų. Tačiau tai nėra visiškas problemos sprendimas. Einšteino teiginys apie šviesos greičio nenugalimą yra labai panašus į Zenono aporiją „Achilas ir vėžlys“. Dar turime studijuoti, permąstyti ir išspręsti šią problemą. Ir sprendimo reikia ieškoti ne be galo dideliais skaičiais, o matavimo vienetais.

Kita įdomi Zenono aporija pasakoja apie skraidančią strėlę:

Skraidanti strėlė yra nejudanti, nes kiekvienu laiko momentu ji yra ramybės būsenoje, o kadangi ji ilsisi kiekvienu laiko momentu, ji visada yra ramybės būsenoje.

Šioje aporijoje loginis paradoksas įveikiamas labai paprastai – pakanka paaiškinti, kad kiekvienu laiko momentu skraidanti strėlė yra skirtinguose erdvės taškuose, o tai iš tikrųjų yra judėjimas. Čia reikia atkreipti dėmesį į dar vieną dalyką. Iš vienos automobilio nuotraukos kelyje neįmanoma nustatyti nei jo judėjimo fakto, nei atstumo iki jo. Norint nustatyti, ar automobilis juda, reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš to paties taško skirtingu laiku, tačiau negalite nustatyti atstumo nuo jų. Norint nustatyti atstumą iki automobilio, reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš skirtingus taškus erdvės vienu laiko momentu, tačiau iš jų neįmanoma nustatyti judėjimo fakto (natūralu, kad skaičiavimams dar reikia papildomų duomenų, jums padės trigonometrija). Noriu atkreipti ypatingą dėmesį į tai, kad du laiko taškai ir du erdvės taškai yra skirtingi dalykai, kurių nereikėtų painioti, nes jie suteikia skirtingas tyrimo galimybes.

2018 m. liepos 4 d., trečiadienis

Vikipedijoje labai gerai aprašyti rinkinio ir kelių rinkinių skirtumai. Pažiūrėkime.

Kaip matote, „rinkinyje negali būti dviejų identiškų elementų“, tačiau jei rinkinyje yra identiškų elementų, toks rinkinys vadinamas „multisetu“. Protingos būtybės niekada nesupras tokios absurdiškos logikos. Tai yra lygis kalbančios papūgos ir dresuotos beždžionės, kurios neturi intelekto nuo žodžio „visiškai“. Matematikai veikia kaip paprasti treneriai, skelbiantys mums savo absurdiškas idėjas.

Kadaise tiltą statę inžinieriai, bandydami tiltą, buvo valtyje po tiltu. Jei tiltas sugriuvo, vidutinis inžinierius mirė po savo kūrinio griuvėsiais. Jei tiltas atlaikė apkrovą, talentingas inžinierius pastatė kitus tiltus.

Kad ir kaip matematikai slepiasi po fraze „mink mane, aš esu namuose“, tiksliau, „matematika tiria abstrakčias sąvokas“, yra viena virkštelė, kuri jas neatsiejamai sieja su tikrove. Ši virkštelė yra pinigai. Taikykime matematinių aibių teoriją patiems matematikams.

Labai gerai mokėmės matematikos, o dabar sėdime prie kasos, išduodame atlyginimus. Taigi matematikas ateina pas mus už savo pinigus. Suskaičiuojame jam visą sumą ir išdėliojame ant savo stalo į skirtingas krūvas, į kurias dedame to paties nominalo kupiūras. Tada paimame vieną sąskaitą iš kiekvienos krūvos ir pateikiame matematikui jo „matematinį atlyginimo rinkinį“. Paaiškinkime matematikui, kad likusias sąskaitas jis gaus tik tada, kai įrodys, kad aibė be identiškų elementų nėra lygi aibei su identiškais elementais. Čia ir prasideda linksmybės.

Visų pirma, pasiteisins deputatų logika: „Tai gali būti taikoma kitiems, bet ne man! Tada jie pradės mus raminti, kad to paties nominalo banknotai turi skirtingus vekselių numerius, o tai reiškia, kad jie negali būti laikomi tais pačiais elementais. Gerai, skaičiuokime atlyginimus monetomis – ant monetų nėra skaičių. Čia matematikas pradės pašėlusiai prisiminti fiziką: skirtingos monetos turi skirtingą kiekį nešvarumų, kiekvienos monetos kristalinė struktūra ir atomų išsidėstymas savitas...

O dabar turiu daugiausia palūkanos Klausti: kur yra ta linija, už kurios multiaibės elementai virsta aibės elementais ir atvirkščiai? Tokios linijos nėra – viską sprendžia šamanai, mokslas čia nė iš tolo nemeluoja.

Paziurek cia. Mes pasirenkame futbolo stadionus, kurių aikštės plotas yra toks pat. Laukų plotai vienodi – tai reiškia, kad turime multiset. Bet jei pažiūrėtume į tų pačių stadionų pavadinimus, gautume daug, nes pavadinimai skirtingi. Kaip matote, tas pats elementų rinkinys yra ir rinkinys, ir kelių rinkinys. Kuris yra teisingas? O štai matematikas-šamanas-aštrininkas iš rankovės išsitraukia kozirių tūzą ir pradeda pasakoti arba apie rinkinį, arba apie multisetą. Bet kokiu atveju jis įtikins mus, kad yra teisus.

Norint suprasti, kaip šiuolaikiniai šamanai operuoja su aibių teorija, siedami ją su realybe, pakanka atsakyti į vieną klausimą: kuo vienos aibės elementai skiriasi nuo kitos aibės elementų? Aš jums parodysiu be jokių „neįsivaizduojamų kaip viena visuma“ ar „neįsivaizduojama kaip viena visuma“.

2018 m. kovo 18 d., sekmadienis

Skaičiaus skaitmenų suma – tai šamanų šokis su tamburinu, neturintis nieko bendro su matematika. Taip, matematikos pamokose mus moko rasti skaičiaus skaitmenų sumą ir ja naudotis, bet štai kodėl jie yra šamanai, mokyti savo palikuonis savo įgūdžių ir išminties, kitaip šamanai tiesiog išmirs.

Ar jums reikia įrodymų? Atidarykite Vikipediją ir pabandykite rasti puslapį „Skaičiaus skaitmenų suma“. Ji neegzistuoja. Matematikoje nėra formulės, pagal kurią būtų galima rasti bet kurio skaičiaus skaitmenų sumą. Juk skaičiai yra grafiniai simboliai, kuriais rašome skaičius, o matematikos kalba užduotis skamba taip: „Suraskite bet kurį skaičių grafinių simbolių sumą“. Matematikai negali išspręsti šios problemos, bet šamanai gali tai padaryti lengvai.

Išsiaiškinkime, ką ir kaip darome, kad surastume tam tikro skaičiaus skaitmenų sumą. Taigi, turėkime skaičių 12345. Ką reikia padaryti, norint rasti šio skaičiaus skaitmenų sumą? Apsvarstykime visus veiksmus eilės tvarka.

1. Užrašykite numerį ant popieriaus lapo. Ką mes padarėme? Mes konvertavome skaičių į grafinį skaičiaus simbolį. Tai nėra matematinė operacija.

2. Vieną gautą paveikslėlį supjaustome į kelias nuotraukas, kuriose yra atskiri skaičiai. Paveikslėlio iškirpimas nėra matematinis veiksmas.

3. Konvertuokite atskirus grafinius simbolius į skaičius. Tai nėra matematinė operacija.

4. Sudėkite gautus skaičius. Dabar tai yra matematika.

Skaičiaus 12345 skaitmenų suma yra 15. Tai šamanų mokomi „kirpimo ir siuvimo kursai“, kuriuos naudoja matematikai. Bet tai dar ne viskas.

Matematiniu požiūriu nesvarbu, kurioje skaičių sistemoje rašome skaičių. Taigi, į skirtingos sistemos Skaičiuojant to paties skaičiaus skaitmenų suma bus skirtinga. Matematikoje skaičių sistema nurodoma kaip indeksas dešinėje nuo skaičiaus. SU didelis skaičius 12345 Nenoriu suklaidinti galvos, pažiūrėkime į skaičių 26 iš straipsnio apie . Parašykime šį skaičių dvejetainėje, aštuntainėje, dešimtainėje ir šešioliktainėje skaičių sistemomis. Mes nežiūrėsime į kiekvieną žingsnį pro mikroskopą, mes jau tai padarėme. Pažiūrėkime į rezultatą.

Kaip matote, skirtingose ​​skaičių sistemose to paties skaičiaus skaitmenų suma skiriasi. Šis rezultatas neturi nieko bendra su matematika. Tai tas pats, kaip jei nustatytumėte stačiakampio plotą metrais ir centimetrais, gautumėte visiškai skirtingus rezultatus.

Nulis visose skaičių sistemose atrodo vienodai ir neturi skaitmenų sumos. Tai dar vienas argumentas už tai, kad. Klausimas matematikams: kaip matematikoje yra įvardijamas tai, kas nėra skaičius? O matematikams nieko nėra, išskyrus skaičius? Galiu tai leisti šamanams, bet ne mokslininkams. Realybė yra ne tik skaičiai.

Gautas rezultatas turėtų būti laikomas įrodymu, kad skaičių sistemos yra skaičių matavimo vienetai. Juk negalime lyginti skaičių su skirtingais matavimo vienetais. Jei tie patys veiksmai su skirtingais to paties dydžio matavimo vienetais, juos palyginus, duoda skirtingus rezultatus, tai su matematika neturi nieko bendra.

Kas yra tikroji matematika? Tai yra tada, kai matematinės operacijos rezultatas nepriklauso nuo skaičiaus dydžio, naudojamo matavimo vieneto ir nuo to, kas atlieka šį veiksmą.

Užrašas ant durų Jis atidaro duris ir sako:

Oi! Ar tai ne moterų tualetas?
- Jauna moteris! Tai laboratorija, skirta sielų nedefiliniam šventumui joms kylant į dangų tirti! Halo viršuje ir rodyklė aukštyn. Koks dar tualetas?

Moteriška... Aureole viršuje ir rodyklė žemyn yra vyriškos lyties.

Jei toks dizaino meno kūrinys prieš akis blyksteli kelis kartus per dieną,

Tada nenuostabu, kad staiga savo automobilyje randate keistą piktogramą:

Asmeniškai aš stengiuosi pamatyti minus keturis laipsnius kakiančio žmogaus (viena nuotrauka) (kelių paveikslėlių kompozicija: minuso ženklas, skaičius keturi, laipsnių žymėjimas). Ir nemanau, kad ši mergina yra kvailė, kuri neišmano fizikos. Ji tiesiog turi stiprų grafinių vaizdų suvokimo stereotipą. Ir matematikai mus nuolat to moko. Štai pavyzdys.

1A nėra „minus keturi laipsniai“ arba „vienas a“. Tai yra „pooping man“ arba skaičius „dvidešimt šeši“ šešioliktaine tvarka. Tie žmonės, kurie nuolat dirba šioje skaičių sistemoje, skaičių ir raidę automatiškai suvokia kaip vieną grafinį simbolį.