Gretimos kojos santykis su hipotenuze. Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimas

Šiame straipsnyje mes išsamiai apžvelgsime. Pagrindinės trigonometrinės tapatybės yra lygybės, kurios nustato ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento ir leidžia rasti bet kurią iš šių trigonometrinių funkcijų per žinomą kitą.

Iškart išvardinkime pagrindines trigonometrines tapatybes, kurias analizuosime šiame straipsnyje. Surašykime jas į lentelę, o žemiau pateiksime šių formulių išvestį ir pateiksime reikiamus paaiškinimus.

Puslapio naršymas.

Ryšys tarp vieno kampo sinuso ir kosinuso

Kartais jie kalba ne apie pagrindines trigonometrines tapatybes, išvardytas aukščiau esančioje lentelėje, o apie vieną vienintelį pagrindinė trigonometrinė tapatybė malonus . Šio fakto paaiškinimas yra gana paprastas: lygybės gaunamos iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės, padalijus abi jos dalis atitinkamai iš ir iš lygybių. Ir išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Apie tai plačiau pakalbėsime tolesnėse pastraipose.

Tai yra, ypač domina lygybė, kuriai buvo suteiktas pagrindinės trigonometrinės tapatybės pavadinimas.

Prieš įrodydami pagrindinį trigonometrinį tapatumą, pateikiame jo formuluotę: vieno kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma yra identiškai lygi vienetui. Dabar įrodykime.

Pagrindinė trigonometrinė tapatybė labai dažnai naudojama, kai trigonometrinių išraiškų konvertavimas. Tai leidžia vieno kampo sinuso ir kosinuso kvadratų sumą pakeisti vienu. Ne mažiau dažnai pagrindinė trigonometrinė tapatybė naudojama atvirkštine tvarka: vienetas pakeičiamas bet kurio kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma.

Tangentas ir kotangentas per sinusą ir kosinusą

Tapatybės, jungiančios liestinę ir kotangentą su vieno matymo kampo sinusu ir kosinusu ir iš karto išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Iš tiesų, pagal apibrėžimą sinusas yra y ordinatė, kosinusas yra x abscisė, liestinė yra ordinatės ir abscisės santykis, tai yra, , o kotangentas yra abscisių ir ordinačių santykis, ty .

Dėl tokio tapatybių akivaizdumo ir Tangentas ir kotangentas dažnai apibrėžiami ne per abscisių ir ordinačių santykį, o per sinuso ir kosinuso santykį. Taigi kampo liestinė yra sinuso ir šio kampo kosinuso santykis, o kotangentas yra kosinuso ir sinuso santykis.

Baigiant šią pastraipą, reikia pažymėti, kad tapatybės ir vyksta visiems kampams, kuriais į juos įtraukti elementai trigonometrinės funkcijos logiška. Taigi formulė galioja bet kuriai , išskyrus (kitaip vardiklis turės nulį, o dalybos iš nulio neapibrėžėme), o formulė - visiems , skiriasi nuo , kur z yra bet kuris .

Ryšys tarp liestinės ir kotangento

Dar akivaizdesnė trigonometrinė tapatybė nei ankstesnės dvi yra tapatybė, jungianti vieno formos kampo liestinę ir kotangentą . Akivaizdu, kad jis galioja bet kokiems kampams, išskyrus , kitaip nei liestinė, nei kotangentas nėra apibrėžti.

Formulės įrodymas labai paprasta. Pagal apibrėžimą ir iš kur . Įrodinėjimas galėjo būti atliktas kiek kitaip. Nuo , Tai .

Taigi, to paties kampo, kuriuo jie turi prasmę, liestinė ir kotangentas yra .

Trigonometrija yra matematikos mokslo šaka, tirianti trigonometrines funkcijas ir jų panaudojimą geometrijoje. Trigonometrijos raida prasidėjo senovės Graikijoje. Viduramžiais Artimųjų Rytų ir Indijos mokslininkai labai prisidėjo prie šio mokslo plėtros.

Šis straipsnis skirtas pagrindinėms trigonometrijos sąvokoms ir apibrėžimams. Jame aptariami pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimai: sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas. Jų reikšmė paaiškinama ir iliustruojama geometrijos kontekste.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Iš pradžių trigonometrinių funkcijų, kurių argumentas yra kampas, apibrėžimai buvo išreikšti stačiojo trikampio kraštinių santykiu.

Trigonometrinių funkcijų apibrėžimai

Kampo sinusas (sin α) yra kojos, esančios priešingos šiam kampui, santykis su hipotenuze.

Kampo kosinusas (cos α) – gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.

Kampo liestinė (t g α) – priešingos pusės ir gretimos kraštinės santykis.

Kampo kotangentas (c t g α) – gretimos kraštinės ir priešingos pusės santykis.

Šie apibrėžimai pateikti stačiojo trikampio smailiam kampui!

Pateikime iliustraciją.

Trikampyje ABC su stačiu kampu C kampo A sinusas yra lygus kojos BC ir hipotenuzės AB santykiui.

Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai leidžia apskaičiuoti šių funkcijų reikšmes iš žinomų trikampio kraštinių ilgių.

Svarbu atsiminti!

Sinuso ir kosinuso reikšmių diapazonas yra nuo -1 iki 1. Kitaip tariant, sinusas ir kosinusas turi reikšmes nuo -1 iki 1. Tangento ir kotangento verčių diapazonas yra visa skaičių eilutė, tai yra, šios funkcijos gali įgyti bet kokias reikšmes.

Aukščiau pateikti apibrėžimai taikomi smailiesiems kampams. Trigonometrijoje įvedama sukimosi kampo samprata, kurios reikšmė, skirtingai nuo smailaus kampo, neapsiriboja nuo 0 iki 90 laipsnių.. Sukimosi kampas laipsniais arba radianais išreiškiamas bet kokiu realiu skaičiumi nuo - ∞ iki + ∞ .

Šiame kontekste galime apibrėžti savavališko dydžio kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą. Įsivaizduokime vienetinį apskritimą, kurio centras yra Dekarto koordinačių sistemos pradžioje.

Pradinis taškas A su koordinatėmis (1, 0) sukasi aplink vienetinio apskritimo centrą tam tikru kampu α ir eina į tašką A 1. Apibrėžimas pateiktas taško A 1 (x, y) koordinatėmis.

Sukimosi kampo sinusas (sin).

Sukimosi kampo α sinusas yra taško A 1 (x, y) ordinatė. sin α = y

Sukimosi kampo kosinusas (cos).

Sukimosi kampo α kosinusas yra taško A 1 (x, y) abscisė. cos α = x

Sukimosi kampo liestinė (tg).

Sukimosi kampo α liestinė yra taško A 1 (x, y) ordinatės ir jo abscisės santykis. t g α = y x

Sukimosi kampo kotangentas (ctg).

Sukimosi kampo α kotangentas yra taško A 1 (x, y) abscisių ir jo ordinatės santykis. c t g α = x y

Sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kokiam sukimosi kampui. Tai logiška, nes taško abscisė ir ordinatė po pasukimo gali būti nustatomos bet kokiu kampu. Kitokia situacija yra su tangentu ir kotangentu. Liestinė neapibrėžta, kai taškas po pasukimo eina į tašką, kurio abscisės nulinės (0, 1) ir (0, - 1). Tokiais atvejais liestinės t g α = y x išraiška tiesiog neturi prasmės, nes joje yra dalijimas iš nulio. Panaši situacija ir su kotangentu. Skirtumas tas, kad kotangentas neapibrėžiamas tais atvejais, kai taško ordinatė eina į nulį.

Svarbu atsiminti!

Sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kokiems kampams α.

Liestinė apibrėžta visiems kampams, išskyrus α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangentas apibrėžiamas visiems kampams, išskyrus α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Spręsdami praktinius pavyzdžius nesakykite „sukimosi kampo sinuso α“. Žodžiai „sukimosi kampas“ tiesiog praleisti, o tai reiškia, kad iš konteksto jau aišku, apie ką kalbama.

Skaičiai

O kaip su skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimu, o ne sukimosi kampu?

Skaičiaus sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas

Skaičiaus sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas t yra skaičius, kuris yra atitinkamai lygus sinusui, kosinusui, tangentui ir kotangentui in t radianas.

Pavyzdžiui, skaičiaus 10 sinusas π lygus sinusui sukimosi kampas 10 π rad.

Yra ir kitas skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento nustatymo būdas. Pažvelkime į tai atidžiau.

bet kas tikras numeris t vienetinio apskritimo taškas yra susietas su centru stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos pradžioje. Sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas nustatomi per šio taško koordinates.

Apskritimo pradžios taškas yra taškas A su koordinatėmis (1, 0).

Teigiamas skaičius t

Neigiamas skaičius t atitinka tašką, į kurį eis pradžios taškas, jei jis judės aplink apskritimą prieš laikrodžio rodyklę ir praeis kelią t.

Dabar, kai nustatytas ryšys tarp skaičiaus ir apskritimo taško, pereiname prie sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo.

Sine (nuodėmė) iš t

Skaičiaus sinusas t- skaičių atitinkančio vienetinio apskritimo taško ordinatė t. sin t = y

Kosinusas (cos) iš t

Skaičiaus kosinusas t- skaičių atitinkančio vienetinio apskritimo taško abscisė t. cos t = x

t liestinė (tg).

Skaičiaus liestinė t- skaičių atitinkančio vienetinio apskritimo taško ordinatės ir abscisių santykis t. t g t = y x = sin t cos t

Naujausi apibrėžimai atitinka šios pastraipos pradžioje pateiktą apibrėžimą ir jam neprieštarauja. Taškas ant apskritimo, atitinkančio skaičių t, sutampa su tašku, į kurį eina pradžios taškas, pasukus kampu t radianas.

Kampinio ir skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos

Kiekviena kampo α reikšmė atitinka tam tikrą šio kampo sinuso ir kosinuso reikšmę. Kaip ir visi kampai α, išskyrus α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) atitinka tam tikrą liestinės reikšmę. Kotangentas, kaip nurodyta aukščiau, apibrėžiamas visiems α, išskyrus α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Galime sakyti, kad sin α, cos α, t g α, c t g α yra kampo alfa funkcijos arba kampinio argumento funkcijos.

Panašiai galime kalbėti apie sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą kaip skaitinio argumento funkcijas. Kiekvienas tikrasis skaičius t atitinka tam tikrą skaičiaus sinuso arba kosinuso reikšmę t. Visi skaičiai, išskyrus π 2 + π · k, k ∈ Z, atitinka liestinės reikšmę. Kotangentas taip pat apibrėžiamas visiems skaičiams, išskyrus π · k, k ∈ Z.

Pagrindinės trigonometrijos funkcijos

Sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas yra pagrindinės trigonometrinės funkcijos.

Iš konteksto dažniausiai aišku, su kokiu trigonometrinės funkcijos argumentu (kampiniu ar skaitiniu argumentu) mes susiduriame.

Grįžkime prie pačioje pradžioje pateiktų apibrėžimų ir alfa kampo, kuris yra diapazone nuo 0 iki 90 laipsnių. Trigonometriniai sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai visiškai atitinka geometrinius apibrėžimus, pateiktus stačiojo trikampio kraštinių santykiu. Parodykime.

Paimkime vienetinį apskritimą su centru stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje. Pradinį tašką A (1, 0) pasukime iki 90 laipsnių kampu ir iš gauto taško A 1 (x, y) nubrėžkime statmeną abscisių ašiai. Gautame stačiakampyje kampas A 1 O H lygus kampui posūkis α, kojos ilgis O H lygus taško A 1 (x, y) abscisei. Priešingos kampo kojos ilgis yra lygus taško A 1 (x, y) ordinatėms, o hipotenuzės ilgis yra lygus vienetui, nes tai yra vienetinio apskritimo spindulys.

Pagal geometrijos apibrėžimą kampo α sinusas yra lygus priešingos pusės ir hipotenuzės santykiui.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Tai reiškia, kad stačiojo trikampio smailaus kampo sinuso nustatymas pagal kraštinių santykį yra tolygus sukimosi kampo α sinuso nustatymui, kai alfa yra intervale nuo 0 iki 90 laipsnių.

Panašiai galima parodyti kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų atitiktį.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Sinusas yra viena iš pagrindinių trigonometrinių funkcijų, kurios naudojimas neapsiriboja vien geometrija. Trigonometrinių funkcijų skaičiavimo lentelės, kaip ir inžineriniai skaičiuotuvai, ne visada yra po ranka, o sinuso skaičiavimas kartais reikalingas sprendžiant įvairias problemas. Apskritai sinuso apskaičiavimas padės įtvirtinti piešimo įgūdžius ir žinias apie trigonometrines tapatybes.

Žaidimai su liniuote ir pieštuku

Paprasta užduotis: kaip rasti ant popieriaus nupiešto kampo sinusą? Norėdami išspręsti, jums reikės įprastos liniuotės, trikampio (arba kompaso) ir pieštuko. Paprasčiausias būdas apskaičiuoti kampo sinusą yra padalijus tolimąją trikampio koją su stačiu kampu iš ilgosios kraštinės - hipotenuzos. Taigi, pirmiausia turite užbaigti smailųjį kampą iki stačiojo trikampio formos, nubrėždami liniją, statmeną vienam iš spindulių savavališku atstumu nuo kampo viršūnės. Mums reikės išlaikyti lygiai 90 ° kampą, tam mums reikia kanceliarinio trikampio.

Kompaso naudojimas yra šiek tiek tikslesnis, tačiau užtruks daugiau laiko. Viename iš spindulių reikia pažymėti 2 taškus tam tikru atstumu, nustatyti kompaso spindulį, maždaug lygų atstumui tarp taškų, ir nubrėžti puslankius su centrais šiuose taškuose, kol bus gautos šių linijų sankirtos. Sujungę savo apskritimų susikirtimo taškus vienas su kitu, gauname griežtą statmeną savo kampo spinduliui; belieka pratęsti liniją, kol ji susikirs su kitu spinduliu.

Gautame trikampyje liniuote reikia išmatuoti kampui priešingą pusę ir ilgąją vieno iš spindulių kraštą. Pirmojo ir antrojo matmens santykis bus norima smailiojo kampo sinuso vertė.

Raskite sinusą didesniam nei 90° kampui

Buku kampu užduotis nėra daug sunkesnė. Turime nubrėžti spindulį iš viršūnės priešinga kryptimi, naudodami liniuotę, kad sudarytume tiesią liniją su vienu iš mus dominančio kampo spindulių. Su gautais aštrus kampas turėtų elgtis taip, kaip aprašyta aukščiau, sinusai gretimų kampų, kartu sudaro 180° atvirkštinį kampą, yra lygūs.

Sinuso skaičiavimas naudojant kitas trigonometrines funkcijas

Taip pat apskaičiuoti sinusą galima, jei žinomos kitų kampo trigonometrinių funkcijų reikšmės arba bent trikampio kraštinių ilgiai. Trigonometrinės tapatybės mums tai padės. Pažvelkime į bendrus pavyzdžius.

Kaip rasti sinusą su žinomu kampo kosinusu? Pirmoji trigonometrinė tapatybė, pagrįsta Pitagoro teorema, teigia, kad to paties kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma yra lygi vienetui.

Kaip rasti sinusą su žinoma kampo liestinė? Liestinė gaunama dalijant tolimąją pusę iš artimosios arba sinusą dalijant iš kosinuso. Taigi sinusas bus kosinuso ir liestinės sandauga, o sinuso kvadratas bus šios sandaugos kvadratas. Kvadratinį kosinusą pakeičiame skirtumu tarp vieno ir kvadratinio sinuso pagal pirmąjį trigonometrinė tapatybė ir paprastomis manipuliacijomis lygtį sumažiname iki kvadratinio sinuso apskaičiavimo per liestinę; atitinkamai, norėdami apskaičiuoti sinusą, turėsite išgauti gauto rezultato šaknį.

Kaip rasti sinusą su žinomu kampo kotangentu? Kotangento reikšmę galima apskaičiuoti padalijus arčiausiai kampo esančios kojos ilgį iš tolimosios ilgio, taip pat padalijus kosinusą iš sinuso, tai yra, kotangentas yra funkcija, atvirkštinė liestinės santykinei. į skaičių 1. Norėdami apskaičiuoti sinusą, tangentą galite apskaičiuoti naudodami formulę tg α = 1 / ctg α ir naudoti antrojo varianto formulę. Taip pat galite gauti tiesioginę formulę pagal analogiją su tangentu, kuri atrodys taip.

Kaip rasti trijų trikampio kraštinių sinusą

Yra formulė, pagal kurią galima rasti bet kurio trikampio, o ne tik stačiakampio, nežinomos kraštinės ilgį iš dviejų žinomų kraštinių, naudojant priešingo kampo kosinuso trigonometrinę funkciją. Ji atrodo taip.

Na, o sinusą galima toliau skaičiuoti iš kosinuso pagal aukščiau pateiktas formules.

Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių, kuriame rasite naudingiausių išteklių

Sinusas, kosinusas, tangentas, kotangentas

Sinuso (), kosinuso (), liestinės (), kotangento () sąvokos yra neatsiejamai susijusios su kampo sąvoka. Norėdami gerai suprasti šias, iš pirmo žvilgsnio, sudėtingas sąvokas (kurios daugeliui moksleivių kelia siaubą) ir įsitikinti, kad „velnias nėra toks baisus, koks jis yra nupieštas“, pradėkime nuo pradžioje ir suprasti kampo sąvoką.

Kampo samprata: radianas, laipsnis

Pažiūrėkime į paveikslėlį. Vektorius tam tikru dydžiu „pasuko“ taško atžvilgiu. Taigi šio sukimosi matas pradinės padėties atžvilgiu bus kampas.

Ką dar reikia žinoti apie kampo sąvoką? Na, žinoma, kampo vienetai!

Kampas tiek geometrijoje, tiek trigonometrijoje gali būti matuojamas laipsniais ir radianais.

Vadinamas (vieno laipsnio) kampas centrinis kampas apskritime, remiantis apskritimo lanku, lygiu apskritimo daliai. Taigi visas apskritimas susideda iš apskritimo lankų „gabalų“ arba apskritimo aprašytas kampas yra lygus.

Tai yra, aukščiau pateiktame paveikslėlyje parodytas kampas, lygus, tai yra, šis kampas remiasi apskritimo lanku, kurio dydis yra apskritimas.

Kampas radianais yra centrinis apskritimo kampas, sudarytas iš apskritimo lanko, kurio ilgis lygus apskritimo spinduliui. Na, ar sugalvojai? Jei ne, tada išsiaiškinkime tai iš piešinio.

Taigi paveiksle parodytas kampas, lygus radianui, tai yra, šis kampas remiasi apskritimo lanku, kurio ilgis lygus apskritimo spinduliui (ilgis lygus ilgiui arba spindulys lygus lanko ilgis). Taigi, lanko ilgis apskaičiuojamas pagal formulę:

Kur yra centrinis kampas radianais.

Na, žinodamas tai, ar galite atsakyti, kiek radianų yra apskritimo aprašytame kampe? Taip, tam reikia atsiminti apskritimo formulę. Štai ji:

Na, dabar suderinkime šias dvi formules ir išsiaiškinkime, kad apskritimu aprašytas kampas yra lygus. Tai yra, koreliuodami vertę laipsniais ir radianais, mes tai gauname. Atitinkamai,. Kaip matote, skirtingai nei "laipsniai", žodis "radianas" yra praleistas, nes matavimo vienetas paprastai yra aiškus iš konteksto.

Kiek yra radianų? Teisingai!

Supratau? Tada eikite į priekį ir pataisykite:

Turite sunkumų? Tada žiūrėk atsakymai:

Statusis trikampis: sinusas, kosinusas, liestinė, kampo kotangentas

Taigi, mes išsiaiškinome kampo sąvoką. Bet kas yra kampo sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas? Išsiaiškinkime. Norėdami tai padaryti, mums padės stačiakampis trikampis.

Kaip vadinamos stačiojo trikampio kraštinės? Teisingai, hipotenuzė ir kojos: hipotenuzė yra pusė, esanti priešais stačią kampą (mūsų pavyzdyje tai yra pusė); kojos yra dvi likusios pusės ir (gretimos stačiu kampu), ir, jei atsižvelgsime į kojas kampo atžvilgiu, tada koja yra gretima, o koja yra priešinga. Taigi, dabar atsakykime į klausimą: kas yra kampo sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas?

Kampo sinusas- tai yra priešingos (tolimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Mūsų trikampyje.

Kampo kosinusas- tai yra gretimos (artimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Mūsų trikampyje.

Kampo liestinė- tai priešingos (tolimos) pusės ir gretimos (artimos) santykis.

Mūsų trikampyje.

Kampo kotangentas- tai gretimos (artimos) kojos ir priešingos (toli) santykis.

Mūsų trikampyje.

Šie apibrėžimai yra būtini Prisiminti! Kad būtų lengviau atsiminti, kurią koją į ką padalyti, turite tai aiškiai suprasti liestinė Ir kotangentas sėdi tik kojos, o hipotenuzė atsiranda tik viduje sinusas Ir kosinusas. Ir tada jūs galite sugalvoti asociacijų grandinę. Pavyzdžiui, šis:

Kosinusas→lietimas→lietimas→gretima;

Kotangentas→lietimas→lietimas→gretima.

Visų pirma, reikia atsiminti, kad sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, nes trikampio kraštinių santykiai nepriklauso nuo šių kraštinių ilgių (tuo pačiu kampu). Netikiu? Tada įsitikinkite, žiūrėdami į paveikslėlį:

Apsvarstykite, pavyzdžiui, kampo kosinusą. Pagal apibrėžimą iš trikampio: , bet kampo kosinusą galime apskaičiuoti iš trikampio: . Matote, kraštinių ilgiai skirtingi, bet vieno kampo kosinuso reikšmė vienoda. Taigi sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės priklauso tik nuo kampo dydžio.

Jei suprantate apibrėžimus, eikite į priekį ir sutvirtinkite juos!

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytam trikampiui randame.

Na, ar gavai? Tada pabandykite patys: apskaičiuokite tą patį kampą.

Vienetinis (trigonometrinis) apskritimas

Suprasdami laipsnių ir radianų sąvokas, laikėme apskritimą, kurio spindulys lygus. Toks ratas vadinamas vienišas. Tai bus labai naudinga studijuojant trigonometriją. Todėl pažvelkime į tai šiek tiek išsamiau.

Kaip matote, šis apskritimas sudarytas Dekarto koordinačių sistemoje. Apskritimo spindulys lygus vienetui, o apskritimo centras yra koordinačių pradžioje, spindulio vektoriaus pradinė padėtis fiksuojama išilgai teigiamos ašies krypties (mūsų pavyzdyje tai yra spindulys).

Kiekvienas apskritimo taškas atitinka du skaičius: ašies koordinatę ir ašies koordinatę. Kas yra šie koordinačių skaičiai? Ir apskritai, ką jie turi bendro su nagrinėjama tema? Norėdami tai padaryti, turime atsiminti apie svarstomą stačiakampį trikampį. Viršuje esančiame paveikslėlyje galite pamatyti du ištisus stačiuosius trikampius. Apsvarstykite trikampį. Jis yra stačiakampis, nes yra statmenas ašiai.

Kam lygus trikampis? Teisingai. Be to, mes žinome, kad yra vieneto apskritimo spindulys, o tai reiškia . Pakeiskime šią reikšmę kosinuso formulėje. Štai kas nutinka:

Kam lygus trikampis? Na žinoma, ! Pakeiskite spindulio reikšmę į šią formulę ir gaukite:

Taigi, ar galite pasakyti, kokias koordinates turi apskritimui priklausantis taškas? Na, niekaip? Ką daryti, jei jūs tai suprantate ir esate tik skaičiai? Kurią koordinatę ji atitinka? Na, žinoma, koordinatės! O kokią koordinatę tai atitinka? Teisingai, koordinatės! Taigi, taškas.

Kas tada yra ir kas yra lygūs? Teisingai, naudokime atitinkamus liestinės ir kotangento apibrėžimus ir gaukime, kad a.

O jei kampas didesnis? Pavyzdžiui, kaip šiame paveikslėlyje:

Kas pasikeitė šiame pavyzdyje? Išsiaiškinkime. Norėdami tai padaryti, vėl pasukite į stačiakampį trikampį. Apsvarstykite statųjį trikampį: kampas (kaip greta kampo). Kokios yra kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento reikšmės? Taip, mes laikomės atitinkamų trigonometrinių funkcijų apibrėžimų:

Na, kaip matote, kampo sinuso reikšmė vis tiek atitinka koordinatę; kampo kosinuso reikšmė – koordinatė; ir atitinkamų santykių liestinės ir kotangento reikšmės. Taigi šie santykiai taikomi bet kokiam spindulio vektoriaus pasukimui.

Jau buvo minėta, kad pradinė spindulio vektoriaus padėtis yra išilgai teigiamos ašies krypties. Iki šiol mes sukome šį vektorių prieš laikrodžio rodyklę, bet kas atsitiks, jei pasuksime jį pagal laikrodžio rodyklę? Nieko nepaprasto, taip pat gausite tam tikros vertės kampą, bet tik jis bus neigiamas. Taigi, sukdami spindulio vektorių prieš laikrodžio rodyklę, gauname teigiami kampai, o sukant pagal laikrodžio rodyklę - neigiamas.

Taigi, mes žinome, kad visas spindulio vektoriaus apsisukimas aplink apskritimą yra arba. Ar galima pasukti spindulio vektorių į arba į? Na, žinoma, galite! Todėl pirmuoju atveju spindulio vektorius padarys vieną pilną apsisukimą ir sustos padėtyje arba.

Antruoju atveju, tai yra, spindulio vektorius padarys tris pilnus apsisukimus ir sustos padėtyje arba.

Taigi iš aukščiau pateiktų pavyzdžių galime daryti išvadą, kad kampai, kurie skiriasi arba (kur yra bet koks sveikas skaičius), atitinka tą pačią spindulio vektoriaus padėtį.

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas kampas. Tas pats vaizdas atitinka kampą ir pan. Šį sąrašą galima tęsti neribotą laiką. Visi šie kampai gali būti parašyti pagal bendrą formulę arba (kur yra bet koks sveikasis skaičius)

Dabar, žinodami pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimus ir naudodami vieneto apskritimą, pabandykite atsakyti, kokios yra reikšmės:

Štai vieneto ratas, kuris jums padės:

Turite sunkumų? Tada išsiaiškinkime. Taigi mes žinome, kad:

Iš čia nustatome taškų koordinates, atitinkančias tam tikrus kampo matmenis. Na, pradėkime iš eilės: kampas ties atitinka tašką su koordinatėmis, todėl:

Neegzistuoja;

Be to, laikydamiesi tos pačios logikos, sužinome, kad kampai atitinka atitinkamai taškus su koordinatėmis. Tai žinant, nesunku nustatyti trigonometrinių funkcijų reikšmes atitinkamuose taškuose. Pirmiausia išbandykite patys, o tada patikrinkite atsakymus.

Atsakymai:

Taigi galime sudaryti tokią lentelę:

Nereikia atsiminti visų šių vertybių. Pakanka prisiminti vienetinio apskritimo taškų koordinačių ir trigonometrinių funkcijų verčių atitikimą:

Tačiau kampų trigonometrinių funkcijų reikšmės ir, pateiktos toliau esančioje lentelėje, reikia atsiminti:

Nebijokite, dabar parodysime vieną pavyzdį gana paprasta atsiminti atitinkamas reikšmes:

Norint naudoti šį metodą, labai svarbu atsiminti visų trijų kampo matmenų sinuso reikšmes (), taip pat kampo liestinės reikšmę. Žinant šias reikšmes, gana paprasta atkurti visą lentelę - kosinuso reikšmės perkeliamos pagal rodykles, tai yra:

Žinodami tai, galite atkurti reikšmes. Skaitiklis „ “ atitiks, o vardiklis „ “. Kotangentinės vertės perkeliamos pagal paveikslėlyje nurodytas rodykles. Jei tai suprasite ir atsimenate diagramą su rodyklėmis, pakaks atsiminti visas lentelės reikšmes.

Apskritimo taško koordinatės

Ar įmanoma apskritime rasti tašką (jo koordinates), žinant apskritimo centro koordinates, jo spindulį ir sukimosi kampą?

Na, žinoma, galite! Išmeskime bendroji taško koordinačių radimo formulė.

Pavyzdžiui, priešais mus yra apskritimas:

Mums duota, kad taškas yra apskritimo centras. Apskritimo spindulys lygus. Reikia rasti taško koordinates, gautas sukant tašką laipsniais.

Kaip matyti iš paveikslo, taško koordinatė atitinka atkarpos ilgį. Atkarpos ilgis atitinka apskritimo centro koordinatę, tai yra lygus. Atkarpos ilgį galima išreikšti naudojant kosinuso apibrėžimą:

Tada mes turime tai taško koordinatei.

Naudodami tą pačią logiką randame taško y koordinatės reikšmę. Taigi,

Taigi, į bendras vaizdas Taškų koordinatės nustatomos pagal formules:

Apskritimo centro koordinatės,

Apskritimo spindulys,

Vektoriaus spindulio sukimosi kampas.

Kaip matote, mūsų svarstomo vieneto apskritimo formulės yra žymiai sumažintos, nes centro koordinatės yra lygios nuliui, o spindulys yra lygus vienetui:

Na, pabandykime šias formules praktikuodami surasti taškus apskritime?

1. Raskite vienetinio apskritimo taško koordinates, gautas sukant tašką į.

2. Raskite vienetinio apskritimo taško koordinates, gautą sukant tašką.

3. Raskite vienetinio apskritimo taško koordinates, gautas sukant tašką į.

4. Taškas yra apskritimo centras. Apskritimo spindulys lygus. Reikia rasti taško, gauto pasukus pradinį spindulio vektorių, koordinates.

5. Taškas yra apskritimo centras. Apskritimo spindulys lygus. Reikia rasti taško, gauto pasukus pradinį spindulio vektorių, koordinates.

Sunku rasti apskritimo taško koordinates?

Išspręskite šiuos penkis pavyzdžius (arba išmokite juos išspręsti) ir išmoksite juos rasti!

SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS

Kampo sinusas yra priešingos (tolimosios) kojos ir hipotenuzės santykis.

Kampo kosinusas yra gretimos (artimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Kampo liestinė yra priešingos (tolimosios) pusės ir gretimos (artimos) pusės santykis.

Kampo kotangentas yra gretimos (artimos) pusės ir priešingos (tolimosios) pusės santykis.

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Už sėkmingą išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą, stojant į koledžą su biudžetu ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.

Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, kurie gavo geras išsilavinimas, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.

Per egzaminą teorijos neprašys.

Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.

Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, išsamią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - Pirkite vadovėlį - 499 RUR

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir prieiga prie visų užduočių ir visų jose esančių paslėptų tekstų gali būti atidaryta iš karto.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama VISĄ svetainės gyvenimą.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir jas spręskite!

Paskaita: Savavališko kampo sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas

Sinusas, savavališko kampo kosinusas

Norėdami suprasti, kas yra trigonometrinės funkcijos, pažvelkime į apskritimą su vieneto spinduliu. Šis apskritimas turi centrą koordinačių plokštumos pradžioje. Norėdami nustatyti nurodytos funkcijos naudosime spindulio vektorių ARBA, kuris prasideda apskritimo centre, ir taškas R yra apskritimo taškas. Šis spindulio vektorius sudaro kampą alfa su ašimi OI. Kadangi apskritimo spindulys lygus vienetui, tada ARBA = R = 1.

Jei iš taško R nuleiskite statmeną ašiai OI, tada gauname statųjį trikampį, kurio hipotenuzė lygi vienetui.

Jei spindulio vektorius juda pagal laikrodžio rodyklę, tada ši kryptis vadinama neigiamas, jei jis juda prieš laikrodžio rodyklę - teigiamas.

Kampo sinusas ARBA, yra taško ordinatė R vektorius ant apskritimo.

Tai yra, norint gauti tam tikro kampo alfa sinuso reikšmę, būtina nustatyti koordinatę U ant paviršiaus.

Kaip buvo gauta ši vertė? Kadangi žinome, kad savavališko kampo sinusas stačiakampiame trikampyje yra priešingos kraštinės ir hipotenuzos santykis, gauname, kad

Ir nuo tada R=1, Tai sin(α) = y 0 .

Vienetiniame apskritime ordinatės reikšmė negali būti mažesnė nei -1 ir didesnė nei 1, o tai reiškia

Sinusas priima teigiama vertė vieneto apskritimo pirmajame ir antrajame ketvirtyje, o trečiame ir ketvirtame – neigiamas.

Kampo kosinusas duotas apskritimas, suformuotas spindulio vektoriaus ARBA, yra taško abscisė R vektorius ant apskritimo.

Tai yra, norint gauti tam tikro kampo alfa kosinuso reikšmę, būtina nustatyti koordinatę X ant paviršiaus.

Stačiakampio trikampio savavališko kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis, gauname, kad

Ir nuo tada R=1, Tai cos(α) = x 0 .

Vieneto apskritime abscisių reikšmė negali būti mažesnė nei -1 ir didesnė nei 1, o tai reiškia

Pirmajame ir ketvirtajame vieneto apskritimo ketvirčiuose kosinusas įgyja teigiamą reikšmę, o antrajame ir trečiame – neigiamą.

Tangentassavavališkas kampas Apskaičiuojamas sinuso ir kosinuso santykis.

Jei apsvarstysime stačią trikampį, tai yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis. Jeigu mes kalbame apie apie vienetinį apskritimą, tai yra ordinatės ir abscisės santykis.

Sprendžiant iš šių santykių, galima suprasti, kad liestinė negali egzistuoti, jei abscisės reikšmė lygi nuliui, tai yra 90 laipsnių kampu. Liestinė gali užimti visas kitas reikšmes.

Liestinė yra teigiama pirmajame ir trečiajame vieneto apskritimo ketvirčiuose, o neigiama antrajame ir ketvirtame.