Kas yra trikampio hipotenuzė? Kaip rasti hipotenuzą, žinant koją ir kampą

Išversta iš graikų kalba, hipotenuzė reiškia „sandara“. Norėdami teisingai suprasti, įsivaizduokite lanką, jungiančią du lanksčios lazdos galus. Taip pat stačiakampio trikampio ilgiausia kraštinė yra hipotenuzė, kuri yra priešinga stačiu kampu. Jis veikia kaip jungtis prie kitų dviejų pusių, vadinamų kojomis. Norėdami sužinoti, kokio ilgio yra ši "styga", turite turėti kojų ilgį arba dviejų smailiųjų kampų dydį. Sujungę šiuos duomenis, galite apskaičiuoti norimą vertę naudodami formules.

Kaip rasti hipotenuzę pagal kojas

Paprasčiausias būdas apskaičiuoti, jei žinote dviejų kojų dydį (vieną pažymėkime kaip A, kitą kaip B). Į pagalbą ateina pats Pitagoras ir jo visame pasaulyje žinoma teorema. Ji mums sako, kad jei kojelių ilgį padėsime kvadratu ir sudėsime apskaičiuotas vertes, tada sužinosime hipotenuzės ilgio kvadratinę reikšmę. Iš to, kas išdėstyta pirmiau, darome išvadą: norint rasti hipotenuzės vertę, būtina išgauti Kvadratinė šaknis nuo bendros kojelių kvadratų sumos C = √ (A² + B²). Pavyzdys: kraštinė A=10 cm, kraštinė B=20 cm. Hipotenuzė lygi 22,36 cm. Skaičiuojama taip: √(10²+20²)=√(100+400)= √500≈22,36.

Kaip rasti hipotenuzę per kampą

Apskaičiuoti hipotenuzės ilgį tam tikru kampu yra šiek tiek sunkiau. Jei žinote vienos iš dviejų kojų dydį (žymimas A) ir kampo (žymimas α), esančio priešais ją, dydį, hipotenuzės dydis nustatomas naudojant trigonometriją, o konkrečiai – sinusą. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai padalyti žinomos kojos vertę iš kampo sinuso. C=A/sin(α). Pavyzdys: kojos A ilgis = 30 cm, kampas priešais yra 45°, hipotenuzė bus 42,25 cm Skaičiuojama taip: 30/sin(45°) = 30/0,71 = 42,25.

Kitas būdas yra rasti hipotenuzės dydį naudojant kosinusą. Jis naudojamas, jei žinote kojos dydį (žymimas B) ir aštrus kampas(žymimas α), kuris yra šalia jo. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai padalyti kojos vertę iš kampo sinuso. С=В/ cos(α). Pavyzdys: kojos ilgis B = 30 cm, kampas priešais yra 45°, hipotenuzė bus 42,25 cm Skaičiuojama taip: 30/cos(45°) = 30/0,71 = 42,25.

Kaip rasti lygiašonio stačiojo trikampio hipotenuzę

Bet kuris save gerbiantis moksleivis žino, kad trikampis yra lygiašonis, jei dvi iš trijų kraštinių yra lygios viena kitai. Šios pusės vadinamos šoninėmis, o likusios – pagrindu. Jei vienas iš kampų yra 90°, tada turite lygiašonį stačiakampį trikampį.

Surasti hipotenuzą tokiame trikampyje yra paprasta, nes ji turi keletą savybių, kurios padės. Šalia pagrindo esančios anglys yra vienodos vertės, visas kiekis kampo vertės yra 180°. Tai reiškia, kad stačiu kampu yra priešais pagrindą, o tai reiškia, kad pagrindas yra hipotenuzė, o šonai yra kojos.

- (graikiškai hypoteinousa, iš hypoteino yra priešingai). Stačiojo trikampio kraštinė, esanti priešais stačią kampą. Žodynas svetimžodžiai, įtraukta į rusų kalbą. Chudinovas A.N., 1910. HIPOTENŪZĖ yra didžiausia stačiakampio kraštinė... ... Rusų kalbos svetimžodžių žodynas

hipotenuzė- y, w. hipotenuzė, lot. hypotenusa, gr. mat. Stačiojo trikampio kraštinė, esanti priešais stačią kampą. BAS 2. Lygiakampio trikampio hipotenūza. Geografinė sąvoka Gene. 165. Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus dviem kvadratams... ... Istorijos žodynas Rusų kalbos galicizmas

- (gr. hypoteinusa) stačiojo trikampio, esančio priešais stačią kampą, kraštinė ... Didysis enciklopedinis žodynas

HYPOTENUSE, stačiakampio trikampio stačiajam kampui priešinga kraštinė. Tai ilgiausia tokio trikampio kraštinė... Mokslinis ir techninis enciklopedinis žodynas

HIPOTENŪZĖ, hipotenuzė, patelė. (gr. hypoteinusa tempimas) (mat.). Stačiojo trikampio kraštinė, esanti priešais stačią kampą. Žodynas Ušakova. D.N. Ušakovas. 1935 1940... Ušakovo aiškinamasis žodynas

HIPOTENŪZĖ, s, patelė. Matematikoje: stačiojo trikampio kraštinė, esanti prieš stačią kampą. Ožegovo aiškinamąjį žodyną. S.I. Ožegovas, N. Yu. Švedova. 1949 1992… Ožegovo aiškinamasis žodynas

Daiktavardis, sinonimų skaičius: 1 pusė (57) ASIS Sinonimų žodynas. V.N. Trishin. 2013… Sinonimų žodynas

hipotenuzė- hipotenuzė. Tarimas [hipotenūza] yra pasenęs... Tarimo sunkumų ir kirčiavimo žodynas šiuolaikine rusų kalba

Yra daug trikampių tipų: teigiamų, lygiašonių, smailių ir pan. Visi jie turi savybių, kurios yra klasikinės tik jiems, ir kiekvienas turi savo taisykles, kaip rasti kiekius, nesvarbu, ar tai būtų šonas, ar kampas prie pagrindo. Tačiau iš kiekvienos šių geometrinių figūrų įvairovės galima išskirti trikampį su stačiu kampu į atskirą grupę.

Jums reikės

• Tuščias lapas, pieštukas ir liniuotė schematiškam trikampio pavaizdavimui.

Instrukcijos

1. Trikampis vadinamas stačiakampiu, jei vienas jo kampas yra 90 laipsnių. Jį sudaro 2 kojos ir hipotenuzė. Hipotenuzė yra didžiausia šio trikampio kraštinė. Tai prieštarauja teisingam kampui. Atitinkamai, kojos vadinamos mažesnėmis pusėmis. Jie gali būti lygūs vienas kitam arba turėti skirtingus dydžius. Kojų lygybė reiškia, kad dirbate su lygiašoniu stačiu trikampiu. Jo grožis yra tas, kad jis sujungia dviejų figūrų savybes: stačiojo trikampio ir lygiašonio trikampio. Jei kojos nėra lygios, tada trikampis yra savavališkas ir paklūsta pagrindiniam dėsniui: kuo didesnis kampas, tuo didesnis priešais jį esantis.

2. Yra keletas būdų, kaip rasti hipotenuzę pagal koją ir kampą. Tačiau prieš naudodami vieną iš jų turėtumėte nustatyti, kuri kojelė ir kampas yra žinomi. Jei pateikiamas kampas ir greta jo esanti kojelė, hipotenuzą lengviau aptikti žiūrint į kampo kosinusą. Stačiakampio trikampio smailaus kampo kosinusas (cos a) yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis. Iš to išplaukia, kad hipotenuzė (c) bus lygi gretimos kojos (b) ir kampo a kosinuso (cos a) santykiui. Tai galima parašyti taip: cos a=b/c => c=b/cos a.

3. Jei nurodytas kampas ir priešinga kojelė, tuomet turėtumėte dirbti su sinusu. Stačiakampio trikampio smailiojo kampo sinusas (sin a) yra priešingos kraštinės (a) ir hipotenuzės (c) santykis. Tezė čia veikia kaip ir ankstesniame pavyzdyje, tik vietoj kosinuso funkcijos imamas sinusas. sin a=a/c => c=a/sin a.

4. Taip pat galite naudoti trigonometrinę funkciją, pvz., liestinę. Tačiau rasti norimą vertę bus šiek tiek sunkiau. Stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė (tg a) yra priešingos kojos (a) ir gretimos kojos (b) santykis. Suradę abi puses, pritaikykite Pitagoro teoremą (hipotenuzės kvadratą lygi sumai kojų kvadratai) ir bus atskleista didžiulė trikampio kraštinė.

Hipotenuzė yra stačiojo trikampio kraštinė, esanti priešais 90 laipsnių kampą. Norint apskaičiuoti jo ilgį, pakanka žinoti vienos iš kojelių ilgį ir vieno iš trikampio smailiųjų kampų dydį.

Instrukcijos

1. Esant priekinei kojelei ir stačiojo trikampio smailiam kampui, hipotenuzės dydis gali būti lygus kojos ir šio kampo kosinuso/sinuso santykiui, jei šis kampas yra priešais/greta jam: h = C1 ( arba C2)/sin?; h = C1 (arba C2 )/cos?. Pavyzdys: Pateikiame stačiakampį trikampį ABC su hipotenuze AB ir stačiu kampu C. Kampas B bus 60 laipsnių, o kampas A 30 laipsnių. kojos ilgis BC yra 8 cm Reikia rasti hipotenuzės AB ilgį. Norėdami tai padaryti, galite naudoti bet kurį iš aukščiau siūlomų metodų: AB = BC/cos60 = 8 cm AB = BC/sin30 = 8 cm.

žodis" koja„kyla iš graikų kalbos žodžių „statmenas“ arba „svambalis“ – tai paaiškina, kodėl taip pavadintos abi stačiojo trikampio kraštinės, sudarančios jo devyniasdešimties laipsnių kampą. Raskite kiekvieno ilgį koja Tai nėra sunku, jei žinote šalia jo esančio kampo vertę ir kitą parametrą, nes tokiu atveju iš tikrųjų bus žinomos visų 3 kampų reikšmės.

Instrukcijos

1. Jei be gretimo kampo reikšmės (β), sekundės ilgis koja a (b), tada ilgis koja ir (a) gali būti apibrėžtas kaip garsiojo ilgio koeficientas koja o norimo kampo tangentei: a=b/tg(β). Tai išplaukia iš šios trigonometrinės funkcijos apibrėžimo. Galite apsieiti be liestinės, jei naudosite sinusų teoremą. Iš to išplaukia, kad norimos kraštinės ilgio ir priešingo kampo sinuso santykis yra lygus norimos ilgio santykiui koja ir į garsiojo kampo sinusą. Priešingai nei norima koja y smailusis kampas gali būti išreikštas per garsųjį kampą kaip 180°-90°-β = 90°-β, nes bet kurio trikampio visų kampų suma turi būti 180°, o pagal stačiojo trikampio apibrėžimą, vienas iš jo kampas lygus 90°. Tai reiškia norimą ilgį koja ir gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

2. Jei žinomos gretimo kampo reikšmė (β) ir hipotenuzės ilgis (c), tada ilgis koja ir (a) gali būti apskaičiuojamas kaip hipotenuzės ilgio ir garsiojo kampo kosinuso sandauga: a=c∗cos(β). Tai išplaukia iš kosinuso kaip trigonometrinės funkcijos apibrėžimo. Bet galite naudoti, kaip ir ankstesniame žingsnyje, sinusų teoremą ir norimo ilgį koja a bus lygi skirtumo tarp 90° ir atskaitos kampo sinuso sandaugai ir hipotenuzės ilgio ir stačiojo kampo sinuso santykio sandaugai. O kadangi 90° sinusas lygus vienetui, formulę galima parašyti taip: a=sin(90°-β)∗c.

3. Tikruosius skaičiavimus galima atlikti, tarkime, naudojant programinę įrangą, esančią Windows OS. Norėdami jį paleisti, mygtuko „Pradėti“ pagrindiniame meniu galite pasirinkti elementą „Vykdyti“, įvesti komandą calc ir spustelėti mygtuką „Gerai“. Paprasčiausioje šios programos sąsajos versijoje, kuri atidaroma pagal numatytuosius nustatymus trigonometrinės funkcijos nėra pateikti, todėl jį paleidus reikia spustelėti meniu skyrių „Peržiūrėti“ ir pasirinkti eilutę „Mokslininkas“ arba „Inžinierius“ (atsižvelgiant į naudojamos operacinės sistemos versiją).

Video tema

Žodis „kathet“ į rusų kalbą atėjo iš graikų kalbos. Tiksliame vertime tai reiškia svambalo liniją, ty statmeną žemės paviršiui. Matematikoje kojos yra tos kraštinės, kurios sudaro stačią stačiojo trikampio kampą. Priešinga šio kampo pusė vadinama hipotenuse. Terminas "koja" taip pat vartojamas architektūroje ir specialioje suvirinimo technologijoje.

Nubrėžkite statųjį trikampį DIA. Pažymėkite jo kojeles a ir b, o hipotenuzę - c. Visos stačiojo trikampio kraštinės ir kampai yra tarpusavyje susiję tam tikrais ryšiais. Kojos, esančios priešais vieną iš smailiųjų kampų, santykis su hipotenuze vadinamas šio kampo sinusu. Šiame trikampyje sinCAB=a/c. Kosinusas yra santykis su gretimos kojos hipotenuze, tai yra cosCAB=b/c. Atvirkštiniai ryšiai vadinami sekantu ir kosekantu.Duoto kampo sekantas gaunamas hipotenuzą padalijus iš gretima koja, tai yra secCAB=c/b. Rezultatas yra kosinuso atvirkštinis dydis, tai yra, jį galima išreikšti naudojant formulę secCAB=1/cosSAB. Kosekantas yra lygus hipotenuzės daliniui, padalytam iš priešingos pusės, ir yra sinuso atvirkštinė vertė. Jį galima apskaičiuoti naudojant formulę cosecCAB = 1/sinCAB Abi kojos yra susijusios viena su kita tangentu ir kotangentu. IN tokiu atveju liestinė bus kraštinės a ir b pusės santykis, tai yra, priešingos pusės gretimai kraštinei. Šį ryšį galima išreikšti formule tgCAB=a/b. Atitinkamai atvirkštinis santykis bus kotangentas: ctgCAB=b/a. Santykį tarp hipotenuzės ir abiejų kojų dydžių nustatė senovės graikų matematikas Pitagoras. Jo vardu pavadinta teorema žmonių naudojama iki šiol. Jame sakoma, kad hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai, tai yra, c2 = a2 + b2. Atitinkamai, kiekviena kojelė bus lygi skirtumo tarp hipotenuzės ir kitos kojos kvadratų kvadratinei šakniai. Šią formulę galima parašyti kaip b=?(c2-a2). Kojos ilgį taip pat galima išreikšti gerai žinomais santykiais. Pagal sinusų ir kosinusų teoremas koja yra lygi hipotenuzės ir vienos iš šių funkcijų sandaugai. Jis taip pat gali būti išreikštas tangentu arba kotangentu. Koją a galima rasti, tarkime, naudojant formulę a = b*tan CAB. Lygiai taip pat, priklausomai nuo duotosios liestinės ar kotangento, nustatoma 2-oji atkarpa.Architektūroje taip pat vartojamas terminas „koja“. Jis vartojamas kalbant apie jonų sostinę ir žymi svambalo liniją per jos nugaros vidurį. Tai reiškia, kad šiuo atveju šis terminas reiškia statmeną nurodytai linijai. Specialioje suvirinimo technologijoje yra „filialinio suvirinimo kojelės“ sąvoka. Kaip ir kitais atvejais, tai yra daugiausia trumpas atstumas. Čia mes kalbame apie apie intervalą tarp vienos iš suvirintų dalių iki siūlės, esančios kitos dalies paviršiuje, ribos.

Video tema

Pastaba!
Dirbdami su Pitagoro teorema atminkite, kad kalbate apie laipsnį. Atradę kojų kvadratų sumą, norėdami gauti galutinį rezultatą, turite ištraukti kvadratinę šaknį.

Geometrija nėra paprastas mokslas. Tai gali būti naudinga abiem mokyklos mokymo programa, ir į Tikras gyvenimas. Daugelio formulių ir teoremų žinojimas supaprastins geometrinius skaičiavimus. Vienas is labiausiai paprastos figūros geometrijoje tai trikampis. Viena iš lygiakraščio trikampių atmainų turi savo ypatybes.

Lygiakraščio trikampio ypatybės

Pagal apibrėžimą trikampis yra daugiakampis, turintis tris kampus ir tris kraštines. Tai plokščia dvimatė figūra, jos savybės tiriamos vidurinėje mokykloje. Pagal kampo tipą išskiriami smailieji, bukieji ir stačiakampiai trikampiai. Statusis trikampis yra toks geometrinė figūra, kur vienas iš kampų yra 90º. Toks trikampis turi dvi kojeles (jos sukuria stačią kampą) ir vieną hipotenuzę (jis yra priešais stačią kampą). Priklausomai nuo to, kokie kiekiai yra žinomi, yra trys paprastus būdus Apskaičiuokite stačiojo trikampio hipotenuzę.

Pirmasis būdas yra rasti stačiojo trikampio hipotenuzę. Pitagoro teorema

Pitagoro teorema - seniausias būdas Apskaičiuokite bet kurią stačiojo trikampio kraštinę. Tai skamba taip: „Stačiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai“. Taigi, norint apskaičiuoti hipotenuzę, reikia išvesti kvadratinę šaknį iš dviejų kojų kvadratų sumos. Aiškumo dėlei pateikiamos formulės ir diagrama.

Antras būdas. Hipotenuzės apskaičiavimas naudojant 2 žinomus dydžius: koją ir gretimą kampą

Viena iš stačiojo trikampio savybių teigia, kad kojos ilgio ir hipotenuzės ilgio santykis yra lygus kampo tarp šios kojos ir hipotenuzės kosinusui. Pavadinkime mums žinomą kampą α. Dabar, naudodamiesi gerai žinomu apibrėžimu, galite lengvai suformuluoti hipotenuzės skaičiavimo formulę: Hipotenūza = leg/cos(α)

Trečias būdas. Hipotenuzės apskaičiavimas naudojant 2 žinomus dydžius: koją ir priešingą kampą

Jei žinomas priešingas kampas, vėl galima panaudoti stačiojo trikampio savybes. Kojos ir hipotenuzės ilgio santykis yra lygus priešingo kampo sinusui. Pavadinkime žinomą kampą α. Dabar skaičiavimams naudosime šiek tiek kitokią formulę:
Hipotenuzė = koja/nuodėmė (α)

Pavyzdžiai, padedantys suprasti formules

Norėdami geriau suprasti kiekvieną formulę, turėtumėte apsvarstyti iliustruojančius pavyzdžius. Taigi, tarkime, kad jums duotas stačiakampis trikampis, kuriame yra šie duomenys:

• Kojos - 8 cm.
• Gretimas kampas cosα1 yra 0,8.
• Priešingas kampas sinα2 yra 0,8.

Pagal Pitagoro teoremą: Hipotenūza = kvadratinė šaknis iš (36+64) = 10 cm.
Pagal kojos dydį ir gretimą kampą: 8/0,8 = 10 cm.
Pagal kojos dydį ir priešingą kampą: 8/0,8 = 10 cm.

Kai suprasite formulę, galėsite lengvai apskaičiuoti hipotenuzą naudodami bet kokius duomenis.

Vaizdo įrašas: Pitagoro teorema

Geometrija – ne paprastas mokslas. Tam reikia ypatingo dėmesio ir tikslių formulių išmanymo. Ši matematikos rūšis atėjo pas mus iš Senovės Graikija ir net po kelių tūkstančių metų nepraranda savo aktualumo. Negalvokite veltui, kad tai nenaudingas dalykas, varginantis studentų ir moksleivių galvas. Tiesą sakant, geometrija yra taikoma daugelyje gyvenimo sričių. Be geometrijos žinių nepastatoma nei viena architektūrinė konstrukcija, nekuriami automobiliai, erdvėlaivių ir lėktuvai. Sudėtingos ir nelabai sudėtingos kelių sankryžos ir provėžos – visa tai reikalauja geometrinių skaičiavimų. Taip, net kartais jūs negalite atlikti remonto savo kambaryje, nežinodami pagrindinių formulių. Taigi nenuvertinkite šios temos svarbos. Studijuojame dažniausiai pasitaikančias formules, kurias turime naudoti daugelyje sprendimų mokykloje. Vienas iš jų yra hipotenuzės radimas stačiakampiame trikampyje. Norėdami tai suprasti, skaitykite toliau.

Prieš pradėdami praktiką, pradėkime nuo pagrindų ir apibrėžkime, kas yra stačiakampio trikampio hipotenuzė.

Hipotenuzė yra viena iš stačiojo trikampio, kuris yra priešais 90 laipsnių kampą (stačiu kampu) ir visada yra ilgiausia, kraštinių.

Yra keletas būdų, kaip rasti norimos hipotenuzės ilgį duotame stačiakampyje.

Tuo atveju, kai kojos mums jau žinomos, naudojame Pitagoro teoremą, kur pridedame dviejų kojų kvadratų sumą, kuri bus lygi hipotenuzės kvadratui.

a ir b yra kojos, c yra hipotenuzė.

Mūsų atveju, atitinkamai, stačiakampio trikampio formulė bus tokia:

Jei pakeisime žinomus kojelių skaičius a ir b, tegul a=3 ir b=4, tada c=√32+42, tai gauname c=√25, c=5

Kai žinome tik vienos kojos ilgį, formulę galima transformuoti ir rasti antrosios kojos ilgį. Tai atrodo taip:

Tuo atveju, kai pagal uždavinio sąlygas žinome koją A ir hipotenuzę C, tada galime apskaičiuoti trikampio statųjį kampą, pavadinkime jį α.

Norėdami tai padaryti, naudojame formulę:

Tegul antrasis kampas, kurį turime apskaičiuoti, yra β. Atsižvelgiant į tai, kad mes žinome trikampio kampų sumą, kuri yra 180°, tada: β= 180°-90°-α

Tuo atveju, kai žinome kojų reikšmes, galime naudoti formulę norėdami rasti trikampio smailiojo kampo vertę:

Priklausomai nuo žinomų visuotinai priimtų verčių, stačiakampio kraštines galima rasti iš įvairių skirtingos formulės. Štai keletas iš jų:

Sprendžiant nežinomųjų radimo stačiakampiame trikampyje problemas, labai svarbu sutelkti dėmesį į jau žinomas reikšmes ir, remiantis tuo, pakeisti jas į norimą formulę. Iš karto juos prisiminti bus sunku, todėl patariame pasidaryti nedidelę ranka rašytą užuominą ir įklijuoti ją į užrašų knygelę.

Kaip matote, jei įsigilinsite į visas šios formulės subtilybes, nesunkiai tai išsiaiškinsite. Rekomenduojame pagal šią formulę pabandyti išspręsti kelias problemas. Kai pamatysite savo rezultatą, jums bus aišku, ar supratote šią temą, ar ne. Stenkitės ne įsiminti, o įsigilinti į medžiagą, tai bus daug naudingiau. Atmintinai išmokta medžiaga pasimiršta po pirmo bandymo, o su šia formule susidursite gana dažnai, tad iš pradžių ją supraskite, o tik tada įsiminkite. Jei šios rekomendacijos nebus pateiktos teigiamas poveikis, tai yra, prasminga lankyti papildomas pamokas šia tema. Ir atminkite: mokymas yra šviesa, o ne mokymas yra tamsa!