Bendra visų trikampio kampų suma laipsniais. Theorem dėl trikampio kampų sumos

Teorema. Trikampio vidinių kampų suma yra lygi dviems tiesioginiams kampams.

Paimkite tam tikrą trikampį AVS (208 pav.). Žymi savo vidinius kampus su numeriais 1, 2 ir 3. Įrodyti tai

∠1 + ∠2 + ∠3 \u003d 180 °.

Iškirpkite per tam tikrą trikampio viršūnę, pvz., Tiesioginis MN lygiagrečiai AU.

Į viršų mes gavome tris kampą: ∠4, ∠2 ir ∠5. Todėl jų suma yra dislokuota kampu, todėl jis yra lygus 180 °:

∠4 + ∠2 + ∠5 \u003d 180 °.

Bet ∠4 \u003d ∠1 yra vidinė pagrindinių kampų dalis su lygiagrečiais tiesioginiais MN ir garsiakalbiais bei SECANT AV.

∠5 \u003d ∠3 yra pagrindinio kampo galas su lygiagrečiais tiesioginiais MN ir garsiakalbiais bei Pietų saule.

Taigi, ∠4 ir ∠5 galima pakeisti lygiomis ∠1 ir ∠3.

Todėl ∠1 + ∠2 + ∠3 \u003d 180 °. Įrodyta teorema.

2. Trikampio išorinio kampo nuosavybė.

Teorema. Išorinis trikampio kampas yra lygus dviejų vidinių kampų sumai, nesusijusi su juo.

Tiesą sakant, ABC trikampyje (209 pav.) ∠1 + ∠2 \u003d 180 ° - ∠3, bet taip pat ∠vd, šio trikampio išorinis kampas, o ne nuo ∠1 ir ∠2, taip pat yra 180 °. ∠3.

Šiuo būdu:

∠1 + ∠2 \u003d 180 ° - ∠3;

∠BCD \u003d 180 ° - ∠3.

Todėl ∠1 + ∠2 \u003d ∠BCD.

Išorinio trikampio kampo esmė išsiaiškina anksčiau įrodyta teoremo turinį trikampio išoriniame kampe, kuriame buvo teigiama, kad trikampio išorinis kampas yra didesnis už kiekvieną trikampio vidinį kampą, o ne susiję su juo; Dabar nustatoma, kad išorinis kampas yra lygus tiek vidiniams kampams, nesusijusiems su juo.

3. Stačiakampio trikampio nuosavybė su 30 ° kampu.

Teorema. Šaknys yra stačiakampio trikampio, esančio nuo 30 ° kampu, lygus pusei hipotenuse.

Tarkime, ties stačiakampio trikampio kampo kampu B yra lygus 30 ° (210 pav.). Tada, išskyrus jo aštrią kampą, bus 60 °.

Įrodyti, kad garsiakalbių garsiakalbiai yra lygūs pusę hipotenuse av. Mes tęsime katatą su garsiakalbiais už tiesioginio kampo C ir atidėti segmento cm lygią AU segmentui. Taškas m, kad galėtumėte prisijungti prie taško V. Gautas WMM trikampis yra lygus dr. Trikampiui. Matome, kad kiekvienas AVM trikampio kampas yra lygus 60 °, todėl šis trikampis yra lygi.

Garsiakalbių garsiakalbiai yra lygūs pusei AM, ir kadangi AM yra lygus AB, tada garsiakalbiai bus lygūs pusei hipotenus.

Šiame puslapyje esanti medžiaga yra autorių teisių saugoma. Kopijavimas į vietą kitose svetainėse leidžiama tik su akivaizdu autoriaus ir svetainės administravimo sutikimu.

Trikampio kampų suma.

Smirnova I. N., Matematikos mokytojas.
Informacijos perspektyva atviros pamokos.

Metodinės pamokos tikslas: Supažindinti mokytojus su šiuolaikiniais metodais ir metodais, naudojant IRT priemones įvairiose mokymo veiklos rūšyse.
Temos pamoka: Trikampio kampų suma.
Pamokos pavadinimas: "Žinios tik tada žino, kada jį įgyja jo minčių pastangomis, o ne atmintis". L.N Tolstoy.
Metodinės naujovės, kurios bus grindžiamos pamoka.
Pamoka parodys mokslinių tyrimų metodus naudojant IRT (matematinių eksperimentų naudojimą, kaip vieną iš naujų žinių gavimo formų; eksperimentinės bandymo hipotezės).
Pamokos modelio apžvalga.

1. Teorijos tyrimo motyvacija.
2. Theoremo turinio atskleidimas matematiniame eksperimente naudojant mokymą ir metodinį rinkinį "Live Matematika".
3. Motyvacija dėl įrodinėjimo teorijos poreikį.
4. Darbas su teorijos struktūra.
5. Ieškokite įrodinėjimo teorijos.
6. Teorijos įrodymas.
7. Theoremo formuluotės pritvirtinimas ir jo įrodymas.
8. Teorijos naudojimas.

Geometrijos pamoka 7 klasėje
Pagal vadovėlį "Geometrija 7-9"
Temoje: "Trikampio kampų suma".

Pamokos tipas: Pamoka, mokanti naują medžiagą.
Tikslai pamoka:
Švietimo: įrodyti teoriją apie trikampio kampų sumą; Gaukite darbo su programa "Living Matematika", aiškinimo ryšių kūrimas.
Plėtoti: Gebėjimas sąmoningai atlikti tokius mąstymo metodus kaip palyginimą, apibendrinimą ir sisteminimą.
Švietimo: Nepriklausomybės ir įgūdžių ugdymas pagal planuojamą planą.
Įranga: Multimedijos kabinetas, interaktyvi valdyba, kortelės su praktinio darbo planu, gyva matematikos programa.

Pamokos struktūra.

1. Žinių aktualizavimas.
   1. Mobilizuoti pamokos pradžią.
   2. Problemos užduoties nustatymas siekiant paskatinti naujos MA teritorijos tyrimą.
   3. Mokymosi užduotį.
2. 1. Praktinis darbas "trikampio kampų suma".
   2. Theoremo įrodymas dėl trikampio kampų sumos.
3. 1. Problemos užduoties sprendimas.
   2. Užduočių sprendimas dėl gatavų brėžinių.
   3. Apibendrinant pamoką.
   4. Namų darbų nustatymas.

Klasių metu.

1. Žinių aktualizavimas.

   Pamokos planas:

   1. Eksperimentiškai įdiegti ir stumti hipotezę apie bet kurio trikampio kampų sumą.
   2. Įrodyti šią prielaidą.
   3. Užtikrinti nustatytą faktą.
2. Naujų žinių ir veiksmų būdų formavimas.
   1. Praktinis darbas "trikampio kampų suma".

      Studentai sėdi prie kompiuterių ir jie yra platinamos kortelės su praktinio darbo planu.

      Praktinis darbas temoje "trikampio kampų suma" (Pavyzdžio kortelė)

      Spausdinimo kortelė
      

      Studentai perduoda praktinio darbo rezultatus ir sėdi vienam stalui.
      Apsvarstęs praktinio darbo rezultatus, hipotezė yra pateikta, kad trikampio kampų suma yra 180 °.
      Mokytojas: Kodėl mes dar negalime teigti, kad kampų suma yra absoliučiai bet koks trikampis yra 180 °.
      Mokinys: Neįmanoma atlikti absoliučiai tikslių konstrukcijų arba gaminti visiškai tikslų matavimą, net ir kompiuteryje.
      Patvirtinimas, kad trikampio kampų suma yra 180 °, nurodo tik su mūsų laikais trikampiais. Mes negalime nieko pasakyti apie kitus trikampius, nes nenumatėme savo kampų.
      Mokytojas: Būtų teisingiau pasakyti: mūsų laikomi trikampiai turi kampų kampą maždaug 180 ° kampu. Norėdami įsitikinti, kad trikampio kampų suma yra tiksliai 180 ° ir tuo metu bet kokiems trikampiams, turime vis dar turėti atitinkamą argumentą, ty patvirtinimo pagrįstumą, kurį siūlo patirtis.
      

   2. Theoremo įrodymas dėl trikampio kampų sumos.

      Studentai atidaro nešiojamąjį kompiuterį ir užrašo "trikampio kampo" sumos temą.

      Darbas su teorijos struktūra.

      Suformuluoti teoremą, atsakykite į šiuos klausimus:
      • Kokie trikampiai buvo naudojami matavimo procese?
      • Kas yra įtraukta į teorijos būklę (kas yra suteikta)?
      • Ką mes matėme?
      • Kokia yra teoremo išvada (ką turėčiau įrodyti?
      • Pabandykite suformuluoti teoriją apie trikampio kampų sumą.

      Statybos brėžinys ir trumpas teorema

      Šiame etape studentai kviečiami padaryti piešinį ir užrašyti, kuri yra suteikta ir ką norite įrodyti.

      Statant piešinį ir trumpą teorijos įrašą.

      DANAR: ABC trikampis.
      Įrodyti
      ட a + ட B + ட C \u003d 180 °.

      Ieškoti įrodinėjimo teoremo

      Ieškodami įrodymų, turėtumėte pabandyti dislokuoti teorijos būklę ar išvadą. Theoremo dėl trikampio kampų suma bando diegti beviltiškumo būklę, todėl yra pagrįsta daryti su studentais su baigimo diegimo.
      Mokytojas: Kokiuose teiginiuose teigiama kampai, kurių verčių suma yra 180 °.
      Mokinys: Jei du lygiagrečiai tiesūs kryžiai yra susikerta, tada vidinių vienpusių kampų suma yra 180 °.
      Gretimų kampų suma yra 180 °.
      Mokytojas: Pabandykime naudoti pirmąjį patvirtinimą. Šiuo atžvilgiu būtina statyti dvi lygiagrečias tiesias linijas ir užtikrinti, tačiau būtina tai padaryti, kad didžiausias trikampio kampų skaičius taptų vidiniu ar įtrauktu į juos. Kaip tai pasiekti?
      

      Ieškokite įrodinėjimo teorijos.

      

      Mokinys: Atlikti per vieną iš trikampio tiesiai lygiagrečiai į kitą pusę viršūnių, tada šoninė pusė bus nuosekli. Pavyzdžiui, per Vertex V.
      Mokytojas: Pavadinkite vidinius vienašalius kampus su šiais tiesioginiais ir sparnais.
      Mokinys: Kampai DBA ir jūs.
      Mokytojas: Kokie kampai bus 180 °?
      Mokinys: ட DBA ir ட BAC.
      Mokytojas: Ką galima pasakyti apie ABD kampą?
      Mokinys: Jo vertė yra lygi ABC ir SVK kampų kiekiui.
      Mokytojas: Kokį patvirtinimą mums nėra įrodyti teorema?
      Mokinys: ட dBC \u003d ட ACB.
      Mokytojas: Kokie kampai yra?
      Mokinys: Vidinės spintos gulėti.
      Mokytojas: Remiantis tuo, ką galime teigti, kad jie yra lygūs?
      Mokinys: Pagal vidaus aprėpties gulėjimo kampus su lygiagrečiomis tiesiomis linijomis ir nuosekliais.

      Dėl įrodinėjimo ieškojimo rezultatas yra parengtas teorijos įrodymas:
      

      Teorijos įrodymas.

      1. Per vieną iš trikampio viršūnių praleiskite tiesią, lygiagrečią priešingumą.
      2. Įrodyti vienodą kampų kampų lygybę.
      3. Įrašykite vidinių vienpusių kampų sumą ir išreikšti juos per trikampio kampus.

      Įrodymas ir jo įrašai.

      
      1. Mes atliekame BD || AC (lygielės lygiagrečios tiesios linijos).
      2. ட 3 \u003d ட 4 (nes jis paims pagrindinius kampus su BD || Au ir Pietų saule).
      3. ட a + ட AVD \u003d 180 ° (kaip jis yra vienpusis kampai su BD || au ir pardavimo AV).
      4. ட A + ட AVD \u003d ட 1 + (ட 2 + ட 4) \u003d ட 1 + ட 2 + ட 3 \u003d 180 °, kuriam reikėjo įrodyti.

      Theoremo formuluotės pritvirtinimas ir jo įrodymas.

      Jei norite suvokti teoremo formuluotę, studentai kviečiami atlikti šias užduotis:

      1. Žodis teorema, kurią mes ką tik įrodėme.
      2. Pažymėkite teorijos sąlygą ir išvadą.
      3. Kokie skaičiai yra taikomi?
      4. Žodis teorija su žodžiais "Jei ..., tada ...".
3. Žinių taikymas, įgūdžių ir įgūdžių formavimas.

1) trikampio kampų suma yra 180 °.

Įrodymai

Leiskite ABC "- savavališkas trikampis ACB yra lygūs kaip vidinis melagis, kurį sudaro tvirtinimas BC su lygiagrečiu tiesia AC ir BD. Todėl trikampio kampo suma prie viršūnių B ir C yra lygūs ABD kampui. Tokie visi trys trikampio kampai yra lygūs ABD ir BAC kampų kiekis. Kadangi šie kampai yra vidiniai vienašališki lygiagrečiai AC ir BD. AB antrinis, tada jų suma yra 180 °. PATEIKIA.
2) Išorinis trikampio kampas su šia viršūniu vadinama kampu greta trikampio kampu šiame viršūnėje.

Teorema: trikampio išorinis kampas yra lygus dviejų trikampio kampų sumai, nesusijusi su juo

Įrodymai. Leiskite ABC būti šis trikampis. Teorema dėl kampų kiekio trikampyje
∠ ABC + ∠ BCA + ∠ kabina \u003d 180 °.
Tai reiškia
∠ ABC + ∠ kabina \u003d 180 ° - ∠ BCA \u003d ∠ BCD
Įrodyta teorema.

Iš teorijos seka:
Išorinis trikampio kampas yra didesnis už trikampio kampą, nesusijęs su juo.
3) Trikampio kampų suma \u003d 180 laipsnių. Jei vienas iš tiesios linijos kampų (90 laipsnių) dviem kiti yra ir 90. Taigi kiekvienas iš jų yra mažesnis nei 90, tai yra aštrus. Jei vienas iš kampų yra kvailas, tada du kiti sudaro mažiau nei 90, tai yra, jie yra aiškiai aštrūs.
4) kvailas - daugiau nei 90 laipsnių
ekrano - mažiau nei 90 laipsnių
5) a. Trikampis, kuriame vienas iš kampų yra 90 laipsnių.
b. Karetai ir hipotesai
6) 6 °. Kiekviename trikampyje, prieš daugumą šalių didesnis kampelis ir atgal: prieš didesnį kampą yra didžiausia pusė. Bet segmentas turi vieną ir tik vieną vidurį.
7) Pasak Pythagora teorem: hipotenuse kvadratas yra lygus katetų kvadratų sumai, o tai reiškia hipotenuse daugiau nei kiekvienas katedras
8) --- tas pats kaip 7
9) trikampio kampų suma yra 180 laipsnių. Ir jei didžioji trikampio pusė būtų daugiau nei dvi kitos paramos, kampų suma būtų daugiau nei 180, kuri yra neįmanoma. Todėl kiekviena trikampio pusė yra mažesnė už dviejų kitų šalių sumą.
10) Bet kurio trikampio kampų suma yra 180 laipsnių.
T. K. Šis trikampis yra stačiakampis, tada vienas iš jo kampų yra tiesus, t. Y. yra lygus 90 laipsnių.
Todėl dviejų kitų aštrių kampų suma yra 180-90 \u003d 90 laipsnių.
11) 1. Apsvarstykite stačiakampį ABC trikampį, kuriame A kampas yra tiesus, kampas B \u003d 30 laipsnių kampe C \u003d 60. Mes imsimės ABC trikampio. Mes gauname BCD trikampį, kuriame kampas B \u003d kampas D \u003d 60 laipsnių, todėl DC \u003d BC. Bet ant AC 1/2 saulės statybos, kuri turėjo įrodyti.2. Jei stačiakampio trikampio ritinėlis yra lygus pusei hipotenzavimo, kampas, esantis prieš šią kategoriją, yra lygi 30 laipsnių. Siūlome tai. Išnagrinėjame stačiakampį trikampį, kuriame garsiakalbių kalba yra lygi pusei AU hipotenuse. Mes taikėme ABS trikampį, lygų ABD trikampiui. Gauti lygiakraštį trikampio BCD. Lygiakraščio trikampio kampai yra lygūs vieni kitiems (nes yra lygūs kampai prieš lygų stroną), todėl kiekvienas iš jų \u003d 60 laipsnių. Bet DBC \u003d 2 ABC kampas, todėl ABC \u003d 30 laipsnių kampu, kuris turėjo įrodyti.

. (1 skaidrė)

Pamokos tipas:pamoka, mokanti naują medžiagą.

Tikslai pamoka:

• Švietimas:
  • apsvarstykite teoriją apie trikampio kampų sumą,
  • rodyti teorijos naudojimą sprendžiant užduotis.
• Švietimas:
  • teigiamas mokinių požiūris į žinias
  • atlaisvinkite pasitikėjimą savo stiprybėmis studentams.
• BŪTINA. \\ T:
  • analitinio mąstymo kūrimas
  • "Įgūdžių mokymosi įgūdžių ugdymas": naudokite žinias, įgūdžius ir įgūdžius ugdymo procese,
  • loginio mąstymo kūrimas, gebėjimas aiškiai suformuluoti savo mintis.

Įranga:interaktyvi valdyba, pristatymas, kortelės.

Klasių metu

I. organizacinis momentas

- Šiandien pamokoje prisiminsime stačiakampių, lygių trikampių apibrėžimą. Pakartokite trikampių kampų savybes. Taikant vidinio vienpusio ir vidinio įkvėpimo gulėjimo kampų savybes įrodyti teorema apie trikampio kampų sumą ir sužinoti, kaip jį taikyti sprendžiant problemas.

Ii. Žodžiu. \\ T(2 slydimas)

1) Raskite ant brėžinių stačiakampių, lygių lygių trikampių.
2) Pateikite šių trikampių apibrėžimą.
3) suformuluoti lygiakildo ir prilyginamo trikampio kampų savybes.

4) KE II NH paveiksle. (3 stiklelis)

- Nurodykite šių tiesioginių sekmeterius
- Rasti vidinius vienašalius kampus, vidinį gulėjimo kampų perėjimą, skambinkite jų savybėms

III. Naujos medžiagos paaiškinimas

Teorema.Trikampio kampų suma yra 180 O

Pagal teoremo formuluotę vaikinai statyti brėžinį, parašykite sąlygą, išvadą. Atsakymas į klausimus, nepriklausomai įrodyti teoriją.

Atsižvelgiant į: Įrodyti

Įrodymai:

1. Per viršūnę trikampyje išleisime tiesioginį BD II AC.
2. Nurodykite eilių tiesių linijų sekiklius.
3. Ką galima pasakyti apie CBD ir ACB kampus? (Atlikite įrašą)
4. Ką mes žinome apie kabinos ir ABD kampus? (Atlikite įrašą)
5. Pakeiskite CBD kampo ACB kampą
6. Padarykite išvadą.

IV. Baigti pasiūlymą.(4 slydimas)

1. Trikampio kampų suma yra lygi ...
2. Trikampyje vienas iš kampų yra lygus kitam, trečiasis trikampio kampas yra lygus ...
3. Aštrių stačiakampio trikampio kampų suma yra lygi ...
4. Vienodai vizualinio stačiakampio trikampio kampai yra lygūs ...
5. lygiakraščio trikampio kampai yra lygūs ...
6. Jei kampas tarp šoninių šoninių šoninių trikampio yra 1000, tada kampai prie pagrindo yra lygūs ...

V. Kai kurios istorija.(Skaidrės 5-7)

Theoremo įrodymas dėl trikampio kampų sumos "Vidaus kiekis" Trikampio kampai yra lygūs dviems tiesioginiams "atributui" Pitagora "(580-500 g. BC)
Senovės graikų mokslininkas Proclus (410-485 G. N.E.),

Trikampis yra daugiakampis, turintis tris puses (trys kampas). Dažniausiai šalys žymi mažomis raidėmis, atitinkančiomis didžiosiomis raidėmis, nurodančiomis priešingus viršūnes. Šiame straipsnyje mes susipažinsime su šių geometrinių figūrų, teorem, kuris lemia tai, kokia trikampio kampų suma yra lygi.

Kampų tipai

Skiriami šie poligono tipai su trimis viršūnėmis:

• Ūmus aktas, kuriame visi kampai yra aštrūs;
• stačiakampis, turintis vieną tiesų kampą, su jo formuluotėmis yra vadinamos kategorijomis, o pusė, kuri yra priešinga tiesioginiam kampui, vadinama hipotenutu;
• kvailas, kai vienas;
• isoscele, kurioje dvi pusės yra lygios, ir jie vadinami šalimi, o trečiasis - trikampio pagrindas;
• vienodai, turintys visas tris lygias puses.

Savybės

Paskirti pagrindines savybes, kurios būdingos kiekvienam trikampio tipui:

• priešingai, dauguma pusių visada yra didesnis kampas ir atvirkščiai;
• priešingai, vienodi kampai yra lygūs pusių dydžiui ir atvirkščiai;
• bet koks trikampis turi du aštrius kampus;
• išorinis kampas, palyginti su bet kuriuo vidiniu kampu, nesusijęs su juo;
• bet kokių dviejų kampų kiekis visada yra mažesnis nei 180 laipsnių;
• išorinis kampas yra lygus kitų dviejų kampų sumai, kurios nėra susieti su juo.

Theorem dėl trikampio kampų sumos

Teorema teigia, kad jei pridedate visus tam tikros geometrinės formos kampus, esančius Euklido plokštumoje, jų suma bus 180 laipsnių. Pabandykime įrodyti šį teoremą.

Turėkime savavališką trikampį su CMN viršūnių.

Per viršūnę CN vežs (vis dar vadinama tiesiogine Euklidėja tiesiogine). Jis atkreipia dėmesį į tašką ir tokiu būdu, kad K ir A taškas yra iš skirtingų pusių tiesios linijos. Mes gauname vienodus AMN ir KNM kampus, kurie, kaip vidiniai, yra artimiausioje ir yra suformuoti nuosekliai MN, kartu su tiesioginiu KN ir MA, kurie yra lygiagrečiai. Iš to išplaukia, kad trikampio kampų, esančių M ir H, kampai yra lygūs CMA kampo dydžiui. Visi trys kampai sudaro sumą, kuri yra lygi CMA ir MCN kampų sumai. Kadangi šie kampai yra vidiniai vienpusiai, palyginti su lygiagrečiais tiesioginiais CN ir MA su eilės cm, jų suma yra 180 laipsnių. Įrodyta teorema.

Pasekmė

Iš pirmiau minėto teorinės seka šios pasekmės: bet koks trikampis turi du aštrius kampus. Norėdami įrodyti, manyti, kad šis geometrinis skaičius turi tik vieną aštrią kampą. Taip pat galima daryti prielaidą, kad nė vienas iš kampų nėra ūmus. Šiuo atveju turi būti bent du kampas, kurių dydis yra lygus arba daugiau nei 90 laipsnių. Bet tada kampų suma bus didesnė nei 180 laipsnių. Ir tai negali būti, nes pagal teoremą, trikampio kampų suma yra 180 ° - ne daugiau ir ne mažiau. Tai buvo būtina įrodyti.

Išorinių kampų nuosavybė

Kokia yra trikampio kampų, kurie yra išoriniai? Atsakymą į šį klausimą galima gauti taikant vieną iš dviejų būdų. Pirmasis yra tas, kad būtina rasti kampų, kurie yra paimti vieną kiekviename viršūnėje, tai yra, trys kampai. Antras reiškia, kad jums reikia rasti visų šešių kampų sumą viršūnėse. Norėdami pradėti, mes susidursime su pirmuoju variantu. Taigi, trikampyje yra šeši išoriniai kampai - su kiekvienais viršūniais du.

Kiekviena pora turi vienodus kampus, nes jie yra vertikalūs:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Be to, žinoma, kad trikampio išorinis kampas yra lygus dviejų vidinių sumai, kuri nėra susieti su juo. Taigi,

∟1 \u003d ∟a + ∟С, ∟2 \u003d ∟a + ∟V, ∟3 \u003d ∟в + ∟С.

Pasirodo, kad išorinių kampų kiekis, kuris yra paimtas po vienos viršūnės, bus lygi:

∟1 + ∟2 + ∟3 \u003d ∟a + ∟С + ∟a + ∟V + ∟V + ∟С \u003d 2 x (∟a + ∟v + ∟С).

Atsižvelgiant į tai, kad kampų kiekis yra lygus 180 laipsnių, jis gali būti teigiamas, kad ∟a + ∟v + ∟C \u003d 180 °. Tai reiškia, kad ∟1 + ∟2 + ∟3 \u003d 2 x 180 ° \u003d 360 °. Jei naudojamas antrasis variantas, šešių kampų suma bus atitinkamai, daugiau nei du kartus. Tai reiškia, kad trikampio išorinių kampų suma bus:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 \u003d 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) \u003d 720 °.

Taisyklingas trikampis

Kokia yra stačiakampio trikampio kampų, kurie yra aštrūs? Atsakymas į šį klausimą, dar kartą, iš teorijos, kuris teigia, kad kampai trikampyje sumoje yra 180 laipsnių. Ir mūsų pareiškimas (nuosavybė) skamba taip: stačiakampio trikampio, aštrių kampų sumos suteikia 90 laipsnių. Mes įrodome jo teisingumą.

Leiskite mums suteikti mums kmn trikampį, kurio ∟n \u003d 90 °. Būtina įrodyti, kad ∟K + ∟m \u003d 90 °.

Taigi, pasak teoremo dėl ∟K + ∟m + ∟n \u003d 180 ° kampų. Mūsų būklėje sakoma, kad ∟n \u003d 90 °. Taigi paaiškėja, ∟K + ∟m + 90 ° \u003d 180 °. Tai yra, ∟K + ∟m \u003d 180 ° - 90 ° \u003d 90 °. Tai yra tai, ką turėtume įrodyti.

Be pirmiau minėtų stačiakampio trikampio savybių, galite pridėti prie:

• kampai, esantys prieš katedimus, yra aštrūs;
• trikampio hipotenuse yra daugiau nei bet kuris katedras;
• katetų kiekis yra labiau hipotenuse;
• trikampio, kuris yra priešais 30 laipsnių kampu, katat yra dvigubai daugiau nei mažiau hipotenai, tai yra lygūs jos pusei.

Kaip kita šios geometrinės formos turtas, galite pasirinkti Pythagora teorem. Jis teigia, kad trikampyje su 90 laipsnių kampu (stačiakampis) Katetų kvadratų suma yra lygi hipotenzavimo aikštei.

Padidėjusio trikampio kampų suma

Anksčiau sakėme, kad vienodai vadinamas daugiakampis su trimis viršūnėmis, kuriose yra dvi lygios pusės. Ši šios geometrinės formos savybė yra žinoma: kampai savo bazėje yra lygūs. Mes tai įrodome.

Paimkite KMN trikampį, kuris yra vienodai apgalvotas, knyga yra jo pagrindas.

Turime įrodyti, kad ∟k \u003d ∟ Taigi, tarkim, kad MA yra mūsų KMN trikampio bisektorius. ICA trikampis, atsižvelgiant į pirmąjį lygybės ženklą, yra lygus MNA trikampiui. Būtent, atsižvelgiant į sąlygą, tai yra suteikta, kad km \u003d NM, MA yra bendroji šalis, ∟1 \u003d ∟2, nes MA yra bisector. Naudojant šių dviejų trikampių lygybės faktą, galima teigti, kad ∟k \u003d ∟. Taigi, įrodyta teorema.

Bet mes esame suinteresuoti, kas yra trikampio kampų suma (yra pusiausvyra). Kadangi šiuo atžvilgiu jis neturi savo savybių, bus atstumtos iš anksčiau aptartos teorijos. Tai yra, mes galime teigti, kad ∟K + ∟m + ∟n \u003d 180 ° arba 2 x ∟K + ∟m \u003d 180 ° (nuo ∟K \u003d ∟n). Mes neįrodysime šio turto, nes buvo įrodyta, kad teorema apie trikampio kampų sumą buvo įrodyta anksčiau.

Be trikampio kampų savybių, taip pat yra tokių svarbių įtarimų:

• kuri buvo praleista dėl pagrindo, tuo pačiu metu yra mediana, bisektoriaus kampas, kuris yra tarp vienodų šalių, taip pat jos pagrindo;
• medians (Bisector, aukščiai), kurie buvo atlikti tokios geometrinės formos šonuose, yra lygūs.

Lygiakraštis trikampis

Jis taip pat vadinamas teisingu, tai yra trikampis, kad visos šalys yra lygios. Ir todėl kampai taip pat yra lygūs. Kiekvienas iš jų yra 60 laipsnių. Įrodyti šį turtą.

Tarkime, mes turime kmn trikampį. Mes žinome, kad km \u003d nm \u003d kn. Tai reiškia, kad pagal kampų nuosavybę, esančią pusiausvyros trikampyje, ∟k \u003d ∟m \u003d ∟. Kadangi pagal teoremą, trikampio kampų suma yra ∟K + ∟m + ∟n \u003d 180 °, tada 3 x ∟k \u003d 180 ° arba ∟K \u003d 60 °, ∟m \u003d 60 °, ∟n \u003d 60 °. Taigi patvirtinamas patvirtinimas.

Kaip matyti iš pirmiau įrodymų, remiantis teorijos pagrindu, kampų suma, kaip bet kurio kito trikampio kampų suma yra 180 laipsnių. Įrodyti šį teoremą.

Vis dar yra tokių savybių savybės būdingi lygiakeniam trikampiui:

• mediana, Bisektorius, aukštis tokiu geometriniu skaičiumi sutampa, o jų ilgis apskaičiuojamas kaip (ir x √3): 2;
• jei apibūdinate aplink šį daugiakampio ratą, jo spindulys bus lygus (ir x √3): 3;
• Įveskite ratą į lygiakraštį trikampį, jo spindulys bus (a x √3): 6;
• Šios geometrinės formos plotas apskaičiuojamas pagal formulę: (A2 x √3): 4.

Kvailas trikampis

Pagal apibrėžimą vienas iš jo kampų yra nuo 90 iki 180 laipsnių. Tačiau, atsižvelgiant į tai, kad kitas šios geometrinės formos kampas yra aštrus, galima daryti išvadą, kad jie neviršija 90 laipsnių. Todėl teorema dėl trikampio kampų sumos skaičiuojant kampų kiekį kvailoje trikampyje. Pasirodo, mes galime saugiai teigti, pasikliauti pirmiau minėta teorema, kad kvailo trikampio kampų suma yra 180 laipsnių. Vėlgi, ši teorija nereikia iš naujo įrodymų.