0, 30, 45, 60, 90, ... laipsnių kampų pagrindinių trigonometrinių funkcijų lentelė
Iš trigonometrinių funkcijų $\sin$, $\cos$, $\tan$ ir $\cot$ apibrėžimų galite sužinoti jų vertes kampams $0$ ir $90$ laipsnių:
$\sin0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\lot 0°$ neapibrėžta;
$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ nenustatyta.
Mokyklos geometrijos kurse, studijuojant stačiuosius trikampius, randamos kampų $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ ir $90°$ trigonometrinės funkcijos.
Nurodytų kampų trigonometrinių funkcijų reikšmės atitinkamai laipsniais ir radianais ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$), kad būtų lengviau įsiminti ir naudoti, įvedami į lentelę, vadinamą trigonometrinė lentelė, trigonometrinių funkcijų pagrindinių verčių lentelė ir taip toliau.
Naudojant redukcijos formules, trigonometrinę lentelę galima išplėsti iki $360°$ kampo ir atitinkamai $2\pi$ radianų:
Naudojant trigonometrinių funkcijų periodiškumo savybes, kiekvieną kampą, kuris nuo jau žinomo skirsis $360°$, galima apskaičiuoti ir įrašyti į lentelę. Pavyzdžiui, trigonometrinė funkcija kampui $0°$ turės tokią pačią reikšmę kampui $0°+360°$, kampui $0°+2 \cdot 360°$ ir kampui $0°+3 \cdot 360°$ ir kt.
Naudodami trigonometrinę lentelę galite nustatyti visų vienetinio apskritimo kampų reikšmes.
Mokyklos geometrijos kurse turėtumėte įsiminti pagrindines trigonometrinių funkcijų reikšmes, surinktas trigonometrinėje lentelėje, kad būtų patogiau spręsti trigonometrines problemas.
Lentelėje pakanka rasti reikiamą trigonometrinę funkciją ir kampo ar radianų reikšmę, kuriai šią funkciją reikia skaičiuoti. Eilutės su funkcija ir stulpelio su reikšme sankirtoje gauname norimą nurodyto argumento trigonometrinės funkcijos reikšmę.
Paveiksle galite pamatyti, kaip rasti $\cos60°$ reikšmę, kuri yra lygi $\frac(1)(2)$.
Išplėstinė trigonometrinė lentelė naudojama taip pat. Jo naudojimo pranašumas, kaip jau minėta, yra beveik bet kurio kampo trigonometrinės funkcijos apskaičiavimas. Pavyzdžiui, galite lengvai rasti reikšmę $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 °$:
Galimybė apskaičiuoti absoliučiai bet kurios kampo reikšmės trigonometrinę funkciją, kai laipsniai ir sveikieji skaičiai yra minutės, suteikiama naudojant Bradis lenteles. Pavyzdžiui, suraskite $\cos34°7"$ reikšmę. Lentelės suskirstytos į 2 dalis: $\sin$ ir $\cos$ verčių lentelę ir $ reikšmių lentelę. \tan$ ir $\cot$.
Bradis lentelės leidžia gauti apytiksles trigonometrinių funkcijų reikšmes iki 4 ženklų po kablelio tikslumu.
Naudodami Bradis lenteles sinusams randame $\sin17°42"$. Norėdami tai padaryti, kairiajame sinusų ir kosinusų lentelės stulpelyje randame laipsnių reikšmę - $17°$, o viršutinėje eilutėje randame minučių vertę – $42"$. Jų sankirtoje gauname norimą vertę:
$\sin17°42"=0,304 $.
Norėdami rasti reikšmę $\sin17°44"$, turite naudoti dešinėje lentelės pusėje esančią pataisą. Šiuo atveju prie vertės $42"$, kuri yra lentelėje, turite pridėti $2 pataisą. "$, kuri yra lygi 0,0006 $. Gauname:
$\sin17°44"=0.304+0.0006=0.3046$.
Norėdami rasti reikšmę $\sin17°47"$, taip pat naudojame dešinėje lentelės pusėje esančią pataisą, tik šiuo atveju kaip pagrindą imame reikšmę $\sin17°48"$ ir atimame pataisą iš $1"$ :
$\sin17°47"=0.3057-0.0003=0.3054$.
Skaičiuodami kosinusus atliekame panašius veiksmus, bet žiūrime į laipsnius dešiniajame lentelės stulpelyje, o minutes – į apatinį lentelės stulpelį. Pavyzdžiui, $\cos20°=0.9397$.
Nėra jokių pataisymų dėl liestinės vertės iki $90°$ ir mažo kampo kotangento. Pavyzdžiui, suraskime $\tan 78°37"$, kuris pagal lentelę yra lygus $4.967$.
Paprasčiau tariant, tai daržovės, virtos vandenyje pagal specialų receptą. Apsvarstysiu du pradinius komponentus (daržovių salotas ir vandenį) ir galutinį rezultatą - barščius. Geometriškai jį galima įsivaizduoti kaip stačiakampį, kurio viena pusė reiškia salotas, o kita - vandenį. Šių dviejų pusių suma parodys barščius. Tokio „barščių“ stačiakampio įstrižainė ir plotas yra grynai matematinės sąvokos ir niekada nenaudojamos barščių receptuose.
Matematikos vadovėliuose nieko nerasite apie tiesines kampines funkcijas. Bet be jų negali būti matematikos. Matematikos dėsniai, kaip ir gamtos dėsniai, veikia nepriklausomai nuo to, ar žinome apie jų egzistavimą, ar ne.
Tiesinės kampinės funkcijos yra sudėjimo dėsniai. Pažiūrėkite, kaip algebra virsta geometrija, o geometrija – trigonometrija.
Ar galima apsieiti be linijinių kampinių funkcijų? Tai įmanoma, nes matematikai vis tiek apsieina be jų. Matematikos gudrybė yra ta, kad jie mums visada pasakoja tik apie tas problemas, kurias patys žino, kaip išspręsti, ir niekada nekalba apie tas problemas, kurių negali išspręsti. Žiūrėk. Jei žinome sudėjimo ir vieno nario rezultatą, kitam dėmeniui rasti naudojame atimtį. Visi. Mes nežinome kitų problemų ir nežinome, kaip jas išspręsti. Ką daryti, jei žinome tik pridėjimo rezultatą ir nežinome abiejų terminų? Šiuo atveju sudėjimo rezultatas turi būti išskaidytas į du terminus, naudojant tiesines kampines funkcijas. Toliau mes patys pasirenkame, koks gali būti vienas narys, o tiesinės kampinės funkcijos parodo, koks turi būti antrasis narys, kad pridėjimo rezultatas būtų būtent toks, kokio mums reikia. Tokių terminų porų gali būti be galo daug. Kasdieniame gyvenime puikiai sutariame nesuskaidydami sumos, mums užtenka atimties. Tačiau atliekant mokslinius gamtos dėsnių tyrimus, suskaidyti sumą į komponentus gali būti labai naudinga.
Kitas papildymo dėsnis, apie kurį matematikai nemėgsta kalbėti (dar vienas jų triukas), reikalauja, kad terminai turėtų tuos pačius matavimo vienetus. Salotoms, vandeniui ir barščiams tai gali būti svorio, tūrio, vertės arba matavimo vienetai.
Paveiksle pavaizduoti du matematinio skirtumo lygiai. Pirmasis lygis yra skaičių lauko skirtumai, kurie yra nurodyti a, b, c. Taip daro matematikai. Antrasis lygis yra matavimo vienetų lauko skirtumai, kurie rodomi laužtiniuose skliaustuose ir nurodomi raide U. Taip daro fizikai. Galime suprasti trečiąjį lygmenį – aprašomų objektų ploto skirtumus. Skirtingi objektai gali turėti tiek pat identiškų matavimo vienetų. Kaip tai svarbu, matome barščių trigonometrijos pavyzdyje. Jei prie to paties vieneto žymėjimo skirtingiems objektams pridėsime apatinius indeksus, galime tiksliai pasakyti, koks matematinis dydis apibūdina konkretų objektą ir kaip jis keičiasi laikui bėgant arba dėl mūsų veiksmų. Laiškas W Vandenį pažymėsiu raide S Aš pažymėsiu salotas raide B- barščiai. Taip atrodys barščių linijinės kampinės funkcijos.
Jei paimsime dalį vandens ir dalį salotų, kartu jos pavirs viena barščių porcija. Čia siūlau šiek tiek pailsėti nuo barščių ir prisiminti tolimą vaikystę. Prisimeni, kaip mus mokė surišti zuikius ir antis? Reikėjo išsiaiškinti, kiek bus gyvūnų. Ko tada buvome išmokyti? Mus mokė atskirti matavimo vienetus nuo skaičių ir sudėti skaičius. Taip, bet kurį numerį galima pridėti prie bet kurio kito skaičiaus. Tai tiesus kelias į šiuolaikinės matematikos autizmą – mes tai darome nesuprantamai, ką, nesuprantamai kodėl ir labai menkai suprantame, kaip tai susiję su realybe, nes dėl trijų skirtumų lygių matematikai operuoja tik su vienu. Teisingiau būtų išmokti pereiti nuo vieno matavimo vieneto prie kito.
Kiškučius, antis ir gyvūnėlius galima suskaičiuoti į gabalus. Vienas bendras skirtingų objektų matavimo vienetas leidžia juos sujungti. Tai vaikiška problemos versija. Pažvelkime į panašią užduotį suaugusiems. Ką gausite pridėję zuikius ir pinigų? Čia yra du galimi sprendimai.
Pirmas variantas. Nustatome zuikių rinkos vertę ir pridedame prie turimos pinigų sumos. Mes gavome bendrą mūsų turto vertę pinigine išraiška.
Antras variantas. Prie mūsų turimų banknotų skaičiaus galite pridėti zuikių skaičių. Kilnojamojo turto kiekį gausime vienetais.
Kaip matote, tas pats papildymo įstatymas leidžia gauti skirtingus rezultatus. Viskas priklauso nuo to, ką tiksliai norime žinoti.
Bet grįžkime prie mūsų barščių. Dabar matome, kas nutiks skirtingoms linijinių kampinių funkcijų kampų vertėms.
Kampas lygus nuliui. Turime salotų, bet ne vandens. Mes nemokame virti barščių. Barščių kiekis taip pat lygus nuliui. Tai visai nereiškia, kad nulis barščių yra lygus nuliui vandens. Gali būti nuliniai barščiai su nulinėmis salotomis (stačiu kampu).
Man asmeniškai tai yra pagrindinis matematinis įrodymas, kad . Nulis nekeičia skaičiaus, kai pridedamas. Taip atsitinka todėl, kad pats papildymas neįmanomas, jei yra tik vienas narys, o trūksta antrojo. Galite jausti tai kaip norite, bet atminkite - visas matematines operacijas su nuliu sugalvojo patys matematikai, todėl meskite savo logiką ir kvailai prikimškite matematikų sugalvotus apibrėžimus: „dalyti iš nulio neįmanoma“, „bet koks skaičius padaugintas iš nulis lygus nuliui“, „už pradūrimo taško nulis“ ir kitos nesąmonės. Pakanka vieną kartą prisiminti, kad nulis nėra skaičius, ir daugiau niekada nekils klausimų, ar nulis yra natūralusis skaičius, ar ne, nes toks klausimas praranda bet kokią prasmę: kaip tai, kas nėra skaičius, gali būti laikomas skaičiumi ? Tai panašu į klausimą, prie kokios spalvos turėtų būti priskirta nematoma spalva. Pridėti nulį prie skaičiaus yra tas pats, kas tapyti dažais, kurių nėra. Pamojavome sausu teptuku ir visiems pasakėme, kad „dažėme“. Bet aš šiek tiek nukrypstu.
Kampas yra didesnis nei nulis, bet mažesnis nei keturiasdešimt penki laipsniai. Turime daug salotų, bet nepakankamai vandens. Dėl to gausime tirštus barščius.
Kampas yra keturiasdešimt penki laipsniai. Vandens ir salotų turime vienodus kiekius. Tai tobuli barščiai (atleiskite, virėjai, tai tik matematika).
Kampas yra didesnis nei keturiasdešimt penki laipsniai, bet mažesnis nei devyniasdešimt laipsnių. Turime daug vandens ir mažai salotų. Gausite skystų barščių.
Tiesus kampas. Turime vandens. Iš salotų lieka tik prisiminimai, nes toliau matuojame kampą nuo linijos, kuri kadaise žymėjo salotas. Mes nemokame virti barščių. Barščių kiekis lygus nuliui. Tokiu atveju laikykis ir gerk vandens, kol jo turi)))
Čia. Kažkas panašaus į tai. Čia galiu papasakoti kitų istorijų, kurios čia būtų daugiau nei tinkamos.
Du draugai turėjo savo akcijų bendrame versle. Nužudžius vieną iš jų, viskas atiteko kitam.
Matematikos atsiradimas mūsų planetoje.
Visos šios istorijos pasakojamos matematikos kalba naudojant tiesines kampines funkcijas. Kada nors kitą kartą parodysiu tikrąją šių funkcijų vietą matematikos struktūroje. Tuo tarpu grįžkime prie barščių trigonometrijos ir apsvarstykime projekcijas.
Baigdami pokalbį, turime apsvarstyti begalinį rinkinį. Esmė ta, kad „begalybės“ sąvoka veikia matematikus taip, kaip boa konstriktorius veikia triušį. Drebantis begalybės siaubas atima iš matematikų sveiką protą. Štai pavyzdys:
Pradinis šaltinis yra. Alfa reiškia realų skaičių. Lygybės ženklas aukščiau pateiktose išraiškose rodo, kad jei prie begalybės pridėsite skaičių arba begalybę, niekas nepasikeis, rezultatas bus ta pati begalybė. Jei kaip pavyzdį paimsime begalinę natūraliųjų skaičių aibę, tada nagrinėjamus pavyzdžius galima pavaizduoti tokia forma:
Norėdami aiškiai įrodyti, kad jie buvo teisūs, matematikai sugalvojo daugybę skirtingų metodų. Asmeniškai aš į visus šiuos metodus žiūriu kaip į šamanus, šokančius su tamburinais. Iš esmės jie visi susiveda į tai, kad kai kurie kambariai yra neapgyvendinti ir įsikelia nauji svečiai, arba kai kurie lankytojai yra išmesti į koridorių, kad būtų vietos svečiams (labai žmogiškai). Savo požiūrį į tokius sprendimus pateikiau fantastinės istorijos apie blondinę forma. Kuo remiasi mano samprotavimai? Begalinio lankytojų skaičiaus perkėlimas užima be galo daug laiko. Po to, kai atlaisvinsime pirmą kambarį svečiui, vienas iš lankytojų visada eis koridoriumi iš savo kambario į kitą iki laiko pabaigos. Žinoma, laiko faktorių galima kvailai ignoruoti, bet tai bus kategorija „neįstatymas nėra parašytas kvailiams“. Viskas priklauso nuo to, ką mes darome: prideriname tikrovę prie matematinių teorijų ar atvirkščiai.
Kas yra „begalinis viešbutis“? Begalinis viešbutis yra viešbutis, kuriame visada yra bet koks tuščių lovų skaičius, nepaisant to, kiek kambarių yra užimta. Jei begaliniame „lankytojų“ koridoriuje visi kambariai užimti, atsiranda kitas begalinis koridorius su „svečių“ kambariais. Tokių koridorių bus be galo daug. Be to, „begalinis viešbutis“ turi begalinį aukštų skaičių begaliniame skaičiuje pastatų begaliniame skaičiuje planetų begaliniame skaičiuje visatų, sukurtų begalinio skaičiaus dievų. Matematikai nesugeba atsiriboti nuo banalių kasdienių problemų: visada yra vienas Dievas-Allah-Buda, yra tik vienas viešbutis, yra tik vienas koridorius. Taigi matematikai bando žongliruoti viešbučių kambarių serijos numeriais, įtikindami mus, kad įmanoma „įsigyti neįmanomą“.
Savo samprotavimų logiką jums parodysiu naudodamas begalinės natūraliųjų skaičių aibės pavyzdį. Pirmiausia reikia atsakyti į labai paprastą klausimą: kiek yra natūraliųjų skaičių aibių – vienas ar daug? Nėra teisingo atsakymo į šį klausimą, nes skaičius sugalvojome patys; gamtoje skaičių nėra. Taip, Gamta puikiai moka skaičiuoti, tačiau tam ji naudoja kitus mums nepažįstamus matematinius įrankius. Kitą kartą pasakysiu, ką gamta galvoja. Kadangi mes išradome skaičius, mes patys nuspręsime, kiek yra natūraliųjų skaičių aibių. Apsvarstykime abu variantus, kaip ir dera tikriems mokslininkams.
Variantas vienas. „Duokite mums“ vieną natūraliųjų skaičių rinkinį, kuris ramiai guli lentynoje. Šį rinkinį paimame iš lentynos. Tai štai, kitų natūraliųjų skaičių lentynoje neliko ir nėra kur paimti. Negalime jo pridėti prie šio rinkinio, nes jį jau turime. O jeigu tu tikrai to nori? Jokiu problemu. Galime paimti vieną iš jau paimto rinkinio ir grąžinti į lentyną. Po to galime paimti vieną iš lentynos ir pridėti prie to, kas liko. Dėl to vėl gausime begalinę natūraliųjų skaičių aibę. Visas mūsų atliktas manipuliacijas galite užrašyti taip:
Veiksmus užrašiau algebriniu ir aibių teorijos žymėjimu, detaliai išvardijau aibės elementus. Indeksas rodo, kad turime vieną ir vienintelį natūraliųjų skaičių rinkinį. Pasirodo, natūraliųjų skaičių aibė išliks nepakitusi tik iš jos atėmus vieną ir pridėjus tą patį vienetą.
Antras variantas. Savo lentynoje turime daugybę skirtingų begalinių natūraliųjų skaičių rinkinių. Pabrėžiu – SKIRTINGI, nepaisant to, kad jie praktiškai nesiskiria. Paimkime vieną iš šių rinkinių. Tada paimame vieną iš kitos natūraliųjų skaičių aibės ir pridedame prie jau paimtos aibės. Galime pridėti net dvi natūraliųjų skaičių aibes. Štai ką mes gauname:
Indeksai „vienas“ ir „du“ rodo, kad šie elementai priklausė skirtingiems rinkiniams. Taip, jei pridėsite vieną prie begalinės aibės, rezultatas taip pat bus begalinis aibė, tačiau jis nebus toks pat kaip pradinis rinkinys. Jei prie vienos begalinės aibės pridėsite kitą begalinę aibę, bus sukurta nauja begalinė aibė, susidedanti iš pirmųjų dviejų aibių elementų.
Natūraliųjų skaičių aibė naudojama skaičiuoti taip pat, kaip liniuote matuoti. Dabar įsivaizduokite, kad prie liniuotės pridėjote vieną centimetrą. Tai bus kita eilutė, neprilygsta pradinei.
Galite priimti arba nepriimti mano samprotavimų – tai jūsų pačių reikalas. Bet jei kada nors susidursite su matematinėmis problemomis, pagalvokite, ar einate klaidingų samprotavimų keliu, kurį žengia matematikų kartos. Mat matematikos studijos pirmiausia mumyse formuoja stabilų mąstymo stereotipą, o tik tada papildo mūsų protinius gebėjimus (arba, atvirkščiai, atima laisvą mąstymą).
pozg.ru
Baigiau rašyti straipsnį apie tai ir pamačiau šį nuostabų tekstą Vikipedijoje:
Skaitome: „... turtingas Babilono matematikos teorinis pagrindas neturėjo holistinio pobūdžio ir buvo sumažintas iki skirtingų metodų rinkinio, neturinčio bendros sistemos ir įrodymų bazės“.
Oho! Kokie mes protingi ir kaip gerai matome kitų trūkumus. Ar mums sunku tame pačiame kontekste pažvelgti į šiuolaikinę matematiką? Šiek tiek perfrazuodamas aukščiau pateiktą tekstą, aš asmeniškai gavau štai ką:
Turtingas šiuolaikinės matematikos teorinis pagrindas nėra holistinio pobūdžio ir yra sumažintas iki skirtingų skyrių, neturinčių bendros sistemos ir įrodymų bazės, rinkinio.
Toli nepatvirtinsiu savo žodžių – jo kalba ir sutartiniai principai skiriasi nuo daugelio kitų matematikos šakų kalbos ir susitarimų. Tie patys pavadinimai skirtingose matematikos šakose gali turėti skirtingas reikšmes. Aiškiausioms šiuolaikinės matematikos klaidoms noriu skirti visą eilę publikacijų. Greitai pasimatysime.
Kaip aibę padalyti į poaibius? Norėdami tai padaryti, turite įvesti naują matavimo vienetą, kuris yra kai kuriuose pasirinkto rinkinio elementuose. Pažiūrėkime į pavyzdį.
Tegul turime daug A susidedantis iš keturių žmonių. Šis rinkinys suformuotas remiantis „žmonėmis“. Šios aibės elementus pažymėkime raide A, indeksas su numeriu nurodys kiekvieno šio rinkinio asmens serijos numerį. Įveskime naują matavimo vienetą „lytis“ ir pažymėkime jį raide b. Kadangi seksualinės savybės būdingos visiems žmonėms, mes padauginame kiekvieną rinkinio elementą A remiantis lytimi b. Atkreipkite dėmesį, kad mūsų „žmonių“ rinkinys dabar tapo „žmonių, turinčių lyčių savybių“, rinkiniu. Po to galime suskirstyti seksualines savybes į vyriškas bm ir moterų bw seksualinės savybės. Dabar galime pritaikyti matematinį filtrą: pasirenkame vieną iš šių seksualinių savybių, nesvarbu, kuri – vyriška ar moteriška. Jei žmogus turi, tai dauginame iš vieneto, jei tokio ženklo nėra, dauginame iš nulio. Ir tada mes naudojame įprastą mokyklinę matematiką. Pažiūrėk, kas atsitiko.
Po dauginimo, mažinimo ir pertvarkymo gavome du pogrupius: vyrų pogrupį Bm ir moterų pogrupis Bw. Matematikai samprotauja maždaug taip pat, kai aibių teoriją taiko praktiškai. Tačiau jie mums nepasako detalių, o pateikia galutinį rezultatą – „daug žmonių susideda iš vyrų ir moterų pogrupio“. Natūralu, kad jums gali kilti klausimas: kaip teisingai matematika buvo pritaikyta aukščiau aprašytose transformacijose? Drįstu patikinti, kad iš esmės transformacijos buvo padarytos teisingai, pakanka žinoti aritmetikos, Būlio algebros ir kitų matematikos šakų matematinį pagrindą. Kas tai yra? Kažkada apie tai papasakosiu.
Kalbant apie superrinkinius, galite sujungti du rinkinius į vieną superrinkinį, pasirinkdami šių dviejų rinkinių elementuose esantį matavimo vienetą.
Kaip matote, matavimo vienetai ir įprasta matematika aibių teoriją paverčia praeities reliktu. Požymis, kad su aibių teorija ne viskas gerai, yra tai, kad matematikai sugalvojo savo kalbą ir žymėjimą aibių teorijai. Matematikai elgėsi kaip kadaise šamanai. Tik šamanai žino, kaip „teisingai“ pritaikyti savo „žinias“. Jie mus moko šių „žinių“.
Baigdamas noriu parodyti, kaip matematikai manipuliuoja .
Penktame amžiuje prieš Kristų senovės graikų filosofas Zenonas iš Elėjos suformulavo savo garsiąsias aporijas, iš kurių garsiausia yra „Achilo ir vėžlio“ aporija. Štai kaip tai skamba:
Tarkime, Achilas bėga dešimt kartų greičiau už vėžlį ir atsilieka nuo jo tūkstančiu žingsnių. Per tą laiką, kurio Achilui reikia nubėgti šį atstumą, vėžlys nušliaups šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Kai Achilas nubėga šimtą žingsnių, vėžlys šliaužia dar dešimt žingsnių ir t.t. Procesas tęsis iki begalybės, Achilas niekada nepasivys vėžlio.
Šis samprotavimas tapo logišku šoku visoms vėlesnėms kartoms. Aristotelis, Diogenas, Kantas, Hegelis, Hilbertas... Visi jie vienaip ar kitaip svarstė Zenono aporiją. Šokas buvo toks stiprus, kad " ... diskusijos tęsiasi iki šiol, mokslo bendruomenė dar nesugebėjo prieiti bendros nuomonės apie paradoksų esmę ... į problemos tyrimą įtraukta matematinė analizė, aibių teorija, nauji fizikiniai ir filosofiniai požiūriai. ; nė vienas iš jų netapo visuotinai priimtu problemos sprendimu..."[Wikipedia, "Zeno aporia". Visi supranta, kad yra kvailinami, bet niekas nesupranta, iš ko susideda apgaulė.
Matematiniu požiūriu Zenonas savo aporijoje aiškiai pademonstravo perėjimą nuo kiekybės prie . Šis perėjimas reiškia taikymą, o ne nuolatinį. Kiek suprantu, matematinis aparatas kintamiems matavimo vienetams naudoti arba dar nėra sukurtas, arba nebuvo pritaikytas Zenono aporijai. Taikydami savo įprastą logiką, mes patenkame į spąstus. Mes, dėl mąstymo inercijos, abipusei vertei taikome pastovius laiko vienetus. Iš fizinės pusės tai atrodo kaip laikas sulėtėjęs, kol visiškai sustoja tuo metu, kai Achilas pasiveja vėžlį. Jei laikas sustos, Achilas nebegali aplenkti vėžlio.
Jei apverstume savo įprastą logiką, viskas stoja į savo vietas. Achilas bėga pastoviu greičiu. Kiekviena paskesnė jo kelio atkarpa yra dešimt kartų trumpesnė nei ankstesnė. Atitinkamai, laikas, skirtas jai įveikti, yra dešimt kartų mažesnis nei ankstesnis. Jei šioje situacijoje pritaikytume „begalybės“ sąvoką, būtų teisinga sakyti „Achilas be galo greitai pasivys vėžlį“.
Kaip išvengti šių loginių spąstų? Laikykitės pastovių laiko vienetų ir neperjunkite prie abipusių vienetų. Zenono kalba tai atrodo taip:
Per tą laiką, kurio prireiks Achilui nubėgti tūkstantį žingsnių, vėžlys nuropos šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Per kitą laiko intervalą, lygų pirmajam, Achilas nubėgs dar tūkstantį žingsnių, o vėžlys nuropos šimtą žingsnių. Dabar Achilas aštuoniais šimtais žingsnių lenkia vėžlį.
Šis požiūris adekvačiai apibūdina tikrovę be jokių loginių paradoksų. Tačiau tai nėra visiškas problemos sprendimas. Einšteino teiginys apie šviesos greičio nenugalimą yra labai panašus į Zenono aporiją „Achilas ir vėžlys“. Dar turime studijuoti, permąstyti ir išspręsti šią problemą. Ir sprendimo reikia ieškoti ne be galo dideliais skaičiais, o matavimo vienetais.
Kita įdomi Zenono aporija pasakoja apie skraidančią strėlę:
Skraidanti strėlė yra nejudanti, nes kiekvienu laiko momentu ji yra ramybės būsenoje, o kadangi ji ilsisi kiekvienu laiko momentu, ji visada yra ramybės būsenoje.
Šioje aporijoje loginis paradoksas įveikiamas labai paprastai – pakanka paaiškinti, kad kiekvienu laiko momentu skraidanti strėlė ilsisi skirtinguose erdvės taškuose, o tai iš tikrųjų yra judėjimas. Čia reikia atkreipti dėmesį į dar vieną dalyką. Iš vienos automobilio nuotraukos kelyje neįmanoma nustatyti nei jo judėjimo fakto, nei atstumo iki jo. Norint nustatyti, ar automobilis juda, reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš to paties taško skirtingu laiku, tačiau negalite nustatyti atstumo nuo jų. Norėdami nustatyti atstumą iki automobilio, jums reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš skirtingų erdvės taškų vienu metu, tačiau iš jų negalite nustatyti judėjimo fakto (žinoma, vis tiek reikia papildomų duomenų skaičiavimams, trigonometrija jums padės ). Noriu atkreipti ypatingą dėmesį į tai, kad du laiko taškai ir du erdvės taškai yra skirtingi dalykai, kurių nereikėtų painioti, nes jie suteikia skirtingas tyrimo galimybes.
Parodysiu procesą pavyzdžiu. Mes pasirenkame „raudoną kietą spuogelyje“ - tai mūsų „visa“. Tuo pačiu matome, kad šie dalykai yra su lanku, o yra be lanko. Po to išrenkame dalį „visumos“ ir sudarome rinkinį „su lanku“. Taip šamanai gauna maistą, susiedami savo aibės teoriją su realybe.
Dabar padarykime nedidelį triuką. Paimkime "kietą su spuogeliu su lanku" ir derinkime šiuos "visumus" pagal spalvą, pasirinkdami raudonus elementus. Gavome daug „raudonos“. Dabar paskutinis klausimas: ar gauti rinkiniai „su lanku“ ir „raudona“ yra tas pats rinkinys, ar du skirtingi rinkiniai? Tik šamanai žino atsakymą. Tiksliau, jie patys nieko nežino, bet kaip sako, taip ir bus.
Šis paprastas pavyzdys rodo, kad aibių teorija yra visiškai nenaudinga, kai kalbama apie tikrovę. Kokia paslaptis? Suformavome rinkinį „raudonos kietos su spuogeliu ir lankeliu“. Formavimas vyko keturiais skirtingais matavimo vienetais: spalva (raudona), stiprumas (vientisas), šiurkštumas (spuoguotas), dekoravimas (su lanku). Tik matavimo vienetų rinkinys leidžia adekvačiai apibūdinti realius objektus matematikos kalba. Štai kaip atrodo.
Raidė „a“ su skirtingais indeksais žymi skirtingus matavimo vienetus. Matavimo vienetai, pagal kuriuos preliminariajame etape išskiriama „visuma“, yra paryškinti skliausteliuose. Matavimo vienetas, pagal kurį formuojamas rinkinys, išimamas iš skliaustų. Paskutinėje eilutėje rodomas galutinis rezultatas – rinkinio elementas. Kaip matote, jei aibei sudaryti naudojame matavimo vienetus, tai rezultatas nepriklauso nuo mūsų veiksmų eilės. Ir tai yra matematika, o ne šamanų šokiai su tamburinais. Šamanai gali „intuityviai“ pasiekti tą patį rezultatą, teigdami, kad tai „akivaizdu“, nes matavimo vienetai nėra jų „mokslinio“ arsenalo dalis.
Naudojant matavimo vienetus, labai lengva padalyti vieną rinkinį arba sujungti kelis rinkinius į vieną superkomplektą. Pažvelkime atidžiau į šio proceso algebrą.
Sinusų (sin), kosinusų (cos), liestinių (tg), kotangentų (ctg) verčių lentelės yra galingas ir naudingas įrankis, padedantis išspręsti daugybę teorinių ir taikomųjų problemų. Šiame straipsnyje pateiksime pagrindinių trigonometrinių funkcijų (sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų) lentelę 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 laipsnių kampams (0, π 6, π 3, π 2,... . , 2 π radianai). Taip pat bus rodomos atskiros Bradis lentelės sinusams ir kosinusams, liestims ir kotangentams, paaiškinant, kaip jas naudoti ieškant pagrindinių trigonometrinių funkcijų reikšmių.
Remdamiesi sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimais, galite rasti šių funkcijų reikšmes 0 ir 90 laipsnių kampams
sin 0 = 0, cos 0 = 1, t g 0 = 0, nulinis kotangentas neapibrėžtas,
sin 90° = 1, cos 90° = 0, c t g 90° = 0, devyniasdešimties laipsnių liestinė neapibrėžta.
Sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų reikšmės geometrijos eigoje apibrėžiamos kaip stačiojo trikampio, kurio kampai yra 30, 60 ir 90 laipsnių, taip pat 45, 45 ir 90 laipsnių, kraštinių santykis.
Stačiojo trikampio smailiojo kampo trigonometrinių funkcijų apibrėžimas
Sinusas- priešingos pusės ir hipotenuzės santykis.
Kosinusas- gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.
Tangentas- priešingos pusės ir gretimos pusės santykis.
Kotangentas- gretimos pusės ir priešingos pusės santykis.
Pagal apibrėžimus randamos funkcijų reikšmės:
sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , tg 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , tg 45 ° = 1 , c t g 45 ° = 1, sin 60° = 3 2, cos 45° = 1 2, tg 45° = 3, c tg 45° = 3 3.
Sudėkime šias reikšmes į lentelę ir pavadinkime ją sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento pagrindinių verčių lentele.
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
sin α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 |
t g α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | neapibrėžtas |
c t g α | neapibrėžtas | 3 | 1 | 3 3 | 0 |
α, r a d i a n | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 |
Viena iš svarbių trigonometrinių funkcijų savybių yra periodiškumas. Remiantis šia savybe, šią lentelę galima išplėsti naudojant redukcijos formules. Žemiau pateikiame išplėstinę pagrindinių trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelę kampams 0, 30, 60, ... , 120, 135, 150, 180, ... , 360 laipsnių (0, π 6, π 3 , π 2, ... , 2 π radianai).
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 135 | 150 | 180 | 210 | 225 | 240 | 270 | 300 | 315 | 330 | 360 |
sin α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 |
cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
t g α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 1 | - 3 3 | 0 | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 3 | - 1 | 0 | |
c t g α | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - |
α, r a d i a n | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 | 2 π 3 | 3 π 4 | 5 π 6 | π | 7 π 6 | 5 π 4 | 4 π 3 | 3 π 2 | 5 π 3 | 7 π 4 | 11 π 6 | 2π |
Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento periodiškumas leidžia išplėsti šią lentelę iki savavališkai didelių kampų verčių. Lentelėje surinktos reikšmės dažniausiai naudojamos sprendžiant problemas, todėl rekomenduojama jas įsiminti.
Sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų reikšmių lentelės naudojimo principas yra aiškus intuityviu lygmeniu. Eilutės ir stulpelio sankirta nurodo funkcijos reikšmę tam tikram kampui.
Pavyzdys. Kaip naudoti sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų lentelę
Turime išsiaiškinti, kam lygi sin 7 π 6
Lentelėje randame stulpelį, kurio paskutinė langelio reikšmė yra 7 π 6 radianai – tokia pati kaip 210 laipsnių. Tada pasirenkame lentelės, kurioje pateikiamos sinusų reikšmės, terminą. Eilutės ir stulpelio sankirtoje randame norimą reikšmę:
sin 7 π 6 = - 1 2
Bradis lentelė leidžia apskaičiuoti sinuso, kosinuso, liestinės ar kotangento reikšmę 4 skaitmenų po kablelio tikslumu, nenaudojant kompiuterinių technologijų. Tai savotiškas inžinerinio skaičiuotuvo pakaitalas.
Nuoroda
Vladimiras Modestovičius Bradis (1890 - 1975) - sovietų matematikas mokytojas, nuo 1954 m. SSRS Pedagogikos mokslų akademijos narys korespondentas. Bradis sukurtos keturženklių logaritmų ir natūraliųjų trigonometrinių dydžių lentelės pirmą kartą buvo paskelbtos 1921 m.
Pirmiausia pristatome sinusų ir kosinusų lentelę Bradis. Tai leidžia gana tiksliai apskaičiuoti apytiksles šių funkcijų vertes kampams, kuriuose yra sveikasis laipsnių ir minučių skaičius. Kairiausias lentelės stulpelis žymi laipsnius, o viršutinė eilutė – minutes. Atminkite, kad visos Bradis lentelės kampų reikšmės yra šešių minučių kartotiniai.
nuodėmė | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | cos | 1" | 2" | 3" |
0.0000 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0.0000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0366 | 0384 | 0401 | 0419 | 0436 | 0454 | 0471 | 0488 | 0506 | 0523 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0523 | 0541 | 0558 | 0576 | 0593 | 0610 | 0628 | 0645 | 0663 | 0680 | 0698 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0698 | 0715 | 0732 | 0750 | 0767 | 0785 | 0802 | 0819 | 0837 | 0854 | 0.0872 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0.0872 | 0889 | 0906 | 0924 | 0941 | 0958 | 0976 | 0993 | 1011 | 1028 | 1045 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1045 | 1063 | 1080 | 1097 | 1115 | 1132 | 1149 | 1167 | 1184 | 1201 | 1219 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1219 | 1236 | 1253 | 1271 | 1288 | 1305 | 1323 | 1340 | 1357 | 1374 | 1392 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1392 | 1409 | 1426 | 1444 | 1461 | 1478 | 1495 | 1513 | 1530 | 1547 | 1564 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1564 | 1582 | 1599 | 1616 | 1633 | 1650 | 1668 | 1685 | 1702 | 1719 | 0.1736 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0.1736 | 1754 | 1771 | 1788 | 1805 | 1822 | 1840 | 1857 | 1874 | 1891 | 1908 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1908 | 1925 | 1942 | 1959 | 1977 | 1994 | 2011 | 2028 | 2045 | 2062 | 2079 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2079 | 2096 | 2113 | 2130 | 2147 | 2164 | 2181 | 2198 | 2215 | 2233 | 2250 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2250 | 2267 | 2284 | 2300 | 2317 | 2334 | 2351 | 2368 | 2385 | 2402 | 2419 | 76° | 3 | 6 | 8 |
14° | 2419 | 2436 | 2453 | 2470 | 2487 | 2504 | 2521 | 2538 | 2554 | 2571 | 0.2588 | 75° | 3 | 6 | 8 |
15° | 0.2588 | 2605 | 2622 | 2639 | 2656 | 2672 | 2689 | 2706 | 2723 | 2740 | 2756 | 74° | 3 | 6 | 8 |
16° | 2756 | 2773 | 2790 | 2807 | 2823 | 2840 | 2857 | 2874 | 2890 | 2907 | 2924 | 73° | 3 | 6 | 8 |
17° | 2924 | 2940 | 2957 | 2974 | 2990 | 3007 | 3024 | 3040 | 3057 | 3074 | 3090 | 72° | 3 | 6 | 8 |
18° | 3090 | 3107 | 3123 | 3140 | 3156 | 3173 | 3190 | 3206 | 3223 | 3239 | 3256 | 71° | 3 | 6 | 8 |
19° | 3256 | 3272 | 3289 | 3305 | 3322 | 3338 | 3355 | 3371 | 3387 | 3404 | 0.3420 | 70° | 3 | 5 | 8 |
20° | 0.3420 | 3437 | 3453 | 3469 | 3486 | 3502 | 3518 | 3535 | 3551 | 3567 | 3584 | 69° | 3 | 5 | 8 |
21° | 3584 | 3600 | 3616 | 3633 | 3649 | 3665 | 3681 | 3697 | 3714 | 3730 | 3746 | 68° | 3 | 5 | 8 |
22° | 3746 | 3762 | 3778 | 3795 | 3811 | 3827 | 3843 | 3859 | 3875 | 3891 | 3907 | 67° | 3 | 5 | 8 |
23° | 3907 | 3923 | 3939 | 3955 | 3971 | 3987 | 4003 | 4019 | 4035 | 4051 | 4067 | 66° | 3 | 5 | 8 |
24° | 4067 | 4083 | 4099 | 4115 | 4131 | 4147 | 4163 | 4179 | 4195 | 4210 | 0.4226 | 65° | 3 | 5 | 8 |
25° | 0.4226 | 4242 | 4258 | 4274 | 4289 | 4305 | 4321 | 4337 | 4352 | 4368 | 4384 | 64° | 3 | 5 | 8 |
26° | 4384 | 4399 | 4415 | 4431 | 4446 | 4462 | 4478 | 4493 | 4509 | 4524 | 4540 | 63° | 3 | 5 | 8 |
27° | 4540 | 4555 | 4571 | 4586 | 4602 | 4617 | 4633 | 4648 | 4664 | 4679 | 4695 | 62° | 3 | 5 | 8 |
28° | 4695 | 4710 | 4726 | 4741 | 4756 | 4772 | 4787 | 4802 | 4818 | 4833 | 4848 | 61° | 3 | 5 | 8 |
29° | 4848 | 4863 | 4879 | 4894 | 4909 | 4924 | 4939 | 4955 | 4970 | 4985 | 0.5000 | 60° | 3 | 5 | 8 |
30° | 0.5000 | 5015 | 5030 | 5045 | 5060 | 5075 | 5090 | 5105 | 5120 | 5135 | 5150 | 59° | 3 | 5 | 8 |
31° | 5150 | 5165 | 5180 | 5195 | 5210 | 5225 | 5240 | 5255 | 5270 | 5284 | 5299 | 58° | 2 | 5 | 7 |
32° | 5299 | 5314 | 5329 | 5344 | 5358 | 5373 | 5388 | 5402 | 5417 | 5432 | 5446 | 57° | 2 | 5 | 7 |
33° | 5446 | 5461 | 5476 | 5490 | 5505 | 5519 | 5534 | 5548 | 5563 | 5577 | 5592 | 56° | 2 | 5 | 7 |
34° | 5592 | 5606 | 5621 | 5635 | 5650 | 5664 | 5678 | 5693 | 5707 | 5721 | 0.5736 | 55° | 2 | 5 | 7 |
35° | 0.5736 | 5750 | 5764 | 5779 | 5793 | 5807 | 5821 | 5835 | 5850 | 5864 | 0.5878 | 54° | 2 | 5 | 7 |
36° | 5878 | 5892 | 5906 | 5920 | 5934 | 5948 | 5962 | 5976 | 5990 | 6004 | 6018 | 53° | 2 | 5 | 7 |
37° | 6018 | 6032 | 6046 | 6060 | 6074 | 6088 | 6101 | 6115 | 6129 | 6143 | 6157 | 52° | 2 | 5 | 7 |
38° | 6157 | 6170 | 6184 | 6198 | 6211 | 6225 | 6239 | 6252 | 6266 | 6280 | 6293 | 51° | 2 | 5 | 7 |
39° | 6293 | 6307 | 6320 | 6334 | 6347 | 6361 | 6374 | 6388 | 6401 | 6414 | 0.6428 | 50° | 2 | 4 | 7 |
40° | 0.6428 | 6441 | 6455 | 6468 | 6481 | 6494 | 6508 | 6521 | 6534 | 6547 | 6561 | 49° | 2 | 4 | 7 |
41° | 6561 | 6574 | 6587 | 6600 | 6613 | 6626 | 6639 | 6652 | 6665 | 6678 | 6691 | 48° | 2 | 4 | 7 |
42° | 6691 | 6704 | 6717 | 6730 | 6743 | 6756 | 6769 | 6782 | 6794 | 6807 | 6820 | 47° | 2 | 4 | 6 |
43° | 6820 | 6833 | 6845 | 6858 | 6871 | 6884 | 6896 | 8909 | 6921 | 6934 | 6947 | 46° | 2 | 4 | 6 |
44° | 6947 | 6959 | 6972 | 6984 | 6997 | 7009 | 7022 | 7034 | 7046 | 7059 | 0.7071 | 45° | 2 | 4 | 6 |
45° | 0.7071 | 7083 | 7096 | 7108 | 7120 | 7133 | 7145 | 7157 | 7169 | 7181 | 7193 | 44° | 2 | 4 | 6 |
46° | 7193 | 7206 | 7218 | 7230 | 7242 | 7254 | 7266 | 7278 | 7290 | 7302 | 7314 | 43° | 2 | 4 | 6 |
47° | 7314 | 7325 | 7337 | 7349 | 7361 | 7373 | 7385 | 7396 | 7408 | 7420 | 7431 | 42° | 2 | 4 | 6 |
48° | 7431 | 7443 | 7455 | 7466 | 7478 | 7490 | 7501 | 7513 | 7524 | 7536 | 7547 | 41° | 2 | 4 | 6 |
49° | 7547 | 7559 | 7570 | 7581 | 7593 | 7604 | 7615 | 7627 | 7638 | 7649 | 0.7660 | 40° | 2 | 4 | 6 |
50° | 0.7660 | 7672 | 7683 | 7694 | 7705 | 7716 | 7727 | 7738 | 7749 | 7760 | 7771 | 39° | 2 | 4 | 6 |
51° | 7771 | 7782 | 7793 | 7804 | 7815 | 7826 | 7837 | 7848 | 7859 | 7869 | 7880 | 38° | 2 | 4 | 5 |
52° | 7880 | 7891 | 7902 | 7912 | 7923 | 7934 | 7944 | 7955 | 7965 | 7976 | 7986 | 37° | 2 | 4 | 5 |
53° | 7986 | 7997 | 8007 | 8018 | 8028 | 8039 | 8049 | 8059 | 8070 | 8080 | 8090 | 36° | 2 | 3 | 5 |
54° | 8090 | 8100 | 8111 | 8121 | 8131 | 8141 | 8151 | 8161 | 8171 | 8181 | 0.8192 | 35° | 2 | 3 | 5 |
55° | 0.8192 | 8202 | 8211 | 8221 | 8231 | 8241 | 8251 | 8261 | 8271 | 8281 | 8290 | 34° | 2 | 3 | 5 |
56° | 8290 | 8300 | 8310 | 8320 | 8329 | 8339 | 8348 | 8358 | 8368 | 8377 | 8387 | 33° | 2 | 3 | 5 |
57° | 8387 | 8396 | 8406 | 8415 | 8425 | 8434 | 8443 | 8453 | 8462 | 8471 | 8480 | 32° | 2 | 3 | 5 |
58° | 8480 | 8490 | 8499 | 8508 | 8517 | 8526 | 8536 | 8545 | 8554 | 8563 | 8572 | 31° | 2 | 3 | 5 |
59° | 8572 | 8581 | 8590 | 8599 | 8607 | 8616 | 8625 | 8634 | 8643 | 8652 | 0.8660 | 30° | 1 | 3 | 4 |
60° | 0.8660 | 8669 | 8678 | 8686 | 8695 | 8704 | 8712 | 8721 | 8729 | 8738 | 8746 | 29° | 1 | 3 | 4 |
61° | 8746 | 8755 | 8763 | 8771 | 8780 | 8788 | 8796 | 8805 | 8813 | 8821 | 8829 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 8829 | 8838 | 8846 | 8854 | 8862 | 8870 | 8878 | 8886 | 8894 | 8902 | 8910 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 8910 | 8918 | 8926 | 8934 | 8942 | 8949 | 8957 | 8965 | 8973 | 8980 | 8988 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 8988 | 8996 | 9003 | 9011 | 9018 | 9026 | 9033 | 9041 | 9048 | 9056 | 0.9063 | 25° | 1 | 3 | 4 |
65° | 0.9063 | 9070 | 9078 | 9085 | 9092 | 9100 | 9107 | 9114 | 9121 | 9128 | 9135 | 24° | 1 | 2 | 4 |
66° | 9135 | 9143 | 9150 | 9157 | 9164 | 9171 | 9178 | 9184 | 9191 | 9198 | 9205 | 23° | 1 | 2 | 3 |
67° | 9205 | 9212 | 9219 | 9225 | 9232 | 9239 | 9245 | 9252 | 9259 | 9256 | 9272 | 22° | 1 | 2 | 3 |
68° | 9272 | 9278 | 9285 | 9291 | 9298 | 9304 | 9311 | 9317 | 9323 | 9330 | 9336 | 21° | 1 | 2 | 3 |
69° | 9336 | 9342 | 9348 | 9354 | 9361 | 9367 | 9373 | 9379 | 9383 | 9391 | 0.9397 | 20° | 1 | 2 | 3 |
70° | 9397 | 9403 | 9409 | 9415 | 9421 | 9426 | 9432 | 9438 | 9444 | 9449 | 0.9455 | 19° | 1 | 2 | 3 |
71° | 9455 | 9461 | 9466 | 9472 | 9478 | 9483 | 9489 | 9494 | 9500 | 9505 | 9511 | 18° | 1 | 2 | 3 |
72° | 9511 | 9516 | 9521 | 9527 | 9532 | 9537 | 9542 | 9548 | 9553 | 9558 | 9563 | 17° | 1 | 2 | 3 |
73° | 9563 | 9568 | 9573 | 9578 | 9583 | 9588 | 9593 | 9598 | 9603 | 9608 | 9613 | 16° | 1 | 2 | 2 |
74° | 9613 | 9617 | 9622 | 9627 | 9632 | 9636 | 9641 | 9646 | 9650 | 9655 | 0.9659 | 15° | 1 | 2 | 2 |
75° | 9659 | 9664 | 9668 | 9673 | 9677 | 9681 | 9686 | 9690 | 9694 | 9699 | 9703 | 14° | 1 | 1 | 2 |
76° | 9703 | 9707 | 9711 | 9715 | 9720 | 9724 | 9728 | 9732 | 9736 | 9740 | 9744 | 13° | 1 | 1 | 2 |
77° | 9744 | 9748 | 9751 | 9755 | 9759 | 9763 | 9767 | 9770 | 9774 | 9778 | 9781 | 12° | 1 | 1 | 2 |
78° | 9781 | 9785 | 9789 | 9792 | 9796 | 9799 | 9803 | 9806 | 9810 | 9813 | 9816 | 11° | 1 | 1 | 2 |
79° | 9816 | 9820 | 9823 | 9826 | 9829 | 9833 | 9836 | 9839 | 9842 | 9845 | 0.9848 | 10° | 1 | 1 | 2 |
80° | 0.9848 | 9851 | 9854 | 9857 | 9860 | 9863 | 9866 | 9869 | 9871 | 9874 | 9877 | 9° | 0 | 1 | 1 |
81° | 9877 | 9880 | 9882 | 9885 | 9888 | 9890 | 9893 | 9895 | 9898 | 9900 | 9903 | 8° | 0 | 1 | 1 |
82° | 9903 | 9905 | 9907 | 9910 | 9912 | 9914 | 9917 | 9919 | 9921 | 9923 | 9925 | 7° | 0 | 1 | 1 |
83° | 9925 | 9928 | 9930 | 9932 | 9934 | 9936 | 9938 | 9940 | 9942 | 9943 | 9945 | 6° | 0 | 1 | 1 |
84° | 9945 | 9947 | 9949 | 9951 | 9952 | 9954 | 9956 | 9957 | 9959 | 9960 | 9962 | 5° | 0 | 1 | 1 |
85° | 9962 | 9963 | 9965 | 9966 | 9968 | 9969 | 9971 | 9972 | 9973 | 9974 | 9976 | 4° | 0 | 0 | 1 |
86° | 9976 | 9977 | 9978 | 9979 | 9980 | 9981 | 9982 | 9983 | 9984 | 9985 | 9986 | 3° | 0 | 0 | 0 |
87° | 9986 | 9987 | 9988 | 9989 | 9990 | 9990 | 9991 | 9992 | 9993 | 9993 | 9994 | 2° | 0 | 0 | 0 |
88° | 9994 | 9995 | 9995 | 9996 | 9996 | 9997 | 9997 | 9997 | 9998 | 9998 | 0.9998 | 1° | 0 | 0 | 0 |
89° | 9998 | 9999 | 9999 | 9999 | 9999 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 0° | 0 | 0 | 0 |
90° | 1.0000 | ||||||||||||||
nuodėmė | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | cos | 1" | 2" | 3" |
Norint rasti lentelėje nepateiktas kampų sinusų ir kosinusų reikšmes, reikia naudoti pataisymus.
Dabar pristatome Bradis lentelę liestims ir kotangentams. Jame yra kampų liestinių reikšmės nuo 0 iki 76 laipsnių ir kampų kotangentų vertės nuo 14 iki 90 laipsnių.
tg | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | ctg | 1" | 2" | 3" |
0 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0,000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0367 | 0384 | 0402 | 0419 | 0437 | 0454 | 0472 | 0489 | 0507 | 0524 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0524 | 0542 | 0559 | 0577 | 0594 | 0612 | 0629 | 0647 | 0664 | 0682 | 0699 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0699 | 0717 | 0734 | 0752 | 0769 | 0787 | 0805 | 0822 | 0840 | 0857 | 0,0875 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0,0875 | 0892 | 0910 | 0928 | 0945 | 0963 | 0981 | 0998 | 1016 | 1033 | 1051 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1051 | 1069 | 1086 | 1104 | 1122 | 1139 | 1157 | 1175 | 1192 | 1210 | 1228 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1228 | 1246 | 1263 | 1281 | 1299 | 1317 | 1334 | 1352 | 1370 | 1388 | 1405 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1405 | 1423 | 1441 | 1459 | 1477 | 1495 | 1512 | 1530 | 1548 | 1566 | 1584 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1584 | 1602 | 1620 | 1638 | 1655 | 1673 | 1691 | 1709 | 1727 | 1745 | 0,1763 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0,1763 | 1781 | 1799 | 1817 | 1835 | 1853 | 1871 | 1890 | 1908 | 1926 | 1944 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1944 | 1962 | 1980 | 1998 | 2016 | 2035 | 2053 | 2071 | 2089 | 2107 | 2126 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2126 | 2144 | 2162 | 2180 | 2199 | 2217 | 2235 | 2254 | 2272 | 2290 | 2309 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2309 | 2327 | 2345 | 2364 | 2382 | 2401 | 2419 | 2438 | 2456 | 2475 | 2493 | 76° | 3 | 6 | 9 |
14° | 2493 | 2512 | 2530 | 2549 | 2568 | 2586 | 2605 | 2623 | 2642 | 2661 | 0,2679 | 75° | 3 | 6 | 9 |
15° | 0,2679 | 2698 | 2717 | 2736 | 2754 | 2773 | 2792 | 2811 | 2830 | 2849 | 2867 | 74° | 3 | 6 | 9 |
16° | 2867 | 2886 | 2905 | 2924 | 2943 | 2962 | 2981 | 3000 | 3019 | 3038 | 3057 | 73° | 3 | 6 | 9 |
17° | 3057 | 3076 | 3096 | 3115 | 3134 | 3153 | 3172 | 3191 | 3211 | 3230 | 3249 | 72° | 3 | 6 | 10 |
18° | 3249 | 3269 | 3288 | 3307 | 3327 | 3346 | 3365 | 3385 | 3404 | 3424 | 3443 | 71° | 3 | 6 | 10 |
19° | 3443 | 3463 | 3482 | 3502 | 3522 | 3541 | 3561 | 3581 | 3600 | 3620 | 0,3640 | 70° | 3 | 7 | 10 |
20° | 0,3640 | 3659 | 3679 | 3699 | 3719 | 3739 | 3759 | 3779 | 3799 | 3819 | 3839 | 69° | 3 | 7 | 10 |
21° | 3839 | 3859 | 3879 | 3899 | 3919 | 3939 | 3959 | 3979 | 4000 | 4020 | 4040 | 68° | 3 | 7 | 10 |
22° | 4040 | 4061 | 4081 | 4101 | 4122 | 4142 | 4163 | 4183 | 4204 | 4224 | 4245 | 67° | 3 | 7 | 10 |
23° | 4245 | 4265 | 4286 | 4307 | 4327 | 4348 | 4369 | 4390 | 4411 | 4431 | 4452 | 66° | 3 | 7 | 10 |
24° | 4452 | 4473 | 4494 | 4515 | 4536 | 4557 | 4578 | 4599 | 4621 | 4642 | 0,4663 | 65° | 4 | 7 | 11 |
25° | 0,4663 | 4684 | 4706 | 4727 | 4748 | 4770 | 4791 | 4813 | 4834 | 4856 | 4877 | 64° | 4 | 7 | 11 |
26° | 4877 | 4899 | 4921 | 4942 | 4964 | 4986 | 5008 | 5029 | 5051 | 5073 | 5095 | 63° | 4 | 7 | 11 |
27° | 5095 | 5117 | 5139 | 5161 | 5184 | 5206 | 5228 | 5250 | 5272 | 5295 | 5317 | 62° | 4 | 7 | 11 |
28° | 5317 | 5340 | 5362 | 5384 | 5407 | 5430 | 5452 | 5475 | 5498 | 5520 | 5543 | 61° | 4 | 8 | 11 |
29° | 5543 | 5566 | 5589 | 5612 | 5635 | 5658 | 5681 | 5704 | 5727 | 5750 | 0,5774 | 60° | 4 | 8 | 12 |
30° | 0,5774 | 5797 | 5820 | 5844 | 5867 | 5890 | 5914 | 5938 | 5961 | 5985 | 6009 | 59° | 4 | 8 | 12 |
31° | 6009 | 6032 | 6056 | 6080 | 6104 | 6128 | 6152 | 6176 | 6200 | 6224 | 6249 | 58° | 4 | 8 | 12 |
32° | 6249 | 6273 | 6297 | 6322 | 6346 | 6371 | 6395 | 6420 | 6445 | 6469 | 6494 | 57° | 4 | 8 | 12 |
33° | 6494 | 6519 | 6544 | 6569 | 6594 | 6619 | 6644 | 6669 | 6694 | 6720 | 6745 | 56° | 4 | 8 | 13 |
34° | 6745 | 6771 | 6796 | 6822 | 6847 | 6873 | 6899 | 6924 | 6950 | 6976 | 0,7002 | 55° | 4 | 9 | 13 |
35° | 0,7002 | 7028 | 7054 | 7080 | 7107 | 7133 | 7159 | 7186 | 7212 | 7239 | 7265 | 54° | 4 | 8 | 13 |
36° | 7265 | 7292 | 7319 | 7346 | 7373 | 7400 | 7427 | 7454 | 7481 | 7508 | 7536 | 53° | 5 | 9 | 14° |
37° | 7536 | 7563 | 7590 | 7618 | 7646 | 7673 | 7701 | 7729 | 7757 | 7785 | 7813 | 52° | 5 | 9 | 14 |
38° | 7813 | 7841 | 7869 | 7898 | 7926 | 7954 | 7983 | 8012 | 8040 | 8069 | 8098 | 51° | 5 | 9 | 14 |
39° | 8098 | 8127 | 8156 | 8185 | 8214 | 8243 | 8273 | 8302 | 8332 | 8361 | 0,8391 | 50° | 5 | 10 | 15 |
40° | 0,8391 | 8421 | 8451 | 8481 | 8511 | 8541 | 8571 | 8601 | 8632 | 8662 | 0,8693 | 49° | 5 | 10 | 15 |
41° | 8693 | 8724 | 8754 | 8785 | 8816 | 8847 | 8878 | 8910 | 8941 | 8972 | 9004 | 48° | 5 | 10 | 16 |
42° | 9004 | 9036 | 9067 | 9099 | 9131 | 9163 | 9195 | 9228 | 9260 | 9293 | 9325 | 47° | 6 | 11 | 16 |
43° | 9325 | 9358 | 9391 | 9424 | 9457 | 9490 | 9523 | 9556 | 9590 | 9623 | 0,9657 | 46° | 6 | 11 | 17 |
44° | 9657 | 9691 | 9725 | 9759 | 9793 | 9827 | 9861 | 9896 | 9930 | 9965 | 1,0000 | 45° | 6 | 11 | 17 |
45° | 1,0000 | 0035 | 0070 | 0105 | 0141 | 0176 | 0212 | 0247 | 0283 | 0319 | 0355 | 44° | 6 | 12 | 18 |
46° | 0355 | 0392 | 0428 | 0464 | 0501 | 0538 | 0575 | 0612 | 0649 | 0686 | 0724 | 43° | 6 | 12 | 18 |
47° | 0724 | 0761 | 0799 | 0837 | 0875 | 0913 | 0951 | 0990 | 1028 | 1067 | 1106 | 42° | 6 | 13 | 19 |
48° | 1106 | 1145 | 1184 | 1224 | 1263 | 1303 | 1343 | 1383 | 1423 | 1463 | 1504 | 41° | 7 | 13 | 20 |
49° | 1504 | 1544 | 1585 | 1626 | 1667 | 1708 | 1750 | 1792 | 1833 | 1875 | 1,1918 | 40° | 7 | 14 | 21 |
50° | 1,1918 | 1960 | 2002 | 2045 | 2088 | 2131 | 2174 | 2218 | 2261 | 2305 | 2349 | 39° | 7 | 14 | 22 |
51° | 2349 | 2393 | 2437 | 2482 | 2527 | 2572 | 2617 | 2662 | 2708 | 2753 | 2799 | 38° | 8 | 15 | 23 |
52° | 2799 | 2846 | 2892 | 2938 | 2985 | 3032 | 3079 | 3127 | 3175 | 3222 | 3270 | 37° | 8 | 16 | 24 |
53° | 3270 | 3319 | 3367 | 3416 | 3465 | 3514 | 3564 | 3613 | 3663 | 3713 | 3764 | 36° | 8 | 16 | 25 |
54° | 3764 | 3814 | 3865 | 3916 | 3968 | 4019 | 4071 | 4124 | 4176 | 4229 | 1,4281 | 35° | 9 | 17 | 26 |
55° | 1,4281 | 4335 | 4388 | 4442 | 4496 | 4550 | 4605 | 4659 | 4715 | 4770 | 4826 | 34° | 9 | 18 | 27 |
56° | 4826 | 4882 | 4938 | 4994 | 5051 | 5108 | 5166 | 5224 | 5282 | 5340 | 5399 | 33° | 10 | 19 | 29 |
57° | 5399 | 5458 | 5517 | 5577 | 5637 | 5697 | 5757 | 5818 | 5880 | 5941 | 6003 | 32° | 10 | 20 | 30 |
58° | 6003 | 6066 | 6128 | 6191 | 6255 | 6319 | 6383 | 6447 | 6512 | 6577 | 6643 | 31° | 11 | 21 | 32 |
59° | 6643 | 6709 | 6775 | 6842 | 6909 | 6977 | 7045 | 7113 | 7182 | 7251 | 1,7321 | 30° | 11 | 23 | 34 |
60° | 1,732 | 1,739 | 1,746 | 1,753 | 1,760 | 1,767 | 1,775 | 1,782 | 1,789 | 1,797 | 1,804 | 29° | 1 | 2 | 4 |
61° | 1,804 | 1,811 | 1,819 | 1,827 | 1,834 | 1,842 | 1,849 | 1,857 | 1,865 | 1,873 | 1,881 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 1,881 | 1,889 | 1,897 | 1,905 | 1,913 | 1,921 | 1,929 | 1,937 | 1,946 | 1,954 | 1,963 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 1,963 | 1,971 | 1,980 | 1,988 | 1,997 | 2,006 | 2,014 | 2,023 | 2,032 | 2,041 | 2,05 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 2,050 | 2,059 | 2,069 | 2,078 | 2,087 | 2,097 | 2,106 | 2,116 | 2,125 | 2,135 | 2,145 | 25° | 2 | 3 | 5 |
65° | 2,145 | 2,154 | 2,164 | 2,174 | 2,184 | 2,194 | 2,204 | 2,215 | 2,225 | 2,236 | 2,246 | 24° | 2 | 3 | 5 |
66° | 2,246 | 2,257 | 2,267 | 2,278 | 2,289 | 2,3 | 2,311 | 2,322 | 2,333 | 2,344 | 2,356 | 23° | 2 | 4 | 5 |
67° | 2,356 | 2,367 | 2,379 | 2,391 | 2,402 | 2,414 | 2,426 | 2,438 | 2,450 | 2,463 | 2,475 | 22° | 2 | 4 | 6 |
68° | 2,475 | 2,488 | 2,5 | 2,513 | 2,526 | 2,539 | 2,552 | 2,565 | 2,578 | 2,592 | 2,605 | 21° | 2 | 4 | 6 |
69° | 2,605 | 2,619 | 2,633 | 2,646 | 2,66 | 2,675 | 2,689 | 2,703 | 2,718 | 2,733 | 2,747 | 20° | 2 | 5 | 7 |
70° | 2,747 | 2,762 | 2,778 | 2,793 | 2,808 | 2,824 | 2,840 | 2,856 | 2,872 | 2,888 | 2,904 | 19° | 3 | 5 | 8 |
71° | 2,904 | 2,921 | 2,937 | 2,954 | 2,971 | 2,989 | 3,006 | 3,024 | 3,042 | 3,06 | 3,078 | 18° | 3 | 6 | 9 |
72° | 3,078 | 3,096 | 3,115 | 3,133 | 3,152 | 3,172 | 3,191 | 3,211 | 3,230 | 3,251 | 3,271 | 17° | 3 | 6 | 10 |
73° | 3,271 | 3,291 | 3,312 | 3,333 | 3,354 | 3,376 | 3 | 7 | 10 | ||||||
3,398 | 3,42 | 3,442 | 3,465 | 3,487 | 16° | 4 | 7 | 11 | |||||||
74° | 3,487 | 3,511 | 3,534 | 3,558 | 3,582 | 3,606 | 4 | 8 | 12 | ||||||
3,630 | 3,655 | 3,681 | 3,706 | 3,732 | 15° | 4 | 8 | 13 | |||||||
75° | 3,732 | 3,758 | 3,785 | 3,812 | 3,839 | 3,867 | 4 | 9 | 13 | ||||||
3,895 | 3,923 | 3,952 | 3,981 | 4,011 | 14° | 5 | 10 | 14 | |||||||
tg | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | ctg | 1" | 2" | 3" |
Apsvarstykite Bradis lentelę sinusams ir kosinusams. Viskas, kas susiję su sinusais, yra viršuje ir kairėje. Jei mums reikia kosinusų, pažiūrėkite į dešinę lentelės apačioje.
Norėdami rasti kampo sinuso reikšmes, kairiajame langelyje turite rasti eilutės, kurioje yra reikiamas laipsnių skaičius, ir stulpelio, kuriame yra reikiamas minučių skaičius viršutiniame langelyje, sankirtą.
Jei tikslios kampo reikšmės Bradis lentelėje nėra, imamės pataisymų. Vienos, dviejų ir trijų minučių pataisymai pateikiami dešiniuosiuose lentelės stulpeliuose. Norėdami rasti kampo, kurio nėra lentelėje, sinuso reikšmę, randame jam artimiausią reikšmę. Po to pridedame arba atimame pataisą, atitinkančią kampų skirtumą.
Jei ieškome kampo, kuris yra didesnis nei 90 laipsnių, sinuso, pirmiausia reikia naudoti redukcijos formules, o tik tada Bradis lentelę.
Pavyzdys. Kaip naudotis Bradis stalu
Tarkime, reikia rasti kampo 17 ° 44 " sinusą. Naudodami lentelę randame, kam yra 17 ° 42 " sinusas, ir prie jo vertės pridėkite dviejų minučių pataisą:
17°44" - 17°42" = 2" (būtina pataisa) sin 17°44" = 0. 3040 + 0 . 0006 = 0 . 3046
Darbo su kosinusais, tangentais ir kotangentais principas yra panašus. Tačiau svarbu atsiminti pataisų ženklą.
Svarbu!
Skaičiuojant sinusų reikšmes, korekcija turi teigiamą ženklą, o skaičiuojant kosinusus, pataisa turi būti imama su neigiamu ženklu.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Straipsnyje mes visiškai suprasime, kaip tai atrodo trigonometrinių verčių lentelė, sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas. Panagrinėkime pagrindinę trigonometrinių funkcijų reikšmę 0,30,45,60,90,...,360 laipsnių kampu. Ir pažiūrėkime, kaip naudoti šias lenteles apskaičiuojant trigonometrinių funkcijų reikšmes.
Pirmiausia pažiūrėkime kosinuso, sinuso, liestinės ir kotangento lentelė 0, 30, 45, 60, 90,... laipsnių kampu. Šių dydžių apibrėžimas leidžia nustatyti 0 ir 90 laipsnių kampų funkcijų reikšmę:
sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 0 0 = 0, kotangentas nuo 0 0 bus neapibrėžtas
sin 90 0 = 1, cos 90 0 = 0, ctg90 0 = 0, liestinė nuo 90 0 bus neapibrėžta
Jei imsite stačiuosius trikampius, kurių kampai yra nuo 30 iki 90 laipsnių. Mes gauname:
sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, įdegis 30 0 = √3/3, cos 30 0 = √3
sin 45 0 = √ 2/2, cos 45 0 = √ 2/2, tan 45 0 = 1, cos 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, vaikiška lovelė 60 0 = √3/3
Visas gautas vertes pateiksime formoje trigonometrinė lentelė:
Jei naudosime mažinimo formulę, mūsų lentelė padidės, pridėjus vertes kampams iki 360 laipsnių. Tai atrodys taip:
Taip pat, remiantis periodiškumo savybėmis, lentelę galima padidinti, jei kampus pakeisime 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z, kuriame z yra sveikas skaičius. Šioje lentelėje galima apskaičiuoti visų kampų, atitinkančių vieno apskritimo taškus, reikšmę.
Pažiūrėkime, kaip naudoti lentelę sprendime.
Viskas labai paprasta. Kadangi mums reikalinga vertė yra mums reikalingų langelių susikirtimo taške. Pavyzdžiui, paimkite 60 laipsnių kampo koeficientą, lentelėje jis atrodys taip:
Galutinėje pagrindinių trigonometrinių funkcijų verčių lentelėje elgiamės taip pat. Bet šioje lentelėje galima sužinoti, kiek yra liestinė iš 1020 laipsnių kampo, ji = -√3 Patikrinkime 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Raskime jį naudodami lentelę.
Norint daugiau ieškoti, naudojamos minučių tikslumo trigonometrinės kampo reikšmės. Išsamios instrukcijos, kaip jas naudoti, yra puslapyje.
Bradis stalas. Sinusui, kosinusui, tangentui ir kotangentui.
Bradis lentelės yra padalintos į keletą dalių, kurias sudaro kosinuso ir sinuso, tangento ir kotangento lentelės, kurios yra padalintos į dvi dalis (kampų tg iki 90 laipsnių ir ctg mažų kampų).
Sinusas ir kosinusas
tg kampo, pradedant nuo 0 0, baigiant 76 0, ctg kampu, pradedant nuo 14 0, baigiant 90 0.
tg iki 90 0 ir ctg mažų kampų.
Išsiaiškinkime, kaip naudoti Bradis lenteles sprendžiant problemas.
Raskime žymėjimą nuodėmės (pavadinimas stulpelyje kairiajame krašte) 42 minutes (pavadinimas yra viršutinėje eilutėje). Pagal sankryžą ieškome žymėjimo, jis = 0,3040.
Minučių reikšmės nurodomos šešių minučių intervalu, ką daryti, jei mums reikalinga reikšmė patenka būtent į šį intervalą. Paimkime 44 minutes, bet lentelėje yra tik 42. Paimame kaip pagrindą 42 ir naudojame papildomus stulpelius dešinėje, paimame 2 pataisą ir pridedame prie 0,3040 + 0,0006 gauname 0,3046.
Kai sin 47 minutės, kaip pagrindą imame 48 minutes ir iš jų atimame 1 pataisą, ty 0,3057 - 0,0003 = 0,3054
Skaičiuodami cos dirbame panašiai kaip nuodėmės, tik kaip pagrindą imame apatinę lentelės eilutę. Pavyzdžiui, cos 20 0 = 0,9397
Tg kampo iki 90 0 ir mažo kampo cot reikšmės yra teisingos ir jose nėra pataisymų. Pavyzdžiui, raskite tg 78 0 37 min = 4,967
ir ctg 20 0 13 min = 25,83
Na, mes pažvelgėme į pagrindines trigonometrines lenteles. Tikimės, kad ši informacija jums buvo labai naudinga. Jei turite klausimų dėl lentelių, būtinai rašykite juos komentaruose!
Pastaba: Sieniniai buferiai – buferio lenta sienoms apsaugoti (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/)
Pastaba. Šioje trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelėje naudojamas √ ženklas kvadratinei šaknei pavaizduoti. Norėdami nurodyti trupmeną, naudokite simbolį „/“.
taip pat žr naudingos medžiagos:
Dėl nustatant trigonometrinės funkcijos reikšmę, raskite jį tiesės, rodančios trigonometrinę funkciją, sankirtoje. Pavyzdžiui, sinusas 30 laipsnių - ieškome stulpelio su antrašte sin (sinusas) ir randame šios lentelės stulpelio sankirtą su eilute „30 laipsnių“, jų sankirtoje skaitome rezultatą - vieną pusę. Panašiai randame kosinusas 60 laipsnių, sinusas 60 laipsnių (dar kartą nuodėmės stulpelio ir 60 laipsnių linijos sankirtoje randame reikšmę sin 60 = √3/2) ir kt. Taip pat randamos kitų „populiarių“ kampų sinusų, kosinusų ir liestinių reikšmės.
Žemiau esanti kosinusų, sinusų ir liestinių lentelė taip pat tinka norint rasti trigonometrinių funkcijų, kurių argumentas yra pateikiami radianais. Norėdami tai padaryti, naudokite antrą kampo verčių stulpelį. Dėl to galite konvertuoti populiarių kampų vertę iš laipsnių į radianus. Pavyzdžiui, pirmoje eilutėje suraskime 60 laipsnių kampą ir po juo perskaitykime jo reikšmę radianais. 60 laipsnių yra lygus π/3 radianams.
Skaičius pi vienareikšmiškai išreiškia apskritimo priklausomybę nuo kampo laipsnio mato. Taigi pi radianai yra lygūs 180 laipsnių.
Bet kurį skaičių, išreikštą pi (radianais), galima lengvai konvertuoti į laipsnius, pakeičiant pi (π) į 180.
Pavyzdžiai:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
taigi, pi sinusas yra toks pat kaip 180 laipsnių sinusas ir lygus nuliui.
2. Kosinusas pi.
cos π = cos 180 = -1
taigi, pi kosinusas yra toks pat kaip 180 laipsnių kosinusas ir yra lygus minus vienetui.
3. Tangentas pi
tg π = tg 180 = 0
taigi liestinė pi yra tokia pati kaip 180 laipsnių liestinė ir lygi nuliui.
kampo α reikšmė (laipsniai) |
kampo α reikšmė (per pi) |
nuodėmė (sinusas) |
cos (kosinusas) |
tg (liestinė) |
ctg (kotangentas) |
sek (sekantas) |
cosec (kosekantas) |
0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Jei trigonometrinių funkcijų verčių lentelėje vietoj funkcijos reikšmės nurodomas brūkšnys (liestinė (tg) 90 laipsnių, kotangentė (ctg) 180 laipsnių), tada nurodytai kampo laipsnio mato vertei funkcija neturi konkrečios vertės. Jei brūkšnelio nėra, langelis tuščias, vadinasi, dar neįvedėme reikiamos reikšmės. Mes domimės, kokių užklausų vartotojai kreipiasi į mus ir papildo lentelę naujomis reikšmėmis, nepaisant to, kad dabartinių duomenų apie dažniausiai pasitaikančių kampų reikšmių kosinusų, sinusų ir liestinių reikšmes visiškai pakanka daugeliui išspręsti. problemų.
kampo α vertė (laipsniais) | kampo α reikšmė radianais | nuodėmė (sinusas) | cos (kosinusas) | tg (liestinė) | ctg (kotangentas) |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | ||||
15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
45 |
0,7071 |
||||
0,7660 |
|||||
60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
7π/18 |