Duoto skaičiaus priešingybės radimas. Abipusis skaičius

Turinys:

Abipusiai skaičiai reikalingi sprendžiant visus tipus algebrines lygtis. Pavyzdžiui, jei reikia padalinti vieną trupmeninis skaičiusį kitą, padauginate pirmąjį skaičių iš antrojo atvirkštinio skaičiaus. Be to, ieškant tiesės lygties naudojami abipusiai skaičiai.

Žingsniai

1 Trupmenos arba sveikojo skaičiaus atvirkštinės reikšmės radimas

1. 1 Raskite trupmenos atvirkštinę vertę.„Atvirkštinis skaičius“ apibrėžiamas labai paprastai. Norėdami jį apskaičiuoti, tiesiog apskaičiuokite išraiškos „1 ÷ (originalus skaičius)“ reikšmę. Trupmeniniam skaičiui trupmenos atvirkštinė vertė yra kitas trupmeninis skaičius, kurį galima apskaičiuoti tiesiog „atvirkščiai“ trupmeną (pakeičiant skaitiklio ir vardiklio vietas).
   • Pavyzdžiui, trupmenos 3/4 atvirkštinė vertė yra 4 / 3 .
2. 2 Užrašykite sveikojo skaičiaus atvirkštinį skaičių kaip trupmeną. Ir šiuo atveju grįžtamasis skaičius apskaičiuojamas kaip 1 ÷ (pradinis skaičius). Jei sveikasis skaičius, parašykite grįžtamąjį skaičių kaip trupmeną; nereikia atlikti jokių skaičiavimų ir rašyti kaip dešimtainis.
   • Pavyzdžiui, 2 atvirkštinė vertė yra 1 ÷ 2 = 1 / 2 .

2 Mišriosios trupmenos atvirkštinės vertės nustatymas

1. 1 Kas nutiko " mišri frakcija". Mišri trupmena yra skaičius, parašytas kaip sveikas skaičius ir paprasta trupmena, pavyzdžiui, 2 4/5. Mišrios frakcijos atvirkštinės vertės nustatymas atliekamas dviem etapais, aprašytais toliau.
2. 2 Mišriąją trupmeną parašykite kaip netinkamą trupmeną.Žinoma, atminkite, kad vienetas gali būti parašytas kaip (skaičius)/(tas pats skaičius), o trupmenos su tie patys vardikliai(skaičius po linija) gali būti pridedami vienas prie kito. Štai kaip tai padaryti trupmenai 2 4/5:
   • 2 4 / 5
   • = 1 + 1 + 4 / 5
   • = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
   • = (5+5+4) / 5
   • = 14 / 5 .
3. 3 Apverskite trupmeną. Kai mišri trupmena rašoma kaip netinkama trupmena, mes galime lengvai rasti atvirkštinį skaičių tiesiog sukeisdami skaitiklį ir vardiklį.
   • Aukščiau pateiktame pavyzdyje abipusis skaičius būtų 14/5 – 5 / 14 .

3 Dešimtainės trupmenos atvirkštinės reikšmės radimas

1. 1 Jei įmanoma, dešimtainį skaičių išreikškite trupmena. Turite žinoti, kad daug kablelio gali būti lengvai konvertuojami į trupmenas. Pavyzdžiui, 0,5 = 1/2 ir 0,25 = 1/4. Užrašę skaičių kaip paprastąją trupmeną, galite lengvai rasti jo abipusę vertę tiesiog apversdami trupmeną.
   • Pavyzdžiui, 0,5 atvirkštinė vertė yra 2/1 = 2.
2. 2 Išspręskite problemą naudodami padalijimą. Jei negalite parašyti dešimtainio trupmenos, apskaičiuokite atvirkštinį skaičių, išspręsdami užduotį padalydami: 1 ÷ (dešimtainis). Norėdami tai išspręsti, galite naudoti skaičiuotuvą arba pereiti prie kito veiksmo, jei norite apskaičiuoti vertę rankiniu būdu.
   • Pavyzdžiui, 0,4 atvirkštinė vertė apskaičiuojama kaip 1 ÷ 0,4.
3. 3 Pakeiskite išraišką, kad ji veiktų su sveikaisiais skaičiais. Pirmas žingsnis dalijant dešimtainį tašką yra perkelti po kablelio skaičių, kol visi reiškinio skaičiai bus sveikieji skaičiai. Kadangi ir dividende, ir daliklyje perkeliate dešimtainį skaičių tiek pat vietų, gausite teisingą atsakymą.
4. 4 Pavyzdžiui, paimkite išraišką 1 ÷ 0,4 ir parašykite kaip 10 ÷ 4.Šiuo atveju dešimtainį skaičių perkėlėte viena vieta į dešinę, o tai yra tas pats, kas kiekvieną skaičių padauginti iš dešimties.
5. 5 Išspręskite užduotį padalydami skaičius į stulpelį. Naudodami ilgąjį padalijimą galite apskaičiuoti grįžtamąjį skaičių. Jei padalinsite 10 iš 4, turėtumėte gauti 2,5, o tai yra 0,4 atvirkštinė vertė.

• Neigiamojo atvirkštinio skaičiaus reikšmė bus lygi atvirkštiniam skaičiui, padaugintam iš -1. Pavyzdžiui, neigiamas 3/4 grįžtamasis koeficientas yra – 4/3.
• Skaičiaus atvirkštinė vertė kartais vadinama „atvirkštiniu“ arba „atvirkštiniu“.
• Skaičius 1 yra jo savitarpio reikšmė, nes 1 ÷ 1 = 1.
• Nulis neturi abipusio koeficiento, nes išraiška 1 ÷ 0 neturi sprendinių.

Vadinama skaičių pora, kurios sandauga lygi vienetui abipusiai atvirkštinis.

Pavyzdžiai: 5 ir 1/5, −6/7 ir −7/6 ir

Bet kuriam skaičiui a, kuris nėra lygus nuliui, yra atvirkštinė 1/a.

Nulio atvirkštinė vertė yra begalybė.

Atvirkštinės trupmenos- tai dvi trupmenos, kurių sandauga lygi 1. Pavyzdžiui, 3/7 ir 7/3; 5/8 ir 8/5 ir kt.

taip pat žr

Wikimedia fondas. 2010 m.

Pažiūrėkite, kas yra „atvirkštinis skaičius“ kituose žodynuose:

Skaičius, kurio sandauga iš nurodyto skaičiaus yra lygi vienetui. Du tokie skaičiai vadinami abipusiais skaičiais. Tai yra, pavyzdžiui, 5 ir 1/5, 2/3 ir 3/2 ir tt... Didysis enciklopedinis žodynas

abipusis skaičius- - [A.S. Goldbergas. Anglų-rusų energetikos žodynas. 2006] Energijos temos apskritai EN atvirkštinis skaičiusatvirkščiasis skaičius ... Techninis vertėjo vadovas

Skaičius, kurio sandauga iš nurodyto skaičiaus yra lygi vienetui. Du tokie skaičiai vadinami abipusiais skaičiais. Tai yra, pavyzdžiui, 5 ir 1/5, 2/3 ir 3/2 ir tt * * * ATVIRKŠTINĖS SKAIČIUS ATVIRKŠTINĖS SKAIČIUS, skaičius, kurio sandauga su nurodytu skaičiumi yra lygi ... ... enciklopedinis žodynas

Skaičius, kurio sandauga su nurodytu skaičiumi yra lygi vienetui. Du tokie skaičiai vadinami abipusiais skaičiais. Tai, pavyzdžiui, 5 ir a, nelygu nuliui, yra atvirkštinis... Didžioji sovietinė enciklopedija

Skaičius, kurio sandauga iš tam tikro skaičiaus yra lygi vienetui. Vadinami du tokie numeriai. abipusiai atvirkštinis. Tai, pavyzdžiui, 5 ir 1/5. 2/3 ir 3/2 ir tt... Gamtos mokslai. enciklopedinis žodynas

Šis terminas turi kitas reikšmes, žr. Skaičius (reikšmės). Skaičius yra pagrindinė matematikos sąvoka, naudojama objektams kiekybiškai įvertinti, palyginti ir suskaičiuoti. Atsiradęs primityvioje visuomenėje iš poreikių... ... Vikipedija

Taip pat žiūrėkite: Skaičius (lingvistika) Skaičius yra abstrakcija, naudojama objektams kiekybiškai apibūdinti. Primityvioje visuomenėje iš skaičiavimo poreikių atsiradusi skaičiaus samprata pasikeitė ir praturtėjo ir virto svarbiausia matematine... Vikipedija

Atvirkštinis vandens sukimasis drenažo metu yra pseudomokslinis mitas, pagrįstas neteisingu Koriolio efekto taikymu vandens judėjimui sūkurinėje vonioje, kuri atsiranda jam tekant į kriauklės ar vonios nutekėjimo angą. Mito esmė ta, kad vanduo... ... Vikipedija

IRACIONALUS SKAIČIUS Skaičius, kurio negalima išreikšti trupmena. Pavyzdžiui, T2 ir p skaičius. Todėl neracionalieji skaičiai yra skaičiai su begaliniu (neperiodinių) skaitmenų po kablelio skaičiumi. (Tačiau netiesa priešingai... ... Mokslinis ir techninis enciklopedinis žodynas

Laplaso transformacija yra integrali transformacija, susiejanti sudėtingo kintamojo (vaizdo) funkciją su tikrojo kintamojo (originalo) funkcija. Jis naudojamas savybėms tirti dinamines sistemas ir diferencialinis ir ... Vikipedija yra išspręsta

Knygos

• Laimingų žmonų klubas, Weaver Von. 27 moterys iš skirtingų pasaulio kraštų, viena kitos nepažįstamos, skirtingų likimų. Jie neturi nieko bendro, išskyrus vieną dalyką - jie yra neįtikėtinai laimingi santuokoje jau daugiau nei 25 metus, nes žino Paslaptį...Kai...

Medžiaga iš Vikipedijos – laisvosios enciklopedijos

Atvirkštinis skaičius(atvirkštinė vertė, abipusė vertė) į nurodytą skaičių x yra skaičius, kurio padauginimas iš x, duoda vieną. Priimtas įrašas: $\backslash frac(1)x$ arba $x^(-1)$. Vadinami du skaičiai, kurių sandauga lygi vienetui abipusiai atvirkštinis. Skaičiaus atvirkštinės reikšmės nereikėtų painioti su funkcijos atvirkštine išraiška. Pavyzdžiui, $\backslash frac(1)(\backslash cos(x))$ skiriasi nuo funkcijos reikšmės atvirkštinis kosinusas – lankinis kosinusas, kuris žymimas $\backslash cos^(-1)x$ arba $\backslash arccos\; x$.

Atvirkščiai į tikrąjį skaičių

Sudėtingos skaičių formos	Skaičius $(z)$	Atvirkščiai $\backslash left\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash right)$
Algebrinė	$x+iy$	$\backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$
Trigonometrinis	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Orientacinė	$re^(i\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Įrodymas:
Algebrinėms ir trigonometrinėms formoms naudojame pagrindinę trupmenos savybę, skaitiklį ir vardiklį padaugindami iš kompleksinio konjugato:

• Algebrinė forma:

$\backslash frac(1)(z)=\; \backslash frac(1)(x+iy)=\; \backslash frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))=\; \backslash frac(x-iy)(x^\; 2+y^2)=\; \backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$

• Trigonometrinė forma:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash \; varphi)((\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi\; )(\backslash cos^2\backslash varphi+\; \backslash sin^2\backslash varphi)\; =\; \backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$

• Demonstracinė forma:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(re^(i\; \backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Taigi, ieškant kompleksinio skaičiaus atvirkštinę vertę, patogiau naudoti jo eksponentinę formą.

Pavyzdys:

Sudėtingos skaičių formos	Skaičius $(z)$	Atvirkščiai $\backslash left\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash right)$
Algebrinė	$1+i\backslash sqrt\; (3)$	$\backslash frac(1)(4)-\; \backslash frac(\backslash sqrt(3))(4)i$
Trigonometrinis	$2\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)+i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ arba $2\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)+i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$	$\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)-i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ arba $\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)-i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$
Orientacinė	$2\; e^(i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$	$\backslash frac(1)(2)\; e^(-i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$

Atvirkščias įsivaizduojamajam vienetui

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Taigi, mes gauname

$\backslash frac(1)(i)=-i$ __ arba__ $i^(-1)=-i$

Taip pat už $-i$: __ $-\; \backslash frac(1)(i)=i$ __ arba __ $-i^(-1)=i$

Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Atvirkštinis numeris"

Pastabos

taip pat žr

Ištrauka, apibūdinanti Atvirkštinį skaičių

Taip sakoma istorijose, ir visa tai yra visiškai nesąžininga, nes tai gali lengvai įsitikinti kiekvienas, norintis įsigilinti į reikalo esmę.
Rusai negalėjo rasti geresnės padėties; bet, priešingai, traukdamiesi jie perėjo daugybę pozicijų, kurios buvo geresnės už Borodiną. Jie neapsisprendė nė vienoje iš šių pozicijų: ir dėl to, kad Kutuzovas nenorėjo priimti pozicijos, kurios nebuvo pasirinktas jis, ir dėl to, kad dar nebuvo pakankamai stipriai išreikštas reikalavimas surengti žmonių mūšį, tiek dėl to, kad Miloradovičius dar nebuvo priartėjęs. su milicija, taip pat dėl ​​kitų priežasčių, kurių yra nesuskaičiuojama. Faktas yra tas, kad ankstesnės pozicijos buvo stipresnės ir kad Borodino pozicija (ta, dėl kurios vyko mūšis) yra ne tik nestipri, bet ir dėl tam tikrų priežasčių nėra pranašesnė už bet kurią kitą vietą. Rusijos imperija, kuris, atspėjus, būtų nurodytas smeigtuku žemėlapyje.
Rusai ne tik nesutvirtino Borodino lauko pozicijų į kairę stačiu kampu keliui (tai yra vieta, kur vyko mūšis), bet niekada anksčiau nei 1812 m. rugpjūčio 25 d. nepagalvojo, kad mūšis gali užtrukti. vieta šioje vietoje. Tai liudija, visų pirma, tai, kad ne tik 25 d. šioje vietoje nebuvo įtvirtinimų, bet, pradėti 25 d., jie nebuvo baigti net 26 d. antra, įrodymas yra Ševardinskio reduto padėtis: Ševardinskio redutas, esantis prieš poziciją, kurioje buvo nuspręsta mūšį, neturi prasmės. Kodėl šis redutas buvo sustiprintas stipriau nei visi kiti taškai? Ir kodėl, ginant jį 24 dieną iki vėlyvo vakaro, išseko visos pastangos ir buvo prarasti šeši tūkstančiai žmonių? Norint stebėti priešą, pakako kazokų patrulio. Trečia, įrodymas, kad padėtis, kurioje vyko mūšis, nebuvo numatyta ir kad Ševardinskio redutas nebuvo šios pozicijos priekis, yra faktas, kad Barclay de Tolly ir Bagrationas iki 25-osios buvo įsitikinę, kad Ševardinskio redutas buvo kairysis kraštas. pozicijos ir kad pats Kutuzovas savo pranešime, parašytame pačiame įkarštyje po mūšio, Ševardinskio redutą vadina kairiuoju pozicijos flangu. Daug vėliau, kai buvo rašomi pranešimai apie Borodino mūšį, buvo (tikriausiai siekiant pateisinti vyriausiojo vado, kuris turėjo būti neklystantis) klaidas, buvo sugalvotas neteisingas ir keistas liudijimas, kad Ševardinskio redutas. tarnavo kaip priekinis postas (tuo tarpu tai buvo tik kairiojo flango įtvirtintas taškas) ir tarsi Borodino mūšis buvo mūsų priimtas įtvirtintoje ir iš anksto pasirinktoje pozicijoje, o tai įvyko visiškai netikėtoje ir beveik neįtvirtintoje vietoje.
Akivaizdu, kad esmė buvo tokia: vieta buvo pasirinkta palei Koloche upę, kuri kerta pagrindinį kelią ne tiesiai, o po aštrus kampas, todėl kairysis flangas buvo Ševardine, dešinysis prie Novy kaimo ir centro Borodine, Kolochos ir Voinos upių santakoje. Ši padėtis po Koločos upės priedanga armijai, kurios tikslas yra sustabdyti priešą, judantį Smolensko keliu į Maskvą, yra akivaizdi kiekvienam, žiūrinčiam į Borodino lauką, pamiršus, kaip vyko mūšis.
Napoleonas, nuvykęs į Valuevą 24 d., nematė (kaip sakoma pasakojimuose) rusų padėties nuo Uticos iki Borodino (šios pozicijos jis negalėjo matyti, nes jos nebuvo) ir nematė puolėjo. Rusijos armijos postą, tačiau užkliuvo rusų užnugario siekdamas kairiojo Rusijos pozicijos flango, iki Ševardinskio reduto, ir netikėtai rusams per Koločą pervedė kariuomenę. O rusai, nespėję įsitraukti į bendrą mūšį, kairiuoju sparnu pasitraukė iš pozicijos, kurią ketino užimti, ir užėmė naują, nenumatytą ir neįtvirtintą poziciją. Eidamas į kairė pusė Koloči, kelio kairėje, Napoleonas perkėlė visą būsimą mūšį iš dešinės į kairę (iš Rusijos pusės) ir perkėlė jį į lauką tarp Utitsa, Semenovskio ir Borodino (į šį lauką, kuriame nėra nieko naudingesnio šiai pozicijai). nei bet kuriame kitame Rusijos lauke), o šiame lauke visas mūšis vyko 26 d. Apytiksliai siūlomo mūšio ir įvykusio mūšio planas bus toks:

Jei Napoleonas nebūtų išvykęs 24 d. vakare į Koločą ir nebūtų įsakęs tuoj pat vakare pulti į redutą, o būtų pradėjęs puolimą kitos dienos ryte, niekas nebūtų suabejojęs, kad Ševardinskio redutas buvo kairysis mūsų padėties šonas; ir mūšis įvyks taip, kaip tikėjomės. Šiuo atveju Ševardinskio redutą, savo kairįjį flangą, ko gero, gintume dar atkakliau; Napoleonas būtų buvęs užpultas centre arba dešinėje, o 24 dieną būtų įvykęs bendras mūšis toje pozicijoje, kuri buvo įtvirtinta ir numatyta. Bet kadangi puolimas mūsų kairiajame flange įvyko vakare, mūsų užnugario pasitraukimui, tai yra iškart po Gridnevos mūšio, ir kadangi Rusijos kariuomenės vadai nenorėjo arba neturėjo laiko pradėti bendro mūšio. tą patį 24 d. vakarą Borodinskio pirmasis ir pagrindinis veiksmas Mūšis buvo pralaimėtas 24 d. ir, akivaizdu, lėmė 26 d. kovotojo pralaimėjimą.
Praradus Ševardinskio redutą, iki 25 dienos ryto atsidūrėme be pozicijos kairiajame sparne ir buvome priversti atlenkti kairįjį sparną ir skubiai jį bet kur sustiprinti.
Tačiau rugpjūčio 26 d. Rusijos kariuomenė ne tik buvo saugoma silpnų, nebaigtų įtvirtinimų, bet šios situacijos trūkumą padidino ir tai, kad Rusijos kariuomenės vadovai nepripažino visiškai įvykdyto fakto (pozicijos praradimo kairysis flangas ir viso būsimo mūšio lauko perkėlimas iš dešinės į kairę ), liko savo išplėstoje pozicijoje iš Novy kaimo į Utitsa ir dėl to turėjo perkelti savo kariuomenę mūšio metu iš dešinės į kairę. Taigi per visą mūšį rusai turėjo dvigubai silpnesnes pajėgas prieš visą prancūzų kariuomenę, nukreiptą į mūsų kairįjį sparną. (Poniatovskio veiksmai prieš Utitsa ir Uvarovą prancūzų dešiniajame flange buvo veiksmai, atskirti nuo mūšio eigos.)
Taigi Borodino mūšis įvyko visai ne taip, kaip jie aprašo (bandant nuslėpti mūsų karinių vadų klaidas ir dėl to sumenkinti Rusijos kariuomenės ir žmonių šlovę). Borodino mūšis nevyko pasirinktoje ir įtvirtintoje pozicijoje su Rusijos pusėje kiek silpnesnėmis pajėgomis, tačiau Borodino mūšį dėl Ševardinskio reduto praradimo rusai priėmė atvirai, beveik neįtvirtintas rajonas su dvigubai silpnesnėmis jėgomis prieš prancūzus, tai yra tokiomis sąlygomis, kai buvo ne tik neįsivaizduojama dešimt valandų kovoti ir mūšį padaryti neryžtingą, bet ir tris kartus apsaugoti armiją nuo visiško pralaimėjimo ir pabėgimo. valandų.

25-osios rytą Pierre'as išvyko iš Mozhaisko. Leisdamasis nuo didžiulio stataus ir kreivo kalno, vedančio iš miesto, pro dešinėje ant kalno stovinčią katedrą, kurioje vyko pamaldos ir buvo skelbiama Evangelija, Pierre'as išlipo iš vežimo ir nuėjo toliau. pėda. Už jo į kalną leidosi kažkoks kavalerijos pulkas su dainininkais priekyje. Prie jo kilo vežimų traukinys su vakarykštėje byloje sužeistaisiais. Valstiečiai vairuotojai, šaukdami ant arklių ir plakdami juos botagais, lakstė iš vienos pusės į kitą. Vežimėliai, ant kurių gulėjo ir sėdėjo trys ar keturi sužeisti kareiviai, stačiu šlaitu šokinėjo per grindinio pavidalu išmėtytus akmenis. Sužeistieji, surišti skudurais, išbalę, sučiaupę lūpas ir surauktais antakiais, įsikibę į lovas, pašoko ir stūmė į vežimus. Visi su beveik naivu vaikišku smalsumu žiūrėjo į baltą Pierre'o kepurę ir žalią fraką.

Pateiksime apibrėžimą ir pateiksime abipusių skaičių pavyzdžių. Pažiūrėkime, kaip rasti atvirkštinę natūraliojo skaičiaus ir atvirkštinę bendrosios trupmenos vertę. Be to, užrašome ir įrodome nelygybę, kuri atspindi abipusių skaičių sumos savybę.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Abipusiai skaičiai. Apibrėžimas

Apibrėžimas. Abipusiai skaičiai

Abipusiai skaičiai yra skaičiai, kurių sandauga lygi vienetui.

Jei a · b = 1, tai galime pasakyti, kad skaičius a yra atvirkštinis skaičiui b, kaip ir skaičius b yra atvirkštinis skaičiui a.

Paprasčiausias abipusių skaičių pavyzdys yra du vienetai. Iš tiesų, 1 · 1 = 1, todėl a = 1 ir b = 1 yra tarpusavyje atvirkštiniai skaičiai. Kitas pavyzdys yra skaičiai 3 ir 1 3, - 2 3 ir - 3 2, 6 13 ir 13 6, log 3 17 ir log 17 3. Bet kurios aukščiau pateiktos skaičių poros sandauga yra lygi vienetui. Jei ši sąlyga neįvykdyta, kaip, pavyzdžiui, skaičiams 2 ir 2 3, tada skaičiai nėra atvirkštiniai.

Abipusių skaičių apibrėžimas galioja bet kuriam skaičiui – natūraliajam, sveikajam, realiajam ir kompleksiniam.

Kaip rasti nurodyto skaičiaus atvirkštinę vertę

Panagrinėkime bendrą atvejį. Jei pradinis skaičius yra lygus a, tada jo atvirkštinis skaičius bus parašytas kaip 1 a arba a - 1. Iš tiesų, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Natūraliųjų skaičių ir paprastosios trupmenos rasti atvirkštinį skaičių yra gana paprasta. Galima net sakyti, kad tai akivaizdu. Jei rasite skaičių, kuris yra atvirkštinis neracionaliajam arba kompleksiniam skaičiui, turėsite atlikti keletą skaičiavimų.

Panagrinėkime dažniausiai pasitaikančius abipusio skaičiaus radimo atvejus praktikoje.

Paprastosios trupmenos atvirkštinė vertė

Akivaizdu, kad bendrosios trupmenos a b atvirkštinė vertė yra trupmena b a. Taigi, norėdami rasti atvirkštinę trupmenos vertę, jums tiesiog reikia trupmeną apversti. Tai yra, sukeiskite skaitiklį ir vardiklį.

Pagal šią taisyklę bet kurios paprastosios trupmenos atvirkštinį skaičių galite parašyti beveik iš karto. Taigi trupmenos 28 57 grįžtamasis skaičius bus trupmena 57 28, o trupmenai 789 256 - skaičius 256 789.

Natūralaus skaičiaus atvirkštinė vertė

Bet kurio natūraliojo skaičiaus atvirkštinę vertę galite rasti taip pat, kaip ir trupmenos atvirkštinę vertę. Pakanka pavaizduoti natūralųjį skaičių a paprastosios trupmenos a 1 pavidalu. Tada jo atvirkštinis skaičius bus skaičius 1 a. Natūralaus skaičiaus 3 atvirkštinė vertė yra trupmena 1 3, skaičiaus 666 atvirkštinė vertė yra 1 666 ir pan.

Ypatingas dėmesys turėtų būti skiriamas vienam, nes tai yra vienintelis skaičius, kurio atvirkštinė vertė yra lygi jam pačiam.

Nėra kitų abipusių skaičių porų, kuriose abu komponentai būtų lygūs.

Mišraus skaičiaus atvirkštinė vertė

Mišrus skaičius atrodo kaip a b c. Norėdami rasti atvirkštinį skaičių, mišrųjį skaičių turite pavaizduoti kaip netinkamą trupmeną, tada pasirinkti atvirkštinį gautos trupmenos skaičių.

Pavyzdžiui, suraskime 7 2 5 grįžtamąjį skaičių. Pirmiausia įsivaizduokime, kad 7 2 5 yra netinkama trupmena: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5.

Netinkamos trupmenos 37 5 atvirkštinė vertė yra 5 37.

Dešimtainio skaičiaus atvirkštinė vertė

Dešimtainė dalis taip pat gali būti pavaizduota trupmena. Norint rasti dešimtainio skaičiaus atvirkštinį skaičių, dešimtainis skaičius pateikiamas kaip trupmena ir jo atvirkštinis skaičius.

Pavyzdžiui, yra trupmena 5, 128. Raskime jo atvirkštinį skaičių. Pirmiausia dešimtainę trupmeną konvertuokite į paprastąją trupmeną: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Gautos trupmenos grįžtamasis skaičius bus trupmena 125 641.

Pažvelkime į kitą pavyzdį.

Pavyzdys. Dešimtainės dalies atvirkštinio skaičiaus radimas

Raskime periodinės dešimtainės trupmenos 2, (18) grįžtamąjį skaičių.

Dešimtainės trupmenos konvertavimas į paprastąją trupmeną:

2, 18 = 2 + 18 · 10 - 2 + 18 · 10 - 4 +. . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Po vertimo galime lengvai parašyti trupmenos 24 11 grįžtamąjį skaičių. Akivaizdu, kad šis skaičius bus 11 24.

Begalinės ir neperiodinės dešimtainės trupmenos atveju grįžtamasis skaičius rašomas kaip trupmena, kurios vienetas yra skaitiklyje, o pati trupmena – vardiklyje. Pavyzdžiui, begalinei trupmenai 3, 6025635789. . . abipusis numeris bus 1 3, 6025635789. . . .

Panašiai iracionaliųjų skaičių, atitinkančių neperiodines begalines trupmenas, grįžtamieji skaičiai rašomi trupmeninių išraiškų forma.

Pavyzdžiui, π + 3 3 80 atvirkštinė vertė bus 80 π + 3 3, o skaičiaus 8 + e 2 + e atvirkštinė vertė bus trupmena 1 8 + e 2 + e.

Abipusiai skaičiai su šaknimis

Jei dviejų skaičių tipas skiriasi nuo a ir 1 a, tada ne visada lengva nustatyti, ar skaičiai yra abipusiai. Tai ypač pasakytina apie skaičius, kurių žymėjimas turi šaknies ženklą, nes paprastai vardiklyje yra įprasta atsikratyti šaknies.

Pereikime prie praktikos.

Atsakykime į klausimą: ar skaičiai 4 - 2 3 ir 1 + 3 2 yra abipusiai?

Norėdami sužinoti, ar skaičiai yra abipusiai, apskaičiuokime jų sandaugą.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Produktas yra lygus vienetui, o tai reiškia, kad skaičiai yra abipusiai.

Pažvelkime į kitą pavyzdį.

Pavyzdys. Abipusiai skaičiai su šaknimis

Užrašykite 5 3 + 1 atvirkštinį koeficientą.

Iš karto galime parašyti, kad atvirkštinis skaičius yra lygus trupmenai 1 5 3 + 1. Tačiau, kaip jau minėjome, vardiklyje įprasta atsikratyti šaknies. Norėdami tai padaryti, skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 25 3 - 5 3 + 1. Mes gauname:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Abipusiai skaičiai su laipsniais

Tarkime, kad yra skaičius, lygus tam tikram skaičiaus a laipsniui. Kitaip tariant, skaičius a pakeltas iki laipsnio n. Skaičiaus a n atvirkštinė vertė yra skaičius a - n . Pažiūrėkime. Iš tiesų: a n · a - n = a n 1 · 1 a n = 1 .

Pavyzdys. Abipusiai skaičiai su laipsniais

Raskime abipusį skaičių 5 - 3 + 4.

Pagal tai, kas parašyta aukščiau, reikalingas skaičius yra 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Atvirkštiniai skaičiai su logaritmais

Skaičiaus logaritmui su baze b atvirkštinis skaičius yra lygus logaritmui nuo b iki bazės a.

log a b ir log b a yra tarpusavyje atvirkštiniai skaičiai.

Pažiūrėkime. Iš logaritmo savybių išplaukia, kad log a b = 1 log b a, o tai reiškia log a b · log b a.

Pavyzdys. Atvirkštiniai skaičiai su logaritmais

Raskite log 3 5 - 2 3 atvirkštinį koeficientą.

3 logaritmo ir 3 bazės 5 - 2 atvirkštinė vertė yra 3 5 - 2 logaritmas iki 3 bazės.

Atvirkštinis kompleksinis skaičius

Kaip minėta anksčiau, abipusių skaičių apibrėžimas galioja ne tik realūs skaičiai, bet ir sudėtingiems.

Sudėtiniai skaičiai dažniausiai pateikiami algebrine forma z = x + i y. Duoto skaičiaus atvirkštinė vertė yra trupmena

1 x + i y . Patogumui šią išraišką galite sutrumpinti padauginę skaitiklį ir vardiklį iš x - i y.

Pavyzdys. Atvirkštinis kompleksinis skaičius

Tegu būna kompleksinis skaičius z = 4 + i. Raskime atvirkštinę.

Atvirkštinė z = 4 + i bus lygi 1 4 + i.

Padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš 4 - i ir gaukite:

1 4 + i = 4 - i 4 + i 4 - i = 4 - i 4 2 - i 2 = 4 - i 16 - (- 1) = 4 - i 17 .

Be algebrinės formos, kompleksinis skaičius gali būti pavaizduotas trigonometrine arba eksponentine forma taip:

z = r cos φ + i sin φ

z = r e i φ

Atitinkamai, atvirkštinis skaičius atrodys taip:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

Įsitikinkime tuo:

r cos φ + i sin φ 1 r cos (- φ) + i sin (- φ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r e i φ 1 r e i (- φ) = r r e 0 = 1

Panagrinėkime pavyzdžius su kompleksinių skaičių vaizdavimu trigonometrine ir eksponentine forma.

Raskime atvirkštinį skaičių 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .

Atsižvelgdami į tai, kad r = 2 3, φ = π 6, rašome atvirkštinį skaičių

3 2 cos - π 6 + i sin - π 6

Pavyzdys. Raskite kompleksinio skaičiaus atvirkštinę vertę

Koks skaičius bus 2 · e i · - 2 π 5 atvirkštinė vertė.

Atsakymas: 1 2 e i 2 π 5

Atvirkštinių skaičių suma. Nelygybė

Yra teorema apie dviejų tarpusavyje atvirkštinių skaičių sumą.

Atvirkštinių skaičių suma

Dviejų teigiamų ir grįžtamųjų skaičių suma visada yra didesnė arba lygi 2.

Pateiksime teoremos įrodymą. Kaip žinoma, bet kurių teigiamų skaičių a ir b aritmetinis vidurkis yra didesnis arba lygus geometriniam vidurkiui. Tai galima parašyti kaip nelygybę:

a + b 2 ≥ a b

Jei vietoj skaičiaus b imsime atvirkštinę a, nelygybė bus tokia:

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

Pateiksime praktinį pavyzdį, iliustruojantį šią savybę.

Pavyzdys. Raskite abipusių skaičių sumą

Apskaičiuokime skaičių 2 3 sumą ir atvirkštinę.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Kaip sako teorema, gautas skaičius yra didesnis nei du.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Abipusiai abipusiai skaičiai yra skaičių pora, kurią padauginus gaunama 1. Iš tikrųjų bendras vaizdas atvirkštiniai yra skaičiai. Būdingas specialus abipusių skaičių atvejis yra pora. Atvirkščiai yra, tarkime, skaičiai; .

Kaip rasti skaičiaus grįžtamąją vertę

Taisyklė: 1 (vieną) reikia padalyti iš nurodyto skaičiaus.

1 pavyzdys.

Pateikiamas skaičius 8. Jo atvirkštinis santykis yra 1:8 arba (geresnis antrasis variantas, nes toks žymėjimas matematiškai teisingesnis).

Ieškant atvirkštinio skaičiaus bendrajai trupmenai, dalinti jį iš 1 nėra labai patogu, nes įrašymas sudėtingas. Tokiu atveju daug lengviau viską daryti kitaip: trupmena tiesiog apverčiama, sukeičiant skaitiklį ir vardiklį. Jeigu duota tinkama trupmena, tai ją apvertus, gaunama trupmena yra netinkama, t.y. tokia, nuo kurios galima atskirti visą dalį. Ar tai daryti, ar ne, turi būti sprendžiama kiekvienu konkrečiu atveju. Taigi, jei po to turite atlikti kai kuriuos veiksmus su gauta atvirkštine trupmena (pavyzdžiui, daugyba ar padalijimas), tuomet neturėtumėte pasirinkti visos dalies. Jei gauta frakcija yra galutinis rezultatas, galbūt pageidautina izoliuoti visą dalį.

2 pavyzdys.

Duota trupmena. Atvirkščiai: .

Jei reikia rasti dešimtainės trupmenos atvirkštinį koeficientą, naudokite pirmąją taisyklę (1 padalykite iš skaičiaus). Esant tokiai situacijai, galite veikti vienu iš 2 būdų. Pirmasis yra tiesiog padalinti 1 iš šio skaičiaus į stulpelį. Antrasis yra sudaryti trupmeną iš 1 skaitiklyje ir dešimtainės dalies vardiklyje, o tada skaitiklį ir vardiklį padauginti iš 10, 100 arba kito skaičiaus, sudaryto iš 1 ir tiek nulių, kiek reikia norint atsikratyti vardiklio kablelis. Rezultatas bus paprasta trupmena, kuri yra rezultatas. Jei reikia, gali tekti jį sutrumpinti, iš jos pasirinkti visą dalį arba konvertuoti į dešimtainę formą.

3 pavyzdys.

Pateiktas skaičius yra 0,82. Abipusis skaičius yra: . Dabar sumažinkime trupmeną ir pasirinkite visą dalį: .

Kaip patikrinti, ar du skaičiai yra abipusiai

Patikrinimo principas pagrįstas abipusių skaičių nustatymu. Tai yra, norėdami įsitikinti, kad skaičiai yra vienas kito atvirkštiniai skaičiai, turite juos padauginti. Jei rezultatas yra vienas, tada skaičiai yra atvirkštiniai.

4 pavyzdys.

Duoti skaičiai 0,125 ir 8. Ar jie yra abipusiai?

Apžiūra. Reikia rasti sandaugą 0,125 ir 8. Aiškumo dėlei šiuos skaičius pateiksime paprastųjų trupmenų pavidalu: (1-ąją trupmeną sumažinkite 125). Išvada: skaičiai 0,125 ir 8 yra atvirkštiniai skaičiai.

Atvirkštinių skaičių savybės

Turtas Nr.1

Bet kurio skaičiaus, išskyrus 0, atvirkštinė vertė.

Šis apribojimas atsiranda dėl to, kad negalima dalyti iš 0, o nustatant nulio grįžtamąjį skaičių, jį teks perkelti į vardiklį, t.y. iš tikrųjų padalinti iš jo.

Turtas Nr.2

Atvirkštinių skaičių poros suma visada yra ne mažesnė kaip 2.

Matematiškai šią savybę galima išreikšti nelygybe: .

Turtas Nr.3

Skaičiaus padauginimas iš dviejų grįžtamųjų skaičių prilygsta dauginimui iš vieno. Išreikškime šią savybę matematiškai: .

5 pavyzdys.

Raskite išraiškos reikšmę: 3,4·0,125·8. Kadangi skaičiai 0,125 ir 8 yra atvirkštiniai skaičiai (žr. 4 pavyzdį), nereikia dauginti 3,4 iš 0,125 ir tada iš 8. Taigi, atsakymas čia bus 3.4.