Pateikiamos pagrindinės funkcijos ln x natūraliojo logaritmo, grafo, apibrėžimo srities, reikšmių aibės, pagrindinių formulių, išvestinės, integralo, laipsnių eilučių išplėtimo ir atvaizdavimo kompleksiniais skaičiais savybės.
Natūralus logaritmas yra funkcija y = ln x, atvirkštinis eksponentas, x = e y, ir yra logaritmas su skaičiaus e pagrindu: ln x = log e x.
Natūralusis logaritmas plačiai naudojamas matematikoje, nes jo išvestinė yra paprasčiausia: (ln x)′ = 1/x.
Pagrįstas apibrėžimai, natūraliojo logaritmo pagrindas yra skaičius e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
Funkcijos y = grafikas ln x.
Natūralaus logaritmo grafikas (funkcijos y = ln x) gaunamas iš eksponentinės grafiko veidrodžio atspindžiu tiesės y = x atžvilgiu.
Natūralusis logaritmas apibrėžiamas ties teigiamas vertes kintamasis x. Jis monotoniškai didėja savo apibrėžimo srityje.
Ties x → 0 natūraliojo logaritmo riba yra minus begalybė (-∞).
Kaip x → + ∞, natūraliojo logaritmo riba yra plius begalybė (+ ∞). Dideliam x logaritmas didėja gana lėtai. Bet kuri laipsnio funkcija x a su teigiamu eksponentu a auga greičiau nei logaritmas.
Natūralusis logaritmas yra monotoniškai didėjanti funkcija, todėl jis neturi ekstremalių. Pagrindinės natūraliojo logaritmo savybės pateiktos lentelėje.
ln 1 = 0
Formulės, išplaukiančios iš atvirkštinės funkcijos apibrėžimo:
Bet koks logaritmas gali būti išreikštas natūraliais logaritmais naudojant bazinę pakeitimo formulę:
Šių formulių įrodymai pateikti skyriuje „Logaritmas“.
Natūralaus logaritmo atvirkštinė vertė yra eksponentas.
Jei tada
Jei tada.
Natūralaus logaritmo išvestinė:
.
Modulio x natūraliojo logaritmo išvestinė:
.
N-osios eilės vedinys:
.
Išvedimo formulės >>>
Integralas apskaičiuojamas integruojant dalimis:
.
Taigi,
Apsvarstykite kompleksinio kintamojo z funkciją:
.
Išreikškime kompleksinį kintamąjį z per modulį r ir argumentas φ
:
.
Naudodami logaritmo savybes, turime:
.
Arba
.
Argumentas φ nėra vienareikšmiškai apibrėžtas. Jei įdėsite
, kur n yra sveikas skaičius,
tai bus tas pats skaičius skirtingiems n.
Todėl natūralusis logaritmas, kaip sudėtingo kintamojo funkcija, nėra vienareikšmė funkcija.
Kai plėtra vyksta:
Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.
pagrindinės savybės.
identiškais pagrindais
Log6 4 + log6 9.
Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį.
Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:
Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
Taip pat žiūrėkite:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Rodiklis yra 2,718281828…. Norėdami prisiminti eksponentą, galite išstudijuoti taisyklę: eksponentas yra lygus 2,7 ir du kartus už Levo Nikolajevičiaus Tolstojaus gimimo metus.
Žinodami šią taisyklę, žinosite ir tikslią eksponento vertę, ir Levo Tolstojaus gimimo datą.
1 pavyzdys.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Naudodami savybes 3.5 apskaičiuojame
2.
3.
4. Kur .
2 pavyzdys. Raskite x jei
3 pavyzdys. Pateikiame logaritmų reikšmę
Apskaičiuokite log(x), jei
Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima visais būdais sudėti, atimti ir transformuoti. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.
Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų nepavyks išspręsti nė vienos rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.
Apsvarstykite du logaritmus su tomis pačiomis bazėmis: logax ir logay. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:
Taigi logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Pastaba: pagrindinis momentasČia - identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!
Šios formulės padės jums apskaičiuoti logaritminė išraiška net kai atskiros jo dalys neskaičiuojamos (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:
Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log2 48 − log2 3.
Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log3 135 − log3 5.
Vėlgi bazės yra tos pačios, todėl turime:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Tačiau po transformacijų jie pasirodo gana normalūs skaičiai. Daugelis remiasi šiuo faktu bandomieji darbai. Taip, vieningo valstybinio egzamino metu į testus panašūs posakiai siūlomi labai rimtai (kartais praktiškai be pakeitimų).
Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.
Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai , t.y. Skaičius prieš logaritmo ženklą galite įvesti į patį logaritmą. Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log7 496.
Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslios galios: 16 = 24; 49 = 72. Turime:
Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu.
Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.
Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log2 7. Kadangi log2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.
Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. O jei priežastys kitokios? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?
Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:
Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:
Konkrečiai, jei nustatome c = x, gauname:
Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti vietomis, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.
Šios formulės retai sutinkamos įprastose skaitinės išraiškos. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.
Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log5 16 log2 25.
Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Dabar „apverskime“ antrąjį logaritmą:
Kadangi sandauga nesikeičia pertvarkant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log9 100 lg 3.
Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:
Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:
Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:
Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.
Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip jis vadinasi:.
Tiesą sakant, kas atsitiks, jei skaičius b padidintas iki tokios laipsnio, kad skaičius b iki šios laipsnio duotų skaičių a? Teisingai: rezultatas yra tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daugeliui žmonių ji įstrigo.
Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
Atkreipkite dėmesį, kad log25 64 = log5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo su ta pačia baze taisykles, gauname:
Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš unifikuoto valstybinio egzamino :)
Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat atsiranda problemų ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.
Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.
Taip pat žiūrėkite:
B logaritmas iki a pagrindo reiškia išraišką. Apskaičiuoti logaritmą reiškia rasti laipsnį x (), kai lygybė tenkinama
Būtina žinoti aukščiau pateiktas savybes, nes jų pagrindu išsprendžiamos beveik visos su logaritmais susijusios problemos ir pavyzdžiai. Poilsis egzotiškų savybių gali būti išvestas matematiškai manipuliuojant šiomis formulėmis
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Skaičiuodami logaritmų sumos ir skirtumo formulę (3.4) susiduri gana dažnai. Likusieji yra šiek tiek sudėtingi, tačiau atliekant daugybę užduočių jie yra būtini norint supaprastinti sudėtingas išraiškas ir apskaičiuoti jų reikšmes.
Kai kurie įprasti logaritmai yra tie, kurių bazė yra net dešimt, eksponentinė arba dvi.
Logaritmas iki dešimties pagrindo paprastai vadinamas dešimtainiu logaritmu ir tiesiog žymimas lg(x).
Iš įrašo aišku, kad pagrindai įraše neparašyti. Pavyzdžiui
Natūralusis logaritmas yra logaritmas, kurio bazė yra eksponentas (žymimas ln(x)).
Rodiklis yra 2,718281828…. Norėdami prisiminti eksponentą, galite išstudijuoti taisyklę: eksponentas yra lygus 2,7 ir du kartus už Levo Nikolajevičiaus Tolstojaus gimimo metus. Žinodami šią taisyklę, žinosite ir tikslią eksponento vertę, ir Levo Tolstojaus gimimo datą.
Ir dar vienas svarbus logaritmas dviem pagrindams žymimas
Funkcijos logaritmo išvestinė lygi vienetui, padalytam iš kintamojo
Integralinis arba antiderivinis logaritmas nustatomas pagal ryšį
Pateiktos medžiagos pakanka, kad išspręstumėte plačią su logaritmais ir logaritmais susijusių problemų klasę. Kad padėčiau suprasti medžiagą, pateiksiu tik kelis įprastus pavyzdžius iš mokyklos mokymo programa ir universitetai.
1 pavyzdys.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Naudodami savybes 3.5 apskaičiuojame
2.
Pagal logaritmų skirtumo savybę turime
3.
Naudodami savybes 3.5 randame
4. Kur .
Iš pažiūros sudėtinga išraiška supaprastinama, kad būtų suformuota naudojant daugybę taisyklių
2 pavyzdys. Raskite x jei
Sprendimas. Skaičiavimui taikome paskutinio termino 5 ir 13 savybių
Įrašome tai ir gedime
Kadangi bazės yra lygios, išraiškas sulyginame
Pateikiame logaritmų reikšmę
Apskaičiuokite log(x), jei
Sprendimas: Paimkime kintamojo logaritmą, kad užrašytume logaritmą per jo terminų sumą
Tai tik mūsų pažinties su logaritmais ir jų savybėmis pradžia. Praktikuokite skaičiavimus, praturtinkite savo praktinius įgūdžius – greitai jums prireiks įgytų žinių sprendžiant logaritmines lygtis. Išstudijavę pagrindinius tokių lygčių sprendimo būdus, jūsų žinias išplėsime į kitą ne mažiau svarbią temą - logaritmines nelygybes...
Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima visais būdais sudėti, atimti ir transformuoti. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.
Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų nepavyks išspręsti nė vienos rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.
Apsvarstykite du logaritmus su tomis pačiomis bazėmis: logax ir logay. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:
Taigi logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!
Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log6 4 + log6 9.
Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log2 48 − log2 3.
Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log3 135 − log3 5.
Vėlgi bazės yra tos pačios, todėl turime:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Bet po transformacijų gaunami visiškai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, vieningo valstybinio egzamino metu į testus panašūs posakiai siūlomi labai rimtai (kartais praktiškai be pakeitimų).
Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:
Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.
Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai , t.y. Skaičius prieš logaritmo ženklą galite įvesti į patį logaritmą.
Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log7 496.
Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslios galios: 16 = 24; 49 = 72. Turime:
Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.
Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log2 7. Kadangi log2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.
Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. O jei priežastys kitokios? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?
Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:
Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:
Konkrečiai, jei nustatome c = x, gauname:
Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti vietomis, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.
Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.
Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log5 16 log2 25.
Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Dabar „apverskime“ antrąjį logaritmą:
Kadangi sandauga nesikeičia pertvarkant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log9 100 lg 3.
Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:
Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:
Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:
Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.
Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip jis vadinasi:.
Tiesą sakant, kas atsitiks, jei skaičius b padidintas iki tokios laipsnio, kad skaičius b iki šios laipsnio duotų skaičių a? Teisingai: rezultatas yra tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daugeliui žmonių ji įstrigo.
Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
Atkreipkite dėmesį, kad log25 64 = log5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo su ta pačia baze taisykles, gauname:
Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš unifikuoto valstybinio egzamino :)
Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat atsiranda problemų ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.
Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.
Vienas iš primityvaus lygio algebros elementų yra logaritmas. Pavadinimas kilęs iš graikų kalba nuo žodžio „skaičius“ arba „galia“ ir reiškia laipsnį, iki kurio turi būti padidintas skaičius bazėje, norint rasti galutinį skaičių.
B logaritmas iki a bazės yra eksponentas, kuriam b reikia pakelti į bazę a. Gautas rezultatas tariamas taip: „logaritmas nuo b iki bazės a“. Logaritminių uždavinių sprendimas yra tas, kad jums reikia nustatyti nurodytą galią skaičiais iš nurodytų skaičių. Yra keletas pagrindinių taisyklių, leidžiančių nustatyti ar išspręsti logaritmą, taip pat konvertuoti patį žymėjimą. Jais naudojant sprendžiamos logaritminės lygtys, randamos išvestinės, sprendžiami integralai, atliekama daug kitų operacijų. Iš esmės paties logaritmo sprendimas yra supaprastintas jo žymėjimas. Žemiau pateikiamos pagrindinės formulės ir savybės:
Bet kokiam a ; a > 0; a ≠ 1 ir bet kuriam x ; y > 0.
Atkreipkite dėmesį: jei bazinis logaritmas yra 10, tada įrašas sutrumpinamas ir gaunamas dešimtainis logaritmas. Jei yra natūralusis skaičius e, tai jį užrašome, sumažindami iki natūraliojo logaritmo. Tai reiškia, kad visų logaritmų rezultatas yra laipsnis, iki kurio pakeliamas bazinis skaičius, norint gauti skaičių b.
Tiesiogiai sprendimas slypi apskaičiuojant šį laipsnį. Prieš sprendžiant išraišką logaritmu, ją reikia supaprastinti pagal taisyklę, tai yra, naudojant formules. Pagrindines tapatybes galite rasti šiek tiek grįžę į straipsnį.
Logaritmų sudėjimas ir atėmimas dviem skirtingi skaičiai, bet su tais pačiais pagrindais, pakeiskite vienu logaritmu skaičių b ir c sandauga arba padalijimu atitinkamai. Tokiu atveju galite pritaikyti perkėlimo į kitą bazę formulę (žr. aukščiau).
Jei naudojate išraiškas logaritmui supaprastinti, reikia atsižvelgti į kai kuriuos apribojimus. Ir tai yra: logaritmo a bazė yra tik teigiamas skaičius, bet ne lygus vienetui. Skaičius b, kaip ir a, turi būti didesnis už nulį.
Pasitaiko atvejų, kai supaprastinus išraišką logaritmo skaičiais apskaičiuoti nepavyks. Pasitaiko, kad tokia išraiška neturi prasmės, nes daugelis galių yra neracionalūs skaičiai. Esant šiai sąlygai, palikite skaičiaus laipsnį kaip logaritmą.
Palyginti su
galima nustatyti užduotį surasti bet kurį iš trijų skaičių iš kitų dviejų pateiktų. Jei duoti a ir tada N, jie randami eksponencijos būdu. Jei N ir tada a yra duoti paėmus x laipsnio šaknį (arba pakėlus jį į laipsnį). Dabar apsvarstykite atvejį, kai, esant a ir N, turime rasti x.
Tegul skaičius N yra teigiamas: skaičius a yra teigiamas ir nėra lygus vienetui: .
Apibrėžimas. Skaičiaus N logaritmas iki pagrindo a yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti a, kad gautume skaičių N; logaritmas žymimas
Taigi lygybėje (26.1) eksponentas randamas kaip N logaritmas bazei a. Įrašai
turi tą pačią reikšmę. Lygybė (26.1) kartais vadinama pagrindine logaritmų teorijos tapatybe; tikrovėje išreiškia logaritmo sąvokos apibrėžimą. Autorius šis apibrėžimas Logaritmo a pagrindas visada yra teigiamas ir skiriasi nuo vienybės; logaritminis skaičius N yra teigiamas. Neigiami skaičiai ir nulis neturi logaritmų. Galima įrodyti, kad bet kuris skaičius, turintis tam tikrą bazę, turi tiksliai apibrėžtą logaritmą. Todėl lygybė reiškia. Atkreipkite dėmesį, kad sąlyga čia yra esminė; priešingu atveju išvada nebūtų pagrįsta, nes lygybė galioja bet kurioms x ir y reikšmėms.
1 pavyzdys. Rasti
Sprendimas. Norėdami gauti skaičių, turite pakelti bazę 2 iki galios Todėl.
Spręsdami tokius pavyzdžius galite užsirašyti tokia forma:
2 pavyzdys. Rasti .
Sprendimas. Mes turime
1 ir 2 pavyzdžiuose nesunkiai radome norimą logaritmą, pateikdami logaritmo skaičių kaip pagrindo laipsnį su racionaliuoju eksponentu. Bendruoju atveju, pavyzdžiui, ir pan., to padaryti negalima, nes logaritmas turi neracionalią reikšmę. Atkreipkime dėmesį į vieną su šiuo teiginiu susijusį klausimą. 12 pastraipoje mes pateikėme galimybę nustatyti bet kurią tikrosios tam tikro teigiamo skaičiaus galią. Tai buvo būtina norint įvesti logaritmus, kurie paprastai gali būti neracionalūs skaičiai.
Pažvelkime į kai kurias logaritmų savybes.
Savybė 1. Jeigu skaičius ir bazė lygūs, tai logaritmas lygus vienetui, ir atvirkščiai, jei logaritmas lygus vienetui, tai skaičius ir bazė yra lygūs.
Įrodymas. Tegul Pagal logaritmo apibrėžimą turime ir iš kur
Ir atvirkščiai, tegul Tada pagal apibrėžimą
Savybė 2. Vieneto logaritmas bet kokiam pagrindui lygus nuliui.
Įrodymas. Pagal logaritmo apibrėžimą (bet kurio teigiamo pagrindo nulinė galia lygi vienetui, žr. (10.1)). Iš čia
Q.E.D.
Taip pat teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei , tada N = 1. Iš tiesų, mes turime .
Prieš formuluodami kitą logaritmų savybę, susitarkime, kad du skaičiai a ir b yra toje pačioje trečiojo skaičiaus c pusėje, jei jie abu yra didesni už c arba mažesni už c. Jei vienas iš šių skaičių yra didesnis nei c, o kitas mažesnis už c, tada sakysime, kad jie yra kartu skirtingos pusės iš kaimo
Savybė 3. Jei skaičius ir bazė yra toje pačioje pusėje, tada logaritmas yra teigiamas; Jei skaičius ir bazė yra priešingose vieneto pusėse, tada logaritmas yra neigiamas.
3 savybės įrodymas grindžiamas tuo, kad a galia yra didesnė už vienetą, jei bazė yra didesnė už vieną, o rodiklis yra teigiamas arba bazė yra mažesnė už vieną, o rodiklis yra neigiamas. Laipsnis yra mažesnis už vieną, jei bazė yra didesnė už vieną, o rodiklis yra neigiamas arba bazė yra mažesnė už vieną, o rodiklis yra teigiamas.
Yra keturi atvejai, į kuriuos reikia atsižvelgti:
Apsiribosime pirmojo iš jų analize, o kitus skaitytojas svarstys pats.
Tegu tada lygybėje rodiklis negali būti nei neigiamas, nei lygus nuliui, todėl jis yra teigiamas, t. y. kaip reikia įrodyti.
3 pavyzdys. Sužinokite, kurie iš toliau pateiktų logaritmų yra teigiami, o kurie neigiami:
Sprendimas, a) kadangi skaičius 15 ir bazė 12 yra toje pačioje pusėje;
b) kadangi 1000 ir 2 yra vienoje įrenginio pusėje; šiuo atveju nėra svarbu, kad bazė būtų didesnė už logaritminį skaičių;
c) kadangi 3,1 ir 0,8 yra priešingose vienybės pusėse;
G); Kodėl?
d) ; Kodėl?
Tokios savybės 4-6 dažnai vadinamos logaritmavimo taisyklėmis: jos leidžia, žinant kai kurių skaičių logaritmus, rasti kiekvieno jų sandaugos, koeficiento ir laipsnio logaritmus.
4 savybė (produkto logaritmo taisyklė). Kelių teigiamų skaičių sandaugos logaritmas tam tikram pagrindui lygi sumaišių skaičių logaritmai į tą pačią bazę.
Įrodymas. Tegul pateikti skaičiai yra teigiami.
Jų sandaugos logaritmui rašome lygybę (26.1), kuri apibrėžia logaritmą:
Iš čia rasime
Palyginę pirmosios ir paskutinės išraiškos eksponentus, gauname reikiamą lygybę:
Atkreipkite dėmesį, kad sąlyga yra būtina; sandaugos iš dviejų logaritmas neigiami skaičiai prasminga, bet šiuo atveju gauname
Apskritai, jei kelių veiksnių sandauga yra teigiama, tada jo logaritmas yra lygus šių veiksnių absoliučių verčių logaritmų sumai.
5 savybė (datinių logaritmų ėmimo taisyklė). Teigiamų skaičių dalinio logaritmas yra lygus skirtumui tarp dividendo ir daliklio logaritmų, paimtų į tą pačią bazę. Įrodymas. Mes nuolat randame
Q.E.D.
Savybė 6 (laipsnio logaritmo taisyklė). Bet kurio teigiamo skaičiaus laipsnio logaritmas yra lygus to skaičiaus logaritmui, padaugintam iš eksponento.
Įrodymas. Dar kartą parašykime pagrindinę numerio tapatybę (26.1):
Q.E.D.
Pasekmė. Teigiamo skaičiaus šaknies logaritmas yra lygus radikalo logaritmui, padalytam iš šaknies eksponento:
Šios išvados pagrįstumą galima įrodyti įsivaizduojant, kaip ir naudojant 6 savybę.
4 pavyzdys. Paimkite logaritmą į a bazę:
a) (manoma, kad visos b, c, d, e reikšmės yra teigiamos);
b) (manoma, kad ).
Sprendimas, a) Šioje išraiškoje patogu pereiti prie trupmeninių laipsnių:
Remdamiesi lygybėmis (26.5)-(26.7), dabar galime rašyti:
Pastebime, kad su skaičių logaritmais atliekami paprastesni veiksmai, nei su pačiais skaičiais: dauginant skaičius jų logaritmai pridedami, dalinant – atimami ir t.t.
Štai kodėl skaičiavimo praktikoje naudojami logaritmai (žr. 29 pastraipą).
Atvirkštinis logaritmo veiksmas vadinamas potenciavimu, būtent: potencija yra veiksmas, kuriuo iš tam tikro skaičiaus logaritmo randamas pats skaičius. Iš esmės stiprinimas nėra joks ypatingas veiksmas: jis susijęs su bazės pakėlimu iki laipsnio (lygaus skaičiaus logaritmui). Terminas „potencijavimas“ gali būti laikomas termino „eksponentavimas“ sinonimu.
Potencuodami turite naudoti taisykles, atvirkštines logaritmavimo taisyklėms: logaritmų sumą pakeiskite sandaugos logaritmu, logaritmų skirtumą - koeficiento logaritmu ir tt Ypač jei priešais yra koeficientas logaritmo ženklo, tada potencijavimo metu jis turi būti perkeltas į eksponento laipsnius po logaritmo ženklu.
5 pavyzdys. Raskite N, jei žinoma, kad
Sprendimas. Atsižvelgiant į ką tik nurodytą potenciavimo taisyklę, koeficientus 2/3 ir 1/3, stovinčius prieš logaritmų ženklus dešinėje šios lygybės pusėje, perkelsime į eksponentus po šių logaritmų ženklais; mes gauname
Dabar logaritmų skirtumą pakeičiame koeficiento logaritmu:
kad gautume paskutinę trupmeną šioje lygybių grandinėje, išlaisvinome ankstesnę trupmeną nuo iracionalumo vardiklyje (25 punktas).
Savybė 7. Jei bazė yra didesnė už vieną, tada didesnis skaičius turi didesnį logaritmą (o mažesnis skaičius turi mažesnį), jei bazė yra mažesnė už vieną, tai didesnis skaičius turi mažesnį logaritmą (o mažesnis skaičius turi didesnį).
Ši savybė taip pat suformuluota kaip taisyklė imant nelygybių logaritmus, kurių abi pusės yra teigiamos:
Logarituojant nelygybes į bazę, didesnę už vienetą, nelygybės ženklas išsaugomas, o logarituojant iki bazės, mažesnės už vieną, nelygybės ženklas pasikeičia į priešingą (taip pat žr. 80 pastraipą).
Įrodymas paremtas 5 ir 3 savybėmis. Apsvarstykite atvejį, kai If , tada ir, imant logaritmus, gauname
(a ir N/M yra toje pačioje vienybės pusėje). Iš čia
Toliau pateikiamas a atvejis, skaitytojas tai išsiaiškins pats.
Išplaukia iš jo apibrėžimo. Ir taip skaičiaus logaritmas b remiantis A apibrėžiamas kaip eksponentas, iki kurio skaičius turi būti padidintas a norėdami gauti numerį b(logaritmas egzistuoja tik teigiamiems skaičiams).
Iš šios formuluotės matyti, kad skaičiavimas x=log a b, yra lygiavertis lygties sprendimui a x =b. Pavyzdžiui, log 2 8 = 3 nes 8 = 2 3 . Logaritmo formuluotė leidžia pagrįsti, kad jeigu b=a c, tada skaičiaus logaritmas b remiantis a lygus Su. Taip pat aišku, kad logaritmų tema yra glaudžiai susijusi su skaičiaus galių tema.
Su logaritmais, kaip ir su bet kuriais skaičiais, galite tai padaryti sudėjimo, atimties operacijos ir transformuotis visais įmanomais būdais. Tačiau dėl to, kad logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia galioja savos specialios taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.
Paimkime du logaritmus su tomis pačiomis bazėmis: užsirašyk x Ir prisijungti a y. Tada galima atlikti sudėjimo ir atimties operacijas:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
žurnalas a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = užsirašyk x 1 + užsirašyk x 2 + užsirašyk x 3 + ... + log a x k.
Iš logaritmo koeficiento teorema Galima gauti dar vieną logaritmo savybę. Visiems žinoma, kad žurnalas a 1 = 0, todėl
žurnalas a 1 /b=log a 1 - rąstas a b= - žurnalas a b.
Tai reiškia, kad yra lygybė:
log a 1 / b = - log a b.
Dviejų grįžtamųjų skaičių logaritmai dėl tos pačios priežasties vienas nuo kito skirsis tik ženklu. Taigi:
Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.