Kuriuose ketvirčiuose kosinusas yra teigiamas? Trigonometrinis ratas. Pagrindinės trigonometrinių funkcijų reikšmės

Jei jau esate susipažinę su trigonometrinis ratas , o jūs tiesiog norite atnaujinti atmintį apie tam tikrus elementus arba esate visiškai nekantrus, tai štai:

Čia mes viską išsamiai išanalizuosime žingsnis po žingsnio.

Trigonometrinis ratas – ne prabanga, o būtinybė

Trigonometrija Daugeliui žmonių tai asocijuojasi su nepraeinančiu tankumu. Staiga atsiranda tiek daug reikšmių trigonometrinės funkcijos, tiek daug formulių... Bet iš pradžių nepasiteisino, ir... išjungta ir vėl... visiškas nesusipratimas...

Labai svarbu nepasiduoti trigonometrinių funkcijų reikšmės, – sako, į spurtą visada galima pažiūrėti su vertybių lentele.

Jei nuolat žiūrite į lentelę su trigonometrinių formulių reikšmėmis, atsikratykime šio įpročio!

Jis mums padės! Dirbsite su juo keletą kartų, tada jis pasirodys jūsų galvoje. Kuo tai geriau nei stalas? Taip, lentelėje rasite ribotą reikšmių skaičių, bet ant apskritimo – VISKAS!

Pavyzdžiui, pasakykite žiūrėdami standartinė trigonometrinių formulių verčių lentelė , kodėl lygus sinusui, tarkime, 300 laipsnių arba -45.

Jokiu būdu?.. galima, žinoma, prisijungti redukcijos formules... O pažiūrėjus į trigonometrinį apskritimą galima nesunkiai atsakyti į tokius klausimus. Ir netrukus sužinosite, kaip!

O sprendžiant trigonometrines lygtis ir nelygybes be trigonometrinio apskritimo, tai visiškai niekur.

Įvadas į trigonometrinį apskritimą

Eikime eilės tvarka.

Pirmiausia užrašykite šią skaičių seriją:

O dabar tai:

Ir galiausiai šis:

Žinoma, aišku, kad iš tikrųjų pirmoje vietoje yra , antroje yra , o paskutinėje yra . Tai yra, mes būsime labiau suinteresuoti grandine.

Bet kaip gražu tai pasirodė! Jei kas nors atsitiks, mes atstatysime šias „stebuklingas kopėčias“.

Ir kam mums to reikia?

Ši grandinė yra pagrindinės sinuso ir kosinuso reikšmės pirmąjį ketvirtį.

Nubraižykime vienetinio spindulio apskritimą stačiakampėje koordinačių sistemoje (tai yra, imame bet kurį spindulį į ilgį ir paskelbiame jo ilgį vienetu).

Iš sijos „0-Start“ klojame kampus rodyklės kryptimi (žr. pav.).

Gauname atitinkamus apskritimo taškus. Taigi, jei suprojektuosime taškus ant kiekvienos ašies, gausime tiksliai vertes iš aukščiau pateiktos grandinės.

Kodėl taip yra, klausiate?

Neanalizuokime visko. Pasvarstykime principu, kuri leis jums susidoroti su kitomis, panašiomis situacijomis.

Trikampis AOB yra stačiakampis ir jame yra . Ir mes žinome, kad priešais kampą b yra pusė hipotenuzės dydžio koja (turime hipotenuzą = apskritimo spindulys, tai yra 1).

Tai reiškia AB= (taigi ir OM=). Ir pagal Pitagoro teoremą

Tikiuosi, kažkas jau aiškėja?

Taigi taškas B atitiks reikšmę, o taškas M – reikšmę

Tas pats ir su kitomis pirmojo ketvirčio vertėmis.

Kaip suprantate, pažįstama ašis (jautis) bus kosinuso ašis, o ašis (oy) – sinusų ašis . Vėliau.

Į kairę nuo nulio išilgai kosinuso ašies (žemiau nulio išilgai sinuso ašies), žinoma, bus neigiamos reikšmės.

Taigi, štai visagalis, be kurio trigonometrijoje niekur nėra.

Bet mes kalbėsime apie tai, kaip naudoti trigonometrinį apskritimą.

Šiame straipsnyje bus nagrinėjamos trys pagrindinės trigonometrinių funkcijų savybės: sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas.

Pirmoji savybė yra funkcijos ženklas, priklausantis nuo to, kuriam vienetinio apskritimo ketvirčiui priklauso kampas α. Antroji savybė yra periodiškumas. Pagal šią savybę tigonometrinė funkcija nekeičia savo vertės, kai kampas pasikeičia sveiku apsisukimų skaičiumi. Trečioji savybė lemia, kaip keičiasi vertės funkcijos nuodėmė, cos, tg, ctg esant priešingiems kampams α ir - α.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Dažnai matematiniame tekste arba problemos kontekste galite rasti frazę: „pirmojo, antrojo, trečiojo ar ketvirtojo koordinačių ketvirčio kampas“. Kas tai yra?

Pasukkime į vieneto ratą. Jis padalintas į keturis ketvirčius. Apskritime pažymėkime pradžios tašką A 0 (1, 0) ir, apsukę jį aplink tašką O kampu α, pateksime į tašką A 1 (x, y). Priklausomai nuo to, kuriame ketvirtyje yra taškas A 1 (x, y), kampas α bus vadinamas atitinkamai pirmojo, antrojo, trečiojo ir ketvirtojo ketvirčio kampais.

Aiškumo dėlei čia yra iliustracija.

Kampas α = 30° yra pirmajame ketvirtyje. Kampas – 210° yra antrojo ketvirčio kampas. 585° kampas yra trečiojo ketvirčio kampas. Kampas - 45° yra ketvirtojo ketvirčio kampas.

Šiuo atveju kampai ± 90 °, ± 180 °, ± 270 °, ± 360 ° nepriklauso jokiam ketvirčiui, nes jie yra ant koordinačių ašių.

Dabar apsvarstykite ženklus, kuriuos ima sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, priklausomai nuo to, kuriame kvadrante yra kampas.

Norėdami nustatyti sinuso ženklus ketvirčiais, prisiminkite apibrėžimą. Sinusas yra taško A 1 (x, y) ordinatė. Paveikslėlyje matyti, kad pirmąjį ir antrąjį ketvirčius jis yra teigiamas, o trečiame ir keturgubai – neigiamas.

Kosinusas yra taško A 1 (x, y) abscisė. Pagal tai nustatome kosinuso ženklus apskritime. Kosinusas yra teigiamas pirmąjį ir ketvirtąjį ketvirčius, o neigiamas antrąjį ir trečiąjį ketvirčius.

Norėdami nustatyti liestinės ir kotangento ženklus ketvirčiais, taip pat primename šių trigonometrinių funkcijų apibrėžimus. Tangentas yra taško ordinatės ir abscisės santykis. Tai reiškia, kad pagal skaičių dalijimo taisyklę su skirtingi ženklai, kai ordinata ir abscisė turi vienodus ženklus, apskritimo liestinės ženklas bus teigiamas, o kai ordinata ir abscisė turi skirtingus ženklus – neigiamas. Panašiai nustatomi ir ketvirčių kotangentiniai ženklai.

Svarbu atsiminti!

1. Kampo α sinusas turi pliuso ženklą 1 ir 2 ketvirčiuose, minuso ženklą 3 ir 4 ketvirčiuose.
2. Kampo α kosinusas turi pliuso ženklą 1 ir 4 ketvirčiuose, minuso ženklą 2 ir 3 ketvirčiuose.
3. Kampo α liestinė 1 ir 3 ketvirčiuose turi pliuso ženklą, 2 ir 4 ketvirčius – minuso ženklą.
4. Kampo α kotangentas turi pliuso ženklą 1 ir 3 ketvirčiuose, minuso ženklą 2 ir 4 ketvirčiuose.

Periodiškumo savybė

Periodiškumo savybė yra viena iš ryškiausių trigonometrinių funkcijų savybių.

Periodiškumo savybė

Kai kampas pasikeičia sveiku skaičiumi pilnų apsisukimų, nurodyto kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės išlieka nepakitusios.

Iš tiesų, kai kampas pasikeičia sveiku apsisukimų skaičiumi, mes visada pateksime iš pradinio taško A vienetiniame apskritime į tašką A 1 su tomis pačiomis koordinatėmis. Atitinkamai sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės nesikeis.

Matematiškai ši savybė parašyta taip:

nuodėm

Kaip šis turtas naudojamas praktiškai? Periodiškumo savybė, kaip ir redukcijos formulės, dažnai naudojama apskaičiuojant didelių kampų sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų vertes.

Pateikime pavyzdžių.

sin 13 π 5 = sin 3 π 5 + 2 π = sin 3 π 5

t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)

Dar kartą pažvelkime į vieneto ratą.

Taškas A 1 (x, y) yra pradinio taško A 0 (1, 0) pasukimo aplink apskritimo centrą kampu α rezultatas. Taškas A 2 (x, - y) yra pradžios taško pasukimo kampu - α rezultatas.

Taškai A 1 ir A 2 yra simetriški abscisių ašies atžvilgiu. Tuo atveju, kai α = 0 °, ± 180 °, ± 360 ° taškai A 1 ir A 2 sutampa. Tegul vienas taškas turi koordinates (x, y), o antrasis – (x, - y). Prisiminkime sinuso, kosinuso, liestinės, kotangento apibrėžimus ir parašykime:

sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y

Tai reiškia priešingų kampų sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų savybę.

Priešingų kampų sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų savybė

sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α

Pagal šią savybę lygybės yra teisingos

sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °

Ši savybė dažnai naudojama sprendžiant praktines problemas tais atvejais, kai reikia atsikratyti neigiamų kampų ženklų trigonometrinių funkcijų argumentuose.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Leidžia nustatyti keletą būdingų rezultatų - sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento savybės. Šiame straipsnyje apžvelgsime tris pagrindines savybes. Pirmasis iš jų nurodo kampo α sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento ženklus, priklausomai nuo to, kurio koordinačių ketvirčio kampas yra α. Toliau nagrinėsime periodiškumo savybę, kuri nustato kampo α sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento verčių invariaciją, kai šis kampas pasikeičia sveiku apsisukimų skaičiumi. Trečioji savybė išreiškia ryšį tarp priešingų kampų α ir −α sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento verčių.

Jei jus domina sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento funkcijų savybės, galite jas ištirti atitinkamoje straipsnio dalyje.

Puslapio naršymas.

Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento ženklai ketvirčiais

Žemiau šioje pastraipoje atsiras frazė „I, II, III ir IV koordinačių ketvirčio kampai“. Paaiškinkime, kas yra šie kampai.

Paimkime vieneto ratas, pažymėkite jame pradžios tašką A(1, 0) ir pasukite aplink tašką O kampu α, ir manysime, kad pateksime į tašką A 1 (x, y).

Jie taip sako kampas α – I, II, III, IV koordinačių kvadranto kampas, jei taškas A 1 yra atitinkamai I, II, III, IV ketvirčiuose; jei kampas α yra toks, kad taškas A 1 yra bet kurioje koordinačių tiesėje Ox arba Oy, tai šis kampas nepriklauso nė vienam iš keturių ketvirčių.

Aiškumo dėlei čia yra grafinė iliustracija. Žemiau pateikti brėžiniai rodo sukimosi kampai 30, -210, 585 ir -45 laipsnių, kurie yra atitinkamai I, II, III ir IV koordinačių ketvirčių kampai.

Kampai 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … laipsniai nepriklauso nė vienam koordinačių ketvirčiui.

Dabar išsiaiškinkime, kokie ženklai turi sukimosi kampo α sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmes, priklausomai nuo to, kuris kvadranto kampas yra α.

Su sinusu ir kosinusu tai padaryti lengva.

Pagal apibrėžimą kampo α sinusas yra taško A 1 ordinatė. Akivaizdu, kad I ir II koordinačių ketvirčiuose jis yra teigiamas, o III ir IV – neigiamas. Taigi kampo α sinusas turi pliuso ženklą 1 ir 2 ketvirčiuose, o minuso ženklą 3 ir 6 ketvirčiuose.

Savo ruožtu kampo α kosinusas yra taško A 1 abscisė. I ir IV ketvirčius jis teigiamas, o II ir III – neigiamas. Vadinasi, kampo α kosinuso reikšmės I ir IV ketvirčiuose yra teigiamos, o II ir III ketvirčiuose – neigiamos.

Norėdami nustatyti liestinės ir kotangento ketvirčių ženklus, turite atsiminti jų apibrėžimus: liestinė yra taško A 1 ordinatės ir abscisės santykis, o kotangentas yra taško A 1 abscisės ir ordinatės santykis. Tada nuo skaičių padalijimo taisyklės su tais pačiais ir skirtingais ženklais, tai reiškia, kad liestinė ir kotangentas turi pliuso ženklą, kai taško A 1 abscisės ir ordinatės ženklai yra vienodi, ir minuso ženklą, kai taško A 1 abscisės ir ordinatės ženklai skiriasi. Vadinasi, kampo liestinė ir kotangentas turi + ženklą I ir III koordinačių ketvirčiuose, o minuso ženklą II ir IV ketvirčiuose.

Iš tiesų, pavyzdžiui, pirmąjį ketvirtį taško A 1 abscisė x ir ordinatė y yra teigiami, tada ir koeficientas x/y, ir koeficientas y/x yra teigiami, todėl liestinė ir kotangentas turi + ženklus. O antrajame ketvirtyje abscisė x yra neigiama, o ordinatė y yra teigiama, todėl ir x/y, ir y/x yra neigiami, todėl liestinė ir kotangentas turi minuso ženklą.

Pereikime prie kitos sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento savybės.

Periodiškumo savybė

Dabar pažvelgsime į bene akivaizdžiausią kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento savybę. Tai yra taip: kai kampas pasikeičia sveiku skaičiumi pilnų apsisukimų, šio kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės nesikeičia.

Tai suprantama: kai kampas pasikeičia sveiku apsisukimų skaičiumi, mes visada pateksime iš pradinio taško A į tašką A 1 vienetiniame apskritime, todėl sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės išlieka nepakitusios, kadangi taško A 1 koordinatės nekinta.

Naudojant formules, nagrinėjamą sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento savybę galima užrašyti taip: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+) 2·π· z)=tgα , ctg(α+2·π·z)=ctgα , kur α yra sukimosi kampas radianais, z yra bet koks , absoliučioji vertė kuris rodo pilnų apsisukimų skaičių, kuriuo kinta kampas α, o skaičiaus z ženklas – sukimosi kryptį.

Jei sukimosi kampas α nurodytas laipsniais, tada nurodytos formulės bus perrašomos į sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .

Pateiksime šios nuosavybės naudojimo pavyzdžių. Pavyzdžiui, , nes , A . Štai dar vienas pavyzdys: arba .

Šis turtas kartu su redukcijos formules labai dažnai naudojamas apskaičiuojant sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento reikšmes„dideli“ kampai.

Nagrinėjama sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento savybė kartais vadinama periodiškumo savybe.

Priešingų kampų sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų savybės

Tegul A 1 yra taškas, gautas pradinį tašką A(1, 0) pasukus aplink tašką O kampu α, o taškas A 2 – taško A pasukimo kampu −α, priešingu kampui α, rezultatas.

Priešingų kampų sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų savybė pagrįsta gana akivaizdžiu faktu: aukščiau paminėti taškai A 1 ir A 2 arba sutampa (ties), arba yra simetriškai Ox ašies atžvilgiu. Tai yra, jei taškas A 1 turi koordinates (x, y), tai taškas A 2 turės koordinates (x, −y). Iš čia, naudodami sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus, rašome lygybes ir .
Palyginus juos, gauname ryšius tarp formos priešingų kampų α ir −α sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų.
Tai yra formulių pavidalu nagrinėjama savybė.

Pateiksime šios nuosavybės naudojimo pavyzdžių. Pavyzdžiui, lygybės ir .

Belieka tik pažymėti, kad priešingų kampų sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų savybė, kaip ir ankstesnė savybė, dažnai naudojama apskaičiuojant sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmes ir leidžia visiškai išvengti neigiamų. kampai.

Bibliografija.

• Algebra: Vadovėlis 9 klasei. vid. mokykla/Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova; Red. S. A. Telyakovsky. - M.: Išsilavinimas, 1990. - 272 p.: iliustr. - ISBN 5-09-002727-7
• Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 klasėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorovas, A. M. Abramovas, Yu. P. Dudnicynas ir kt.; Red. A. N. Kolmogorovas - 14 leidimas - M.: Švietimas, 2004. - 384 p.: iliustr. - ISBN 5-09-013651-3.
• Bašmakovas M. I. Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis. 10-11 klasėms. vid. mokykla – 3 leidimas. - M.: Išsilavinimas, 1993. - 351 p.: iliustr. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.

Pamokos tipas:žinių sisteminimas ir tarpinė kontrolė.

Įranga: trigonometrinis apskritimas, testai, užduočių kortelės.

Pamokos tikslai: sisteminti studijuojamą teorinę medžiagą pagal kampo sinuso, kosinuso, liestinės apibrėžimus; patikrinti žinių įgijimo šia tema laipsnį ir pritaikymą praktikoje.

Užduotys:

• Apibendrinkite ir įtvirtinkite kampo sinuso, kosinuso ir liestinės sąvokas.
• Suformuokite visapusišką trigonometrinių funkcijų supratimą.
• Skatinti studentų norą ir poreikį studijuoti trigonometrinę medžiagą; ugdyti bendravimo kultūrą, gebėjimą dirbti grupėse ir saviugdos poreikį.

„Kas daro ir galvoja apie save nuo mažens,
Tada jis tampa patikimesnis, stipresnis, protingesnis.

(V. Šuksinas)

UŽSIĖMIMŲ LAIKOTARPIU

I. Organizacinis momentas

Klasę atstovauja trys grupės. Kiekviena grupė turi konsultantą.
Mokytojas paskelbia pamokos temą, tikslus ir uždavinius.

II. Žinių atnaujinimas (priekinis darbas su klase)

1) Atlikite užduotis grupėse:

1. Suformuluokite nuodėmės kampo apibrėžimą.

– Kokius ženklus turi sin α kiekviename koordinačių kvadrante?
– Kokiomis reikšmėmis išraiška sin α turi prasmę ir kokias reikšmes ji gali turėti?

2. Antroji grupė yra tie patys klausimai cos α.

3. Trečioji grupė rengia atsakymus į tuos pačius klausimus tg α ir ctg α.

Šiuo metu trys mokiniai savarankiškai dirba prie lentos naudodami korteles (skirtingų grupių atstovai).

Kortelė Nr.1.

Praktinis darbas.
Naudodami vienetinį apskritimą, apskaičiuokite sin α, cos α ir tan α reikšmes 50, 210 ir – 210 kampams.

Kortelė Nr.2.

Nustatykite išraiškos ženklą: tg 275; cos 370; nuodėmė 790; tg 4.1 ir sin 2.

Kortelės numeris 3.

1) Apskaičiuokite:
2) Palyginkite: cos 60 ir cos 2 30 – sin 2 30

2) Žodžiu:

a) Siūloma skaičių seka: 1; 1,2; 3; , 0, , – 1. Tarp jų yra perteklinių. Kokią sin α arba cos α savybę gali išreikšti šie skaičiai (Ar sin α arba cos α gali priimti šias reikšmes).
b) Ar išraiška turi prasmę: cos (–); nuodėmė 2; tg 3: ctg (– 5); ; ctg0;
cotg(–π). Kodėl?
c) Ar yra mažiausias ir didžiausia vertė sin arba cos, tg, ctg.
d) Ar tai tiesa?
1) α = 1000 yra antrojo ketvirčio kampas;
2) α = – 330 yra IV ketvirčio kampas.
e) Skaičiai atitinka tą patį vienetinio apskritimo tašką.

3) Darbas valdyboje

Nr. 567 (2; 4) – Raskite išraiškos reikšmę
Nr. 583 (1-3) Nustatykite posakio ženklą

Namų darbai: lentelė užrašų knygelėje. Nr.567(1,3) Nr.578

III. Papildomų žinių įgijimas. Trigonometrija delne

Mokytojas: Pasirodo, kad kampų sinusų ir kosinusų reikšmės „atsirado“ jūsų delne. Ištieskite ranką (bet kurią ranką) ir pirštus išskleiskite kuo toliau (kaip plakate). Kviečiamas vienas studentas. Matuojame kampus tarp pirštų.
Paimkite trikampį, kuriame yra 30, 45 ir 60 90 kampai, ir pritaikykite kampo viršūnę prie Mėnulio kalvelės delne. Mėnulio kalnas yra mažojo piršto tiesinių sankirtoje ir nykštys. Vieną pusę sujungiame mažuoju pirštu, o kitą – vienu iš kitų pirštų.
Pasirodo, tarp mažojo piršto ir nykščio yra kampas 90, tarp mažojo ir bevardžio pirštų – 30, tarp mažojo ir vidurinio – 45, tarp mažojo ir rodomojo – 60. Ir tai galioja visiems žmonėms. be išimčių.

mažasis pirštas Nr. 0 – atitinka 0,
neįvardytas Nr. 1 – atitinka 30,
vidurkis Nr. 2 – atitinka 45,
indekso numeris 3 – atitinka 60,
didelis Nr.4 – atitinka 90.

Taigi, mes turime 4 pirštus ant rankos ir prisimename formulę:

Pirštas Nr.	Kampas	Reikšmė

Tai tik mnemoninė taisyklė. Apskritai sin α arba cos α reikšmę reikia žinoti mintinai, tačiau kartais ši taisyklė padės sunkiais laikais.
Sugalvokite cos taisyklę (kampai nesikeičia, o skaičiuojami nuo nykščio). Fizinė pauzė, susijusi su ženklais sin α arba cos α.

IV. Patikrinkite savo žinias ir įgūdžius

Savarankiškas darbas su atsiliepimais

Kiekvienas mokinys gauna testą (4 variantai), o atsakymų lapas yra visiems vienodas.

Testas

1 variantas

1) Kokiu sukimosi kampu spindulys užims tokią pačią padėtį, kaip ir sukant 50 kampu?
2) Raskite išraiškos reikšmę: 4cos 60 – 3sin 90.
3) Kuris skaičius mažesnis už nulį: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.

2 variantas

1) Kokiu sukimosi kampu spindulys užims tokią pačią padėtį, kaip ir pasisukus 10 kampu.
2) Raskite išraiškos reikšmę: 4cos 90 – 6sin 30.
3) Kuris skaičius didesnis už nulį: sin 340, cos 340, sin 240, tg (– 240).

3 variantas

1) Raskite išraiškos reikšmę: 2ctg 45 – 3cos 90.
2) Kuris skaičius mažesnis už nulį: sin 40, cos (– 10), tan 210, sin 140.
3) Kuris ketvirčio kampas yra kampas α, jei sin α > 0, cos α< 0.

4 variantas

1) Raskite išraiškos reikšmę: tg 60 – 6ctg 90.
2) Kuris skaičius mažesnis už nulį: sin(– 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) Kurio kvadranto kampas yra kampas α, jei ctg α< 0, cos α> 0.

A 0	B Nuodėmė50	IN 1	G – 350	D – 1	E Cos(– 140)
IR 3	Z 310	IR Kaina 140		L 350	M 2
N Kaina 340	APIE – 3	P Kaina 250	R	SU Nuodėmė 140	T – 310
U – 2	F 2	X 50 Tg	Sh 250 Tg	YU Nuodėmė 340	aš 4

(raktinis žodis yra trigonometrija)

V. Informacija iš trigonometrijos istorijos

Mokytojas: Trigonometrija yra gana svarbi matematikos šaka žmogaus gyvenimui. Šiuolaikinė išvaizda trigonometriją pristatė didžiausias XVIII amžiaus matematikas Leonhardas Euleris, kilęs iš šveicarų, daug metų dirbęs Rusijoje ir buvęs Sankt Peterburgo mokslų akademijos nariu. Jis pristatė žinomus trigonometrinių funkcijų apibrėžimus, suformulavo ir įrodė gerai žinomas formules, jas išmoksime vėliau. Eulerio gyvenimas yra labai įdomus ir patariu su juo susipažinti per Jakovlevo knygą „Leonardas Euleris“.

(Vaikinų žinutė šia tema)

VI. Apibendrinant pamoką

Žaidimas „Tic Tac Toe“

Dalyvauja du aktyviausi mokiniai. Juos palaiko grupės. Užduočių sprendimai surašomi į sąsiuvinį.

Užduotys

1) Raskite klaidą

a) nuodėmė 225 = – 1,1 c) nuodėmė 115< О
b) cos 1000 = 2 d) cos (– 115) > 0

2) Išreikškite kampą laipsniais
3) Išreikškite kampą 300 radianais
4) Koks yra didžiausias ir mažiausia vertė gali turėti išraišką: 1+ sin α;
5) Nustatykite išraiškos ženklą: sin 260, cos 300.
6) Kuriame skaičių apskritimo ketvirtyje yra taškas?
7) Nustatykite išraiškos požymius: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Apskaičiuokite:
9) Palyginkite: nuodėmė 2 ir nuodėmė 350

VII. Pamokos refleksija

Mokytojas: Kur galime susipažinti su trigonometrija?
Kokiose pamokose 9 klasėje ir dar dabar vartojate sin α, cos α sąvokas; tg α; ctg α ir kokiu tikslu?