St va lygiašonė trapecija. Trapecijos įstrižainės

Skyriuje yra geometrijos uždaviniai (planimetrijos skyrius) apie trapecijas. Jei neradote problemos sprendimo, parašykite apie tai forume. Kursas tikrai bus papildytas.

Trapecija. Apibrėžimas, formulės ir savybės

Trapecija (iš senovės graikų τραπέζιον - "stalas"; τράπεζα - "stalas, maistas") yra keturkampis, kurio lygiagrečiai yra viena pora priešingų kraštinių.

Trapecija yra keturkampis, kurio priešingų kraštinių pora yra lygiagreti.

Pastaba. Šiuo atveju lygiagretainis yra ypatingas trapecijos atvejis.

Lygiagrečios priešingos kraštinės vadinamos trapecijos pagrindais, o kitos dvi – šoninėmis.

Trapecijos yra:

- universalus ;

- lygiašoniai;

- stačiakampis

.
Raudona ir rudos gėlės Nurodytos šonai, o trapecijos pagrindai – žalia ir mėlyna.

A – lygiašonis (lygiašonis, lygiašonis) trapecija
B - stačiakampė trapecija
C – skaleno trapecija

Skaleninė trapecija turi visas puses skirtingi ilgiai, o pagrindai lygiagretūs.

Kraštinės lygios, o pagrindai lygiagretūs.

Lygiagretus prie pagrindo, vienas pusėje statmenai pagrindams, o antroji pusė pasvirusi į pagrindus.

Trapecijos savybės

• Trapecijos vidurio linija lygiagrečios bazėms ir lygios jų pusinei sumai
• Atkarpa, jungianti įstrižainių vidurio taškus, yra lygus pusei bazių skirtumo ir yra vidurinėje linijoje. Jo ilgis
• Lygiagrečios tiesės, kertančios bet kurio trapecijos kampo kraštines, atskiria proporcingas atkarpas nuo kampo kraštinių (žr. Thaleso teoremą)
• Trapecijos įstrižainių susikirtimo taškas, jo kraštinių plėtinių ir pagrindų vidurio susikirtimo taškas yra toje pačioje tiesėje (taip pat žr. keturkampio savybes)
• Trikampiai guli ant pagrindų trapecijos, kurių viršūnės yra jos įstrižainių susikirtimo taškas, yra panašios. Tokių trikampių plotų santykis lygus trapecijos pagrindų santykio kvadratui
• Šonuose guli trikampiai trapecijos, kurių viršūnės yra jos įstrižainių susikirtimo taškas, yra vienodo ploto (vienodo ploto)
• Į trapeciją galite įrašyti apskritimą, jei trapecijos pagrindų ilgių suma lygi jos kraštinių ilgių sumai. Vidurinė linija šiuo atveju yra lygi kraštinių sumai, padalytai iš 2 (nes vidurinė linija trapecija yra lygi pusei bazių sumos)
• Atkarpa, lygiagreti pagrindams ir einantis per įstrižainių susikirtimo tašką, yra padalintas iš pastarosios per pusę ir yra lygus dvigubai bazių sandaugai, padalytai iš jų sumos 2ab / (a ​​+ b) (Burakovo formulė)

Trapecijos kampai

Trapecijos kampai yra aštrūs, tiesūs ir buki.
Tik du kampai yra teisingi.

Stačiakampė trapecija turi du stačius kampus, o kiti du yra ūmūs ir buki. Kiti trapecijos tipai turi du smailiuosius ir du bukus kampus.

Trapecijos bukieji kampai priklauso mažesniems išilgai pagrindo ilgio ir aštrus – daugiau pagrindu.

Galima laikyti bet kokią trapeciją kaip nupjautas trikampis, kurios pjūvio linija lygiagreti trikampio pagrindui.
Svarbu. Atkreipkite dėmesį, kad tokiu būdu (papildomai sukonstruojant trapeciją iki trikampio) galima išspręsti kai kurias trapecijos problemas ir įrodyti kai kurias teoremas.

Kaip rasti trapecijos kraštines ir įstrižaines

Trapecijos kraštinės ir įstrižainės randamos naudojant toliau pateiktas formules:

Šiose formulėse naudojami žymėjimai yra tokie, kaip paveikslėlyje.

a – mažesnis iš trapecijos pagrindų
b – didesnis iš trapecijos pagrindų
c,d - šonai
h 1 h 2 - įstrižainės

Trapecijos įstrižainių kvadratų suma yra lygi dvigubai trapecijos pagrindų sandaugai ir šoninių kraštinių kvadratų sumai (2 formulė)

Instrukcijos

Pagal lygiašonės trapecijos savybę atkarpa n lygi pusei skirtumo tarp bazių x ir y. Todėl mažesnė trapecijos y bazė gali būti pavaizduota kaip skirtumas tarp didesnės bazės ir atkarpos n, padaugintas iš dviejų: y = x - 2*n.

Raskite nežinomą mažesnę atkarpą n. Norėdami tai padaryti, apskaičiuokite vieną iš gauto stačiojo trikampio kraštinių. Trikampį sudaro aukštis - h (koja), kraštinė - a (hipotenuzė) ir atkarpa - n (koja). Pagal Pitagoro teoremą nežinoma kojelė n² = a² - h². Pakaitalas skaitines reikšmes ir apskaičiuokite kojos n kvadratą. Paimkite gautos vertės kvadratinę šaknį - tai bus atkarpos n ilgis.

Pakeiskite šią reikšmę pirmoje lygtyje, kad apskaičiuotumėte y. Trapecijos plotas apskaičiuojamas pagal formulę S = ((x + y)*h)/2. Išreikškite nežinomą kintamąjį: y = 2*S/h – x.

Šaltiniai:

• lygiašonės trapecijos aukštis

Norint apibrėžti keturkampį, pavyzdžiui, trapeciją, turi būti apibrėžtos bent trys jo kraštinės. Todėl, pavyzdžiui, galime svarstyti problemą, kurioje pateikti įstrižainių ilgiai trapecijos, taip pat vienas iš šoninių vektorių.

Instrukcijos

Paveikslas iš probleminių sąlygų pateiktas 1.B tokiu atveju reikia manyti, kad nagrinėjama yra ABCD, kurioje pateikti įstrižainių AC ir BD ilgiai, taip pat šoninė kraštinė AB, pavaizduota vektoriumi a(ax,ay). Priimti pradiniai duomenys leidžia rasti abu pagrindu trapecijos(ir viršuje, ir apačioje). IN konkretus pavyzdys pirmiausia bus rasta apatinė bazė AD.

Apsvarstykite trikampį ABD. Jos kraštinės AB ilgis lygus absoliučiai vektoriaus a reikšmei. Tegu |a|=sqrt((ax)^2+(ay)^2)=a, tada cosф =ax/sqrt(((ax)^2+(ay)^2), kaip krypties a kosinusą. Tegul turi duotą įstrižainę BD ilgio p, ir norimą AD ilgio X. Tada pagal kosinuso teoremą P^2=a^2+ x^2-2axcosф. Arba x^2-2axcosф+(a^2-p^2)=0.

Norėdami rasti viršūnę pagrindu BC (jo ilgis ieškant taip pat žymimas x), naudojamas modulis |a|=a, taip pat antroji įstrižainė BD=q ir kampo ABC kosinusas, kuris akivaizdžiai lygus (n-ph) .

Toliau nagrinėjamas trikampis ABC, kuriam, kaip ir anksčiau, taikoma kosinuso teorema, ir atsiranda tai. Atsižvelgiant į tai, kad cos(п-ф)=-cosф, remiantis AD sprendimu, galime naudoti šią formulę, pakeisdami p q:ВС=- a*ax|sqrt(((ax)^2+(ay) ^2) +sqrt((((a)^2)(ax^2))/(ax^2+ay^2))-a^2+q^2).

Tai yra kvadratas ir, atitinkamai, turi dvi šaknis. Taigi šiuo atveju belieka rinktis tik tas šaknis, kurios turi teigiama vertė, nes ilgis negali būti neigiamas.

Pavyzdys Įleisk trapecijos ABCD šoninė pusė AB pateikiama vektoriumi a(1, sqrt3), p=4, q=6. Rasti pagrindu trapecijos.Sprendimas. Naudodami aukščiau gautus algoritmus, galime parašyti: |a|=a=2, cosф=1/2. AD=1/2+sqrt(4/4 -4+16)=1/2 +sqrt(13)=(sqrt(13)+1)/2.BC=-1/2+sqrt(-3+36) )=(sqrt(33)-1)/2.

Video tema

Trapecija yra keturkampis, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi ne. Trapecijos aukštis yra atkarpa, statmena tarp dviejų lygiagrečių tiesių. Priklausomai nuo šaltinio duomenų, jį galima apskaičiuoti įvairiais būdais.

Jums reikės

• Trapecijos kraštinių, pagrindų, vidurio linijos, taip pat, pasirinktinai, ploto ir (arba) perimetro išmanymas.

Instrukcijos

Tarkime, kad yra trapecija su tais pačiais duomenimis, kaip ir 1 paveiksle. Nubrėžkime 2 aukščius, gausime , kuri turi 2 mažesnes kraštines pagal stačiakampių trikampių kojeles. Mažesnį ritinį pažymėkime x. Jis nustatomas padalijus ilgio skirtumą tarp didesnių ir mažesnių pagrindų. Tada pagal Pitagoro teoremą – aukščio kvadratas lygi sumai hipotenuzės d ir kojos x kvadratai. Iš šios sumos išimame aukštį h. (2 pav.)

Video tema

Šaltiniai:

• kaip apskaičiuoti trapecijos aukštį

Matematinė figūra su keturiais kampais vadinama trapecija, jei jos priešingų kraštinių pora yra lygiagrečios, o kita pora – ne. Lygiagrečios pusės vadinamos priežastys trapecijos, kiti du yra šoniniai. Stačiakampyje trapecijos vienas iš šoninių kampų yra tiesus.

Instrukcijos

Užduotis 1. Raskite pagrindus BC ir AD trapecijos, jei žinomas ilgis AC = f; kraštinės ilgis CD = c ir kampas ADC = α Sprendimas: Panagrinėkime stačiakampį CED. Žinomi hipotenuzė c ir kampas tarp hipotenuzės ir kojos EDC. Raskite ilgius CE ir ED: naudodami kampo formulę CE = CD*sin(ADC); ED = CD*cos (ADC). Taigi: CE = c*sinα; ED=c*cosα.

Apsvarstykite stačiąjį trikampį ACE. Žinote hipotenuzą AC ir CE, raskite šoninę AE pagal taisyklę: kojų kvadratų suma yra lygi hipotenuzės kvadratui. Taigi: AE(2) = AC(2) - CE(2) = f(2) - c*sinα. Apskaičiuoti Kvadratinė šaknis iš dešinės lygybės pusės. Jūs radote viršutinį stačiakampį trapecijos.

Pagrindo AD ilgis yra dviejų atkarpų AE ir ED ilgių suma. AE = kvadratinė šaknis(f(2) - c*sinα); ED = c*cosα).Taigi: AD = kvadratinė šaknis(f(2) - c*sinα) + c*cosα.Jūs radote apatinį stačiakampio pagrindą trapecijos.

2 užduotis. Raskite stačiakampio pagrindus BC ir AD trapecijos, jei žinomas įstrižainės ilgis BD = f; kraštinės ilgis CD = c, o kampas ADC = α Sprendimas: Apsvarstykite stačiąjį trikampį CED. Raskite kraštinių CE ir ED ilgius: CE = CD*sin(ADC) = c*sinα; ED = CD*cos(ADC) = c*cosα.

Apsvarstykite stačiakampį ABCE. Pagal savybę AB = CE = c*sinα Apsvarstykite statųjį trikampį ABD. Pagal stačiojo trikampio savybę hipotenuzės kvadratas yra kojų kvadratų suma. Todėl AD(2) = BD(2) - AB(2) = f(2) - c*sinα. Radote apatinę stačiakampio bazę trapecijos AD = kvadratinė šaknis(f(2) - c*sinα).

Pagal stačiakampio taisyklę BC = AE = AD - ED = kvadratinė šaknis(f(2) - c*sinα) - c*cosα. Radote viršutinį stačiakampio pagrindą trapecijos.

Mažesnis trapecijos pagrindas yra viena iš lygiagrečių jos kraštinių, kurios ilgis yra minimalus. Šią vertę galima apskaičiuoti keliais būdais naudojant tam tikrus duomenis.

Jums reikės

• - skaičiuotuvas.

Instrukcijos

Jei žinomi du ilgiai – bazė ir vidurinė linija – naudokite trapecijos savybę, kad apskaičiuotumėte mažiausią bazę. Pagal ją trapecijos vidurio linija yra identiška pusei bazių sumos. Šiuo atveju mažiausias pagrindas bus lygus skirtumui tarp dvigubo vidurinės linijos ilgio ir šios figūros didžiojo pagrindo ilgio.

Jei žinomi tokie trapecijos parametrai kaip , aukštis, didžiojo pagrindo ilgis, tada pagal trapeciją apskaičiuokite mažiausią šios bazės pagrindą. Tokiu atveju galutinį rezultatą gausite iš skirtumo tarp dvigubo ploto ir aukščio koeficiento atėmę parametrą, pvz., didžiojo trapecijos pagrindo ilgį.

Apskaičiuokite kitos pusės šoninės pusės ilgį

Geometrijos kursas 8 klasei apima išgaubtų keturkampių savybių ir charakteristikų tyrimą. Tai lygiagretainiai, kurių ypatingi atvejai yra kvadratai, stačiakampiai ir rombai bei trapecijos. Ir jei problemų sprendimas dėl įvairių lygiagretainio variantų dažniausiai nesukelia didelių sunkumų, tai išsiaiškinti, kuris keturkampis vadinamas trapecija, yra šiek tiek sunkiau.

Apibrėžimas ir tipai

Skirtingai nuo kitų tirtų keturkampių mokyklos mokymo programa, trapecija paprastai vadinama tokia figūra, kurios dvi priešingos kraštinės yra lygiagrečios viena kitai, o kitos dvi – ne. Yra ir kitas apibrėžimas: tai keturkampis, kurio kraštinių pora yra nelygi ir lygiagreti.

Įvairūs tipai parodyti paveikslėlyje žemiau.

1 paveikslėlyje pavaizduota savavališka trapecija. Skaičius 2 žymi ypatingą atvejį – stačiakampę trapeciją, kurios viena iš kraštinių yra statmena jos pagrindams. Paskutinė figūra taip pat ypatingas atvejis: Tai lygiakraštė (lygiakraščio) trapecija, t. y. keturkampis su lygiomis kraštinėmis.

Svarbiausios savybės ir formulės

Keturkampio savybėms apibūdinti įprasta išryškinti tam tikrus elementus. Kaip pavyzdį apsvarstykite savavališką trapeciją ABCD.

Tai įeina:

• pagrindai BC ir AD - dvi kraštinės lygiagrečios viena kitai;
• kraštinės AB ir CD yra du nelygiagretūs elementai;
• įstrižainės AC ir BD yra atkarpos, jungiančios priešingas figūros viršūnes;
• trapecijos CH aukštis yra atkarpa, statmena pagrindams;
• vidurio linija EF – linija, jungianti šoninių kraštinių vidurio taškus.

Pagrindinės elementų savybės

Geometrijos uždaviniams spręsti ar bet kokiems teiginiams įrodyti dažniausiai naudojamos savybės, jungiančios įvairius keturkampio elementus. Jie suformuluoti taip:

Be to, dažnai naudinga žinoti ir taikyti šiuos teiginius:

1. Iš savavališko kampo nubrėžtas bisektorius atskiria atkarpą prie pagrindo, kurios ilgis lygus figūros kraštinei.
2. Brėžiant įstrižaines susidaro 4 trikampiai; 2 iš jų yra trikampiai, suformuotas bazių ir įstrižainių segmentai yra panašūs, o likusios poros plotas yra toks pat.
3. Per įstrižainių O susikirtimo tašką, pagrindų vidurio taškus, taip pat tašką, kuriame susikerta kraštinių tęsiniai, galima nubrėžti tiesią liniją.

Perimetro ir ploto skaičiavimas

Perimetras apskaičiuojamas kaip visų ilgių suma keturios pusės(panašiai į bet kurią kitą geometrinę figūrą):

P = AD + BC + AB + CD.

Įbrėžtas ir apibrėžtas apskritimas

Apskritimas aplink trapeciją gali būti aprašytas tik tada, kai keturkampio kraštinės yra lygios.

Norint apskaičiuoti apibrėžto apskritimo spindulį, reikia žinoti įstrižainės, kraštinės ir didesnio pagrindo ilgį. Didumas p, formulėje naudojama pusė visų aukščiau nurodytų elementų sumos: p = (a + c + d)/2.

Įbrėžtam apskritimui sąlyga bus tokia: pagrindų suma turi sutapti su figūros kraštinių suma. Jo spindulį galima rasti per aukštį, ir jis bus lygus r = h/2.

Ypatingi atvejai

Panagrinėkime dažnai pasitaikantį atvejį – lygiašonę (lygiašonę) trapeciją. Jo ženklai yra šoninių kraštinių lygybė arba priešingų kampų lygybė. Visi teiginiai galioja jai, kurios būdingos savavališkai trapecijai. Kitos lygiašonės trapecijos savybės:

Stačiakampė trapecija problemose nerandama labai dažnai. Jos požymiai yra dviejų buvimas gretimų kampų, lygus 90 laipsnių, ir kraštinės, statmenos pagrindams, buvimas. Aukštis tokiame keturkampyje taip pat yra viena iš jo pusių.

Visos nagrinėjamos savybės ir formulės dažniausiai naudojamos planimetrinių uždavinių sprendimui. Tačiau jie taip pat turi būti naudojami atliekant kai kurias stereometrijos kurso užduotis, pavyzdžiui, nustatant paviršiaus plotą nupjauta piramidė, išoriškai primenanti tūrinę trapeciją.

Įvairiose medžiagose bandymai o egzaminai labai dažni trapecijos problemos, kurio sprendimui reikia žinoti jo savybes.

Sužinokime, kokių įdomių ir naudingų savybių turi trapecija sprendžiant uždavinius.

Ištyrus trapecijos vidurio linijos savybes, galima suformuluoti ir įrodyti atkarpos, jungiančios trapecijos įstrižainių vidurio taškus, savybė. Atkarpa, jungianti trapecijos įstrižainių vidurio taškus, yra lygi pusei pagrindų skirtumo.

MO yra trikampio ABC vidurinė linija ir lygi 1/2BC (1 pav.).

MQ yra trikampio ABD vidurinė linija ir lygi 1/2AD.

Tada OQ = MQ – MO, todėl OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2 (AD – BC).

Sprendžiant daug problemų ant trapecijos, vienas iš pagrindinių metodų yra nubrėžti joje du aukščius.

Apsvarstykite šiuos dalykus užduotis.

Tegu BT yra lygiašonės trapecijos ABCD aukštis su bazėmis BC ir AD, kai BC = a, AD = b. Raskite atkarpų AT ir TD ilgius.

Sprendimas.

Išspręsti problemą nėra sunku (2 pav.), bet tai leidžia jums gauti lygiašonės trapecijos, nubrėžtos iš bukojo kampo viršūnės, aukščio savybė: lygiašonės trapecijos aukštis, nubrėžtas iš bukojo kampo viršūnės, padalija didesnį pagrindą į du segmentus, iš kurių mažesnis yra lygus pusei pagrindų skirtumo, o didesnis - pusei pagrindų sumos .

Tiriant trapecijos savybes, reikia atkreipti dėmesį į tokią savybę kaip panašumas. Taigi, pavyzdžiui, trapecijos įstrižainės padalija ją į keturis trikampius, o šalia pagrindų esantys trikampiai yra panašūs, o trikampiai, esantys šalia kraštinių, yra vienodo dydžio. Šis teiginys gali būti vadinamas trikampių, į kuriuos trapecija padalinta iš įstrižainių, savybė. Be to, pirmąją teiginio dalį galima labai lengvai įrodyti trikampių, esančių dviem kampais, panašumo ženklu. Įrodykime antra pareiškimo dalis.

Trikampiai BOC ir COD turi bendrą aukštį (3 pav.), jei atkarpas BO ir OD imsime kaip jų pagrindus. Tada S BOC /S COD = BO/OD = k. Todėl S COD = 1/k · S BOC .

Panašiai trikampiai BOC ir AOB turi bendrą aukštį, jei jų pagrindus laikome atkarpas CO ir OA. Tada S BOC /S AOB = CO/OA = k ir S A O B = 1/k · S BOC .

Iš šių dviejų sakinių išplaukia, kad S COD = S A O B.

Neapsigyvenkime ties suformuluotu teiginiu, o raskime santykis tarp trikampių, į kuriuos trapecija padalinta įstrižainėmis, plotų. Norėdami tai padaryti, išspręskime šią problemą.

Tegul taškas O yra trapecijos ABCD įstrižainių susikirtimo taškas su pagrindais BC ir AD. Yra žinoma, kad trikampių BOC ir AOD plotai yra lygūs atitinkamai S 1 ir S 2. Raskite trapecijos plotą.

Kadangi S COD = S A O B, tai S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD.

Iš trikampių BOC ir AOD panašumo išplaukia, kad BO/OD = √(S₁/S 2).

Todėl S₁/S COD = BO/OD = √(S1/S 2), o tai reiškia, kad S COD = √(S 1 · S 2).

Tada S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2.

Naudojant panašumą įrodyta, kad atkarpos, einančios per trapecijos, lygiagrečios pagrindams įstrižainių susikirtimo tašką, savybė.

Pasvarstykime užduotis:

Tegul taškas O yra trapecijos ABCD įstrižainių susikirtimo taškas su pagrindais BC ir AD. BC = a, AD = b. Raskite atkarpos PK, einančios per pagrindams lygiagrečių trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką, ilgį. Kokias atkarpas PK dalija taškas O (4 pav.)?

Iš trikampių AOD ir BOC panašumo išplaukia, kad AO/OC = AD/BC = b/a.

Iš trikampių AOP ir ACB panašumo išplaukia, kad AO/AC = PO/BC = b/(a + b).

Taigi PO = BC b / (a ​​+ b) = ab / (a ​​+ b).

Panašiai iš trikampių DOK ir DBC panašumo išplaukia, kad OK = ab/(a + b).

Taigi PO = gerai ir PK = 2ab/(a + b).

Taigi, įrodyta savybė gali būti suformuluota taip: atkarpa, lygiagreti trapecijos pagrindams, einanti per įstrižainių susikirtimo tašką ir jungianti du taškus šoninėse kraštinėse, yra padalinta per pusę iš trapecijos susikirtimo taško. įstrižainės. Jo ilgis yra trapecijos pagrindų harmoninis vidurkis.

Sekant keturių taškų savybė: trapecijoje toje pačioje tiesėje yra įstrižainių susikirtimo taškas, kraštinių tęsinio susikirtimo taškas, trapecijos pagrindų vidurio taškai.

Trikampiai BSC ir ASD yra panašūs (5 pav.) o kiekvienoje iš jų medianos ST ir SG viršūnės kampą S dalija į lygias dalis. Todėl taškai S, T ir G yra toje pačioje tiesėje.

Lygiai taip pat taškai T, O ir G yra vienoje tiesėje.Tai išplaukia iš trikampių BOC ir AOD panašumo.

Tai reiškia, kad visi keturi taškai S, T, O ir G yra toje pačioje tiesėje.

Taip pat galite rasti atkarpos, padalijančios trapeciją į dvi panašias, ilgį.

Jei trapecijos ALFD ir LBCF yra panašios (6 pav.), tada a/LF = LF/b.

Taigi LF = √(ab).

Taigi atkarpos, dalijančios trapeciją į dvi panašias trapecijas, ilgis yra lygus pagrindų ilgių geometriniam vidurkiui.

Įrodykime atkarpos, dalijančios trapeciją į dvi lygias sritis, savybė.

Tegul trapecijos plotas yra S (7 pav.). h 1 ir h 2 yra aukščio dalys, o x yra norimos atkarpos ilgis.

Tada S/2 = h 1 (a + x)/2 = h 2 (b + x)/2 ir

S = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Sukurkime sistemą

(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Išspręsdami šią sistemą, gauname x = √(1/2(a 2 + b 2)).

Taigi, atkarpos, dalijančios trapeciją į dvi lygias, ilgis lygus √((a 2 + b 2)/2)(vidutinis bazinio ilgio kvadratas).

Taigi trapecijos ABCD su bazėmis AD ir BC (BC = a, AD = b) įrodėme, kad atkarpa:

1) MN, jungiantis trapecijos šoninių kraštinių vidurio taškus, yra lygiagretus pagrindams ir lygus jų pusei (vidurkis aritmetiniai skaičiai a ir b);

2) PK, einantis per trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką, lygiagrečią pagrindams, yra lygus
2ab/(a + b) (skaičių a ir b harmoninis vidurkis);

3) LF, dalijančio trapeciją į dvi panašias trapecijas, ilgis lygus skaičių a ir b geometriniam vidurkiui, √(ab);

4) EH, padalijant trapeciją į dvi lygias, ilgis yra √((a 2 + b 2)/2) (skaičių a ir b kvadrato vidurkis).

Įbrėžtos ir apribotos trapecijos ženklas ir savybė.

Įbrėžtos trapecijos savybės: trapecija gali būti įbrėžta į apskritimą tada ir tik tada, kai ji yra lygiašonė.

Aprašytos trapecijos savybės. Trapecija gali būti aprašyta aplink apskritimą tada ir tik tada, kai pagrindų ilgių suma yra lygi kraštinių ilgių sumai.

Naudingos to, kad į trapeciją įrašytas apskritimas, pasekmės:

1. Apribotos trapecijos aukštis lygus dviem įbrėžto apskritimo spinduliams.

2. Aprašytos trapecijos kraštinė matoma iš įbrėžto apskritimo centro stačiu kampu.

Pirmasis yra akivaizdus. Norint įrodyti antrąją išvadą, būtina nustatyti, kad kampas COD yra teisingas, o tai taip pat nėra sunku. Tačiau žinant šią pasekmę, sprendžiant problemas galima naudoti stačiąjį trikampį.

Patikslinkime lygiašonės trapecijos pasekmės:

Lygiašonės trapecijos aukštis yra trapecijos pagrindų geometrinis vidurkis
h = 2r = √(ab).

Apsvarstytos savybės leis giliau suprasti trapeciją ir užtikrinti sėkmę sprendžiant problemas naudojant jos savybes.

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip išspręsti trapecijos problemas?
Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.
Pirma pamoka nemokama!

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Trapecija yra išgaubtas keturkampis, kurio viena priešingų kraštinių pora yra lygiagreti viena kitai, o kita - ne.

Remiantis trapecijos apibrėžimu ir lygiagretainio charakteristikomis, lygiagrečios pusės trapecijos negali būti lygios viena kitai. Priešingu atveju kita kraštinių pora taip pat taptų lygiagreti ir lygi viena kitai. Šiuo atveju turėtume reikalų su lygiagretainiu.

Lygiagrečios priešingos trapecijos kraštinės vadinamos priežastys. Tai yra, trapecija turi du pagrindus. Vadinamos nelygiagrečios priešingos trapecijos kraštinės pusės.

Priklausomai nuo to, kurias šonines puses, kokius kampus sudaro su pagrindais, jie išskiriami Skirtingos rūšys trapecijos formos. Dažniausiai trapecijos skirstomos į nelygias (vienpuses), lygiašones (lygiakraščies) ir stačiakampes.

U pasvirusios trapecijos pusės nėra lygios viena kitai. Be to, esant dideliam pagrindui, jie abu gali sudaryti tik smailius kampus, arba vienas kampas bus bukas, o kitas smailus. Pirmuoju atveju vadinama trapecija smailaus kampo, antrame - bukas.

U lygiašonės trapecijos pusės yra lygios viena kitai. Be to, su dideliu pagrindu jie gali sudaryti tik smailius kampus, t.y. Visos lygiašonės trapecijos yra smailaus kampo. Todėl jie neskirstomi į smailaus kampo ir bukokampius.

U stačiakampės trapecijos viena pusė statmena pagrindams. Antroji pusė negali būti joms statmena, nes šiuo atveju turėtume reikalą su stačiakampiu. Stačiakampėse trapecijose ne statmena pusė visada susidaro su didesniu pagrindu aštrus kampas. Statmena kraštinė yra statmena abiem pagrindams, nes pagrindai yra lygiagrečiai.