Содержимое:
Обратные числа нужны при решение всех типов алгебраических уравнений. Например, если вам нужно разделить одно дробное число на другое, вы умножаете первое число на обратное число второго. Кроме того, обратные числа применяют при нахождении уравнения прямой.
Пара чисел, произведение которых равно единице, называются взаимно обратными .
Примеры: 5 и 1/5, −6/7 и −7/6, и
Для всякого числа а, не равного нулю , существует обратное 1/a.
Обратной величиной нуля является бесконечность.
Обратные дроби - это две дроби, произведение которых равно 1. Например, 3/7 и 7/3; 5/8 и 8/5 и т. д.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Число, произведение которого на данное число равно единице. Два таких числа называются взаимно обратными. Таковы, напр., 5 и 1/5, 2/3 и 3/2 и т. д … Большой Энциклопедический словарь
обратное число - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN inverse numberreciprocal number … Справочник технического переводчика
Число, произведение которого на данное число равно единице. Два таких числа называются взаимно обратными. Таковы, например, 5 и 1/5, 2/3 и 3/2 и т. д. * * * ОБРАТНОЕ ЧИСЛО ОБРАТНОЕ ЧИСЛО, число, произведение которого на данное число равно… … Энциклопедический словарь
Число, произведение которого с данным числом равно единице. Два таких числа называются взаимно обратными. Таковы, например, 5 и а, не равного нулю, существует обратное … Большая советская энциклопедия
Число, произведение к рого на данное число равно единице. Два таких числа наз. взаимно обратными. Таковы, напр., 5 и 1/5. 2/3 и 3/2 и т. д … Естествознание. Энциклопедический словарь
У этого термина существуют и другие значения, см. Число (значения). Число основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения и нумерации объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей… … Википедия
См. также: Число (лингвистика) Число абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое … Википедия
Обратное закручивание воды при стоке околонаучный миф, основанный на неверном применении эффекта Кориолиса к движению воды в водовороте, возникающему при её стоке в сливное отверстие раковины или ванны. Суть мифа состоит в том, что вода… … Википедия
ЧИСЛО, ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ, число, которое не может быть выражено в виде дроби. Примеры включают Ц2 и число p. Следовательно, иррациональные числа это числа с бесконечным числом (непериодических) знаков после запятой. (Однако обратное не является… … Научно-технический энциклопедический словарь
Преобразование Лапласа интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и … Википедия
Материал из Википедии - свободной энциклопедии
Обра́тное число́ (обратное значение, обратная величина) к данному числу x - это число , умножение которого на x , даёт единицу . Принятая запись: или . Два числа, произведение которых равно единице, называются взаимно обратными . Обратное число не следует путать с обратной функцией. Например, отличается от значения функции, обратной косинусу - арккосинуса , который обозначается или .
Формы комплексного числа | Число | Обратное |
Алгебраическая | ||
Тригонометрическая | ||
Показательная |
Доказательство:
Для алгебраической и тригонометрической форм используем основное свойство дроби , умножая числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное :
Таким образом, при нахождении обратного к комплексному числу, удобнее пользоваться его показательной формой.
Пример:
Формы комплексного числа | Число | Обратное |
Алгебраическая | ||
Тригонометрическая | или |
или |
Показательная |
Таким образом, получаем
__ или__
Аналогично для : __ __ или __
Ежели бы Наполеон не выехал вечером 24 го числа на Колочу и не велел бы тотчас же вечером атаковать редут, а начал бы атаку на другой день утром, то никто бы не усомнился в том, что Шевардинский редут был левый фланг нашей позиции; и сражение произошло бы так, как мы его ожидали. В таком случае мы, вероятно, еще упорнее бы защищали Шевардинский редут, наш левый фланг; атаковали бы Наполеона в центре или справа, и 24 го произошло бы генеральное сражение на той позиции, которая была укреплена и предвидена. Но так как атака на наш левый фланг произошла вечером, вслед за отступлением нашего арьергарда, то есть непосредственно после сражения при Гридневой, и так как русские военачальники не хотели или не успели начать тогда же 24 го вечером генерального сражения, то первое и главное действие Бородинского сражения было проиграно еще 24 го числа и, очевидно, вело к проигрышу и того, которое было дано 26 го числа.
После потери Шевардинского редута к утру 25 го числа мы оказались без позиции на левом фланге и были поставлены в необходимость отогнуть наше левое крыло и поспешно укреплять его где ни попало.
Но мало того, что 26 го августа русские войска стояли только под защитой слабых, неконченных укреплений, – невыгода этого положения увеличилась еще тем, что русские военачальники, не признав вполне совершившегося факта (потери позиции на левом фланге и перенесения всего будущего поля сражения справа налево), оставались в своей растянутой позиции от села Нового до Утицы и вследствие того должны были передвигать свои войска во время сражения справа налево. Таким образом, во все время сражения русские имели против всей французской армии, направленной на наше левое крыло, вдвое слабейшие силы. (Действия Понятовского против Утицы и Уварова на правом фланге французов составляли отдельные от хода сражения действия.)
Итак, Бородинское сражение произошло совсем не так, как (стараясь скрыть ошибки наших военачальников и вследствие того умаляя славу русского войска и народа) описывают его. Бородинское сражение не произошло на избранной и укрепленной позиции с несколько только слабейшими со стороны русских силами, а Бородинское сражение, вследствие потери Шевардинского редута, принято было русскими на открытой, почти не укрепленной местности с вдвое слабейшими силами против французов, то есть в таких условиях, в которых не только немыслимо было драться десять часов и сделать сражение нерешительным, но немыслимо было удержать в продолжение трех часов армию от совершенного разгрома и бегства.
25 го утром Пьер выезжал из Можайска. На спуске с огромной крутой и кривой горы, ведущей из города, мимо стоящего на горе направо собора, в котором шла служба и благовестили, Пьер вылез из экипажа и пошел пешком. За ним спускался на горе какой то конный полк с песельниками впереди. Навстречу ему поднимался поезд телег с раненными во вчерашнем деле. Возчики мужики, крича на лошадей и хлеща их кнутами, перебегали с одной стороны на другую. Телеги, на которых лежали и сидели по три и по четыре солдата раненых, прыгали по набросанным в виде мостовой камням на крутом подъеме. Раненые, обвязанные тряпками, бледные, с поджатыми губами и нахмуренными бровями, держась за грядки, прыгали и толкались в телегах. Все почти с наивным детским любопытством смотрели на белую шляпу и зеленый фрак Пьера.
Дадим определение и приведем примеры взаимно обратных чисел. Рассмотрим, как находить число, обратное натуральному числу и обратное обыкновенной дроби. Помимо этого, запишем и докажем неравенство, отражающее свойство суммы взаимно обратных чисел.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Взаимно обратные числа - такие числа, произведение которых дает единицу.
Если a · b = 1 , то можно сказать, что число a обратно числу b , так же как и число b обратно числу a .
Самый простой пример взаимно обратных чисел - две единицы. Действительно, 1 · 1 = 1 , поэтому a = 1 и b = 1 - взаимно обратные числа. Другой пример - числа 3 и 1 3 , - 2 3 и - 3 2 , 6 13 и 13 6 , log 3 17 и log 17 3 . Произведение любой пары указанных выше чисел равно единице. Если это условие не выполняется, как например у чисел 2 и 2 3 , то числа не являются взаимно обратными.
Определение взаимно обратных чисел справедливо для любый чисел - натуральных, целых, действительных и комплексных.
Рассмотрим общий случай. Если исходное число равно a , то обратное ему число запишется в виде 1 a , или a - 1 . Действительно, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .
Для натуральных чисел и обыкновенных дробей найти обратное число довольно просто. Можно сказать, даже очевидно. В случае нахождения числа, обратного иррациональному или комплексному числу, придется произвести ряд вычислений.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике случаи нахождения обратного числа.
Очевидно, что число, обратное обыкновенной дроби a b - это дробь b a . Итак, чтобы найти обратное дроби число, дробь нужно просто перевернуть. То есть, поменять числитель и знаменатель местами.
Согласно этому правилу, записать обратное любой обыкновенной дроби число можно практически сразу. Так, для дроби 28 57 обратным числом будет дробь 57 28 , а для дроби 789 256 - число 256 789 .
Найти число, обратное любому натуральному числу, можно так же, как и число, обратное дроби. Достаточно представить натуральное число a в виде обыкновенной дроби a 1 . Тогда обратным ему числом будет число 1 a . Для натурального числа 3 обратным ему числом будет дробь 1 3 , для числа 666 обратное число равно 1 666 , и так далее.
Отдельное внимание стоит уделить единице, так как это единственное число, обратное число для которого равно ему самому.
Других пар взаимно обратных чисел, где обе составляющие равны, не существует.
Смешанное число имеем вид a b c . Чтобы найти обратное ему число, необходимо смешанное число представить в сиде неправильной дроби, и уже для полученной дроби подобрать обратное число.
Например, найдем обратное число для 7 2 5 . Сначала представим 7 2 5 в виде неправильной дроби: 7 2 5 = 7 · 5 + 2 5 = 37 5 .
Для неправильной дроби 37 5 обратным числом будет дробь 5 37 .
Десятичная дробь также можно представить в виде обыкновенной дроби. Нахождение обратного десятичной дроби числа сводится к представлению десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и нахождению обратного числа для нее.
Например, есть дробь 5 , 128 . Найдем обратное ей число. Сначала переводим десятичную дробь в обыкновенную: 5 , 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125 . Для полученной дроби обратным числом будет дробь 125 641 .
Рассмотрим еще один пример.
Пример. Нахождение числа, обратного десятичной дроби
Найдем обратное число для периодической десятичной дроби 2 , (18) .
Переводим десятичную дробь в обыкновенную:
2 , 18 = 2 + 18 · 10 - 2 + 18 · 10 - 4 + . . . = 2 + 18 · 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11
После перевода можем легко записать обратное число для дроби 24 11 . Этим числом, очевидно, будет 11 24 .
Для бесконечной и непериодической десятичной дроби обратное число записывается в виде дроби и единицей в числителе и самой дробью в знаменателе. Например, для бесконечной дроби 3 , 6025635789 . . . обратное число будет иметь вид 1 3 , 6025635789 . . . .
Аналогично и для иррациональных чисел, отвечающим непериодическим бесконечным дробям, обратные числа записываются в виде дробных выражений.
К примеру, обратным числом для π + 3 3 80 будет 80 π + 3 3 , а для числа 8 + е 2 + е обратным числом будет дробь 1 8 + е 2 + е.
Если вид двух чисел отличен от a и 1 a , то не всегда можно легко определить, являются ли числа взаимно обратными. Это особенно актуально для чисел, которые имеют в своей записи знак корня, так как от корня обычно принято избавляться в знаменателе.
Обратимся к практике.
Ответим на вопрос: являются ли взаимно обратными числа 4 - 2 3 и 1 + 3 2 .
Чтобы узнать, являются ли числа взаимно обратными, вычислим их произведение.
4 - 2 3 · 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1
Произведение равно единице, значит, числа взаимно обратны.
Рассмотрим еще один пример.
Пример. Взаимно обратные числа с корнями
Запишите число, обратное числу 5 3 + 1 .
Сразу можно записать, что обратное число равно дроби 1 5 3 + 1 . Однако, как мы уже говорили, принято избавляться от корня в знаменателе. Чтобы сделать это умножим числитель и знаменатель на 25 3 - 5 3 + 1 . Получим:
1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 · 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6
Допустим, есть число, равное какой-то степени числа a . Другими словами, число a , возведенное в степень n . Обратным числу a n будет число a - n . Проверим это. Действительно: a n · a - n = a n 1 · 1 a n = 1 .
Пример. Взаимно обратные числа со степенями
Найдем обратное число для 5 - 3 + 4 .
Согласно написанному выше, искомое число равно 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4
Для логарифма числа a по основанию b обратным является число, равное логарифму числа b по основанию a .
log a b и log b a - взаимно обратные числа.
Проверим это. Из свойств логарифма следует, что log a b = 1 log b a , значит log a b · log b a .
Пример. Взаимно обратные числа с логарифмами
Найти число, обратное log 3 5 - 2 3 .
Числом, обратным логарифму числа 3 по основанию 3 5 - 2 будет логарифм числа 3 5 - 2 по основанию 3 .
Как уже отмечалось ранее, определение взаимно обратных чисел справедливо не только для действительных чисел, но и для комплексных.
Обычно комплексные числа представляют в алгебраическом виде z = x + i y . Числом, обратным данному, будет дробь
1 x + i y . Для удобства можно сократить это выражение, умножив числитель и знаменатель на x - i y .
Пример. Число, обратное комплексному числу
Пусть есть комплексное число z = 4 + i . Найдем число, обратное ему.
Число, обратное z = 4 + i , будет равно 1 4 + i .
Умножим числитель и знаменатель на 4 - i и получим:
1 4 + i = 4 - i 4 + i 4 - i = 4 - i 4 2 - i 2 = 4 - i 16 - (- 1) = 4 - i 17 .
Помимо алгебраической формы, комплексное число может быть представлено в тригонометрической или показательной форме следующим образом:
z = r · cos φ + i · sin φ
z = r · e i · φ
Соответственно, обратное число будет иметь вид:
1 r cos (- φ) + i · sin (- φ)
Убедимся в этом:
r · cos φ + i · sin φ · 1 r cos (- φ) + i · sin (- φ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r · e i · φ · 1 r e i · (- φ) = r r e 0 = 1
Рассмотрим примеры с представлением комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.
Найдем число, обратное для 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .
Учитывая, что r = 2 3 , φ = π 6 , запишем обратное число
3 2 cos - π 6 + i · sin - π 6
Пример. Найти число, обратное комплексному числу
Какое число будет обратным для 2 · e i · - 2 π 5 .
Ответ: 1 2 · e i 2 π 5
Существует теорема о сумме двух взаимно обратных чисел.
Сумма взаимно обратных чисел
Сумма двух положительных и взаимно обратных чисел всегда больше или равна 2 .
Приведем доказательство теоремы. Как известно, для любых положительных чисел a и b среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому. Это можно записать в виде неравенства:
a + b 2 ≥ a · b
Если вместо числа b взять число, обратное a , неравенство примет вид:
a + 1 a 2 ≥ a · 1 a a + 1 a ≥ 2
Что и требовалось доказать.
Приведем практический пример, иллюстрирующий данное свойство.
Пример. Найти сумму взаимно обратных чисел
Вычислим сумму чисел 2 3 и обратного ему числу.
2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6
Как и говорит теорема, полученное число больше двух.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Обратными – или взаимно-обратными – числами называют пару чисел, которые при перемножении дают 1. В самом общем виде обратными являются числа . Характерный частный случай взаимно-обратных чисел – пара . Обратными являются, скажем, числа ; .
Правило: нужно 1 (единицу) поделить на данное число.
Пример №1.
Дано число 8. Обратное к нему – 1:8 или (второй вариант предпочтительнее, потому что такая запись математически более корректна).
Когда ищется обратное число для обыкновенной дроби, то делить ее на 1 не очень удобно, т.к. запись получается громоздкой. В этом случае гораздо проще поступать иначе: дробь просто переворачивают, меняя местами числитель и знаменатель. Если дана правильная дробь, то после переворачивания получается дробь неправильная, т.е. такая, из которой можно выделить целую часть. Делать это или нет, решать нужно в каждом конкретном случае особо. Так, если с полученной перевернутой дробью далее придется совершать какие-то действия (к примеру, умножение или деление), то выделять целую часть не стоит. Если же полученная дробь – это конечный результат, то, возможно, выделение целой части и желательно.
Пример №2.
Дана дробь . Обратная к ней: .
Если требуется найти обратное число к десятичной дроби, то следует воспользоваться первым правилом (деление 1 на число). В этой ситуации можно действовать одним из 2 способов. Первый – просто разделить 1 на это число в столбик. Второй – сформировать дробь из 1 в числителе и десятичной дроби в знаменателе, а затем домножить числитель и знаменатель на 10, 100 или другое число, состоящее из 1 и такого количества нулей, которое необходимо, чтобы избавиться от десятичной запятой в знаменателе. В результате будет получена обыкновенная дробь, которая и является результатом. При необходимости ее может понадобиться сократить, выделить из нее целую часть или перевести в десятичный вид.
Пример №3.
Дано число 0,82. Обратное число к нему такое: . Теперь сократим дробь и выделим целую часть: .
Принцип проверки основан на определении обратных чисел. То есть для того, чтобы убедиться, что числа являются обратными друг другу, нужно перемножить их. Если в результате будет получена единица, значит, числа – взаимно обратные.
Пример №4.
Даны числа 0,125 и 8. Являются ли они обратными?
Проверка. Необходимо найти произведение 0,125 и 8. Для наглядности представим данные числа в виде обыкновенных дробей: (сократим 1-ю дробь на 125) . Вывод: числа 0,125 и 8 являются обратными.
Обратное число существует для любого числа, кроме 0.
Это ограничение связано с тем, что нельзя делить на 0, а при определении обратного числа для нуля его как раз придется переместить в знаменатель, т.е. фактически делить на него.
Сумма пары взаимно-обратных чисел всегда не меньше, чем 2.
Математически это свойство можно выразить неравенством: .
Умножение числа на два взаимно-обратных числа равносильно умножению на единицу. Выразим это свойство математически: .
Пример №5.
Найти значение выражения: 3,4·0,125·8. Поскольку числа 0,125 и 8 являются обратными (см. Пример №4), то умножать 3,4 на 0,125 и затем на 8 нет необходимости. А значит, ответом здесь будет 3,4.