Când cosinusul este egal cu sinusul. Reguli pentru găsirea funcțiilor trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă și cotangentă

Vom începe studiul nostru de trigonometrie cu triunghiul dreptunghic. Să definim ce sunt sinusul și cosinusul, precum și tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit. Acestea sunt elementele de bază ale trigonometriei.

Să vă reamintim că unghi drept este un unghi egal cu 90 de grade. Cu alte cuvinte, jumătate de unghi rotit.

Colt ascutit- sub 90 de grade.

Unghi obtuz- mai mare de 90 de grade. În legătură cu un astfel de unghi, „obtuz” nu este o insultă, ci un termen matematic :-)

Să desenăm un triunghi dreptunghic. Un unghi drept este de obicei notat cu . Vă rugăm să rețineți că latura opusă colțului este indicată de aceeași literă, doar mică. Astfel, latura opusă unghiului A este desemnată .

Unghiul este notat cu litera greacă corespunzătoare.

Ipotenuză a unui triunghi dreptunghic este latura opusă unghiului drept.

Picioarele- laturile situate opuse unghiurilor ascuțite.

Piciorul situat opus unghiului se numește opus(față de unghi). Celălalt picior, care se află pe una dintre laturile unghiului, se numește adiacent.

Sinusul Unghiul ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei:

Cosinus unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul catetei adiacente la ipotenuză:

Tangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre latura opusă și cea adiacentă:

O altă definiție (echivalentă): tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unghiului și cosinusul său:

Cotangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre latura adiacentă și opusul (sau, ceea ce este același, raportul dintre cosinus și sinus):

Observați mai jos relațiile de bază pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Ne vor fi de folos atunci când rezolvăm probleme.

Să demonstrăm unele dintre ele.

Bine, am dat definiții și am notat formule. Dar de ce mai avem nevoie de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă?

Noi stim aia suma unghiurilor oricărui triunghi este egală cu.

Știm relația dintre petreceri triunghi dreptunghic. Aceasta este teorema lui Pitagora: .

Se dovedește că cunoscând două unghiuri într-un triunghi, îl poți găsi pe al treilea. Cunoscând cele două laturi ale unui triunghi dreptunghic, o poți găsi pe a treia. Aceasta înseamnă că unghiurile au propriul raport, iar laturile au propriul lor raport. Dar ce ar trebui să faci dacă într-un triunghi dreptunghic cunoști un unghi (cu excepția unghiului drept) și o latură, dar trebuie să găsești celelalte laturi?

Aceasta este ceea ce oamenii în trecut au întâlnit când făceau hărți ale zonei și ale cerului înstelat. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se măsoare direct toate laturile unui triunghi.

Sinus, cosinus și tangentă - se mai numesc funcții unghiulare trigonometrice- da relatii intre petreceriȘi colțuri triunghi. Cunoscând unghiul, puteți găsi toate funcțiile sale trigonometrice folosind tabele speciale. Și cunoscând sinusurile, cosinusurile și tangentele unghiurilor unui triunghi și a uneia dintre laturile sale, puteți găsi restul.

De asemenea, vom desena un tabel cu valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru unghiurile „bune” de la până la.

Vă rugăm să rețineți cele două linii roșii din tabel. La valorile unghiulare adecvate, tangenta și cotangenta nu există.

Să ne uităm la mai multe probleme de trigonometrie din FIPI Task Bank.

1. Într-un triunghi, unghiul este , . Găsi .

Problema este rezolvată în patru secunde.

Deoarece , .

2. Într-un triunghi, unghiul este , , . Găsi .

Să-l găsim folosind teorema lui Pitagora.

Problema este rezolvată.

Adesea în probleme există triunghiuri cu unghiuri și sau cu unghiuri și. Amintiți-vă raporturile de bază pentru ei pe de rost!

Pentru un triunghi cu unghiuri și catetul opus unghiul la este egal cu jumătate din ipotenuză.

Un triunghi cu unghiuri și este isoscel. În ea, ipotenuza este de ori mai mare decât catetul.

Ne-am uitat la probleme de rezolvare a triunghiurilor dreptunghiulare - adică găsirea laturilor sau unghiurilor necunoscute. Dar asta nu este tot! ÎN Opțiuni pentru examenul de stat unificat la matematică există multe probleme în care apare sinusul, cosinusul, tangenta sau cotangenta unghiului extern al unui triunghi. Mai multe despre asta în următorul articol.

În acest articol vom arăta cum să dăruiești definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi și număr în trigonometrie. Aici vom vorbi despre notații, vom da exemple de intrări și vom oferi ilustrații grafice. În concluzie, să facem o paralelă între definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei în trigonometrie și geometrie.

Navigare în pagină.

Definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei

Să vedem cum se formează ideea de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă curs şcolar matematică. În lecțiile de geometrie, este dată definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic. Și mai târziu se studiază trigonometria, care vorbește despre sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unghiului de rotație și număr. Să prezentăm toate aceste definiții, să dăm exemple și să dăm comentariile necesare.

Unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

Din cursul de geometrie cunoaștem definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic. Ele sunt date ca raport al laturilor unui triunghi dreptunghic. Să dăm formulările lor.

Definiție.

Sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusa fata de ipotenuza.

Definiție.

Cosinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Definiție.

Tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic– acesta este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.

Definiție.

Cotangenta unui unghi ascutit intr-un triunghi dreptunghic- acesta este raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.

Denumirile pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt de asemenea introduse acolo - sin, cos, tg și, respectiv, ctg.

De exemplu, dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu unghi drept C, atunci sinusul unghiului ascuțit A este egal cu raportul dintre latura opusă BC și ipotenuza AB, adică sin∠A=BC/AB.

Aceste definiții vă permit să calculați valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit din lungimile cunoscute ale laturilor unui triunghi dreptunghic, precum și din valori cunoscute găsiți lungimile celorlalte laturi folosind sinus, cosinus, tangentă, cotangentă și lungimea uneia dintre laturi. De exemplu, dacă am ști că într-un triunghi dreptunghic catetul AC este egal cu 3 și ipotenuza AB este egală cu 7, atunci am putea calcula valoarea cosinusului unghiului ascuțit A prin definiție: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Unghi de rotație

În trigonometrie, ei încep să privească unghiul mai larg - introduc conceptul de unghi de rotație. Mărimea unghiului de rotație, spre deosebire de un unghi ascuțit, nu este limitată la 0 până la 90 de grade; unghiul de rotație în grade (și în radiani) poate fi exprimat prin orice număr real de la −∞ la +∞.

În această lumină, definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sunt date nu ale unui unghi ascuțit, ci ale unui unghi de mărime arbitrară - unghiul de rotație. Ele sunt date prin coordonatele x și y ale punctului A 1, către care așa-numitul punct de plecare A(1, 0) merge după rotirea lui cu un unghi α în jurul punctului O - începutul sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare și centrul cercului unitar.

Definiție.

Sinusul unghiului de rotațieα este ordonata punctului A 1, adică sinα=y.

Definiție.

Cosinusul unghiului de rotațieα se numește abscisa punctului A 1, adică cosα=x.

Definiție.

Tangenta unghiului de rotațieα este raportul dintre ordonata punctului A 1 și abscisa acestuia, adică tanα=y/x.

Definiție.

Cotangenta unghiului de rotatieα este raportul dintre abscisa punctului A 1 și ordonata sa, adică ctgα=x/y.

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α, deoarece putem determina întotdeauna abscisa și ordonata punctului, care se obține prin rotirea punctului de plecare cu unghiul α. Dar tangenta și cotangenta nu sunt definite pentru niciun unghi. Tangenta nu este definită pentru unghiurile α la care punctul de plecare merge la un punct cu abscisă zero (0, 1) sau (0, −1), iar acest lucru se întâmplă la unghiurile 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Într-adevăr, la astfel de unghiuri de rotație, expresia tgα=y/x nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. În ceea ce privește cotangenta, aceasta nu este definită pentru unghiurile α la care punctul de plecare merge la punctul cu ordonata zero (1, 0) sau (−1, 0), iar acest lucru se întâmplă pentru unghiurile 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Deci, sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație, tangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), iar cotangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Definițiile includ denumirile deja cunoscute de noi sin, cos, tg și ctg, ele sunt, de asemenea, folosite pentru a desemna sinus, cosinus, tangente și cotangente ale unghiului de rotație (uneori puteți găsi denumirile tan și cot corespunzând cu tangente și cotangente) . Deci sinusul unui unghi de rotație de 30 de grade poate fi scris ca sin30°, intrările tg(−24°17′) și ctgα corespund tangentei unghiului de rotație −24 grade 17 minute și cotangentei unghiului de rotație α . Amintiți-vă că atunci când scrieți măsura radianilor unui unghi, denumirea „rad” este adesea omisă. De exemplu, cosinusul unui unghi de rotație de trei pi rad este de obicei notat cos3·π.

În concluzia acestui punct, este de remarcat faptul că atunci când vorbim despre sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unghiului de rotație, expresia „unghi de rotație” sau cuvântul „rotație” este adesea omisă. Adică, în locul expresiei „sinus al unghiului de rotație alfa”, se folosește de obicei expresia „sinus al unghiului alfa” sau chiar mai scurt, „sinus alfa”. Același lucru este valabil și pentru cosinus, tangente și cotangente.

Vom spune, de asemenea, că definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic sunt în concordanță cu definițiile tocmai date pentru sinus, cosinus, tangente și cotangente ale unui unghi de rotație cuprins între 0 și 90 de grade. Vom justifica acest lucru.

Numerele

Definiție.

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t este un număr egal cu sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentei unghiului de rotație în t radiani, respectiv.

De exemplu, cosinusul numărului 8·π prin definiție este un număr egal cu cosinusul unghiului de 8·π rad. Și cosinusul unui unghi de 8·π rad este egal cu unu, prin urmare, cosinusul numărului 8·π este egal cu 1.

Există o altă abordare pentru determinarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Constă în faptul că toată lumea numar real t este atribuit unui punct de pe cercul unitar cu centrul la originea sistemului de coordonate dreptunghiulare, iar sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt determinate prin coordonatele acestui punct. Să ne uităm la asta mai detaliat.

Să arătăm cum se stabilește o corespondență între numerele reale și punctele dintr-un cerc:

• numărului 0 i se atribuie punctul de plecare A(1, 0);
• numărul pozitiv t este asociat cu un punct de pe cercul unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm de-a lungul cercului de la punctul de plecare în sens invers acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime t;
• număr negativ t este asociat cu punctul cercului unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm de-a lungul cercului de la punctul de plecare în sensul acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime |t| .

Acum trecem la definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei numărului t. Să presupunem că numărul t corespunde unui punct de pe cercul A 1 (x, y) (de exemplu, numărul &pi/2; corespunde punctului A 1 (0, 1) ).

Definiție.

Sinusul numărului t este ordonata punctului de pe cercul unitar corespunzător numărului t, adică sint=y.

Definiție.

Cosinusul numărului t se numește abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică cost=x.

Definiție.

Tangenta numărului t este raportul dintre ordonata și abscisa unui punct de pe cercul unitar corespunzător numărului t, adică tgt=y/x. Într-o altă formulare echivalentă, tangenta unui număr t este raportul dintre sinusul acestui număr și cosinus, adică tgt=sint/cost.

Definiție.

Cotangente a numărului t este raportul dintre abscisa si ordonata unui punct de pe cercul unitar corespunzator numarului t, adica ctgt=x/y. O altă formulare este aceasta: tangenta numărului t este raportul dintre cosinusul numărului t și sinusul numărului t: ctgt=cost/sint.

Aici observăm că definițiile tocmai date sunt în concordanță cu definiția dată la începutul acestui paragraf. Într-adevăr, punctul de pe cercul unitar corespunzător numărului t coincide cu punctul obținut prin rotirea punctului de plecare cu un unghi de t radiani.

Încă merită să clarificăm acest punct. Să presupunem că avem intrarea sin3. Cum putem înțelege dacă vorbim despre sinusul numărului 3 sau despre sinusul unghiului de rotație de 3 radiani? Acest lucru este de obicei clar din context, altfel probabil că nu are o importanță fundamentală.

Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric

Conform definițiilor date în paragraful anterior, fiecărui unghi de rotație α îi corespunde o valoare foarte specifică sinα, precum și valoarea cosα. În plus, toate unghiurile de rotație, altele decât 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) corespund valorilor tgα și alte valori decât 180°k, k∈Z (πk rad ) – valori de ctgα . Prin urmare sinα, cosα, tanα și ctgα sunt funcții ale unghiului α. Cu alte cuvinte, acestea sunt funcții ale argumentului unghiular.

Putem vorbi în mod similar despre funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ale unui argument numeric. Într-adevăr, fiecărui număr real t corespunde unei valori foarte specifice sint, precum și costului. În plus, toate numerele, altele decât π/2+π·k, k∈Z corespund valorilor tgt și numerelor π·k, k∈Z - valori ctgt.

Se numesc funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă funcții trigonometrice de bază.

De obicei, este clar din context dacă avem de-a face cu funcții trigonometrice ale unui argument unghiular sau ale unui argument numeric. În caz contrar, ne putem gândi la variabila independentă atât ca măsură a unghiului (argument unghiular), cât și ca argument numeric.

Totuși, la școală studiem în principal funcțiile numerice, adică funcțiile ale căror argumente, precum și valorile funcției corespunzătoare, sunt numere. Prin urmare, dacă despre care vorbimîn special despre funcții, este indicat să se considere funcțiile trigonometrice ca funcții ale argumentelor numerice.

Relația dintre definițiile din geometrie și trigonometrie

Dacă luăm în considerare unghiul de rotație α cuprins între 0 și 90 de grade, atunci definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație în contextul trigonometriei sunt pe deplin compatibile cu definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic, care sunt date în cursul de geometrie. Să justificăm asta.

Să descriem cercul unitar în sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare Oxy. Să marchem punctul de plecare A(1, 0) . Să o rotim cu un unghi α cuprins între 0 și 90 de grade, obținem punctul A 1 (x, y). Să coborâm perpendiculara A 1 H din punctul A 1 pe axa Ox.

Este ușor de observat că într-un triunghi dreptunghic unghi A 1 OH egal cu unghiul rotație α, lungimea catetei OH adiacentă acestui unghi este egală cu abscisa punctului A 1, adică |OH|=x, lungimea catetei A 1 H opusă colțului este egală cu ordonata lui punctul A 1, adică |A 1 H|=y, iar lungimea ipotenuzei OA 1 este egală cu unu, deoarece este raza cercului unitar. Atunci, prin definiție din geometrie, sinusul unui unghi ascuțit α într-un triunghi dreptunghic A 1 OH este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză, adică sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Și prin definiție din trigonometrie, sinusul unghiului de rotație α este egal cu ordonata punctului A 1, adică sinα=y. Aceasta arată că determinarea sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este echivalentă cu determinarea sinusului unghiului de rotație α atunci când α este de la 0 la 90 de grade.

În mod similar, se poate demonstra că definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit α sunt în concordanță cu definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație α.

Bibliografie.

1. Geometrie. 7-9 clase: manual pentru învăţământul general instituții / [L. S. Atanasyan, V. F. Butozov, S. B. Kadomtsev etc.]. - Ed. 20. M.: Educaţie, 2010. - 384 p.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometrie: manual. pentru clasele 7-9. educatie generala instituţii / A. V. Pogorelov. - ed. a II-a - M.: Educaţie, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebră și funcții elementare: Tutorial pentru elevii clasei a IX-a de liceu / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Editat de doctor în științe fizice și matematice O. N. Golovin.- ed. a IV-a. M.: Educație, 1969.
4. Algebră: Manual pentru clasa a IX-a. medie scoala/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Educație, 1990. - 272 p.: il. - ISBN 5-09-002727-7
5. Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov.- ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p.: il. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A.G. Algebra și începuturile analizei. Clasa 10. La ora 14:00 Partea 1: manual pentru instituțiile de învățământ ( nivel de profil)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a IV-a, adaug. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a X-a: manual. pentru învăţământul general instituţii: de bază şi de profil. niveluri /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; editat de A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - I.: Educație, 2010.- 368 p.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M. I. Algebra și începuturile analizei: manual. pentru clasele 10-11. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Educaţie, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Sine este unul dintre principalele funcții trigonometrice, a cărui aplicare nu se limitează numai la geometrie. Tabelele pentru calcularea funcțiilor trigonometrice, cum ar fi calculatoarele de inginerie, nu sunt întotdeauna la îndemână, iar calcularea sinusului este uneori necesară pentru a rezolva diverse probleme. În general, calcularea sinusului va ajuta la consolidarea abilităților de desen și a cunoștințelor identităților trigonometrice.

Jocuri cu riglă și creion

O sarcină simplă: cum să găsiți sinusul unui unghi desenat pe hârtie? Pentru a rezolva, veți avea nevoie de o riglă obișnuită, un triunghi (sau busolă) și un creion. Cel mai simplu mod de a calcula sinusul unui unghi este împărțirea catetului îndepărtat al unui triunghi cu unghi drept la latura lungă - ipotenuza. Astfel, mai întâi trebuie să completați unghiul ascuțit la forma unui triunghi dreptunghic trasând o linie perpendiculară pe una dintre raze la o distanță arbitrară de vârful unghiului. Va trebui să menținem un unghi de exact 90°, pentru care avem nevoie de un triunghi clerical.

Utilizarea unei busole este puțin mai precisă, dar va dura mai mult timp. Pe una dintre raze trebuie să marcați 2 puncte la o anumită distanță, să setați pe busolă o rază aproximativ egală cu distanța dintre puncte și să desenați semicercuri cu centre în aceste puncte până când sunt obținute intersecțiile acestor linii. Conectând punctele de intersecție ale cercurilor noastre între ele, obținem o perpendiculară strictă pe raza unghiului nostru; tot ce rămâne este să extindem linia până când se intersectează cu o altă rază.

În triunghiul rezultat, trebuie să utilizați o riglă pentru a măsura latura opusă colțului și latura lungă pe una dintre raze. Raportul dintre prima dimensiune și a doua va fi valoarea dorită a sinusului unghiului ascuțit.

Aflați sinusul pentru un unghi mai mare de 90°

Pentru un unghi obtuz sarcina nu este mult mai dificilă. Trebuie să desenăm o rază de la vârf în direcția opusă folosind o riglă pentru a forma o linie dreaptă cu una dintre razele unghiului care ne interesează. Cu cele primite unghi ascutit ar trebui să procedeze așa cum este descris mai sus, sinusuri colțurile adiacente, formând împreună un unghi invers de 180°, sunt egale.

Calcularea sinusului folosind alte funcții trigonometrice

De asemenea, calcularea sinusului este posibilă dacă sunt cunoscute valorile altor funcții trigonometrice ale unghiului sau cel puțin lungimile laturilor triunghiului. Ne vor ajuta cu asta identități trigonometrice. Să ne uităm la exemple comune.

Cum să găsiți sinusul cu un cosinus cunoscut al unui unghi? Prima identitate trigonometrică, bazată pe teorema lui Pitagora, afirmă că suma pătratelor sinusului și cosinusului aceluiași unghi este egală cu unu.

Cum să găsiți sinusul cu tangenta cunoscută a unui unghi? Tangenta se obține prin împărțirea laturii îndepărtate la latura apropiată sau împărțirea sinusului la cosinus. Astfel, sinusul va fi produsul cosinusului și tangentei, iar pătratul sinusului va fi pătratul acestui produs. Înlocuim cosinusul pătrat cu diferența dintre unitate și sinusul pătrat în funcție de prima identitate trigonometrică și, prin manipulări simple, reducem ecuația la calculul sinusului pătrat prin tangentă; în consecință, pentru a calcula sinusul, veți trebuie să extragă rădăcina rezultatului obținut.

Cum să găsiți sinusul cu o cotangentă cunoscută a unui unghi? Valoarea cotangentei poate fi calculată împărțind lungimea piciorului cel mai apropiat de unghi la lungimea celui îndepărtat, precum și împărțind cosinusul la sinus, adică cotangenta este o funcție inversă relativă a tangentei. la numărul 1. Pentru a calcula sinusul, puteți calcula tangenta folosind formula tg α = 1 / ctg α și utilizați formula din a doua opțiune. De asemenea, puteți obține o formulă directă prin analogie cu tangenta, care va arăta astfel.

Cum să găsiți sinusul a trei laturi ale unui triunghi

Există o formulă pentru a afla lungimea laturii necunoscute a oricărui triunghi, nu doar a unui triunghi dreptunghic, din două laturi cunoscute folosind funcția trigonometrică a cosinusului unghiului opus. Ea arată așa.

Ei bine, sinusul poate fi calculat în continuare din cosinus conform formulelor de mai sus.

Date de referință pentru tangentă (tg x) și cotangentă (ctg x). Definiție geometrică, proprietăți, grafice, formule. Tabel de tangente și cotangente, derivate, integrale, expansiuni în serie. Expresii prin variabile complexe. Legătura cu funcțiile hiperbolice.

Definiție geometrică

|BD| - lungimea arcului de cerc cu centrul în punctul A.
α este unghiul exprimat în radiani.

Tangenta ( tan α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetului opus |BC| la lungimea piciorului adiacent |AB| .

Cotangent ( ctg α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea piciorului opus |BC| .

Tangentă

Unde n- întreg.

În literatura occidentală, tangenta se notează după cum urmează:
.
;
;
.

Graficul funcției tangente, y = tan x

Cotangentă

Unde n- întreg.

În literatura occidentală, cotangenta este desemnată după cum urmează:
.
De asemenea, sunt acceptate următoarele notații:
;
;
.

Graficul funcției cotangente, y = ctg x

Proprietățile tangentei și cotangentei

Periodicitate

Funcțiile y = tg xși y = ctg x sunt periodice cu perioada π.

Paritate

Funcțiile tangentă și cotangentă sunt impare.

Domenii de definire și valori, în creștere, în scădere

Funcțiile tangentă și cotangentă sunt continue în domeniul lor de definire (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale tangentei și cotangentei sunt prezentate în tabel ( n- întreg).

	y = tg x	y = ctg x
Domeniul de aplicare și continuitatea
Gama de valori	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Crescând		-
Descendentă	-
Extreme	-	-
Zerouri, y = 0
Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 0	y = 0	-

Formule

Expresii folosind sinus și cosinus

; ;
; ;
;

Formule pentru tangentă și cotangentă din sumă și diferență

Formulele rămase sunt ușor de obținut, de exemplu

Produsul tangentelor

Formula pentru suma și diferența tangentelor

Acest tabel prezintă valorile tangentelor și cotangentelor pentru anumite valori ale argumentului.

Expresii folosind numere complexe

Expresii prin funcții hiperbolice

;
;

Derivate

; .

.
Derivată de ordinul n-a față de variabila x a funcției:
.
Derivarea formulelor pentru tangentă > > > ; pentru cotangent >>>

Integrale

Extinderi de serie

Pentru a obține expansiunea tangentei în puterile lui x, trebuie să luați mai mulți termeni ai expansiunii într-o serie de puteri pentru funcții sin xȘi cos xși împărțiți aceste polinoame între ele, . Aceasta produce următoarele formule.

La .

la .
Unde Bn- Numerele Bernoulli. Ele sunt determinate fie din relația de recurență:
;
;
Unde .
Sau conform formulei lui Laplace:

Funcții inverse

Funcțiile inverse ale tangentei și cotangentei sunt arctangente și, respectiv, arccotangente.

Arctangent, arctg

, Unde n- întreg.

Arccotangent, arcctg

, Unde n- întreg.

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.
G. Korn, Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri, 2012.

Ceea ce este sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta unui unghi vă va ajuta să înțelegeți un triunghi dreptunghic.

Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic? Așa este, ipotenuză și catete: ipotenuza este latura care se află opusă unghiului drept (în exemplul nostru aceasta este latura \(AC\)); picioarele sunt cele două laturi rămase \(AB\) și \(BC\) (cele adiacente unghi drept), iar dacă luăm în considerare catetele relativ la unghiul \(BC\) , atunci catetul \(AB\) este picior alăturat, iar piciorul \(BC\) este cel opus. Deci, acum să răspundem la întrebarea: ce sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi?

Sinusul unghiului– acesta este raportul dintre catetul opus (distant) și ipotenuză.

În triunghiul nostru:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosinusul unghiului– acesta este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

În triunghiul nostru:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangenta unghiului– acesta este raportul dintre latura opusă (depărtată) și cea adiacentă (închisă).

În triunghiul nostru:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotangenta unghiului– acesta este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și cel opus (departe).

În triunghiul nostru:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Aceste definiții sunt necesare tine minte! Pentru a vă aminti mai ușor ce picior să împărțiți în ce, trebuie să înțelegeți clar acest lucru tangentăȘi cotangentă doar picioarele stau, iar ipotenuza apare doar in sinusuluiȘi cosinus. Și apoi poți veni cu un lanț de asociații. De exemplu, acesta:

Cosinu → atinge → atinge → adiacent;

Cotangent → atinge → atinge → adiacent.

În primul rând, trebuie să vă amintiți că sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, deoarece rapoartele laturilor unui triunghi nu depind de lungimile acestor laturi (la același unghi). Nu crede? Apoi asigurați-vă că vă uitați la imagine:

Luați în considerare, de exemplu, cosinusul unghiului \(\beta \) . Prin definiție, dintr-un triunghi \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), dar putem calcula cosinusul unghiului \(\beta \) din triunghiul \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vedeți, lungimile laturilor sunt diferite, dar valoarea cosinusului unui unghi este aceeași. Astfel, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind numai de mărimea unghiului.

Dacă înțelegi definițiile, atunci continuă și consolidează-le!

Pentru triunghiul \(ABC \) prezentat în figura de mai jos, găsim \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

Ei bine, ai primit-o? Apoi încercați singur: calculați același lucru pentru unghiul \(\beta \) .

Raspunsuri: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Cercul unitar (trigonometric).

Înțelegând conceptele de grade și radiani, am considerat un cerc cu o rază egală cu \(1\) . Un astfel de cerc se numește singur. Va fi foarte util atunci când studiezi trigonometria. Prin urmare, să ne uităm la asta mai detaliat.

După cum puteți vedea, acest cerc este construit în sistemul de coordonate carteziene. Raza cercului este egală cu unu, în timp ce centrul cercului se află la originea coordonatelor, poziția inițială a vectorului rază este fixată de-a lungul direcției pozitive a axei \(x\) (în exemplul nostru, acest este raza \(AB\)).

Fiecare punct de pe cerc corespunde a două numere: coordonatele de-a lungul axei \(x\) și coordonatele de-a lungul axei \(y\). Care sunt aceste numere de coordonate? Și, în general, ce legătură au ei cu subiectul la îndemână? Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim despre triunghiul dreptunghic considerat. În figura de mai sus, puteți vedea două triunghiuri dreptunghiulare întregi. Se consideră triunghiul \(ACG\) . Este dreptunghiular deoarece \(CG\) este perpendicular pe axa \(x\).

Ce este \(\cos \ \alpha \) din triunghiul \(ACG \)? Asta e corect \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). În plus, știm că \(AC\) este raza cercului unitar, ceea ce înseamnă \(AC=1\) . Să înlocuim această valoare în formula noastră pentru cosinus. Iată ce se întâmplă:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Cu ce ​​este egal cu \(\sin \ \alpha \) din triunghiul \(ACG \)? Ei bine, desigur, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Înlocuiți valoarea razei \(AC\) în această formulă și obțineți:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Deci, puteți spune ce coordonate are punctul \(C\) aparținând cercului? Ei bine, în niciun caz? Ce se întâmplă dacă îți dai seama că \(\cos \ \alpha \) și \(\sin \alpha \) sunt doar numere? Cu ce ​​coordonată corespunde \(\cos \alpha \)? Ei bine, desigur, coordonata \(x\)! Și cărei coordonate corespunde \(\sin \alpha \)? Așa e, coordonată \(y\)! Deci ideea \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Atunci cu ce sunt \(tg \alpha \) și \(ctg \alpha \) egale? Așa este, să folosim definițiile corespunzătoare ale tangentei și cotangentei și să obținem asta \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Ce se întâmplă dacă unghiul este mai mare? De exemplu, ca în această imagine:

Ce s-a schimbat în acest exemplu? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, să ne întoarcem din nou la un triunghi dreptunghic. Considerăm un triunghi dreptunghic \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : unghi (ca adiacent unghiului \(\beta \) ). Care este valoarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru un unghi \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Așa este, aderăm la definițiile corespunzătoare ale funcțiilor trigonometrice:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac((((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(matrice) \)

Ei bine, după cum puteți vedea, valoarea sinusului unghiului corespunde în continuare coordonatei \(y\) ; valoarea cosinusului unghiului - coordonata \(x\) ; și valorile tangentei și cotangentei la rapoartele corespunzătoare. Astfel, aceste relații se aplică oricărei rotații a vectorului rază.

S-a menționat deja că poziția inițială a vectorului rază este de-a lungul direcției pozitive a axei \(x\). Până acum am rotit acest vector în sens invers acelor de ceasornic, dar ce se întâmplă dacă îl rotim în sensul acelor de ceasornic? Nimic extraordinar, vei obține și un unghi de o anumită valoare, dar doar acesta va fi negativ. Astfel, la rotirea vectorului rază în sens invers acelor de ceasornic, obținem unghiuri pozitive, iar când se rotește în sensul acelor de ceasornic – negativ.

Deci, știm că întreaga revoluție a vectorului rază în jurul cercului este \(360()^\circ \) sau \(2\pi \) . Este posibil să rotiți vectorul rază cu \(390()^\circ \) sau cu \(-1140()^\circ \)? Ei bine, bineînțeles că poți! În primul caz, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), astfel, vectorul rază va face o revoluție completă și se va opri în poziția \(30()^\circ \) sau \(\dfrac(\pi )(6) \) .

În al doilea caz, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), adică vectorul rază va face trei rotații complete și se va opri în poziția \(-60()^\circ \) sau \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Astfel, din exemplele de mai sus putem concluziona că unghiurile care diferă cu \(360()^\circ \cdot m \) sau \(2\pi \cdot m \) (unde \(m \) este orice număr întreg ), corespund aceleiași poziții a vectorului rază.

Figura de mai jos arată unghiul \(\beta =-60()^\circ \) . Aceeași imagine corespunde colțului \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Această listă poate fi continuată pe termen nelimitat. Toate aceste unghiuri pot fi scrise prin formula generală \(\beta +360()^\circ \cdot m\) sau \(\beta +2\pi \cdot m \) (unde \(m \) este orice număr întreg)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Acum, cunoscând definițiile funcțiilor trigonometrice de bază și folosind cercul unitar, încercați să răspundeți care sunt valorile:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Iată un cerc de unitate care vă va ajuta:

Aveți dificultăți? Atunci hai să ne dăm seama. Deci știm că:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x); )(y).\end(matrice)\)

De aici, determinăm coordonatele punctelor corespunzătoare anumitor măsuri de unghi. Ei bine, să începem în ordine: colțul înăuntru \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) corespunde unui punct cu coordonatele \(\left(0;1 \right) \) , prin urmare:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- nu exista;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Mai departe, aderând la aceeași logică, aflăm că colțurile în \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) corespund punctelor cu coordonate \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \dreapta) \), respectiv. Știind acest lucru, este ușor să determinați valorile funcțiilor trigonometrice în punctele corespunzătoare. Încercați mai întâi singur, apoi verificați răspunsurile.

Raspunsuri:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \\pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- nu exista

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- nu exista

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- nu exista

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- nu exista

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Astfel, putem realiza următorul tabel:

Nu este nevoie să ne amintim toate aceste valori. Este suficient să ne amintim corespondența dintre coordonatele punctelor de pe cercul unității și valorile funcțiilor trigonometrice:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Trebuie să vă amintiți sau să îl puteți afișa!! \) !}

Dar valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor în și \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) prezentate în tabelul de mai jos, trebuie să vă amintiți:

Nu vă speriați, acum vă vom arăta un exemplu de memorare destul de simplă a valorilor corespunzătoare:

Pentru a utiliza această metodă, este vital să vă amintiți valorile sinusului pentru toate cele trei măsuri de unghi ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), precum și valoarea tangentei unghiului în \(30()^\circ \) . Cunoscând aceste valori \(4\), este destul de simplu să restabiliți întregul tabel - valorile cosinusului sunt transferate în conformitate cu săgețile, adică:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(matrice) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)știind acest lucru, puteți restabili valorile pentru \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Numătorul „\(1 \)” va corespunde cu \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), iar numitorul „\(\sqrt(\text(3)) \)” va corespunde \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Valorile cotangentelor sunt transferate în conformitate cu săgețile indicate în figură. Dacă înțelegeți acest lucru și vă amintiți diagrama cu săgeți, atunci va fi suficient să vă amintiți numai valorile \(4\) din tabel.

Coordonatele unui punct pe un cerc

Este posibil să găsim un punct (coordonatele lui) pe un cerc, cunoscând coordonatele centrului cercului, raza și unghiul de rotație al acestuia? Ei bine, bineînțeles că poți! Să derivăm o formulă generală pentru a găsi coordonatele unui punct. De exemplu, iată un cerc în fața noastră:

Ni se dă acest punct \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- centrul cercului. Raza cercului este \(1,5\) . Este necesar să se găsească coordonatele punctului \(P\) obținute prin rotirea punctului \(O\) cu \(\delta \) grade.

După cum se poate observa din figură, coordonata \(x\) a punctului \(P\) corespunde lungimii segmentului \(TP=UQ=UK+KQ\) . Lungimea segmentului \(UK\) corespunde coordonatei \(x\) a centrului cercului, adică este egală cu \(3\) . Lungimea segmentului \(KQ\) poate fi exprimată folosind definiția cosinusului:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).

Atunci avem că pentru punctul \(P\) coordonata \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

Folosind aceeași logică, găsim valoarea coordonatei y pentru punctul \(P\) . Prin urmare,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Deci, în vedere generala coordonatele punctelor sunt determinate de formulele:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(matrice) \), Unde

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordonatele centrului cercului,

\(r\) - raza cercului,

\(\delta \) - unghiul de rotație al razei vectoriale.

După cum puteți vedea, pentru cercul unitar pe care îl luăm în considerare, aceste formule sunt reduse semnificativ, deoarece coordonatele centrului sunt egale cu zero și raza este egală cu unu:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru a efectua calcule, trebuie să activați controalele ActiveX!