Tabel de reducere pentru funcții trigonometrice. Sinus (sin x) și cosinus (cos x) – proprietăți, grafice, formule

Trigonometrie Formule de reducere.

Formulele de reducere nu trebuie predate, ci trebuie înțelese. Înțelegeți algoritmul pentru derivarea lor. Este foarte ușor!

Să luăm un cerc unitar și să plasăm pe el toate măsurile de grade (0°; 90°; 180°; 270°; 360°).

Să analizăm funcțiile sin(a) și cos(a) în fiecare trimestru.

Amintiți-vă că ne uităm la funcția sin(a) de-a lungul axei Y și la funcția cos(a) de-a lungul axei X.

În primul trimestru este clar că funcția sin(a)>0
Și funcționalitate cos(a)>0
Primul trimestru poate fi descris în termeni de grade, cum ar fi (90-α) sau (360+α).

În al doilea trimestru este clar că funcția sin(a)>0, deoarece axa Y este pozitivă în acest trimestru.
O functie cos(a) deoarece axa X este negativă în acest cadran.
Al doilea trimestru poate fi descris în termeni de grade, cum ar fi (90+α) sau (180-α).

În al treilea trimestru este clar că funcțiile păcat(a) Al treilea trimestru poate fi descris în termeni de grade, cum ar fi (180+α) sau (270-α).

În al patrulea trimestru este clar că funcția sin(a) deoarece axa Y este negativă în acest trimestru.
O functie cos(a)>0, deoarece axa X este pozitivă în acest trimestru.
Al patrulea trimestru poate fi descris în termeni de grade, cum ar fi (270+α) sau (360-α).

Acum să ne uităm la formulele de reducere în sine.

Să ne amintim simplu algoritm:
1. Sfert.(Uită-te mereu la ce trimestru te afli).
2. Semn.(Referitor la trimestru, vezi pozitiv sau funcții negative cosinus sau sinus).
3. Dacă aveți (90° sau π/2) și (270° sau 3π/2) între paranteze, atunci modificări ale funcției.

Și așa vom începe să analizăm acest algoritm în sferturi.

Aflați cu ce va fi egală expresia cos(90-α).
Raționăm după algoritmul:
1. Sfertul unu.


Voi cos(90-α) = sin(α)

Aflați cu ce va fi egală expresia sin(90-α).
Raționăm după algoritmul:
1. Sfertul unu.


Voi sin(90-α) = cos(α)

Aflați cu ce va fi egală expresia cos(360+α).
Raționăm după algoritmul:
1. Sfertul unu.
2. În primul trimestru, semnul funcției cosinus este pozitiv.

Voi cos(360+α) = cos(α)

Aflați cu ce va fi egală expresia sin(360+α).
Raționăm după algoritmul:
1. Sfertul unu.
2. În primul trimestru, semnul funcției sinus este pozitiv.
3. Nu există (90° sau π/2) și (270° sau 3π/2) între paranteze, atunci funcția nu se schimbă.
Voi sin(360+α) = sin(α)

Aflați cu ce va fi egală expresia cos(90+α).
Raționăm după algoritmul:
1. Sfertul doi.

3. Există (90° sau π/2) între paranteze, apoi funcția se schimbă de la cosinus la sinus.
Voi cos(90+α) = -sin(α)

Aflați cu ce va fi egală expresia sin(90+α).
Raționăm după algoritmul:
1. Sfertul doi.

3. Există (90° sau π/2) între paranteze, apoi funcția se schimbă de la sinus la cosinus.
Voi sin(90+α) = cos(α)

Aflați cu ce va fi egală expresia cos(180-α).
Raționăm după algoritmul:
1. Sfertul doi.
2. În al doilea trimestru, semnul funcției cosinus este negativ.
3. Nu există (90° sau π/2) și (270° sau 3π/2) între paranteze, atunci funcția nu se schimbă.
Voi cos(180-α) = cos(α)

Aflați cu ce va fi egală expresia sin(180-α).
Raționăm după algoritmul:
1. Sfertul doi.
2. În al doilea trimestru, semnul funcției sinus este pozitiv.
3. Nu există (90° sau π/2) și (270° sau 3π/2) între paranteze, atunci funcția nu se schimbă.
Voi sin(180-α) = sin(α)

Vorbesc despre al treilea și al patrulea trimestru, să creăm un tabel într-un mod similar:

Abonati-va pe canalul de pe YOUTUBEși urmăriți videoclipul, pregătiți-vă pentru examenele de matematică și geometrie cu noi.

Lecție și prezentare pe tema: „Aplicarea formulelor de reducere în rezolvarea problemelor”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre. Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a 10-a
1C: Scoala. Sarcini de construcție interactive pentru clasele 7-10
1C: Scoala. Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini interactive privind construirea în spațiu pentru clasele 10-11

Ce vom studia:
1. Să repetăm ​​puțin.
2. Reguli pentru formulele de reducere.
3. Tabel de conversie pentru formule de reducere.
4. Exemple.

Revizuirea funcțiilor trigonometrice

Băieți, ați întâlnit deja formule fantomă, dar încă nu le-ați numit așa. Ce crezi: unde?

Uită-te la desenele noastre. Corect, când au fost introduse definițiile funcțiilor trigonometrice.

Regula pentru formulele de reducere

Să introducem regula de bază: Dacă sub semnul funcției trigonometrice există un număr de forma π×n/2 + t, unde n este orice număr întreg, atunci funcția noastră trigonometrică poate fi redusă la mai mult vedere simplă, care va conține doar argumentul t. Astfel de formule sunt numite formule fantomă.

Să ne amintim câteva formule:

• sin(t + 2π*k) = sin(t)
• cos(t + 2π*k) = cos(t)
• sin(t + π) = -sin(t)
• cos(t + π) = -cos(t)
• sin(t + π/2) = cos(t)
• cos(t + π/2) = -sin(t)
• tan(t + π*k) = tan(x)
• ctg(t + π*k) = ctg(x)

există o mulțime de formule fantomă, să facem o regulă prin care vom determina funcțiile noastre trigonometrice atunci când folosim formule fantomă:

• Dacă semnul unei funcții trigonometrice conține numere de forma: π + t, π - t, 2π + t și 2π - t, atunci funcția nu se va schimba, adică, de exemplu, sinusul va rămâne sinus, cotangent va rămâne cotangent.
• Dacă semnul funcției trigonometrice conține numere de forma: π/2 + t, π/2 - t,
  3π/2 + t și 3π/2 - t, apoi funcția se va schimba într-una înrudită, adică sinusul va deveni cosinus, cotangenta va deveni tangentă.
• Înainte de funcția rezultată, trebuie să puneți semnul pe care l-ar avea funcția transformată în condiția 0

Aceste reguli se aplică și atunci când argumentul funcției este dat în grade!

De asemenea, putem crea un tabel de transformări ale funcțiilor trigonometrice:

Exemple de utilizare a formulelor de reducere

1. Transformă cos(π + t). Numele funcției rămâne, adică. obținem cost(t). Să presupunem în continuare că π/2

2. Transformă sin(π/2 + t). Numele funcției se schimbă, adică obținem cost(t). În continuare, presupunem că 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Transformați tg(π + t). Numele funcției rămâne, adică. obținem tan(t). Să presupunem în continuare că 0

4. Transformați ctg(270 0 + t). Numele funcției se schimbă, adică obținem tg(t). Să presupunem în continuare că 0

Probleme cu formulele de reducere pentru soluție independentă

Băieți, convertiți-l singuri folosind regulile noastre:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) cot(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) cotg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).

Formulele de reducere sunt relații care vă permit să treceți de la sinus, cosinus, tangentă și cotangentă cu unghiuri `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` la aceleași funcții ale unghiului `\alpha`, care este situat în primul sfert al cercului unitar. Astfel, formulele de reducere ne „conduc” să lucrăm cu unghiuri în intervalul de la 0 la 90 de grade, ceea ce este foarte convenabil.

Toate împreună există 32 de formule de reducere. Ele vor fi, fără îndoială, utile în timpul examenului de stat unificat, examenelor și testelor. Dar să vă avertizăm imediat că nu este nevoie să le memorați! Trebuie să petreceți puțin timp și să înțelegeți algoritmul pentru aplicarea lor, atunci nu vă va fi dificil să obțineți egalitatea necesară la momentul potrivit.

Mai întâi, să notăm toate formulele de reducere:

Pentru unghiul (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) sau (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;`` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Pentru unghi (`\pi \pm \alpha`) sau (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;`` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Pentru unghiul (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) sau (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;`` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Pentru unghi (`2\pi \pm \alpha`) sau (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;`` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;`` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;`` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Puteți găsi adesea formule de reducere sub forma unui tabel în care unghiurile sunt scrise în radiani:

Pentru a-l folosi, trebuie să selectați rândul cu funcția de care avem nevoie și coloana cu argumentul necesar. De exemplu, pentru a afla folosind un tabel cu ce va fi ` sin(\pi + \alpha)`, este suficient să găsiți răspunsul la intersecția rândului `sin \beta` și a coloanei `\pi + \alpha`. Obținem ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

Și al doilea tabel similar, unde unghiurile sunt scrise în grade:

Regula mnemonică pentru formulele de reducere sau cum să le amintim

După cum am menționat deja, nu este nevoie să memorați toate relațiile de mai sus. Dacă te-ai uitat la ele cu atenție, probabil ai observat câteva modele. Ele ne permit să formulăm o regulă mnemonică (mnemonic - reține), cu ajutorul căreia putem obține cu ușurință orice formulă de reducere.

Să observăm imediat că pentru a aplica această regulă trebuie să fii bun la identificarea (sau reținerea) semnelor funcțiilor trigonometrice în diferite sferturi ale cercului unitar.
Vaccinul în sine conține 3 etape:

1. 1. Argumentul funcției trebuie reprezentat ca `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, iar `\alpha` este necesar colt ascutit(de la 0 la 90 de grade).
   2. Pentru argumentele `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` funcția trigonometrică a expresiei transformate se schimbă într-o cofuncție, adică opusul (sinus la cosinus, tangentă la cotangentă și invers). Pentru argumentele `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` funcția nu se modifică.
   3. Se determină semnul funcției inițiale. Funcția rezultată din partea dreaptă va avea același semn.

Pentru a vedea cum poate fi aplicată această regulă în practică, să transformăm mai multe expresii:

1. `cos(\pi + \alpha)`.

Funcția nu este inversată. Unghiul `\pi + \alpha` este în al treilea sfert, cosinusul din acest sfert are semnul „-”, deci funcția transformată va avea și semnul „-”.

Răspuns: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.

Conform regulii mnemonice, funcția va fi inversată. Unghiul `\frac (3\pi)2 - \alpha` este în al treilea sfert, sinusul aici are semnul „-”, deci rezultatul va avea și semnul „-”.

Răspuns: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alpha))`. Să reprezentăm `3\pi` ca `2\pi+\pi`. `2\pi` este perioada funcției.

Important: Funcțiile `cos \alpha` și `sin \alpha` au o perioadă de `2\pi` sau `360^\circ`, valorile lor nu se vor schimba dacă argumentul este mărit sau micșorat cu aceste valori.

Pe baza acestui lucru, expresia noastră poate fi scrisă astfel: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Aplicând regula mnemonică de două ori, obținem: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Răspuns: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.

Regula calului

Al doilea punct al regulii mnemonice descrise mai sus se mai numește și regula calului a formulelor de reducere. Mă întreb de ce cai?

Deci, avem funcții cu argumente `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, punctele `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` sunt cheie, sunt situate pe axele de coordonate. `\pi` și `2\pi` sunt pe axa x orizontală, iar `\frac (\pi)2` și `\frac (3\pi)2` sunt pe ordonata verticală.

Ne punem întrebarea: „O funcție se schimbă într-o cofuncție?” Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să vă mișcați capul de-a lungul axei pe care se află punctul cheie.

Adică, pentru argumentele cu puncte cheie situate pe axa orizontală, răspundem „nu” dând din cap în lateral. Și pentru colțurile cu puncte cheie situate pe axa verticală, răspundem „da” dând din cap de sus în jos, ca un cal :)

Vă recomandăm să vizionați un tutorial video în care autorul explică în detaliu cum să vă amintiți formulele de reducere fără să le memorați.

Exemple practice de utilizare a formulelor de reducere

Utilizarea formulelor de reducere începe în clasele a 9-a și a 10-a. Multe probleme de utilizare a acestora au fost supuse examenului de stat unificat. Iată câteva dintre problemele în care va trebui să aplicați aceste formule:

• probleme pentru a rezolva un triunghi dreptunghic;
• transformarea expresiilor trigonometrice numerice și alfabetice, calculul valorilor acestora;
• sarcini stereometrice.

Exemplul 1. Calculați folosind formulele de reducere a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.

Rezolvare: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;

c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;

d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

Exemplul 2. După ce am exprimat cosinus prin sinus folosind formule de reducere, comparați numerele: 1) `sin \frac (9\pi)8` și `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` și `cos \frac (3\pi)10`.

Rezolvare: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`

`sin \frac (\pi)8

`sin \frac (\pi)8

Să demonstrăm mai întâi două formule pentru sinusul și cosinusul argumentului `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` și ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Restul sunt derivate din ele.

Să luăm un cerc unitar și să punctăm A pe el cu coordonatele (1,0). Lasă după ce te-ai întors la unghiul `\alpha` va merge la punctul `A_1(x, y)`, iar după ce se rotește cu unghiul `\frac (\pi)2 + \alpha` la punctul `A_2(-y, x)`. Lăsând perpendicularele din aceste puncte la dreapta OX, vedem că triunghiurile `OA_1H_1` și `OA_2H_2` sunt egale, deoarece ipotenuzele lor și unghiurile adiacente sunt egale. Apoi, pe baza definițiilor sinusului și cosinusului, putem scrie `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Unde putem scrie că ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` și ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, ceea ce demonstrează reducerea formule pentru unghiuri sinus și cosinus `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Din definiția tangentei și cotangentei, obținem ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\). pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` și ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, ceea ce demonstrează că formule de reducere pentru tangenta si cotangenta unghiului `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Pentru a demonstra formule cu argumentul `\frac (\pi)2 - \alpha`, este suficient să-l reprezentăm ca `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` și să urmați aceeași cale ca mai sus. De exemplu, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Unghiurile `\pi + \alpha` și `\pi - \alpha` pot fi reprezentate ca `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` și `\frac (\pi) ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` respectiv.

Și `\frac (3\pi)2 + \alpha` și `\frac (3\pi)2 - \alpha` ca `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` și `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`.

Există două reguli pentru utilizarea formulelor de reducere.

1. Dacă unghiul poate fi reprezentat ca (π/2 ±a) sau (3*π/2 ±a), atunci se modifică numele funcției sin la cos, cos la sin, tg la ctg, ctg la tg. Dacă unghiul poate fi reprezentat sub forma (π ±a) sau (2*π ±a), atunci Numele funcției rămâne neschimbat.

Uită-te la poza de mai jos, arată schematic când ar trebui să schimbi semnul și când nu.

2. Regula „cum ai fost, așa rămâi”.

Semnul funcției reduse rămâne același. Dacă funcția inițială avea semnul plus, atunci funcția redusă are și semnul plus. Dacă funcția inițială avea semnul minus, atunci funcția redusă are și semnul minus.

Figura de mai jos prezintă semnele funcțiilor trigonometrice de bază în funcție de trimestru.

Calculați Sin(150˚)

Să folosim formulele de reducere:

Sin(150˚) este în al doilea trimestru; din figură vedem că semnul păcatului în acest trimestru este egal cu +. Aceasta înseamnă că funcția dată va avea și un semn plus. Am aplicat a doua regulă.

Acum 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ este π/2. Adică avem de-a face cu cazul π/2+60, prin urmare, conform primei reguli, schimbăm funcția din sin în cos. Ca rezultat, obținem Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Dacă se dorește, toate formulele de reducere pot fi rezumate într-un singur tabel. Dar este totuși mai ușor să-ți amintești aceste două reguli și să le folosești.