Este posibil să împărțim la zero? Matematicianul răspunde. De ce nu poți împărți la zero? Exemplu ilustrativ Împărțirea cu o zecimală

Această lecție va analiza cum să efectuați înmulțirea și împărțirea cu numere de forma 10, 100, 0,1, 0,001. Se vor rezolva și diverse exemple pe această temă.

Exercițiu. Cum se înmulțește numărul 25,78 cu 10?

Notația zecimală a unui număr dat este o notație scurtă pentru suma. Este necesar să o descriem mai detaliat:

Astfel, trebuie să înmulțiți suma. Pentru a face acest lucru, puteți pur și simplu înmulți fiecare termen:

Se pare că...

Putem concluziona că înmulțirea unei fracții zecimale cu 10 este foarte simplă: trebuie să mutați punctul zecimal în poziția din dreapta.

Exercițiu.Înmulțiți 25,486 cu 100.

Înmulțirea cu 100 este la fel cu înmulțirea cu 10 de două ori. Cu alte cuvinte, trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta de două ori:

Exercițiu.Împărțiți 25,78 la 10.

Ca și în cazul precedent, trebuie să prezentați numărul 25,78 ca o sumă:

Deoarece trebuie să împărțiți suma, aceasta este echivalentă cu împărțirea fiecărui termen:

Se pare că pentru a împărți la 10, trebuie să mutați punctul zecimal în poziția din stânga. De exemplu:

Exercițiu.Împărțiți 124,478 la 100.

Împărțirea la 100 este la fel cu împărțirea la 10 de două ori, astfel încât punctul zecimal se deplasează la stânga 2 locuri:

Dacă o fracție zecimală trebuie înmulțită cu 10, 100, 1000 și așa mai departe, trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta cu atâtea poziții câte zerouri există în multiplicator.

În schimb, dacă o fracție zecimală trebuie împărțită la 10, 100, 1000 și așa mai departe, trebuie să mutați punctul zecimal la stânga cu atâtea poziții câte zerouri există în multiplicator.

Exemplul 1

Înmulțirea cu 100 înseamnă mutarea zecimalei cu două locuri la dreapta.

După schimbare, puteți constata că nu mai există cifre după virgulă zecimală, ceea ce înseamnă că partea fracțională lipsește. Atunci nu este nevoie de virgulă, numărul este un întreg.

Exemplul 2

Trebuie să mutați 4 poziții spre dreapta. Dar sunt doar două cifre după virgulă zecimală. Merită să ne amintim că există o notație echivalentă pentru fracția 56,14.

Acum, înmulțirea cu 10.000 este ușor:

Dacă nu este foarte clar de ce puteți adăuga două zerouri la fracția din exemplul anterior, atunci videoclipul suplimentar de la link vă poate ajuta în acest sens.

Notații zecimale echivalente

Intrarea 52 înseamnă următoarele:

Dacă punem 0 în față, obținem intrarea 052. Aceste intrări sunt echivalente.

Este posibil să pun două zerouri în față? Da, aceste intrări sunt echivalente.

Acum să ne uităm la fracția zecimală:

Dacă atribui zero, obțineți:

Aceste intrări sunt echivalente. În mod similar, puteți atribui mai multe zerouri.

Astfel, orice număr poate avea mai multe zerouri după partea fracțională și mai multe zerouri înaintea părții întregi. Acestea vor fi intrări echivalente de același număr.

Exemplul 3

Deoarece are loc împărțirea cu 100, este necesar să mutați punctul zecimal cu 2 poziții la stânga. Nu există numere rămase în stânga punctului zecimal. Lipsește o întreagă parte. Această notație este adesea folosită de programatori. La matematică, dacă nu există o parte întreagă, atunci ei pun un zero în locul ei.

Exemplul 4

Trebuie să-l mutați la stânga cu trei poziții, dar există doar două poziții. Dacă scrieți mai multe zerouri în fața unui număr, acesta va fi o notație echivalentă.

Adică, atunci când vă deplasați la stânga, dacă numerele se epuizează, trebuie să le completați cu zerouri.

Exemplul 5

În acest caz, merită să ne amintim că o virgulă vine întotdeauna după întreaga parte. Apoi:

Înmulțirea și împărțirea cu numerele 10, 100, 1000 este o procedură foarte simplă. Situația este exact aceeași cu numerele 0,1, 0,01, 0,001.

Exemplu. Înmulțiți 25,34 cu 0,1.

Să scriem fracția zecimală 0,1 ca o fracție obișnuită. Dar înmulțirea cu este la fel cu împărțirea la 10. Prin urmare, trebuie să mutați punctul zecimal 1 poziție la stânga:

În mod similar, înmulțirea cu 0,01 înseamnă împărțirea la 100:

Exemplu. 5,235 împărțit la 0,1.

Soluția acestui exemplu este construită într-un mod similar: 0,1 este exprimat ca o fracție comună, iar împărțirea cu este aceeași cu înmulțirea cu 10:

Adică, pentru a împărți la 0,1, trebuie să mutați punctul zecimal în poziția dreaptă, ceea ce este echivalent cu înmulțirea cu 10.

Înmulțirea cu 10 și împărțirea cu 0,1 este același lucru. Virgula trebuie mutată la dreapta cu 1 poziție.

Împărțirea cu 10 și înmulțirea cu 0,1 sunt același lucru. Virgula trebuie mutată la dreapta cu 1 poziție:

Numărul 0 poate fi imaginat ca o anumită limită care separă lumea numerelor reale de cele imaginare sau negative. Din cauza poziției ambigue, multe operații cu această valoare numerică nu se supun logicii matematice. Imposibilitatea împărțirii la zero este un prim exemplu în acest sens. Și operațiile aritmetice permise cu zero pot fi efectuate folosind definiții general acceptate.

Istoria lui zero

Zero este punctul de referință în toate sistemele de numere standard. Europenii au început să folosească acest număr relativ recent, dar înțelepții Indiei antice au folosit zero cu o mie de ani înainte ca numărul gol să fie folosit în mod regulat de matematicienii europeni. Chiar înainte de indieni, zero era o valoare obligatorie în sistemul numeric mayaș. Acești americani au folosit sistemul numeric duozecimal, iar prima zi a fiecărei luni începea cu zero. Este interesant că printre mayași semnul care denotă „zero” a coincis complet cu semnul care denotă „infinitul”. Astfel, vechii mayași au ajuns la concluzia că aceste cantități sunt identice și de necunoscut.

Operații matematice cu zero

Operațiile matematice standard cu zero pot fi reduse la câteva reguli.

Adunare: dacă adăugați zero la un număr arbitrar, acesta nu își va schimba valoarea (0+x=x).

Scădere: Când scădeți zero din orice număr, valoarea scăderii rămâne neschimbată (x-0=x).

Înmulțire: Orice număr înmulțit cu 0 produce 0 (a*0=0).

Diviziunea: zero poate fi împărțit la orice număr diferit de zero. În acest caz, valoarea unei astfel de fracții va fi 0. Și împărțirea la zero este interzisă.

Exponentiație. Această acțiune poate fi efectuată cu orice număr. Un număr arbitrar ridicat la puterea zero va da 1 (x 0 =1).

Zero la orice putere este egal cu 0 (0 a = 0).

În acest caz, apare imediat o contradicție: expresia 0 0 nu are sens.

Paradoxurile matematicii

Mulți oameni știu de la școală că împărțirea la zero este imposibilă. Dar din anumite motive este imposibil de explicat motivul unei astfel de interdicții. De fapt, de ce nu există formula de împărțire la zero, dar alte acțiuni cu acest număr sunt destul de rezonabile și posibile? Răspunsul la această întrebare este dat de matematicieni.

Chestia este că operațiile aritmetice obișnuite pe care școlarii le învață în școala primară nu sunt, de fapt, atât de egale pe cât credem. Toate operațiile simple cu numere pot fi reduse la două: adunare și înmulțire. Aceste acțiuni constituie esența conceptului însuși de număr, iar alte operațiuni sunt construite pe utilizarea acestor două.

Adunarea și înmulțirea

Să luăm un exemplu de scădere standard: 10-2=8. La școală o consideră simplu: dacă scazi două din zece materii, rămân opt. Dar matematicienii privesc aceasta operatie cu totul diferit. La urma urmei, o astfel de operație precum scăderea nu există pentru ei. Acest exemplu poate fi scris în alt mod: x+2=10. Pentru matematicieni, diferența necunoscută este pur și simplu numărul care trebuie adăugat la doi pentru a face opt. Și nu este necesară nicio scădere aici, trebuie doar să găsiți valoarea numerică adecvată.

Înmulțirea și împărțirea sunt tratate la fel. În exemplul 12:4=3 puteți înțelege că vorbim despre împărțirea a opt obiecte în două grămezi egale. Dar, în realitate, aceasta este doar o formulă inversată pentru a scrie 3x4 = 12. Astfel de exemple de împărțire pot fi date la nesfârșit.

Exemple de împărțire la 0

Aici devine puțin clar de ce nu puteți împărți la zero. Înmulțirea și împărțirea cu zero urmează propriile reguli. Toate exemplele de împărțire a acestei cantități pot fi formulate ca 6:0 = x. Dar aceasta este o notație inversată a expresiei 6 * x=0. Dar, după cum știți, orice număr înmulțit cu 0 dă în produs doar 0. Această proprietate este inerentă însuși conceptului de valoare zero.

Se pare că nu există un astfel de număr care, înmulțit cu 0, să dea vreo valoare tangibilă, adică această problemă nu are soluție. Nu ar trebui să vă fie frică de acest răspuns; este un răspuns firesc pentru probleme de acest tip. Doar că înregistrarea 6:0 nu are niciun sens și nu poate explica nimic. Pe scurt, această expresie poate fi explicată prin nemuritoarea „diviziunea la zero este imposibilă”.

Există o operație 0:0? Într-adevăr, dacă operația de înmulțire cu 0 este legală, poate fi împărțit zero la zero? La urma urmei, o ecuație de forma 0x 5=0 este destul de legală. În loc de numărul 5 poți pune 0, produsul nu se va schimba.

Într-adevăr, 0x0=0. Dar tot nu poți împărți la 0. După cum am spus, împărțirea este pur și simplu inversul înmulțirii. Astfel, dacă în exemplul 0x5=0, trebuie să determinați al doilea factor, obținem 0x0=5. Sau 10. Sau infinit. Împărțirea infinitului la zero - cum vă place?

Dar dacă orice număr se potrivește în expresie, atunci nu are sens; nu putem alege doar unul dintr-un număr infinit de numere. Și dacă da, asta înseamnă că expresia 0:0 nu are sens. Se dovedește că chiar și zero în sine nu poate fi împărțit la zero.

Matematică superioară

Împărțirea cu zero este o bătaie de cap pentru matematica școlară. Analiza matematică studiată în universitățile tehnice extinde ușor conceptul de probleme care nu au soluție. De exemplu, la expresia deja cunoscută 0:0 se adaugă altele noi, care nu au soluții la cursurile de matematică din școală:

• infinitul împărțit la infinit: ?:?;
• infinit minus infinit: ???;
• unitate ridicată la o putere infinită: 1 ? ;
• infinitul înmulțit cu 0: ?*0;
• unele altele.

Este imposibil să rezolvi astfel de expresii folosind metode elementare. Dar matematica superioară, datorită posibilităților suplimentare pentru un număr de exemple similare, oferă soluții finale. Acest lucru este evident mai ales în considerarea problemelor din teoria limitelor.

Deblocarea incertitudinii

În teoria limitelor, valoarea 0 este înlocuită cu o variabilă infinitezimală condiționată. Iar expresiile în care, la înlocuirea valorii dorite, se obține împărțirea la zero, sunt convertite. Mai jos este un exemplu standard de extindere a unei limite folosind transformări algebrice obișnuite:

După cum puteți vedea în exemplu, simpla reducere a unei fracții duce valoarea acesteia la un răspuns complet rațional.

Când se iau în considerare limitele funcțiilor trigonometrice, expresiile acestora tind să fie reduse la prima limită remarcabilă. Când se iau în considerare limite în care numitorul devine 0 atunci când o limită este înlocuită, se folosește o a doua limită remarcabilă.

Metoda L'Hopital

În unele cazuri, limitele expresiilor pot fi înlocuite cu limitele derivatelor lor. Guillaume L'Hopital este un matematician francez, fondatorul școlii franceze de analiză matematică. El a demonstrat că limitele expresiilor sunt egale cu limitele derivatelor acestor expresii. În notație matematică, regula lui arată așa.

În prezent, metoda lui L'Hopital este folosită cu succes pentru a rezolva incertitudinile de tip 0:0 sau?:?.

Cum se împarte și se înmulțește cu 0,1; 0,01; 0,001 etc.?

Scrieți regulile de împărțire și înmulțire.

Pentru a înmulți un număr cu 0,1, trebuie doar să mutați punctul zecimal.

De exemplu a fost 56 , a devenit 5,6 .

Pentru a împărți la același număr, trebuie să mutați virgula în direcția opusă:

De exemplu a fost 56 , a devenit 560 .

Cu numărul 0,01 totul este la fel, dar trebuie să îl mutați la 2 cifre, nu una.

În general, transferați câte zerouri aveți nevoie.

De exemplu, există un număr 123456789.

Trebuie să o înmulțiți cu 0,000000001

Există nouă zerouri în numărul 0,000000001 (numărăm și zeroul la stânga punctului zecimal), ceea ce înseamnă că deplasăm numărul 123456789 cu 9 cifre:

Era 123456789 și acum este 0,123456789.

Pentru a nu înmulți, ci pentru a împărți la același număr, ne deplasăm în cealaltă direcție:

Era 123456789 și acum este 123456789000000000.

Pentru a deplasa un număr întreg în acest fel, pur și simplu îi adăugăm un zero. Și în fracționar mutam virgula.

Împărțirea unui număr la 0,1 corespunde înmulțirii acelui număr cu 10

Împărțirea unui număr la 0,01 corespunde înmulțirii acelui număr cu 100

Împărțirea cu 0,001 înseamnă înmulțire cu 1000.

Pentru a ne aminti mai ușor, citim numărul cu care trebuie să împărțim de la dreapta la stânga, fără să acordăm atenție virgulei, și să înmulțim cu numărul rezultat.

Exemplu: 50: 0,0001. Este același cu 50 înmulțit cu (citește de la dreapta la stânga fără virgulă - 10000) 10000. Se dovedește 500000.

Același lucru cu înmulțirea, doar invers:

400 x 0,01 este același cu împărțirea a 400 la (se citește de la dreapta la stânga fără virgulă - 100) 100: 400: 100 = 4.

Pentru cei cărora li se pare mai convenabil să mute virgulele la dreapta la împărțire și la stânga la înmulțire la înmulțirea și împărțirea cu astfel de numere, puteți face acest lucru.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Împărțirea după zecimală

eu. Pentru a împărți un număr cu o fracție zecimală, trebuie să mutați virgulele în dividend și divizor câte cifre sunt la dreapta după punctul zecimal din divizor și apoi împărțiți la numărul natural.

Primary.

Efectuați împărțirea: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Soluţie.

Exemplu 1) 16,38: 0,7.

În separator 0,7 există o cifră după virgulă zecimală, așa că să mutăm virgulele în dividend și divizor cu o cifră la dreapta.

Atunci va trebui să ne împărțim 163,8 pe 7 .

Să facem împărțirea după regula împărțirii unei fracții zecimale la un număr natural.

Împărțim pe măsură ce numerele naturale sunt împărțite. Cum să eliminați numărul 8 - prima cifră după virgulă zecimală (adică cifra de pe locul zecimii), deci imediat pune virgulă în coeficientși continuați împărțirea.

Răspuns: 23.4.

Exemplu 2) 15,6: 0,15.

Mutăm virgulele în dividend ( 15,6 ) și divizor ( 0,15 ) două cifre la dreapta, deoarece în divizor 0,15 sunt două cifre după virgulă zecimală.

Ne amintim că puteți adăuga câte zerouri doriți la fracția zecimală din dreapta, iar acest lucru nu va schimba fracția zecimală.

15,6:0,15=1560:15.

Efectuăm împărțirea numerelor naturale.

Raspuns: 104.

Exemplu 3) 3,114: 4,5.

Mutați virgulele din dividend și divizor cu o cifră la dreapta și împărțiți 31,14 pe 45 după regula împărțirii unei fracții zecimale la un număr natural.

3,114:4,5=31,14:45.

În coeficient punem o virgulă imediat ce eliminăm numărul 1 pe locul zece. Apoi continuăm împărțirea.

Pentru a finaliza diviziunea a trebuit să o atribuim zero la număr 9 - diferențe între numere 414 Și 405 . (știm că zerourile pot fi adăugate în partea dreaptă a unei fracții zecimale)

Răspuns: 0,692.

Exemplu 4) 53,84: 0,1.

Mutați virgulele din dividend și divizor la 1 număr la dreapta.

Primim: 538,4:1=538,4.

Să analizăm egalitatea: 53,84:0,1=538,4. Fiți atenți la virgulă din dividendul din acest exemplu și la virgulă din coeficientul rezultat. Observăm că virgula din dividend a fost mutată în 1 număr la dreapta, de parcă am fi înmulțit 53,84 pe 10. (Vezi videoclipul „Înmulțirea unei zecimale cu 10, 100, 1000 etc.”) De aici rezultă regula împărțirii unei zecimale la 0,1; 0,01; 0,001 etc.

II. Pentru a împărți o zecimală la 0,1; 0,01; 0,001 etc., trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta cu 1, 2, 3, etc. cifre. (Împărțirea unei zecimale la 0,1, 0,01, 0,001 etc. este aceeași cu înmulțirea acelei zecimale cu 10, 100, 1000 etc.)

Exemple.

Efectuați împărțirea: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Soluţie.

Exemplu 1) 617,35: 0,1.

Conform regulii II împărțire prin 0,1 este echivalent cu înmulțirea cu 10 , și mutați virgula în dividend 1 cifră la dreapta:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Exemplu 2) 0,235: 0,01.

Împărțirea după 0,01 este echivalent cu înmulțirea cu 100 , ceea ce înseamnă că mutăm virgula în dividend pe 2 cifre la dreapta:

2) 0,235:0,01=23,5.

Exemplu 3) 2,7845: 0,001.

Deoarece împărțire prin 0,001 este echivalent cu înmulțirea cu 1000 , apoi mutați virgula 3 cifre la dreapta:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Exemplu 4) 26,397: 0,0001.

Împărțiți o zecimală cu 0,0001 - este la fel cu înmulțirea cu 10000 (muta virgula cu 4 cifre dreapta). Primim:

www.mathematics-repetition.com

Înmulțirea și împărțirea cu numere de forma 10, 100, 0,1, 0,01

Acest tutorial video este disponibil prin abonament

Aveți deja un abonament? A intra

Această lecție va analiza cum să efectuați înmulțirea și împărțirea cu numere de forma 10, 100, 0,1, 0,001. Se vor rezolva și diverse exemple pe această temă.

Înmulțirea numerelor cu 10, 100

Exercițiu. Cum se înmulțește numărul 25,78 cu 10?

Notația zecimală a unui număr dat este o notație scurtă pentru suma. Este necesar să o descriem mai detaliat:

Astfel, trebuie să înmulțiți suma. Pentru a face acest lucru, puteți pur și simplu înmulți fiecare termen:

Se pare că...

Putem concluziona că înmulțirea unei fracții zecimale cu 10 este foarte simplă: trebuie să mutați punctul zecimal în poziția din dreapta.

Exercițiu.Înmulțiți 25,486 cu 100.

Înmulțirea cu 100 este la fel cu înmulțirea cu 10 de două ori. Cu alte cuvinte, trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta de două ori:

Împărțirea numerelor la 10, 100

Exercițiu.Împărțiți 25,78 la 10.

Ca și în cazul precedent, trebuie să prezentați numărul 25,78 ca o sumă:

Deoarece trebuie să împărțiți suma, aceasta este echivalentă cu împărțirea fiecărui termen:

Se pare că pentru a împărți la 10, trebuie să mutați punctul zecimal în poziția din stânga. De exemplu:

Exercițiu.Împărțiți 124,478 la 100.

Împărțirea la 100 este la fel cu împărțirea la 10 de două ori, astfel încât punctul zecimal este mutat la stânga cu 2 locuri:

Regula înmulțirii și împărțirii cu 10, 100, 1000

Dacă o fracție zecimală trebuie înmulțită cu 10, 100, 1000 și așa mai departe, trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta cu atâtea poziții câte zerouri există în multiplicator.

În schimb, dacă o fracție zecimală trebuie împărțită la 10, 100, 1000 și așa mai departe, trebuie să mutați punctul zecimal la stânga cu atâtea poziții câte zerouri există în multiplicator.

Exemple când este necesar să mutați o virgulă, dar nu mai au rămas numere

Înmulțirea cu 100 înseamnă mutarea zecimalei cu două locuri la dreapta.

După schimbare, puteți constata că nu mai există cifre după virgulă zecimală, ceea ce înseamnă că partea fracțională lipsește. Atunci nu este nevoie de virgulă, numărul este un întreg.

Trebuie să mutați 4 poziții spre dreapta. Dar sunt doar două cifre după virgulă zecimală. Merită să ne amintim că există o notație echivalentă pentru fracția 56,14.

Acum, înmulțirea cu 10.000 este ușor:

Dacă nu este foarte clar de ce puteți adăuga două zerouri la fracția din exemplul anterior, atunci videoclipul suplimentar de la link vă poate ajuta în acest sens.

Notații zecimale echivalente

Intrarea 52 înseamnă următoarele:

Dacă punem 0 în față, obținem intrarea 052. Aceste intrări sunt echivalente.

Este posibil să pun două zerouri în față? Da, aceste intrări sunt echivalente.

Acum să ne uităm la fracția zecimală:

Dacă atribui zero, obțineți:

Aceste intrări sunt echivalente. În mod similar, puteți atribui mai multe zerouri.

Astfel, orice număr poate avea mai multe zerouri după partea fracțională și mai multe zerouri înaintea părții întregi. Acestea vor fi intrări echivalente de același număr.

Deoarece are loc împărțirea cu 100, este necesar să mutați punctul zecimal cu 2 poziții la stânga. Nu există numere rămase în stânga punctului zecimal. Lipsește o întreagă parte. Această notație este adesea folosită de programatori. La matematică, dacă nu există o parte întreagă, atunci ei pun un zero în locul ei.

Trebuie să-l mutați la stânga cu trei poziții, dar există doar două poziții. Dacă scrieți mai multe zerouri în fața unui număr, acesta va fi o notație echivalentă.

Adică, atunci când vă deplasați la stânga, dacă numerele se epuizează, trebuie să le completați cu zerouri.

În acest caz, merită să ne amintim că o virgulă vine întotdeauna după întreaga parte. Apoi:

Înmulțirea și împărțirea cu 0,1, 0,01, 0,001

Înmulțirea și împărțirea cu numerele 10, 100, 1000 este o procedură foarte simplă. Situația este exact aceeași cu numerele 0,1, 0,01, 0,001.

Exemplu. Înmulțiți 25,34 cu 0,1.

Să scriem fracția zecimală 0,1 ca o fracție obișnuită. Dar înmulțirea cu este la fel cu împărțirea la 10. Prin urmare, trebuie să mutați punctul zecimal 1 poziție la stânga:

În mod similar, înmulțirea cu 0,01 înseamnă împărțirea la 100:

Exemplu. 5,235 împărțit la 0,1.

Soluția acestui exemplu este construită într-un mod similar: 0,1 este exprimat ca o fracție comună, iar împărțirea cu este aceeași cu înmulțirea cu 10:

Adică, pentru a împărți la 0,1, trebuie să mutați punctul zecimal în poziția dreaptă, ceea ce este echivalent cu înmulțirea cu 10.

Regula înmulțirii și împărțirii cu 0,1, 0,01, 0,001

Înmulțirea cu 10 și împărțirea cu 0,1 este același lucru. Virgula trebuie mutată la dreapta cu 1 poziție.

Împărțirea cu 10 și înmulțirea cu 0,1 sunt același lucru. Virgula trebuie mutată la dreapta cu 1 poziție:

Rezolvarea exemplelor

Concluzie

În această lecție au fost studiate regulile de împărțire și înmulțire cu 10, 100 și 1000. În plus, au fost examinate regulile de înmulțire și împărțire cu 0,1, 0,01, 0,001.

Au fost revizuite și rezolvate exemple de aplicare a acestor reguli.

Bibliografie

1. Vilenkin N.Ya. Matematică: manual. pentru clasa a 5-a. educatie generala uchr. a 17-a ed. – M.: Mnemosyne, 2005.

2. Shevkin A.V. Probleme cu cuvinte matematice: 5–6. – M.: Ilexa, 2011.

3. Ershova A.P., Goloborodko V.V. Toată matematica școlară în muncă independentă și test. Matematică 5–6. – M.: Ilexa, 2006.

4. Khlevnyuk N.N., Ivanova M.V. Formarea abilităților de calcul în lecțiile de matematică. Clasele 5-9. – M.: Ilexa, 2011 .

1. Portalul de internet „Festivalul ideilor pedagogice” (Sursa)

2. Portalul de internet „Matematika-na.ru” (Sursa)

3. Portalul de internet „School.xvatit.com” (Sursa)

Teme pentru acasă

3. Comparați semnificațiile expresiilor:

Acțiuni cu zero

Numărul în matematică zero ocupă un loc aparte. Faptul este că, în esență, înseamnă „nimic”, „gol”, dar semnificația sa este cu adevărat greu de supraestimat. Pentru a face acest lucru, este suficient să vă amintiți cel puțin cu ce anume marca zeroși începe numărarea coordonatelor poziției punctului în orice sistem de coordonate.

Zero utilizat pe scară largă în fracțiile zecimale pentru a determina valorile locurilor „vide”, atât înainte, cât și după virgulă zecimală. În plus, i se asociază una dintre regulile fundamentale ale aritmeticii, care afirmă că zero nu poate fi divizat. Logica sa, strict vorbind, provine din însăși esența acestui număr: într-adevăr, este imposibil să ne imaginăm că o valoare diferită de el (și și ea însuși) ar fi împărțită în „nimic”.

CU zero se efectuează toate operațiile aritmetice, iar ca „parteneri” săi pot folosi numere întregi, fracții ordinare și zecimale și toate pot avea atât valori pozitive, cât și negative. Să dăm exemple de implementare a acestora și câteva explicații pentru ele.

Când adăugați zero la un anumit număr (atât întreg, cât și fracționar, atât pozitiv, cât și negativ), valoarea acestuia rămâne absolut neschimbată.

douăzeci și patru în plus zero este egal cu douăzeci și patru.

Şaptesprezece virgulă trei optimi plus zero este egal cu șaptesprezece virgulă trei optimi.

• Formulare de declarație fiscală Vă aducem la cunoștință formulare de declarație pentru toate tipurile de impozite și taxe: 1. Impozit pe venit. Atentie, incepand cu data de 10 februarie 2014, rapoartele privind impozitul pe venit se depun utilizand noi modele de declaratii aprobate prin Ordinul Ministerului Veniturilor nr. 872 din 30 decembrie 2013.1. 1. Declarație fiscală pentru […]
• Sumă pătrată Reguli de diferență cu pătrat Scop: Deduceți formule pentru punerea la pătrat a sumei și diferențelor expresiilor. Rezultate planificate: învață să folosești formulele pătratului sumei și pătratului diferenței. Tip lecție: lecție de prezentare a problemelor. I. Comunicarea temei și a scopului lecției II. Lucrați pe tema lecției La înmulțirea [...]
• Care este diferența dintre privatizarea unui apartament cu copii minori și privatizarea fără copii? Particularități ale participării lor, documente Orice tranzacție imobiliară necesită o atenție deosebită a participanților. Mai ales dacă intenționați să privatizați un apartament cu copii minori. Pentru ca acesta să fie recunoscut ca valabil și [...]
• Valoarea taxei de stat pentru un pașaport internațional de stil vechi pentru un copil sub 14 ani și unde să o plătească.Depunerea la agențiile guvernamentale pentru a primi orice serviciu este întotdeauna însoțită de plata unei taxe de stat. Pentru a obține un pașaport străin, trebuie să plătiți și o taxă federală. Cât este dimensiunea [...]
• Cum se completează un formular de cerere pentru înlocuirea pașaportului la 45 de ani Pașapoartele rușilor trebuie înlocuite la împlinirea vârstei de 20 sau 45 de ani. Pentru a primi un serviciu public, trebuie să depuneți o cerere după formularul stabilit, să atașați documentele necesare și să plătiți statului […]
• Cum și unde să oficializezi un act de cadou pentru o cotă într-un apartament Mulți cetățeni se confruntă cu o procedură legală precum donarea de bunuri imobiliare care se află în proprietate comună. Există destul de multe informații despre cum să întocmești corect un act de cadou pentru o cotă într-un apartament și nu este întotdeauna de încredere. Inainte sa incepi, [...]

Zero în sine este un număr foarte interesant. Prin ea însăși înseamnă gol, lipsă de sens, iar lângă un alt număr își mărește semnificația de 10 ori. Orice numere la puterea zero da întotdeauna 1. Acest semn a fost folosit în civilizația mayașă și, de asemenea, denota conceptul de „început, cauză”. Chiar și calendarul a început cu ziua zero. Această cifră este, de asemenea, asociată cu o interdicție strictă.

Încă din anii noștri de școală elementară, cu toții am învățat clar regula „nu poți împărți la zero”. Dar dacă în copilărie iei o mulțime de lucruri pe credință și cuvintele unui adult trezesc rareori îndoieli, atunci de-a lungul timpului uneori tot vrei să înțelegi motivele, să înțelegi de ce au fost stabilite anumite reguli.

De ce nu poți împărți la zero? Aș dori să obțin o explicație logică clară pentru această întrebare. În clasa întâi, profesorii nu puteau face acest lucru, pentru că la matematică regulile sunt explicate folosind ecuații, iar la acea vârstă nu aveam idee despre ce este. Și acum este timpul să vă dați seama și să obțineți o explicație logică clară a motivului pentru care nu puteți împărți la zero.

Cert este că în matematică, doar două din cele patru operații de bază (+, -, x, /) cu numere sunt recunoscute ca independente: înmulțirea și adunarea. Operațiunile rămase sunt considerate derivate. Să ne uităm la un exemplu simplu.

Spune-mi, cât primești dacă scazi 18 din 20? Desigur, răspunsul ne apare imediat în cap: va fi 2. Cum am ajuns la acest rezultat? Această întrebare va părea ciudată pentru unii - la urma urmei, totul este clar că rezultatul va fi 2, cineva va explica că a luat 18 din 20 de copeici și a primit două copeici. În mod logic, toate aceste răspunsuri nu sunt puse la îndoială, dar din punct de vedere matematic, această problemă ar trebui rezolvată altfel. Să ne amintim încă o dată că principalele operații din matematică sunt înmulțirea și adunarea și, prin urmare, în cazul nostru răspunsul constă în rezolvarea următoarei ecuații: x + 18 = 20. Din care rezultă că x = 20 - 18, x = 2 . S-ar părea, de ce să descrii totul atât de detaliat? La urma urmei, totul este atât de simplu. Cu toate acestea, fără aceasta, este dificil de explicat de ce nu poți împărți la zero.

Acum să vedem ce se întâmplă dacă vrem să împărțim 18 la zero. Să creăm din nou ecuația: 18: 0 = x. Deoarece operația de împărțire este o derivată a procedurii de înmulțire, transformând ecuația noastră obținem x * 0 = 18. Aici începe punctul mort. Orice număr în locul lui X atunci când este înmulțit cu zero va da 0 și nu vom putea obține 18. Acum devine extrem de clar de ce nu poți împărți la zero. Zero în sine poate fi împărțit la orice număr, dar invers - din păcate, este imposibil.

Ce se întâmplă dacă împărțiți zero la sine? Aceasta poate fi scrisă după cum urmează: 0: 0 = x, sau x * 0 = 0. Această ecuație are un număr infinit de soluții. Prin urmare, rezultatul final este infinitul. Prin urmare, nici operațiunea în acest caz nu are sens.

Împărțirea cu 0 este la baza multor glume matematice imaginare care pot fi folosite pentru a nedumeri orice persoană ignorantă, dacă se dorește. De exemplu, luăm în considerare ecuația: 4*x - 20 = 7*x - 35. Să luăm 4 dintre paranteze în partea stângă și 7 în dreapta. Obținem: 4*(x - 5) = 7*(x - 5). Acum să înmulțim părțile stânga și dreaptă ale ecuației cu fracția 1 / (x - 5). Ecuația va lua următoarea formă: 4*(x - 5)/(x - 5) = 7*(x - 5)/ (x - 5). Să reducem fracțiile cu (x - 5) și rezultă că 4 = 7. De aici putem concluziona că 2*2 = 7! Desigur, problema aici este că este egal cu 5 și a fost imposibil să anulați fracții, deoarece acest lucru a dus la împărțirea la zero. Prin urmare, atunci când reduceți fracții, trebuie să verificați întotdeauna că un zero nu ajunge accidental la numitor, altfel rezultatul va fi complet imprevizibil.

Numărul în matematică zero ocupă un loc aparte. Faptul este că, în esență, înseamnă „nimic”, „gol”, dar semnificația sa este cu adevărat greu de supraestimat. Pentru a face acest lucru, este suficient să vă amintiți cel puțin cu ce anume marca zeroși începe numărarea coordonatelor poziției punctului în orice sistem de coordonate.

Zero utilizat pe scară largă în fracțiile zecimale pentru a determina valorile locurilor „vide”, atât înainte, cât și după virgulă zecimală. În plus, i se asociază una dintre regulile fundamentale ale aritmeticii, care afirmă că zero nu poate fi divizat. Logica sa, strict vorbind, provine din însăși esența acestui număr: într-adevăr, este imposibil să ne imaginăm că o valoare diferită de el (și și ea însuși) ar fi împărțită în „nimic”.

Exemple de calcul

CU zero se efectuează toate operațiile aritmetice, iar ca „parteneri” săi pot folosi numere întregi, fracții ordinare și zecimale și toate pot avea atât valori pozitive, cât și negative. Să dăm exemple de implementare a acestora și câteva explicații pentru ele.

PLUS

Când adăugați zero la un anumit număr (atât întreg, cât și fracționar, atât pozitiv, cât și negativ), valoarea acestuia rămâne absolut neschimbată.

Exemplul 1

douăzeci și patru în plus zero este egal cu douăzeci și patru.

Exemplul 2

Şaptesprezece virgulă trei optimi plus zero este egal cu șaptesprezece virgulă trei optimi.

MULTIPLICARE

Când înmulțiți orice număr (întreg, fracție, pozitiv sau negativ) cu zero se dovedește zero.

Exemplul 1

De cinci sute optzeci și șase de ori zero egală zero.

Exemplul 2

Zeroînmulțit cu o sută treizeci și cinci virgulă șase șapte egali zero.

Exemplul 3

Zeroînmulțit cu zero egală zero.

DIVIZIA

Regulile de împărțire a numerelor între ele în cazurile în care unul dintre ele este zero diferă în funcție de rolul pe care îl joacă zeroul însuși: un dividend sau un divizor?

În cazurile în care zero reprezintă dividendul, rezultatul este întotdeauna egal cu acesta, indiferent de valoarea divizorului.

Exemplul 1

Zeroîmpărțit la două sute șaizeci și cinci egali zero.

Exemplul 2

Zeroîmpărțit la șaptesprezece cinci sute nouăzeci și șase egali zero.

0:

= 0

Divide zero la zero Conform regulilor matematicii, este imposibil. Aceasta înseamnă că atunci când se efectuează o astfel de procedură, coeficientul este incert. Astfel, în teorie, poate reprezenta absolut orice număr.

0: 0 = 8 deoarece 8 × 0 = 0

La matematică există o problemă de genul împărțirea lui zero la zero, nu are niciun sens, deoarece rezultatul său este o mulțime infinită. Această afirmație este totuși adevărată dacă nu sunt furnizate date suplimentare care ar putea afecta rezultatul final.

Acestea, dacă sunt prezente, ar trebui să constea în indicarea gradului de modificare a mărimii dividendului și a divizorului și chiar înainte de momentul în care s-au transformat în zero. Dacă aceasta este definită, atunci o expresie precum zeroîmparte la zero, în marea majoritate a cazurilor se pot atașa unele semnificații.

Impartirea cu zero la matematică, diviziune în care divizorul este zero. O astfel de împărțire poate fi scrisă formal ⁄ 0, unde este dividendul.

În aritmetica obișnuită (cu numere reale), această expresie nu are sens, deoarece:

• pentru ≠ 0 nu există un număr care, atunci când este înmulțit cu 0, să dea, prin urmare niciun număr nu poate fi luat ca coeficient ⁄ 0;
• la = 0, împărțirea la zero este, de asemenea, nedefinită, deoarece orice număr atunci când este înmulțit cu 0 dă 0 și poate fi luat ca coeficient 0 ⁄ 0.

Din punct de vedere istoric, una dintre primele referiri la imposibilitatea matematică a atribuirii valorii ⁄ 0 este cuprinsă în critica lui George Berkeley a calculului infinitezimal.

Erori logice

Deoarece atunci când înmulțim orice număr cu zero, obținem întotdeauna zero ca rezultat, atunci când împărțim ambele părți ale expresiei × 0 = × 0, ceea ce este adevărat indiferent de valoarea lui și, cu 0 obținem expresia =, care este incorectă în cazul variabilelor specificate în mod arbitrar. Deoarece zero poate fi specificat nu în mod explicit, ci sub forma unei expresii matematice destul de complexe, de exemplu sub forma diferenței a două valori reduse una la alta prin transformări algebrice, o astfel de diviziune poate fi o eroare destul de neevidentă. Introducerea imperceptibilă a unei astfel de diviziuni în procesul de demonstrare pentru a arăta identitatea unor cantități evident diferite, dovedind astfel orice afirmație absurdă, este una dintre varietățile sofismului matematic.

În informatică

În programare, în funcție de limbajul de programare, tipul de date și valoarea dividendului, încercarea de a împărți la zero poate avea consecințe diferite. Consecințele împărțirii la zero în aritmetica întregă și reală sunt fundamental diferite:

• Atentat, încercare întregÎmpărțirea la zero este întotdeauna o eroare critică care face imposibilă execuția ulterioară a programului. Fie lansează o excepție (pe care programul o poate gestiona singur, evitând astfel o blocare), fie determină oprirea imediată a programului, afișând un mesaj de eroare necorectabil și, eventual, conținutul stivei de apeluri. În unele limbaje de programare, cum ar fi Go, împărțirea întregului cu o constantă zero este considerată o eroare de sintaxă și determină compilarea anormală a programului.
• ÎN real consecințele aritmetice pot fi diferite în diferite limbi:

• aruncarea unei excepții sau oprirea programului, ca în cazul împărțirii întregi;
• obţinerea unei valori speciale nenumerice ca urmare a unei operaţii. În acest caz, calculele nu sunt întrerupte, iar rezultatul lor poate fi interpretat ulterior de programul însuși sau de utilizator ca o valoare semnificativă sau ca dovadă a calculelor incorecte. Un principiu utilizat pe scară largă este că, atunci când împărțim ca ⁄ 0, unde ≠ 0 este un număr în virgulă mobilă, rezultatul este egal cu pozitiv sau negativ (în funcție de semnul dividendului) infinit - sau, iar când = 0 rezultatul este un valoare specială NaN (abrev. . din engleză „not a number” - „not a number”). Această abordare este adoptată în standardul IEEE 754, care este susținut de multe limbaje de programare moderne.

Împărțirea accidentală cu zero într-un program de calculator poate provoca uneori defecțiuni costisitoare sau periculoase în hardware-ul controlat de program. De exemplu, la 21 septembrie 1997, ca urmare a unei împărțiri cu zero în sistemul de control computerizat al crucișatorului USS Yorktown (CG-48), toate echipamentele electronice din sistem s-au oprit, determinând sistemul de propulsie al navei să se oprească. opriți funcționarea.

Vezi si

Note

Funcția = 1 ⁄ . Când tinde spre zero din dreapta, tinde spre infinit; când tinde spre zero din stânga, tinde spre minus infinit

Dacă împărțiți orice număr la zero pe un calculator obișnuit, acesta vă va da litera E sau cuvântul Eroare, adică „eroare”.

Într-un caz similar, calculatorul de calculator scrie (în Windows XP): „Diviziunea la zero este interzisă”.

Totul este în concordanță cu regula cunoscută de la școală că nu poți împărți la zero.

Să ne dăm seama de ce.

Împărțirea este operația matematică inversă înmulțirii. Împărțirea se determină prin înmulțire.

Împărțiți un număr A(divizibil, de exemplu 8) după număr b(divizor, de exemplu numărul 2) - înseamnă găsirea unui astfel de număr X(cot), atunci când este înmulțit cu un divizor b rezultă dividendul A(4 2 = 8), adică Aîmparte la bînseamnă rezolvarea ecuaţiei x · b = a.

Ecuația a: b = x este echivalentă cu ecuația x · b = a.

Înlocuim împărțirea cu înmulțirea: în loc de 8: 2 = x scriem x · 2 = 8.

8: 2 = 4 este echivalent cu 4 2 = 8

18: 3 = 6 este echivalent cu 6 3 = 18

20: 2 = 10 este echivalent cu 10 2 = 20

Rezultatul împărțirii poate fi întotdeauna verificat prin înmulțire. Rezultatul înmulțirii unui divizor cu un coeficient trebuie să fie dividendul.

Să încercăm să împărțim la zero în același mod.

De exemplu, 6: 0 = ... Trebuie să găsim un număr care, înmulțit cu 0, va da 6. Dar știm că atunci când este înmulțit cu zero, obținem întotdeauna zero. Nu există un număr care, înmulțit cu zero, să dea altceva decât zero.

Când se spune că împărțirea la zero este imposibilă sau interzisă, înseamnă că nu există un număr care să corespundă rezultatului unei astfel de împărțiri (împărțirea la zero este posibilă, dar împărțirea nu este :)).

De ce se spune la școală că nu poți împărți la zero?

Prin urmare în definiție operația de împărțire a a la b subliniază imediat faptul că b ≠ 0.

Dacă tot ceea ce scrie mai sus ți s-a părut prea complicat, atunci încearcă doar: a împărți 8 la 2 înseamnă a afla câți doi trebuie să faci pentru a obține 8 (răspuns: 4). Împărțirea a 18 la 3 înseamnă a afla câți trei trebuie să luați pentru a obține 18 (răspuns: 6).

Împărțirea a 6 la zero înseamnă a afla câte zerouri trebuie să luați pentru a obține 6. Indiferent de câte zerouri luați, veți obține totuși un zero, dar nu veți obține niciodată 6, adică împărțirea la zero este nedefinită.

Un rezultat interesant se obține dacă încercați să împărțiți un număr la zero pe un calculator Android. Ecranul va afișa ∞ (infinit) (sau - ∞ dacă se împarte la un număr negativ). Acest rezultat este incorect deoarece numărul ∞ nu există. Aparent, programatorii au confundat operații complet diferite - împărțirea numerelor și găsirea limitei unei secvențe de numere n/x, unde x → 0. Când împărțim zero la zero, se va scrie NaN (Nu este un număr).

„Nu poți împărți la zero!” - Majoritatea școlarilor învață această regulă pe de rost, fără să pună întrebări. Toți copiii știu ce este „nu poți” și ce se va întâmpla dacă vei întreba ca răspuns: „De ce?” Dar, de fapt, este foarte interesant și important să știm de ce nu este posibil.

Chestia este că cele patru operații de aritmetică - adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea - sunt de fapt inegale. Matematicienii recunosc doar două dintre ele ca fiind valide: adunarea și înmulțirea. Aceste operații și proprietățile lor sunt incluse în însăși definiția conceptului de număr. Toate celelalte acțiuni sunt construite într-un fel sau altul din aceste două.

Luați în considerare, de exemplu, scăderea. Ce înseamnă 5 - 3 ? Elevul va răspunde simplu: trebuie să luați cinci obiecte, să luați (înlăturați) trei dintre ele și să vedeți câte au rămas. Dar matematicienii privesc această problemă cu totul diferit. Nu există scădere, există doar adunare. Prin urmare, intrarea 5 - 3 înseamnă un număr care, atunci când este adăugat unui număr 3 va da un număr 5 . Acesta este 5 - 3 este pur și simplu o versiune scurtă a ecuației: x + 3 = 5. Nu există nicio scădere în această ecuație.

Impartirea cu zero

Există doar o sarcină - să găsești un număr potrivit.

Același lucru este valabil și cu înmulțirea și împărțirea. Record 8: 4 poate fi înțeles ca rezultat al împărțirii a opt obiecte în patru grămezi egale. Dar, în realitate, aceasta este doar o formă scurtă a ecuației 4 x = 8.

Aici devine clar de ce este imposibil (sau mai degrabă imposibil) să se împartă la zero. Record 5: 0 este o abreviere pentru 0 x = 5. Adică, această sarcină este de a găsi un număr care, atunci când este înmulțit cu 0 va da 5 . Dar știm că atunci când este înmulțit cu 0 merge mereu 0 . Aceasta este o proprietate inerentă a lui zero, strict vorbind, parte a definiției sale.

Un astfel de număr încât, atunci când este înmulțit cu 0 va da altceva decât zero, pur și simplu nu există. Adică problema noastră nu are soluție. (Da, asta se întâmplă; nu orice problemă are o soluție.) Ceea ce înseamnă înregistrările 5: 0 nu corespunde unui anumit număr și pur și simplu nu înseamnă nimic și, prin urmare, nu are nicio semnificație. Lipsa de sens a acestei intrări este exprimată pe scurt spunând că nu puteți împărți la zero.

Cei mai atenți cititori din acest loc se vor întreba cu siguranță: este posibil să împărțim zero la zero?

Într-adevăr, ecuația 0 x = 0 rezolvat cu succes. De exemplu, puteți lua x = 0, și apoi obținem 0 0 = 0. Se dovedește 0: 0=0 ? Dar să nu ne grăbim. Să încercăm să luăm x = 1. Primim 0 1 = 0. Dreapta? Mijloace, 0: 0 = 1 ? Dar poți lua orice număr și poți obține 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 etc.

Dar dacă orice număr este potrivit, atunci nu avem niciun motiv să alegem unul dintre ele. Adică, nu putem spune cărui număr îi corespunde intrarea 0: 0 . Și dacă da, atunci suntem forțați să admitem că nici această intrare nu are sens. Se pare că nici măcar zero nu poate fi împărțit la zero. (În analiza matematică există cazuri când, din cauza unor condiții suplimentare ale problemei, se poate da preferință uneia dintre soluțiile posibile ale ecuației 0 x = 0; În astfel de cazuri, matematicienii vorbesc despre „dezvoltarea incertitudinii”, dar astfel de cazuri nu apar în aritmetică.)

Aceasta este particularitatea operațiunii de divizare. Mai exact, operația de înmulțire și numărul asociat acesteia au zero.

Ei bine, cei mai meticuloși, citind până aici, s-ar putea întreba: de ce se întâmplă să nu poți împărți la zero, dar să poți scădea zero? Într-un fel, aici începe matematica adevărată. Puteți răspunde numai prin familiarizarea cu definițiile matematice formale ale mulțimilor numerice și operațiile asupra acestora. Nu este atât de dificil, dar din anumite motive nu se predă la școală. Dar la cursurile de matematică de la universitate, asta vei fi predat în primul rând.

Funcția de divizare nu este definită pentru un interval în care divizorul este zero. Puteți împărți, dar rezultatul nu este sigur

Nu poți împărți la zero. gimnaziu clasa a 2-a matematică.

Dacă memoria îmi servește corect, atunci zero poate fi reprezentat ca o valoare infinitezimală, deci va exista infinit. Iar școala „zero - nimic” este doar o simplificare; sunt atât de multe în matematica școlii). Dar este imposibil fără ei, totul se va întâmpla la timp.

Conectați-vă pentru a scrie un răspuns

Impartirea cu zero

Coeficient din impartirea cu zero nu există alt număr decât zero.

Raționamentul aici este următorul: deoarece în acest caz niciun număr nu poate satisface definiția unui coeficient.

Să scriem, de exemplu,

Indiferent de numărul pe care îl încercați (să zicem, 2, 3, 7), nu este potrivit pentru că:

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

Ce se întâmplă dacă împărțiți la 0?

etc., dar trebuie să obțineți 2,3,7 în produs.

Putem spune că problema împărțirii unui număr diferit de zero la zero nu are soluție. Cu toate acestea, un număr altul decât zero poate fi împărțit la un număr cât se dorește de aproape de zero și, cu cât divizorul este mai aproape de zero, cu atât este mai mare câtul. Deci, dacă împărțim 7 la

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

apoi obținem coeficientii 70, 700, 7000, 70.000 etc., care cresc fără limită.

Prin urmare, ei spun adesea că câtul lui 7 împărțit la 0 este „infinit de mare” sau „egal cu infinit” și scrie

\[ 7: 0 = \infin \]

Sensul acestei expresii este că dacă divizorul se apropie de zero și dividendul rămâne egal cu 7 (sau se apropie de 7), atunci coeficientul crește fără limită.