Cum se rezolvă adunarea și scăderea fracțiilor. Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu numitori diferiți (reguli de bază, cazuri cele mai simple)

Notă!Înainte de a vă scrie răspunsul final, vedeți dacă puteți scurta fracția primită.

Scăderea fracțiilor din aceiași numitori,exemple:

,

,

Scăderea unei fracții adecvate din una.

Dacă este necesară scăderea unei fracții dintr-o unitate care este proprie, unitatea este convertită în forma unei fracții improprie, numitorul ei este egal cu numitorul fracției scăzute.

Un exemplu de scădere a unei fracții adecvate din una:

Numitorul fracției de scăzut = 7 , adică reprezentăm una ca o fracție improprie 7/7 și o scădem conform regulii de scădere a fracțiilor cu numitori similari.

Scăderea unei fracții adecvate dintr-un număr întreg.

Reguli pentru scăderea fracțiilor - corect de la un număr întreg (numar natural):

• Transformăm fracțiile date care conțin o parte întreagă în unele improprii. Obținem termeni normali (nu contează dacă au numitori diferiți), pe care îi calculăm conform regulilor date mai sus;
• Apoi, calculăm diferența dintre fracțiile pe care le-am primit. Ca urmare, aproape vom găsi răspunsul;
• Efectuăm transformarea inversă, adică scăpăm de fracția improprie - selectăm întreaga parte din fracție.

Scădeți o fracție proprie dintr-un număr întreg: reprezentați numărul natural ca număr mixt. Acestea. Luăm o unitate într-un număr natural și o transformăm în forma unei fracții improprie, numitorul fiind același cu cel al fracției scăzute.

Exemplu de scădere a fracțiilor:

În exemplu, am înlocuit una cu fracția improprie 7/7 și în loc de 3 am notat un număr mixt și am scăzut o fracție din partea fracțională.

Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.

Sau, altfel spus, scăderea diferitelor fracții.

Regula pentru scăderea fracțiilor cu numitori diferiți. Pentru a scădea fracții cu numitori diferiți, este necesar, mai întâi, să reduceți aceste fracții la cel mai mic numitor comun (LCD) și abia după aceasta, să efectuați scăderea ca și la fracțiile cu aceiași numitori.

Numitorul comun al mai multor fracții este LCM (cel mai mic multiplu comun) numere naturale care sunt numitorii acestor fracții.

Atenţie! Dacă în fracția finală numărătorul și numitorul au factori comuni, atunci fracția trebuie redusă. O fracție improprie poate fi mai bine reprezentată ca fracție mixtă. Lăsarea rezultatului scăderii fără reducerea fracției acolo unde este posibil este o soluție incompletă a exemplului!

Procedura de scădere a fracțiilor cu numitori diferiți.

• găsiți LCM pentru toți numitorii;
• puneți factori suplimentari pentru toate fracțiile;
• înmulțiți toți numărătorii cu un factor suplimentar;
• Scriem produsele rezultate la numărător, semnând numitorul comun sub toate fracțiile;
• scădeți numărătorii fracțiilor, semnând numitorul comun sub diferență.

În același mod, adunarea și scăderea fracțiilor se efectuează dacă există litere în numărător.

Scăderea fracțiilor, exemple:

Scăderea fracțiilor mixte.

La scăderea fracțiilor mixte (numerele) separat, partea întreagă este scăzută din partea întreagă, iar partea fracțională este scăzută din partea fracțională.

Prima opțiune pentru scăderea fracțiilor mixte.

Dacă părțile fracționale aceeași numitorii și numărătorul părții fracționale a minuendului (o scădem din el) ≥ numărătoarea părții fracționale a subtraendului (o scădem).

De exemplu:

A doua opțiune pentru scăderea fracțiilor mixte.

Când părțile fracționate diferit numitori. Pentru început, aducem la numitor comun părți fracționale, iar după aceea scădem o parte întreagă dintr-un întreg și o fracție dintr-o fracție.

De exemplu:

A treia opțiune pentru scăderea fracțiilor mixte.

Partea fracționară a minuendului este mai mică decât partea fracționară a subtraendului.

Exemplu:

Deoarece Părțile fracționale au numitori diferiți, ceea ce înseamnă, ca și în a doua opțiune, mai întâi aducem fracțiile obișnuite la un numitor comun.

Numătorul părții fracționale a minuendului este mai mic decât numărătorul părții fracționale a subtraendului.3 < 14. Aceasta înseamnă că luăm o unitate din întreaga parte și reducem această unitate la forma unei fracții improprie cu același numitor și numărător = 18.

În numărătorul din dreapta scriem suma numărătorilor, apoi deschidem parantezele din numărătorul din dreapta, adică înmulțim totul și dăm altele asemănătoare. Nu deschidem parantezele la numitor. Se obișnuiește să lăsați produsul în numitori. Primim:

Fracțiile mixte, la fel ca fracțiile simple, pot fi scăzute. Pentru a scădea numere mixte de fracții trebuie să cunoașteți mai multe reguli de scădere. Să studiem aceste reguli cu exemple.

Scăderea fracțiilor mixte cu numitori similari.

Să luăm în considerare un exemplu cu condiția ca întregul fiind redus și partea fracțională să fie mai mari decât întregul și, respectiv, părțile fracționale scăzute. În astfel de condiții, scăderea are loc separat. Scădem partea întreagă din întreaga parte, iar partea fracțională din partea fracțională.

Să ne uităm la un exemplu:

Scădeți fracțiile mixte \(5\frac(3)(7)\) și \(1\frac(1)(7)\).

\(5\frac(3)(7)-1\frac(1)(7) = (5-1) + (\frac(3)(7)-\frac(1)(7)) = 4\ frac(2)(7)\)

Corectitudinea scăderii se verifică prin adunare. Să verificăm scăderea:

\(4\frac(2)(7)+1\frac(1)(7) = (4 + 1) + (\frac(2)(7) + \frac(1)(7)) = 5\ frac(3)(7)\)

Să luăm în considerare un exemplu cu condiția când partea fracționară a minuendului este mai mică decât partea fracționară corespunzătoare a subtraendului. În acest caz, împrumutăm unul din întreg în minuend.

Să ne uităm la un exemplu:

Scădeți fracțiile mixte \(6\frac(1)(4)\) și \(3\frac(3)(4)\).

Minuendul \(6\frac(1)(4)\) are o parte fracțională mai mică decât partea fracțională a subtraendului \(3\frac(3)(4)\). Adică \(\frac(1)(4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)

\(\begin(align)&6\frac(1)(4)-3\frac(3)(4) = (6 + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (1) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (\frac(4)(4)) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \frac(5)(4))-3\frac(3)(4) = \\\\ &= 5\frac(5)(4)-3\frac(3)(4) = 2\frac(2)(4) = 2\frac(1)(4)\\\\ \end(align)\)

Următorul exemplu:

\(7\frac(8)(19)-3 = 4\frac(8)(19)\)

Scăderea unei fracții mixte dintr-un număr întreg.

Exemplu: \(3-1\frac(2)(5)\)

Minuendul 3 nu are o parte fracțională, așa că nu putem scădea imediat. Să împrumutăm unul din întreaga parte a lui 3 și apoi să facem scăderea. Vom scrie unitatea ca \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac(5)(5) = 2\frac(5)(5)\)

\(3-1\frac(2)(5)= (2 + \color(red) (1))-1\frac(2)(5) = (2 + \color(red) (\frac(5) )(5)))-1\frac(2)(5) = 2\frac(5)(5)-1\frac(2)(5) = 1\frac(3)(5)\)

Scăderea fracțiilor mixte cu numitori diferiți.

Să luăm în considerare un exemplu cu condiția ca părțile fracționale ale minuendului și subtraendului să aibă numitori diferiți. Trebuie să îl aduceți la un numitor comun și apoi să efectuați scăderea.

Scădeți două fracții mixte cu numitori diferiți \(2\frac(2)(3)\) și \(1\frac(1)(4)\).

Numitorul comun va fi numărul 12.

\(2\frac(2)(3)-1\frac(1)(4) = 2\frac(2 \times \color(red) (4))(3 \times \color(red) (4) )-1\frac(1 \times \color(red) (3))(4 \times \color(red) (3)) = 2\frac(8)(12)-1\frac(3)(12 ) = 1\frac(5)(12)\)

Întrebări înrudite:
Cum se scad fracțiile mixte? Cum se rezolvă fracțiile mixte?
Răspuns: trebuie să decideți ce tip de expresie aparține și să aplicați algoritmul de soluție în funcție de tipul de expresie. Din partea întreagă scădem numărul întreg, din partea fracțională scădem partea fracțională.

Cum se scade o fracție dintr-un număr întreg? Cum se scade o fracție dintr-un număr întreg?
Răspuns: trebuie să luați o unitate dintr-un număr întreg și să scrieți această unitate ca o fracție

\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac(7)(7) = 3\frac(7)(7)\),

și apoi scădeți întregul din întreg, scădeți partea fracțională din partea fracțională. Exemplu:

\(4-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (1))-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (\frac(7) )(7)))-2\frac(3)(7) = 3\frac(7)(7)-2\frac(3)(7) = 1\frac(4)(7)\)

Exemplul #1:
Scădeți o fracție proprie din una: a) \(1-\frac(8)(33)\) b) \(1-\frac(6)(7)\)

Soluţie:
a) Să ne imaginăm una ca o fracție cu numitorul 33. Se obține \(1 = \frac(33)(33)\)

\(1-\frac(8)(33) = \frac(33)(33)-\frac(8)(33) = \frac(25)(33)\)

b) Să ne imaginăm una ca o fracție cu numitorul 7. Se obține \(1 = \frac(7)(7)\)

\(1-\frac(6)(7) = \frac(7)(7)-\frac(6)(7) = \frac(7-6)(7) = \frac(1)(7) \)

Exemplul #2:
Scădeți o fracție mixtă dintr-un număr întreg: a) \(21-10\frac(4)(5)\) b) \(2-1\frac(1)(3)\)

Soluţie:
a) Să împrumutăm 21 de unități din întreg și să-l scriem astfel \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac(5)(5) = 20\frac(5)(5)\)

\(21-10\frac(4)(5) = (20 + 1)-10\frac(4)(5) = (20 + \frac(5)(5))-10\frac(4)( 5) = 20\frac(5)(5)-10\frac(4)(5) = 10\frac(1)(5)\\\\\)

b) Să luăm unul din întregul 2 și să îl scriem astfel \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac(3)(3) = 1\frac(3)(3)\)

\(2-1\frac(1)(3) = (1 + 1)-1\frac(1)(3) = (1 + \frac(3)(3))-1\frac(1)( 3) = 1\frac(3)(3)-1\frac(1)(3) = \frac(2)(3)\\\\\)

Exemplul #3:
Scădeți un număr întreg dintr-o fracție mixtă: a) \(15\frac(6)(17)-4\) b) \(23\frac(1)(2)-12\)

a) \(15\frac(6)(17)-4 = 11\frac(6)(17)\)

b) \(23\frac(1)(2)-12 = 11\frac(1)(2)\)

Exemplul #4:
Scădeți o fracție proprie dintr-o fracție mixtă: a) \(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5)\)

\(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5) = 1\\\\\)

Exemplul #5:
Calculați \(5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8)\)

\(\begin(align)&5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8) = 5\frac(5)(16)-3\frac(3 \times \color(red) ( 2))(8 \times \color(red) (2)) = 5\frac(5)(16)-3\frac(6)(16) = (5 + \frac(5)(16))- 3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (1) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = \\\\ &= (4 + \color(red) (\frac(16)(16)) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (\frac(21) )(16)))-3\frac(3)(8) = 4\frac(21)(16)-3\frac(6)(16) = 1\frac(15)(16)\\\\ \end(align)\)

Această lecție va acoperi adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu numitori similari. Știm deja cum să adunăm și să scădem fracții comune cu numitori similari. Se pare că fracțiile algebrice urmează aceleași reguli. A învăța să lucrezi cu fracții cu numitori similari este una dintre pietrele de temelie ale învățării cum să lucrezi cu fracții algebrice. În special, înțelegerea acestui subiect va face ușor să stăpânești mai mult subiect dificil- adunarea si scaderea fractiilor cu numitori diferiti. Ca parte a lecției, vom studia regulile de adunare și scădere a fracțiilor algebrice cu numitori similari și, de asemenea, vom analiza o serie de exemple tipice

Regula pentru adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu numitori similari

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih fracții de la one-on-to-you -mi know-me-na-te-la-mi (coincide cu regula analogă pentru lovituri obișnuite): Adică pentru adăugarea sau calcularea fracțiilor al-geb-ra-i-che-skih cu unu-to-you know-me-on-the-la-mi necesar -ho-di-mo-compilați o al-geb-ra-i-che-sum corespunzătoare de numere, iar semnul-me-na-tel pleacă fără niciunul.

Înțelegem această regulă atât pentru exemplul ven-draws obișnuiți, cât și pentru exemplul al-geb-ra-i-che-draws.

Exemple de aplicare a regulii pentru fracțiile ordinare

Exemplul 1. Adăugați fracții: .

Soluţie

Să adunăm numărul de fracții și să lăsăm semnul același. După aceasta, descompunem numărul și semnăm în multiplicități și combinații simple. Sa o luam: .

Notă: o eroare standard care este permisă atunci când se rezolvă tipuri similare de exemple, pentru -klu-cha-et-sya în următoarea soluție posibilă: . Aceasta este o greșeală gravă, deoarece semnul rămâne același ca în fracțiile originale.

Exemplul 2. Adăugați fracții: .

Soluţie

Acesta nu este cu nimic diferit de precedentul: .

Exemple de aplicare a regulii pentru fracțiile algebrice

De la dro-beat-uri obișnuite, trecem la al-geb-ra-i-che-skim.

Exemplul 3. Adunarea fracțiilor: .

Soluție: așa cum am menționat deja mai sus, compoziția fracțiunilor al-geb-ra-i-che nu este în niciun fel diferită de cuvântul la fel ca și luptele obișnuite. Prin urmare, metoda de rezolvare este aceeași: .

Exemplul 4. Tu ești fracția: .

Soluţie

You-chi-ta-nie a fracțiilor al-geb-ra-i-che-skih din adunare numai prin faptul că în numărul pi-sy-va-et-sya diferența în numărul de fracții utilizate. De aceea .

Exemplul 5. Tu ești fracția: .

Soluție: .

Exemplul 6. Simplificați: .

Soluție: .

Exemple de aplicare a regulii urmate de reducere

Într-o fracție care are aceeași semnificație în rezultatul combinării sau calculării, combinațiile sunt posibile nia. În plus, nu trebuie să uitați de ODZ al fracțiilor al-geb-ra-i-che-skih.

Exemplul 7. Simplificați: .

Soluție: .

în care . În general, dacă ODZ a fracțiilor inițiale coincide cu ODZ a totalului, atunci poate fi omis (la urma urmei, fracția se află în răspuns, nu va exista nici cu modificările semnificative corespunzătoare). Dar dacă ODZ al fracțiilor utilizate și răspunsul nu se potrivesc, atunci ODZ trebuie indicat.

Exemplul 8. Simplificați: .

Soluție: . În același timp, y (ODZ a fracțiilor inițiale nu coincide cu ODZ a rezultatului).

Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

Pentru a adăuga și a citi fracții al-geb-ra-i-che-cu diferite cunoștințe pe-la-mi, facem ana-lo -giyu cu fracții obișnuite-ven-ny și le transferăm în al-geb -ra-i-che-fractions.

Să ne uităm la cel mai simplu exemplu pentru fracțiile obișnuite.

Exemplul 1. Adăugați fracții: .

Soluţie:

Să ne amintim regulile de adunare a fracțiilor. Pentru a începe cu o fracție, este necesar să o aduceți la un semn comun. În rolul unui semn general pentru fracțiile obișnuite, acționezi cel mai mic multiplu comun(NOK) semne inițiale.

Definiție

Cel mai mic număr, care se împarte în același timp în numere și.

Pentru a găsi NOC, trebuie să descompuneți cunoștințele în seturi simple și apoi să selectați tot ce sunt multe, care sunt incluse în împărțirea ambelor semne.

; . Atunci LCM-ul numerelor trebuie să includă doi doi și doi trei: .

După găsirea cunoștințelor generale, este necesar ca fiecare dintre fracții să găsească un rezident de multiplicitate completă (de fapt, de fapt, să turnăm semnul comun pe semnul fracției corespunzătoare).

Apoi fiecare fracție este înmulțită cu un factor pe jumătate. Să luăm câteva fracții din aceleași pe care le cunoașteți, să le adunăm și să le citim. - studiate în lecțiile anterioare.

Hai sa mancam: .

Răspuns:.

Să ne uităm acum la compoziția fracțiilor al-geb-ra-i-che cu semne diferite. Acum să ne uităm la fracții și să vedem dacă există numere.

Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu numitori diferiți

Exemplul 2. Adăugați fracții: .

Soluţie:

Al-go-ritmul deciziei ab-so-lyut-dar ana-lo-gi-chen la exemplul anterior. Este ușor să luați semnul comun al fracțiilor date: și multiplicatori suplimentari pentru fiecare dintre ele.

.

Răspuns:.

Deci, hai să ne formăm al-go-ritmul de adunare și de calcul al fracțiilor al-geb-ra-i-che-skih cu semne diferite:

1. Găsiți cel mai mic semn comun al fracției.

2. Găsiți multiplicatori suplimentari pentru fiecare dintre fracții (într-adevăr, semnul comun al semnului este dat -a fracție).

3. Până la mai multe numere pe multiplicitățile corespunzătoare până la maxim.

4. Adaugă sau calculează fracții, folosind regulile de compus și calcul al fracțiilor cu aceleași cunoștințe -me-na-te-la-mi.

Acum să ne uităm la un exemplu cu fracții, în semnul căruia sunt litere tu -nia.

Conținutul lecției

Adunarea fracțiilor cu numitori similari

Există două tipuri de adunări de fracții:

1. Adunarea fracțiilor cu numitori similari
2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

Mai întâi, să învățăm adunarea fracțiilor cu numitori similari. Totul este simplu aici. Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat. De exemplu, să adăugăm fracțiile și . Adăugați numărătorii și lăsați numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în patru părți. Dacă adăugați pizza la pizza, obțineți pizza:

Exemplul 2. Adăugați fracții și .

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracție improprie. Când vine sfârșitul sarcinii, se obișnuiește să scapi de fracțiile improprii. Pentru a scăpa de o fracție necorespunzătoare, trebuie să selectați întreaga parte a acesteia. În cazul nostru, întreaga parte este ușor de izolat - doi împărțiți la doi egal cu unul:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim despre o pizza care este împărțită în două părți. Dacă adăugați mai multă pizza la pizza, obțineți o pizza întreagă:

Exemplul 3. Adăugați fracții și .

Din nou, adunăm numărătorii și lăsăm numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în trei părți. Dacă adăugați mai multă pizza la pizza, obțineți pizza:

Exemplul 4. Găsiți valoarea unei expresii

Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Număratorii trebuie adăugați și numitorul lăsat neschimbat:

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind un desen. Dacă adăugați pizza la o pizza și adăugați mai multe pizza, obțineți 1 pizza întreagă și mai multe pizza.

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:

1. Pentru a adăuga fracții cu același numitor, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat;

Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

Acum să învățăm cum să adunăm fracții cu numitori diferiți. Când se adună fracții, numitorii fracțiilor trebuie să fie aceiași. Dar nu sunt întotdeauna la fel.

De exemplu, fracțiile pot fi adăugate deoarece au aceiași numitori.

Dar fracțiile nu pot fi adăugate imediat, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

Există mai multe moduri de a reduce fracțiile la același numitor. Astăzi ne vom uita doar la una dintre ele, deoarece celelalte metode pot părea complicate pentru un începător.

Esența acestei metode este că mai întâi este căutat LCM-ul numitorilor ambelor fracții. LCM este apoi împărțit la numitorul primei fracții pentru a obține primul factor suplimentar. Ei fac același lucru cu a doua fracție - LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar.

Numătorii și numitorii fracțiilor sunt apoi înmulțiți cu factorii lor suplimentari. Ca urmare a acestor acțiuni, fracțiile care au numitori diferiți se transformă în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții.

Exemplul 1. Să adăugăm fracțiile și

În primul rând, găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 6

LCM (2 și 3) = 6

Acum să revenim la fracții și . Mai întâi, împărțiți LCM la numitorul primei fracții și obțineți primul factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțind 6 la 3, obținem 2.

Numărul rezultat 2 este primul multiplicator suplimentar. O notăm până la prima fracție. Pentru a face acest lucru, faceți o linie oblică mică peste fracție și notați factorul suplimentar găsit deasupra ei:

Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții și obținem al doilea factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Împărțind 6 la 2, obținem 3.

Numărul 3 rezultat este al doilea multiplicator suplimentar. O scriem la a doua fracție. Din nou, facem o linie oblică mică peste a doua fracție și notăm factorul suplimentar găsit deasupra ei:

Acum avem totul pregătit pentru adăugare. Rămâne să înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii lor suplimentari:

Privește cu atenție la ce am ajuns. Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții. Să luăm acest exemplu până la capăt:

Acest lucru completează exemplul. Se dovedește a adăuga.

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind un desen. Dacă adăugați pizza la o pizza, obțineți o pizza întreagă și o altă șesime dintr-o pizza:

Reducerea fracțiilor la același numitor (comun) poate fi, de asemenea, descrisă folosind o imagine. Reducând fracțiile și la un numitor comun, am obținut fracțiile și . Aceste două fracții vor fi reprezentate de aceleași bucăți de pizza. Singura diferență va fi că de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor).

Primul desen reprezintă o fracție (patru piese din șase), iar al doilea desen reprezintă o fracție (trei piese din șase). Adăugând aceste piese obținem (șapte bucăți din șase). Această fracție este improprie, așa că am evidențiat întreaga parte a ei. Drept urmare, am primit (o pizza întreagă și o altă pizza a șasea).

Vă rugăm să rețineți că am descris acest exemplu prea detaliat. În instituțiile de învățământ nu este obișnuit să scrieți atât de detaliat. Trebuie să puteți găsi rapid LCM-ul ambilor numitori și factori suplimentari la aceștia, precum și să înmulțiți rapid factorii suplimentari găsiți cu numărătorii și numitorii dvs. Dacă am fi la școală, ar trebui să scriem acest exemplu după cum urmează:

Dar există și o altă față a monedei. Dacă nu luați note detaliate în primele etape ale studiului matematicii, atunci încep să apară întrebări de acest fel. „De unde vine acel număr?”, „De ce fracțiile se transformă brusc în fracții complet diferite? «.

Pentru a facilita adăugarea fracțiilor cu numitori diferiți, puteți folosi următoarele instrucțiuni pas cu pas:

1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor;
2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un factor suplimentar pentru fiecare fracție;
3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari ai acestora;
4. Adaugă fracții care au aceiași numitori;
5. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga sa parte;

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii .

Să folosim instrucțiunile de mai sus.

Pasul 1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor

Aflați LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorii fracțiilor sunt numerele 2, 3 și 4

Pasul 2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un factor suplimentar pentru fiecare fracție

Împărțiți LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 2. Împărțim 12 la 2, obținem 6. Primul factor suplimentar este 6. Îl scriem deasupra primei fracții:

Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Obținem al doilea factor suplimentar 4. Îl scriem deasupra celei de-a doua fracții:

Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 4. Împărțim 12 la 4, obținem 3. Obținem al treilea factor suplimentar 3. Îl scriem deasupra celei de-a treia fracții:

Pasul 3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari ai acestora

Înmulțim numărătorii și numitorii cu factorii lor suplimentari:

Pasul 4. Adaugă fracții cu aceiași numitori

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori (comuni). Tot ce rămâne este să adunăm aceste fracții. Adaugă:

Adăugarea nu se potrivea pe o singură linie, așa că am mutat expresia rămasă pe următoarea linie. Acest lucru este permis la matematică. Când o expresie nu se încadrează pe o linie, ea este mutată pe următoarea linie și este necesar să se pună un semn egal (=) la sfârșitul primei rânduri și la începutul noii linii. Semnul egal de pe a doua linie indică faptul că aceasta este o continuare a expresiei care a fost pe prima linie.

Pasul 5. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga parte a acestuia

Răspunsul nostru s-a dovedit a fi o fracție improprie. Trebuie să evidențiem o întreagă parte din ea. Subliniem:

Am primit un răspuns

Scăderea fracțiilor cu numitori similari

Există două tipuri de scădere de fracții:

1. Scăderea fracțiilor cu numitori similari
2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

În primul rând, să învățăm cum să scădem fracții cu numitori similari. Totul este simplu aici. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții de la numărătorul primei fracții, dar numitorul rămâne același.

De exemplu, să găsim valoarea expresiei . Pentru a rezolva acest exemplu, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat. Să o facem:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în patru părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:

Exemplul 2. Găsiți valoarea expresiei.

Din nou, de la numărătorul primei fracții, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții și lăsați numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în trei părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:

Exemplul 3. Găsiți valoarea unei expresii

Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Din numărătorul primei fracții trebuie să scădeți numărătorii fracțiilor rămase:

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în scăderea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:

1. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat;
2. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, atunci trebuie să evidențiați întreaga parte a acestuia.

Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

De exemplu, puteți scădea o fracție dintr-o fracție deoarece fracțiile au aceiași numitori. Dar nu puteți scădea o fracție dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

Numitorul comun se găsește folosind același principiu pe care l-am folosit atunci când adunăm fracții cu numitori diferiți. În primul rând, găsiți LCM al numitorilor ambelor fracții. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar, care se scrie deasupra primei fracții. În mod similar, LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar, care este scris deasupra celei de-a doua fracții.

Fracțiile sunt apoi înmulțite cu factorii lor suplimentari. În urma acestor operații, fracțiile care au numitori diferiți sunt convertite în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții.

Exemplul 1. Găsiți sensul expresiei:

Aceste fracții au numitori diferiți, așa că trebuie să le reduceți la același numitor (comun).

Mai întâi găsim LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 12

LCM (3 și 4) = 12

Acum să revenim la fracții și

Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. Pentru a face acest lucru, împărțiți LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțiți 12 la 3, obținem 4. Scrieți un patru deasupra primei fracții:

Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Împărțiți 12 la 4, obținem 3. Scrieți un trei peste a doua fracție:

Acum suntem pregătiți pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să luăm acest exemplu până la capăt:

Am primit un răspuns

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind un desen. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza

Acest versiune detaliată solutii. Dacă am fi la școală, ar trebui să rezolvăm mai scurt acest exemplu. O astfel de soluție ar arăta astfel:

Reducerea fracțiilor la un numitor comun poate fi reprezentată și folosind o imagine. Reducând aceste fracții la un numitor comun, am obținut fracțiile și . Aceste fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza, dar de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor):

Prima imagine arată o fracție (opt bucăți din douăsprezece), iar a doua imagine arată o fracție (trei bucăți din douăsprezece). Tăiind trei bucăți din opt bucăți, obținem cinci bucăți din douăsprezece. Fracția descrie aceste cinci piese.

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Aceste fracții au numitori diferiți, așa că mai întâi trebuie să le reduceți la același numitor (comun).

Să găsim LCM al numitorilor acestor fracții.

Numitorii fracțiilor sunt numerele 10, 3 și 5. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Acum găsim factori suplimentari pentru fiecare fracție. Pentru a face acest lucru, împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții.

Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. LCM este numărul 30, iar numitorul primei fracții este numărul 10. Împărțim 30 la 10, obținem primul factor suplimentar 3. Îl scriem deasupra primei fracții:

Acum găsim un factor suplimentar pentru a doua fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 30 la 3, obținem al doilea factor suplimentar 10. Îl scriem deasupra celei de-a doua fracții:

Acum găsim un factor suplimentar pentru a treia fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 5. Împărțim 30 la 5, obținem al treilea factor suplimentar 6. Îl scriem deasupra celei de-a treia fracții:

Acum totul este gata pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori (comuni). Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să terminăm acest exemplu.

Continuarea exemplului nu se va potrivi pe o linie, așa că mutam continuarea pe următoarea linie. Nu uitați de semnul egal (=) pe noua linie:

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracțiune obișnuită și totul pare să ni se potrivească, dar este prea greoi și urât. Ar trebui să o simplificăm. Ce se poate face? Puteți scurta această fracție.

Pentru a reduce o fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acesteia la (GCD) numerelor 20 și 30.

Deci, găsim mcd-ul numerelor 20 și 30:

Acum revenim la exemplul nostru și împărțim numărătorul și numitorul fracției la mcd găsit, adică la 10

Am primit un răspuns

Înmulțirea unei fracții cu un număr

Pentru a înmulți o fracție cu un număr, trebuie să înmulțiți numărătorul fracției date cu acel număr și să lăsați numitorul același.

Exemplul 1. Înmulțiți o fracție cu numărul 1.

Înmulțiți numărătorul fracției cu numărul 1

Înregistrarea poate fi înțeleasă ca durând o jumătate de dată. De exemplu, dacă iei pizza o dată, primești pizza

Din legile înmulțirii știm că dacă multiplicandul și factorul sunt schimbate, produsul nu se va schimba. Dacă expresia este scrisă ca , atunci produsul va fi tot egal cu . Din nou, regula pentru înmulțirea unui număr întreg și a unei fracții funcționează:

Această notație poate fi înțeleasă ca luând jumătate din unu. De exemplu, dacă există 1 pizza întreagă și luăm jumătate din ea, atunci vom avea pizza:

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul fracției cu 4

Răspunsul a fost o fracție improprie. Să evidențiem întreaga parte a acesteia:

Expresia poate fi înțeleasă ca luând două sferturi de 4 ori. De exemplu, dacă iei 4 pizza, vei primi două pizza întregi

Și dacă schimbăm multiplicandul și multiplicatorul, obținem expresia . De asemenea, va fi egal cu 2. Această expresie poate fi înțeleasă ca luând două pizza din patru pizza întregi:

Înmulțirea fracțiilor

Pentru a înmulți fracțiile, trebuie să le înmulțiți numărătorii și numitorii. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, trebuie să evidențiați întreaga parte a acestuia.

Exemplul 1. Găsiți valoarea expresiei.

Am primit un răspuns. Este recomandabil să reduceți această fracție. Fracția poate fi redusă cu 2. Apoi soluția finală va lua următoarea formă:

Expresia poate fi înțeleasă ca luând o pizza dintr-o jumătate de pizza. Să presupunem că avem jumătate de pizza:

Cum să iau două treimi din această jumătate? Mai întâi trebuie să împărțiți această jumătate în trei părți egale:

Și ia două din aceste trei bucăți:

Vom face pizza. Amintiți-vă cum arată pizza când este împărțită în trei părți:

O bucată din această pizza și cele două bucăți pe care le-am luat vor avea aceleași dimensiuni:

Cu alte cuvinte, despre care vorbim pizza cam de aceeași dimensiune. Prin urmare, valoarea expresiei este

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:

Răspunsul a fost o fracție improprie. Să evidențiem întreaga parte a acesteia:

Exemplul 3. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracție obișnuită, dar ar fi bine dacă ar fi scurtat. Pentru a reduce această fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acestei fracții la cel mai mare divizor comun(GCD) numerele 105 și 450.

Deci, să găsim mcd-ul numerelor 105 și 450:

Acum împărțim numărătorul și numitorul răspunsului nostru la mcd-ul pe care l-am găsit acum, adică la 15

Reprezentarea unui număr întreg sub formă de fracție

Orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție. De exemplu, numărul 5 poate fi reprezentat ca . Acest lucru nu va schimba sensul lui cinci, deoarece expresia înseamnă „numărul cinci împărțit la unu”, iar acesta, după cum știm, este egal cu cinci:

Numerele reciproce

Acum ne vom familiariza cu foarte subiect interesantîn matematică. Se numește „numere inverse”.

Definiție. Inversa la numărA este un număr care, atunci când este înmulțit cuA dă unul.

Să înlocuim în această definiție în locul variabilei A numărul 5 și încercați să citiți definiția:

Inversa la număr 5 este un număr care, atunci când este înmulțit cu 5 dă unul.

Este posibil să găsim un număr care, înmulțit cu 5, dă unul? Se dovedește că este posibil. Să ne imaginăm cinci ca o fracție:

Apoi înmulțiți această fracție cu ea însăși, schimbați doar numărătorul și numitorul. Cu alte cuvinte, să înmulțim fracția cu ea însăși, doar cu capul în jos:

Ce se va întâmpla ca urmare a acestui fapt? Dacă continuăm să rezolvăm acest exemplu, obținem unul:

Aceasta înseamnă că inversul numărului 5 este numărul , deoarece atunci când înmulțiți 5 cu obțineți unul.

Reciproca unui număr poate fi găsită și pentru orice alt întreg.

Puteți găsi, de asemenea, reciproca oricărei alte fracții. Pentru a face acest lucru, doar întoarceți-l.

Împărțirea unei fracții la un număr

Să presupunem că avem jumătate de pizza:

Să o împărțim în mod egal între doi. Câtă pizza va primi fiecare persoană?

Se poate observa că după împărțirea jumătății de pizza s-au obținut două bucăți egale, fiecare dintre acestea constituind o pizza. Deci toată lumea primește o pizza.

Împărțirea fracțiilor se face folosind reciproce. Numerele reciproce vă permit să înlocuiți împărțirea cu înmulțirea.

Pentru a împărți o fracție la un număr, trebuie să înmulțiți fracția cu inversul divizorului.

Folosind această regulă, vom nota împărțirea jumătății noastre de pizza în două părți.

Deci, trebuie să împărțiți fracția la numărul 2. Aici dividendul este fracția și divizorul este numărul 2.

Pentru a împărți o fracție la numărul 2, trebuie să înmulțiți această fracție cu inversul divizorului 2. Reciprocul divizorului 2 este fracția. Deci trebuie să înmulțiți cu

Fracțiile sunt numere obișnuite și pot fi, de asemenea, adunate și scăzute. Dar pentru că au un numitor, necesită reguli mai complexe decât pentru numerele întregi.

Să luăm în considerare cel mai simplu caz, când există două fracții cu aceiași numitori. Apoi:

Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat.

Pentru a scădea fracții cu aceiași numitori, trebuie să scădeți numărătorul celui de-al doilea din numărătorul primei fracții și să lăsați din nou numitorul neschimbat.

În cadrul fiecărei expresii, numitorii fracțiilor sunt egali. Prin definiția adunării și scăderii fracțiilor obținem:

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat: adunăm sau scădem numărătorii și gata.

Dar chiar și în acțiuni atât de simple, oamenii reușesc să greșească. Ceea ce se uită cel mai adesea este că numitorul nu se schimbă. De exemplu, atunci când le adăugați, încep să se adună și acest lucru este fundamental greșit.

Scăpa de obicei prost Adăugarea numitorilor este destul de simplă. Încercați același lucru când scădeți. Ca urmare, numitorul va fi zero, iar fracția își va pierde (deodată!) sensul.

Prin urmare, amintiți-vă odată pentru totdeauna: atunci când adunați și scădeți, numitorul nu se schimbă!

Mulți oameni fac și greșeli atunci când adaugă mai multe fracții negative. Există confuzie cu semnele: unde se pune un minus și unde se pune un plus.

Această problemă este, de asemenea, foarte ușor de rezolvat. Este suficient să ne amintim că minusul dinaintea semnului unei fracții poate fi întotdeauna transferat la numărător - și invers. Și, desigur, nu uitați de două reguli simple:

1. Plus cu minus dă minus;
2. Două negative fac o afirmație.

Să ne uităm la toate acestea cu exemple specifice:

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

În primul caz, totul este simplu, dar în al doilea, să adăugăm minusuri la numărătorii fracțiilor:

Ce să faci dacă numitorii sunt diferiți

Nu puteți adăuga direct fracții cu numitori diferiți. Cel puțin, această metodă îmi este necunoscută. Cu toate acestea, fracțiile originale pot fi întotdeauna rescrise astfel încât numitorii să devină la fel.

Există multe modalități de a converti fracții. Trei dintre ele sunt discutate în lecția „Reducerea fracțiilor la un numitor comun”, așa că nu ne vom opri aici asupra lor. Să ne uităm la câteva exemple:

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

În primul caz, reducem fracțiile la un numitor comun folosind metoda „încrucișată”. În al doilea vom căuta NOC. Rețineți că 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Ultimii factori din aceste expansiuni sunt egali, iar primii sunt relativ primi. Prin urmare, LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Ce să faci dacă o fracție are o parte întreagă

Vă pot mulțumi: a avea numitori diferiți în fracții nu este cel mai mult mare rău. Mult mai multe erori apar atunci când întreaga parte este evidențiată în fracțiile de adunare.

Desigur, există algoritmi proprii de adunare și scădere pentru astfel de fracții, dar sunt destul de complexe și necesită un studiu lung. Utilizați mai bine diagrama simplă de mai jos:

1. Convertiți toate fracțiile care conțin o parte întreagă în fracții improprii. Obținem termeni normali (chiar cu numitori diferiți), care se calculează după regulile discutate mai sus;
2. De fapt, calculați suma sau diferența fracțiilor rezultate. Ca urmare, vom găsi practic răspunsul;
3. Dacă aceasta este tot ceea ce a fost necesar în problemă, efectuăm transformarea inversă, adică. Scăpăm de o fracție necorespunzătoare prin evidențierea întregii părți.

Regulile pentru trecerea la fracții improprii și evidențierea întregii părți sunt descrise în detaliu în lecția „Ce este o fracție numerică”. Dacă nu vă amintiți, asigurați-vă că o repetați. Exemple:

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Totul este simplu aici. Numitorii din interiorul fiecărei expresii sunt egali, așa că tot ce rămâne este să convertiți toate fracțiile în fracții improprii și să numărați. Avem:

Pentru a simplifica calculele, am omis câțiva pași evidenti în ultimele exemple.

O mică notă despre ultimele două exemple, unde se scad fracțiile cu cele evidențiate întreaga parte. Minusul dinaintea celei de-a doua fracții înseamnă că întreaga fracție este scăzută, și nu doar întreaga sa parte.

Recitiți din nou această propoziție, uitați-vă la exemple - și gândiți-vă. Aici recunosc începătorii o cantitate mare erori. Le place să le dea astfel de sarcini teste. De asemenea, le veți întâlni de mai multe ori la testele pentru această lecție, care va fi publicată în curând.

Rezumat: schema generala de calcul

În concluzie, voi oferi un algoritm general care vă va ajuta să găsiți suma sau diferența a două sau mai multe fracții:

1. Dacă una sau mai multe fracții au o parte întreagă, convertiți aceste fracții în fracții improprii;
2. Aduceți toate fracțiile la un numitor comun în orice mod convenabil pentru dvs. (cu excepția cazului în care, desigur, autorii problemelor au făcut acest lucru);
3. Adunarea sau scăderea numerelor rezultate conform regulilor de adunare și scădere a fracțiilor cu numitori similari;
4. Dacă este posibil, scurtați rezultatul. Dacă fracția este incorectă, selectați întreaga parte.

Amintiți-vă că este mai bine să evidențiați întreaga parte chiar la sfârșitul sarcinii, imediat înainte de a nota răspunsul.