Desen cu tetraedru dreptunghiular. Tetraedru obișnuit (piramidă). Calcularea volumului unui tetraedru dacă sunt cunoscute coordonatele vârfurilor acestuia

TEXTUL LECȚIEI:

Bună ziua Continuăm să studiem subiectul: „Paralelismul liniilor și planurilor”.

Cred că este deja clar că astăzi vom vorbi despre poliedre - suprafețele corpurilor geometrice formate din poligoane.

Și anume despre tetraedru.

Vom studia poliedrele conform planului:

1. definiția tetraedrului

2. elemente ale tetraedrului

3. dezvoltarea unui tetraedru

4. imagine într-un avion

1. construiți triunghiul ABC

2. punctul D nu se află în planul acestui triunghi

3. conectați punctul D cu segmente la vârfurile triunghiului ABC. Obținem triunghiuri DAB, DBC și DCA.

Definiție: O suprafață formată din patru triunghiuri ABC, DAB, DBC și DCA se numește tetraedru.

Denumire: DABC.

Elementele unui tetraedru

Triunghiurile care alcătuiesc un tetraedru se numesc fețe, laturile lor sunt muchii, iar vârfurile lor sunt numite vârfuri ale tetraedrului.

Câte fețe, muchii și vârfuri are un tetraedru?

Un tetraedru are patru fețe, șase muchii și patru vârfuri

Două muchii ale unui tetraedru care nu au vârfuri comune se numesc opuse.

În figură, muchiile AD și BC, BD și AC, CD și AB sunt opuse.

Uneori, una dintre fețele unui tetraedru este izolată și numită baza sa, iar celelalte trei sunt numite fețe laterale.

Dezvoltarea unui tetraedru.

Pentru a face un tetraedru din hârtie, veți avea nevoie de următoarea dezvoltare:

trebuie transferat pe hârtie groasă, tăiat, pliat de-a lungul liniilor punctate și lipit.

Pe un avion este reprezentat un tetraedru

Sub forma unui patrulater convex sau neconvex cu diagonale. În acest caz, marginile invizibile sunt reprezentate cu linii întrerupte.

În prima imagine, AC este o margine invizibilă,

pe al doilea - EK, LK și KF.

Să rezolvăm câteva probleme tipice tetraedrice:

Găsiți aria de dezvoltare a unui tetraedru obișnuit cu o margine de 5 cm.

Soluţie. Să desenăm dezvoltarea unui tetraedru

(pe ecran apare o scanare tetraedrică)

Acest tetraedru este format din patru triunghiuri echilaterale, prin urmare, aria de dezvoltare a unui tetraedru regulat este egală cu aria suprafeței totale a tetraedrului sau aria a patru triunghiuri regulate.

Găsim aria unui triunghi regulat folosind formula:

Apoi obținem aria tetraedrului egală cu:

Să înlocuim lungimea muchiei a = 5 cm în formula,

se dovedește

Răspuns: Aria de dezvoltare a unui tetraedru obișnuit

Construiți o secțiune a tetraedrului cu un plan care trece prin punctele M, N și K.

a) Într-adevăr, să conectăm punctele M și N (aparținând feței ADC), punctele M și K (aparținând feței ADB), punctele N și K (fețele DBC). Secțiunea transversală a tetraedrului este triunghiul MKN.

b) Conectați punctele M și K (aparțin fețelor ADB), punctele K și N (aparțin fețelor DCB), apoi continuați liniile MK și AB până se intersectează și plasați punctul P. Linia PN și punctul T se află în același plan ABC iar acum putem construi intersecția dreptei MK cu fiecare față. Rezultatul este un patrulater MKNT, care este secțiunea dorită.

|
tetraedru, formulă de tetraedru
Tetraedru(greaca veche τετρά-εδρον - tetraedru, din greaca veche. τέσσᾰρες, τέσσερες, τέττᾰρες, τέττορες, τέτορες - „patru” + greacă veche. ἕδρα - „șediul, baza”) este cel mai simplu poliedru, ale cărui fețe sunt patru triunghiuri. Un tetraedru are 4 fețe, 4 vârfuri și 6 muchii. Un tetraedru în care toate fețele sunt triunghiuri echilaterale se numește regulat. Un tetraedru regulat este unul dintre cele cinci poliedre regulate.

  • 1 Proprietățile tetraedrului
  • 2 tipuri de tetraedre
  • 3 Volumul unui tetraedru
  • 4 Tetraedre în microcosmos
  • 5 Tetraedre în natura vie
  • 6 tetraedre în tehnologie
  • 7 Note
  • 8 Vezi de asemenea

Proprietățile tetraedrului

  • Planele paralele care trec prin perechi de muchii care se intersectează ale tetraedrului definesc paralelipipedul descris în jurul tetraedrului.
  • Un plan care trece prin mijlocul a două muchii care se intersectează ale unui tetraedru îl împarte în două părți egale ca volum.: 216-217

Tipuri de tetraedre

Pe lângă tetraedrul obișnuit, se disting următoarele tipuri speciale de tetraedre.

  • Un tetraedru echilateral în care toate fețele sunt triunghiuri egale.
  • Un tetraedru ortocentric în care toate înălțimile care coboară de la vârfuri la fețele opuse se intersectează într-un punct.
  • Un tetraedru dreptunghiular în care toate muchiile adiacente unuia dintre vârfuri sunt perpendiculare între ele.
  • Un tetraedru cadru este un tetraedru care îndeplinește oricare dintre următoarele condiții:
    • există o sferă care atinge toate marginile,
    • sumele lungimilor marginilor de încrucișare sunt egale,
    • sumele unghiurilor diedrice la muchiile opuse sunt egale,
    • cercuri înscrise în fețe se ating în perechi,
    • sunt descrise toate patrulaterele rezultate din dezvoltarea unui tetraedru,
    • perpendiculare ridicate pe fețele din centrele cercurilor înscrise în ele se intersectează într-un punct.
  • Un tetraedru proporțional ale cărui două înălțimi sunt egale.
  • Un tetraedru incentric în care segmentele care leagă vârfurile tetraedrului cu centrele cercurilor înscrise pe fețe opuse se intersectează într-un punct.

Volumul unui tetraedru

Volumul unui tetraedru (ținând cont de semn), ale cărui vârfuri sunt situate în puncte, este egal cu:

Sau, unde este aria oricărei fețe și este înălțimea coborâtă la această față.

Prin lungimile muchiilor, volumul tetraedrului este exprimat folosind determinantul Cayley-Menger:

Tetraedre în microcosmos

  • Un tetraedru obișnuit este format prin hibridizarea sp3 a orbitalilor atomici (axele lor sunt îndreptate către vârfurile unui tetraedru obișnuit, iar nucleul atomului central este situat în centrul sferei descrise a unui tetraedru regulat), prin urmare multe molecule în care are loc o astfel de hibridizare a atomului central au aspectul acestui poliedru
  • Moleculă de metan CH4
  • Ioni de amoniu NH4+
  • Ioni sulfat SO42-, ion fosfat PO43-, ion perclorat ClO4- și mulți alți ioni
  • Diamantul C este un tetraedru cu o muchie egală cu 2,5220 angstromi
  • Fluorit CaF2, tetraedru cu muchia egală cu 3, 8626 angstromi
  • Sfalerită, ZnS, tetraedru cu o muchie egală cu 3.823 angstromi
  • Ioni complexi -, 2-, 2-, 2+
  • Silicații ale căror structuri se bazează pe tetraedrul siliciu-oxigen 4-

Tetraedre în natură

tetraedru de nuc

Unele fructe, patru dintre ele pe de o parte, sunt situate la vârfurile unui tetraedru care este aproape de regulat. Acest design se datorează faptului că centrele a patru bile identice care se ating unele de altele sunt situate la vârfurile unui tetraedru obișnuit. Prin urmare, fructele sub formă de bile formează un aranjament relativ similar. De exemplu, nucile pot fi aranjate astfel.

Tetraedre în tehnologie

  • Tetraedrul formează o structură rigidă, definibilă static. Un tetraedru format din tije este adesea folosit ca bază pentru structurile portante spațiale ale cladirii, planșee, grinzi, ferme, poduri etc. Tijele suferă doar sarcini longitudinale.
  • Tetraedrul dreptunghiular este folosit în optică. Dacă fețele în unghi drept sunt acoperite cu un compus reflectorizant sau întregul tetraedru este realizat dintr-un material foarte refractiv pentru a crea efectul de reflexie internă totală, atunci lumina îndreptată către fața opusă vârfului în unghi drept va fi reflectată în aceeasi directie din care a venit... Această proprietate este utilizată pentru a crea reflectoare de colț și reflectoare.
  • Graficul declanșator cuaternar este un tetraedru.

Note

  1. Dicționarul antic greco-rus al lui Dvoretsky „τετρά-εδρον”
  2. Selivanov D.F. Corp geometric // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron: 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg, 1890-1907.
  3. Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Algebră vectorială în exemple și probleme. - M.: Şcoala superioară, 1985. - 232 p.
  4. V. E. MATIZEN Tetraedre izoedrice și cadru „Kvant” Nr. 7, 1983
  5. http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#view Trigger

Vezi si

  • Simplex - tetraedru n-dimensional

tetraedru, tetraedru, tetraedru, vedere laterală tetraedru, vedere laterală tetraedru, vedere laterală tetraedru, tetraedru gezh yuu ve, tetraedru gezh yuu ve, tetraedru gezh yuu ve, tetraedru durs, tetraedru durs, tetraedru durs din hârtie, tetraedru din hârtie, tetraedru hârtie , tetraedru de hârtie, imagini tetraedru, imagini tetraedru, imagini tetraedru, definiție tetraedru, definiție tetraedru, definiție tetraedru, formulă tetraedru, formulă tetraedru, desen tetraedru, desen tetraedru, desen tetraedru, șablon tetraedru, șablon tetraedru, șablon tetraedru

Informații despre tetraedru

Un tetraedru, sau piramidă triunghiulară, este cel mai simplu dintre poliedre, la fel cum un triunghi este cel mai simplu dintre poligoane dintr-un plan. Cuvântul „tetraedru” este format din două cuvinte grecești: tetra - „patru” și hedra - „bază”, „față”. Un tetraedru este definit de cele patru vârfuri ale sale - puncte care nu se află în același plan; fețele tetraedrului sunt patru triunghiuri; Tetraedrul are șase muchii. Spre deosebire de o piramidă -gonală arbitrară (la ), oricare dintre fețele sale poate fi aleasă ca bază a tetraedrului.

Multe proprietăți ale tetraedrelor sunt similare cu proprietățile corespunzătoare ale triunghiurilor. În special, 6 plane desenate prin punctele mijlocii ale muchiilor tetraedrului perpendicular pe acestea se intersectează într-un punct. În același punct se intersectează 4 drepte trasate prin centrele cercurilor circumscrise fețelor perpendiculare pe planurile fețelor, iar acesta este centrul sferei circumscris tetraedrului (Fig. 1). În mod similar, 6 semiplanuri bisectoare ale tetraedrului, adică semiplane care împart unghiurile diedrice de la marginile tetraedrului în jumătate, se intersectează de asemenea într-un punct - în centrul sferei înscrise în tetraedru - o sferă care atinge toate cele patru feţele tetraedrului. Orice triunghi are, pe lângă cerc, încă 3 excercuri (vezi Triunghi), dar un tetraedru poate avea orice număr - de la 4 la 7 - excercuri, adică. sfere care ating planurile tuturor celor patru fețe ale tetraedrului. Există întotdeauna 4 sfere înscrise în unghiuri triedrice trunchiate, dintre care una este prezentată în Fig. 2, corect. Alte 3 sfere pot fi înscrise (nu întotdeauna!) în unghiuri diedrice trunchiate la marginile tetraedrului - una dintre ele este prezentată în Fig. 2, stânga.

Pentru un tetraedru, există o altă posibilitate a poziției sale reciproce cu o sferă - atingerea unei anumite sfere cu toate marginile ei (Fig. 3). O astfel de sferă - numită uneori „înscrisă pe jumătate” - există numai în cazul în care sumele lungimilor muchiilor opuse ale tetraedrului sunt egale: (Fig. 3).

Pentru orice tetraedru, este valabil un analog al teoremei privind intersecția medianelor unui triunghi într-un punct. Și anume, 6 plane desenate prin marginile tetraedrului și punctele medii ale muchiilor opuse se intersectează într-un punct - la centroidul tetraedrului (Fig. 4). Trei „linii mediane” trec, de asemenea, prin centroid - segmente care conectează punctele de mijloc a trei perechi de margini opuse și sunt împărțite în jumătate cu un punct. În cele din urmă, trec și 4 „mediane” ale tetraedrului - segmente care leagă vârfurile cu centroizii fețelor opuse și sunt împărțite într-un punct într-un raport de 3: 1, numărând de la vârfuri.

Cea mai importantă proprietate a unui triunghi - egalitatea (sau) - nu are un analog „tetraedric” rezonabil: suma tuturor celor 6 unghiuri diedrice ale unui tetraedru poate lua orice valoare între și . (Desigur, suma tuturor celor 12 unghiuri plane ale unui tetraedru - 3 la fiecare vârf - nu depinde de tetraedru și este egală cu .)

Triunghiurile sunt de obicei clasificate în funcție de gradul de simetrie: triunghiurile regulate sau echilaterale au trei axe de simetrie, triunghiurile isoscele au una. Clasificarea tetraedrelor după gradul de simetrie este mai bogată. Cel mai simetric tetraedru este regulat, delimitat de patru triunghiuri regulate. Are 6 planuri de simetrie - trec prin fiecare muchie perpendicular pe muchia opusă - și 3 axe de simetrie care trec prin punctele medii ale muchiilor opuse (Fig. 5). Mai puțin simetrice sunt piramidele triunghiulare regulate (3 planuri de simetrie, Fig. 6) și tetraedrele izoedrice (adică, tetraedre cu fețe egale - 3 axe de simetrie, Fig. 7).

Tetraedrul este cea mai simplă figură poligonală. Este alcătuit din patru fețe, fiecare dintre ele fiind un triunghi echilateral, fiecare latură legată de cealaltă printr-o singură față. Când studiem proprietățile acestei figuri geometrice tridimensionale, pentru claritate, cel mai bine este să faci un model tetraedru din hârtie.

Cum se lipește un tetraedru din hârtie?

Pentru a construi un tetraedru simplu din hârtie, vom avea nevoie de:

  • hârtia în sine (groasă, puteți folosi carton);
  • raportor;
  • rigla;
  • foarfece;
  • lipici;
  • tetraedru de hârtie, diagramă.

Progres

  • dacă hârtia este foarte groasă, atunci ar trebui să utilizați un obiect dur, de exemplu, marginea unei rigle, de-a lungul pliurilor;
  • pentru a obține un tetraedru multicolor, puteți picta marginile sau efectuați o scanare pe foi de hârtie colorată.

Cum să faci un tetraedru din hârtie fără lipire?

Vă prezentăm atenției o clasă de master care vă spune cum să asamblați 6 tetraedre de hârtie într-un singur modul folosind tehnica origami.

Noi vom avea nevoie:

  • 5 perechi de coli pătrate de hârtie în diverse culori;
  • foarfece.

Progres

  1. Împărțim fiecare foaie de hârtie în trei părți egale, o tăiem și obținem benzi, al căror raport de aspect este de 1 la 3. Ca urmare, obținem 30 de benzi, din care vom îndoi modulul.
  2. Pune banda cu fața în jos în fața ta, întinsă orizontal. Îl îndoim în jumătate, îl desfacem și îl împăturim spre mijlocul marginii.
  3. Pe marginea extremă dreaptă, îndoiți colțul astfel încât să faceți o săgeată, deplasând-o la 2-3 cm de margine.
  4. Îndoim colțul din stânga în același mod (fotografie despre cum se face un tetraedru din hârtie 3).
  5. Îndoim colțul din dreapta sus al triunghiului mic care a rezultat din operația anterioară. În acest fel, părțile laterale ale marginii pliate vor fi în același unghi.
  6. Desfaceți pliul rezultat.
  7. Desfacem colțul din stânga și, urmând liniile de pliere existente, întoarcem colțul spre interior, așa cum se arată în fotografie.
  8. În colțul din dreapta, îndoiți marginea de sus în jos, astfel încât să se intersecteze cu pliul făcut în timpul operațiunii nr. 3.
  9. Întoarcem din nou marginea exterioară spre dreapta, folosind pliul făcut ca urmare a operației nr. 3.
  10. Repetăm ​​operațiunile anterioare de la celălalt capăt al benzii, dar astfel încât micile pliuri să fie la capetele paralele ale benzii.
  11. Fasie rezultata o impaturim in jumatate pe lungime si o lasam sa se deschida spontan. Unghiul exact de deschidere va deveni clar mai târziu, în timpul asamblarii finale a modelului. Elementul este gata, acum facem încă 29 în același mod.
  12. Întoarcem legătura astfel încât partea exterioară să fie vizibilă în timpul asamblarii. Legăm cele două verigi introducând limba în buzunarul format din colțul interior mic.
  13. Legăturile conectate ar trebui să formeze un unghi de 60⁰, la care vor fi unite alte legături (fotografie despre cum se face un tetraedru din hârtie 13).
  14. Adăugăm a treia legătură la a doua și conectăm a doua la primul. Se pare că sfârșitul figurii, în partea de sus a căreia sunt conectate toate cele trei legături.
  15. În mod similar, adăugați încă trei link-uri. Primul tetraedru este gata.
  16. Colțurile figurii finite pot să nu fie exact aceleași, așa că pentru o potrivire mai precisă, colțurile individuale ale tuturor tetraedrelor ulterioare ar trebui lăsate deschise.
  17. Tetraedrele ar trebui să fie conectate între ele, astfel încât colțul unuia să treacă prin orificiul celuilalt.
  18. Trei tetraedre conectate între ele.
  19. Patru tetraedre interconectate.
  20. Modulul de cinci tetraedre este gata.

Dacă ați stăpânit tetraedrul, puteți continua și face

Secțiuni: Matematică

Planul de pregătire și desfășurare a lecției:

I. Etapa pregătitoare:

  1. Repetarea proprietăților cunoscute ale unei piramide triunghiulare.
  2. Propunerea de ipoteze despre caracteristicile posibile, neconsiderate anterior, ale tetraedrului.
  3. Formarea de grupuri pentru a efectua cercetări asupra acestor ipoteze.
  4. Repartizarea sarcinilor pentru fiecare grup (ținând cont de dorințe).
  5. Repartizarea responsabilităților pentru îndeplinirea sarcinii.

II. Etapa principală:

  1. Soluția ipotezei.
  2. Consultații cu profesorul.
  3. Înregistrarea lucrării.

III. Etapa finală:

  1. Prezentarea și apărarea ipotezei.

Obiectivele lecției:

  • generalizarea și sistematizarea cunoștințelor și abilităților elevilor; studiază material teoretic suplimentar pe această temă; învață să aplice cunoștințele atunci când rezolvi probleme non-standard, să vezi componente simple în ele;
  • de a dezvolta capacitatea elevilor de a lucra cu literatură suplimentară, de a îmbunătăți capacitatea de a analiza, generaliza, găsi principalul lucru în ceea ce citesc și dovedește ceva nou; dezvoltarea abilităților de comunicare ale elevilor;
  • cultiva cultura grafica.

Etapa pregătitoare (1 lecție):

  1. Mesajul elevului „Secretele Marilor Piramide”.
  2. Discurs introductiv al profesorului despre varietatea de tipuri de piramide.
  3. Discuție de întrebări:
  • După ce criterii pot fi combinate piramidele triunghiulare neregulate?
  • Ce înțelegem prin ortocentrul unui triunghi și ceea ce se poate numi ortocentrul unui tetraedru
  • Are un tetraedru dreptunghiular un ortocentru?
  • Ce tetraedru se numește izoedric?Ce proprietăți poate avea?
  1. Ca urmare a luării în considerare a diferitelor tetraedre și a discutării proprietăților acestora, conceptele sunt clarificate și apare o anumită structură:

  1. Să luăm în considerare proprietățile unui tetraedru regulat (Anexă)

Proprietățile 1-4 sunt dovedite oral folosind Slide 1.

Proprietatea 1: Toate marginile sunt egale.

Proprietatea 2: Toate unghiurile plane sunt egale cu 60°.

Proprietatea 3: Suma unghiurilor plane la oricare trei vârfuri ale unui tetraedru este egală cu 180°.

Proprietatea 4: Dacă tetraedrul este regulat, atunci oricare dintre vârfurile sale este proiectat în ortocentrul feței opuse.

Dat:

ABCD – tetraedru regulat

AH – înălțime

Dovedi:

H – ortocentru

Dovada:

1) punctul H poate coincide cu oricare dintre punctele A, B, C. Fie H ? B, H ? C

2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,

3) Luați în considerare ABH, BCH, ADH

AD – general => ABH, BCH, ADH => BH =CH = DH

AB = AC = AD t. H – este ortocentrul ABC

Q.E.D.

  1. În prima lecție, Proprietățile 5-9 sunt formulate ca ipoteze care necesită dovezi.

Fiecare grupă își primește temele pentru acasă:

Demonstrează una dintre proprietăți.

Pregătiți o justificare cu o prezentare.

II. Etapa principală (în decurs de o săptămână):

  1. Soluția ipotezei.
  2. Consultații cu profesorul.
  3. Înregistrarea lucrării.

III. Etapa finală (1-2 lecții):

Prezentarea și apărarea unei ipoteze folosind prezentări.

Când pregătesc materialul pentru lecția finală, elevii ajung la concluzia despre particularitatea punctului de intersecție al înălțimilor; suntem de acord să-l numim un punct „uimitor”.

Proprietatea 5: Centrele sferelor circumscrise și înscrise coincid.

Dat:

DABC – tetraedru regulat

O 1 - centrul sferei descrise

O - centrul sferei înscrise

N – punctul de contact al sferei înscrise cu faţa ABC

Demonstrați: O 1 = O

Dovada:

Fie OA = OB =OD = OC – razele cercului circumscris

Să omitem ON + (ABC)

AON = CON – dreptunghiular, de-a lungul catetei și ipotenuzei => AN = CN

Să omitem OM + (BCD)

COM DOM - dreptunghiular, de-a lungul catetei și ipotenuzei => CM = DM

De la punctul 1 CON COM => ON =OM

ON + (ABC) => ON,OM – razele cercului înscris.

Teorema este demonstrată.

Pentru un tetraedru obișnuit, există posibilitatea poziției sale reciproce cu o sferă - atingerea unei anumite sfere cu toate marginile ei. O astfel de sferă este uneori numită „semi-inscrisă”.

Proprietatea 6: Segmentele care leagă punctele medii ale muchiilor opuse și perpendiculare pe aceste muchii sunt razele unei sfere semiinscrise.

Dat:

ABCD – tetraedru regulat;

AL=BL, AK=CK, AS=DS,

BP=CP, BM=DM, CN=DN.

Dovedi:

LO = OK = OS = OM = ON =OP

Dovada.

Tetraedrul ABCD – corect => AO= BO = CO =DO

Luați în considerare triunghiurile AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD.

AO=BO=>?AOB – isoscel =>
OL – mediană, înălțime, bisectoare
AO=CO=>?AOC– isoscel =>
OK – mediană, înălțime, bisectoare
CO=DO=>?COD– isoscel =>
ON– mediană, înălțime, bisectoare AOB=> AOC= COD=
BO=DO=>?BOD– isoscel => BOD= BOC= AOD
OM – mediană, înălțime, bisectoare
AO=DO=>?AOD– isoscel =>
OS – mediană, înălțime, bisectoare
BO=CO=>?BOC– isoscel =>
OP – mediană, înălțime, bisectoare
AO=BO=CO=DO
AB=AC=AD=BC=BD=CD

3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - înălțimi egale cu razele OL, OK, ON, OM, OS, OP

triunghiuri isoscele sfere

Consecinţă:

O sferă pe jumătate înscrisă poate fi desenată într-un tetraedru obișnuit.

Proprietatea 7: dacă tetraedrul este regulat, atunci fiecare două margini opuse ale tetraedrului sunt reciproc perpendiculare.

Dat:

DABC – tetraedru regulat;

H – ortocentru

Dovedi:

Dovada:

DABC – tetraedru regulat =>?ADB – echilateral

(ADB) (EDC) = ED

ED – înălțime ADB => ED +AB,

AB + CE ,=> AB+ (EDC) => AB + CD.

Perpendicularitatea celorlalte muchii este dovedită în mod similar.

Proprietatea 8: șase planuri de simetrie se intersectează într-un punct. În punctul O, patru drepte trasate prin centrele cercurilor circumscrise în jurul fețelor perpendiculare pe planurile fețelor se intersectează, iar punctul O este centrul sferei circumscrise.

Dat:

ABCD – tetraedru regulat

Dovedi:

O – centrul sferei descrise;

6 planuri de simetrie se intersectează în punctul O;

Dovada.

CG + BD, pentru că BCD - echilateral => GO + BD (prin teorema a trei perpendiculare GO + BD)

BG = GD, deoarece AG – ABD median

ABD (ABD) => ? BOD - isoscel => BO=DO

ED + AB, deoarece ABD – echilateral => OE + AD (prin teorema a trei perpendiculare)

BE = AE, deoarece DE – median?ABD

ABD (ABD) =>?AOB – isoscel =>BO=AO

(AOB) (ABD) = AB

ON + (ABC) OF + AC (prin teorema lui trei

BF + AC, pentru că ABC - perpendiculare echilaterale)

AF = FC, deoarece BF – median?ABC

ABC (ABC) => AOC - isoscel => AO = CO

(AOC) ?(ABC) = AC

BO = AO =>AO = BO = CO = DO – razele sferei,

AO = CO descris lângă tetraedrul ABCD

(ABR) (ACG) = AO

(BCT) (ABR) = BO

(ACG) (BCT) = CO

(ADH) (CED) = DO

AB + (ABR)(ABR)(BCT)(ACG)(ADH)(CED) (BDF)

Prin urmare:

Punctul O este centrul sferei circumscrise,

6 planuri de simetrie se intersectează în punctul O.

Proprietatea 9: Unghiul obtuz dintre perpendicularele care trec prin vârfurile tetraedrului la ortocentri este de 109°28"

Dat:

ABCD – tetraedru regulat;

O – centrul sferei circumscrise;

Dovedi:

Dovada:

1) AS – înălțime

ASB = 90 o OSB dreptunghiular

2) (conform proprietății unui tetraedru obișnuit)

3)AO=BO – razele sferei circumscrise

4) 70°32"

6) AO=BO=CO=DO =>?AOD=?AOC=?AOD=?COD=?BOD=?BOC

  • este punctul de intersecție al înălțimilor unui tetraedru regulat
  • este centrul sferei înscrise
  • este centrul unei sfere semiinscrise
  • este centrul sferei circumscrise
  • este centrul de greutate al tetraedrului
  • este vârful a patru piramide triunghiulare regulate egale, cu bazele fiind fețele unui tetraedru.

    • Concluzie.

    (Profesorul și elevii rezumă lecția. Unul dintre elevi vorbește cu un scurt raport despre tetraedre, ca unitate structurală a elementelor chimice.)

    Sunt studiate proprietățile unui tetraedru obișnuit și punctul său „uimitor”.

    S-a descoperit că doar forma unui astfel de tetraedru, care are toate proprietățile de mai sus, precum și un punct „ideal”, poate fi modelată de molecule de silicați și hidrocarburi. Sau moleculele pot consta din mai multe tetraedre regulate. În prezent, tetraedrul este cunoscut nu numai ca un reprezentant al civilizației antice și al matematicii, ci și ca bază a structurii substanțelor.

    Silicații sunt substanțe asemănătoare sărurilor care conțin compuși de siliciu și oxigen. Numele lor provine din cuvântul latin „silex” - „flent”. Baza moleculelor de silicat sunt radicalii atomici sub formă de tetraedre.

    Silicații sunt nisip, argilă, cărămidă, sticlă, ciment, smalț, talc, azbest, smarald și topaz.

    Silicații reprezintă mai mult de 75% din scoarța terestră (și împreună cu cuarțul aproximativ 87%) și mai mult de 95% din rocile magmatice.

    O caracteristică importantă a silicaților este capacitatea de combinare reciprocă (polimerizare) a două sau mai multe tetraedre de siliciu-oxigen printr-un atom de oxigen comun.

    Hidrocarburile saturate au aceeași formă moleculară, dar, spre deosebire de silicați, sunt formate din carbon și hidrogen. Formula generală a moleculelor

    Hidrocarburile includ gazele naturale.

    Vom lua în considerare proprietățile tetraedrelor dreptunghiulare și izoedrice.

    Literatură.

    • Potapov V.M., Tatarinchik S.N. „Chimie organică”, Moscova 1976
    • Babarin V.P. „Secretele marilor piramide”, Sankt Petersburg, 2000.
    • Sharygin I.F. „Probleme de geometrie”, Moscova, 1984.
    • Dicționar enciclopedic mare.
    • „Carte de referință școlară”, Moscova, 2001.

    Articole noi

    Articole populare

    2024 nowonline.ru
    Despre medici, spitale, clinici, maternități