Modulul unui număr (valoarea absolută a unui număr), definiții, exemple, proprietăți. Valoarea absolută a unui număr. O explicație neștiințifică a motivului pentru care este necesar Proprietăți de bază ale modulului unui număr real

Mai întâi definim semnul expresiei sub semnul modulului, apoi extindem modulul:

• dacă valoarea expresiei este mai mare decât zero, atunci pur și simplu o scoatem de sub semnul modulului,
• dacă expresia este mai mică decât zero, atunci o scoatem de sub semnul modulului, schimbând semnul, așa cum am făcut mai devreme în exemple.

Ei bine, să încercăm? Să evaluăm:

(Am uitat, repetă.)

Daca da, ce semn are? Ei bine, desigur,!

Și, prin urmare, extindem semnul modulului schimbând semnul expresiei:

Am înţeles? Atunci încearcă singur:

Raspunsuri:

Ce alte proprietăți are modulul?

Dacă trebuie să înmulțim numere în interiorul semnului modulului, putem înmulți cu ușurință modulele acestor numere!!!

În termeni matematici, Modulul produsului numerelor este egal cu produsul modulelor acestor numere.

De exemplu:

Ce se întâmplă dacă trebuie să împărțim două numere (expresii) sub semnul modulului?

Da, la fel ca cu inmultirea! Să-l împărțim în două numere (expresii) separate sub semnul modulului:

cu condiția ca (din moment ce nu poți împărți la zero).

Merită să ne amintim încă o proprietate a modulului:

Modulul sumei numerelor este întotdeauna mai mic sau egal cu suma modulelor acestor numere:

De ce este asta? Totul este foarte simplu!

După cum ne amintim, modulul este întotdeauna pozitiv. Dar sub semnul modulului poate exista orice număr: atât pozitiv, cât și negativ. Să presupunem că numerele și sunt ambele pozitive. Atunci expresia din stânga va fi egală cu expresia din dreapta.

Să ne uităm la un exemplu:

Dacă sub semnul modulului un număr este negativ și celălalt este pozitiv, expresia din stânga va fi întotdeauna mai mică decât cea din dreapta:

Totul pare clar cu această proprietate, să ne uităm la câteva proprietăți utile suplimentare ale modulului.

Dacă avem această expresie:

Ce putem face cu această expresie? Valoarea lui x ne este necunoscută, dar știm deja ce înseamnă.

Numărul este mai mare decât zero, ceea ce înseamnă că puteți scrie pur și simplu:

Ajungem deci la o altă proprietate, care în general poate fi reprezentată astfel:

Ce înseamnă această expresie:

Deci, trebuie să definim semnul sub modul. Este necesar să definiți un semn aici?

Bineînțeles că nu, dacă vă amintiți că orice număr la pătrat este întotdeauna mai mare decât zero! Dacă nu vă amintiți, vedeți subiectul. Deci ce se întâmplă? Iată ce:

Grozav, nu? Destul de convenabil. Și acum un exemplu specific de consolidat:

Ei bine, de ce îndoielile? Să acționăm cu îndrăzneală!

Ți-ai dat seama de toate? Apoi mergeți mai departe și exersați cu exemple!

1. Aflați valoarea expresiei dacă.

2. Ce numere au același modul?

3. Găsiți semnificația expresiilor:

Dacă nu totul este încă clar și există dificultăți în soluții, atunci să ne dăm seama:

Soluția 1:

Deci, să înlocuim valorile și în expresie

Soluția 2:

După cum ne amintim, numerele opuse sunt egale în modul. Aceasta înseamnă că valoarea modulului este egală cu două numere: și.

Soluția 3:

A)
b)
V)
G)

Ai prins totul? Atunci este timpul să trecem la ceva mai complex!

Să încercăm să simplificăm expresia

Soluţie:

Deci, ne amintim că valoarea modulului nu poate fi mai mică de zero. Dacă semnul modulului are un număr pozitiv, atunci putem pur și simplu să renunțăm la semnul: modulul numărului va fi egal cu acest număr.

Dar dacă există un număr negativ sub semnul modulului, atunci valoarea modulului este egală cu numărul opus (adică numărul luat cu semnul „-”).

Pentru a găsi modulul oricărei expresii, mai întâi trebuie să aflați dacă aceasta ia o valoare pozitivă sau negativă.

Se pare că valoarea primei expresii de sub modul.

Prin urmare, expresia sub semnul modulului este negativă. A doua expresie sub semnul modulului este întotdeauna pozitivă, deoarece adunăm două numere pozitive.

Deci, valoarea primei expresii sub semnul modulului este negativă, a doua este pozitivă:

Aceasta înseamnă că atunci când extindem semnul de modul al primei expresii, trebuie să luăm această expresie cu semnul „-”. Ca aceasta:

În al doilea caz, aruncăm pur și simplu semnul modulului:

Să simplificăm această expresie în întregime:

Modulul numărului și proprietățile sale (definiții și dovezi riguroase)

Definiție:

Modulul (valoarea absolută) al unui număr este numărul însuși, dacă, și numărul, dacă:

De exemplu:

Exemplu:

Simplificați expresia.

Soluţie:

Proprietățile de bază ale modulului

Pentru toți:

Exemplu:

Demonstrați proprietatea nr. 5.

Dovada:

Să presupunem că există astfel încât

Să pătram laturile stânga și dreapta ale inegalității (acest lucru se poate face, deoarece ambele părți ale inegalității sunt întotdeauna nenegative):

iar acest lucru contrazice definiția unui modul.

În consecință, astfel de oameni nu există, ceea ce înseamnă că inegalitatea este valabilă pentru toți

Exemple de soluții independente:

1) Demonstrați proprietatea nr. 6.

2) Simplificați expresia.

Raspunsuri:

1) Să folosim proprietatea nr. 3: , iar de atunci

Pentru a simplifica, trebuie să extindeți modulele. Și pentru a extinde modulele, trebuie să aflați dacă expresiile de sub modul sunt pozitive sau negative?

A. Să comparăm numerele și și:

b. Acum să comparăm:

Adunăm valorile modulelor:

Valoarea absolută a unui număr. Pe scurt despre principalul lucru.

Modulul (valoarea absolută) al unui număr este numărul însuși, dacă, și numărul, dacă:

Proprietățile modulului:

1. Modulul unui număr este un număr nenegativ: ;
2. Modulele numerelor opuse sunt egale: ;
3. Modulul produsului a două (sau mai multe) numere este egal cu produsul modulelor lor: ;
4. Modulul câtului a două numere este egal cu câtul modulelor lor: ;
5. Modulul sumei numerelor este întotdeauna mai mic sau egal cu suma modulelor acestor numere: ;
6. Un multiplicator pozitiv constant poate fi scos din semnul modulului: at;

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Scopurile și obiectivele lecției Introduceți definiția modulului unui număr real, luați în considerare proprietățile și explicați semnificația geometrică a modulului; Introduceți funcția y = |x | , arată regulile de construire a graficului său; Predați în diferite moduri să rezolvați ecuații care conțin un modul; Dezvoltați interesul pentru matematică, independență, gândire logică, vorbire matematică, insufla acuratețe și muncă asiduă.

Definiție. De exemplu: |8|=8 ; | -8 | =-(-8)=8;

Proprietățile modulului

Semnificația geometrică a modulului Linia numerică este un bun exemplu de mulțime de numere reale. Să notăm două puncte a și b pe dreapta numerică și să încercăm să găsim distanța ρ(a ; b) dintre aceste puncte. Evident, această distanță este egală cu b-a dacă b>a Dacă schimbăm locurile, adică a > b, distanța va fi egală cu a - b. Dacă a = b atunci distanța este zero, deoarece rezultatul este un punct. Putem descrie toate cele trei cazuri în mod uniform:

Exemplu. Rezolvați ecuația: a) |x-3|=6 b) |x+5|=3 c) |x|=2,8 d) Rezolvare. a) Trebuie să găsim puncte pe dreapta de coordonate care sunt îndepărtate de punctul 3 la o distanță egală cu 6. Astfel de puncte sunt 9 și -3. (Am adăugat și am scăzut șase din trei.) Răspuns: x=9 și x=-3 b) | x +5|=3, rescriem ecuația sub forma | x -(-5)|=3. Să aflăm distanța de la punctul -5 îndepărtată de 3. Se pare că această distanță este din două puncte: x=2 și x=-8 Răspuns: x=2 și x=-8. c) | x |=2,8, poate fi reprezentat ca |x-0|=2,8 sau Evident, x=-2,8 sau x=2,8 Răspuns: x=-2,8 și x=2,8. d) echivalent Este evident că

Funcția y = |x|

Rezolvați ecuația |x-1| = 4 Prima metodă (analitică) Sarcina 2

Metoda 2 (grafică)

Modulul unui număr real. Identitate Luați în considerare expresia, dacă a>0, atunci știm că. Dar dacă un 0. 2. Să generalizăm: Prin definiția modulului: Adică

Modulul unui număr real. Exemplu. Simplificați expresia dacă: a) a-2≥0 b) a -2

Modulul unui număr real. Exemplu. Calculați soluția. Știm că: Rămâne să extindem modulele. Luați în considerare prima expresie:

Să luăm în considerare a doua expresie: Folosind definiția, extindem semnele modulelor: Ca rezultat, obținem: Răspuns: 1.

Consolidarea materialului nou. Nr. 16.2, Nr. 16.3, Nr. 16.4, Nr. 16.12, Nr. 16.16 (a, d), Nr. 16.19

Probleme pentru rezolvare independentă. 1. Rezolvați ecuația: a) | x -10|=3 b) | x +2|=1 c) | x |=2,8 d) 2. Rezolvați ecuația: a) |3 x -9|=33 b) |8-4 x |=16 c) | x +7|=-3 3. Simplificați expresia dacă a) a-3≥0 b) a -3

Lista literaturii folosite: Zvavich L.I. Algebră. Studiu aprofundat. Clasa a VIII-a: carte cu probleme / L.I. Zvavici, A.R. Riazanovsky. – ed. a IV-a, rev. – M.: Mnemosyne, 2006. – 284 p. Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. În 2 ore.Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A.G. Mordkovici. – Ed. a XII-a, șters. – M.: Mnemosyne, 2014. – 215 p. Mordkovich A.G. și alții.Algebră. clasa a 8-a. În 2 ore.Partea 2. Cartea de probleme pentru studenții instituțiilor de învățământ general / ed. A.G. Mordkovici. – Ed. a XII-a, rev. si suplimentare – M.: Mnemosyne, 2014. – 271 p.

§ 1 Modulul unui număr real

În această lecție vom studia conceptul de „modul” pentru orice număr real.

Să notăm proprietățile modulului unui număr real:

§ 2 Rezolvarea ecuaţiilor

Folosind semnificația geometrică a modulului unui număr real, rezolvăm mai multe ecuații.

Prin urmare, ecuația are 2 rădăcini: -1 și 3.

Astfel, ecuația are 2 rădăcini: -3 și 3.

În practică, sunt utilizate diverse proprietăți ale modulelor.

Să ne uităm la asta în exemplul 2:

Astfel, în această lecție ați studiat conceptul de „modul unui număr real”, proprietățile sale de bază și semnificația geometrică. De asemenea, am rezolvat câteva probleme tipice folosind proprietățile și reprezentarea geometrică a modulului unui număr real.

Lista literaturii folosite:

1. Mordkovich A.G. „Algebra” clasa a VIII-a. La ora 14:00 partea 1. Manual pentru instituții de învățământ / A.G. Mordkovici. – Ed. a 9-a, revizuită. – M.: Mnemosyne, 2007. – 215 p.: ill.
2. Mordkovich A.G. „Algebra” clasa a VIII-a. La ora 14:00 partea a 2-a. Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina, E.E. Tulchinskaya.. – ed. a VIII-a, – M.: Mnemosyne, 2006. – 239 p.
3. Algebră. clasa a 8-a. Teste pentru studenții instituțiilor de învățământ din L.A. Alexandrov, ed. A.G. Mordkovich ed. a 2-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 40 p.
4. Algebră. clasa a 8-a. Muncă independentă pentru studenții instituțiilor de învățământ: la manualul de A.G. Mordkovich, L.A. Alexandrov, ed. A.G. Mordkovich, ed. a 9-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2013. - 112 p.

În acest articol vom analiza în detaliu valoarea absolută a unui număr. Vom da diverse definiții ale modulului unui număr, vom introduce notația și vom oferi ilustrații grafice. În același timp, să ne uităm la diferite exemple de găsire a modulului unui număr prin definiție. După aceasta, vom enumera și justifica principalele proprietăți ale modulului. La sfârșitul articolului, vom vorbi despre modul în care este determinat și găsit modulul unui număr complex.

Navigare în pagină.

Modul numeric - definiție, notație și exemple

Mai întâi vă prezentăm desemnarea modulului numeric. Vom scrie modulul numărului a ca , adică în stânga și în dreapta numărului vom pune liniuțe verticale pentru a forma semnul modulului. Să dăm câteva exemple. De exemplu, modulul −7 poate fi scris ca ; modulul 4.125 este scris ca , iar modulul are o notație a formei .

Următoarea definiție a modulului se referă la , și, prin urmare, la , și la numere întregi și la numere raționale și iraționale, ca părți constitutive ale mulțimii numerelor reale. Vom vorbi despre modulul unui număr complex în.

Definiție.

Modulul numărului a– acesta este fie numărul a însuși, dacă a este un număr pozitiv, fie numărul −a, opusul numărului a, dacă a este un număr negativ, fie 0, dacă a=0.

Definiția vocală a modulului unui număr este adesea scrisă în forma următoare , această intrare înseamnă că dacă a>0 , dacă a=0 și dacă a<0 .

Înregistrarea poate fi prezentată într-o formă mai compactă . Această notație înseamnă că dacă (a este mai mare sau egal cu 0) și dacă a<0 .

Există și intrarea . Aici ar trebui să explicăm separat cazul când a=0. În acest caz avem , dar −0=0, deoarece zero este considerat un număr care este opus lui însuși.

Să dăm exemple de găsire a modulului unui număr folosind o definitie declarata. De exemplu, să găsim modulele numerelor 15 și . Să începem prin a găsi. Deoarece numărul 15 este pozitiv, modulul său, prin definiție, este egal cu acest număr însuși, adică . Care este modulul unui număr? Deoarece este un număr negativ, modulul său este egal cu numărul opus numărului, adică numărul . Prin urmare, .

Pentru a încheia acest punct, prezentăm o concluzie care este foarte convenabilă de utilizat în practică atunci când găsim modulul unui număr. Din definirea modulului unui număr rezultă că modulul unui număr este egal cu numărul de sub semnul modulului fără a lua în considerare semnul acestuia, iar din exemplele discutate mai sus acest lucru este foarte clar vizibil. Declarația menționată explică de ce se numește și modulul unui număr valoarea absolută a numărului. Deci modulul unui număr și valoarea absolută a unui număr sunt unul și același.

Modulul unui număr ca distanță

Geometric, modulul unui număr poate fi interpretat ca distanţă. Să dăm determinarea modulului unui număr prin distanță.

Definiție.

Modulul numărului a– aceasta este distanța de la origine pe linia de coordonate până la punctul corespunzător numărului a.

Această definiție este în concordanță cu definiția modulului unui număr dată în primul paragraf. Să lămurim acest punct. Distanța de la origine până la punctul corespunzător unui număr pozitiv este egală cu acest număr. Zero corespunde originii, prin urmare distanța de la origine până la punctul cu coordonata 0 este egală cu zero (nu trebuie să lăsați deoparte un singur segment unitar și nu un singur segment care alcătuiește orice fracțiune dintr-un segment unitar pentru pentru a ajunge din punctul O la un punct cu coordonata 0). Distanța de la origine la un punct cu coordonată negativă este egală cu numărul opus coordonatei acestui punct, deoarece este egală cu distanța de la origine la punctul a cărui coordonată este numărul opus.

De exemplu, modulul numărului 9 este egal cu 9, deoarece distanța de la origine până la punctul cu coordonata 9 este egală cu nouă. Să dăm un alt exemplu. Punctul cu coordonata −3,25 este situat la o distanță de 3,25 de punctul O, deci .

Definiția declarată a modulului unui număr este un caz special al definiției modulului diferenței a două numere.

Definiție.

Modulul diferenței a două numere a și b este egală cu distanța dintre punctele dreptei de coordonate cu coordonatele a și b.

Adică, dacă sunt date puncte de pe linia de coordonate A(a) și B(b), atunci distanța de la punctul A la punctul B este egală cu modulul diferenței dintre numerele a și b. Dacă luăm punctul O (originea) drept punct B, atunci obținem definiția modulului unui număr dată la începutul acestui paragraf.

Determinarea modulului unui număr folosind rădăcina pătrată aritmetică

Apare ocazional determinarea modulului prin rădăcina pătrată aritmetică.

De exemplu, să calculăm modulele numerelor −30 și pe baza acestei definiții. Avem. În mod similar, calculăm modulul de două treimi: .

Definiția modulului unui număr prin rădăcina pătrată aritmetică este, de asemenea, în concordanță cu definiția dată în primul paragraf al acestui articol. Să o arătăm. Fie a un număr pozitiv, iar −a un număr negativ. Apoi Și , dacă a=0 , atunci .

Proprietățile modulului

Modulul are o serie de rezultate caracteristice - proprietățile modulului. Acum vom prezenta principalele și cele mai frecvent utilizate dintre ele. Atunci când justificăm aceste proprietăți, ne vom baza pe definiția modulului unui număr în termeni de distanță.

Să începem cu cea mai evidentă proprietate a modulului - Modulul unui număr nu poate fi un număr negativ. În formă literală, această proprietate are forma pentru orice număr a. Această proprietate este foarte ușor de justificat: modulul unui număr este o distanță, iar distanța nu poate fi exprimată ca număr negativ.

Să trecem la următoarea proprietate a modulului. Modulul unui număr este zero dacă și numai dacă acest număr este zero. Modulul lui zero este zero prin definiție. Zero corespunde originii; niciun alt punct de pe linia de coordonate nu corespunde cu zero, deoarece fiecare număr real este asociat cu un singur punct de pe linia de coordonate. Din același motiv, orice număr, altul decât zero, corespunde unui punct diferit de origine. Iar distanța de la origine la orice alt punct decât punctul O nu este zero, deoarece distanța dintre două puncte este zero dacă și numai dacă aceste puncte coincid. Raționamentul de mai sus demonstrează că numai modulul lui zero este egal cu zero.

Daţi-i drumul. Numerele opuse au module egale, adică pentru orice număr a. Într-adevăr, două puncte de pe linia de coordonate, ale căror coordonate sunt numere opuse, sunt la aceeași distanță de origine, ceea ce înseamnă că modulele numerelor opuse sunt egale.

Următoarea proprietate a modulului este: Modulul produsului a două numere este egal cu produsul modulelor acestor numere, acesta este, . Prin definiție, modulul produsului numerelor a și b este egal fie cu a·b dacă , fie cu −(a·b) dacă . Din regulile de înmulțire a numerelor reale rezultă că produsul modulelor numerelor a și b este egal fie cu a·b, fie cu −(a·b) dacă , ceea ce demonstrează proprietatea în cauză.

Modulul câtului a împărțit la b este egal cu câtul modulului unui număr împărțit la modulul lui b, acesta este, . Să justificăm această proprietate a modulului. Deoarece coeficientul este egal cu produsul, atunci. În virtutea proprietății anterioare pe care o avem . Tot ce rămâne este să folosiți egalitatea , care este valabilă în virtutea definiției modulului unui număr.

Următoarea proprietate a unui modul este scrisă ca o inegalitate: , a , b și c sunt numere reale arbitrare. Inegalitatea scrisă nu este altceva decât inegalitatea triunghiulară. Pentru a clarifica acest lucru, să luăm punctele A(a), B(b), C(c) pe linia de coordonate și să considerăm un triunghi degenerat ABC, ale cărui vârfuri se află pe aceeași dreaptă. Prin definiție, modulul diferenței este egal cu lungimea segmentului AB, - lungimea segmentului AC și - lungimea segmentului CB. Deoarece lungimea oricărei laturi a unui triunghi nu depășește suma lungimilor celorlalte două laturi, atunci inegalitatea este adevărată , prin urmare, inegalitatea este și ea adevărată.

Inegalitatea tocmai dovedită este mult mai comună în formă . Inegalitatea scrisă este de obicei considerată ca o proprietate separată a modulului cu formularea: „ Modulul sumei a două numere nu depășește suma modulelor acestor numere" Dar inegalitatea rezultă direct din inegalitate dacă punem −b în loc de b și luăm c=0.

Modulul unui număr complex

Să dăm definirea modulului unui număr complex. Să ni se dea nouă număr complex, scris sub formă algebrică, unde x și y sunt niște numere reale, reprezentând, respectiv, părțile reale și imaginare ale unui număr complex dat z, și este unitatea imaginară.