Aria suprafeței laterale a conului este găsită prin formula. Suprafața totală a conului este

Știm ce este un con, să încercăm să-i găsim suprafața. De ce este necesar să se rezolve o astfel de problemă? De exemplu, trebuie să înțelegeți cât de mult testul va merge sa fac un con de vafe? Sau de câte cărămizi ar fi nevoie pentru a așeza acoperișul de cărămidă al unui castel?

Nu este ușor să măsurați suprafața laterală a unui con. Dar imaginați-vă același corn învelit în pânză. Pentru a găsi zona unei bucăți de material, trebuie să o tăiați și să o întindeți pe masă. Obținem o figură plată, îi putem găsi aria.

Orez. 1. Secțiunea conului de-a lungul generatricei

Să facem același lucru cu conul. Să-l tăiem suprafata laterala de-a lungul oricărei generatrice, de exemplu, (vezi Fig. 1).

Acum „desfășurăm” suprafața laterală pe un plan. Primim un sector. Centrul acestui sector este vârful conului, raza sectorului este egală cu generatricea conului, iar lungimea arcului său coincide cu circumferința bazei conului. Un astfel de sector se numește dezvoltare a suprafeței laterale a conului (vezi Fig. 2).

Orez. 2. Dezvoltarea suprafeței laterale

Orez. 3. Măsurarea unghiului în radiani

Să încercăm să găsim zona sectorului în funcție de datele disponibile. Mai întâi, să introducem o notație: să fie unghiul din partea de sus a sectorului în radiani (vezi Fig. 3).

Vom întâlni adesea unghiul din partea de sus a maturii în sarcini. Între timp, să încercăm să răspundem la întrebarea: acest unghi nu se poate dovedi a fi mai mare de 360 ​​de grade? Adică, nu se va dovedi că măturarea se va suprapune? Desigur că nu. Să demonstrăm asta matematic. Lăsați măturarea să se „suprapună”. Aceasta înseamnă că lungimea arcului de măturare este mai mare decât circumferința razei. Dar, după cum sa menționat deja, lungimea arcului de baleiaj este circumferința razei. Și raza bazei conului, desigur, este mai mică decât generatricea, de exemplu, deoarece catetul unui triunghi dreptunghic este mai mic decât ipotenuza

Apoi să ne amintim două formule din cursul planimetriei: lungimea arcului. Zona sectorului: .

În cazul nostru, rolul este jucat de generatrix , iar lungimea arcului este egală cu circumferința bazei conului, adică. Avem:

În sfârșit obținem:

Alături de suprafața laterală, se poate găsi și suprafața totală. Pentru a face acest lucru, adăugați zona de bază la suprafața laterală. Dar baza este un cerc cu raza , a cărui zonă, conform formulei, este .

În sfârșit avem: , unde este raza bazei cilindrului, este generatoarea.

Să rezolvăm câteva probleme pe formulele date.

Orez. 4. Unghiul dorit

Exemplul 1. Dezvoltarea suprafeței laterale a conului este un sector cu unghi la vârf. Găsiți acest unghi dacă înălțimea conului este de 4 cm și raza bazei este de 3 cm (vezi Fig. 4).

Orez. 5. Triunghi dreptunghic formând un con

Prin prima acțiune, conform teoremei lui Pitagora, găsim generatria: 5 cm (vezi Fig. 5). Mai mult, știm asta .

Exemplul 2. Aria secțiunii axiale a conului este , înălțimea este . Găsiți suprafața totală (vezi Fig. 6).

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Tip de lecție: o lecție de studiere a materialelor noi folosind elemente ale unei metode de predare de dezvoltare a problemelor.

Obiectivele lecției:

• cognitiv:
  • familiarizarea cu un nou concept matematic;
  • formarea de noi ZUN;
  • formarea deprinderilor practice de rezolvare a problemelor.
• în curs de dezvoltare:
  • dezvoltarea gândirii independente a elevilor;
  • dezvoltarea abilităților corecte de vorbire ale școlarilor.
• educational:
  • dezvoltarea abilităților de lucru în echipă.

Echipament pentru lecție: tabla magnetica, calculator, ecran, proiector multimedia, model conic, prezentare lectie, material.

Obiectivele lecției (pentru studenți):

• familiarizați-vă cu un nou concept geometric - un con;
• deduceți o formulă pentru calcularea suprafeței unui con;
• invata sa aplice cunostintele dobandite in rezolvarea problemelor practice.

În timpul orelor

Eu pun în scenă. organizatoric.

Depunerea caietelor cu lucrare de testare la domiciliu pe tema abordată.

Elevii sunt invitați să afle tema lecției viitoare prin rezolvarea rebusului (diapozitivul 1):

Poza 1.

Anunțarea către elevi a temei și obiectivelor lecției (diapozitivul 2).

etapa a II-a. Explicația noului material.

1) Prelegerea profesorului.

Pe tablă este o masă cu imaginea unui con. material nou explicat în materialul de program însoțitor „Stereometrie”. Pe ecran apare o imagine tridimensională a unui con. Profesorul dă o definiție a unui con, vorbește despre elementele acestuia. (diapozitivul 3). Se spune că un con este un corp format prin rotirea unui triunghi dreptunghic față de catete. (diapozitivele 4, 5). Apare o imagine a dezvoltării suprafeței laterale a conului. (diapozitivul 6)

2) Lucrări practice.

Actualizarea cunoștințelor de bază: repetați formulele pentru calcularea aria unui cerc, aria unui sector, lungimea unui cerc, lungimea unui arc de cerc. (diapozitivele 7-10)

Clasa este împărțită în grupuri. Fiecare grup primește o scanare a suprafeței laterale a conului decupat din hârtie (un sector de cerc cu un număr atribuit). Elevii iau măsurătorile necesare și calculează aria sectorului rezultat. Pe ecran apar instrucțiuni de lucru, întrebări - enunțuri de problemă (diapozitivele 11-14). Reprezentantul fiecărei grupe scrie rezultatele calculelor într-un tabel pregătit pe tablă. Participanții fiecărui grup lipesc modelul conului din dezvoltarea pe care o au. (diapozitivul 15)

3) Enunțarea și rezolvarea problemei.

Cum se calculează suprafața laterală a unui con dacă se cunosc doar raza bazei și lungimea generatricei conului? (diapozitivul 16)

Fiecare grup face măsurătorile necesare și încearcă să obțină o formulă pentru calcularea suprafeței necesare folosind datele disponibile. Când efectuează această lucrare, elevii ar trebui să observe că circumferința bazei conului este egală cu lungimea arcului sectorului - dezvoltarea suprafeței laterale a acestui con. (diapozitivele 17-21) Folosind formulele necesare, se obține formula dorită. Raționamentul elevilor ar trebui să arate cam așa:

Raza sectorului - măturare este egală cu eu gradul de măsurare a arcului este φ. Aria sectorului se calculează prin formula: lungimea arcului care delimitează acest sector este egală cu raza bazei conului R. Lungimea cercului aflat la baza conului este C = 2πR . Rețineți că, deoarece aria suprafeței laterale a conului este egală cu aria de dezvoltare a suprafeței sale laterale, atunci

Deci, aria suprafeței laterale a conului este calculată prin formula S BOD = πRl.

După calcularea suprafeței laterale a modelului de con conform formulei derivate în mod independent, reprezentantul fiecărui grup scrie rezultatul calculelor într-un tabel de pe tablă în conformitate cu numerele modelului. Rezultatele calculului din fiecare rând trebuie să fie egale. Pe această bază, profesorul determină corectitudinea concluziilor fiecărei grupe. Tabelul cu rezultate ar trebui să arate astfel:

numarul modelului.	eu sarcina	sarcina II
	(125/3)π ~ 41,67π
	(425/9)π ~ 47,22π
	(539/9)π ~ 59,89π

Parametrii modelului:

1. l=12 cm, φ=120°
2. l=10 cm, φ=150°
3. l=15 cm, φ=120°
4. l=10 cm, φ=170°
5. l=14 cm, φ=110°

Aproximarea calculelor este asociată cu erori de măsurare.

După verificarea rezultatelor, pe ecran apare rezultatul formulelor pentru zonele suprafețelor laterale și pline ale conului. (diapozitivele 22-26) elevii țin notițe în caiete.

etapa a III-a. Consolidarea materialului studiat.

1) Se ofera elevi sarcini pentru soluție orală pe desene gata făcute.

Aflați ariile suprafețelor totale ale conurilor prezentate în figuri (diapozitivele 27-32).

2) Întrebare: Sunt zonele suprafețelor conurilor formate prin rotația unui triunghi dreptunghic în jurul diferitelor catete egale? Elevii fac o ipoteză și o testează. Testarea ipotezelor se realizează prin rezolvarea de probleme și este scrisă de elev pe tablă.

Dat:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

BAA", ABV" - corpuri de revoluție.

Găsi: S PPC 1 , S PPC 2 .

Figura 5 (diapozitivul 33)

Soluţie:

1) R=BC = a; S PPC 1 = S BOD 1 + S principal 1 = π a c + π a 2 \u003d π a (a + c).

2) R=AC = b; S PPC 2 = S BOD 2 + S principal 2 = π b c + π b 2 \u003d π b (b + c).

Dacă S PPC 1 = S PPC 2, atunci a 2 + ac \u003d b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc \u003d 0, (a-b) (a + b + c) \u003d 0. pentru că a, b, c numere pozitive (lungimile laturilor triunghiului), egalitatea ruptă este adevărată numai dacă a =b.

Concluzie: Ariile suprafețelor a două conuri sunt egale numai dacă catetele triunghiului sunt egale. (diapozitivul 34)

3) Rezolvarea problemei din manual: Nr. 565.

etapa a IV-a. Rezumând lecția.

Teme pentru acasă: p.55, 56; Nr. 548, Nr. 561. (diapozitivul 35)

Anunțul notelor.

Concluzii în timpul lecției, repetarea principalelor informații primite în lecție.

Literatură (diapozitivul 36)

1. Geometrie clasele 10–11 - Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev et al., M., Enlightenment, 2008.
2. „Puzzle-uri și șarade matematice” - N.V. Udaltsov, biblioteca „Primul septembrie”, seria „MATEMATICĂ”, numărul 35, M., Chistye Prudy, 2010.

Geometria este o ramură a matematicii care studiază structurile din spațiu și relația dintre ele. La rândul său, este format și din secțiuni, iar una dintre ele este stereometria. Acesta prevede studiul proprietăților figurilor volumetrice situate în spațiu: un cub, o piramidă, o minge, un con, un cilindru etc.

Un con este un corp din spațiul euclidian care delimitează o suprafață conică și un plan pe care se află capetele generatoarelor sale. Formarea sa are loc în procesul de rotație a unui triunghi dreptunghic în jurul oricăruia dintre picioarele sale, de aceea aparține corpurilor de revoluție.

Componentele unui con

Distinge următoarele tipuri conuri: oblice (sau oblice) și drepte. Oblic este cel a cărui axă se intersectează cu centrul bazei sale nu într-un unghi drept. Din acest motiv, înălțimea într-un astfel de con nu coincide cu axa, deoarece este un segment care este coborât din partea superioară a corpului până în planul bazei sale la un unghi de 90 °.

Acel con, a cărui axă este perpendiculară pe baza sa, se numește con drept. Axa și înălțimea într-un astfel de corp geometric coincid datorită faptului că vârful din acesta este situat deasupra centrului diametrului bazei.

Conul este format din următoarele elemente:

1. Cercul care este baza lui.
2. Suprafata laterala.
3. Un punct care nu se află în planul bazei, numit vârful conului.
4. Segmente care leagă punctele cercului bazei corpului geometric și vârful acestuia.

Toate aceste segmente sunt generatoare de con. Ele sunt înclinate spre baza corpului geometric, iar în cazul unui con drept proiecțiile lor sunt egale, deoarece vârful este echidistant de punctele cercului de bază. Astfel, putem concluziona că într-un con regulat (drept), generatoarele sunt egale, adică au aceeași lungime și formează aceleași unghiuri cu axa (sau înălțimea) și baza.

Deoarece într-un corp de revoluție oblic (sau înclinat) vârful este deplasat față de centrul planului de bază, generatoarele dintr-un astfel de corp au lungime diferităși proiecție, deoarece fiecare dintre ele se află la o distanță diferită de oricare două puncte ale cercului de bază. În plus, unghiurile dintre ele și înălțimea conului vor diferi și ele.

Lungimea generatoarelor într-un con drept

După cum am scris mai devreme, înălțimea într-un corp geometric drept de revoluție este perpendiculară pe planul bazei. Astfel, generatoarea, înălțimea și raza bazei creează un triunghi dreptunghic în con.

Adică, cunoscând raza bazei și înălțimea, folosind formula din teorema lui Pitagora, puteți calcula lungimea generatricei, care va fi egală cu suma pătratelor razei și înălțimii bazei:

l 2 \u003d r 2 + h 2 sau l \u003d √r 2 + h 2

unde l - generatrix;

r - raza;

h - înălțime.

Generator într-un con oblic

Pe baza faptului că într-un con oblic sau oblic generatoarele nu au aceeași lungime, nu va funcționa să le calculăm fără construcții și calcule suplimentare.

În primul rând, trebuie să cunoașteți înălțimea, lungimea axei și raza bazei.

r 1 \u003d √k 2 - h 2

unde r 1 este partea de rază dintre axă și înălțime;

k - lungimea axei;

h - înălțime.

Ca urmare a adunării razei (r) și a părții sale situate între axă și înălțime (r 1), puteți afla generatoarea completă a conului, înălțimea acestuia și o parte din diametru:

unde R este catetul unui triunghi format din înălțimea, generatria și o parte din diametrul bazei;

r - raza bazei;

r 1 - parte a razei dintre axă și înălțime.

Folosind aceeași formulă din teorema lui Pitagora, puteți găsi lungimea generatricei conului:

l \u003d √h 2 + R 2

sau, fără a calcula R separat, combinați cele două formule într-una singură:

l = √h 2 + (r + r 1) 2 .

Indiferent dacă conul este drept sau oblic și ce fel de intrare, toate metodele de găsire a lungimii generatricei se reduc întotdeauna la un singur rezultat - utilizarea teoremei lui Pitagora.

Secțiune conică

Un plan axial este un plan care trece de-a lungul axei sau înălțimii sale. Într-un con drept, o astfel de secțiune este un triunghi isoscel, în care înălțimea triunghiului este înălțimea corpului, laturile sale sunt generatoarele, iar baza este diametrul bazei. Într-un corp geometric echilateral, secțiunea axială este un triunghi echilateral, deoarece în acest con diametrul bazei și generatoarele sunt egale.

Planul secțiunii axiale într-un con drept este planul simetriei acestuia. Motivul pentru aceasta este că vârful său este deasupra centrului bazei sale, adică planul secțiunii axiale împarte conul în două părți identice.

Deoarece înălțimea și axa nu coincid într-un solid înclinat, planul secțiunii axiale poate să nu includă înălțimea. Dacă este posibil să construiți un set de secțiuni axiale într-un astfel de con, deoarece trebuie respectată o singură condiție pentru aceasta - trebuie să treacă numai prin axă, atunci o singură secțiune axială a planului, care va aparține înălțimii de acest con, poate fi desenat, deoarece numărul de condiții crește și, după cum se știe, două drepte (împreună) pot aparține unui singur plan.

Arie a secțiunii transversale

Secțiunea axială a conului menționat mai devreme este un triunghi. Pe baza acestui lucru, aria sa poate fi calculată folosind formula pentru aria unui triunghi:

S = 1/2 * d * h sau S = 1/2 * 2r * h

unde S este aria secțiunii transversale;

d - diametrul bazei;

r - raza;

h - înălțime.

Într-un con oblic sau înclinat, secțiunea transversală de-a lungul axei este, de asemenea, un triunghi, astfel încât aria secțiunii transversale din acesta este calculată într-un mod similar.

Volum

Din moment ce conul este figură voluminoasăîn spațiul 3D, puteți calcula volumul acestuia. Volumul unui con este un număr care caracterizează acest corp într-o unitate de volum, adică în m 3. Calculul nu depinde dacă este drept sau oblic (oblic), deoarece formulele pentru aceste două tipuri de corpuri nu diferă.

După cum s-a menționat mai devreme, formarea unui con drept are loc din cauza rotației unui triunghi dreptunghic de-a lungul unuia dintre picioarele sale. Un con înclinat sau oblic se formează diferit, deoarece înălțimea sa este deplasată de centrul planului de bază al corpului. Cu toate acestea, astfel de diferențe de structură nu afectează metoda de calcul al volumului său.

Calculul volumului

Orice con arată astfel:

V = 1/3 * π * h * r2

unde V este volumul conului;

h - înălțime;

r - raza;

π este o constantă egală cu 3,14.

Pentru a calcula înălțimea unui corp, este necesar să se cunoască raza bazei și lungimea generatricei acestuia. Deoarece raza, înălțimea și generatoarea sunt combinate într-un triunghi dreptunghic, înălțimea poate fi calculată folosind formula din teorema lui Pitagora (a 2 + b 2 \u003d c 2 sau în cazul nostru h 2 + r 2 \u003d l 2, unde l este generatria). În acest caz, înălțimea va fi calculată prin extragerea rădăcinii pătrate a diferenței dintre pătratele ipotenuzei și celălalt catet:

a \u003d √c 2 - b 2

Adică, înălțimea conului va fi egală cu valoarea obținută după extragerea rădăcinii pătrate din diferența dintre pătratul lungimii generatricei și pătratul razei bazei:

h \u003d √l 2 - r 2

După ce a calculat înălțimea prin această metodă și cunoscând raza bazei sale, este posibil să se calculeze volumul conului. În același timp, se joacă generatorul rol important, deoarece servește ca element auxiliar în calcule.

În mod similar, dacă se cunosc înălțimea unui corp și lungimea generatricei acestuia, se poate găsi raza bazei acestuia extragând Rădăcină pătrată din diferența dintre pătratul generatricei și pătratul înălțimii:

r \u003d √l 2 - h 2

Apoi, folosind aceeași formulă ca mai sus, calculați volumul conului.

Volumul conului de înclinare

Deoarece formula pentru volumul unui con este aceeași pentru toate tipurile de corp de revoluție, diferența de calcul este căutarea înălțimii.

Pentru a afla înălțimea unui con înclinat, datele de intrare trebuie să includă lungimea generatricei, raza bazei și distanța dintre centrul bazei și intersecția înălțimii corpului cu planul. a bazei sale. Știind acest lucru, puteți calcula cu ușurință acea parte a diametrului bazei, care va fi baza unui triunghi dreptunghic (format din înălțime, generatoare și planul bazei). Apoi, folosind din nou teorema lui Pitagora, calculați înălțimea conului și, ulterior, volumul acestuia.

Corpurile revoluției studiate la școală sunt un cilindru, un con și o minge.

Dacă într-o sarcină USE în matematică trebuie să calculați volumul unui con sau aria unei sfere, considerați-vă norocos.

Aplicați formule pentru volumul și suprafața unui cilindru, con și sfere. Toate sunt în masa noastră. Invata pe derost. De aici începe cunoașterea stereometriei.

Uneori este bine să desenezi o vedere de sus. Sau, ca în această problemă, de jos.

2. De câte ori volumul unui con circumscris lângă cel corect piramidă patruunghiulară, mai mare decât volumul conului înscris în această piramidă?

Totul este simplu - desenăm o vedere de jos. Vedem că raza cercului mai mare este de câteva ori mai mare decât raza celui mai mic. Înălțimile ambelor conuri sunt aceleași. Prin urmare, volumul conului mai mare va fi de două ori mai mare.

O alta punct important. Amintiți-vă că în sarcinile din partea B UTILIZAȚI opțiuniîn matematică, răspunsul este scris ca un întreg sau finit fracție zecimală. Prin urmare, nu ar trebui să aveți niciunul sau în răspunsul dvs. în partea B. De asemenea, nu este necesară înlocuirea valorii aproximative a numărului! Trebuie redus! Pentru aceasta, în unele sarcini, sarcina este formulată, de exemplu, după cum urmează: „Găsiți aria suprafeței laterale a cilindrului împărțită la”.

Și unde mai sunt folosite formulele pentru volumul și suprafața corpurilor de revoluție? Desigur, în problema C2 (16). Vă vom spune și despre asta.