Základné vzorce na zisťovanie vzdialeností pomocou premietnutia vektora na os. Vektorová projekcia. Súradnicové osi. Bodová projekcia. Súradnice bodu na osi Ako určiť znamienko premietania na os

A. Priemetom bodu A na os PQ (obr. 4) je základňa a kolmice spadnutá z daného bodu na danú os. Os, na ktorú premietame, sa nazýva os premietania.

b. Nech sú dané dve osi a vektor A B, ako je znázornené na obr. 5.

Vektor, ktorého začiatok je priemet začiatku a konca - priemet konca tohto vektora, sa nazýva priemet vektora A B na os PQ, Píše sa takto;

Niekedy nie je indikátor PQ napísaný v spodnej časti, robí sa to v prípadoch, keď okrem PQ neexistuje iná os, na ktorú by sa dalo premietať.

s. Veta I. Hodnoty vektorov ležiacich na tej istej osi súvisia s hodnotami ich projekcií na ľubovoľnej osi.

Nech sú uvedené osi a vektory znázornené na obrázku 6. Z podobnosti trojuholníkov je vidieť, že dĺžky vektorov sú vo vzťahu ako dĺžky ich priemetov, t.j.

Pretože vektory na výkrese sú nasmerované rôznymi smermi, ich veľkosti majú rôzne hodnoty, preto

Je zrejmé, že hodnoty projekcie majú aj iné znamenie:

dosadením (2) za (3) do (1) dostaneme

Obrátením značiek dostaneme

Ak sú vektory rovnako smerované, potom bude existovať jeden smer a ich projekcie; vo vzorcoch (2) a (3) nebudú žiadne znamienka mínus. Dosadením (2) a (3) do rovnosti (1) okamžite dostaneme rovnosť (4). Veta je teda dokázaná pre všetky prípady.

d. Veta II. Hodnota priemetu vektora na ľubovoľnú os sa rovná hodnote vektora vynásobenej kosínusom uhla medzi osou priemetov a osou vektora. Vektor nech je daný osou podľa obr. . 7. Zostrojme vektor rovnako nasmerovaný svojou osou a posunutý napríklad z priesečníka osí. Nech sa jeho dĺžka rovná jednej. Potom jeho hodnota

§ 3. Vektorové projekcie na súradnicových osiach

1. Geometrické hľadanie projekcií.

Vektor
- premietanie vektora na os VÔL
- premietanie vektora na os OY

Definícia 1. Vektorová projekcia na ľubovoľnej súradnicovej osi sa nazýva číslo so znamienkom "plus" alebo "mínus", ktoré zodpovedá dĺžke segmentu umiestneného medzi základňami kolmice, zníženej od začiatku a konca vektora k súradnicovej osi.

Projekčný znak je definovaný nasledovne. Ak pri pohybe pozdĺž súradnicovej osi dôjde k pohybu z projekčného bodu začiatku vektora do projekčného bodu konca vektora v kladnom smere osi, potom sa projekcia vektora považuje za pozitívnu. . Ak je - oproti osi, potom sa projekcia považuje za negatívnu.

Obrázok ukazuje, že ak je vektor nejako orientovaný opačne k súradnicovej osi, potom je jeho priemet na túto os záporný. Ak je vektor orientovaný nejakým spôsobom v kladnom smere súradnicovej osi, potom je jeho priemet na túto os kladný.

Ak je vektor kolmý na súradnicovú os, potom sa jeho priemet na túto os rovná nule.
Ak je vektor smerovaný spolu s osou, potom sa jeho priemet na túto os rovná modulu vektora.
Ak je vektor oproti súradnicovej osi, potom sa jeho priemet na túto os v absolútnej hodnote rovná modulu vektora so znamienkom mínus.

2. Najvšeobecnejšia definícia projekcie.

Z pravouhlého trojuholníka ABD: .

Definícia 2. Vektorová projekcia na ľubovoľnej súradnicovej osi sa nazýva číslo rovné súčinu modulu vektora a kosínusu uhla zvieraného vektorom s kladným smerom súradnicovej osi.

Znamienko premietania je určené znamienkom kosínusu uhla, ktorý zviera vektor s kladným smerom osi.
Ak je uhol ostrý, potom má kosínus kladné znamienko a projekcie sú kladné. Pre tupé uhly má kosínus záporné znamienko, takže v takýchto prípadoch sú projekcie na os záporné.
- takže pre vektory kolmé na os je priemet nulový.

Os je smer. Preto sa priemet na os alebo na smerovanú čiaru považuje za rovnaký. Projekcia môže byť algebraická alebo geometrická. Geometricky sa premietanie vektora na os chápe ako vektor a v algebraickom zmysle je to číslo. To znamená, že sa používajú koncepty premietania vektora na os a numerické premietanie vektora na os.

Ak máme os L a nenulový vektor A B → , potom môžeme zostrojiť vektor A 1 B 1 ⇀ , označujúci priemety jeho bodov A 1 a B 1 .

A 1 B → 1 bude projekcia vektora A B → na L .

Definícia 1

Priemet vektora na os volá sa vektor, ktorého začiatok a koniec sú projekcie začiatku a konca daného vektora. n p L A B → → je zvykom označovať priemet A B → na L . Ak chcete zostrojiť projekciu na L, umiestnite kolmice na L.

Príklad 1

Príklad premietania vektora na os.

Na rovine súradníc O x y je určený bod M 1 (x 1, y 1). Pre obraz polomerového vektora bodu M 1 je potrebné postaviť projekcie na O x a O y. Získame súradnice vektorov (x 1 , 0) a (0 , y 1) .

Ak hovoríme o priemete a → na nenulové b → alebo priemete a → do smeru b → , tak máme na mysli priemet a → na os, s ktorou sa zhoduje smer b →. Priemet a → na priamku definovanú b → označujeme n p b → a → → . Je známe, že keď je uhol medzi a → a b → , môžeme považovať n p b → a → → a b → kosmerné. V prípade, že je uhol tupý, n p b → a → → a b → smerujú opačne. V situácii kolmosti a → a b → a a → je nula, priemet a → pozdĺž smeru b → je nulový vektor.

Číselná charakteristika premietania vektora na os je číselná premietanie vektora na danú os.

Definícia 2

Numerické premietanie vektora na os zavolať číslo, ktoré sa rovná súčinu dĺžky daného vektora a kosínusu uhla medzi daným vektorom a vektorom, ktorý určuje smer osi.

Číselná projekcia A B → na L sa označí n p L A B → a a → na b → - n p b → a → .

Na základe vzorca dostaneme n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , odkiaľ a → je dĺžka vektora a → , a ⇀ , b → ^ je uhol medzi vektormi a → a b → .

Dostaneme vzorec na výpočet číselnej projekcie: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Platí pre známe dĺžky a → a b → a uhol medzi nimi. Vzorec je použiteľný pre známe súradnice a → a b → , existuje však jeho zjednodušená verzia.

Príklad 2

Zistite numerický priemet a → na priamku v smere b → s dĺžkou a → rovnou 8 a uhlom medzi nimi je 60 stupňov. Podľa podmienky máme a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . Číselné hodnoty teda dosadíme do vzorca n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

odpoveď: 4.

Pri známom cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → máme a → , b → ako skalárny súčin a → a b → . Podľa vzorca n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ môžeme nájsť číselnú projekciu a → smerujúcu pozdĺž vektora b → a dostaneme n p b → a → = a → , b → b → . Vzorec je ekvivalentný definícii uvedenej na začiatku vety.

Definícia 3

Číselný priemet vektora a → na os zhodnej s b → je pomer skalárneho súčinu vektorov a → a b → k dĺžke b → . Vzorec n p b → a → = a → , b → b → je použiteľný na nájdenie numerického priemetu a → na priamku zhodnú v smere s b → , so známymi súradnicami a → a b →.

Príklad 3

Dané b → = (- 3 , 4) . Nájdite numerickú projekciu a → = (1 , 7) na L .

Riešenie

Na rovine súradníc n p b → a → = a → , b → b → má tvar n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , pričom a → = (a x , a y ) a b → = b x , b y . Na nájdenie numerickej projekcie vektora a → na os L potrebujete: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 = 1 (- 3) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .

odpoveď: 5.

Príklad 4

Nájdite priemet a → na L , ktorý sa zhoduje so smerom b → , kde sú a → = - 2 , 3 , 1 a b → = (3 , - 2 , 6) . Je daný trojrozmerný priestor.

Riešenie

Dané a → = a x , a y , a z a b → = b x , b y , b z vypočítajte skalárny súčin: a ⇀ , b → = a x b x + a y b y + a z b z . Dĺžku b → nájdeme podľa vzorca b → = b x 2 + b y 2 + b z 2. Z toho vyplýva, že vzorec na určenie číselnej projekcie a → bude: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Dosadíme číselné hodnoty: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Odpoveď: - 6 7 .

Pozrime sa na súvislosť medzi a → na L a dĺžkou priemetu a → na L . Nakreslite os L pridaním a → a b → z bodu do L, potom nakreslíme kolmicu z konca a → na L a premietneme na L . Existuje 5 variácií obrázkov:

najprv prípad, keď a → = n p b → a → → znamená a → = n p b → a → → , teda n p b → a → = a → cos (a , → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Po druhé case implikuje použitie n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , teda n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Po tretie prípad vysvetľuje, že keď n p b → a → → = 0 → dostaneme n p b ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0, potom n p b → a → → = 0 a n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Po štvrté prípad ukazuje n p b → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^) , nasleduje n p b → a → = a → cos (a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Po piate prípad ukazuje a → = n p b → a → → , čo znamená a → = n p b → a → → , teda máme n p b → a → = a → cos a → , b → ^ = a → cos 180 ° = - a → = - n p b → a → .

Definícia 4

Číselný priemet vektora a → na os L , ktorá smeruje ako b → , má význam:

• dĺžka priemetu vektora a → na L za predpokladu, že uhol medzi a → a b → je menší ako 90 stupňov alebo rovný 0: n p b → a → = n p b → a → → s podmienkou 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• nula pod podmienkou kolmosti a → a b → : n p b → a → = 0, keď (a → , b → ^) = 90 ° ;
• dĺžka priemetu a → na L, krát -1, keď je tupý alebo sploštený uhol vektorov a → a b → : n p b → a → = - n p b → a → → s podmienkou 90°< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Príklad 5

Vzhľadom na dĺžku priemetu a → na L sa rovná 2 . Nájdite číselnú projekciu a → za predpokladu, že uhol je 5 π 6 radiánov.

Riešenie

Z podmienky je zrejmé, že tento uhol je tupý: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

odpoveď: - 2.

Príklad 6

Daná je rovina O x y z s dĺžkou vektora a → rovnou 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) s uhlom 30 stupňov. Nájdite súradnice priemetu a → na os L.

Riešenie

Najprv vypočítame numerickú projekciu vektora a → : n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 .

Podľa podmienky je uhol ostrý, potom numerická projekcia a → = je dĺžka priemetu vektora a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Tento prípad ukazuje, že vektory n p L a → → a b → sú smerované spolu, čo znamená, že existuje číslo t, pre ktoré platí rovnosť: n p L a → → = t · b → . Odtiaľto vidíme, že n p L a → → = t b → , takže môžeme nájsť hodnotu parametra t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3.

Potom n p L a → → = 3 b → so súradnicami priemetu vektora a → na os L sú b → = (- 2 , 1 , 2) , kde je potrebné vynásobiť hodnoty 3 Máme n p L a → → = (- 6 , 3 , 6). Odpoveď: (- 6 , 3 , 6) .

Je potrebné zopakovať predtým študované informácie o stave kolinearity vektora.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Nech sú dva vektory a dané v priestore. Odložte z ľubovoľného bodu O vektory a . rohu medzi vektormi a nazýva sa najmenší z uhlov. Označené .

Zvážte os l a nakreslite naň jednotkový vektor (teda vektor, ktorého dĺžka sa rovná jednej).

Uhol medzi vektorom a osou l pochopiť uhol medzi vektormi a .

Tak nech l je nejaká os a je vektor.

Označiť podľa A 1 A B1 projekcie na osi l bodov A A B. Predstierajme to A 1 má súradnicu x 1, A B1- súradnica x2 na náprave l.

Potom projekcia vektor na os l sa nazýva rozdiel x 1 – x2 medzi súradnicami priemetov konca a začiatku vektora na túto os.

Premietanie vektora na os l budeme označovať .

Je jasné, že ak je uhol medzi vektorom a osou l ostrý potom x2> x 1 a projekcia x2 – x 1> 0; ak je tento uhol tupý, potom x2< x 1 a projekciou x2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, To x2= x 1 A x2– x 1=0.

Teda premietanie vektora na os l je dĺžka segmentu A 1 B 1 brané s určitým znakom. Preto je projekcia vektora na os číslo alebo skalár.

Projekcia jedného vektora na druhý je definovaná podobne. V tomto prípade sa priemety koncov tohto vektora nachádzajú na priamke, na ktorej leží 2. vektor.

Pozrime sa na niektoré z hlavných projekčné vlastnosti.

LINEÁRNE ZÁVISLÉ A LINEÁRNE NEZÁVISLÉ SYSTÉMY VEKTOROV

Zoberme si niekoľko vektorov.

Lineárna kombinácia z týchto vektorov je ľubovoľný vektor v tvare , kde sú nejaké čísla. Čísla sa nazývajú koeficienty lineárnej kombinácie. Hovorí sa tiež, že v tomto prípade je lineárne vyjadrený v podmienkach daných vektorov, t.j. získané z nich lineárnymi operáciami.

Napríklad, ak sú uvedené tri vektory, potom vektory možno považovať za ich lineárnu kombináciu:

Ak je vektor reprezentovaný ako lineárna kombinácia niektorých vektorov, hovorí sa, že je rozložené pozdĺž týchto vektorov.

Vektory sú tzv lineárne závislé, ak sú také čísla, nie všetky sa rovnajú nule, že . Je jasné, že dané vektory budú lineárne závislé, ak niektorý z týchto vektorov bude lineárne vyjadrený v podmienkach ostatných.

V opačnom prípade, t.j. keď pomer vykonáva len vtedy , tieto vektory sa nazývajú lineárne nezávislé.

Veta 1. Akékoľvek dva vektory sú lineárne závislé práve vtedy, ak sú kolineárne.

Dôkaz:

Nasledujúca veta sa dá dokázať podobne.

Veta 2. Tri vektory sú lineárne závislé práve vtedy, ak sú koplanárne.

Dôkaz.

ZÁKLAD

Základ je súbor nenulových lineárne nezávislých vektorov. Prvky základu budú označené .

V predchádzajúcej časti sme videli, že dva nekolineárne vektory v rovine sú lineárne nezávislé. Preto podľa vety 1 z predchádzajúceho odseku sú základňou na rovine ľubovoľné dva nekolineárne vektory na tejto rovine.

Podobne akékoľvek tri nekoplanárne vektory sú v priestore lineárne nezávislé. Preto sa tri nekoplanárne vektory nazývajú bázou v priestore.

Nasledujúce tvrdenie je pravdivé.

Veta. Nech je daný základ v priestore. Potom môže byť ľubovoľný vektor reprezentovaný ako lineárna kombinácia , Kde X, r, z- nejaké čísla. Takýto rozklad je jedinečný.

Dôkaz.

Základ vám teda umožňuje jednoznačne priradiť každému vektoru trojicu čísel - koeficienty expanzie tohto vektora z hľadiska vektorov základu: . Platí to aj naopak, každá trojica čísel x, y, z pomocou základu môžete vektor porovnať, ak vytvoríte lineárnu kombináciu .

Ak základ a , potom čísla x, y, z volal súradnice vektorov v danej báze. Vektorové súradnice označujú .

KARTÉZSKÝ SÚRADNICOVÝ SYSTÉM

Nech je bod uvedený v priestore O a tri nekoplanárne vektory.

Kartézsky súradnicový systém v priestore (na rovine) sa nazýva množina bodu a bázy, t.j. množina bodu a troch nekoplanárnych vektorov (2 nekolineárne vektory) vychádzajúcich z tohto bodu.

Bodka O nazývaný pôvod; priamky prechádzajúce počiatkom v smere základných vektorov sa nazývajú súradnicové osi - úsečka, ordináta a aplikačná os. Roviny prechádzajúce súradnicovými osami sa nazývajú súradnicové roviny.

Zvážte ľubovoľný bod vo vybranom súradnicovom systéme M. Predstavme si pojem bodová súradnica M. Vektor, ktorý spája začiatok s bodom M. volal vektor polomeru bodov M.

Vektor vo vybranom základe môže byť spojený s trojicou čísel - jeho súradnicami: .

Vektorové súradnice polomeru bodu M. volal súradnice bodu M. v uvažovanom súradnicovom systéme. M(x,y,z). Prvá súradnica sa nazýva úsečka, druhá súradnica a tretia je aplikácia.

Kartézske súradnice v rovine sú definované podobne. Tu má bod len dve súradnice - úsečku a ordinátu.

Je ľahké vidieť, že pre daný súradnicový systém má každý bod určité súradnice. Na druhej strane, pre každú trojicu čísel existuje jeden bod, ktorý má tieto čísla ako súradnice.

Ak vektory brané ako základ vo vybranom súradnicovom systéme majú jednotkovú dĺžku a sú párovo kolmé, potom sa súradnicový systém nazýva Kartézsky pravouhlý.

Je ľahké to ukázať.

Smerové kosínusy vektora úplne určujú jeho smer, ale nehovoria nič o jeho dĺžke.

Riešenie problémov o rovnováhe zbiehajúcich sa síl konštrukciou uzavretých silových polygónov je spojené s ťažkopádnymi konštrukciami. Univerzálnou metódou riešenia takýchto úloh je prechod na určovanie priemetov daných síl na súradnicové osi a operovanie s týmito priemetmi. Os sa nazýva priamka, ktorej je priradený určitý smer.

Premietnutie vektora na os je skalárna hodnota, ktorá je určená segmentom osi odrezaným kolmicami, ktoré na ňu padajú od začiatku a konca vektora.

Priemet vektora sa považuje za kladný, ak sa smer od začiatku premietania po jeho koniec zhoduje s kladným smerom osi. Priemet vektora sa považuje za negatívny, ak smer od začiatku premietania po jeho koniec je opačný ako kladný smer osi.

Priemet sily na súradnicovú os sa teda rovná súčinu modulu sily a kosínusu uhla medzi vektorom sily a kladným smerom osi.

Zvážte niekoľko prípadov premietania síl na os:

Vektor sily F(obr. 15) zviera ostrý uhol s kladným smerom osi x.

Aby sme našli projekciu, od začiatku a konca vektora sily znížime kolmice na os oh; dostaneme

1. Fx = F cosα

Projekcia vektora je v tomto prípade pozitívna

sila F(obr. 16) je s kladným smerom osi X tupý uhol α.

Potom F x= F cos α, ale keďže α = 180 0 - φ,

F x= F cosα = F cos180 0 - φ =- F cos phi.

Projekcia sily F na nápravu oh v tomto prípade je negatívny.

sila F(obr. 17) kolmo na os oh.

Priemet sily F na os X nula

F x= F cos 90° = 0.

Sila umiestnená v rovine akože(obr. 18), možno premietnuť na dve súradnicové osi Oh A OU.

Pevnosť F možno rozdeliť na komponenty: F x a F y Vektorový modul F x sa rovná vektorovej projekcii F na nápravu vôl a modul vektora F y sa rovná priemetu vektora F na nápravu oj.

Od Δ OAB: F x= F cosα, F x= F sinα.

Od Δ SLA: F x= F cos phi, F x= F sin phi.

Modul sily možno nájsť pomocou Pytagorovej vety:

Priemet súčtu vektorov alebo výslednice na ľubovoľnú os sa rovná algebraickému súčtu priemetov členov vektorov na tej istej osi.

Zvážte konvergujúce sily F 1 , F 2 , F 3 a F 4 (obr. 19, a). Geometrický súčet alebo výslednica týchto síl F určená uzatváracou stranou silového mnohouholníka

Spustite z vrcholov polygónu sily na os X kolmice.

Vzhľadom na získané projekcie síl priamo z dokončenej stavby máme

F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x

kde n je počet členov vektorov. Ich projekcie vstupujú do vyššie uvedenej rovnice s príslušným znamienkom.

V rovine možno geometrický súčet síl premietnuť na dve súradnicové osi a v priestore na tri.