Zlomkové nerovnosti s kvadratickými rovnicami. Kvadratické nerovnosti
Lekcia a prezentácia na tému: "Kvadratické nerovnice, príklady riešení"
Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.
Vzdelávacie pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 9. ročník
Elektronická učebnica "Pochopiteľná geometria" pre ročníky 7-9
Vzdelávací komplex 1C: "Geometria, ročník 9"
Chlapci, už vieme, ako riešiť kvadratické rovnice. Teraz sa naučíme, ako riešiť kvadratické nerovnosti.
Kvadratická nerovnosť Tento typ nerovnosti sa nazýva:
$ax^2+bx+c>0$.
Znamienko nerovnosti môže byť ľubovoľné, koeficienty a, b, c môžu byť ľubovoľné čísla ($a≠0$).
Aj tu fungujú všetky pravidlá, ktoré sme definovali pre lineárne nerovnosti. Zopakujte si tieto pravidlá aj vy!
Uveďme ďalšie dôležité pravidlo:
Ak má trojčlen $ax^2+bx+c$ záporný diskriminant, potom ak dosadíte ľubovoľnú hodnotu x, znamienko trojčlenu bude rovnaké ako znamienko koeficientu a.
Príklady riešenia kvadratických nerovníc
možno vyriešiť vykreslením grafov alebo vykreslením intervalov. Pozrime sa na príklady riešení nerovností.Príklady.
1. Vyriešte nerovnosť: $x^2-2x-8
Riešenie:
Nájdite korene rovnice $x^2-2x-8=0$.
$x_1=4$ a $x_2=-2$.
Zostavme graf kvadratickej rovnice. Os x sa pretína v bodoch 4 a -2. 2. Vyriešte nerovnosť: $5x-6 Riešenie: Zostavme graf kvadratickej rovnice, os x sa pretína v bodoch 2 a 3. 3. Vyriešte nerovnosť: $2^2+2x+1≥0$. Riešenie: 4. Vyriešte nerovnosť: $x^2+x-2 Tento článok obsahuje materiál na tému „ riešenie kvadratických nerovností" Najprv ukážeme, čo sú kvadratické nerovnosti s jednou premennou, a dáme ich všeobecná forma. A potom sa podrobne pozrieme na to, ako vyriešiť kvadratické nerovnosti. Uvádzajú sa hlavné prístupy k riešeniu: grafická metóda, intervalová metóda a izoláciou štvorca binomu na ľavej strane nerovnosti. Uvádzajú sa riešenia typických príkladov. Navigácia na stránke. Prirodzene, skôr ako začneme hovoriť o riešení kvadratických nerovností, musíme jasne pochopiť, čo je to kvadratická nerovnosť. Inými slovami, musíte byť schopní rozlíšiť kvadratické nerovnosti od iných typov nerovností podľa typu záznamu. Definícia.
Kvadratická nerovnosť je nerovnosť tvaru a x 2 +b x+c<0
(вместо знака >môže existovať akýkoľvek iný znak nerovnosti ≤, >, ≥), kde a, b a c sú nejaké čísla a a≠0 a x je premenná (premennú možno označiť ľubovoľným iným písmenom). Okamžite dajme iný názov pre kvadratické nerovnosti - nerovnosti druhého stupňa. Tento názov sa vysvetľuje tým, že na ľavej strane nerovností a x 2 +b x+c<0
находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства». Niekedy môžete počuť aj kvadratické nerovnosti nazývané kvadratické nerovnosti. To nie je úplne správne: definícia „kvadratického“ sa vzťahuje na funkcie definované rovnicami v tvare y=a·x 2 +b·x+c. Takže existujú kvadratické nerovnosti a kvadratické funkcie, ale nie kvadratické nerovnosti. Ukážme si niekoľko príkladov kvadratických nerovností: 5 x 2 −3 x+1>0, tu a=5, b=−3 a c=1; −2,2·z 2 −0,5·z−11≤0, koeficienty tejto kvadratickej nerovnosti sú a=−2,2, b=−0,5 a c=−11; , v tomto prípade Všimnite si, že v definícii kvadratickej nerovnosti sa koeficient a x 2 považuje za nenulový. Je to pochopiteľné, rovnosť koeficientu a až nula vlastne „odstráni“ druhú mocninu a budeme sa zaoberať lineárnou nerovnosťou tvaru b x+c>0 bez druhej mocniny premennej. Koeficienty b a c sa však môžu rovnať nule, a to samostatne aj súčasne. Tu sú príklady takýchto kvadratických nerovností: x 2 −5≥0, tu je koeficient b pre premennú x rovný nule; −3 x 2 −0,6 x<0
, здесь c=0
; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 b aj c sú nula. Teraz si môžete lámať hlavu nad otázkou, ako vyriešiť kvadratické nerovnosti. V zásade sa na riešenie používajú tri hlavné metódy: Urobme hneď výhradu, že spôsob riešenia kvadratických nerovníc, o ktorom teraz uvažujeme, sa v učebniciach školskej algebry nenazýva grafickým. V podstate však taký je. Navyše prvé zoznámenie s grafická metóda riešenia nerovností zvyčajne začína, keď vyvstane otázka, ako vyriešiť kvadratické nerovnosti. Grafická metóda riešenia kvadratických nerovníc a x 2 +b x+c<0
(≤, >, ≥) je analyzovať graf kvadratickej funkcie y=a·x 2 +b·x+c na nájdenie intervalov, v ktorých špecifikovaná funkcia nadobúda záporné, kladné, záporné alebo nezáporné hodnoty. Tieto intervaly tvoria riešenia kvadratických nerovností a x 2 +b x+c<0
, a·x 2 +b·x+c>0, ax2+bx+c≤0 a ax2+bx+c≥0. Na riešenie kvadratických nerovníc jednou premennou je okrem grafickej celkom pohodlná aj intervalová metóda, ktorá je sama o sebe veľmi univerzálna a hodí sa na riešenie rôznych, nielen kvadratických, nerovníc. Jeho teoretická stránka leží za hranicami kurzu algebry 8. a 9. ročníka, kedy sa učia riešiť kvadratické nerovnice. Preto sa tu nebudeme venovať teoretickému zdôvodneniu intervalovej metódy, ale zameriame sa na to, ako sa pomocou nej riešia kvadratické nerovnice. Podstata intervalovej metódy vo vzťahu k riešeniu kvadratických nerovníc a x 2 +b x+c<0
(≤, >, ≥), pozostáva z identifikácie znakov, ktoré majú význam kvadratická trojčlenka a·x 2 +b·x+c na intervaloch, na ktoré je delená súradnicová os nulami tejto trojčlenky (ak existuje). Intervaly so znamienkom mínus predstavujú riešenia kvadratickej nerovnosti a x 2 +b x+c<0
, со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0 a pri riešení neprísnych nerovníc sa k uvedeným intervalom pripočítavajú body zodpovedajúce nulám trojčlenky. Môžete sa zoznámiť so všetkými podrobnosťami tejto metódy, jej algoritmom, pravidlami pre umiestňovanie značiek na intervaloch a zvážiť hotové riešenia typických príkladov s ilustráciami poskytnutými odkazom na materiál v článku riešenie kvadratických nerovníc pomocou intervalovej metódy. . Okrem grafickej metódy a intervalovej metódy existujú aj iné prístupy, ktoré umožňujú riešiť kvadratické nerovnice. A dostávame sa k jednej z nich, ktorá vychádza z druhá mocnina na ľavej strane kvadratickej nerovnosti. Princípom tejto metódy riešenia kvadratických nerovníc je vykonávať ekvivalentné transformácie nerovnosti, čo umožňuje pristúpiť k riešeniu ekvivalentnej nerovnosti tvaru (x−p) 2 A ako prebieha prechod na nerovnosť (x−p) 2? V praxi sa veľmi často musíme vysporiadať s nerovnicami, ktoré je možné redukovať pomocou ekvivalentných transformácií na kvadratické nerovnosti v tvare a x 2 +b x+c<0
(знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам. Začnime príkladmi najjednoduchších nerovností, ktoré sa redukujú na kvadratické nerovnosti. Niekedy na prechod ku kvadratickej nerovnosti stačí preusporiadať členy v tejto nerovnosti alebo ich presunúť z jednej časti do druhej. Napríklad, ak prenesieme všetky členy z pravej strany nerovnosti 5≤2·x−3·x 2 doľava, dostaneme kvadratickú nerovnosť vo vyššie uvedenom tvare 3·x 2 −2·x+5 ≤0. Ďalší príklad: preusporiadanie ľavej strany nerovnosti 5+0,6 x 2 −x<0
слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0
. V škole sa na hodinách algebry, keď sa učia riešiť kvadratické nerovnice, zaoberajú aj tzv. riešenie racionálnych nerovností, zníženie na štvorcové. Ich riešenie zahŕňa prenesenie všetkých členov na ľavú stranu a následnú transformáciu tam vytvoreného výrazu do tvaru a·x 2 +b·x+c vykonaním . Pozrime sa na príklad. Príklad. Nájdite veľa riešení nerovnosti 3·(x−1)·(x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5
.iracionálna nerovnosť Bibliografia. Kvadratická nerovnosť – „OD a DO“.V tomto článku sa pozrieme na riešenie kvadratických nerovností, ktoré sa nazýva až jemnosť. Odporúčam pozorne preštudovať materiál v článku bez toho, aby vám niečo uniklo. Článok nezvládnete hneď, odporúčam to urobiť niekoľkými prístupmi, informácií je veľa. Obsah: Úvod. Dôležité! Úvod. Dôležité! Kvadratická nerovnosť je nerovnosť v tvare: Ak vezmete kvadratickú rovnicu a nahradíte znamienko rovnosti ktorýmkoľvek z vyššie uvedených, dostanete kvadratickú nerovnosť. Riešenie nerovnosti znamená odpovedať na otázku, pre aké hodnoty x bude táto nerovnosť pravdivá. Príklady: 10
X 2
– 6
X+12 ≤ 0
2
X 2
+ 5
X –500 > 0
– 15
X 2
– 2
X+13 > 0
8
X 2
– 15
X+45≠ 0
Kvadratická nerovnosť môže byť špecifikovaná implicitne, napríklad: 10
X 2
– 6
X+14
X 2
–5
X +2≤ 56
2
X 2
> 36
8
X 2
<–15
X 2
– 2
X+13
0> – 15
X 2
– 2
X+13
V tomto prípade je potrebné vykonať algebraické transformácie a uviesť ho do štandardného tvaru (1). *Koeficienty môžu byť zlomkové a iracionálne, ale takéto príklady sú v školských osnovách zriedkavé a v úlohách jednotnej štátnej skúšky sa vôbec nenachádzajú. Ale nezľaknite sa, ak napríklad narazíte na: Toto je tiež kvadratická nerovnosť. Najprv sa pozrime na jednoduchý algoritmus riešenia, ktorý nevyžaduje pochopenie toho, čo je kvadratická funkcia a ako jej graf vyzerá v súradnicovej rovine vzhľadom na súradnicové osi. Ak ste schopní zapamätať si informácie pevne a na dlhú dobu a pravidelne ich posilňovať praxou, algoritmus vám pomôže. Tiež, ak, ako sa hovorí, potrebujete vyriešiť takúto nerovnosť „naraz“, algoritmus vám pomôže. Jeho dodržiavaním jednoducho implementujete riešenie. Ak študuješ na škole, tak ti vrelo odporúčam začať študovať článok z druhej časti, ktorý hovorí o celom význame riešenia (pozri nižšie od bodu -). Ak pochopíte podstatu, nebudete sa musieť učiť ani zapamätať zadaný algoritmus, môžete ľahko rýchlo vyriešiť akúkoľvek kvadratickú nerovnosť. Samozrejme, mal som hneď začať s vysvetľovaním grafom kvadratickej funkcie a vysvetlením samotného významu, no rozhodol som sa článok „zostrojiť“ takto. Ďalší teoretický bod! Pozrite sa na vzorec na faktorizáciu kvadratického trinomu: kde x 1 a x 2 sú korene kvadratickej rovnice ax 2+
bx+c=0
*Na vyriešenie kvadratickej nerovnice bude potrebné vynásobiť kvadratickú trojčlenku. Algoritmus uvedený nižšie sa tiež nazýva intervalová metóda. Je vhodný na riešenie nerovností formy f(X)>0,
f(X)<0
, f(X)≥0 af(X)≤0
. Upozorňujeme, že násobiteľov môže byť viac ako dva, napríklad: (x–10)(x+5)(x–1)(x+104)(x+6)(x–1)<0
Algoritmus riešenia. Intervalová metóda. Príklady. Vzhľadom na nerovnosť sekera 2
+
bx+ c > 0 (ľubovoľné znamienko).
1. Napíšte kvadratickú rovnicu sekera 2
+
bx+ c = 0
a vyriešiť to. Dostaneme x 1 a x 2– korene kvadratickej rovnice. 2. Dosaďte koeficient do vzorca (2) a
a korene. : a(x –
X 1
)(X –
x 2)>0
3. Definujte intervaly na číselnej osi (korene rovnice rozdeľujú číselnú os na intervaly): 4. Určte „znamienka“ na intervaloch (+ alebo –) dosadením ľubovoľnej hodnoty „x“ z každého výsledného intervalu do výrazu: a(x –
X 1
)(X –
x2)
a oslavovať ich. 5. Ostáva už len zapisovať si intervaly, ktoré nás zaujímajú, sú označené: - so znamienkom „+“, ak nerovnosť obsahovala „>0“ alebo „≥0“. - podpíšte „–“, ak nerovnosť obsahuje „<0» или «≤0».
POZNÁMKA!!!
Samotné znaky v nerovnosti môžu byť: prísne – toto je „>“, „<» и нестрогими – это «≥», «≤».
Ako to ovplyvní výsledok rozhodnutia? Pri prísnych znamienkach nerovnosti hranice intervalu NIE SÚ ZAHRNUTÉ do riešenia, pričom v odpovedi je samotný interval zapísaný v tvare ( X 1
;
X 2
) – okrúhle zátvorky. Pre slabé znaky nerovnosti sú hranice intervalu zahrnuté v riešení a odpoveď je napísaná v tvare [ X 1
;
X 2
] - hranaté zátvorky. *To platí nielen pre kvadratické nerovnosti. Hranatá zátvorka znamená, že samotná hranica intervalu je zahrnutá v riešení. Uvidíte to v príkladoch. Pozrime sa na niekoľko, aby sme objasnili všetky otázky týkajúce sa tohto. Teoreticky sa algoritmus môže zdať trochu komplikovaný, ale v skutočnosti je všetko jednoduché. PRÍKLAD 1: Vyriešte X 2
– 60
X+500 ≤ 0
Riešenie kvadratickej rovnice X 2
–60
X+500=0
D =
b 2
–4
ac = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600
Hľadanie koreňov: Dosaďte koeficient a X 2
–60
X+500 = (x–50) (x–10)
Nerovnosť zapíšeme do tvaru (x–50)(x–10) ≤ 0
Korene rovnice rozdeľujú číselnú os na intervaly. Ukážme ich na číselnej osi: Dostali sme tri intervaly (–∞;10), (10;50) a (50;+∞). Určujeme „znamienka“ na intervaloch, robíme to tak, že do výrazu (x–50)(x–10) dosadíme ľubovoľné hodnoty každého výsledného intervalu a pozrieme sa na zhodu výsledného „znamienka“ so znamienkom v nerovnosť (x–50)(x–10) ≤ 0:
pri x=2 (x–50) (x–10) =
384 > 0 nesprávne pri x=20 (x–50) (x–10) =
–300 < 0 верно
pri x=60 (x–50)(x–10) = 500 > 0 nesprávne Riešením bude interval. Pre všetky hodnoty x z tohto intervalu bude nerovnosť pravdivá. *Všimnite si, že sme zahrnuli hranaté zátvorky. Pre x = 10 a x = 50 bude nerovnosť tiež pravdivá, to znamená, že hranice sú zahrnuté v riešení. Odpoveď: x∊ znova: — Hranice intervalu sú ZAHRNUTÉ do riešenia nerovnice, keď podmienka obsahuje znamienko ≤ alebo ≥ (nestriktná nerovnosť). V tomto prípade je zvykom zobraziť výsledné korene v náčrte s HASHED kruhom. — Hranice intervalu NIE SÚ ZAHRNUTÉ do riešenia nerovnice, keď podmienka obsahuje znamienko< или >(prísna nerovnosť). V tomto prípade je zvykom zobraziť koreň v náčrte ako NEHASHOVANÝ kruh. PRÍKLAD 2: Vyriešte X 2
+ 4
X–21 > 0
Riešenie kvadratickej rovnice X 2
+ 4
X–21 = 0
D =
b 2
–4
ac = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100
Hľadanie koreňov: Dosaďte koeficient a a korene do vzorca (2), dostaneme: X 2
+ 4
X–21 = (x–3) (x+7)
Nerovnosť zapíšeme do tvaru (x–3) (x+7) > 0.
Korene rovnice rozdeľujú číselnú os na intervaly. Označme ich na číselnej osi: *Nerovnosť nie je striktná, takže označenia koreňov NIE sú tieňované. Získali sme tri intervaly (–∞;–7), (–7;3) a (3;+∞). Určujeme „znamienka“ na intervaloch, robíme to dosadením ľubovoľných hodnôt týchto intervalov do výrazu (x–3)(x+7) a hľadáme zhodu s nerovnicou (x–3)(x+7)> 0:
pri x= –10 (–10–3)(–10 +7) = 39 > 0 správne pri x= 0 (0–3)(0 +7) = –21< 0 неверно
pri x=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 správne Riešením budú dva intervaly (–∞;–7) a (3;+∞). Pre všetky hodnoty x z týchto intervalov bude nerovnosť pravdivá. *Všimnite si, že sme zahrnuli zátvorky. Pri x = 3 a x = –7 bude nerovnosť nesprávna – hranice nie sú zahrnuté v riešení. Odpoveď: x∊(–∞;–7) U (3;+∞) PRÍKLAD 3: Vyriešte –
X 2
–9
X–20 > 0
Riešenie kvadratickej rovnice –
X 2
–9
X–20 = 0.
a = –1
b = –9
c = –20
D =
b 2
–4
ac = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.
Hľadanie koreňov: Dosaďte koeficient a a korene do vzorca (2), dostaneme: –
X 2
–9
X–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= –(x+5)(x+4)
Nerovnosť zapíšeme do tvaru –(x+5)(x+4) > 0.
Korene rovnice rozdeľujú číselnú os na intervaly. Označme na číselnej osi: *Nerovnosť je prísna, takže symboly koreňov nie sú tieňované. Dostali sme tri intervaly (–∞;–5), (–5; –4) a (–4;+∞). Definujeme „znamenia“ na intervaloch, robíme to dosadzovaním do výrazu –(x+5)(x+4)ľubovoľné hodnoty týchto intervalov a pozrite sa na zhodu s nerovnosťou –(x+5)(x+4)>0:
pri x= –10 – (–10+5)(–10 +4) = –30< 0 неверно
pri x= –4,5 – (–4,5+5)(–4,5+4) = 0,25 > 0 správne pri x= 0 – (0+5)(0+4) = –20< 0 неверно
*Upozorňujeme, že hranice nie sú súčasťou riešenia. Pre x = –5 a x = –4 nerovnosť nebude pravdivá. KOMENTUJTE! Pri riešení kvadratickej rovnice môžeme skončiť s jedným koreňom alebo bez koreňov, potom pri použití túto metódu Naslepo môže byť ťažké nájsť riešenie. Malé zhrnutie! Metóda je dobrá a pohodlná na použitie, najmä ak ste oboznámení s kvadratickou funkciou a poznáte vlastnosti jej grafu. Ak nie, pozrite sa a prejdite na ďalšiu časť. Použitie grafu kvadratickej funkcie. Odporúčam! Kvadratická je funkcia tvaru: Jeho graf je parabola, vetvy paraboly smerujú nahor alebo nadol: Graf môže byť umiestnený nasledovne: môže pretínať os x v dvoch bodoch, môže sa jej dotýkať v jednom bode (vrchole) alebo sa nemôže pretínať. Viac o tom neskôr. Teraz sa pozrime na tento prístup na príklade. Celý proces riešenia pozostáva z tri etapy. Vyriešme nerovnosť X 2
+2
X –8 >0.
Prvé štádium
Riešenie rovnice X 2
+2
X–8=0.
D =
b 2
–4
ac = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36
Hľadanie koreňov: Dostali sme x 1 = 2 a x 2 = – 4. Druhá fáza
Budovanie paraboly y=X 2
+2
X–8
podľa bodov: Body 4 a 2 sú priesečníky paraboly a osi x. Je to jednoduché! Čo si robil? Vyriešili sme kvadratickú rovnicu X 2
+2
X–8=0.
Pozrite si jeho príspevok takto: 0 = x 2+2x – 8
Nula je pre nás hodnota „y“. Keď y = 0, dostaneme úsečku priesečníkov paraboly s osou x. Môžeme povedať, že nulová hodnota „y“ je os x. Teraz sa pozrite, aké hodnoty x je výraz X 2
+2
X – 8
väčšie (alebo menšie) ako nula? To nie je ťažké určiť z parabolového grafu, ako sa hovorí, všetko je v dohľade: 1. Pri x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен X 2
+2
X –8
bude pozitívny. 2. V čase –4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен X 2
+2
X –8
bude negatívny. 3. Pre x > 2 leží vetva paraboly nad osou x. Pre zadané x je trojčlenka X 2
+2
X –8
bude pozitívny. Tretia etapa
Z paraboly hneď vidíme, pri akom x je výraz X 2
+2
X–8
väčší ako nula, rovný nule, menší ako nula. Toto je podstata tretej etapy riešenia, a to vidieť a identifikovať pozitívne a negatívne oblasti na výkrese. Získaný výsledok porovnáme s pôvodnou nerovnicou a odpoveď zapíšeme. V našom príklade je potrebné určiť všetky hodnoty x, pre ktoré je výraz X 2
+2
X–8
Nad nulou. Urobili sme to v druhej fáze. Zostáva už len zapísať odpoveď. Odpoveď: x∊(–∞;–4) U (2;∞). Zhrňme si to: po vypočítaní koreňov rovnice v prvom kroku môžeme výsledné body označiť na osi x (to sú priesečníky paraboly s osou x). Ďalej si schematicky zostrojíme parabolu a už vidíme riešenie. Prečo schéma? Nepotrebujeme matematicky presný rozvrh. A predstavte si napríklad, že ak sa ukáže, že odmocniny sú 10 a 1500, skúste na list papiera zostaviť presný graf s takým rozsahom hodnôt. Vynára sa otázka! Dobre, máme korene, dobre, označili sme ich na osi o, ale mali by sme načrtnúť umiestnenie samotnej paraboly - s jej vetvami nahor alebo nadol? Všetko je tu jednoduché! Koeficient pre x 2 vám povie: - ak je väčšia ako nula, potom vetvy paraboly smerujú nahor. - ak je menej ako nula, potom vetvy paraboly smerujú nadol. V našom príklade sa rovná jednej, teda kladne. *Poznámka! Ak nerovnica obsahuje neprísne znamienko, to znamená ≤ alebo ≥, potom by mali byť korene na číselnej osi zatienené, čo zvyčajne znamená, že do riešenia nerovnosti je zahrnutá aj hranica samotného intervalu. IN v tomto prípade korene nie sú zatienené (vyrazené), pretože naša nerovnosť je striktná (je tam znak „>“). Navyše v tomto prípade odpoveď používa skôr zátvorky ako štvorcové (ohraničenia nie sú zahrnuté v riešení). Veľa sa toho napísalo, asi som niekoho zmiatol. Ak ale vyriešite aspoň 5 nerovností pomocou parabol, tak váš obdiv nepozná hraníc. Je to jednoduché! Takže stručne: 1. Nerovnosť zapíšeme a zredukujeme na štandardnú. 2. Napíšte kvadratickú rovnicu a vyriešte ju. 3. Nakreslite os x, označte výsledné korene, schematicky nakreslite parabolu s vetvami nahor, ak je koeficient x 2 kladný, alebo vetvami nadol, ak je záporný. 4. Vizuálne identifikujte pozitívne alebo negatívne oblasti a zapíšte odpoveď na pôvodnú nerovnosť. Pozrime sa na príklady. PRÍKLAD 1: Vyriešte X 2
–15
X+50 > 0
Prvé štádium. Riešenie kvadratickej rovnice X 2
–15
X+50=0
D =
b 2
–4
ac = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25
Hľadanie koreňov: Druhá fáza. Staviame os o. Označme výsledné korene. Keďže naša nerovnosť je prísna, nebudeme im tieniť. Schematicky zostrojíme parabolu, je umiestnená vetvami nahor, pretože koeficient x 2 je kladný: Tretia etapa. Definujeme vizuálne pozitívne a negatívne oblasti, tu sme ich označili rôzne farby pre prehľadnosť to nemusíte robiť. Odpoveď zapíšeme. Odpoveď: x∊(–∞;5) U (10;∞). *Znak U označuje riešenie zjednotenia. Obrazne povedané, riešením je „tento“ A „tento“ interval. PRÍKLAD 2: Vyriešte –
X 2
+
X+20 ≤ 0
Prvé štádium. Riešenie kvadratickej rovnice –
X 2
+
X+20=0
D =
b 2
–4
ac = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81
Hľadanie koreňov: Druhá fáza. Staviame os o. Označme výsledné korene. Keďže naša nerovnosť nie je striktná, odtieneme označenia koreňov. Schematicky zostrojíme parabolu, je umiestnená vetvami nadol, keďže koeficient x 2 je záporný (rovná sa –1): Tretia etapa. Vizuálne identifikujeme pozitívne a negatívne oblasti. Porovnáme ju s pôvodnou nerovnicou (naše znamienko je ≤ 0). Nerovnosť bude platiť pre x ≤ – 4 a x ≥ 5. Odpoveď zapíšeme. Odpoveď: x∊(–∞;–4] U ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) alebo x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 . Príklad 3 Vyriešte kvadratickú nerovnosť - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов. Riešenie
Najprv nájdime korene kvadratického trinomu z ľavej strany nerovnosti: D " = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7 Toto je prísna nerovnosť, preto na grafe používame „prázdny“ bod. So súradnicou 7. Teraz musíme určiť znamienka na výsledných intervaloch (− ∞, 7) a (7, + ∞). Keďže diskriminant kvadratického trinomu je nula a vodiaci koeficient je záporný, položíme znamienka − , − : Keďže nerovnosť riešime znamienkom< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус: V tomto prípade sú riešenia obidva intervaly (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) . odpoveď:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) alebo v inom zápise x ≠ 7 . Príklad 4 Má kvadratická nerovnosť x 2 + x + 7< 0 решения? Riešenie
Nájdite korene kvadratického trinomu z ľavej strany nerovnosti. Aby sme to urobili, nájdime diskriminant: D = 1 2 − 4 · 1 · 7 = 1 − 28 = − 27 . Diskriminant je menší ako nula, čo znamená, že neexistujú žiadne skutočné korene. Grafický obrázok bude vyzerať ako číselná os bez vyznačených bodov. Určme znamienko hodnôt kvadratického trinomu. V D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + : V tomto prípade by sme mohli použiť tieňovanie na medzery so znamienkom „-“. Ale nemáme také medzery. Výkres teda vyzerá takto: V dôsledku výpočtov sme dostali prázdnu množinu. To znamená, že táto kvadratická nerovnosť nemá riešenia. odpoveď: Nie Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Náš kvadratický trinom má hodnoty menšie ako nula, kde je graf funkcie umiestnený pod osou x.
Pri pohľade na graf funkcie dostaneme odpoveď: $x^2-2x-8 Odpoveď: $-2
Transformujme nerovnosť: $-x^2+5x-6 Nerovnosť vydeľme mínus jedna. Nezabudnime zmeniť znamienko: $x^2-5x+6>0$.
Nájdime korene trojčlenky: $x_1=2$ a $x_2=3$.
Náš kvadratický trinom má hodnoty väčšie ako nula, kde je graf funkcie umiestnený nad osou x. Pri pohľade na graf funkcie dostaneme odpoveď: $5x-6
Nájdime korene našej trojčlenky, na to vypočítame diskriminant: $D=2^2-4*2=-4 Diskriminant je menší ako nula. Využime pravidlo, ktoré sme predstavili na začiatku. Znamienko nerovnosti bude rovnaké ako znamienko koeficientu štvorca. V našom prípade je koeficient kladný, čo znamená, že naša rovnica bude kladná pre akúkoľvek hodnotu x.
Odpoveď: Pre všetky x je nerovnosť väčšia ako nula.
Riešenie:
Nájdeme korene trojčlenu a umiestnime ich na súradnicovú čiaru: $x_1=-2$ a $x_2=1$. 
Ak $x>1$ a $x Ak $x>-2$ a $x Odpoveď: $x>-2$ a $xÚlohy na riešenie kvadratických nerovností
Vyriešte nerovnosti:
a) $x^2-11x+30 b) $2x+15≥x^2$.
c) $3x^2+4x+3 d) $4x^2-5x+2>0 $. Čo je to kvadratická nerovnosť?
.Ako vyriešiť kvadratické nerovnosti?
Graficky
Intervalová metóda
Umocnením dvojčlenky
, ≥), kde p a q sú nejaké čísla.
, ≥) a ako to riešiť, článok vysvetľuje riešenie kvadratických nerovníc izoláciou druhej mocniny binomu. Nechýbajú ani príklady riešenia kvadratických nerovníc pomocou tejto metódy a potrebné grafické znázornenia.
Nerovnosti, ktoré sa znižujú na kvadratické
je ekvivalentná kvadratickej nerovnosti x 2 −6 x−9<0
, а logaritmická nerovnosť 
– nerovnosť x 2 +x−2≥0.
Riešením bude interval (–5,–4). Pre všetky hodnoty „x“, ktoré k nemu patria, bude nerovnosť pravdivá.
Nové články
- Ďalší „vlastenecky čudný inkubátor“ - vedecký kabinet kuriozít
- Nová hypotéza o dýchaní
- Využitie inovatívnych technológií v intelektuálnom rozvoji detí
- Testovanie budúcnosti. Ako zistiť budúcnosť. Predpovedanie udalostí a osudu: ako poznať budúcnosť
- Emócie ako zdroj mnohých životných problémov
- Metodický vývoj na tému: Lekcia vývojového riadenia Lekcia obchodná hra „Škola“
- Cromwellova poprava po smrti
- Morčacie hovädzie Stroganoff Recept Ako si vyrobiť morčacie prsné hovädzie Stroganoff
- Cícerové rezne: recept s fotografiami
- Transparentný džem z ranetki s chvostom - lahodné a originálne recepty na jantárovú pochúťku
Populárne články
- Pôstne zeleninové lasagne Pôstne lasagne s paradajkovou omáčkou
- Zistite najlepšie recepty na varenie pohánkovej kaše s mäsom na panvici, v rúre, v pomalom hrnci Pohánková kaša s mäsom a cibuľou
- Kefírové palacinky v rúre Recept na výrobu palaciniek bez kvasníc v rúre
- Recepty na správnu prípravu trnkového džemu so semienkami
- Julia Vysotskaya: ako variť pastiersky koláč s mäsom a zemiakmi Od Gordona Ramsayho
- Recept na lahodné cestoviny s duseným mäsom v pomalom hrnci Cestoviny s duseným mäsom v pomalom hrnci pre pánov recept
- Ako upiecť cupcake v šálke v rúre a mikrovlnnej rúre
- Postup pri prijímaní dotácií na bývanie pre vojenský personál
- Príspevok na vojenské bývanie
- Filozofické chápanie problému globalizácie – abstraktné