Čo sa nazýva racionálne číslo. Definícia racionálnych čísel

Definícia racionálnych čísel

Racionálne čísla zahŕňajú:

• Prirodzené čísla, ktoré možno znázorniť ako zlomok. Napríklad $7=\frac(7)(1)$.
• Celé čísla vrátane nuly, ktoré môžu byť vyjadrené ako kladný alebo záporný zlomok alebo ako nula. Napríklad $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
• Bežné zlomky (kladné alebo záporné).
• Zmiešané čísla, ktoré možno znázorniť ako nesprávny zlomok. Napríklad $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ a $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• Ultimate desiatkový a nekonečný periodický zlomok, ktorý môže byť reprezentovaný ako obyčajný zlomok. Napríklad $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

Poznámka 1

Všimnite si, že nekonečný neperiodický desatinný zlomok nepatrí k racionálnym číslam, pretože nemôže byť reprezentovaný ako obyčajný zlomok.

Príklad 1

Prirodzené čísla $7, 670, 21\456$ sú racionálne.

Celé čísla $76, –76, 0, –555\666$ sú racionálne.

Bežné zlomky $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ – racionálne čísla .

Racionálne čísla sa teda delia na kladné a záporné. Číslo nula je racionálne, ale nie je ani kladné, ani záporné racionálne číslo.

Poďme formulovať viac krátka definícia racionálne čísla.

Definícia 3

Racionálne sú čísla, ktoré možno znázorniť ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok.

Možno vyvodiť tieto závery:

• kladné a záporné celé čísla a zlomkové čísla patria do množiny racionálnych čísel;
• racionálne čísla môžu byť reprezentované ako zlomok, ktorý má celé číslo a prirodzeného menovateľa a je racionálnym číslom;
• racionálne čísla môžu byť reprezentované ako ľubovoľný periodický desatinný zlomok, ktorý je racionálnym číslom.

Ako zistiť, či je číslo racionálne

1. Číslo je uvedené ako číselné vyjadrenie, ktorý sa skladá len z racionálnych čísel a znamienok aritmetických operácií. V tomto prípade bude hodnotou výrazu racionálne číslo.
2. Druhá odmocnina prirodzeného čísla je racionálnym číslom iba vtedy, ak odmocnina obsahuje číslo, ktoré je dokonalou druhou mocninou nejakého prirodzeného čísla. Napríklad $\sqrt(9)$ a $\sqrt(121)$ sú racionálne čísla, pretože $9=3^2$ a $121=11^2$.
3. $n$-tá odmocnina celého čísla je racionálne číslo iba vtedy, ak je číslo pod znamienkom odmocniny $n$-tou mocninou nejakého celého čísla. Napríklad $\sqrt(8)$ je racionálne číslo, pretože 8 $ = 2^3 $.

Na číselnej osi sú racionálne čísla husto rozmiestnené: medzi každé dve racionálne čísla, ktoré sa navzájom nerovnajú, môže byť umiestnené aspoň jedno racionálne číslo (teda nekonečná množina racionálnych čísel). Zároveň sa množina racionálnych čísel vyznačuje spočítateľnou mohutnosťou (to znamená, že všetky prvky množiny môžu byť očíslované). Starí Gréci dokázali, že existujú čísla, ktoré sa nedajú zapísať zlomkom. Ukázali, že neexistuje žiadne racionálne číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná $2$. Potom sa racionálne čísla ukázali ako nedostatočné na vyjadrenie všetkých veličín, čo neskôr viedlo k vzniku reálnych čísel. Množina racionálnych čísel je na rozdiel od reálnych čísel nulová.

Definícia racionálnych čísel:

Racionálne číslo je číslo, ktoré možno vyjadriť ako zlomok. Čitateľ takéhoto zlomku patrí do množiny celých čísel a menovateľ patrí do množiny prirodzených čísel.

Prečo sa čísla nazývajú racionálne?

V latinčine ratio znamená pomer. Racionálne čísla možno reprezentovať ako vzťah, t.j. inými slovami, ako zlomok.

Príklad racionálneho čísla

Číslo 2/3 je racionálne číslo. prečo? Toto číslo je znázornené ako zlomok, ktorého čitateľ patrí do množiny celých čísel a menovateľ do množiny prirodzených čísel.

Ďalšie príklady racionálnych čísel nájdete v článku.

Rovnaké racionálne čísla

Rôzne frakcie môže predstavovať jedno racionálne číslo.

Zvážte racionálne číslo 3/5. Toto racionálne číslo sa rovná

Znížme čitateľa a menovateľa spoločným faktorom 2:

6	=	2 * 3	=	3
10		2 * 5		5

Dostali sme zlomok 3/5, čo znamená, že

) sú čísla s kladným alebo záporným znamienkom (celé čísla a zlomky) a nulou. Presnejší koncept racionálnych čísel znie takto:

Racionálne číslo- číslo, ktoré je znázornené ako spoločný zlomok m/n, kde je čitateľ m sú celé čísla a menovateľ n- celé čísla, napríklad 2/3.

Nekonečné neperiodické zlomky NIE SÚ zahrnuté v množine racionálnych čísel.

a/b, Kde a∈ Z (a patrí k celým číslam), b∈ N (b patrí medzi prirodzené čísla).

Používanie racionálnych čísel v reálnom živote.

IN skutočný život množina racionálnych čísel sa používa na počítanie častí niektorých celočíselných deliteľných objektov, Napríklad, koláče alebo iné potraviny, ktoré sú pred konzumáciou nakrájané na kúsky, alebo na približný odhad priestorových vzťahov rozšírených predmetov.

Vlastnosti racionálnych čísel.

Základné vlastnosti racionálnych čísel.

1. Poriadok a A b existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje jednoznačne identifikovať 1 a iba jeden z 3 vzťahov medzi nimi: “<», «>" alebo "=". Toto pravidlo je - objednávacie pravidlo a formuluj to takto:

• 2 kladné čísla a=m a /n a A b=mb/nb súvisia rovnakým vzťahom ako 2 celé čísla m a⋅ n b A m b⋅ n a;
• 2 záporné čísla a A b súvisia rovnakým pomerom ako 2 kladné čísla |b| A |a|;
• Kedy a pozitívne a b- teda negatívny a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operácia sčítania. Pre všetky racionálne čísla a A b Existuje sumačné pravidlo, ktorý im priraďuje určité racionálne číslo c. Navyše samotné číslo c- Toto súčetčísla a A b a označuje sa ako (a+b) zhrnutie.

Súhrnné pravidlo vyzerá takto:

m a/n a + mb/nb = (m a⋅ nb + mb⋅ n a)/(n a⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Operácia násobenia. Pre všetky racionálne čísla a A b Existuje pravidlo násobenia, spája ich s určitým racionálnym číslom c. Volá sa číslo c prácačísla a A b a označujú (a⋅b), a proces hľadania tohto čísla sa nazýva násobenie.

Pravidlo násobenia vyzerá takto: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Tranzitivita poradového vzťahu. Pre ľubovoľné tri racionálne čísla a, b A c Ak a menej b A b menej c, To a menej c, A keď a rovná sa b A b rovná sa c, To a rovná sa c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Komutatívnosť sčítania. Zmena miesta racionálnych členov nezmení súčet.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Adičná asociativita. Poradie, v ktorom sú sčítané 3 racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, pri sčítaní zachováva každé druhé racionálne číslo.

∃ 0 ∈ Q∀ a∈ Q a+0=a

8. Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo a keď sa sčítajú, výsledkom je 0.

∀ a∈ Q∃ (-a)∈ Qa+(-a)=0

9. Komutivita násobenia. Zmena miesta racionálnych faktorov nezmení produkt.

∀ a,b∈ Q a⋅ b = b⋅ a

10. Asociativita násobenia. Poradie, v ktorom sa násobia 3 racionálne čísla, nemá na výsledok žiadny vplyv.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Dostupnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, zachováva každé druhé racionálne číslo v procese násobenia.

∃ 1 ∈ Q∀ a∈ Q a⋅ 1 = a

12. Prítomnosť recipročných čísel. Každé racionálne číslo iné ako nula má inverzné racionálne číslo, ktorého vynásobením dostaneme 1 .

∀ a∈ Q∃ a-1∈ Q a⋅ a-1=1

13. Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia súvisí so sčítaním pomocou distributívneho zákona:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Vzťah medzi objednávkovým vzťahom a operáciou sčítania. Doľava a pravá strana Pre racionálne nerovnosti sa pridá rovnaké racionálne číslo.

∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c

15. Vzťah medzi reláciou objednávky a operáciou násobenia. Ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno vynásobiť rovnakým nezáporným racionálnym číslom.

∀ a,b,c∈ Q c > 0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo a, je ľahké vziať toľko jednotiek, že ich súčet bude väčší a.

Ako sme už videli, množina prirodzených čísel

je uzavretá pod sčítaním a násobením a množinou celých čísel

uzavreté pod sčítaním, násobením a odčítaním. Žiadna z týchto množín však nie je uzavretá delením, pretože výsledkom delenia celých čísel môžu byť zlomky, ako v prípade 4/3, 7/6, -2/5 atď. Množina všetkých takýchto zlomkov tvorí množinu racionálnych čísel. Racionálne číslo (racionálny zlomok) je teda číslo, ktoré môže byť vyjadrené v tvare , kde a a d sú celé čísla a d sa nerovná nule. Urobme niekoľko poznámok k tejto definícii.

1) Požadovali sme, aby d bolo nenulové. Táto požiadavka (matematicky zapísaná ako nerovnosť) je nevyhnutná, pretože tu d je deliteľ. Zvážte nasledujúce príklady:

Prípad 1.

Prípad 2...

V prípade 1 je d deliteľ v zmysle predchádzajúcej kapitoly, teda 7 je presný deliteľ 21. V prípade 2 je d stále deliteľ, ale v inom zmysle, keďže 7 nie je presný deliteľ 25. .

Ak nazveme 25 deliteľom a 7 deliteľom, dostaneme podiel 3 a zvyšok 4. Slovo deliteľ sa tu teda používa vo všeobecnom význame a platí pre viac prípadoch ako v kap. I. Avšak v prípadoch, ako je prípad 1, pojem deliteľa zavedený v kap. I; preto je potrebné, ako v kap. I, vylučuje možnosť d = 0.

2) Všimnite si, že kým výrazy racionálne číslo a racionálny zlomok sú synonymá, samotné slovo zlomok sa používa na označenie akéhokoľvek algebraický výraz pozostávajúce z čitateľa a menovateľa, ako napr

3) Definícia racionálneho čísla zahŕňa výraz „číslo, ktoré môže byť vyjadrené v tvare , kde a a d sú celé čísla a . Prečo sa to nedá nahradiť výrazom „číslo tvaru , kde a a d sú celé čísla a Dôvodom je skutočnosť, že existuje nekonečne veľa spôsobov, ako vyjadriť ten istý zlomok (napríklad 2/3 môžu písať aj ako 4/6, 6/9, alebo alebo 213/33, alebo, atď.) a je pre nás žiaduce, aby naša definícia racionálneho čísla nezávisela od konkrétneho spôsobu jeho vyjadrenia.

Zlomok je definovaný tak, že jeho hodnota sa nemení, keď sa čitateľ a menovateľ vynásobia rovnakým číslom. Nie vždy je však možné len pohľadom na daný zlomok zistiť, či je racionálny alebo nie. Zoberme si napríklad čísla

Žiadna z nich v položke, ktorú sme si vybrali, nemá tvar , kde a a d sú celé čísla.

Môžeme však vykonať sériu aritmetických transformácií na prvom zlomku a získať

Dostaneme sa teda k zlomku rovnému pôvodnému zlomku, pre ktorý . Číslo je teda racionálne, ale nebolo by racionálne, keby definícia racionálneho čísla vyžadovala, aby číslo bolo v tvare a/b, kde a a b sú celé čísla. V prípade konverzie frakcií

viesť k číslu. V ďalších kapitolách sa dozvieme, že číslo nemožno reprezentovať ako pomer dvoch celých čísel, a preto nie je racionálne alebo sa o ňom hovorí, že je iracionálne.

4) Všimnite si, že každé celé číslo je racionálne. Ako sme práve videli, platí to v prípade čísla 2. Vo všeobecnom prípade ľubovoľných celých čísel možno podobne priradiť menovateľovi 1 každému z nich a získať ich reprezentáciu ako racionálne zlomky.

Téma racionálnych čísel je pomerne rozsiahla. Môžete o tom hovoriť donekonečna a písať celé diela, zakaždým vás prekvapia nové funkcie.

Aby sme sa v budúcnosti vyhli chybám, v tejto lekcii prenikneme trochu hlbšie do témy racionálnych čísel, pozbierame z nej potrebné informácie a ideme ďalej.

Obsah lekcie

Čo je racionálne číslo

Racionálne číslo je číslo, ktoré možno znázorniť ako zlomok, kde a- toto je čitateľ zlomku, b je menovateľ zlomku. Navyše b nesmie byť nula, pretože delenie nulou nie je povolené.

Racionálne čísla zahŕňajú nasledujúce kategórie čísel:

• celé čísla (napríklad −2, −1, 0 1, 2 atď.)

• desatinné zlomky (napríklad 0,2 atď.)

• nekonečné periodické zlomky (napríklad 0, (3) atď.)

Každé číslo v tejto kategórii môže byť vyjadrené ako zlomok.

Príklad 1 Celé číslo 2 môže byť vyjadrené ako zlomok. To znamená, že číslo 2 platí nielen pre celé čísla, ale aj pre racionálne.

Príklad 2 Zmiešané číslo môže byť vyjadrené ako zlomok. Tento zlomok sa získa prevodom zmiešaného čísla na nesprávny zlomok

To znamená, že zmiešané číslo je racionálne číslo.

Príklad 3 Desatinné číslo 0,2 môže byť vyjadrené ako zlomok. Táto frakcia bola získaná prevedením desatinnej frakcie 0,2 na bežnú frakciu. Ak máte v tomto bode ťažkosti, zopakujte tému.

Keďže desatinný zlomok 0,2 možno znázorniť ako zlomok, znamená to, že patrí aj medzi racionálne čísla.

Príklad 4. Nekonečný periodický zlomok 0, (3) môže byť reprezentovaný zlomkom. Táto frakcia sa získa premenou čistej periodickej frakcie na bežnú frakciu. Ak máte v tomto bode ťažkosti, zopakujte tému.

Keďže nekonečný periodický zlomok 0, (3) možno znázorniť zlomkom, znamená to, že patrí aj medzi racionálne čísla.

V budúcnosti budeme čoraz častejšie volať všetky čísla, ktoré môžu byť vyjadrené ako zlomok jednou frázou - racionálne čísla.

Racionálne čísla na súradnicovej čiare

Pozreli sme sa na súradnicovú čiaru, keď sme študovali záporné čísla. Pripomeňme, že ide o priamku, na ktorej leží veľa bodov. Nasledovne:

Tento obrázok ukazuje malý fragment súradnicovej čiary od -5 do 5.

Označenie celých čísel v tvare 2, 0, −3 na súradnicovej čiare nie je zložité.

Veci sú oveľa zaujímavejšie s inými číslami: s obyčajnými zlomkami, zmiešanými číslami, desatinnými číslami atď. Tieto čísla ležia medzi celými číslami a týchto čísel je nekonečne veľa.

Vyznačme si napríklad racionálne číslo na súradnicovej čiare. Toto číslo leží presne medzi nulou a jednotkou

Skúsme pochopiť, prečo sa zlomok zrazu nachádza medzi nulou a jednotkou.

Ako bolo uvedené vyššie, medzi celými číslami ležia ďalšie čísla - bežné zlomky, desatinné miesta, zmiešané čísla atď. Napríklad, ak zväčšíte časť súradnicovej čiary z 0 na 1, uvidíte nasledujúci obrázok

Je vidieť, že medzi celými číslami 0 a 1 sú ďalšie racionálne čísla, ktoré sú známymi desatinnými zlomkami. Tu môžete vidieť náš zlomok, ktorý sa nachádza na rovnakom mieste ako desatinný zlomok 0,5. Dôkladné preskúmanie tohto čísla dáva odpoveď na otázku, prečo sa zlomok nachádza práve tam.

Zlomok znamená delenie 1 2. A ak 1 delíme 2, dostaneme 0,5

Desatinný zlomok 0,5 možno zamaskovať ako iné zlomky. Zo základnej vlastnosti zlomku vieme, že ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobí alebo vydelí rovnakým číslom, potom sa hodnota zlomku nemení.

Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobí ľubovoľným číslom, napríklad číslom 4, dostaneme nový zlomok a tento zlomok sa tiež rovná 0,5

To znamená, že na súradnicovej čiare môže byť zlomok umiestnený na rovnakom mieste, kde sa zlomok nachádzal

Príklad 2 Skúsme na súradnici vyznačiť racionálne číslo. Toto číslo sa nachádza presne medzi číslami 1 a 2

Hodnota zlomku je 1,5

Ak zväčšíme úsek súradnicovej čiary z 1 na 2, uvidíme nasledujúci obrázok:

Je vidieť, že medzi celými číslami 1 a 2 sú ďalšie racionálne čísla, ktoré sú známymi desatinnými zlomkami. Tu môžete vidieť náš zlomok, ktorý sa nachádza na rovnakom mieste ako desatinný zlomok 1,5.

Zväčšili sme určité segmenty na súradnicovej čiare, aby sme videli zostávajúce čísla ležiace na tomto segmente. V dôsledku toho sme objavili desatinné zlomky, ktoré mali jednu číslicu za desatinnou čiarkou.

Ale to neboli jediné čísla ležiace na týchto segmentoch. Na súradnicovej čiare leží nekonečne veľa čísel.

Nie je ťažké uhádnuť, že medzi desatinnými zlomkami, ktoré majú jednu číslicu za desatinnou čiarkou, sú ďalšie desatinné zlomky, ktoré majú za desatinnou čiarkou dve číslice. Inými slovami, stotiny segmentu.

Skúsme napríklad vidieť čísla, ktoré ležia medzi desatinnými zlomkami 0,1 a 0,2

Ďalší príklad. Desatinné zlomky, ktoré majú za desatinnou čiarkou dve číslice a ležia medzi nulou a racionálnym číslom 0,1, vyzerajú takto:

Príklad 3 Označme racionálne číslo na súradnicovej čiare. Toto racionálne číslo bude veľmi blízko nule

Hodnota zlomku je 0,02

Ak zväčšíme segment z 0 na 0,1, uvidíme, kde presne sa nachádza racionálne číslo

Je vidieť, že naše racionálne číslo sa nachádza na rovnakom mieste ako desatinný zlomok 0,02.

Príklad 4. Označme racionálne číslo 0 na súradnici, (3)

Racionálne číslo 0, (3) je nekonečný periodický zlomok. Jeho zlomková časť nikdy nekončí, je nekonečná

A keďže číslo 0,(3) má nekonečnú zlomkovú časť, znamená to, že nebudeme schopní nájsť presné miesto na súradnicovej čiare, kde sa toto číslo nachádza. Toto miesto môžeme naznačiť len približne.

Racionálne číslo 0,33333... sa bude nachádzať veľmi blízko bežného desatinného zlomku 0,3

Tento obrázok neukazuje presné umiestnenie čísla 0,(3). Toto je len ilustrácia, ktorá ukazuje, ako blízko môže byť periodický zlomok 0.(3) k bežnému desatinnému zlomku 0,3.

Príklad 5. Označme racionálne číslo na súradnicovej čiare. Toto racionálne číslo sa bude nachádzať v strede medzi číslami 2 a 3

Toto sú 2 (dve celé čísla) a (jedna sekunda). Zlomok sa tiež nazýva „polovica“. Preto sme na súradnicovej čiare označili dva celé segmenty a ďalší polovičný segment.

Ak zmiešané číslo prevedieme na nevlastný zlomok, dostaneme obyčajný zlomok. Tento zlomok na súradnicovej čiare bude umiestnený na rovnakom mieste ako zlomok

Hodnota zlomku je 2,5

Ak zväčšíme úsek súradnicovej čiary z 2 na 3, uvidíme nasledujúci obrázok:

Je vidieť, že naše racionálne číslo sa nachádza na rovnakom mieste ako desatinný zlomok 2,5

Mínus pred racionálnym číslom

V predchádzajúcej lekcii, ktorá sa volala, sme sa naučili deliť celé čísla. Kladné aj záporné čísla môžu pôsobiť ako dividenda a deliteľ.

Uvažujme o najjednoduchšom výraze

(−6) : 2 = −3

V tomto výraze je dividenda (-6) záporné číslo.

Teraz zvážte druhý výraz

6: (−2) = −3

Tu je už deliteľ (−2) záporné číslo. Ale v oboch prípadoch dostaneme rovnakú odpoveď -3.

Vzhľadom na to, že každé delenie možno zapísať ako zlomok, môžeme vyššie uvedené príklady napísať aj ako zlomok:

A keďže v oboch prípadoch je hodnota zlomku rovnaká, mínus v čitateli alebo v menovateli možno urobiť spoločným tak, že ho umiestnite pred zlomok.

Preto môžete medzi výrazy a a vložiť znamienko rovnosti, pretože majú rovnaký význam

Ak sa v budúcnosti pri práci so zlomkami stretneme s mínusom v čitateli alebo menovateli, toto mínus spravíme spoločným tak, že ho umiestnime pred zlomok.

Opačné racionálne čísla

Rovnako ako celé číslo, aj racionálne číslo má svoje opačné číslo.

Napríklad pre racionálne číslo opačné číslo je . Nachádza sa na súradnicovej línii symetricky k polohe vzhľadom na počiatok súradníc. Inými slovami, obe tieto čísla sú rovnako vzdialené od pôvodu

Prevod zmiešaných čísel na nesprávne zlomky

Vieme, že na to, aby sme zmiešané číslo previedli na nevlastný zlomok, musíme celú časť vynásobiť menovateľom zlomkovej časti a pripočítať ju k čitateľovi zlomkovej časti. Výsledné číslo bude čitateľom nového zlomku, no menovateľ zostane rovnaký.

Preveďme napríklad zmiešané číslo na nesprávny zlomok

Vynásobte celú časť menovateľom zlomkovej časti a pridajte čitateľa zlomkovej časti:

Vypočítajme tento výraz:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Výsledné číslo 5 bude čitateľom nového zlomku, ale menovateľ zostane rovnaký:

Úplne tento postup sa píše takto:

Ak chcete vrátiť pôvodné zmiešané číslo, stačí vybrať celú časť v zlomku

Ale táto metóda prevodu zmiešaného čísla na nesprávny zlomok je použiteľná iba vtedy, ak je zmiešané číslo kladné. Pre záporné číslo táto metóda nebude fungovať.

Zoberme si zlomok. Vyberme celú časť tohto zlomku. Dostaneme

Ak chcete vrátiť pôvodný zlomok, musíte previesť zmiešané číslo na nesprávny zlomok. Ak však použijeme staré pravidlo, konkrétne vynásobíme celú časť menovateľom zlomkovej časti a k ​​výslednému číslu pridáme čitateľa zlomkovej časti, dostaneme nasledujúci rozpor:

Dostali sme zlomok, ale zlomok sme mali dostať.

Dospeli sme k záveru, že zmiešané číslo bolo nesprávne prevedené na nesprávny zlomok

Ak chcete správne previesť záporné zmiešané číslo na nesprávny zlomok, musíte vynásobiť celú časť menovateľom zlomkovej časti a z výsledného čísla odčítaťčitateľ zlomkovej časti. V tomto prípade nám všetko padne na svoje miesto

Záporné zmiešané číslo je opakom zmiešaného čísla. Ak je kladné zmiešané číslo umiestnené na pravej strane a vyzerá takto