Ako odčítať zlomky s rovnakým čitateľom. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi. Sčítanie a odčítanie obyčajných zlomkov

Táto lekcia bude zahŕňať sčítanie a odčítanie. algebraické zlomky s rôznych menovateľov. Už vieme, ako sčítať a odčítať bežné zlomky s rôznymi menovateľmi. Aby sa to dosiahlo, musia sa zlomky zredukovať na spoločný menovateľ. Ukazuje sa, že algebraické zlomky sa riadia rovnakými pravidlami. Zároveň už vieme, ako zredukovať algebraické zlomky na spoločného menovateľa. Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi je jednou z najdôležitejších a najťažších tém v kurze 8. ročníka. Okrem toho sa táto téma nachádza v mnohých témach kurzu algebry, ktoré budete študovať v budúcnosti. V rámci lekcie si preštudujeme pravidlá sčítania a odčítania algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi, ako aj analyzujeme množstvo typických príkladov.

Zvážte najjednoduchší príklad pre obyčajné zlomky.

Príklad 1 Pridajte zlomky: .

Riešenie:

Pamätajte na pravidlo sčítania zlomkov. Na začiatok treba zlomky zredukovať na spoločného menovateľa. Spoločným menovateľom obyčajných zlomkov je najmenší spoločný násobok(LCM) pôvodných menovateľov.

Definícia

Najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné číslami aj .

Na nájdenie LCM je potrebné rozložiť menovateľov na prvočísla a potom vybrať všetky prvočísla, ktoré sú zahrnuté v expanzii oboch menovateľov.

; . Potom LCM čísel musí obsahovať dve 2 a dve 3: .

Po nájdení spoločného menovateľa je potrebné nájsť ďalší faktor pre každý zo zlomkov (v skutočnosti vydeľte spoločného menovateľa menovateľom príslušného zlomku).

Potom sa každý zlomok vynásobí výsledným dodatočným faktorom. Frakcie sa získavajú z rovnakých menovateľov, sčítajte a odčítajte, čo sme sa naučili v predchádzajúcich lekciách.

Dostaneme: .

odpoveď:.

Zvážte teraz sčítanie algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi. Najprv zvážte zlomky, ktorých menovateľmi sú čísla.

Príklad 2 Pridajte zlomky: .

Riešenie:

Algoritmus riešenia je úplne podobný predchádzajúcemu príkladu. Je ľahké nájsť spoločného menovateľa pre tieto zlomky: a ďalšie faktory pre každý z nich.

.

odpoveď:.

Poďme teda formulovať algoritmus na sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi:

1. Nájdite najmenšieho spoločného menovateľa zlomkov.

2. Nájdite ďalšie faktory pre každý zo zlomkov (vydelením spoločného menovateľa menovateľom tohto zlomku).

3. Vynásobte čitateľov príslušnými dodatočnými faktormi.

4. Sčítajte alebo odčítajte zlomky pomocou pravidiel na sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.

Zvážte teraz príklad so zlomkami, ktorých menovateľ obsahuje doslovné výrazy.

Príklad 3 Pridajte zlomky: .

Riešenie:

Keďže doslovné výrazy v oboch menovateľoch sú rovnaké, mali by ste pre čísla nájsť spoločného menovateľa. Konečný spoločný menovateľ bude vyzerať takto: . Takže riešenie tohto príkladu je:

odpoveď:.

Príklad 4 Odčítajte zlomky: .

Riešenie:

Ak nemôžete „podvádzať“ pri výbere spoločného menovateľa (nemôžete ho faktorizovať ani používať skrátené vzorce na násobenie), potom musíte za spoločného menovateľa brať súčin menovateľov oboch zlomkov.

odpoveď:.

Vo všeobecnosti je pri riešení takýchto príkladov najťažšou úlohou nájsť spoločného menovateľa.

Pozrime sa na zložitejší príklad.

Príklad 5 Zjednodušiť: .

Riešenie:

Pri hľadaní spoločného menovateľa sa musíte najskôr pokúsiť rozložiť menovateľov pôvodných zlomkov (pre zjednodušenie spoločného menovateľa).

V tomto konkrétnom prípade:

Potom je ľahké určiť spoločného menovateľa: .

Zisťujeme ďalšie faktory a riešime tento príklad:

odpoveď:.

Teraz opravíme pravidlá sčítania a odčítania zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Príklad 6 Zjednodušiť: .

Riešenie:

odpoveď:.

Príklad 7 Zjednodušiť: .

Riešenie:

.

odpoveď:.

Zvážte teraz príklad, v ktorom sa nepridávajú dva, ale tri zlomky (napokon, pravidlá pre sčítanie a odčítanie viac zlomky zostávajú rovnaké).

Príklad 8 Zjednodušiť: .

Akcie so zlomkami. V tomto článku budeme analyzovať príklady, všetko je podrobne uvedené s vysvetleniami. Budeme brať do úvahy bežné zlomky. V budúcnosti budeme analyzovať desatinné čísla. Odporúčam pozrieť si celé a študovať postupne.

1. Súčet zlomkov, rozdiel zlomkov.

Pravidlo: pri sčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi je výsledkom zlomok, ktorého menovateľ zostáva rovnaký a jeho čitateľ bude sa rovná súčtučitateľov zlomkov.

Pravidlo: pri výpočte rozdielu zlomkov s rovnakými menovateľmi dostaneme zlomok - menovateľ zostáva rovnaký a čitateľ druhého sa odčíta od čitateľa prvého zlomku.

Formálny zápis súčtu a rozdielu zlomkov s rovnakými menovateľmi:

Príklady (1):

Je jasné, že keď sú uvedené bežné zlomky, potom je všetko jednoduché, ale ak sú zmiešané? Nič zložité...

možnosť 1- môžete ich previesť na obyčajné a potom ich vypočítať.

Možnosť 2- môžete samostatne "pracovať" s celými a zlomkovými časťami.

Príklady (2):

Ešte:

A ak je daný rozdiel dvoch zmiešaných zlomkov a čitateľ prvého zlomku je menší ako čitateľ druhého? Dá sa to urobiť aj dvoma spôsobmi.

Príklady (3):

* Preložené do obyčajných zlomkov, vypočítané rozdiel, previesť výsledný nesprávny zlomok na zmiešaný.

* Po rozdelení na celé číslo a zlomkové časti dostaneme tri, potom uvedieme 3 ako súčet 2 a 1, pričom jednotku predstavíme ako 11/11, potom nájdeme rozdiel medzi 11/11 a 7/11 a vypočítame výsledok. Zmyslom vyššie uvedených transformácií je zobrať (vybrať) jednotku a prezentovať ju ako zlomok s menovateľom, ktorý potrebujeme, potom od tohto zlomku už môžeme odčítať ďalší.

Ďalší príklad:

Záver: existuje univerzálny prístup - na výpočet súčtu (rozdielu) zmiešaných zlomkov s rovnakými menovateľmi je možné ich vždy previesť na nesprávne a potom vykonať potrebné opatrenie. Potom, ak v dôsledku toho dostaneme nesprávny zlomok, preložíme ho na zmiešaný.

Vyššie sme sa pozreli na príklady so zlomkami, ktoré majú rovnakých menovateľov. Čo ak sa menovatelia líšia? V tomto prípade sa zlomky znížia na rovnaký menovateľ a vykoná sa zadaná akcia. Na zmenu (transformáciu) zlomku sa využíva hlavná vlastnosť zlomku.

Zvážte jednoduché príklady:

V týchto príkladoch okamžite vidíme, ako možno jeden zo zlomkov previesť na rovnakých menovateľov.

Ak určíme spôsoby, ako zredukovať zlomky na jeden menovateľ, potom sa tento bude nazývať PRVÁ SPÔSOB.

To znamená, že ihneď pri „vyhodnotení“ zlomku musíte zistiť, či takýto prístup bude fungovať - ​​skontrolujeme, či je väčší menovateľ deliteľný menším. A ak sa delí, tak vykonáme transformáciu – vynásobíme čitateľa a menovateľa tak, aby sa menovatelia oboch zlomkov vyrovnali.

Teraz sa pozrite na tieto príklady:

Tento prístup sa na nich nevzťahuje. Existujú aj iné spôsoby, ako znížiť zlomky na spoločného menovateľa, zvážte ich.

Metóda DRUHÁ.

Vynásobte čitateľa a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého a čitateľa a menovateľa druhého zlomku menovateľom prvého zlomku:

*V skutočnosti zlomky do tvaru privedieme, keď sa menovatelia stanú rovnakými. Ďalej použijeme pravidlo sčítania nesmelý s rovnakými menovateľmi.

Príklad:

*Túto metódu možno nazvať univerzálnou a vždy funguje. Jediným negatívom je, že po výpočtoch sa môže ukázať zlomok, ktorý bude potrebné ďalej znižovať.

Zvážte príklad:

Je vidieť, že čitateľ a menovateľ sú deliteľné 5:

Metóda TRETIA.

Nájdite najmenší spoločný násobok (LCM) menovateľov. Toto bude spoločný menovateľ. čo je to za číslo? Toto je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné každým z čísel.

Pozri, tu sú dve čísla: 3 a 4, je nimi veľa čísel, ktoré sú deliteľné - sú to 12, 24, 36, ... Najmenšie z nich je 12. Alebo 6 a 15, 30, 60, 90 sú nimi deliteľné.... Najmenej 30. Otázka - ako určiť tento najmenší spoločný násobok?

Existuje jasný algoritmus, ale často sa to dá urobiť okamžite bez výpočtov. Napríklad podľa vyššie uvedených príkladov (3 a 4, 6 a 15) nie je potrebný žiadny algoritmus, zobrali sme veľké čísla (4 a 15), zdvojnásobili sme ich a videli sme, že sú deliteľné druhým číslom, ale páry čísel môžu byť aj iné, napríklad 51 a 119.

Algoritmus. Ak chcete určiť najmenší spoločný násobok niekoľkých čísel, musíte:

- rozložiť každé z čísel na JEDNODUCHÉ faktory

- vypíšte rozklad VÄČŠIEHO z nich

- vynásobte ho CHYBAJÚCImi faktormi iných čísel

Zvážte príklady:

50 a 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

v rozklade viac chýba jedna päťka

=> LCM(50;60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 a 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

pri rozšírení väčšieho počtu chýbajú dvojka a trojka

=> LCM(48;72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Najmenší spoločný násobok dvoch základné čísla rovná ich produktu

Otázka! A prečo je užitočné nájsť najmenší spoločný násobok, pretože môžete použiť druhú metódu a jednoducho znížiť výsledný zlomok? Áno, môžete, ale nie vždy je to pohodlné. Pozrite sa, aký bude menovateľ čísel 48 a 72, ak ich jednoducho vynásobíte 48∙72 = 3456. Súhlaste, že je príjemnejšie pracovať s menšími číslami.

Zvážte príklady:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

pri rozšírení väčšieho počtu chýba trojka

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

A teraz použijeme prvú metódu:

* Pozrite sa na rozdiel vo výpočtoch, v prvom prípade je ich minimum a v druhom musíte pracovať oddelene na papieri a dokonca aj zlomok, ktorý ste dostali, je potrebné znížiť. Nájdenie LCM značne zjednodušuje prácu.

Ďalšie príklady:

* V druhom príklade je zrejmé, že najmenšie číslo, ktorý je delený 40 a 60 sa rovná 120.

CELKOM! VŠEOBECNÝ ALGORITMUS VÝPOČTU!

- zlomky prinášame k obyčajným, ak nejaké sú celú časť.

- zlomky privedieme k spoločnému menovateľovi (najskôr sa pozrieme, či je jeden menovateľ deliteľný druhým, ak je deliteľný, potom vynásobíme čitateľa a menovateľa tohto druhého zlomku; ak nie je deliteľný, postupujeme pomocou iné metódy uvedené vyššie).

- po prijatí zlomkov s rovnakými menovateľmi vykonávame akcie (sčítanie, odčítanie).

- v prípade potreby znížime výsledok.

- v prípade potreby vyberte celú časť.

2. Súčin frakcií.

Pravidlo je jednoduché. Pri násobení zlomkov sa ich čitatelia a menovatelia násobia:

Príklady:

Úloha. Na základňu priviezli 13 ton zeleniny. Zemiaky tvoria ¾ zo všetkej dovážanej zeleniny. Koľko kilogramov zemiakov priviezli na základňu?

Skončime s prácou.

*Skôr som vám sľúbil, že poskytnem formálne vysvetlenie hlavnej vlastnosti frakcie prostredníctvom produktu, prosím:

3. Delenie zlomkov.

Delenie zlomkov sa redukuje na ich násobenie. Tu je dôležité pamätať na to, že zlomok, ktorý je deliteľom (ten, ktorý je delený), sa otočí a akcia sa zmení na násobenie:

Túto akciu možno zapísať ako takzvaný štvorposchodový zlomok, pretože samotné delenie „:“ možno zapísať aj ako zlomok:

Príklady:

To je všetko! Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

Obsah lekcie

Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi

Sčítanie zlomkov je dvoch typov:

1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Začnime sčítavaním zlomkov s rovnakými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený. Sčítajme napríklad zlomky a . Pridáme čitateľov a menovateľa necháme nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate pizzu:

Príklad 2 Pridajte zlomky a .

Odpoveď je nesprávny zlomok. Ak príde koniec úlohy, je zvykom zbaviť sa nesprávnych zlomkov. Aby ste sa zbavili nesprávnej frakcie, musíte v nej vybrať celú časť. V našom prípade je celá časť ľahko rozlíšiteľná - dve delené dvoma sa rovnajú jednej:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na dve časti. Ak k pizzi pridáte viac pizze, získate jednu celú pizzu:

Príklad 3. Pridajte zlomky a .

Opäť pridajte čitateľov a ponechajte menovateľa nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak k pizzi pridáte viac pizze, získate pizzu:

Príklad 4 Nájdite hodnotu výrazu

Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Čitatelia sa musia pridať a menovateľ ponechať nezmenený:

Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak pridáte pizzu na pizzu a pridáte viac pizze, získate 1 celú pizzu a viac pizze.

Ako vidíte, pridávanie zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je ťažké. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:

1. Ak chcete pridať zlomky s rovnakým menovateľom, musíte pridať ich čitateľov a menovateľa ponechať nezmenený;

Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Teraz sa naučíme, ako sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi. Pri sčítaní zlomkov musia byť menovatelia týchto zlomkov rovnaké. Ale nie sú vždy rovnaké.

Napríklad zlomky možno sčítať, pretože majú rovnakých menovateľov.

Zlomky však nemožno sčítať naraz, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.

Existuje niekoľko spôsobov, ako znížiť zlomky na rovnakého menovateľa. Dnes zvážime iba jednu z nich, pretože ostatné metódy sa môžu zdať pre začiatočníka komplikované.

Podstata tejto metódy spočíva v tom, že sa hľadá prvý (LCM) z menovateľov oboch zlomkov. Potom sa LCM vydelí menovateľom prvého zlomku a získa sa prvý dodatočný faktor. To isté urobia s druhým zlomkom - NOC sa vydelí menovateľom druhého zlomku a získa sa druhý dodatočný faktor.

Potom sa čitatelia a menovatelia zlomkov vynásobia ich ďalšími faktormi. V dôsledku týchto akcií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, zmenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať.

Príklad 1. Pridajte frakcie a

V prvom rade nájdeme najmenší spoločný násobok menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 6

LCM (2 a 3) = 6

Teraz späť k zlomkom a . Najprv vydelíme LCM menovateľom prvého zlomku a získame prvý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Ak vydelíme 6 3, dostaneme 2.

Výsledné číslo 2 je prvým dodatočným faktorom. Zapisujeme to na prvý zlomok. Za týmto účelom urobíme malú šikmú čiaru nad zlomkom a nad ním zapíšeme nájdený dodatočný faktor:

To isté robíme s druhým zlomkom. LCM vydelíme menovateľom druhého zlomku a dostaneme druhý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Ak vydelíme 6 2, dostaneme 3.

Výsledné číslo 3 je druhým dodatočným faktorom. Napíšeme to na druhý zlomok. Opäť urobíme malú šikmú čiaru nad druhým zlomkom a nad ňu napíšeme nájdený ďalší faktor:

Teraz sme všetci pripravení pridať. Zostáva vynásobiť čitateľov a menovateľov zlomkov ich dodatočnými faktormi:

Pozrite sa pozorne, k čomu sme dospeli. Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať. Dokončite tento príklad až do konca:

Tým sa príklad končí. Ak chcete pridať, ukazuje sa.

Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate jednu celú pizzu a ďalšiu šestinu pizze:

Redukciu zlomkov na rovnaký (spoločný) menovateľ možno znázorniť aj pomocou obrázka. Privedením zlomkov a do spoločného menovateľa dostaneme zlomky a . Tieto dve frakcie budú reprezentované rovnakými plátkami pizze. Jediný rozdiel bude v tom, že tentoraz budú rozdelené na rovnaké podiely (redukované na rovnakého menovateľa).

Prvý obrázok ukazuje zlomok (štyri kusy zo šiestich) a druhý obrázok zobrazuje zlomok (tri kusy zo šiestich). Zložením týchto kúskov dostaneme (sedem kúskov zo šiestich). Tento zlomok je nesprávny, preto sme v ňom zvýraznili celočíselnú časť. Výsledok bol (jedna celá pizza a ďalšia šiesta pizza).

Všimnite si, že sme tento príklad namaľovali príliš podrobne. Vo vzdelávacích inštitúciách nie je zvykom písať tak podrobne. Musíte byť schopní rýchlo nájsť LCM oboch menovateľov a ďalších faktorov k nim, ako aj rýchlo znásobiť dodatočné faktory nájdené vašimi čitateľmi a menovateľmi. V škole by sme tento príklad museli napísať takto:

Je tu však aj druhá strana mince. Ak sa v prvých fázach štúdia matematiky nerobia podrobné poznámky, potom otázky tohto druhu "Odkiaľ pochádza to číslo?", "Prečo sa zlomky zrazu zmenia na úplne iné zlomky? «.

Na uľahčenie pridávania zlomkov s rôznymi menovateľmi môžete použiť nasledujúce podrobné pokyny:

1. Nájdite LCM menovateľov zlomkov;
2. Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte ďalší násobiteľ pre každý zlomok;
3. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov ich ďalšími faktormi;
4. Pridajte zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov;
5. Ak sa ukázalo, že odpoveď je nesprávny zlomok, vyberte celú jeho časť;

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu .

Využime vyššie uvedené pokyny.

Krok 1. Nájdite LCM menovateľov zlomkov

Nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľmi zlomkov sú čísla 2, 3 a 4

Krok 2. Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte ďalší multiplikátor pre každý zlomok

Vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 2. Vydelíme 12 2, dostaneme 6. Získame prvý dodatočný faktor 6. Napíšeme ho cez prvý zlomok:

Teraz delíme LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. 12 vydelíme 3, dostaneme 4. Získame druhý dodatočný faktor 4. Napíšeme ho cez druhý zlomok:

Teraz delíme LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Získame tretí dodatočný faktor 3. Napíšeme ho cez tretí zlomok:

Krok 3. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov vašimi ďalšími faktormi

Čitateľov a menovateľov vynásobíme našimi ďalšími faktormi:

Krok 4. Pridajte zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré majú rovnakých (spoločných) menovateľov. Zostáva pridať tieto zlomky. Sčítať:

Doplnenie sa nezmestilo na jeden riadok, preto sme zvyšný výraz presunuli na ďalší riadok. V matematike je to dovolené. Keď sa výraz nezmestí na jeden riadok, prenesie sa na ďalší riadok a je potrebné umiestniť znamienko rovnosti (=) na koniec prvého riadku a na začiatok nového riadku. Znamienko rovnosti v druhom riadku znamená, že ide o pokračovanie výrazu, ktorý bol v prvom riadku.

Krok 5. Ak sa odpoveď ukázala ako nesprávny zlomok, vyberte v nej celú časť

Naša odpoveď je nesprávny zlomok. Musíme vyčleniť celú jeho časť. Zdôrazňujeme:

Dostal som odpoveď

Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi

Existujú dva typy odčítania zlomkov:

1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Najprv sa naučme, ako odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať rovnaký.

Napríklad nájdime hodnotu výrazu . Na vyriešenie tohto príkladu je potrebné odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a ponechať menovateľa nezmenený. Poďme to spraviť:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu.

Opäť, od čitateľa prvého zlomku, odčítajte čitateľa druhého zlomku a menovateľ ponechajte nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu

Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Od čitateľa prvého zlomku musíte odpočítať čitateľa zvyšných zlomkov:

Ako vidíte, pri odčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je nič zložité. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:

1. Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať nezmenený;
2. Ak sa ukázalo, že odpoveď je nesprávny zlomok, musíte v ňom vybrať celú časť.

Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Napríklad zlomok možno od zlomku odčítať, pretože tieto zlomky majú rovnakých menovateľov. Zlomok však nemožno od zlomku odčítať, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.

Spoločný menovateľ sa nachádza podľa rovnakého princípu, aký sme použili pri sčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi. Najprv nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Potom sa LCM vydelí menovateľom prvého zlomku a získa sa prvý dodatočný faktor, ktorý sa prepíše cez prvý zlomok. Podobne sa LCM vydelí menovateľom druhého zlomku a získa sa druhý dodatočný faktor, ktorý sa prepíše cez druhý zlomok.

Zlomky sa potom vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto operácií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, zmenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať.

Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu:

Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, takže ich musíte priviesť k rovnakému (spoločnému) menovateľovi.

Najprv nájdeme LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 12

LCM (3 a 4) = 12

Teraz späť k zlomkom a

Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. Aby sme to dosiahli, delíme LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Ak vydelíme 12 3, dostaneme 4. Štyri zapíšeme nad prvý zlomok:

To isté robíme s druhým zlomkom. LCM delíme menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Napíšte trojku cez druhý zlomok:

Teraz sme všetci pripravení na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Dokončite tento príklad až do konca:

Dostal som odpoveď

Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak z pizze nakrájate pizzu, dostanete pizzu.

to podrobná verzia riešenia. Byť v škole, museli by sme tento príklad riešiť kratšie. Takéto riešenie by vyzeralo takto:

Redukciu zlomkov a na spoločného menovateľa možno znázorniť aj pomocou obrázka. Privedením týchto zlomkov do spoločného menovateľa dostaneme zlomky a . Tieto zlomky budú reprezentované rovnakými plátkami pizze, ale tentoraz budú rozdelené na rovnaké zlomky (redukované na rovnakého menovateľa):

Prvý nákres ukazuje zlomok (osem kusov z dvanástich) a druhý obrázok ukazuje zlomok (tri kusy z dvanástich). Odrezaním troch kusov z ôsmich kusov dostaneme päť kusov z dvanástich. Zlomok popisuje týchto päť kusov.

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu

Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, takže ich najprv musíte priviesť k rovnakému (spoločnému) menovateľovi.

Nájdite LCM menovateľov týchto zlomkov.

Menovateľmi zlomkov sú čísla 10, 3 a 5. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 30

LCM(10,3,5) = 30

Teraz nájdeme ďalšie faktory pre každý zlomok. Aby sme to dosiahli, delíme LCM menovateľom každého zlomku.

Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. LCM je číslo 30 a menovateľom prvého zlomku je číslo 10. Vydelením 30 10 dostaneme prvý dodatočný faktor 3. Napíšeme ho cez prvý zlomok:

Teraz nájdeme ďalší faktor pre druhý zlomok. Vydeľte LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. Vydelením 30 číslom 3 dostaneme druhý dodatočný faktor 10. Napíšeme ho cez druhý zlomok:

Teraz nájdeme ďalší faktor pre tretí zlomok. Vydeľte LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 5. Vydelením 30 číslom 5 dostaneme tretí dodatočný faktor 6. Napíšeme ho cez tretí zlomok:

Teraz je všetko pripravené na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré majú rovnakých (spoločných) menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Dokončime tento príklad.

Pokračovanie príkladu sa nezmestí na jeden riadok, preto posunieme pokračovanie na ďalší riadok. Nezabudnite na znamienko rovnosti (=) v novom riadku:

Odpoveď sa ukázala ako správny zlomok a zdá sa, že nám všetko vyhovuje, ale je príliš ťažkopádna a škaredá. Mali by sme to uľahčiť. Čo sa dá robiť? Tento zlomok môžete znížiť.

Ak chcete zlomok zmenšiť, musíte vydeliť jeho čitateľa a menovateľa (gcd) číslami 20 a 30.

Nájdeme teda GCD čísel 20 a 30:

Teraz sa vrátime k nášmu príkladu a vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku nájdeným GCD, to znamená 10

Dostal som odpoveď

Násobenie zlomku číslom

Ak chcete vynásobiť zlomok číslom, musíte vynásobiť čitateľa daného zlomku týmto číslom a menovateľa ponechať rovnaký.

Príklad 1. Vynásobte zlomok číslom 1.

Vynásobte čitateľa zlomku číslom 1

Vstup je možné chápať tak, že zaberie polovičný 1 čas. Napríklad, ak si dáte pizzu 1 krát, dostanete pizzu

Zo zákonov násobenia vieme, že ak dôjde k zámene násobiteľa a násobiteľa, súčin sa nezmení. Ak je výraz napísaný ako , potom sa súčin bude stále rovnať . Opäť platí pravidlo pre násobenie celého čísla a zlomku:

Tento zápis možno chápať ako odber polovice jednotky. Napríklad, ak je 1 celá pizza a vezmeme si polovicu z nej, potom budeme mať pizzu:

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa zlomku číslom 4

Odpoveď je nesprávny zlomok. Zoberme si z toho celú časť:

Výraz možno chápať ako brať dve štvrtiny 4 krát. Napríklad, ak si vezmete pizzu 4-krát, dostanete dve celé pizze.

A ak miestami zameníme násobilku a násobilku, dostaneme výraz. Bude sa rovnať aj 2. Tento výraz možno chápať ako odoberanie dvoch pizze zo štyroch celých pízz:

Násobenie zlomkov

Ak chcete vynásobiť zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov. Ak je odpoveďou nesprávny zlomok, musíte v nej vybrať celú časť.

Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu.

Dostal som odpoveď. Je žiaduce znížiť túto frakciu. Zlomok môže byť znížený o 2. Potom bude mať konečné riešenie nasledujúcu formu:

Výraz možno chápať tak, že si vezmete pizzu z polovice pizze. Povedzme, že máme polovicu pizze:

Ako odobrať dve tretiny z tejto polovice? Najprv musíte rozdeliť túto polovicu na tri rovnaké časti:

A vezmite si dva z týchto troch kúskov:

Dáme si pizzu. Pamätajte si, ako vyzerá pizza rozdelená na tri časti:

Jeden plátok z tejto pizze a dva plátky, ktoré sme odobrali, budú mať rovnaké rozmery:

Inými slovami, rozprávame sa približne rovnako veľká pizza. Preto je hodnota výrazu

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:

Odpoveď je nesprávny zlomok. Zoberme si z toho celú časť:

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:

Odpoveď sa ukázala ako správny zlomok, ale bude dobré, ak sa zníži. Ak chcete tento zlomok zmenšiť, musíte vydeliť čitateľa a menovateľa tohto zlomku najväčším spoločným deliteľom (GCD) čísel 105 a 450.

Takže nájdime GCD čísel 105 a 450:

Teraz vydelíme čitateľa a menovateľa našej odpovede na GCD, ktorú sme teraz našli, teda 15

Predstavuje celé číslo ako zlomok

Akékoľvek celé číslo môže byť vyjadrené ako zlomok. Napríklad číslo 5 môže byť reprezentované ako . Z toho päť nezmení svoj význam, pretože výraz znamená „číslo päť delené jedným“ a toto, ako viete, sa rovná piatim:

Obrátené čísla

Teraz sa zoznámime s zaujímavá téma v matematike. Hovorí sa tomu „obrátené čísla“.

Definícia. Obráťte sa na čísloa je číslo, ktoré po vynásobenía dáva jednotku.

Namiesto premennej dosadíme v tejto definícii ačíslo 5 a skúste si prečítať definíciu:

Obráťte sa na číslo 5 je číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jednotku.

Je možné nájsť číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jednotku? Ukazuje sa, že môžete. Predstavme päť ako zlomok:

Potom tento zlomok vynásobte sám, stačí vymeniť čitateľa a menovateľa. Inými slovami, vynásobme zlomok sám o sebe, len prevrátený:

Aký bude výsledok? Ak budeme pokračovať v riešení tohto príkladu, dostaneme jeden:

To znamená, že inverzná hodnota k číslu 5 je číslo, pretože keď sa 5 vynásobí jednotkou, dostaneme jednotku.

Prevrátenú hodnotu možno nájsť aj pre akékoľvek iné celé číslo.

Môžete tiež nájsť prevrátenú hodnotu pre akýkoľvek iný zlomok. K tomu ho stačí otočiť.

Delenie zlomku číslom

Povedzme, že máme polovicu pizze:

Rozdeľme to rovným dielom medzi dvoch. Koľko pizze dostane každý?

Je vidieť, že po rozdelení polovice pizze sa získali dva rovnaké kusy, z ktorých každý tvorí pizzu. Takže každý dostane pizzu.

Delenie zlomkov sa robí pomocou reciprokých. Obrátené čísla umožňujú nahradiť delenie násobením.

Ak chcete rozdeliť zlomok číslom, musíte tento zlomok vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa.

Pomocou tohto pravidla si zapíšeme rozdelenie našej polovice pizze na dve časti.

Preto musíte zlomok vydeliť číslom 2. Dividenda je tu zlomok a deliteľ je 2.

Ak chcete rozdeliť zlomok číslom 2, musíte tento zlomok vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa 2. Prevrátená hodnota deliteľa 2 je zlomok. Takže musíte násobiť

Inštrukcia

Je zvykom oddeľovať obyčajné a desatinné zlomky, s ktorým sa zoznamovanie začína už na strednej škole. V súčasnosti neexistuje taká oblasť poznania, kde by sa to neuplatňovalo. Aj v r hovoríme o prvom 17. storočí a to všetko naraz, čiže 1600-1625. Často sa tiež musíte zaoberať základnými operáciami na , ako aj ich transformáciou z jednej formy do druhej.

Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa je možno najdôležitejšou operáciou. Je základom všetkých výpočtov. Povedzme teda, že sú dve zlomky a/b a c/d. Potom, aby ste ich priviedli k spoločnému menovateľovi, musíte nájsť najmenší spoločný násobok (M) čísel b a d a potom vynásobiť čitateľa prvého zlomky na (M/b) a druhý čitateľ na (M/d).

Porovnávanie zlomkov je ďalšou dôležitou úlohou. Ak to chcete urobiť, dajte daný jednoduchý zlomky k spoločnému menovateľovi a potom porovnajte čitateľov, ktorých čitateľ je väčší, ten zlomok je väčší.

Ak chcete vykonať sčítanie alebo odčítanie bežných zlomkov, musíte ich priviesť k spoločnému menovateľovi a potom z týchto zlomkov vykonať potrebné matematické operácie. Menovateľ zostáva nezmenený. Predpokladajme, že potrebujete odpočítať c/d od a/b. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť najmenší spoločný násobok M čísel b a d a potom odpočítať druhý od jedného čitateľa bez zmeny menovateľa: (a*(M/b)-(c*(M/d) )/M

Stačí vynásobiť jeden zlomok druhým, na to stačí vynásobiť ich čitateľov a menovateľov:
(a / b) * (c / d) \u003d (a * c) / (b * d) Ak chcete rozdeliť jeden zlomok druhým, musíte vynásobiť zlomok dividendy prevrátenou hodnotou deliteľa. (a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)
Je potrebné pripomenúť, že ak chcete získať recipročné, musíte vymeniť čitateľa a menovateľa.

V tejto lekcii budeme uvažovať o sčítaní a odčítaní algebraických zlomkov s rovnakými menovateľmi. Už vieme, ako sčítať a odčítať bežné zlomky s rovnakými menovateľmi. Ukazuje sa, že algebraické zlomky sa riadia rovnakými pravidlami. Schopnosť pracovať so zlomkami s rovnakými menovateľmi je jedným zo základných kameňov osvojovania si pravidiel práce s algebraickými zlomkami. Najmä pochopenie tejto témy uľahčí zvládnutie ďalších ťažká téma- Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi. V rámci lekcie si preštudujeme pravidlá sčítania a odčítania algebraických zlomkov s rovnakými menovateľmi, ako aj analyzujeme niekoľko typických príkladov

Pravidlo na sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov s rovnakými menovateľmi

Sfor-mu-li-ru-em pr-vi-lo slo-zhe-niya (vy-chi-ta-niya) al-geb-ra-and-che-dro-bey s jedným na vás - mi-know-on-te-la-mi (to je co-pa-yes-et s analogickým pravým palcom pre obyčajný-ale-ven-nyh-dr-bay): To je pre doplnenie alebo you-chi-ta-niya al-geb-ra-and-che-dro-bey s one-to-you-mi-know-me-on-te-la-mi je nevyhnutné -ho-di-mo s -stojte s-od-vet-stu-u-th al-geb-ra-i-che-súčet počtu-li-te-lei a znak-me-on-tel odíďte bez iz-me- nie-ny.

Toto právo-vi-lo budeme analyzovať na príklade obyčajných úderov, ale aj na príklade al-geb-ra-and-che-dro-bey.

Príklady použitia pravidla pre obyčajné zlomky

Príklad 1. Sčítajte zlomky:.

Riešenie

Pridajme číslo-či-oni-či remízu-bijú a nechajme znak-me-na-tel rovnaký. Potom rozdelíme numer-li-tel a sign-me-on-tel na jednoduché multiplikátory a so-kra-tim. Poďme na to: .

Poznámka: štandardná chyba, pri riešení niečo spustím v dobrom príklade, pre -key-cha-et-sya v nasledujúcom-du-u-sch-so-so-be-so-she-tion : . Toto je hrubá chyba, pretože prihlasovacie číslo zostáva rovnaké ako v pôvodných zlomkoch.

Príklad 2. Sčítajte zlomky:.

Riešenie

Toto za-da-cha nie je nič z-či-cha-et-sya z predchádzajúceho:.

Príklady aplikácie pravidla pre algebraické zlomky

Od obvyklého-ale-vein-nyh dro-bay per-rey-dem až po al-geb-ra-i-che-skim.

Príklad 3. Sčítajte zlomky:.

Riešenie: ako už bolo uvedené vyššie, pridanie al-geb-ra-and-che-dro-bey nie je nič z-is-cha-is-sya zo zhe-niya zvyčajne-ale-vein-nyh dro-bay. Preto je metóda riešenia rovnaká:.

Príklad 4. Vy-česť zlomky:.

Riešenie

You-chi-ta-nie al-geb-ra-and-che-dro-bey z-či-cha-et-sya z komplikácie len tým, že v počte pi-sy-va-et-sya rozdiel v počte-li-te-lei is-run-nyh-dro-bay. Preto .

Príklad 5. Vy-česť zlomky:.

Riešenie: .

Príklad 6. Zjednodušte:.

Riešenie: .

Príklady použitia pravidla nasledovaného znížením

V zlomku niekto-raj je v re-zul-ta-tych pridavok alebo vy-chi-ta-nia, je mozne co-krasne niya. Okrem toho by ste nemali zabudnúť na ODZ al-geb-ra-i-che-dro-bey.

Príklad 7. Zjednodušte:.

Riešenie: .

V čom . Vo všeobecnosti platí, že ak je ODZ sov v rozhorúčenej oblasti-pa-yes-et s ODZ totálneho zavýjania, potom to nemôžete uviesť (koniec koncov, zlomok v lu-chen-naya v od-ve-ty, tiež nebude existovať s co-from-vet-stu-u-s-knowing-che-no-yah-re-men-nyh). Ale ak je ODZ zdrojom bežiaceho dro-bay a z-ve-ktoré nie sú čo-pa-áno-et, potom ODZ indikuje potrebu-ho-di-mo.

Príklad 8. Zjednodušte:.

Riešenie: . Zároveň y (ODZ odchádzajúceho ťahadla sa nezhoduje s ODZ re-zul-ta-ta).

Sčítanie a odčítanie obyčajných zlomkov s rôznymi menovateľmi

Na ukladanie a vy-chi-tat al-geb-ra-and-che-zlomky s rôznymi-známe-me-na-te-la-mi, pro-ve-dem ana-lo -gyu od obvyklých- but-ven-ny-mi dro-bya-mi a re-re-not-sem to do al-geb-ra-and-che-fractions.

Ras-pozrite sa na najjednoduchší príklad bežných žilových injekcií.

Príklad 1 Pridajte zlomky:.

Riešenie:

Spomeňme si na pravý-vi-lo-slo-drow-bay. Pri zlomkoch na-cha-la je potrebné k spoločnému znaku-me-to-te-lu pridať-ve-sti. V úlohe všeobecného znamenia-me-on-te-la na obyčajné-ale-žily-kresli-beaty, ty-stu-pa-et najmenší spoločný násobok(NOK) zdroj znakov-me-on-the-lei.

Definícia

Najmenší-krk-k-tu-ral-číslo, niekto-roj je rozpálený súčasne na čísla a.

Ak chcete nájsť NOC, musíte preniesť svoje know-me-on-the-či do jednoduchých multiplikátorov a potom sa rozhodnúť brať všetko pro- existuje veľa, veľa, niektoré z nich sú zahrnuté v rozdiele medzi oboma znamenia-me-na-lei.

; . Potom by LCM čísel mala obsahovať dve dvojky a dve trojky:.

Po nájdení všeobecného označenia-te-la je potrebné, aby si každý z dro-bay našiel dodatočný multi- zhi-tel (fak-ti-che-ski, pri odlievaní spoločného znaku-me- on-tel on sign-me-on-tel co-from-rep-to-th-th zlomok).

Potom sa každý zlomok vynásobí násobiteľom semi-chen-ny až polovičný-no-tel-ny. Zlomky s tým istým, aby ste ma poznali na-te-la-mi, sklady a vy-chi-tat niekoho, na čom sme - študovali v minulých lekciách.

By-lu-cha-eat: .

odpoveď:.

Ras-look-rim teraz záhyb al-geb-ra-and-che-dro-bey s rôznymi znakmi-me-on-te-la-mi. Spi-cha-la, pozrieme sa na zlomky, zistime, či niektoré z nich sú-la-yut-sya číslo-la-mi.

Sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi

Príklad 2 Pridajte zlomky:.

Riešenie:

Al-go-rytmus re-she-niya ab-so-lyut-ale ana-lo-gi-chen previous-du-sche-mu p-me-ru. Pre dané zlomky je ľahké vziať spoločného menovateľa: a pre každý z nich pripočítať celé násobiče.

.

odpoveď:.

Takže, sfor-mu-li-ru-em al-go-rytmus komplikácií a vy-chi-ta-niya al-geb-ra-and-che-dro-beats s rôznymi-my-poznáme-mňa-na-te-la-mi:

1. Nájdite najmenšiu spoločnú zásuvku.

2. Nájdite ďalšie multiplikátory pre každú frakciu ťahadla).

3. Do-násobiť-live čísla-či už-či-či na co-ot-vet-stu-u-s-až do polovice-no-tel-nye-viac-tych.

4. Pridaj k životu alebo vy-cti zlomky, použite pravé-wi-la-mi fold a you-chi-ta-niya draw-bay s one-to-you-know -me-on- te-la-mi.

Ras-look-rim teraz príklad s dro-bya-mi, v know-me-on-the-le-tam-sú-tam-sú-buk-ven-nye ty-ra-rovnako - cie.