Keď je pred zátvorkou znamienko mínus. Úvodné zátvorky: pravidlá a príklady (7. ročník)

Medzi rôznymi výrazmi, ktoré sa berú do úvahy v algebre, zaujímajú dôležité miesto súčty monomilov. Tu sú príklady takýchto výrazov:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5r - 2\)

Súčet monočlenov sa nazýva polynóm. Termíny v polynóme sa nazývajú členy polynómu. Monómy sú tiež klasifikované ako polynómy, pričom monomály považujú za polynóm pozostávajúci z jedného člena.

Napríklad polynóm
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
možno zjednodušiť.

Predstavme si všetky termíny vo forme monomílov štandardného tvaru:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Uveďme podobné výrazy vo výslednom polynóme:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Výsledkom je polynóm, ktorého všetky členy sú monomály štandardného tvaru a medzi nimi neexistujú žiadne podobné. Takéto polynómy sa nazývajú polynómy štandardného tvaru.

vzadu stupeň polynómuštandardnej formy preberajú najvyššie právomoci svojich členov. Dvojčlenka \(12a^2b - 7b\) má teda tretí stupeň a trojčlenka \(2b^2 -7b + 6\) druhý stupeň.

Termíny polynómov štandardnej formy obsahujúce jednu premennú sú zvyčajne usporiadané v zostupnom poradí podľa exponentov. Napríklad:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Súčet viacerých polynómov možno transformovať (zjednodušiť) na polynóm štandardného tvaru.

Niekedy je potrebné členy polynómu rozdeliť do skupín, pričom každú skupinu uzatvoríme do zátvoriek. Keďže uzatváranie zátvoriek je inverznou transformáciou otváracích zátvoriek, je ľahké ho formulovať pravidlá otvárania zátvoriek:

Ak je znamienko „+“ umiestnené pred zátvorkami, výrazy v zátvorkách sú napísané rovnakými znamienkami.

Ak je pred zátvorkami umiestnený znak „-“, potom sú výrazy v zátvorkách napísané opačnými znakmi.

Transformácia (zjednodušenie) súčinu jednočlenu a mnohočlenu

Pomocou distributívnej vlastnosti násobenia môžete transformovať (zjednodušiť) súčin jednočlenu a mnohočlenu na mnohočlen. Napríklad:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Súčin monočlenu a mnohočlenu sa zhodne rovná súčtu súčinov tohto monočlenu a každého z členov mnohočlenu.

Tento výsledok je zvyčajne formulovaný ako pravidlo.

Ak chcete vynásobiť monočlen polynómom, musíte tento monočlen vynásobiť každým z členov polynómu.

Toto pravidlo sme už niekoľkokrát použili na násobenie súčtom.

Súčin polynómov. Transformácia (zjednodušenie) súčinu dvoch polynómov

Vo všeobecnosti sa súčin dvoch polynómov rovná súčtu súčinu každého člena jedného polynómu a každého člena druhého.

Zvyčajne sa používa nasledujúce pravidlo.

Ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého a pridať výsledné produkty.

Skrátené vzorce násobenia. Súčet druhých mocnín, rozdiely a rozdiel druhých mocnín

S niektorými výrazmi v algebraických transformáciách sa musíte zaoberať častejšie ako s inými. Snáď najbežnejšie výrazy sú \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) a \(a^2 - b^2 \), t.j. druhá mocnina súčtu, druhá mocnina rozdiel a rozdiel štvorcov. Všimli ste si, že názvy týchto výrazov sa zdajú byť neúplné, napríklad \((a + b)^2 \) samozrejme nie je len druhá mocnina súčtu, ale druhá mocnina súčtu a a b . Druhá mocnina súčtu a a b sa však nevyskytuje príliš často, spravidla namiesto písmen a a b obsahuje rôzne, niekedy dosť zložité výrazy.

Výrazy \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sa dajú jednoducho previesť (zjednodušiť) na polynómy štandardného tvaru, v skutočnosti ste sa s touto úlohou už stretli pri násobení polynómov:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Je užitočné zapamätať si výsledné identity a použiť ich bez medzivýpočtov. Pomáhajú tomu stručné slovné formulácie.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - druhá mocnina súčtu rovná súčtuštvorčeky a zdvojnásobte súčin.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - druhá mocnina rozdielu sa rovná súčtu druhých mocnín bez zdvojeného súčinu.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - rozdiel štvorcov sa rovná súčinu rozdielu a súčtu.

Tieto tri identity umožňujú nahradiť jeho ľavostranné časti pravostrannými pri transformáciách a naopak - pravé časti ľavostrannými. Najťažšie je vidieť zodpovedajúce výrazy a pochopiť, ako sa v nich nahrádzajú premenné a a b. Pozrime sa na niekoľko príkladov použitia skrátených vzorcov na násobenie.

Rozšírenie zátvoriek je typ transformácie výrazu. V tejto časti popíšeme pravidlá otvárania zátvoriek a tiež sa pozrieme na najbežnejšie príklady problémov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Čo je otváracia zátvorka?

Zátvorky sa používajú na označenie poradia, v ktorom sa akcie vykonávajú v číselných, doslovných a premenných výrazoch. Je vhodné prejsť z výrazu so zátvorkami na identicky rovnaký výraz bez zátvoriek. Napríklad výraz 2 · (3 + 4) nahraďte výrazom v tvare 2 3 + 2 4 bez zátvoriek. Táto technika sa nazýva otváranie zátvoriek.

Definícia 1

Rozširujúce zátvorky sa týkajú techník na zbavenie sa zátvoriek a zvyčajne sa zvažujú vo vzťahu k výrazom, ktoré môžu obsahovať:

• znamienka „+“ alebo „-“ pred zátvorkami obsahujúcimi súčty alebo rozdiely;
• súčin čísla, písmena alebo viacerých písmen a súčtu alebo rozdielu, ktorý je uvedený v zátvorkách.

Takto sme zvyknutí uvažovať o procese otvárania zátvoriek v kurze školské osnovy. Nikto nám však nebráni pozrieť sa na túto akciu širšie. Otvorením zátvoriek môžeme nazvať prechod z výrazu, ktorý obsahuje záporné čísla v zátvorkách, na výraz, ktorý zátvorky nemá. Napríklad môžeme prejsť z 5 + (− 3) − (− 7) do 5 − 3 + 7. V skutočnosti je to tiež otvorenie zátvoriek.

Rovnakým spôsobom môžeme súčin výrazov v zátvorkách tvaru (a + b) · (c + d) nahradiť súčtom a · c + a · d + b · c + b · d. Táto technika tiež nie je v rozpore s významom otvárania zátvoriek.

Tu je ďalší príklad. Môžeme predpokladať, že namiesto čísel a premenných vo výrazoch možno použiť ľubovoľné výrazy. Napríklad výraz x 2 · 1 a - x + sin (b) bude zodpovedať výrazu bez zátvoriek v tvare x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).

Osobitnú pozornosť si zaslúži ešte jeden bod, ktorý sa týka zvláštností zaznamenávania rozhodnutí pri otváraní zátvoriek. Počiatočný výraz so zátvorkami a výsledok získaný po otvorení zátvoriek môžeme zapísať ako rovnosť. Napríklad po rozšírení zátvoriek namiesto výrazu 3 − (5 − 7) dostaneme výraz 3 − 5 + 7 . Oba tieto výrazy môžeme zapísať ako rovnosť 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7.

Vykonávanie akcií s ťažkopádnymi výrazmi môže vyžadovať zaznamenávanie medzivýsledkov. Potom bude mať riešenie formu reťazca rovnosti. Napríklad, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 alebo 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Pravidlá otvárania zátvoriek, príklady

Začnime sa zaoberať pravidlami otvárania zátvoriek.

Pre jednotlivé čísla v zátvorkách

Vo výrazoch sa často nachádzajú záporné čísla v zátvorkách. Napríklad (− 4) a 3 + (− 4) . Svoje miesto majú aj kladné čísla v zátvorkách.

Sformulujme pravidlo pre otváranie zátvoriek obsahujúcich jednotlivé kladné čísla. Predpokladajme, že a je akékoľvek kladné číslo. Potom môžeme nahradiť (a) za a, + (a) za + a, - (a) za – a. Ak namiesto a vezmeme konkrétne číslo, potom sa podľa pravidla: číslo (5) zapíše ako 5 , výraz 3 + (5) bez zátvoriek bude mať tvar 3 + 5 , keďže + (5) je nahradené + 5 a výraz 3 + (− 5) je ekvivalentný výrazu 3 − 5 , pretože + (− 5) sa nahrádza − 5 .

Kladné čísla sa zvyčajne píšu bez použitia zátvoriek, pretože zátvorky sú v tomto prípade zbytočné.

Teraz zvážte pravidlo otvárania zátvoriek, ktoré obsahujú singel záporné číslo. + (- a) nahrádzame s − a, − (− a) sa nahrádza znakom + a. Ak výraz začína záporným číslom (- a), ktorý sa píše v zátvorkách, potom sa zátvorky vynechajú a namiesto toho (- a) zvyšky − a.

Tu je niekoľko príkladov: (− 5) možno zapísať ako − 5, (− 3) + 0, 5 sa zmení na − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) sa zmení na 4 − 3 , a − (− 4) − (− 3) po otvorení zátvoriek nadobúda tvar 4 + 3, pretože − (− 4) a − (− 3) sa nahrádza + 4 a + 3 .

Malo by byť zrejmé, že výraz 3 · (− 5) nemožno napísať ako 3 · − 5. O tom porozprávame sa v nasledujúcich odsekoch.

Pozrime sa, na čom sú založené pravidlá otvárania zátvoriek.

Podľa pravidla sa rozdiel a − b rovná a + (− b) . Na základe vlastností akcií s číslami môžeme vytvoriť reťazec rovnosti (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = ačo bude spravodlivé. Tento reťazec rovnosti na základe významu odčítania dokazuje, že výraz a + (− b) je rozdiel a − b.

Na základe vlastností opačné čísla a pravidlá na odčítanie záporných čísel, môžeme konštatovať, že − (− a) = a, a − (− b) = a + b.

Existujú výrazy, ktoré sa skladajú z čísla, znamienka mínus a niekoľkých párov zátvoriek. Použitie vyššie uvedených pravidiel vám umožňuje postupne sa zbaviť zátvoriek, presúvať sa z vnútorných zátvoriek na vonkajšie alebo dovnútra opačný smer. Príkladom takéhoto výrazu môže byť − (− ((− (5)))) . Otvorme zátvorky a presuňte sa zvnútra von: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Tento príklad možno analyzovať aj v opačnom smere: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Pod a a b možno chápať nielen ako čísla, ale aj ako ľubovoľné číselné resp doslovné výrazy so znamienkom „+“ vpredu, čo nie sú súčty ani rozdiely. Vo všetkých týchto prípadoch môžete použiť pravidlá rovnakým spôsobom, ako sme to urobili pre jednotlivé čísla v zátvorkách.

Napríklad po otvorení zátvoriek výraz − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) bude mať tvar 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Ako sa nám to podarilo? Vieme, že − (− 2 x) je + 2 x, a keďže tento výraz je na prvom mieste, potom + 2 x môžeme zapísať ako 2 x, − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x a − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

V produktoch dvoch čísel

Začnime pravidlom otvárania zátvoriek v súčine dvoch čísel.

Predstierajme to a a b sú dve kladné čísla. V tomto prípade súčin dvoch záporných čísel − a a − b tvaru (− a) · (− b) môžeme nahradiť (a · b) a súčin dvoch čísel opačnými znamienkami tvaru (− a) · b a a · (− b) možno nahradiť s (- a b). Vynásobením mínus mínusom dostanete plus a vynásobením mínus plusom, ako keď vynásobíte plus mínusom, mínus.

Správnosť prvej časti písomného pravidla potvrdzuje pravidlo pre násobenie záporných čísel. Na potvrdenie druhej časti pravidla môžeme použiť pravidlá pre násobenie čísel s rôzne znamenia.

Pozrime sa na pár príkladov.

Príklad 1

Uvažujme o algoritme otvárania zátvoriek v súčine dvoch záporných čísel - 4 3 5 a - 2 v tvare (- 2) · - 4 3 5. Ak to chcete urobiť, nahraďte pôvodný výraz 2 · 4 3 5 . Otvorme zátvorky a získame 2 · 4 3 5 .

A ak vezmeme podiel záporných čísel (− 4) : (− 2), potom bude záznam po otvorení zátvoriek vyzerať ako 4: 2

Namiesto záporných čísel − a a − b môže byť ľubovoľný výraz so znamienkom mínus na začiatku, ktorý nie je súčtom alebo rozdielom. Môžu to byť napríklad produkty, podiely, zlomky, mocniny, odmocniny, logaritmy, goniometrické funkcie a tak ďalej.

Otvorme zátvorky vo výraze - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Podľa pravidla môžeme urobiť nasledovné transformácie: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.

Výraz (− 3) 2 možno previesť na výraz (− 3 2) . Potom môžete rozbaliť zátvorky: − 3 2.

2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5

Rozdelenie čísel rôznymi znakmi môže tiež vyžadovať predbežné rozšírenie zátvoriek: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 a 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4 : 3, 5 = - 2 3 4 : 3, 5.

Pravidlo možno použiť na násobenie a delenie výrazov s rôznymi znakmi. Uveďme dva príklady.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

hriech (x) (- x 2) = (- hriech (x) x 2) = - hriech (x) x 2

V produktoch troch alebo viacerých čísel

Prejdime k produktom a kvocientom, ktoré obsahujú veľká kvantitačísla. Tu bude fungovať rozšírenie zátvoriek ďalšie pravidlo. Ak existuje párny počet záporných čísel, môžete vynechať zátvorky a nahradiť čísla ich opakmi. Potom musíte výsledný výraz uzavrieť do nových zátvoriek. Ak existuje nepárny počet záporných čísel, vynechajte zátvorky a nahraďte čísla ich opakmi. Potom sa musí výsledný výraz umiestniť do nových zátvoriek a pred neho sa musí umiestniť znamienko mínus.

Príklad 2

Vezmime si napríklad výraz 5 · (− 3) · (− 2) , ktorý je súčinom troch čísel. Existujú dve záporné čísla, preto výraz môžeme napísať ako (5 · 3 · 2) a potom nakoniec otvorte zátvorky, čím získate výraz 5 · 3 · 2.

V súčine (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) je päť čísel záporných. teda (− 2, 5) · (− 3): (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Keď sme konečne otvorili zátvorky, dostaneme −2,5 3:2 4:1,25:1.

Vyššie uvedené pravidlo možno zdôvodniť nasledovne. Po prvé, môžeme takéto výrazy prepísať ako súčin a nahradiť ich násobením recipročné číslo divízie. Každé záporné číslo predstavujeme ako súčin násobiaceho sa čísla a - 1 alebo - 1 sa nahradí (− 1) a.

Pomocou komutatívnej vlastnosti násobenia zamieňame faktory a prenášame všetky faktory rovné − 1 , na začiatok výrazu. Súčin párneho čísla mínus jedna sa rovná 1 a súčin nepárneho čísla sa rovná − 1 , čo nám umožňuje používať znamienko mínus.

Ak by sme pravidlo nepoužili, reťazec akcií na otvorenie zátvoriek vo výraze - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 by vyzeral takto:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

Vyššie uvedené pravidlo možno použiť pri otváraní zátvoriek vo výrazoch, ktoré predstavujú produkty a podiely so znamienkom mínus, ktoré nie sú súčtom alebo rozdielom. Vezmime si napríklad výraz

x 2 · (- x): (- 1 x) · x - 3: 2 .

Dá sa zredukovať na výraz bez zátvoriek x 2 · x: 1 x · x - 3: 2.

Rozširujúce zátvorky, pred ktorými je znak +

Zvážte pravidlo, ktoré možno použiť na rozšírenie zátvoriek, pred ktorými je znamienko plus, pričom „obsah“ týchto zátvoriek nie je vynásobený ani delený žiadnym číslom alebo výrazom.

Podľa pravidla sa zátvorky spolu so znakom pred nimi vynechávajú, pričom znaky všetkých pojmov v zátvorkách zostávajú zachované. Ak pred prvým termínom v zátvorkách nie je žiadne znamienko, musíte zadať znamienko plus.

Príklad 3

Napríklad dáme výraz (12 − 3 , 5) − 7 . Vynechaním zátvoriek ponechávame znamienka pojmov v zátvorkách a pred prvý pojem dávame znamienko plus. Záznam bude vyzerať takto (12 − ​​​​3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7. V uvedenom príklade nie je potrebné umiestniť znak pred prvý výraz, pretože + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.

Príklad 4

Pozrime sa na ďalší príklad. Zoberme si výraz x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x a vykonajte s ním akcie x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Tu je ďalší príklad rozširujúcich zátvoriek:

Príklad 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2

Ako sa rozbalia zátvorky, pred ktorými je znamienko mínus?

Uvažujme o prípadoch, keď je pred zátvorkou znamienko mínus a ktoré nie sú vynásobené (ani delené) žiadnym číslom alebo výrazom. Podľa pravidla pre otváranie zátvoriek, pred ktorými je znak „-“, sú zátvorky so znakom „-“ vynechané a znamienka všetkých výrazov v zátvorkách sú obrátené.

Príklad 6

Napr.:

1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2

Výrazy s premennými možno konvertovať pomocou rovnakého pravidla:

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

dostaneme x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .

Otváranie zátvoriek pri násobení čísla zátvorkou, výrazy zátvorkou

Tu sa pozrieme na prípady, keď potrebujete rozšíriť zátvorky, ktoré sú vynásobené alebo delené nejakým číslom alebo výrazom. Vzorce v tvare (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) alebo b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), Kde a 1 , a 2 , ... , a n a b sú nejaké čísla alebo výrazy.

Príklad 7

Rozšírme napríklad zátvorky vo výraze (3 − 7) 2. Podľa pravidla môžeme vykonať tieto transformácie: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Dostaneme 3 · 2 − 7 · 2 .

Otvorením zátvoriek vo výraze 3 x 2 1 - x + 1 x + 2 dostaneme 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

Násobenie zátvoriek zátvorkami

Uvažujme súčin dvoch zátvoriek tvaru (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . To nám pomôže získať pravidlo na otváranie zátvoriek pri vykonávaní násobenia po zátvorkách.

Aby sme daný príklad vyriešili, označíme výraz (b 1 + b 2) ako b. To nám umožní použiť pravidlo na násobenie zátvorky výrazom. Dostaneme (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Vykonaním spätnej výmeny b podľa (b 1 + b 2), opäť použiť pravidlo násobenia výrazu zátvorkou: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

Vďaka množstvu jednoduchých techník môžeme dospieť k súčtu súčinov každého z výrazov z prvej zátvorky a každého z výrazov z druhej zátvorky. Pravidlo možno rozšíriť na ľubovoľný počet výrazov v zátvorkách.

Sformulujme pravidlá pre násobenie zátvoriek zátvorkami: ak chcete vynásobiť dva súčty spolu, musíte vynásobiť každý člen prvého súčtu každým členom druhého súčtu a výsledky sčítať.

Vzorec bude vyzerať takto:

(a 1 + a 2 + ... + a m) · (b 1 + b 2 + ... + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 +. . . + a 2 b n + +. . . + + amb1 + amb1+. . . a m b n

Rozviňme zátvorky vo výraze (1 + x) · (x 2 + x + 6) Je to súčin dvoch súčtov. Napíšme riešenie: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Samostatne stojí za zmienku tie prípady, keď je v zátvorkách spolu so znamienkami plus aj znamienko mínus. Vezmime si napríklad výraz (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Najprv predstavme výrazy v zátvorkách ako súčty: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Teraz môžeme použiť pravidlo: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

Otvorme zátvorky: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Rozširujúce zátvorky v súčinoch viacerých zátvoriek a výrazov

Ak sú vo výraze v zátvorkách tri alebo viac výrazov, zátvorky sa musia otvárať postupne. Transformáciu musíte začať vložením prvých dvoch faktorov do zátvoriek. V rámci týchto zátvoriek môžeme vykonávať transformácie podľa vyššie uvedených pravidiel. Napríklad zátvorky vo výraze (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .

Výraz obsahuje tri faktory naraz (2 + 4) , 3 a (5 + 78). Postupne otvoríme zátvorky. Prvé dva faktory uzavrieme do inej zátvorky, ktorú pre prehľadnosť označíme červenou: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

V súlade s pravidlom pre násobenie zátvorky číslom môžeme vykonať nasledujúce akcie: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .

Vynásobte zátvorku zátvorkou: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

Držiak v naturáliách

Stupne, ktorých základom sú niektoré výrazy písané v zátvorkách s prirodzenými exponentmi, možno považovať za súčin viacerých zátvoriek. Navyše podľa pravidiel z predchádzajúcich dvoch odsekov sa môžu písať bez týchto zátvoriek.

Zvážte proces transformácie výrazu (a + b + c) 2. Môže byť napísaný ako súčin dvoch zátvoriek (a + b + c) · (a + b + c). Vynásobme zátvorku zátvorkou a získame a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.

Pozrime sa na ďalší príklad:

Príklad 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2

Delenie zátvorky číslom a zátvorky zátvorkou

Delenie zátvorky číslom vyžaduje, aby všetky výrazy v zátvorkách boli delené číslom. Napríklad (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

Delenie možno najskôr nahradiť násobením, po ktorom môžete použiť príslušné pravidlo na otváranie zátvoriek v produkte. Rovnaké pravidlo platí aj pri delení zátvorky zátvorkou.

Napríklad potrebujeme otvoriť zátvorky vo výraze (x + 2) : 2 3 . Ak to chcete urobiť, najskôr nahraďte delenie vynásobením prevráteným číslom (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Zátvorku vynásobte číslom (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .

Tu je ďalší príklad delenia pomocou zátvoriek:

Príklad 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Delenie nahradíme násobením: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.

Urobme násobenie: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Poradie otvárania zátvoriek

Teraz zvážte poradie aplikácie pravidiel diskutovaných vyššie vo výrazoch všeobecný pohľad, t.j. vo výrazoch, ktoré obsahujú súčty s rozdielmi, súčin s podielmi, zátvorky v prirodzenom stupni.

Postup:

• prvým krokom je zdvihnutie zátvoriek na prirodzenú silu;
• v druhej fáze sa uskutoční otvorenie zátvoriek v prácach a podieloch;
• Posledným krokom je otvorenie zátvoriek v súčtoch a rozdieloch.

Uvažujme o poradí akcií na príklade výrazu (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Transformujme z výrazov 3 · (− 2) : (− 4) a 6 · (− 7) , ktoré by mali mať tvar (3 2:4) a (- 6 · 7). Pri dosadení získaných výsledkov do pôvodného výrazu dostaneme: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Otvorte zátvorky: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.

Pri práci s výrazmi, ktoré obsahujú zátvorky v zátvorkách, je vhodné vykonávať transformácie zvnútra von.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

rozvíjať schopnosť otvárať zátvorky, berúc do úvahy znak pred zátvorkami;

vyvíja:

rozvíjať logické myslenie, pozornosť, matematická reč, schopnosť analyzovať, porovnávať, zovšeobecňovať, vyvodzovať závery;

zvýšenie:

formovanie zodpovednosti, kognitívny záujem o predmet

Počas vyučovania

I. Organizačný moment.

Pozri si to kamarát
Si pripravený na hodinu?
Je všetko na svojom mieste? Všetko je v poriadku?
Pero, kniha a zápisník.
Sedia všetci správne?
Všetci pozorne sledujú?

Chcem začať lekciu otázkou pre vás:

Čo je podľa teba najcennejšie na Zemi? (Odpovede detí.)

Táto otázka znepokojuje ľudstvo už tisíce rokov. Toto je odpoveď známeho vedca Al-Biruniho: „Vedomosti sú najúžasnejším majetkom. Každý sa o to snaží, ale neprichádza to samo od seba."

Nech sa tieto slová stanú mottom našej hodiny.

II. Aktualizácia predchádzajúcich vedomostí, zručností a schopností:

Slovné počítanie:

1.1. Aký je dnes dátum?

2. Povedz mi, čo vieš o čísle 20?

3. Kde sa toto číslo nachádza na súradnici?

4. Uveďte opačné číslo.

5. Pomenujte opačné číslo.

6. Ako sa volá číslo 20?

7. Aké čísla sa nazývajú protiklady?

8. Aké čísla sa nazývajú záporné?

9. Aký je modul čísla 20? - 20?

10. Aký je súčet opačných čísel?

2. Vysvetlite nasledujúce položky:

a) Brilantný staroveký matematik Archimedes sa narodil v roku 0 287.

b) Brilantný ruský matematik N. I. Lobačevskij sa narodil v roku 1792.

najprv olympijské hry sa odohral v Grécku v roku 776.

d) Prvé medzinárodné olympijské hry sa konali v roku 1896.

e) V roku 2014 sa konali XXII. zimné olympijské hry.

3. Zistite, aké čísla sa točia na „matematickom kolotoči“ (všetky úkony sa vykonávajú ústne).

II. Formovanie nových vedomostí, zručností a schopností.

Naučili ste sa vystupovať rôzne akcie s celými číslami. čo budeme robiť ďalej? Ako budeme riešiť príklady a rovnice?

Poďme nájsť význam týchto výrazov

7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0

Aký je postup v príklade 1? Koľko je v zátvorkách? Aký je postup v druhom príklade? Výsledok prvej akcie? Čo poviete na tieto výrazy?

Samozrejme, výsledky prvého a druhého výrazu sú rovnaké, čo znamená, že medzi ne môžete vložiť znamienko rovnosti: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

Čo sme urobili so zátvorkami? (Znížili to.)

Čo myslíš, čo budeme dnes robiť v triede? (Deti formulujú tému hodiny.) Aké znamienko je v našom príklade pred zátvorkami. (Plus.)

A tak sa dostávame k ďalšiemu pravidlu:

Ak je pred zátvorkami znamienko +, potom môžete zátvorky a toto znamienko + vynechať, pričom znamienka výrazov v zátvorkách zachovajte. Ak je prvý výraz v zátvorke napísaný bez znamienka, musí sa písať so znamienkom +.

Ale čo ak je pred zátvorkami znamienko mínus?

V tomto prípade musíte uvažovať rovnakým spôsobom ako pri odčítaní: musíte pridať číslo opačné k tomu, ktoré sa odčítava:

7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

- Takže sme otvorili zátvorky, keď pred nimi bolo znamienko mínus.

Pravidlo pre otváranie zátvoriek je, keď pred zátvorkami je znak „-“.

Ak chcete otvoriť zátvorky, pred ktorými je znamienko -, musíte toto znamienko nahradiť znakom +, zmeniť znamienka všetkých výrazov v zátvorkách na opak a potom zátvorky otvoriť.

Vypočujme si pravidlá otvárania zátvoriek v poézii:

Pred zátvorkou je plus.
To je to, o čom hovorí
Prečo vynechávate zátvorky?
Vypustite všetky znamenia!
Pred zátvorkou je mínus prísne
Zablokuje nám cestu
Na odstránenie zátvoriek
Musíme zmeniť znamenia!

Áno, chlapci, znamienko mínus je veľmi zákerné, je to „strážca“ pri bráne (zátvorky), čísla a premenné vydáva, až keď si zmenia „pasy“, teda znamenia.

Prečo vôbec potrebujete otvárať zátvorky? (Keď sú tam zátvorky, je tam moment nejakého prvku neúplnosti, nejakého tajomstva. Je to ako zatvorené dvere, za ktorými je niečo zaujímavé.) Dnes sme toto tajomstvo preskúmali.

Krátky exkurz do histórie:

Kučeravé rovnátka sa objavujú v spisoch Vieta (1593). Konzoly sa začali široko používať až v prvej polovici 18. storočia vďaka Leibnizovi a ešte viac vďaka Eulerovi.

Minút telesnej výchovy.

III. Upevnenie nových vedomostí, zručností a schopností.

Pracujte podľa učebnice:

č. 1234 (otvorte zátvorky) – ústne.

č. 1236 (otvorte zátvorky) – ústne.

č. 1235 (nájdite význam výrazu) - písomne.

č. 1238 (zjednodušte si výrazy) – práca vo dvojiciach.

IV. Zhrnutie lekcie.

1. Vyhlasujú sa známky.

2. Domov. cvičenie. paragraf 39 č. 1254 (a, b, c), 1255 (a, b, c), 1259.

3. Čo sme sa dnes naučili?

Čo nové ste sa naučili?

A chcem ukončiť lekciu s prianím každému z vás:

„Ukážte svoje schopnosti pre matematiku,
Nebuďte leniví, ale rozvíjajte sa každý deň.
Násobte, delte, pracujte, premýšľajte,
Nezabudnite byť priateľmi s matematikou."

V tejto lekcii sa naučíte, ako transformovať výraz obsahujúci zátvorky na výraz bez zátvoriek. Naučíte sa otvárať zátvorky, pred ktorými je znamienko plus a znamienko mínus. Spomenieme si, ako otvárať zátvorky pomocou distributívneho zákona násobenia. Uvažované príklady vám umožnia spojiť nový a predtým študovaný materiál do jedného celku.

Téma: Riešenie rovníc

Lekcia: Rozšírenie zátvoriek

Ako rozbaliť zátvorky, pred ktorými je znak „+“. Použitie asociatívneho zákona sčítania.

Ak potrebujete k číslu pridať súčet dvoch čísel, môžete k tomuto číslu najskôr pridať prvý výraz a potom druhý.

Naľavo od znamienka rovnosti je výraz so zátvorkami a napravo je výraz bez zátvoriek. To znamená, že pri prechode z ľavej strany rovnosti na pravú došlo k otvoreniu zátvoriek.

Pozrime sa na príklady.

Príklad 1

Otvorením zátvoriek sme zmenili poradie akcií. Stalo sa pohodlnejšie počítať.

Príklad 2

Príklad 3

Všimnite si, že vo všetkých troch príkladoch sme jednoducho odstránili zátvorky. Sformulujme pravidlo:

Komentujte.

Ak je prvý výraz v zátvorkách bez znamienka, musí byť napísaný so znamienkom plus.

Môžete postupovať podľa príkladu krok za krokom. Najprv pridajte 445 k 889. Túto akciu je možné vykonať mentálne, ale nie je to veľmi jednoduché. Otvorme zátvorky a uvidíme, že zmenený postup výrazne zjednoduší výpočty.

Ak dodržíte naznačený postup, musíte od 512 najskôr odpočítať 345 a potom k výsledku pripočítať 1345. Otvorením zátvoriek zmeníme postup a výrazne zjednodušíme výpočty.

Ilustrujúci príklad a pravidlo.

Pozrime sa na príklad: . Hodnotu výrazu zistíte tak, že sčítate 2 a 5 a potom zoberiete výsledné číslo s opačným znamienkom. Dostávame -7.

Na druhej strane, rovnaký výsledok možno získať sčítaním opačných čísel pôvodných.

Sformulujme pravidlo:

Príklad 1

Príklad 2

Pravidlo sa nemení, ak v zátvorkách nie sú dva, ale tri alebo viac výrazov.

Príklad 3

Komentujte. Značky sú obrátené iba pred pojmami.

Ak chcete otvoriť zátvorky, v tomto prípade musíme si zapamätať distribučnú vlastnosť.

Najprv vynásobte prvú zátvorku 2 a druhú 3.

Pred prvou zátvorkou je znamienko „+“, čo znamená, že znamienka musia zostať nezmenené. Pred druhým znakom je znak „-“, preto je potrebné všetky znaky zmeniť na opačný

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. ročník. - Gymnázium, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky. - Osvietenstvo, 1989.
4. Rurukin A.N., Čajkovskij I.V. Úlohy do 5.-6. ročníka kurzu matematiky - ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovskij K.G. Matematika 5-6. Príručka pre žiakov 6. ročníka korešpondenčnej školy MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Učebnica-príhovor pre 5-6 ročníkov strednej školy. Knižnica učiteľa matematiky. - Osvietenstvo, 1989.

1. Online testy z matematiky ().
2. Môžete si stiahnuť tie, ktoré sú uvedené v článku 1.2. knihy ().

Domáca úloha

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (odkaz pozri 1.2)
2. Domáca úloha: č. 1254, č. 1255, č. 1256 (b, d)
3. Ďalšie úlohy: č.1258(c), č.1248

Hlavnou funkciou zátvoriek je zmeniť poradie akcií pri výpočte hodnôt. Napríklad, V číselne\(5·3+7\) najprv sa vypočíta násobenie a potom sčítanie: \(5·3+7 =15+7=22\). Ale vo výraze \(5·(3+7)\) sa najskôr vypočíta sčítanie v zátvorkách a až potom násobenie: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Príklad. Rozbaľte zátvorku: \(-(4m+3)\).
Riešenie : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Príklad. Otvorte zátvorku a zadajte podobné výrazy \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Riešenie : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Príklad. Rozbaľte zátvorky \(5(3-x)\).
Riešenie : V zátvorke máme \(3\) a \(-x\) a pred zátvorkou je päťka. To znamená, že každý člen zátvorky sa vynásobí \(5\) - to vám pripomínam Znamienko násobenia medzi číslom a zátvorkou sa v matematike nepíše, aby sa zmenšila veľkosť položiek.

Príklad. Rozbaľte zátvorky \(-2(-3x+5)\).
Riešenie : Rovnako ako v predchádzajúcom príklade sú \(-3x\) a \(5\) v zátvorkách vynásobené \(-2\).

Príklad. Zjednodušte výraz: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Riešenie : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Zostáva zvážiť poslednú situáciu.

Pri násobení zátvorky zátvorkou sa každý člen prvej zátvorky vynásobí každým členom druhej zátvorky:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Príklad. Rozbaľte zátvorky \((2-x)(3x-1)\).
Riešenie : Máme produkt zátvoriek a možno ho okamžite rozšíriť pomocou vyššie uvedeného vzorca. Ale aby sme sa nemýlili, urobme všetko krok za krokom.
Krok 1. Odstráňte prvú zátvorku - vynásobte každý jej výraz druhou zátvorkou:

Krok 2. Rozbaľte súčin zátvoriek a faktor, ako je popísané vyššie:
- Najprv veci...

Potom druhý.

Krok 3. Teraz vynásobíme a predstavíme podobné výrazy:

Všetky premeny nie je potrebné tak podrobne popisovať, môžete ich hneď znásobiť. Ale ak sa práve učíte otvárať zátvorky, píšte podrobne, bude menšia šanca robiť chyby.

Poznámka k celej sekcii. V skutočnosti si nemusíte pamätať všetky štyri pravidlá, stačí si zapamätať jedno, toto: \(c(a-b)=ca-cb\) . prečo? Pretože ak namiesto c dosadíte jedno, dostanete pravidlo \((a-b)=a-b\) . A ak dosadíme mínus jedna, dostaneme pravidlo \(-(a-b)=-a+b\) . No, ak nahradíte inú zátvorku namiesto c, môžete získať posledné pravidlo.

Zátvorka v zátvorke

Niekedy sa v praxi vyskytujú problémy so zátvorkami vnorenými do iných zátvoriek. Tu je príklad takejto úlohy: zjednodušte výraz \(7x+2(5-(3x+y))\).

Na úspešné vyriešenie takýchto úloh potrebujete:
- pozorne porozumieť vnoreniu zátvoriek - ktorá je v ktorej;
- zátvorky otvárajte postupne, začnite napríklad najvnútornejším.

Je to dôležité pri otváraní jednej zo zátvoriek nedotýkajte sa zvyšku výrazu, len to prepíšem tak, ako je.
Pozrime sa ako príklad na vyššie napísanú úlohu.

Príklad. Otvorte zátvorky a zadajte podobné výrazy \(7x+2(5-(3x+y))\).
Riešenie:

Príklad. Otvorte zátvorky a zadajte podobné výrazy \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Riešenie :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Je tu trojité vnorenie zátvoriek. Začnime tým najvnútornejším (zvýrazneným zelenou farbou). Pred držiakom je plus, takže sa jednoducho zíde.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Teraz musíte otvoriť druhú konzolu, strednú. Predtým však zjednodušíme vyjadrenie výrazov podobných duchom v tejto druhej zátvorke.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Teraz otvoríme druhú zátvorku (zvýraznenú modrou farbou). Pred zátvorkou je faktor - takže každý výraz v zátvorke sa ním vynásobí.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		A otvorte poslednú zátvorku. Pred zátvorkou je znamienko mínus, takže všetky znamienka sú obrátené.

Rozširovanie zátvoriek je základná zručnosť v matematike. Bez tejto zručnosti nie je možné mať známku nad C v 8. a 9. ročníku. Preto vám odporúčam, aby ste tejto téme dobre porozumeli.