Ako nájsť inflexné body funkcie. Konvexnosť a konkávnosť intervalov funkčného grafu Príklady inflexných bodov konvexnosti funkčného grafu

1. Pojem konvexných a konkávnych funkcií

Pri skúmaní funkcie môže byť užitočné určiť, v ktorých intervaloch je funkcia konvexná a v ktorých konkávnych.

Na určenie konvexných a konkávnych funkcií nakreslíme dotyčnice ku grafom funkcie v ľubovoľných bodoch X 1 a X 2 (obr. 15.1 a 15.2):

Volá sa graf funkcie konkávne na intervale, ak sa nachádza nad ľubovoľnou dotyčnicou ku grafu funkcie na danom intervale.

Volá sa graf funkcie konvexné na intervale, ak sa nachádza pod ľubovoľnou dotyčnicou ku grafu funkcie na danom intervale.

Bod na grafe spojitej funkcie, v ktorom sa mení charakter konvexnosti, sa nazýva inflexný bod . V inflexnom bode bude dotyčnica pretínať krivku.

Funkcia môže mať niekoľko intervalov konvexnosti a konkávnosti, niekoľko inflexných bodov. Pri určovaní intervalov konvexnosti a konkávnosti sa ako odpoveď vyberie rozsah hodnôt: inflexné body sa nepripisujú ani intervalom konvexnosti, ani intervalom konkávnosti.

Graf funkcie na obr. 15.3 je teda konvexný na intervaloch (- ; X 1) a ( X 2; +); konkávne na ( X 1 ;X 2). Graf funkcie má dva inflexné body: ( X 1 ;pri 1) a ( X 2 ;pri 2).

1. Kritérium konvexnosti-konkávnosti funkcie a inflexných bodov.

Intervaly konvexnosti a konkávnosti funkcie sa nachádzajú pomocou nasledujúcej vety:

Veta. 1. Ak má funkcia kladnú druhú deriváciu, potom je graf funkcie na intervale konkávny.

2. Ak má funkcia zápornú druhú deriváciu, potom je graf funkcie na intervale konvexný.

Predstavte si kritérium konvexnosti-konkávnosti funkcie vo forme diagramu:

Teda skúmať funkciu pre konvexnosť-konkávnosť znamená nájsť tie intervaly definičného oboru, v ktorých si druhá derivácia zachováva svoje znamienko.

Všimnite si, že môže zmeniť svoje znamienko iba v tých bodoch, kde sa druhá derivácia rovná nule alebo neexistuje. Takéto body sa nazývajú kritické body druhého druhu .

Len kritické body môžu byť inflexnými bodmi. Na ich nájdenie sa používa nasledujúca veta:

Veta (dostatočná podmienka pre existenciu inflexných bodov). Ak druhá derivácia pri prechode bodom x o zmení znamienko, potom bod grafu s osou x x o je inflexný bod.

Pri skúmaní funkcie na konvexnosť-konkávnosť a inflexné body môžete použiť nasledujúce algoritmu :

Príklad 15.1. Nájdite intervaly konvexnosti a konkávnosti, inflexné body grafu funkcie.

Riešenie. 1. Táto funkcia je definovaná na množine R.

2. Nájdite prvú deriváciu funkcie: = .

3. Nájdite druhú deriváciu funkcie: =2 X-6.

4. Definujte kritické body druhého druhu ( 0): 2 X-6= 0 X=3.

5. Na skutočnej osi označte kritický bod X=3. Rozdeľuje definičný obor funkcie na dva intervaly (-∞;3) a (3;+∞). Usporiadajte znamienka druhej derivácie funkcie 2 X-6 v každom zo získaných intervalov:

pri X=0 (-∞;3) (0)=-6<0;

pri X=4 (3;+∞) (4)= 2∙4-6=2>0.

t.skloňovanie

6. Podľa kritéria konvexnosti-konkávnosti je graf funkcie konvexný pri X(-∞;3), konkávne pri X (3;+ ∞).

Význam X=3 je súradnica inflexného bodu. Vypočítajme hodnotu funkcie pre X=3:

2. Takže bod so súradnicami (3;2) je inflexný bod.

Odpoveď: graf funkcie je konvexný pri X (-∞;3),

konkávne pri X(3;+°); (3;2) – inflexný bod.

Príklad 15.2. Nájdite intervaly konvexnosti a konkávnosti, inflexné body grafu funkcie.

Riešenie. 1. Táto funkcia je definovaná, keď je menovateľ nenulový: X-7≠0 .

2. Nájdite prvú deriváciu funkcie:

3. Nájdite druhú deriváciu funkcie: = =

Vytiahnite v čitateli 2∙( X-7) vonkajšie zátvorky:

= = = . (7;+∞) (8)= >0.

kong.

6. Podľa kritéria konvexnosti-konkávnosti je funkčný graf konvexný, keď X(-∞;7), konkávne pri X (7;+ ∞).

Bod s úsečkou X=7 nemôže byť inflexný bod, pretože v tomto bode funkcia neexistuje (rozbije sa).

Odpoveď: graf funkcie je konvexný pri X(-∞;7), konkávne pri X (7;+ ∞).

Kontrolné otázky:

Pomocou online kalkulačky môžete nájsť inflexné body a intervaly konvexnosti funkčného grafu s návrhom riešenia vo Worde. O tom, či je funkcia dvoch premenných f(x1,x2) konvexná, rozhodujeme pomocou Hessovej matice.

Pravidlá zadávania funkcií:

Smer konvexnosti grafu funkcie. Inflexné body

Definícia: Krivka y=f(x) sa nazýva klesajúca konvexná v intervale (a; b), ak leží nad dotyčnicou v ktoromkoľvek bode tohto intervalu.

Definícia: Krivka y=f(x) sa nazýva hore konvexná v intervale (a; b), ak leží pod dotyčnicou v ktoromkoľvek bode tohto intervalu.

Definícia: Intervaly, v ktorých je graf funkcie konvexný nahor alebo nadol, sa nazývajú intervaly konvexnosti grafu funkcie.

Konvexnosť krivky smerom nadol alebo nahor, ktorá je grafom funkcie y=f(x) , je charakterizovaná znamienkom jej druhej derivácie: ak je v nejakom intervale f''(x) > 0, potom je krivka konvexná. smerom nadol v tomto intervale; ak f''(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Definícia: Bod grafu funkcie y=f(x), ktorý oddeľuje intervaly konvexnosti opačných smerov tohto grafu, sa nazýva inflexný bod.

Len kritické body druhého druhu môžu slúžiť ako inflexné body; body patriace do definičného oboru funkcie y = f(x) , v ktorých druhá derivácia f''(x) zaniká alebo sa láme.

Pravidlo na nájdenie inflexných bodov grafu funkcií y = f(x)

1. Nájdite druhú deriváciu f''(x) .
2. Nájdite kritické body druhého druhu funkcie y=f(x) , t.j. bod, v ktorom f''(x) zmizne alebo sa zlomí.
3. Preskúmajte znamienko druhej derivácie f''(x) v intervaloch, do ktorých nájdené kritické body rozdeľujú definičný obor funkcie f(x) . Ak v tomto prípade kritický bod x 0 oddeľuje intervaly konvexnosti opačných smerov, potom x 0 je úsečka inflexného bodu grafu funkcie.
4. Vypočítajte funkčné hodnoty v inflexných bodoch.

Príklad 1. Nájdite konvexné medzery a inflexné body nasledujúcej krivky: f(x) = 6x 2 –x 3 .
Riešenie: Nájdite f '(x) = 12x - 3x 2 , f ''(x) = 12 - 6x.
Nájdime kritické body druhou deriváciou riešením rovnice 12-6x=0 . x=2.


f(2) = 6*2 2 - 2 3 = 16
Odpoveď: Funkcia je smerom nahor konvexná pre x∈(2; +∞) ; funkcia je smerom nadol konvexná pre x∈(-∞; 2) ; inflexný bod (2;16) .

Príklad 2. Má funkcia inflexné body: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

Príklad 3. Nájdite intervaly, v ktorých je funkčný graf konvexný a konvexný: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4

Graf funkcií r=f(x) volal konvexné na intervale (a; b), ak sa nachádza pod niektorou z jeho dotyčníc na tomto intervale.

Graf funkcií r=f(x) volal konkávne na intervale (a; b), ak sa nachádza nad niektorou z jeho dotyčníc v tomto intervale.

Na obrázku je znázornená konvexná krivka (a; b) a konkávne do (b;c).

Príklady.

Zvážte dostatočné znamienko, ktoré vám umožní určiť, či bude graf funkcie v danom intervale konvexný alebo konkávny.

Veta. Nechaj r=f(x) odlíšiteľné podľa (a; b). Ak vo všetkých bodoch intervalu (a; b) druhá derivácia funkcie r = f(x) negatívne, t.j. f ""(X) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(X) > 0 je konkávna.

Dôkaz. Predpokladajme pre istotu, že f""(X) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Vezmite funkčný graf y = f(x)ľubovoľný bod M0 s úsečkou x0 Î ( a; b) a nakreslite bod M0 dotyčnica. Jej rovnica. Musíme ukázať, že graf funkcie na (a; b) leží pod touto dotyčnicou, t.j. s rovnakou hodnotou X ordinát krivky y = f(x) bude menšia ako ordináta dotyčnice.

Takže rovnica krivky je y = f(x). Označme dotyčnicu y zodpovedajúcu úsečke X. Potom . Preto je rozdiel medzi ordinátami krivky a dotyčnice na rovnakej hodnote X bude .

Rozdiel f(x) – f(x0) transformovať podľa Lagrangeovej vety, kde c medzi X A x0.

teda

Opäť aplikujeme Lagrangeovu vetu na výraz v hranatých zátvorkách: , kde c 1 medzi c 0 A x0. Podľa vety f ""(X) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Akýkoľvek bod krivky teda leží pod dotyčnicou ku krivke pre všetky hodnoty X A x0 Î ( a; b), čo znamená, že krivka je konvexná. Druhá časť vety je dokázaná podobne.

Príklady.

Bod na grafe spojitej funkcie, ktorý oddeľuje jej konvexnú časť od konkávnej časti, sa nazýva inflexný bod.

Je zrejmé, že v inflexnom bode dotyčnica, ak existuje, pretína krivku, pretože na jednej strane tohto bodu leží krivka pod dotyčnicou a na druhej strane nad ňou.

Definujme dostatočné podmienky na to, aby daný bod krivky bol inflexným bodom.

Veta. Nech je krivka definovaná rovnicou y = f(x). Ak f ""(X 0) = 0 alebo f ""(X 0) neexistuje a pri prechode cez hodnotu X = x0 derivát f ""(X) zmení znamienko, potom bod grafu funkcie s osou x X = x0 existuje inflexný bod.

Dôkaz. Nechaj f ""(X) < 0 при X < x0 A f ""(X) > 0 at X > x0. Potom o X < x0 krivka je konvexná a X > x0- konkávny. Preto pointa A, ležiace na krivke, s úsečkou x0 existuje inflexný bod. Podobne môžeme uvažovať aj o druhom prípade, kedy f ""(X) > 0 at X < x0 A f ""(X) < 0 при X > x0.

Inflexné body by sa teda mali hľadať iba medzi bodmi, kde druhá derivácia zaniká alebo neexistuje.

Príklady. Nájdite inflexné body a určte intervaly konvexnosti a konkávnosti kriviek.

ASYMPTOTY GRAFU FUNKCIE

Pri skúmaní funkcie je dôležité určiť tvar jej grafu s neobmedzeným odstránením bodu grafu z počiatku.

Zvlášť zaujímavý je prípad, keď sa graf funkcie, keď je jej premenný bod vzdialený do nekonečna, neurčito približuje k určitej priamke.

Priamy hovor asymptota funkčný graf r = f(x) ak je vzdialenosť od premenného bodu M grafu k tejto čiare, keď je bod odstránený M do nekonečna inklinuje k nule, t.j. bod grafu funkcie, keďže smeruje k nekonečnu, sa musí neobmedzene približovať k asymptote.

Krivka sa môže priblížiť k svojej asymptote, zostať na jednej jej strane alebo na rôznych stranách, pričom asymptotu pretína nekonečne veľakrát a pohybuje sa z jednej strany na druhú.

Ak označíme d vzdialenosť od bodu M krivky k asymptote, je jasné, že d má tendenciu k nule, keď je bod odstránený M do nekonečna.

Ďalej budeme rozlišovať medzi zvislými a šikmými asymptotami.

VERTIKÁLNE ASYMPTOTY

Nechajte pri X→ x0 na oboch stranách funkcie r = f(x) neobmedzene narastá v absolútnej hodnote, t.j. alebo alebo . Potom z definície asymptoty vyplýva, že úsečka X = x0 je asymptota. Opak je tiež zrejmé, ak linka X = x0 je asymptota, takže .

Teda vertikálna asymptota grafu funkcie y = f(x) sa nazýva riadok, ak f(x)→ ∞ aspoň za jednej z podmienok X→ x0– 0 alebo X → x0 + 0, X = x0

Preto nájsť vertikálne asymptoty grafu funkcie r = f(x) treba nájsť tie hodnoty X = x0, pri ktorej funkcia ide do nekonečna (trpí nekonečnou diskontinuitou). Potom vertikálna asymptota má rovnicu X = x0.

Príklady.

ŠIKMÉ ASYMPTOTY

Keďže asymptota je priamka, potom ak krivka r = f(x) má šikmú asymptotu, potom jej rovnica bude r = kx + b. Našou úlohou je nájsť koeficienty k A b.

Veta. Rovno r = kx + b slúži ako šikmá asymptota pri X→ +∞ pre graf funkcie r = f(x) ak a len vtedy . Podobné tvrdenie platí aj pre X → –∞.

Dôkaz. Nechaj MP- dĺžka úseku rovnajúca sa vzdialenosti od bodu M do asymptoty. Podľa podmienok. Označme φ uhol sklonu asymptoty k osi Vôl. Potom od ΔMNP z toho vyplýva. Keďže φ je konštantný uhol (φ ≠ π/2), potom , ale

Keď vykresľujeme funkciu, je dôležité definovať konvexné intervaly a inflexné body. Potrebujeme ich spolu s intervalmi klesania a zvyšovania na prehľadné znázornenie funkcie v grafickej podobe.

Pochopenie tejto témy si vyžaduje vedieť, čo je derivácia funkcie a ako ju vypočítať v určitom poradí, ako aj schopnosť riešiť rôzne druhy nerovností.

Na začiatku článku sú definované hlavné pojmy. Potom ukážeme, aký vzťah existuje medzi smerom konvexity a hodnotou druhej derivácie v určitom intervale. Ďalej uvedieme podmienky, za ktorých možno určiť inflexné body grafu. Všetky úvahy budú ilustrované príkladmi riešenia problémov.

Definícia 1

Smerom nadol na určitom intervale v prípade, že jeho graf nie je v žiadnom bode tohto intervalu umiestnený nižšie ako dotyčnica k nemu.

Definícia 2

Diferenciálna funkcia je konvexná nahor na určitom intervale, ak sa graf tejto funkcie nenachádza vyššie ako dotyčnica k nemu v žiadnom bode tohto intervalu.

Nadol konvexná funkcia môže byť tiež nazývaná konkávna. Obe definície sú jasne znázornené v nasledujúcom grafe:

Definícia 3

Inflexný bod funkcie je bod M (x 0 ; f (x 0)), v ktorom je dotyčnica ku grafu funkcie za predpokladu, že derivácia existuje v blízkosti bodu x 0 , kde má graf funkcie rôzne smery konvexnosti na ľavej a pravej strane.

Zjednodušene povedané, inflexný bod je miesto na grafe, kde je dotyčnica a smer konvexnosti grafu pri prechode týmto miestom zmení smer konvexnosti. Ak si nepamätáte, za akých podmienok je možná existencia vertikálnej a nevertikálnej dotyčnice, odporúčame vám zopakovať si časť o dotyčnici grafu funkcie v bode.

Nižšie je uvedený graf funkcie, ktorá má viacero inflexných bodov zvýraznených červenou farbou. Ujasnime si, že prítomnosť inflexných bodov nie je povinná. Na grafe jednej funkcie môže byť jedna, dve, niekoľko, nekonečne veľa alebo žiadna.

V tejto časti budeme hovoriť o vete, pomocou ktorej môžete určiť intervaly konvexnosti na grafe konkrétnej funkcie.

Definícia 4

Graf funkcie bude mať konvexnosť v smere nadol alebo nahor, ak zodpovedajúca funkcia y = f (x) má druhú konečnú deriváciu na špecifikovanom intervale x, za predpokladu, že nerovnosť f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) bude pravdivé.

Pomocou tejto vety môžete nájsť intervaly konkávnosti a konvexnosti na ľubovoľnom grafe funkcie. Aby ste to dosiahli, stačí vyriešiť nerovnice f "" (x) ≥ 0 a f "" (x) ≤ 0 na doméne zodpovedajúcej funkcie.

Ujasnime si, že tie body, kde druhá derivácia neexistuje, ale funkcia y = f (x) je definovaná, budú zahrnuté do intervalov konvexnosti a konkávnosti.

Pozrime sa na príklade konkrétneho problému, ako správne aplikovať túto vetu.

Príklad 1

podmienka: daná funkcia y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . Určte, v akých intervaloch bude mať jeho graf konvexnosť a konkávnosť.

Riešenie

Oblasťou tejto funkcie je celá množina reálnych čísel. Začnime výpočtom druhej derivácie.

y "= x 3 6 - x 2 + 3 x - 1" = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y "" = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

Vidíme, že definičný obor druhej derivácie sa zhodoval s definičným oborom funkcie samotnej. Preto na identifikáciu intervalov konvexnosti potrebujeme vyriešiť nerovnosti f "" (x) ≥ 0 a f "" (x) ≤ 0 .

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

Dostali sme, že graf danej funkcie bude mať na segmente konkávnosť [2; + ∞) a konvexnosť na segmente (- ∞ ; 2 ] .

Pre názornosť si nakreslíme graf funkcie a konvexnú časť na ňom označíme modrou a konkávnu časť červenou.

odpoveď: graf danej funkcie bude mať na segmente konkávnosť [2; + ∞) a konvexnosť na segmente (- ∞ ; 2 ] .

Čo však robiť, ak sa definičný obor druhej derivácie nezhoduje s definičným oborom funkcie? Tu je pre nás užitočná poznámka uvedená vyššie: tie body, kde posledná druhá derivácia neexistuje, zahrnieme aj do segmentov konkávnosti a konvexnosti.

Príklad 2

podmienka: daná funkcia y = 8 x x - 1 . Určte, v akých intervaloch bude jeho graf konkávny a v akých bude konvexný.

Riešenie

Najprv zistíme rozsah funkcie.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

Teraz vypočítame druhú deriváciu:

y "= 8 x x - 1" = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 "= - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2" x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 (x - 1) 3

Definičný obor druhej derivácie je množina x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . Vidíme, že x rovné nule bude v definičnom obore pôvodnej funkcie, ale nie v obore druhej derivácie. Tento bod musí byť zahrnutý do segmentu konkávnosti alebo konvexnosti.

Potom musíme vyriešiť nerovnice f "" (x) ≥ 0 a f "" (x) ≤ 0 na definičnom obore danej funkcie. Používame na to intervalovú metódu: pri x \u003d - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 alebo x \u003d - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 čitateľ 2 (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 x - 1 3 sa zmení na 0 a menovateľ je 0, keď x je nula alebo jedna.

Výsledné body dajme na graf a určme znamienko výrazu na všetkých intervaloch, ktoré budú zahrnuté v definíčnom obore pôvodnej funkcie. Na grafe je táto oblasť označená šrafovaním. Ak je hodnota kladná, označte interval plusom, ak je záporná, potom mínus.

teda

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) a f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

Zapneme predtým označený bod x = 0 a dostaneme požadovanú odpoveď. Graf pôvodnej funkcie bude mať vydutie smerom nadol pri 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) a hore - pre x ∈ [ - 1 + 2 3 3; 1).

Nakreslíme graf, pričom konvexnú časť označíme modrou a konkávnu červenou. Vertikálna asymptota je označená čiernou bodkovanou čiarou.

odpoveď: Graf pôvodnej funkcie bude mať vydutie smerom nadol pri 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) a hore - pre x ∈ [ - 1 + 2 3 3; 1).

Podmienky inflexie pre funkčný graf

Začnime formuláciou nevyhnutnej podmienky pre skloňovanie grafu nejakej funkcie.

Definícia 5

Povedzme, že máme funkciu y = f(x), ktorej graf má inflexný bod. Pre x = x 0 má spojitú druhú deriváciu, preto bude platiť rovnosť f "" (x 0) = 0.

Vzhľadom na túto podmienku by sme mali hľadať inflexné body medzi tými, v ktorých sa druhá derivácia zmení na 0. Táto podmienka nebude postačujúca: nie všetky takéto body nám budú vyhovovať.

Všimnite si tiež, že podľa všeobecnej definície budeme potrebovať dotyčnicu, vertikálnu alebo nevertikálnu. V praxi to znamená, že na nájdenie inflexných bodov je potrebné vziať tie, v ktorých je druhá derivácia tejto funkcie 0. Preto, aby sme našli úsečky inflexných bodov, musíme vziať všetky x 0 z oblasti funkcie, kde lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ a lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ . Najčastejšie ide o body, v ktorých sa menovateľ prvej derivácie zmení na 0.

Prvá postačujúca podmienka pre existenciu inflexného bodu grafu funkcie

Našli sme všetky hodnoty x 0, ktoré možno považovať za úsečku inflexných bodov. Potom musíme použiť prvú dostatočnú inflexnú podmienku.

Definícia 6

Povedzme, že máme funkciu y = f (x), ktorá je spojitá v bode M (x 0 ; f (x 0)) . Okrem toho má v tomto bode tangens a samotná funkcia má druhú deriváciu v blízkosti tohto bodu x 0 . V tomto prípade, ak druhá derivácia nadobudne opačné znamienka na ľavej a pravej strane, potom možno tento bod považovať za inflexný bod.

Vidíme, že táto podmienka nevyžaduje, aby v tomto bode nevyhnutne existovala druhá derivácia, postačuje jej prítomnosť v okolí bodu x 0.

Všetky vyššie uvedené môžu byť pohodlne prezentované ako postupnosť akcií.

1. Najprv musíte nájsť všetky úsečky x 0 možných inflexných bodov, kde f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
2. Zistite, v ktorých bodoch derivácia zmení znamienko. Tieto hodnoty sú úsečkami inflexných bodov a body M (x 0; f (x 0)), ktoré im zodpovedajú, sú samotné inflexné body.

Pre prehľadnosť uvažujme o dvoch problémoch.

Príklad 3

podmienka: daná funkcia y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x . Určte, kde bude mať graf tejto funkcie inflexné a vyduté body.

Riešenie

Táto funkcia je definovaná na celej množine reálnych čísel. Uvažujeme o prvom deriváte:

y "= 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x" = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

Teraz nájdime doménu prvej derivácie. Je to tiež množina všetkých reálnych čísel. Rovnosti lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ a lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ teda nemôžu byť splnené pre žiadne hodnoty x 0 .

Vypočítame druhú deriváciu:

y "" = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 \u003d - 2, x 2 \u003d 1 + 25 2 \u003d 3

Našli sme úsečky dvoch pravdepodobných inflexných bodov - 2 a 3. Zostáva nám len skontrolovať, v ktorom bode derivácia zmení svoje znamienko. Narysujme si číselnú os a vynesme na ňu tieto body, po ktorých na výsledné intervaly umiestnime znamienka druhej derivácie.

Oblúky znázorňujú smer konvexnosti grafu v každom intervale.

Druhá derivácia obráti znamienko (od plus do mínus) v bode s osou 3 , prechádza cez ňu zľava doprava a urobí to isté (od mínus do plus) v bode s osou 3 . Môžeme teda dospieť k záveru, že x = - 2 a x = 3 sú úsečky inflexných bodov grafu funkcie. Budú zodpovedať bodom grafu - 2; - 4 3 a 3; - 15 8 .

Pozrime sa znova na obrázok číselnej osi a výsledné znaky na intervaloch, aby sme vyvodili závery o miestach konkávnosti a konvexnosti. Ukazuje sa, že vydutie bude umiestnené na segmente - 2; 3 a konkávnosť na segmentoch (-∞; -2] a [3; + ∞).

Riešenie úlohy je názorne znázornené na grafe: modrá farba - konvexnosť, červená - konkávnosť, čierna farba znamená inflexné body.

odpoveď: vydutie bude umiestnené na segmente - 2; 3 a konkávnosť na segmentoch (-∞; -2] a [3; + ∞).

Príklad 4

podmienka: vypočítajte úsečky všetkých inflexných bodov grafu funkcie y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 .

Riešenie

Definičný obor danej funkcie je množina všetkých reálnych čísel. Vypočítame deriváciu:

y "= 1 8 (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5" = = 1 8 x 2 + 3 x + 2 " (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 (x - 3) 2 5

Na rozdiel od funkcie jej prvá derivácia nebude určená pri hodnote x 3, ale:

lim x → 3 - 0 y "(x) = 13 (3 - 0) 2 - 6 (3 - 0) - 39 40 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y" (x) = 13 (3 + 0) 2 - 6 (3 + 0) - 39 40 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

To znamená, že týmto bodom bude prechádzať vertikálna dotyčnica ku grafu. Preto 3 môže byť úsečka inflexného bodu.

Vypočítame druhú deriváciu. Nájdeme tiež oblasť jeho definície a body, v ktorých sa zmení na 0:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y "" ( x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3, 4556, x 2 = 51 - 1509 ≈

Máme ďalšie dva možné inflexné body. Všetky dáme na číselnú os a výsledné intervaly označíme znamienkami:

K zmene znamienka dôjde pri prechode každým zadaným bodom, čo znamená, že sú to všetky inflexné body.

odpoveď: Nakreslíme graf funkcie, pričom vydutiny označíme červenou farbou, konvexity modrou a inflexné body čiernou:

Keď poznáme prvú dostatočnú inflexnú podmienku, môžeme určiť potrebné body, kde nie je potrebná prítomnosť druhej derivácie. Na základe toho možno prvú podmienku považovať za najuniverzálnejšiu a vhodnú na riešenie rôznych typov problémov.

Všimnite si, že existujú dve ďalšie podmienky inflexie, ale možno ich použiť iba vtedy, keď v zadanom bode existuje konečná derivácia.

Ak máme f "" (x 0) = 0 a f """ (x 0) ≠ 0 , potom x 0 bude úsečka inflexného bodu grafu y = f (x) .

Príklad 5

podmienka: je daná funkcia y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5. Určte, či funkčný graf bude mať inflexiu v bode 3; 4 5 .

Riešenie

V prvom rade je potrebné sa uistiť, že daný bod bude vôbec patriť do grafu tejto funkcie.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

Zadaná funkcia je definovaná pre všetky argumenty, ktoré sú reálnymi číslami. Vypočítame prvú a druhú deriváciu:

y "= 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10" = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

Dostali sme, že druhá derivácia pôjde na 0, ak sa x rovná 0. To znamená, že potrebná inflexná podmienka pre tento bod bude splnená. Teraz použijeme druhú podmienku: nájdeme tretiu deriváciu a zistíme, či sa zmení na 0 pri 3:

y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

Tretia derivácia nezmizne pre žiadnu hodnotu x. Preto môžeme konštatovať, že tento bod bude inflexným bodom grafu funkcie.

odpoveď: Ukážme si riešenie na obrázku:

Povedzme, že f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0,..., f (n) (x 0) = 0 a f (n + 1) (x 0) ≠ 0 . V tomto prípade pre párne n dostaneme, že x 0 je úsečka inflexného bodu grafu y \u003d f (x) .

Príklad 6

podmienka: daná funkcia y = (x - 3) 5 + 1 . Vypočítajte inflexné body jeho grafu.

Riešenie

Táto funkcia je definovaná na celej množine reálnych čísel. Vypočítajte deriváciu: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . Keďže bude definovaný aj pre všetky skutočné hodnoty argumentu, potom v ktoromkoľvek bode jeho grafu bude nevertikálna dotyčnica.

Teraz vypočítajme, pre aké hodnoty sa druhá derivácia zmení na 0:

y "" = 5 (x - 3) 4 " = 20 x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

Zistili sme, že pre x = 3 môže mať graf funkcie inflexný bod. Na potvrdenie toho používame tretiu podmienku:

y " " " = 20 (x - 3) 3 " = 60 x - 3 2, y " " (3) = 60 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 (x - 3) 2" = 120 (x - 3), y (4) (3) = 120 (3 - 3) = 0 y (5) = 120 (x - 3) " = 120, y (5) (3) = 120 ≠ 0

Máme n = 4 podľa tretej postačujúcej podmienky. Toto je párne číslo, takže x \u003d 3 bude úsečka inflexného bodu a bod grafu funkcie (3; 1) mu zodpovedá.

odpoveď: Tu je graf tejto funkcie s vyznačením konvexnosti, konkávnosti a inflexného bodu:

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Pojem konvexnosti funkcie

Uvažujme funkciu \(y = f\left(x \right),\), o ktorej sa predpokladá, že je spojitá na segmente \(\left[ (a,b) \right].\) Funkcia \(y = f \left(x \right),\) )\) sa volá konvexné nadol (alebo jednoducho konvexné) ak pre ľubovoľné body \((x_1)\) a \((x_2)\) z \(\left[ (a,b) \right]\) x_1),(x_2) \in \left[ (a, b) \vpravo],\) tak, že \((x_1) \ne (x_2),\) potom sa zavolá funkcia \(f\vľavo(x \vpravo) \) prísne konvexné nadol

Podobne je definovaná vzostupná konvexná funkcia. Zavolá sa funkcia \(f\left(x \right)\). konvexne nahor (alebo konkávne) ak pre ľubovoľné body \((x_1)\) a \((x_2)\) segmentu \(\vľavo[ ​​(a,b) \vpravo]\) je nerovnosť \ Ak je táto nerovnosť prísna pre ľubovoľnú \( ( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) tak, že \((x_1) \ne (x_2),\) potom funkcia \(f\left(x \right) ) \) sa nazývajú prísne konvexné smerom nahor na segmente \(\vľavo[ ​​(a,b) \vpravo].\)

Geometrická interpretácia konvexnosti funkcie

Zavedené definície konvexnej funkcie majú jednoduchú geometrickú interpretáciu.

Pre funkciu, konvexné nadol (kresba \(1\)), stred \(B\) akéhokoľvek akordu \((A_1)(A_2)\) leží vyššie

Podobne pre funkciu konvexne nahor (kresba \(2\)), stred \(B\) akéhokoľvek akordu \((A_1)(A_2)\) leží nižšie zodpovedajúci bod \((A_0)\) grafu funkcie alebo sa zhoduje s týmto bodom.

Konvexné funkcie majú ďalšiu vizuálnu vlastnosť, ktorá súvisí s umiestnením dotyčnica do grafu funkcie. Funkcia \(f\left(x \right)\) je konvexné nadol na segmente \(\left[ (a,b) \right]\) práve vtedy, ak jeho graf neleží nižšie ako dotyčnica k nemu nakreslená v žiadnom bode \((x_0)\) segmentu \(\left [ (a ,b) \vpravo]\) (číslo \(3\)).

V súlade s tým je funkcia \(f\left(x \right)\). konvexne nahor na segmente \(\left[ (a,b) \right]\) práve vtedy, ak jeho graf neleží vyššie ako dotyčnica k nemu nakreslená v žiadnom bode \((x_0)\) segmentu \(\left [ (a ,b) \vpravo]\) (číslo \(4\)). Tieto vlastnosti sú teorémom a možno ich dokázať pomocou definície konvexnosti funkcie.

Dostatočné podmienky pre konvexnosť

Nech pre funkciu \(f\left(x \right)\) existuje prvá derivácia \(f"\left(x \right)\) na segmente \(\left[ (a,b) \right], \) a druhá derivácia \(f""\left(x \right)\) − na intervale \(\left((a,b) \right).\) Potom platia nasledujúce dostatočné kritériá pre konvexnosť:

Ak \(f""\left(x \right) \ge 0\) pre všetky \(x \in \left((a,b) \right),\), potom funkcia \(f\left(x \ správne )\) konvexné nadol na segmente \(\left[ (a,b) \right];\)

Ak \(f""\left(x \right) \le 0\) pre všetky \(x \in \left((a,b) \right),\), potom funkcia \(f\left(x \ správne )\) konvexne nahor na segmente \(\vľavo[ ​​(a,b) \vpravo].\)

V prípadoch, keď je druhá derivácia striktne väčšia ako (menšia ako) nula, hovorí sa o prísna konvexnosť nadol (alebo hore ).

Dokážme vyššie uvedenú vetu pre prípad klesajúcej konvexnej funkcie. Nech funkcia \(f\left(x \right)\) má nezápornú druhú deriváciu na intervale \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x \right) \ge 0.\) Označte \((x_0)\) stred segmentu \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right].\) Predpokladajme, že dĺžka tohto segmentu sa rovná \(2h.\) Potom súradnice \((x_1)\) a \((x_2)\) možno zapísať ako: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\;(x_2 ) = (x_0) + h.\] Rozviňte funkciu \(f\left(x \right)\) v bode \((x_0)\) na Taylorov rad so zvyšným členom v Lagrangeovom tvare. Dostaneme nasledujúce výrazy: \[ (f\left(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right ) - f"\left(((x_0)) \right)h + \frac((f""\left(((\xi _1)) \right)(h^2)))((2},} \] \[ {f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) } = {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] где \({x_0} - h !}
Pridajte obe rovnosti: \[ (f\left(((x_1)) \right) + f\left(((x_2)) \right) ) = (2f\left(((x_0)) \right) + \frac (((h^2)))(2)\left[ (f""\left(((\xi _1)) \right) + f""\left(((\xi _2)) \right)) \right].) \] Keďže \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \right),\) druhé derivácie na pravej strane sú nezáporné . Preto \ alebo \ to je podľa definície funkcia \(f\left(x \right)\) konvexné nadol .

Všimnite si, že nevyhnutná podmienka konvexnosti pre funkciu (t. j. priama veta, v ktorej napríklad z podmienky konvexnosti vyplýva, že \(f""\left(x \right) \ge 0\)) je splnená iba pre neprísne nerovnosti. V prípade striktnej konvexnosti nie je vo všeobecnosti splnená nevyhnutná podmienka. Napríklad funkcia \(f\left(x \right) = (x^4)\) je striktne konvexná smerom nadol. V bode \(x = 0\) sa však jeho druhá derivácia rovná nule, t.j. striktná nerovnosť \(f""\vľavo(x \vpravo) \gt 0\) nie je v tomto prípade splnená.

Vlastnosti konvexných funkcií

Uvádzame niektoré vlastnosti konvexných funkcií za predpokladu, že všetky funkcie sú definované a spojité na segmente \(\left[ (a,b) \right].\)

Ak sú funkcie \(f\) a \(g\) smerom nadol (nahor) konvexné, potom ktorákoľvek z nich lineárna kombinácia \(af + bg,\) kde \(a\), \(b\) sú kladné reálne čísla, tiež konvexné smerom nadol (nahor).

Ak je funkcia \(u = g\left(x \right)\) smerom dole konvexná a funkcia \(y = f\left(u \right)\) je dole konvexná a neklesá, potom komplexná funkcia \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) bude tiež konvexné nadol.

Ak je funkcia \(u = g\left(x \right)\) smerom hore konvexná a funkcia \(y = f\left(u \right)\) je dole konvexná a nerastúca, potom komplexná funkcia \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) bude konvexné nadol.

Miestne maximum konvexná funkcia smerom nahor definovaná na segmente \(\left[ (a,b) \right],\) je súčasne jeho najvyššia hodnota v tomto segmente.

Miestne minimum nadol konvexná funkcia definovaná na segmente \(\left[ (a,b) \right],\) je súčasne jeho najmenšia hodnota v tomto segmente.