Jednotná štátna skúška z matematiky (profil). Čítanie derivačného grafu

Ahoj! Udierajme do blížiacej sa Jednotnej štátnej skúšky kvalitnou systematickou prípravou a vytrvalosťou v brúsení žuly vedy!!! INNa konci príspevku je súťažná úloha, buďte prví! V jednom z článkov v tejto sekcii vy a ja, v ktorom bol uvedený graf funkcie a boli nastolené rôzne otázky týkajúce sa extrémov, intervalov nárastu (poklesu) a iných.

V tomto článku sa budeme zaoberať problémami zahrnutými v Jednotnej štátnej skúške z matematiky, v ktorej je uvedený graf derivácie funkcie a sú položené nasledujúce otázky:

1. V ktorom bode daného segmentu nadobudne funkcia najväčšiu (alebo najmenšiu) hodnotu.

2. Nájdite počet maximálnych (alebo minimálnych) bodov funkcie patriacich do daného segmentu.

3. Nájdite počet extrémnych bodov funkcie patriacich do daného segmentu.

4. Nájdite extrémny bod funkcie patriaci do daného segmentu.

5. Nájdite intervaly rastúcej (alebo klesajúcej) funkcie a v odpovedi uveďte súčet celočíselných bodov zahrnutých v týchto intervaloch.

6. Nájdite intervaly nárastu (alebo poklesu) funkcie. Vo svojej odpovedi uveďte dĺžku najväčšieho z týchto intervalov.

7. Nájdite počet bodov, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná alebo sa zhoduje s priamkou v tvare y = kx + b.

8. Nájdite úsečku bodu, v ktorom dotyčnica ku grafu funkcie je rovnobežná s osou úsečky alebo sa s ňou zhoduje.

Môžu tu byť aj ďalšie otázky, ktoré vám však nespôsobia ťažkosti, ak pochopíte a (sú uvedené odkazy na články, ktoré poskytujú informácie potrebné na riešenie, odporúčam ich zopakovať).

Základné informácie (stručne):

1. Derivácia v rastúcich intervaloch má kladné znamienko.

Ak derivácia v určitom bode z určitého intervalu má kladná hodnota, potom sa graf funkcie v tomto intervale zväčší.

2. V klesajúcich intervaloch má derivácia záporné znamienko.

Ak má derivácia v určitom bode z určitého intervalu zápornú hodnotu, potom graf funkcie na tomto intervale klesá.

3. Derivácia v bode x sa rovná sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tom istom bode.

4. V bodoch extrému (maxima-minima) funkcie sa derivácia rovná nule. Dotyčnica ku grafu funkcie je v tomto bode rovnobežná s osou x.

Toto musí byť jasne pochopené a zapamätané!!!

Odvodený graf „mätie“ mnohých ľudí. Niektorí si ho neúmyselne mýlia s grafom samotnej funkcie. Preto v takých budovách, kde vidíte, že je daný graf, okamžite zamerajte svoju pozornosť v stave na to, čo je dané: graf funkcie alebo graf derivácie funkcie?

Ak je to graf derivácie funkcie, potom to berte ako „odraz“ samotnej funkcie, ktorý vám jednoducho poskytne informácie o tejto funkcii.

Zvážte úlohu:

Na obrázku je znázornený graf y =f'(X)- derivácia funkcie f(X), definovaný na intervale (–2;21).

Odpovieme na nasledujúce otázky:

1. V ktorom bode segmentu je funkcia f(X) prijíma najvyššia hodnota.

Na danom intervale je derivácia funkcie záporná, čo znamená, že funkcia na tomto intervale klesá (zmenšuje sa od ľavej hranice intervalu doprava). Najväčšia hodnota funkcie sa teda dosiahne na ľavej hranici segmentu, teda v bode 7.

odpoveď: 7

2. V ktorom bode segmentu je funkcia f(X)

Z tohto derivačného grafu môžeme povedať nasledovné. Na danom intervale je derivácia funkcie kladná, čo znamená, že funkcia na tomto intervale rastie (rastie od ľavej hranice intervalu doprava). teda najmenšia hodnota funkcia sa dosiahne na ľavej hranici segmentu, to znamená v bode x = 3.

odpoveď: 3

3. Nájdite maximálny počet bodov funkcie f(X)

Maximálny počet bodov zodpovedá bodom, v ktorých sa derivačné znamienko mení z kladného na záporné. Uvažujme, kde sa znak takto mení.

Na segmente (3;6) je derivácia kladná, na segmente (6;16) záporná.

Na segmente (16;18) je derivácia kladná, na segmente (18;20) záporná.

Na danom segmente má teda funkcia dva maximálne body x = 6 a x = 18.

odpoveď: 2

4. Nájdite minimálny počet bodov funkcie f(X), patriaci do segmentu.

Minimálne body zodpovedajú bodom, kde sa derivačné znamienko mení zo záporného na kladné. Naša derivácia je záporná na intervale (0;3) a kladná na intervale (3;4).

Na segmente má teda funkcia iba jeden minimálny bod x = 3.

*Pri zapisovaní odpovede buďte opatrní - zaznamenáva sa počet bodov, nie hodnota x, k takejto chybe môže dôjsť nepozornosťou.

odpoveď: 1

5. Nájdite počet extrémnych bodov funkcie f(X), patriaci do segmentu.

Všimnite si, čo potrebujete nájsť množstvo extrémne body (sú to maximálne aj minimálne body).

Extrémne body zodpovedajú bodom, kde sa mení znamienko derivácie (z kladného na záporné alebo naopak). V grafe uvedenom v podmienke sú to nuly funkcie. Derivát zmizne v bodoch 3, 6, 16, 18.

Funkcia má teda na segmente 4 extrémne body.

odpoveď: 4

6. Nájdite intervaly rastúcej funkcie f(X)

Intervaly zvyšovania tejto funkcie f(X) zodpovedajú intervalom, na ktorých je jeho derivácia kladná, teda intervalom (3;6) a (16;18). Upozorňujeme, že hranice intervalu v ňom nie sú zahrnuté (okrúhle zátvorky - hranice nie sú zahrnuté v intervale, hranaté zátvorky - zahrnuté). Tieto intervaly obsahujú celočíselné body 4, 5, 17. Ich súčet je: 4 + 5 + 17 = 26

odpoveď: 26

7. Nájdite intervaly klesajúcej funkcie f(X) v danom intervale. Vo svojej odpovedi uveďte súčet celočíselných bodov zahrnutých v týchto intervaloch.

Klesajúce intervaly funkcie f(X) zodpovedajú intervalom, na ktorých je derivácia funkcie záporná. V tejto úlohe sú to intervaly (–2;3), (6;16), (18:21).

Tieto intervaly obsahujú nasledujúce celočíselné body: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Ich súčet je:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

odpoveď: 140

*Pozor na podmienku: či sú hranice zahrnuté v intervale alebo nie. Ak sú zahrnuté hranice, potom v intervaloch uvažovaných v procese riešenia musia byť zohľadnené aj tieto hranice.

8. Nájdite intervaly rastúcej funkcie f(X)

Intervaly zvyšovania funkcie f(X) zodpovedajú intervalom, na ktorých je derivácia funkcie kladná. Už sme ich naznačili: (3;6) a (16:18). Najväčší z nich je interval (3;6), jeho dĺžka je 3.

odpoveď: 3

9. Nájdite intervaly klesajúcej funkcie f(X). Vo svojej odpovedi uveďte dĺžku najväčšieho z nich.

Klesajúce intervaly funkcie f(X) zodpovedajú intervalom, na ktorých je derivácia funkcie záporná. Už sme ich naznačili, ide o intervaly (–2;3), (6;16), (18;21), ich dĺžky sú 5, 10, 3.

Dĺžka najväčšieho je 10.

odpoveď: 10

10. Nájdite počet bodov, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie f(X) rovnobežná s priamkou alebo sa s ňou zhoduje y = 2x + 3.

Hodnota derivácie v bode dotyku sa rovná sklonu dotyčnice. Keďže dotyčnica je rovnobežná s priamkou y = 2x + 3 alebo sa s ňou zhoduje, potom ich svahy sa rovnajú 2. To znamená, že je potrebné nájsť počet bodov, v ktorých y′(x 0) = 2. Geometricky to zodpovedá počtu priesečníkov grafu derivácie s priamkou y = 2. Na danom intervale sú 4 takéto body.

odpoveď: 4

11. Nájdite extrémny bod funkcie f(X), patriaci do segmentu.

Extrémny bod funkcie je bod, v ktorom sa jej derivácia rovná nule a v blízkosti tohto bodu derivácia mení znamienko (z kladného na záporné alebo naopak). Na segmente derivačný graf pretína os x, derivácia mení znamienko zo záporného na kladné. Preto bod x = 3 je extrémny bod.

odpoveď: 3

12. Nájdite úsečku bodov, v ktorých dotyčnice ku grafu y = f (x) sú rovnobežné s osou úsečky alebo sa s ňou zhodujú. Vo svojej odpovedi uveďte najväčšiu z nich.

Dotyčnica ku grafu y = f (x) môže byť rovnobežná s osou úsečky alebo sa s ňou zhodovať iba v bodoch, kde sa derivácia rovná nule (môžu to byť extrémne body alebo stacionárne body, v blízkosti ktorých derivácia nie je nemení svoje znamienko). Tento graf ukazuje, že derivácia je nulová v bodoch 3, 6, 16,18. Najväčší je 18.

Svoju úvahu môžete štruktúrovať takto:

Hodnota derivácie v bode dotyku sa rovná sklonu dotyčnice. Keďže dotyčnica je rovnobežná s osou x alebo sa s ňou zhoduje, jej sklon je 0 (v skutočnosti dotyčnica uhla nula stupňov je nula). Preto hľadáme bod, v ktorom je sklon rovný nule, a teda derivácia sa rovná nule. Derivácia sa rovná nule v bode, v ktorom jej graf pretína os x, a to sú body 3, 6, 16,18.

odpoveď: 18

Na obrázku je znázornený graf y =f'(X)- derivácia funkcie f(X), definovaný na intervale (–8;4). V ktorom bode segmentu [–7;–3] je funkcia f(X) má najmenšiu hodnotu.

Na obrázku je znázornený graf y =f'(X)- derivácia funkcie f(X), definovaný na intervale (–7;14). Nájdite maximálny počet bodov funkcie f(X), patriace do segmentu [–6;9].

Na obrázku je znázornený graf y =f'(X)- derivácia funkcie f(X), definovaný na intervale (–18;6). Nájdite minimálny počet bodov funkcie f(X), patriace do segmentu [–13;1].

Na obrázku je znázornený graf y =f'(X)- derivácia funkcie f(X), definovaný na intervale (–11; –11). Nájdite počet extrémnych bodov funkcie f(X), patriace do segmentu [–10; -10].

Na obrázku je znázornený graf y =f'(X)- derivácia funkcie f(X), definovaný na intervale (–7;4). Nájdite intervaly rastúcej funkcie f(X). Vo svojej odpovedi uveďte súčet celočíselných bodov zahrnutých v týchto intervaloch.

Na obrázku je znázornený graf y =f'(X)- derivácia funkcie f(X), definovaný na intervale (–5;7). Nájdite intervaly klesajúcej funkcie f(X). Vo svojej odpovedi uveďte súčet celočíselných bodov zahrnutých v týchto intervaloch.

Na obrázku je znázornený graf y =f'(X)- derivácia funkcie f(X), definovaný na intervale (–11;3). Nájdite intervaly rastúcej funkcie f(X). Vo svojej odpovedi uveďte dĺžku najväčšieho z nich.

F Na obrázku je znázornený graf

Podmienky problému sú rovnaké (ktoré sme zvážili). Nájdite súčet troch čísel:

1. Súčet druhých mocnín extrémov funkcie f (x).

2. Rozdiel medzi druhými mocninami súčtu maximálnych bodov a súčtu minimálnych bodov funkcie f (x).

3. Počet dotyčníc k f (x) rovnobežných s priamkou y = –3x + 5.

Prvý, kto dá správnu odpoveď, získa motivačnú cenu 150 rubľov. Svoje odpovede píšte do komentárov. Ak je toto váš prvý komentár na blogu, nezobrazí sa okamžite, ale o niečo neskôr (nebojte sa, čas napísania komentára je zaznamenaný).

Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander Krutitsikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.

B8. Jednotná štátna skúška

1. Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) a dotyčnica k tomuto grafu nakreslená v bode s os x0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x0. odpoveď: 2

2.

Odpoveď: -5

3.

Na intervale (–9;4).

Odpoveď: 2

4.

Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x0 Odpoveď: 0,5

5. Nájdite bod dotyku priamky y = 3x + 8 a graf funkcie y = x3+x2-5x-4. Vo svojej odpovedi označte úsečku tohto bodu. odpoveď: -2

6.

Určte počet celočíselných hodnôt argumentu, pre ktorý je derivácia funkcie f(x) záporná. odpoveď: 4

7.

odpoveď: 2

8.

Nájdite počet bodov, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie f(x) rovnobežná s priamkou y=5–x alebo sa s ňou zhoduje. odpoveď: 3

9.

Interval (-8; 3).

Priamka y = -20. odpoveď: 2

10.

Odpoveď: -0,5

11

odpoveď: 1

12. Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) a dotyčnica k nej v bode s os x0.

Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x0. Odpoveď: 0,5

13. Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) a dotyčnica k nej v bode s os x0.

Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x0. Odpoveď: -0,25

14.

Nájdite počet bodov, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie f(x) rovnobežná alebo sa zhoduje s priamkou y = x+7. odpoveď: 4

15

Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x0. odpoveď: -2

16.

interval (-14;9).

Nájdite maximálny počet bodov funkcie f(x) na úsečke [-12;7]. odpoveď: 3

17

na intervale (-10;8).

Nájdite počet extrémnych bodov funkcie f(x) na úsečke [-9;7]. odpoveď: 4

18. Priamka y = 5x-7 sa dotýka grafu funkcie y = 6x2 + bx-1 v bode s osou menšou ako 0. Nájdite b. odpoveď: 17

19

odpoveď:-0,25

20

odpoveď: 6

21. Nájdite dotyčnicu ku grafu funkcie y=x2+6x-7 rovnobežnú s priamkou y=5x+11. Vo svojej odpovedi označte úsečku dotykového bodu. odpoveď: -0,5

22.

odpoveď: 4

23. f "(x) na intervale (-16;4).

Na segmente [-11;0] nájdite maximálny počet bodov funkcie. odpoveď: 1

B8 Grafy funkcií, derivácie funkcií. Funkčný výskum . Jednotná štátna skúška

1. Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) a dotyčnica k tomuto grafu nakreslená v bode s os x0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x0.

2. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x), definovanej na intervale (-6; 5).

V ktorom bode segmentu [-5; -1] f(x) má najmenšiu hodnotu?

3. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie y = f(x), definovanej

Na intervale (–9;4).

Nájdite počet bodov, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie f(x) rovnobežná s priamkou

y = 2x-17 alebo sa s ním zhoduje.

4. Na obrázku je znázornený graf funkcie y = f(x) a dotyčnica k nej v bode s os x0.

Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x0

5. Nájdite bod dotyku priamky y = 3x + 8 a graf funkcie y = x3+x2-5x-4. Vo svojej odpovedi označte úsečku tohto bodu.

6. Na obrázku je znázornený graf funkcie y = f(x), definovanej na intervale (-7; 5).

Určte počet celočíselných hodnôt argumentu, pre ktorý je derivácia funkcie f(x) záporná.

7. Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f"(x), definovanej na intervale (-8; 8).

Nájdite počet extrémnych bodov funkcie f(x) patriacich segmentu [-4; 6].

8. Na obrázku je znázornený graf funkcie y = f "(x), definovanej na intervale (-8; 4).

Nájdite počet bodov, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie f(x) rovnobežná s priamkou y=5–x alebo sa s ňou zhoduje.

9. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie y = f(x), definovanej na

Interval (-8; 3).

Nájdite počet bodov, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná

Priamka y = -20.

10. Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) a dotyčnica k nej v bode s os x0.

Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x0.

11 . Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x), definovanej na intervale (-9;9).

Nájdite minimálny počet bodov funkcie $f(x)$ na intervale [-6;8]. 1

12. Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) a dotyčnica k nej v bode s os x0.

Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x0.

13. Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) a dotyčnica k nej v bode s os x0.

Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x0.

14. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x), definovanej na intervale (-6;8).

Nájdite počet bodov, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie f(x) rovnobežná alebo sa zhoduje s priamkou y = x+7.

15 . Na obrázku je znázornený graf funkcie y = f(x) a dotyčnica k nej v bode s os x0.

Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x0.

16. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x), definovanej na

interval (-14;9).

Nájdite maximálny počet bodov funkcie f(x) na úsečke [-12;7].

17 . Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x), definovanej

na intervale (-10;8).

Nájdite počet extrémnych bodov funkcie f(x) na úsečke [-9;7].

18. Priamka y = 5x-7 sa dotýka grafu funkcie y = 6x2 + bx-1 v bode s osou menšou ako 0. Nájdite b.

19 . Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) a dotyčnice k nej v bode s os x0.

Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x0.

20 . Nájdite počet bodov na intervale (-1;12), v ktorom sa derivácia funkcie y = f(x) zobrazená v grafe rovná 0.

21. Nájdite dotyčnicu ku grafu funkcie y=x2+6x-7 rovnobežnú s priamkou y=5x+11. Vo svojej odpovedi označte úsečku dotykového bodu.

22. Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x). Nájdite počet celočíselných bodov v intervale (-2;11), v ktorom je derivácia funkcie f(x) kladná.

23. Na obrázku je znázornený graf funkcie y= f "(x) na intervale (-16;4).

Na segmente [-11;0] nájdite maximálny počet bodov funkcie.

Priamka y=3x+2 je dotyčnicou grafu funkcie y=-12x^2+bx-10. Nájdite b za predpokladu, že úsečka dotykového bodu je menšia ako nula.

Ukážte riešenie

Riešenie

Nech x_0 je úsečka bodu na grafe funkcie y=-12x^2+bx-10, ktorým prechádza dotyčnica k tomuto grafu.

Hodnota derivácie v bode x_0 sa rovná sklonu dotyčnice, teda y"(x_0)=-24x_0+b=3. Na druhej strane bod dotyku patrí súčasne do oboch grafu funkcie a dotyčnice, teda -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Získame sústavu rovníc \begin(prípady) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Vyriešením tohto systému dostaneme x_0^2=1, čo znamená buď x_0=-1 alebo x_0=1. Podľa podmienky úsečky sú dotykové body menšie ako nula, takže x_0=-1, potom b=3+24x_0=-21.

Odpoveď

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) (čo je prerušovaná čiara zložená z troch priamych segmentov). Pomocou obrázku vypočítajte F(9)-F(5), kde F(x) je jedným z primitívnych derivátov funkcie f(x).

Ukážte riešenie

Riešenie

Podľa Newtonovho-Leibnizovho vzorca sa rozdiel F(9)-F(5), kde F(x) je jedným z primitívnych derivátov funkcie f(x), rovná ploche ohraničeného krivočiareho lichobežníka. grafom funkcie y=f(x), priamky y=0 , x=9 a x=5. Z grafu určíme, že naznačený zakrivený lichobežník je lichobežník so základňami rovnými 4 a 3 a výškou 3.

Jeho plocha je rovnaká \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf y=f"(x) - derivácia funkcie f(x), definovaná na intervale (-4; 10). Nájdite intervaly klesajúcej funkcie f(x). Vo Vašej odpovedi uveďte dĺžku najväčšieho z nich.

Ukážte riešenie

Riešenie

Ako je známe, funkcia f(x) klesá na tých intervaloch, v ktorých je derivácia f"(x) menšia ako nula. Vzhľadom na to, že je potrebné nájsť dĺžku najväčšieho z nich, sú tri takéto intervaly prirodzene sa odlišuje od čísla: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Dĺžka najväčšieho z nich - (5; 9) je 4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf y=f"(x) - derivácia funkcie f(x), definovaná na intervale (-8; 7). Nájdite počet maximálnych bodov funkcie f(x) patriacich do interval [-6; -2].

Ukážte riešenie

Riešenie

Graf ukazuje, že derivácia f"(x) funkcie f(x) mení znamienko z plus na mínus (v takýchto bodoch bude maximum) presne v jednom bode (medzi -5 a -4) z intervalu [ -6; -2 ] Preto na intervale [-6; -2] je práve jeden maximálny bod.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x), definovanej na intervale (-2; 8). Určte počet bodov, v ktorých sa derivácia funkcie f(x) rovná 0.

Ukážte riešenie

Riešenie

Rovnosť derivácie v bode k nule znamená, že dotyčnica ku grafu funkcie nakreslenej v tomto bode je rovnobežná s osou Ox. Preto nájdeme body, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s osou Ox. Na tomto grafe sú takéto body extrémnymi bodmi (maximálne alebo minimálne body). Ako vidíte, existuje 5 extrémnych bodov.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Podmienka

Priamka y=-3x+4 je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie y=-x^2+5x-7. Nájdite úsečku dotykového bodu.

Ukážte riešenie

Riešenie

Uhlový koeficient priamky ku grafu funkcie y=-x^2+5x-7 v ľubovoľnom bode x_0 sa rovná y"(x_0). Ale y"=-2x+5, čo znamená y" (x_0)=-2x_0+5. Uhlový koeficient úsečky y=-3x+4 zadaný v podmienke sa rovná -3. Rovnobežné čiary majú rovnaké koeficienty sklonu. Preto nájdeme hodnotu x_0 takú, že =- 2x_0 +5=-3.

Dostaneme: x_0 = 4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) a na vodorovnej osi sú vyznačené body -6, -1, 1, 4. V ktorom z týchto bodov je derivácia najmenšia? Označte tento bod vo svojej odpovedi.

Úloha B9 poskytuje graf funkcie alebo derivácie, z ktorej musíte určiť jednu z nasledujúcich veličín:

1. Hodnota derivátu v určitom bode x 0,
2. Maximálny alebo minimálny počet bodov (extrémne body),
3. Intervaly rastúcich a klesajúcich funkcií (intervaly monotónnosti).

Funkcie a derivácie uvedené v tomto probléme sú vždy spojité, čo značne uľahčuje riešenie. Napriek tomu, že úloha patrí do časti matematickej analýzy, zvládnu ju aj najslabší študenti, keďže tu nie sú potrebné žiadne hlboké teoretické znalosti.

Na nájdenie hodnoty derivácie, extrémnych bodov a intervalov monotónnosti existujú jednoduché a univerzálne algoritmy – o všetkých sa bude diskutovať nižšie.

Pozorne si prečítajte podmienky úlohy B9, aby ste sa vyhli hlúpym chybám: niekedy narazíte na dosť zdĺhavé texty, ale dôležité podmienky, ktoré ovplyvňujú priebeh rozhodovania, je málo.

Výpočet hodnoty derivátu. Dvojbodová metóda

Ak je problému daný graf funkcie f(x), dotyčnica k tomuto grafu v určitom bode x 0, a je potrebné nájsť hodnotu derivácie v tomto bode, použije sa nasledujúci algoritmus:

1. Nájdite dva „adekvátne“ body na dotyčnicovom grafe: ich súradnice musia byť celé číslo. Označme tieto body ako A (x 1 ; y 1) a B (x 2 ; y 2). Zapíšte si súradnice správne - to je kľúčový moment riešenia a akákoľvek chyba tu vedie k nesprávnej odpovedi.
2. Keď poznáme súradnice, je ľahké vypočítať prírastok argumentu Δx = x 2 − x 1 a prírastok funkcie Δy = y 2 − y 1 .
3. Nakoniec nájdeme hodnotu derivácie D = Δy/Δx. Inými slovami, musíte vydeliť prírastok funkcie prírastkom argumentu – a toto bude odpoveď.

Ešte raz si všimnime: body A a B treba hľadať presne na dotyčnici, a nie na grafe funkcie f(x), ako sa to často stáva. Dotyková čiara bude nevyhnutne obsahovať aspoň dva takéto body - inak nebude problém správne formulovaný.

Zvážte body A (−3; 2) a B (−1; 6) a nájdite prírastky:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Zistime hodnotu derivácie: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Úloha. Na obrázku je znázornený graf funkcie y = f(x) a dotyčnica k nej v bode s os x 0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x 0 .

Zvážte body A (0; 3) a B (3; 0), nájdite prírastky:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Teraz nájdeme hodnotu derivácie: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Úloha. Na obrázku je znázornený graf funkcie y = f(x) a dotyčnica k nej v bode s os x 0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x 0 .

Zvážte body A (0; 2) a B (5; 2) a nájdite prírastky:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Zostáva nájsť hodnotu derivácie: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Z posledného príkladu môžeme sformulovať pravidlo: ak je dotyčnica rovnobežná s osou OX, derivácia funkcie v bode dotyku je nulová. V tomto prípade nemusíte ani nič počítať - stačí sa pozrieť na graf.

Výpočet maximálneho a minimálneho počtu bodov

Niekedy namiesto grafu funkcie dáva úloha B9 graf derivácie a vyžaduje nájdenie maximálneho alebo minimálneho bodu funkcie. V tejto situácii je dvojbodová metóda zbytočná, ale existuje iný, ešte jednoduchší algoritmus. Najprv si definujme terminológiu:

1. Bod x 0 sa nazýva maximálny bod funkcie f(x), ak v niektorom okolí tohto bodu platí nerovnosť: f(x 0) ≥ f(x).
2. Bod x 0 sa nazýva minimálny bod funkcie f(x), ak v niektorom okolí tohto bodu platí nerovnosť: f(x 0) ≤ f(x).

Ak chcete nájsť maximum a minimum bodov z derivačného grafu, postupujte podľa týchto krokov:

1. Prekreslite derivačný graf a odstráňte všetky nepotrebné informácie. Ako ukazuje prax, nepotrebné údaje len zasahujú do rozhodnutia. Preto na súradnicovej osi označíme nuly derivácie - a je to.
2. Zistite znamienka derivácie na intervaloch medzi nulami. Ak je pre nejaký bod x 0 známe, že f'(x 0) ≠ 0, potom sú možné len dve možnosti: f'(x 0) ≥ 0 alebo f'(x 0) ≤ 0. Znamienko derivácie je ľahko určiť z pôvodného nákresu: ak derivačný graf leží nad osou OX, potom f'(x) ≥ 0. A naopak, ak derivačný graf leží pod osou OX, potom f'(x) ≤ 0.
3. Opäť skontrolujeme nuly a znamienka derivácie. Tam, kde sa znamienko zmení z mínus na plus, je minimálny bod. Naopak, ak sa znamienko derivácie zmení z plus na mínus, ide o maximálny bod. Počítanie sa vždy vykonáva zľava doprava.

Táto schéma funguje len pre spojité funkcie - v probléme B9 nie sú žiadne iné.

Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na intervale [−5; 5]. Nájdite minimálny bod funkcie f(x) na tomto segmente.

Poďme sa zbaviť zbytočné informácie— nechajme len hranice [−5; 5] a nuly derivácie x = −3 a x = 2,5. Všímame si aj tieto znaky:

Je zrejmé, že v bode x = −3 sa znamienko derivácie zmení z mínus na plus. Toto je minimálny bod.

Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na intervale [−3; 7]. Nájdite maximálny bod funkcie f(x) na tomto segmente.

Prekreslíme graf a ponecháme len hranice [−3; 7] a nuly derivácie x = −1,7 a x = 5. Všimnime si znamienka derivácie na výslednom grafe. Máme:

Je zrejmé, že v bode x = 5 sa znamienko derivácie zmení z plus na mínus - to je maximálny bod.

Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x), definovanej na intervale [−6; 4]. Nájdite maximálny počet bodov funkcie f(x) patriacich segmentu [−4; 3].

Z podmienok úlohy vyplýva, že stačí uvažovať len časť grafu obmedzenú úsečkou [−4; 3]. Zostavíme preto nový graf, na ktorom vyznačíme len hranice [−4; 3] a nuly derivácie v ňom. Konkrétne body x = −3,5 a x = 2. Dostaneme:

Na tomto grafe je len jeden maximálny bod x = 2. Práve v tomto bode sa mení znamienko derivácie z plus na mínus.

Malá poznámka o bodoch s neceločíselnými súradnicami. Napríklad v poslednej úlohe bol uvažovaný bod x = −3,5, ale s rovnakým úspechom môžeme vziať x = −3,4. Ak je problém zostavený správne, takéto zmeny by nemali ovplyvniť odpoveď, pretože body „bez trvalého bydliska“ sa priamo nezúčastňujú na riešení problému. Samozrejme, tento trik nebude fungovať s celočíselnými bodmi.

Hľadanie intervalov rastúcich a klesajúcich funkcií

V takom probléme, ako je maximálny a minimálny bod, sa navrhuje použiť derivačný graf na nájdenie oblastí, v ktorých sa samotná funkcia zvyšuje alebo znižuje. Najprv si definujme, čo je zvyšovanie a znižovanie:

1. O funkcii f(x) sa hovorí, že je rastúca na segmente, ak pre ľubovoľné dva body x 1 a x 2 z tohto segmentu platí nasledujúce tvrdenie: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Inými slovami, čím väčšia je hodnota argumentu, tým väčšia je hodnota funkcie.
2. O funkcii f(x) sa hovorí, že je na úsečke klesajúca, ak pre ľubovoľné dva body x 1 a x 2 z tejto úsečky platí nasledujúce tvrdenie: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Tie. vyššiu hodnotu argument zodpovedá menšej hodnote funkcie.

Poďme formulovať dostatočné podmienky vzostupne a zostupne:

1. Aby spojitá funkcia f(x) na segmente vzrástla, stačí, aby jej derivácia vo vnútri segmentu bola kladná, t.j. f'(x) ≥ 0.
2. Aby sa spojitá funkcia f(x) na segmente zmenšila, stačí, aby jej derivácia vo vnútri segmentu bola záporná, t.j. f'(x) ≤ 0.

Prijmime tieto vyhlásenia bez dôkazov. Získame tak schému na nájdenie intervalov zvyšovania a znižovania, ktorá je v mnohom podobná algoritmu na výpočet extrémnych bodov:

1. Odstráňte všetky nepotrebné informácie. V pôvodnom grafe derivácie nás primárne zaujímajú nuly funkcie, preto necháme len tie.
2. Označte znamienka derivácie v intervaloch medzi nulami. Kde f'(x) ≥ 0, funkcia sa zvyšuje a kde f'(x) ≤ 0 sa znižuje. Ak problém nastavuje obmedzenia na premennú x, dodatočne ich označíme na novom grafe.
3. Teraz, keď poznáme správanie funkcie a obmedzenia, zostáva vypočítať množstvo požadované v úlohe.

Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na intervale [−3; 7,5]. Nájdite intervaly poklesu funkcie f(x). Vo svojej odpovedi uveďte súčet celých čísel zahrnutých v týchto intervaloch.

Ako obvykle, prekreslíme graf a označíme hranice [−3; 7,5], ako aj nuly derivácie x = −1,5 a x = 5,3. Potom si všimneme znaky derivácie. Máme:

Keďže derivácia je záporná na intervale (− 1,5), ide o interval klesajúcej funkcie. Zostáva sčítať všetky celé čísla, ktoré sú v tomto intervale:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x), definovanej na intervale [−10; 4]. Nájdite intervaly nárastu funkcie f(x). Vo svojej odpovedi uveďte dĺžku najväčšieho z nich.

Zbavme sa nepotrebných informácií. Ponechajme len hranice [−10; 4] a nuly derivácie, ktoré boli tentokrát štyri: x = −8, x = −6, x = −3 a x = 2. Označme znamienka derivácie a získame nasledujúci obrázok:

Zaujímajú nás intervaly rastúcej funkcie, t.j. také, kde f’(x) ≥ 0. Na grafe sú dva takéto intervaly: (−8; −6) a (−3; 2). Vypočítajme ich dĺžku:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l2 = 2 − (−3) = 5.

Keďže potrebujeme nájsť dĺžku najväčšieho z intervalov, zapíšeme si ako odpoveď hodnotu l 2 = 5.

Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x), definovanej na intervale [–5; 6]. Nájdite počet bodov na grafe f(x), v každom z nich dotyčnica nakreslená ku grafu funkcie sa zhoduje alebo je rovnobežná s osou x

Na obrázku je znázornený graf derivácie diferencovateľnej funkcie y = f(x).

Nájdite počet bodov na grafe funkcií, ktoré patria do segmentu [–7; 7], v ktorom dotyčnica ku grafu funkcie je rovnobežná s priamkou určenou rovnicou y = –3x.

Hmotný bod M sa začína pohybovať z bodu A a pohybuje sa priamočiaro po dobu 12 sekúnd. Graf ukazuje, ako sa v priebehu času menila vzdialenosť z bodu A do bodu M. Os x ukazuje čas t v sekundách a zvislá os ukazuje vzdialenosť s v metroch. Určte, koľkokrát sa počas pohybu rýchlosť bodu M otočila na nulu (neberte do úvahy začiatok a koniec pohybu).

Na obrázku sú rezy grafom funkcie y=f(x) a dotyčnica k nej v bode s os x = 0. Je známe, že táto dotyčnica je rovnobežná s priamkou prechádzajúcou bodmi grafu. s x = -2 a x = 3. Pomocou toho nájdite hodnotu derivácie f"(o).

Na obrázku je znázornený graf y = f’(x) - derivácia funkcie f(x), definovaná na segmente (−11; 2). Nájdite úsečku bodu, v ktorom dotyčnica ku grafu funkcie y = f(x) je rovnobežná s osou alebo sa s ňou zhoduje.

Hmotný bod sa pohybuje priamočiaro podľa zákona x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, kde x je vzdialenosť od referenčného bodu v metroch, t je čas v sekundách, merané od začiatku pohybu. V ktorom časovom bode (v sekundách) sa jeho rýchlosť rovnala 2 m/s?

Hmotný bod sa pohybuje po priamke z počiatočnej do konečnej polohy. Na obrázku je znázornený graf jeho pohybu. Os x ukazuje čas v sekundách a zvislá os vzdialenosť od počiatočnej polohy bodu (v metroch). Nájsť priemerná rýchlosť bodový pohyb. Uveďte svoju odpoveď v metroch za sekundu.

Funkcia y = f (x) je definovaná na intervale [-4; 4]. Na obrázku je znázornený graf jeho derivácie. Nájdite počet bodov na grafe funkcie y = f (x), ktorej dotyčnica zviera s kladným smerom osi Ox uhol 45°.

Funkcia y = f (x) je definovaná na intervale [-2; 4]. Na obrázku je znázornený graf jeho derivácie. Nájdite úsečku bodu v grafe funkcie y = f (x), v ktorom nadobúda najmenšiu hodnotu na úsečke [-2; -0,001].

Na obrázku je znázornený graf funkcie y = f(x) a dotyčnica k tomuto grafu nakreslená v bode x0. Dotyčnica je daná rovnicou y = -2x + 15. Nájdite hodnotu derivácie funkcie y = -(1/4)f(x) + 5 v bode x0.

Na grafe diferencovateľnej funkcie y = f (x) je vyznačených sedem bodov: x1,.., x7. Nájdite všetky označené body, v ktorých je derivácia funkcie f(x) väčšia ako nula. Vo svojej odpovedi uveďte počet týchto bodov.

Na obrázku je znázornený graf y = f"(x) derivácie funkcie f(x), definovanej na intervale (-10; 2). Nájdite počet bodov, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie f (x) je rovnobežná s priamkou y = -2x-11 alebo sa s ňou zhoduje.

Na obrázku je znázornený graf y=f"(x) - derivácia funkcie f(x). Na osi x je vyznačených deväť bodov: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Koľko z týchto bodov patrí do intervalov klesajúcej funkcie f(x)?

Na obrázku je znázornený graf funkcie y = f(x) a dotyčnica k tomuto grafu nakreslená v bode x0. Dotyčnica je daná rovnicou y = 1,5x + 3,5. Nájdite hodnotu derivácie funkcie y = 2f(x) - 1 v bode x0.

Na obrázku je znázornený graf y=F(x) jednej z primitívnych derivácií funkcie f (x). Na grafe je šesť bodov označených úsečkami x1, x2, ..., x6. V koľkých z týchto bodov má funkcia y=f(x) záporné hodnoty?

Na obrázku je znázornený graf pohybu auta po trase. Na vodorovnej osi je čas (v hodinách) a na zvislej osi prejdená vzdialenosť (v kilometroch). Nájdite priemernú rýchlosť auta na tejto trase. Svoju odpoveď uveďte v km/h

Hmotný bod sa pohybuje priamočiaro podľa zákona x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, kde x je vzdialenosť od referenčného bodu (v metroch), t je čas pohybu (v sekundách). Nájdite jeho rýchlosť (v metroch za sekundu) v čase t=6 s

Na obrázku je znázornený graf primitívnej funkcie y = F(x) nejakej funkcie y = f(x), definovanej na intervale (-6; 7). Pomocou obrázku určte počet núl funkcie f(x) na tomto intervale.

Obrázok ukazuje graf y = F(x) jednej z primitív nejakej funkcie f(x), definovanej na intervale (-7; 5). Pomocou obrázku určte počet riešení rovnice f(x) = 0 na intervale [- 5; 2].

Na obrázku je znázornený graf diferencovateľnej funkcie y=f(x). Na osi x je vyznačených deväť bodov: x1, x2, ... x9. Nájdite všetky označené body, v ktorých je derivácia funkcie f(x) záporná. Vo svojej odpovedi uveďte počet týchto bodov.

Hmotný bod sa pohybuje priamočiaro podľa zákona x(t)=12t^3−3t^2+2t, kde x je vzdialenosť od referenčného bodu v metroch, t je čas v sekundách meraný od začiatku pohybu. Nájdite jeho rýchlosť (v metroch za sekundu) v čase t=6 s.

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) a dotyčnica k tomuto grafu nakreslená v bode x0. Rovnica dotyčnice je znázornená na obrázku. nájdite hodnotu derivácie funkcie y=4*f(x)-3 v bode x0.