Teorem potrebná a dostatočný stav napísaný štvorkolka. Napísané a opísané v blízkosti štvoruholník kruhu

Konvexná štvorkolka A B C D (DISPORTSTYLE DISPOZÍCIA ABCD) Potom je napísané a len vtedy, ak sú protiľahlé uhly v množstve 180 °, to znamená.

A + C \u003d B + D \u003d π \u003d 180 ∘. (DisplayStyle A + C \u003d B + D \u003d PI \u003d 180 ^ (Circ).)

Veta bola Ponuka 22. V knihe 3 euclide Spustiť . Ekvivalent, konvexná štvorkolka je zapísaná, ak je len vtedy, ak je susedský uhol rovný opačnému vnútornému rohu.

P q \u003d c + b D. (Displaystyle Displaystyle PQ \u003d AC + BD.)

Ak sú dva priame, z ktorých jeden obsahuje segment Striedavýa druhý - rez BD.pretínajú v bode P. \\ tpotom štyri body A., B., C., D. ležať na kruhu a potom len vtedy, keď

A p ⋅ p c \u003d b p ⋅ p d. (Displaystyle AP CDOT PC \u003d BP CDOT PD.)

Priesečník P. \\ t Môže ležať vo vnútri aj mimo kruhu. V prvom prípade to bude napísané štvorkolky A B C d.a v druhom - vpísané štvorkolky ABDC.. Ak sa priesečník leží vo vnútri, rovnosť znamená, že produkt segmentov, ku ktorému bod P. \\ t Rozdeľuje jednu diagonálnu, rovnú produktu segmentov iného diagonálneho. Toto vyhlásenie je známe ako veta na pretieranie akordov Pretože diagonálne zapísané štyri prináša sú akordy opísaného kruhu.

Konvexná štvorkolka A B C d. je potom zapísaný a len vtedy, keď

TAN \u2061 A 2 TAN \u2061 C 2 \u003d TAN \u2061 B 2 TAN \u2061 D 2 \u003d 1. (DISPORTSTYLE TAN (3C (A) (2)) TAN (FAC (C) (2)) \u003d TAN (Frac (b) (2)) opálenie (frac (d) (2)) \u003d 1.)

Oblasť

S \u003d (P - a) (P - B) (P - C) (P-D) (\\ tP-a) (P-B) (P-C) (P-D)))

Zapísaný štvoruholník má maximálnu plochu medzi všetkými štvorkolkami, ktoré majú rovnakú sekvenciu dĺžok bokov. Toto je iný dôsledok pomeru Bretenider. Vyhlásenie môže byť dokázané pomocou matematickej analýzy.

Štyri nerovnaké dĺžky, z ktorých každý je nižší ako množstvo ďalších troch, sú strany troch šporkovacích štvorkoliek, a na brahmagupta vzorca všetky tieto trojuholníky majú rovnakú oblasť. Najmä pre strany a., b., c. a d. bok a. Možno opak niektorého zo strán b., c. alebo d.. Akékoľvek dva z týchto troch napísaných štvorkoliek majú uhlopriečku rovnakej dĺžky.

Oblasť zapísanej štvorky s konzistentnými stranami a., b., c., d. a uhol B. Medzi stranami a. a b. Môžete vyjadriť vzorec

S \u003d 1 2 (A B + C D) SIN \u2061 B (DISPORTSTYLE S \u003d (TFRAC (1) (2)) (AB + CD) SIN (B)) S \u003d 1 2 (A C + B D) SIN \u2061 θ (DISPORTSTYLE S \u003d (TFRAC (1) (2)) (AC + BD) SIN (THETA))

kde θ - Akýkoľvek uhol medzi uhlopriečkami. Ak je roh A. nie je priamy, oblasť môže byť vyjadrená vzorcom

S \u003d 1 4 (A 2 - B 2 - C 2 + D2) TAN \u2061 A. (DisplayStyle S \u003d (tfrac (1) (4)) (A ^ (2) -B ^ (2) -C ^ (2) + D ^ (2)) TAN (A).) S \u003d 2 R 2 SIN \u2061 A SIN \u2061 B SIN \u2061 θ (DISPORTSTYLE S \u003d 2R ^ (2) SIN (A) SIN (B) SIN (ETA)) S ≤ 2 R2 (Displaystyle S \\ _712],

a nerovnosť sa zmení na rovnosť v tom a len vtedy, keď je štvorcový štvorcový.

Diagonálny

S vrcholmi A., B., C., D. (v určenej sekvencii) a stranách a. = Abs, b. = Bc., c. = Cd a d. = Darebák Diagonálne dĺžky p. \\ t = Striedavý a q. = BD. vyjadriť prostredníctvom strán

P \u003d (A C + B D) (A D + B C) A B + C D (DISMENTLE P \u003d (SQRT (NOC ((AC + BD) (AD + BC)) (AB + CD))) Q \u003d (A C + B D) (A B + C D) A D + B C (Displaystyle Q \u003d (SQRT (FAC ((AC + BD) (AB + CD)) (AD + BC))) P q \u003d c + b D. (DisplayStyle PQ \u003d AC + BD.)

Podľa druhé Ptolemy teorem ,

P Q \u003d A D + B C A B + C D (Displaystyle (frac (p) (q)) \u003d (\\ frac (AD + BC) (AB + CD)))

s rovnakými symbolmi ako predtým.

Pre množstvo uhlopriečok máme nerovnosť

P + q ≥ 2 A C + B D. (Displaystyle P + Q GEQ 2 (SQRT (AC + BD)).)

Nerovnosť sa v tom stanú rovnaká a len vtedy, ak má uhlopriečku rovnakú dĺžku, ktorá môže byť znázornená s použitím nerovnosti medzi priemerným aritmetickým a stredným geometrickým.

(P + Q) 2 ≤ (A + C) 2 + (B + D) 2. (Displaystyle (P + Q) ^ (2) LEQ (A + C) ^ (2) + (B + D) ^ (2).)

V akejkoľvek konvexnej štvorkolke, dva diagonály zdieľajú štvorfarebný trojuholník. V načítanej štvorkolke sú opačné páry týchto štyroch trojuholníkov podobné.

Ak M. a N. sú stredné číselné diagonály Striedavý a BD.T.

M n e f \u003d 1 2 A C B D - B D A C | (Displaystyle (frac (MN) (EF)) \u003d (\\ frac (1) (2)) vľavo | (frac (AC) (BD)) - (\\ frac (BD) (AC)) |

kde E. a F. - bod priesečníka opačných strán.

Ak A B C d. - zapísaná štvorkolka a Striedavý Križovatka BD. V mieste P. \\ tT.

P C p \u003d a b c b ⋅ a d c d. (Displaystyle (frac (AP) (CP)) \u003d (\\ frac (AB) (CB)) CDOT (frac (AD) (CD)).)

Rohové vzorce

a., b., c., d.napoly s. a uhol A. Medzi stranami a. a d. Trigonometrické funkcie rohu A. rovný

COS \u2061 A \u003d A 2 + D 2 - B 2 - C 2 2 (AD + BC), (DISPORTSTYLE, COS A \u003d (3) -B ^ (2) + D ^ (2) -B ^ (2) -C ^ (2)) (2 (AD + BC))),) SIN \u2061 A \u003d 2 (S - A) (S - B) (S - C) (S - D) (AD + BC), (DISPORTSTYLE SIN A \u003d (\\ _ (2 (2 (SQRT (((SA) (Sb) (sc) (sc)))) ((AD + BC))),) TAN \u2061 A 2 \u003d (S - A) (S - D) (S - B) (S - C). (Displaystyle Tan (frac (A) (2)) \u003d (SQRT (frac ((S-A) (S - D)) ((S-B) (S-C)))).)

Pre roh θ medzi uhlopriečkou sa vykonáva

TAN \u2061 θ 2 \u003d (S - B) (S - D) (S - A) (S - C). (Displaystyle Tan (frac (2) (2)) \u003d (Sqrt (frac ((S-B) (S-D)) ((S-A) (S-C)))).)

Ak pretrvávajú opačné strany a. a c. Krížik v uhle φ (Displaystyle \\ Phi) T.

COS \u2061 φ 2 \u003d (S - B) (S - D) (B + D) 2 (AB + CD) (AD + BC) (DISPORTSTYLE COS (3) (\\ t SQRT (frac ((sb) (SD) (B + D) ^ (2)) ((AB + CD) (AD + BC))))

Parashwar

Pre inscribd štyri spúšťač so stranami a., b., c., d. (v určenej sekvencii) a polovičnej verzii s. Polomer kruhu opísaného) je nastavený vzorcom

R \u003d 1 4 (A B + C D) (A C + B D) (A D + B C) (S - A) (S - B) (S - C) (S - D). (\\ t )))))).)

Vzorec bol vedený indickým matematikom Vatassery parameshwar V 15. storočí.

Ak sa uhlopriečny zapisuje v štvorlastnej pretínach v bode P. \\ ta stred uhmagonálov - V. a W., potom anticiárom štvorkolky je orto-centrum trojuholníka VWP.A vertex centroid je uprostred segmentu spájajúceho stred uhligonálov.

Vo vyzdvihnutom štvorstvrovateľnom námestí " G A."Centorkhin Verkhin" G v. a križovatke P. \\ t Diagonály ležia na jednej priamke. Pre vzdialenosti medzi týmito bodmi sa vykonáva rovnosť

P g a \u003d 4 3 p g v. (DisplayStyle PG_ (A) \u003d (tfrac (4) (3)) pg_ (v).)

Iné vlastnosti

• V načítanej štvorkolke A B C d. So stredom opísaného kruhu O. byť P. \\ t - diagonálny priesečník Striedavý a BD.. Potom roh Apb. je stredne veľké aritmetické uhly Aob a Treska.. Toto je priamy dôsledok veta o zapísanom uhlí a teoremy na vonkajšom rohu trojuholníka.

• Ak má vpísaný štvoladník dĺžky strán, ktoré tvoria aritmetický progresiu, potom je Quadril tiež externe opísané.

Fragmagons brahmagupta

Quadricon brahmagupta - Toto je napísané štvorstranné s celými dĺžkami bokov, celé dĺžky uhlopriečok a celočíselnej oblasti. Všetky štvorvrstvy Brahmagupta so stranami a B C D, uhlopriečky e, F., S a polomer kruhu opísaného R. možno získať tak, že sa zbavíte denominátora v nasledujúcich výrazoch (s racionálnymi parametrami t., u. a v.):

A \u003d [T (U + V) + (1 - U V)] [U + V - T (1 - U V)] (Displaystyle A \u003d) B \u003d (1 + u 2) (v - t) (1 + t v) (displejstyle b \u003d (1 + u ^ (2)) (V-T) (1 + TV)) C \u003d T (1 + U 2) (1 + V 2) (Displaystyle C \u003d T (1 + U ^ (2)) (1 + V ^ (2))) d \u003d (1 + v 2) (U - t) (1 + T U) (Displaystyle D \u003d (1 + V ^ (2)) (U-T) (1 + TU)) E \u003d U (1 + T2) (1 + V 2) (Displaystyle E \u003d U (1 + T ^ (2)) (1 + V ^ (2))) F \u003d v (1 + t 2) (1 + u 2) (displej, f \u003d v (1 + t ^ (2)) (1 + u ^ (2))) S \u003d UV [2 T (1 - UV) - (U + V) (1 - T2)] [2 (U + V) T + (1 - UV) (1 - T2)] (\\ t UV) 4 R \u003d (1 + U 2) (1 + V 2) (1 + T2). (Displaystyle 4R \u003d (1 + U ^ (2)) (1 + v ^ (2)) (1 + t ^ (2)).)

Vlastnosti orthodyagonálnych vyzdvihnutých štvorkoliek

Oblasť a polomer kruhu opísaného

Nechajte sa použiť štyri koronálne činidlo, ktoré je tiež orthodyagonálne (t.j. s kolmou uhlopriečok), križovanie uhlopriečok rozdeľuje jednu diagonálnu dĺžku segmentov p. \\ t 1 I. p. \\ t 2 a ďalšie deličky na dĺžku segmentov q. 1 I. q. 2. Potom (prvá rovnosť je Propozícia 11. V knihe Archimedes "Lemma")

D2 \u003d P1 2 + P2 2 + Q1 2 + Q2 2 \u003d A 2 + C 2 \u003d B 2 + D 2 (Displaystyle D ^ (2) \u003d P_ (1) ^ (2) + P_ (1) 2) ^ (2) + q_ (1) ^ (2) + q_ (2) ^ (2) \u003d a ^ (2) + c ^ (2) \u003d b ^ (2) + d ^ (2)),

kde D. -

alebo po stranách kvadriny

R \u003d 1 2 A 2 + C2 \u003d 1 2 B2 + D2. (Displaystyle R \u003d (TFRAC (1) (2)) (SQRT (A ^ (2) + C ^ (2))) \u003d (tfrac (1) (2)) (\\ t 2) + d ^ (2)).)

Z toho vyplýva, že

A2 + B2 + C 2 + d 2 \u003d 8 R2. (Displaystyle A ^ (2) + B ^ (2) + C ^ (2) + D ^ (2) \u003d 8R ^ (2).)

Podľa eulerového vzorca teda môže byť polomer exprimovaný cez uhlopriečku p. \\ t a q. a vzdialenosť x. medzi stredom uhlopriečok

R \u003d P 2 + Q 2 + 4 x 2 8. (Displaystyle R \u003d (sqrt (frac (p ^ (2) + q ^ (2) + 4x ^ (2)) (8))).)

Vzorec pre štvorec K. Zapísaný ortodyagonálny štvorvar môže byť získaný priamo cez strany, ak kombinujú teorem Ptolemy (pozri vyššie) a vzorec orthodyagonálneho štvorohnedého priestoru. V dôsledku toho sa dostaneme

Literatúra

• Claudi Alsina, Roger Nelsen. Keď je menej viac: Vizualizácia základných nerovností, kapitola 4.3 Cyklické, tangenciálne a bicentické štvorupievači. - Matematická asociácia Ameriky, 2009. - ISBN 978-0-88385-342-9.
• Claudi Alsina, Roger B. NELSEN. Na diagonáloch cyklického štvorstranného // fóra Geometricorem. - 2007. - T. 7.
• Nathan Altshiller-Court. Vysoká škola Geometria: Úvod do modernej geometrie trojuholníka a kruhu. - 2.. - Courier Dover, 2007. - ISBN 978-0-486-45805-2. (Org. 1952)
• \u003d TITU ANDREESCU, BOGDAN ENESSCU. .
• Harold Scott MacDonald Coxet, Samuel L. Greitzer. Revíznej geometria. 3.2 Cyklické štvorkolky; Vzorec Brahmagupta. - Matematická asociácia Ameriky, 1967. - ISBN 978-0-88385-619-2. Prevod G. S. M. KOKSTETER, S. L. GRAIDZER. Nové stretnutia s geometriou. 3.2 Zapísané štvorkolky; Brahmagupta teorem. - Moskva: "Veda", 1978. - (Knižnica matematického kruhu).
• Crux Mathematicorum. Navrhnutých nerovností. CRUX MATHEMATOORUM. - 2007.
• D. Fraivertt. Teória nepopísateľného štvoruholníka a kruhu, ktorá tvorí Pascal Body // Journal of Matematické Sciences: Pokroky a aplikácie. - 2016. - T. 42. - P. 81-107. - DOI: 10.18642 / JMSAA_7100121742.
• C. V. Durell, A. Robson. Pokročilá trigonometria. - Courier Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43229-8. (Oright. 1930)
• MOWAFFAQ HAJJA. Podmienka pre cirkvizónový štvoruholník je cyklický // fórum geometrickoru. - 2008. - T. 8.
• Larry Hoehn. OBCHODNOSŤ CYKLICKÝCH ŠPPDRIVÁTNOSTI // MATEMATICKÝCH GAZETY. - 2000. - T. 84, problém. 499 marec.
• Ross Honsberger. Epizódy v devätnástej a twientiadom storočí Euclidovskej geometrie. - Univerzitná univerzita Cambridge, 1995. - T. 37. - (Nová matematická knižnica). - ISBN 978-0-88385-639-0.
• Roger A. Johnson. Pokročilá euklidovská geometria. - Dover Public, 2007. (Oright. 1929)
• Thomas Peter. Maximalizácia oblasti štvoruholník // vysoká škola matematiky časopis. - 2003. - T. 34, Vol. 4. septembra.
• Alfred S. Poslamentier, Charles T. Salkind. Náročné problémy v geometrii. - 2.. - Courier Dover, 1970. - ISBN 978-0-486-69154-1. Kapitola: Riešenia: 4-23 Dokážte, že súčet súčtu štvorcov vyrobených kolmých akordov sa rovná námesti miery priemeru daného kruhu.

• , Preklad z ruštiny V.V. Prasolov. Úlohy pre planimetriu. Tutoriál. - 5.. - Moskva: McNMO OAO "Moskva učebnice", 2006. - ISBN 5-94057-214-6

Štvrkol je zapísaný v kruhu, ak všetky jeho vrcholy ležia na tomto kruhu. Takýto kruh je opísaný v blízkosti štvoruholník.

Ako nie každý štvoruholník môže byť opísaný v blízkosti kruhu, nie každý môže vstúpiť do kruhu.

Konvexná štvorstranná, zapísaná v kruhu, má nehnuteľnosť: jeho opačné uhly v množstve sú 180 °. Takže, ak je ABCD QUADRIRIRILATER udelený, v ktorom je uhol A je oproti rohu C a uhol B je oproti uhlu D, potom ∠A + ∠C \u003d 180 ° a ∠B + ∠D \u003d 180 ° .

Všeobecne platí, že ak jeden pár opačných uhlov štvorkolka v množstve je 180 °, druhý pár v množstve bude rovnaký. To vyplýva zo skutočnosti, že v konvexe je štvorstranná súčet uhlov vždy rovná 360 °. Na druhej strane, táto skutočnosť vyplýva zo skutočnosti, že v konvexných polygonoch je súčet uhlov určený vzorcom 180 ° * (n-2), kde n je počet uhlov (alebo strán).

Je možné preukázať, že majetok zahrnutej štvorkolky nasledovne. Nech je ABCD QUADRIRILATER vstúpiť do kruhu. Je potrebné dokázať, že ∠b + ∠d \u003d 180 °.

Uhol B je zapísaný v kruhu. Ako viete, taký uhol sa rovná polovici oblúka, ktorý sa spolieha. V tomto prípade sa uhol B spolieha na ADC oblúk, znamená to, že ∠b \u003d ½◡ADC. (Vzhľadom k tomu, že oblúk sa rovná uhlu medzi polomerom, ktorý ho tvorí, potom môže byť napísané, že ∠b \u003d ½∠Ooc, ktorých vnútorná plocha obsahuje bod D.)

Na druhej strane, uhol d štvoruholník je založený na ABC oblúku, to znamená, ∠d \u003d ½◡ABC.

Keďže strana uhlov B a D prechádza kruh v rovnakých bodoch (A a C), zdieľajú kruh len pre dva oblúky - ◡ADC a ◡ABC. Vzhľadom k tomu, kompletný kruh v množstve je 360 \u200b\u200b°, potom ◡ADC + ◡ABC \u003d 360 °.

Získali sa teda nasledujúce rovnosti:

∠B \u003d ½◡ADC.
∠d \u003d ½◡abc.
◡ADC + ◡ABC \u003d 360 °

Vyjadrite súčtu rohov:

∠B + ∠d \u003d ½◡adc + ½◡abc

Prinesiem ½ pre držiak:

∠b + ∠d \u003d ½ (◡ADC + ◡ABC)

Budeme nahradiť ARC súčet svojho numerického významu:

∠B + ∠d \u003d ½ * 360 ° \u003d 180 °

Dostali sme sa, že súčet opačných uhlov napísaného štvoruhota je 180 °. Toto bolo potrebné dokázať.

Skutočnosť, že vpísaná štvorkolka má taký majetok (súčet opačných uhlov je 180 °), neznamená, že každý štvoruholník, v ktorom je súčet opačných uhlov 180 °, je možné zadať do kruhu. Aj keď je to v skutočnosti. Táto skutočnosť sa nazýva znamenie vpísaného štvorkolka a je formulovaný ako: Ak je súčet opačných uhlov konvexného štvorstranného je 180 °, potom blízko nej môže byť opísaná v kruhu (alebo ho zadať do kruhu).

Pre preukázanie znamenia vpísaného štvorkolka môže byť používanie súpera. Nech je uvedený ABCD QUADRIRILATER, v ktorom sú opačné uhly B a D v celkovej výške 180 °. V tomto prípade sa uhol d leží na kruhu. Potom vezmite priamym obsahom CD segment, taký bod e tak, aby ležal na kruhu. Ukazuje sa, že napísané štvoruhodné abse. Tento štvoruholník má opačné uhly B a E, a to znamená, že sú vo výške 180 °. To vyplýva z majetku písomnej štúdie.

Ukazuje sa, že ∠b + ∠d \u003d 180 ° a ∠b + ∠E \u003d 180 °. Avšak, uhol d z ABCD štvoruholník vo vzťahu k AED trojuholníka je externý, a preto uhol E tohto trojuholníka. Tak sme dostávali k rozporu. To znamená, že ak je súčet opačných rohov štvoruholník 180 °, môže byť vždy zadaný do kruhu.

Kruh sa nazýva zapísaný v štvorkolku, ak sú všetky strany štvoruholník dotyčnice k obvodu.

Centrum tohto kruhu je priesečníckym bodom bisecu z uhlov štvoruholník. V tomto prípade sú Radii vykonané v bode dotyku kolmé na stranách štvoruholník

Kruh sa volá v blízkosti štvoruholník, ak prechádza všetkými jeho vrcholmi.

Centrum tohto kruhu je priesečník stredného kolmo na boky štvoruholník

Nie v každej štvorstrannej časti môžete vstúpiť do kruhu a nie v blízkosti akéhokoľvek štvorkolka

VLASTNOSTI POTREBUJE A OPATRENÉ

Veta v konvexe zapísaná štvorkolka súčtu opačných uhlov je navzájom rovná a je rovná 180 ° C.

Theorem Späť: Ak je množstvo súčtu opačných uhlov rovné, potom v blízkosti štvoruholník môže byť opísaný. Jej centrum je bod priesečníka stredných kolmých strán.

Veta, ak je kruh zapísaný v štvorlastnej časti, súčet opačných strán sú rovnaké.

Theorem Späť: Ak je v štvorkolku súčet opačných strán rovná, potom ho kruh môže vstúpiť. Jeho centrum je priesečníckym bodom bisecu.

COROLLARY: Z všetkých paralelokov len v blízkosti obdĺžnika (najmä o štvorcové), môžete opísať kruh.

Zo všetkých paralelokov len v Rhombus (najmä na námestí), môžete vstúpiť do kruhu (stred - bod priesečníka uhlopriečok, je polomer rovná polovici výšky).

Ak môžete opísať kruh v blízkosti trapeziónu, je to izolované. Obvod môže byť opísaný v blízkosti anulického lichobežníka.

Ak je kruh zapísaný v lichobežníkovi, potom je jeho polomer rovný polovice výšky.

Úlohy s riešeniami

1. Nájdite uhlopriečku obdĺžnika obsiahnutého v kruhu, ktorého polomer je 5.

Centrum kruhu opísaného v blízkosti obdĺžnika je bod priesečky jeho uhlopriečok. V dôsledku toho, diagonálne Striedavý rovná 2. R.. Tj Striedavý=10
Odpoveď: 10.

2. Blízko Trapezia, ktorej základňa je 6 cm a 8 cm, a výška je 7cm, popisuje kruh, ktorý nájde plochu tohto kruhu.

Byť Dc=6, Abs\u003d 8. Vzhľadom k tomu, kruh je opísaný v blízkosti lichobežníka, je to izolované.

Strávime dve výšky DM a CN.Tak ako trapézia je zadarmo, potom AM \u003d NB.=

Potom A.=6+1=7

Z trojuholníka Ans Pythagoreova teorem nájdeme Striedavý.

Z trojuholníka Cvn Pythagoreova teorem nájdeme slnko.

Kruh opísaný v blízkosti trapezium je obidva kruh opísaný v blízkosti trojuholníka Qa

Nájdite oblasť tohto trojuholníka dvoma spôsobmi podľa vzorcov

Hope h.- Výška I. - základňa trojuholníka

Kde r-polomer kruhu opísaného.

Z týchto výrazov získavame rovnicu. Z

Oblasť kruhu bude rovná

3. Rohy a kvadrilaters patria ako. Nájdite uhol, ak môžete opísať kruh v blízkosti tohto štvorstranného. Odpoveď v stupňoch

Z tohto dôvodu vyplýva, že. V takomto štvorstrannom môžete opísať kruh, potom

Dostaneme rovnicu . Potom. Súčet všetkých uhlov štvorkolka je 360 \u200b\u200b°. Potom

. Kde to dostaneme

4. Cesty lichobežníka opísaného v blízkosti kruhu sú rovné 3 a 5. Nájdite priemernú čiaru trapézie.

Potom je stredná čiara rovná

5. Perimeter obdĺžnikového lichobežníka opísaného v blízkosti kruhu je 22, jeho veľká bočná strana je 7. Nájdite polomer kruhu.

V lichobežníkovi je polomer napísaného kruhu rovný polovicu výšky. Strávime výšku sc.

Potom .

Vzhľadom k tomu, kruh je zapísaný v lichobežníkov, súčemy dĺžok opačných strán sú rovnaké. Potom

Potom obvod

Dostaneme rovnicu

6. Základy vyrovnávacieho lichobežníka sú 8 a 6. Polomer opísaného kruhu je 5. Nájdite výšku lichobežníka.

Nechajte centrum opísané v blízkosti okruhu kruhu. Potom.

Strávime výšku kN cez bod

Potom Kde KO a on je výška a zároveň mediány ISCED Triangles Doc a AOS. Potom

Podľa teorem Pythagore.

"Opísaný kruh" Videli sme, že okolo akéhokoľvek trojuholníka je možné opísať. To znamená, že pre každý trojuholník je taký kruh, že všetky tri vrcholy trojuholníka "sedieť" na to. Páči sa ti to:

OTÁZKA: Je možné povedať to isté o Quadrangle? Je pravda, že vždy bude kruh, na ktorom všetky štyri vrcholy štvoruholník budú "sedieť"?

Ukazuje sa, že to nie je pravda! Nie je vždy štvoruholník, ktorý je možné zadať do kruhu.. Existuje veľmi dôležitý stav:

V našom výkrese:

.

Pozrite sa, rohy a ležia oproti sebe, to znamená, že sú opačné. A čo potom s rohmi a? Zdá sa, že sú opačne? Je možné vziať rohy namiesto uhlov a?

Určite môžete! Hlavnou vecou je, že kvadranglom môže mať niekoľko dvoch protiľahlých rohov, ktorých suma bude. Zostávajúci dva uhol sa potom dostane spolu. Nedôveruj? Uistite sa. Pozrite sa:

Byť. Pamätáte si, aká je súčet všetkých štyroch rohov akéhokoľvek štvorkolka? Samozrejme, . To je - vždy! . Ale, →.

Magic rovno!

Takže si pamätajte pevne opraviť:

Ak je štvoruholník zadávaný do kruhu, je suma všetkých dvoch protiľahlých rohov rovná

a naopak:

Ak má štvorkolka dva opačné uhol, ktorých súčet sa rovná, potom je takýto štvorkolka napísaný.

Nebudeme tu dokázať (ak máte záujem, pozrite sa na nasledujúce úrovne teórie). Pozrime sa však, čo táto nádherná skutočnosť vedie k tomu, že napísaný štvoruholník sa rovná iniciovanému štvorkolku.

Napríklad príde na otázku mysle a je možné opísať kruh okolo rovnobežníka? Skúste najprv "súčasnú metódu".

Takto to nefunguje.

Teraz aplikovať vedomosti:

predpokladajme, že sme sa podarilo zasadiť kruh na paralelogramoch. Potom by to malo byť:, to znamená.

A teraz si nepamätáme vlastnosti paralelu:

v akejkoľvek rovnobežke sú protiľahlé uhly rovnaké.

Zvládli sme to

Aké uhly a? Rovnako to isté.

Okrem → →

Pologram → →

Báječné, že?

Ukázalo sa, že ak bol paralelník zadaný do kruhu, potom všetky jeho rohy sú rovnaké, to znamená, že je to obdĺžnik!

A aj tak - Stred kruhu sa zhoduje s bodom priesečníka uhlopriečok tohto obdĺžnika. To, tak hovoriť, ako je bonus pripojený.

No, to znamená, že zistili, že paralelogram, zapísané v kruhu - obdĺžnik.

Teraz poďme hovoriť o lichobežníkovi. Čo sa stane, ak je trapézia vstúpiť do kruhu? A ukazuje sa, bude rovný lichotéz. Prečo?

Nechajte trapeze napísať do kruhu. Potom znova, ale kvôli paralelom priameho a.

Takže máme: → → Trapezium je rovnako.

Ešte jednoduchšie ako s obdĺžnikom, že? Ale musíte sa zapamätať - užitočné:

Pozrime sa najviac hlavné vyhláseniaPokiaľ ide o štvoruholník, zapísaný v kruhu:

1. Štvrtok vstúpil do kruhu a len ak je súčet dvoch protiľahlých rohov rovná
2. Rovnobežník, zapísaný v kruhu - určite obdĺžnik a stred kruhu sa zhoduje s bodom priesečníka uhlopriečok
3. Trapezium zapísaný v kruhu je rovnaký.

Napísané štvoruholník. Priemerná úroveň

Je známe, že pre akýkoľvek trojuholník je popísaný kruh (boli preukázané v téme "navrhnutý kruh"). Čo možno povedať o kvadropele? Tu sa ukazuje Nie každý štvoruholník môže vstúpiť do kruhua tam je taká teorém

QUADRIL je vložený do kruhu, ak je len vtedy, ak je suma jeho opačných rohov rovná.

V našej výkrese -

Snažte sa pochopiť, prečo? Inými slovami, teraz dokazujeme túto teorem. Ale pred preukázaním, je potrebné pochopiť, ako je usporiadané samotné schválenie. Všimli ste si v schválení slova "potom a potom"? Takéto slová znamenajú, že škodlivé matematiky potriasli dve vyhlásenia v jednom.

Dešifrovanie:

1. "Potom" znamená: ak je štvoruholník zadávaný do kruhu, potom je suma všetkých dvoch protiľahlých rohov rovná.
2. "Až potom" znamená: Ak má štvornásobok dva opačné uhol, ktorých súčet sa rovná, potom sa takýto štvorkolka môže zadať do kruhu.

Rovnako ako Alice: "Myslím, že hovorím" a "hovorím, myslím."

A teraz chápeme, prečo je to pravda a 1 a 2?

Prvý 1.

Nechajte štvoruholník vstúpil do kruhu. Poznamenávame svoje centrum a Radii a. Čo sa bude diať? Pamätáte si, že vtipný roh je dvojnásobok zodpovedajúcej centrálnej? Ak si spomeniete - teraz použiteľné, a ak nie naozaj - pozrite sa na tému "Kruh. Vpísaný uhol.

Zapísaný

Zapísaný

Ale pozri:.

Dostaneme to, ak - zapísané, potom

Je jasné, že aj v množstve je. (Musíte to tiež zvážiť.

Teraz a "naopak," to znamená, 2.

Nech sa ukáže, že štvoruholník je niektoré z dvoch protiľahlých rohov. Povedzme, nechajme

Ešte nevieme, či je kruh opísať okolo neho. Ale vieme, že okolo trojuholníka sme zaručené, že popisujeme kruh. Tak to urob.

Ak tento bod nie je "posadil" do kruhu, ukázalo sa, že je nevyhnutne alebo mimo alebo vnútri.

Zvážte oba prípady.

Nechajte bod najprv - vonku. Potom segment prechádza v určitom okruhu kruhu. Pripojiť a. Ukázalo sa, že je napísané (!) Štvorhotinár.

Už o tom vieme, že súčet jeho opačných rohov je rovnaká, to znamená, ale podľa stavu nás.

Ukazuje sa, že by to malo byť.

Ale nemôže to byť preto, že - vonkajší uhol a to znamená.

A vo vnútri? Robíme podobné akcie. Nechajte bod vnútri.

Potom pokračovanie segmentu prekročí kruh v bode. Opäť - zapísaná štvorstranná, a pod podmienkou, ktorú musí byť vykonaná, ale vonkajší uhol pre a to znamená, že to znamená, že nemôže existovať tak, že.

To znamená, že bod nemôže byť buď vonku, ani vo vnútri kruhu znamená, že je na kruhu!

Preukázali všetky celé teoremy!

Pozrime sa, aké dobré vyšetrovania dávajú túto teorem.

Corollary 1.

Paralomogram, zapísaný v kruhu, môže byť len obdĺžnik.

Chápeme, prečo tak. Nech je paralelník zadaný do kruhu. Potom sa musí vykonať.

Ale z vlastností paralely, to vieme.

A rovnaké, prirodzene, pokiaľ ide o rohy a.

Ukázalo sa tak obdĺžnik - všetky rohy softvéru.

Ale okrem toho existuje ďalšia príjemná skutočnosť: stred kruhu opísaného v blízkosti obdĺžnika sa zhoduje s bodom priesečníka uhlopriečok.

Pochopme, prečo. Dúfam, že si úplne pamätáš, že uhol na základe priemeru je rovný.

Priemer,

Priemer

tak, centrum. To je všetko.

Corollary 2.

Trapezium zapísaný v kruhu je rovnováha.

Nechajte trapéru vpísať do kruhu. Potom.

A tiež.

Diskutovali sme o všetkých? Nie naozaj. V skutočnosti existuje ďalší, "tajný" spôsob, ako rozpoznať napísaný štvoruholník. Túto metódu vytvoríme nie veľmi striktne (ale jasne), ale ukážeme sa len na poslednej úrovni teórie.

Ak v štvorlatači môžete pozorovať taký obrázok ako na obrázku (sú tu uhly, "hľadá" na stranu bodov a sú rovnaké), potom takýto štvorkolka je napísaný.

Toto je veľmi dôležité čerpanie - v úlohách je často ľahšie nájsť rovnaké uhly ako množstvo rohov a.

Napriek dokonalému nedostatku prísnosti v našej formulácii je to pravda, a navyše, to je vždy akceptované preskúmaním skúšky. Musíte napísať niečo také:

"- Zapísané" - a všetko bude v poriadku!

Nezabudnite na túto dôležitú funkciu - zapamätajte si obrázok, a možno sa pri riešení úlohy uvedú do očí.

Napísané štvoruholník. Stručný opis a základné vzorce

Ak je štvoruholník zadávaný do kruhu, je suma všetkých dvoch protiľahlých rohov rovná

a naopak:

Ak má štvorkolka dva opačné uhol, ktorých súčet sa rovná, potom je takýto štvorkolka napísaný.

Štvorhviezdička vstúpila do kruhu a len ak je súčet dvoch protiľahlých rohov rovná.

Rovnobežník v kruhu - Určite obdĺžnik a stred kruhu sa zhodujú s bodom priesečníka uhlopriečok.

Trapezium zapísaný v kruhu je rovnaký.

Príklady opísaných kvadriclers môžu slúžiť delto, ktoré zahŕňajú diamanty, ktoré zase zahŕňajú štvorce. Deltaida je presne opísaná štvorkolka, ktoré sú tiež orthodyagonálne. Ak je kvadrilateer opísaný a napísaný štvorčitým, je nazývaný bentral.

Vlastnosť

V štvorkolke opísal v strede obvodu štyri bisector. Naopak, konvexná štvorkolka, v ktorej by sa mal opísať štyri bisector pretínanie v jednom bode, a bod križovatky bisector je stredom zapísaného kruhu.

Ak opačné strany v konvexe kvadriny A B C d. (nie trapezium) pretína v bodoch E. a F.Potom sú dotyční k obvodu a len, keď

B E + B F \u003d D E + D F (DisplayStyle DisplayStyle BE + BF \u003d DE + DF) E - e c \u003d f - f C (DisplayStyle Displaystyle AE-EC \u003d AF-FC.)

Druhá rovnosť je takmer rovnaká ako rovnosť v veta Urkharta. Rozdiel je len v znakoch - v Urkhart Veta sumy, a tu rozdiel (pozri kreslenie vpravo).

Ďalším potrebným a dostatočným podmienkam je konvexná štvorkolka A B C d. je opísaný v tom a len pri zapísaní v trojuholníkoch Bradavica a ADC. Kruh sa navzájom týkajú.

Popis rohov tvorených uhlopriečkou BD. So stranami kvadriny A B C d.patrí iosifescu (iosifescu). V roku 1954 dokázal, že konvexný QUADROLON má vpísaný kruh a len vtedy, keď

Tan \u2061 ∠ A B D 2 ⋅ TAN \u2061 ∠ B D C 2 \u003d TAN \u2061 ∠ A D B 2 ⋅ TAN \u2061 ∠ D B C 2. (Displaystyle Tan (frac (Angd ABD) (2)) CDOT TAN (FAC (ANGLE BDC) (2)) \u003d TAN (FAC (ADB) (2)) CDOT TAN (frac (uhol dbc) (2)).) R a R C \u003d Rb R D (Displaystyle R_ (A) R_ (C) \u003d R_ (B) R_ (D)),

kde R. a. , R. b. , R. c. , R. d. sú polomer kruhov, externe k dotyčnosti a., b., c., d. V súlade s tým, pokračovanie príbuzných strán na každej strane.

Niektoré iné popisy sú známe pre štyri trojuholníky tvorené uhlopriečkami.

Špeciálne segmenty

Osem segmenty Opísané QUADRIL sú segmenty medzi vrcholmi a dotykovými bodmi na bokoch. Každý vrchol má dve rovnocenné segmenty.

Dotykové body sú tvorené vpísaným kvadrilom.

Oblasť

Noncrometrické vzorce

K \u003d 1 2 P2 Q2 - (AC-BD) 2 (Displaystyle K \u003d (TFRAC (1) (2)) (SQRT (P ^ (2) Q ^ (2) - (AC-BD) ^ (2)))),

rozkladu z hľadiska uhlopriečok p. \\ t, q. a strana a., b., c., d. Tangentné množstvo.

Oblasť môže byť tiež zastúpená z hľadiska tangenčných segmentov (pozri vyššie). Ak ich určia e., f., g., h.Tangent Quadril má oblasť

K \u003d (E + F + G + H) (E F G + F G H + G H E + H E F). (Displaystyle K \u003d (Sqrt ((E + F + G + H) (EFG + FGH + GHE + HEF))).)

Okrem toho môže byť oblasť Tangent Quadril vyjadrená z hľadiska strán. a B C D a zodpovedajúce dĺžky tangenčných segmentov e, F, G, H

K \u003d B C D - (E g - F H) 2. (Displaystyle K \u003d (SQRT (ABCD- (EG-FH) ^ (2))).)

V prípade napr. = fH. V tom a len v prípade, keď je tiež zapísané, dostaneme to maximálnu oblasť A B C D (DISPORTSTYLE (SQRT (ABCD))) Môže sa dosiahnuť len na štvorkolkách, ktoré sú tiež opísané a zapísané súčasne.

Trigonometrické vzorce

K \u003d A B C D SIN \u2061 A + C 2 \u003d A B C D SIN \u2061 B + D2. (Displaystyle K \u003d (sqrt (ABCD)) hriech (frac (A + C) (2)) \u003d (SQRT (ABCD)) hriech (frac (B + D) (2)).)

Pre daný produkt strán bude oblasť maximálna, keď je Quardril tiež zapísaný. V tomto prípade K \u003d b c d (Displaystyle K \u003d (sqrt (ABCD)))Pretože opačné uhly sú voliteľné. To môže byť dokázané iným spôsobom pomocou matematickej analýzy.

Ďalší vzorec štmedu opísanej kvadriny A B C d.Použitie dvoch protiľahlých rohov

K \u003d (oa ⋅ OC + ob ⋅ OD) SIN \u2061 A + C 2 (DISPORTSTYLE K \u003d LEST (OA / CDOT OC + OB CDOT RIGHT) SIN (FAC (A + C) (2) )),

kde O. Je to stred vpísaného kruhu.

V skutočnosti môže byť oblasť vyjadrená len z dvoch priľahlých strán a dvoch protiľahlých rohov.

K \u003d B SIN \u2061 B 2 CSC \u2061 D 2 SIN \u2061 B + D2. (Displaystyle K \u003d AB (Frac (b) (2)) CSC (frac (d) (2)) hriech (frac (b + d) (2)). K \u003d 1 2 (A C - B D) Tan \u2061 θ | , (Displaystyle K \u003d (tfrac (1) (2)) | (AC-BD) TAN (THETA) |

kde θ Uhol (ľubovoľné) medzi uhlopriečkami. Vzorec sa nevzťahuje na prípad delpoidov, pretože v tomto prípade θ Je to 90 ° a dotyčnica nie je definovaná.

Nerovnosti

Ako už bolo uvedené, je uvedená vyššie, oblasť dotyčného polygónu so stranami a., b., c., d. Uspokojuje nerovnosť

K ≤ A B C D (DISPORTSTYLE K "LEQ (SQRT (ABCD)))

a rovnosť sa dosahuje, ak a len vtedy, keď je kvadrónka bentral.

Podľa T. A. Ivanova (1976), pol metra s. Opísaná kvadricu, ktorá spĺňa nerovnosť

S ≥ 4 R (Displaystyle S \\ GEQ 4R),

kde r. - polomer vpísaný kruh. Nerovnosť sa zmení na rovnosť, ak je len ak je štvorcový štvorcový. To znamená, že pre oblasť K. = rs.Nerovnosť sa vykonáva

K ≥ 4 R 2 (Displaystyle K geq 4r ^ (2))

s prechodom na rovnosť v tom a len v prípade, keď je štvorcový štvorcový štvorcový.

Vlastnosti kusov kvadriny

Štyri segmenty riadkov medzi stredom zapísaného kruhu a dotykovými bodmi sú rozdelené štvorkam obdĺžniková deltaida.

Ak je priame rozdelenie opísaného kvadrrilatera na dva polygóny s rovnakými plochami a rovnakými obvodmi, potom táto čiara prechádza stimulom.

Polomer vpísaný kruh

Polomer vpísaného kruhu opísanej kvadríky so stranami a., b., c., d. nastaviť vzorec

R \u003d K S \u003d K A + C \u003d K B + D (Displaystyle R \u003d (35 (K) (A + C)) \u003d (frac (K) (B + D )),

kde K. - oblasť kvadríčku a s. - Half-meter. Pre opísané kvadriclers s daným polovičným meraním je polomer napísaného kruhu maximalizovaný, keď je kvadrína súčasne zapísaná.

Pokiaľ ide o segmenty polomeru Tangenta vpísané kruh.

R \u003d E F G + F G H + G H E + H E F E + F + G + H. (Displaystyle Displaystyle R \u003d (Sqrt (frac (EFG + FGH + GHE + HEF) (E + F + G + H))).)

Polomer napísaného obvodu je tiež módny na vyjadrenie aj z hľadiska vzdialenosti od u O. na vrcholy opísanej kvadríky A B C d.. Ak u \u003d ao., v \u003d bo., x \u003d Co. a y \u003d robiť.T.

R \u003d 2 (σ - UVX) (σ - VXY) (σ - YUV) UVXY (UV + XY) (UX + VY) (UY + VX) (DISPOZÍCIE R \u003d 2 (SQRT (\\ t Frac ((Sigma -uvx) (SIGMA -VXY) (SIGMA -YUV) (UVXY (UV + XY) (UX + VY) (UY + VX)))),

kde σ \u003d 1 2 (u v x + v x y + x y u + y u v) (displej (1) (2)) (UVX + VXY + XYU + YUV)) .

Rohové vzorce

Ak e., f., g. a h. Tannerové segmenty z vrcholov A., B., C. a D. v súlade s bodom dotyku obvodu kvadriny A B C d., rohy kvadrilu môžu byť vypočítané vzorcami

SIN \u2061 A 2 \u003d EFG + FGH + GHE + HEF (E + F) (E + G) (E + H), (DISPORTSTYLE HR (NEBULOSTI (SQRT (2)) \u003d ( (EFG + FGH + GHE + HEF) ((E + F) (E + G) (E + H)))) SIN \u2061 B 2 \u003d EFG + FGH + GHE + HEF (F + E) (F + G) (F + H), (Displaystyle hriech (3) (2)) \u003d (\\ t (EFG + FGH + GHE + HEF) ((F + E) (F + G) (F + H)))) SIN \u2061 C2 \u003d EFG + FGH + GHE + HEF (G + E) (G + F) (G + H), (DISPORTSTYLE HR (FAC (C) (2)) \u003d (SQRT (\\ t (EFG + FGH + GHE + HEF) ((G + E) (G + F)))),) SIN \u2061 D 2 \u003d E F G + F G H + G H E + H E F (H + E) (H + F) (H + G). (Displaystyle hriech (frac (d) (2)) \u003d (sqrt (frac (EFG + FGH + GHE + HEF) ((H + E) (H + G))) ,

Medzi Chordami Km. a Ln. Špecifikovaný vzorcom (pozri obrázok)

SIN \u2061 φ \u003d (E + F + G + H) (E F G + F G H + G H E + H E F) (E + F) (F + G) (G + H) (H + E). (Displaystyle hriech (varphI) \u003d (Sqrt (frac ((E + F + G + H) (EFG + FGH + GHE + HEF)) ((E + F) (F + G) (G + h) (h + e)))).)

Diagonálny

Ak e., f., g. a h. sú segmenty tangamentuje A., B., C. a D. na dotykové body vpísaného kruhu kvadrinou A B C d., potom dĺžky uhlopriečok p \u003d AC. a q \u003d BD. rovný

P \u003d E + GF + H ((E + g) (F + H) + 4 FH), (Displaystyle \\ DisplayStyle P \u003d (\\ t) Veľké () (e + g) (f + h) + 4FH (veľké)))),) Q \u003d F + H E + G ((E + g) (F + H) + 4 E g). (Displaystyle Displaystyle Q \u003d (SQRT (((frac (F + H) (E + G)) (Veľký () (E + G) (F + H) + 4EG (veľký))).)

Dotykové akordy

Ak e., f., g. a h. sú segmenty z vrcholov na dotykové body, potom akordové dĺžky na opačné dotykové body sú rovnaké

K \u003d 2 (EFG + FGH + GHE + HEF) (E + F) (G + H) (E + G) (F + H), (DISPORTSTYLE DISPLETIONSTYLE K \u003d GHE + HEF)) (SQRT ((E + F) (G + H) (E + G) (F + H))))) L \u003d 2 (EFG + FGH + GHE + HEF) (E + H) (F + G) (E + G) (F + H), (DisplayStyle Displaystyle L \u003d (\\ t GHE + HEF)) (SQRT ((E + H) (F + G) (E + G) (F + H)))))

kde chorda k. spája strany s dĺžkami a. = e. + f. a c. = g. + h.a chorda l. Spája dĺžku strán b. = f. + g. a d. = h. + e.. Námestie vzťah Horde spĺňa pomer

K2L2 \u003d b d a c. (Displaystyle (frac (k ^ (2)) (l ^ (2))) \u003d (frac (bd) (AC)).)

Dve akordy

Akord medzi stranami Abs a Cd V Quarnove opísané A B C d. dlhšie ako akord medzi stranami Bc. a Darebák Potom a len vtedy, keď stredná čiara medzi stranami Abs a Cd kratšia ako stredná čiara medzi stranami Bc. a Darebák .

Ak je opísaný QUADRIGON A B C d. Držte dotykové body M. na Abs a N. na Cd a chorda Mn. Crossing Diagonal BD. V mieste P. \\ t, potom vzťah segmentov tančiny B M D N (DISPORTSTYLE (TFRAC (BM) (DN))) Rovná postoji B p d p (Displaystyle (TFRAC (BP) (DP))) Segmenty uhlopriečky BD..

Kolineárne body

Ak M 1. a M 2. sú uprostred diagonálov Striedavý a BD. V súlade s tým v opísanom kvadropele A B C d. O.a páry opačných strán pretínajú v bodoch E. a F. a M 3. - stredný rez EF., potom body M 3., M 1., O., I. M 2. Leží na jednej priamke, pripojenie týchto bodov sa nazýva priamy Newton Quadrikel.

E. a F.a pokračovanie opačných strán kvadríky, tvorené dotykovými bodmi, pretínajú sa v bodoch T. a S.potom štyri body E., F., T. a S. ležať na jednej rovno

Abs, Bc., Cd, Darebák V bodoch M., K., N. a L. A ak T M., T K., T N., T L. sú izotomicky konjugované body týchto bodov (to je Na M. = Bm. atď.) bod ohrievača definované ako priesečník priameho T n t m a T k t l. Obaja tieto priame rozdeľte obvod kvadrníku do dvoch rovnakých častí. Je však dôležitejšie, že bod je nehanebný Q., "Námestie centroid" G. a centrum zapísané kruh O. ležať na jednej rovnej línii a zároveň Qg. = 2Ísť.. Táto priama sa nazýva priama značka Opísaná kvadriku.

V Quarnove opísané A B C d. So stredom zapísaného kruhu O. P. \\ t, Nechajme H M., H K., H N., H L. sú orto centrá trojuholníkov Aob, Boc., Treska. a DOA. resp. Potom body P. \\ t, H M., H K., H N. a H L. Leží na jednej priamke.

Konkurenčné a kolmé rovné čiary

Dva uhLigonály štvoruholníka a dvoch akordov spájajúcich protiľahlé dotykové body (opačné vrcholy vpísaných kvadrilaterálnych), konkurenčné (to znamená, že sa pretínajú v jednom bode). Aby ste to ukázali, môžete použiť špeciálny prípad Briangon Theorem, ktorý tvrdí, že šesťuholník, všetky strany, ku ktorým sa týkajú kužeľovej sekcie, majú tri diagonály pretínajúce sa v jednom bode. Z opísaného QUADROLON je ľahké získať šesťuholník s dvoma uhlami 180 ° vložením dvoch nových vrcholov protiľahlých dotykových bodov. Všetky šesť strán získaného šesťhranného hexagónu sú dotyčnica vpísaného kruhu, takže jeho diagonály pretínajú v jednom bode. Ale dva diagonály šesťhranného hexagónu sa zhodujú s uhlopriečkami štvoruholníka a tretím diagonálne prechádza protiľahlými dotykovými bodmi. Opakovanie rovnakého uvažovania pre dve ďalšie dotyk, získame požadovaný výsledok.

Ak sa zapisovaný kruh týka strán Abs, Bc., Cd a Darebák V bodoch M., K., N., L. V súlade s tým, potom priame MK., Ln. a Striedavý Konkurencieschopný.

Ak pokračovanie opačných strán opísanej kvadríky sa prelína v bodoch E. a F.a diagonály sa pretínajú v bode P. \\ t, potom rovno EF. Kolmé na pokračovanie Op.kde O. - Centrum napísané kruh.

Vlastnosti napísané obvodom

Vzťahy dvoch opačných strán opísanej kvadriky môžu byť vyjadrené vo vzdialenosti od stredu vpísaného kruhu O. príslušným stranám

A b C d \u003d o a ⋅ o b o c ⋅ o d, b c d a \u003d o b ⋅ o c o d ⋅ o (Displaystyle (frac (AB) (CD)) \u003d (frac (OA CDOT OB) (OC CDOT OD)), quad quad (frac (bc) (da)) \u003d (\\ frac ( OB CDOT OC) (od cdot oa)).)

Produkt dvoch priľahlých strán kvadrity opísaného A B C d. So stredom zapísaného kruhu O. Spĺňa pomer

A B ⋅ b C \u003d O B2 + o a ⋅ o b ⋅ o c o d. (Displaystyle AB CDOT BC \u003d OB ^ (2) + (frac (OA cdot ob cdot oc) (OD)).)

Ak O. - centrum vpísaného krupu kvadriny A B C d.T.

O a ⋅ o c + o b ⋅ o d \u003d a b ⋅ b c ⋅ c d ⋅ d a. (DisplayStyle OA CDOT OC + OB \\ CDOTD OD \u003d (SQRT (AB / CDOT BC CDOT CD DAD DA)).)

Centrum vpísaného kruhu O. sa zhoduje s "stredobodom vrcholov" kvadríku v tom a len v prípade, keď

O a ⋅ o c \u003d o b ⋅ o D. (Displaystyle OA CDOT OC \u003d OB \\ CDOTD OD.)

Ak M 1. a M 2. sú uprostred diagonálov Striedavý a BD. Teda

OM 1 OM 2 \u003d OA ⋅ OCOB ⋅ OD \u003d E + GF + H, (Displaystyle (OM_ (1)) (OM_ (2))) \u003d (\\ frac (OA \\ CDOT OC) (OB CDOT OD) \u003d (frac (E + g) (F + H)),)

kde e., f., g. a h. - znižuje dotyčnice vo vrcholoch A., B., C. a D. resp. Kombinácia prvej rovnosti s druhou, získavame, že "Centrum vrcholov" opísaného Quadricon sa zhoduje s hodnotou vpísaného kruhu, ak a len vtedy, ak stred vpísaného kruhu leží v strede medzi priemernými darmatickými bodmi.

1 R 1 + 1 R3 \u003d 1 R2 + 1 R4. (Displaystyle (frac (1) (R_ (1))) + (3) (1) (R_ (3))) \u003d (3) (1) (R_ (2))) + (\\ frac (1) ) (R_ (4))).)

Táto nehnuteľnosť bola dokázaná o päť rokov skôr spoločnosťou Weinstein. Pri riešení svojej úlohy bola podobná nehnuteľnosť daná Vasilyev a Sander. Ak h. M, h. K, h. N I. h. Označujem výšku rovnakých trojuholníkov (znížených z priesečníka uhlopriečok P. \\ t), potom je Quadril opísaný, ak a len vtedy

1 HM + 1H N \u003d 1 H K + 1 H L. (DisplayStyle (frac (1) (H_ (M))) + (3) (1) (H_ (N))) \u003d (\\ frac (1) (H_ (K))) + (\\ frac (1) ) (H_ (L))).)

Ďalšia podobná nehnuteľnosť patrí do polomerov neplatných kruhov. r. M. , r. K. , r. N. a r. L. Pre rovnaké štyri trojuholníky (štyri ročné kruhy sa týkajú každej zo strán kvadrillera a pokračovania uhlopriečok). Kvapalová kvadrinácia je opísaná v tom a len vtedy, keď

1 RM + 1 R n \u003d 1 R K + 1 R L. (Displaystyle (frac (1) (R_ (M))) + (3) (1) (R_ (n))) \u003d (\\ frac (1) (R_ (K))) + (\\ frac (1) ) (R_ (L))).)

Ak R. M, R. K, R. N I. R. L - polomer opísaných kruhov trojuholníkov Apb., BPC., CPD. a Dpa V súlade s tým, trojuholník A B C d. potom je potom opísaná a len vtedy, keď

R M + R N \u003d R K + R L. (Displaystyle R_ (M) + R_ (N) \u003d R_ (K) + R_ (L).)

V roku 1996, Vinstein, zdá sa, že prvá, ktorá dokázala ďalšiu nádhernú vlastnosť popísaných štvorkoliek, ktoré sa neskôr objavili v niekoľkých časopisoch a miestach. Vlastnosť tvrdí, že ak sú konvexné štvorvrstvy rozdelené do štyroch nečlenných trojuholníkov so svojimi uhlopriečkami, centrá zapísané kruhy týchto trojuholníkov ležia na rovnakom kruhu, ak a len vtedy, ak je kvadraticu opísaná. V skutočnosti, centrá napísané kruhy tvoria ortodiagonálne kŕmené štyri rigitické. Tu môžu byť zapísané obvody nahradené mostom (týkajúcimi sa strán a pokračovanie uhlopriečok štúdie). Potom je konvexná štvorkolka opísaná, ak je len vtedy, keď sú centrá ročných kruhov sú vrcholy vpísaného štvorkolky.

Konvexná štvorkolka A B C d.v ktorom sa diagonály pretínajú v bode P. \\ tje opísaný, ak a len ak štyri centrum ročných trojuholníkov Apb., BPC., CPD. a Dpa Ležia na jednom kruhu (tu ročné obvody prechádzajú stranami štvoruholníka, na rozdiel od toho istého tvrdenia, kde ročné kruhy sú mimo štvoraderálneho). Ak R M., R n., R K. a R L. - polomer zvýšených kruhov Apb., BPC., CPD. a Dpa Opakované vrcholy B. a D., potom ďalšia nevyhnutná a dostatočná podmienka, že je opísaná kvadríku, bude

1 RM + 1 R n \u003d 1 R K + 1 R L. (Displaystyle (frac (1) (R_ (M))) + (3) (1) (R_ (n))) \u003d (\\ frac (1) (R_ (K))) + (\\ frac (1) ) (R_ (L))).) M △ (APB) + n △ (CPD) \u003d K △ (BPC) + L △ (DPA) (Displaystyle (frac (M) (trojuholník (APB)) + (\\ frac (n) (trojuholník (\\ t CPD)) \u003d (frac (k) (trojuholník (BPC))) + (frac (L) (trojuholník (DPA)))

tu m, k, n, l - dĺžky strán AB, Bc, CD a DA a A ( Apb.) - plocha trojuholníka Apb..

Označujú segmenty, na ktoré bod P. \\ t Dolit Diagonal Striedavý ako Ap. = p. \\ t A I. PC. = p. \\ t c. Rovnaký spôsob P. \\ t Diagonálny BD. na segmentoch Bp. = p. \\ t B I. Pd. = p. \\ t d. Potom je Quadril opísaný, ak a len ak sa vykonáva jedna z vyrovnania:

(M + PA - PB) (N + PC - PD) (M - PA + PB) (N - PC + PD) \u003d (K + PC - PD) (L + PA - PD) (K - PC + PB) (L - PA + PD). (DisplayStyle (frac ((M + P_ (A) -P_ (B)) (N + P_ (C) -P_ (D))) ((M - P_ (A) + P_ (B)) (n -P_ (C) + P_ (D)))) \u003d ((K + P_ (C) -P_ (B)) (L + P_ (A) -P_ (D))) ((K-P_ c) + p_ (b)) (l-p_ (a) + p_ (d)))).)

Podmienky pre opísanú kvadrikulu, aby boli iným typom kvadriny.

Opísaná kvadrikulácia je BI-CENTER (tj opísaná a zapísaná v rovnakom čase), ak a len vtedy, ak je polomerom priloženého kruhu je najväčší medzi všetkými opísanými kvadrikovačmi, ktoré majú rovnakú sekvenciu dĺžok strán, a to len Keď sa vykonáva niektorý z nasledujúcich podmienok:

• Štvorcové sa rovná polovici diela uhlopriečok
• Diagonálny kolmý
• Dva segmenty spájajúce protiľahlé dotykové body majú rovnaké dĺžky.
• Jeden pár opačných segmentov zhora na dotykový bod má rovnaké dĺžky.
ŽIVOTOPIS. DURELL, A. ROBSON. Advanced Trigonometry // Dover Reprint. - 2003.
• Victor Bryant, John Duncan. Kolesá v kolesách // Matematical Gazette. - 2010. - Vol. 94, November.
• Albrecht Hess. Na kruhu obsahujúcom stimulátory tangenciálnych quadrilaters // fórum geometricorem. - 2014. - T. 14.
• Wu Wei Chao, plamen Simeonov. Keď kvadrilaterály majú vpísané kruhy (riešenie problému 10698) // American matematické mesačne. - 2000. - T. 107, problém. 7. - DOI: 10.2307 / 2589133.
• MOWAFFAQ HAJJA. Podmienka pre cirkvizónový štvoruholník je cyklický // fórum geometrickoru. - 2008. - T. 8.

Larry Hoehn. Nový vzorec týkajúci sa uhlopriečok a strán štúdie. - 2011. - T. 11 T. 10.

Martin Josefsson. Kedy je tangenciálny štvorstranný kite? // forum geometricorem. - 2011A. - T. 11.

Martin Josefsson. Viac charakterizácie tangenciálnych štvorkoliek // fórum Geometricorem. - 2011B. - T. 11.

Martin Josefsson. Oblasť bicentického štvorstranného // fóra Geometricorem. - 2011c. - T. 11.

Martin Josefsson. Podobné metrické charakterizácie tangenciálnych a rozsiahlych quadrilaterals // fóra geometricorem. - 2012. - T. 12.

Martin Josefsson. Charakterizáciou ortodiagonálnych kvadrilaterov. - 2012b. - T. 12.

Nicusor Minculet. Charakterizácie tangenciálneho štvorstranného // fóra geometrickoru. - 2009. - T. 9.

Alexej Myakishev. Na dvoch pozoruhodných líniách súvisiacich s kvadrilaterálnou // forum geometrickoru. - 2006. - T. 6.

A.W. Siddons, R.T. Hughes. Trigonometria. - Cambridge UNIV. Press, 1929.

I. Vainstein, N. Vasilyev, V. Sadderov. (Riešenie problémov) M1495 // KVANT. - 1995. - Vol. 6.

Michael de Villiers. Equiboangulárne cyklické a rovnostranné ohraničené polygóny // matematické vestník. - 2011. - Zv. 95, marec.