Ako nájsť najmenšiu hodnotu funkcie. V ktorom bode je hodnota derivátu najväčšia

Lekcia na tému „Použitie derivácie na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt spojitej funkcie na intervale“ sa bude zaoberať relatívne jednoduchými problémami hľadania najväčších a najmenších hodnôt funkcie v danom intervale pomocou derivácie. .

Téma: Derivát

Lekcia: Použitie derivácie na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt spojitej funkcie na intervale

V tejto lekcii budeme uvažovať o jednoduchšom probléme, konkrétne bude zadaný interval, na tomto intervale bude zadaná spojitá funkcia. Je potrebné zistiť najväčšiu a najmenšiu hodnotu daného funkcie na daný interval.

Č. 32.1 (b). Vzhľadom na to:,. Nakreslíme graf funkcie (pozri obr. 1).

Ryža. 1. Graf funkcie.

Je známe, že táto funkcia sa v intervale zvyšuje, čo znamená, že sa v intervale aj zvyšuje. Ak teda nájdete hodnotu funkcie v bodoch a potom budú známe hranice zmeny tejto funkcie, jej najväčšia a najmenšia hodnota.

Keď sa argument zvýši z na 8, funkcia sa zvýši z na.

odpoveď: ; .

№ 32.2 (a) Dané: Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na danom intervale.

Zostavme graf tejto funkcie (pozri obr. 2).

Ak sa argument zmení v intervale, funkcia sa zvýši z -2 na 2. Ak sa argument zväčší od, funkcia sa zníži z 2 na 0.

Ryža. 2. Graf funkcií.

Poďme nájsť derivát.

, ... Ak, potom táto hodnota tiež patrí do určeného segmentu. Ak potom. Je ľahké skontrolovať, či má iné hodnoty, zodpovedajúce stacionárne body presahujú špecifikovaný segment. Porovnajme hodnoty funkcie na koncoch segmentu a vo vybraných bodoch, v ktorých sa derivácia rovná nule. Nájsť

;

odpoveď: ;.

Takže odpoveď je prijatá. Derivát v tomto prípade môže byť použitý, nemôžete ho použiť, použiť vlastnosti funkcie, ktoré boli študované skôr. Nie je to vždy tak, niekedy je použitie derivátu jedinou metódou, ktorá umožňuje takéto problémy vyriešiť.

Vzhľadom na to:,. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na danom segmente.

Ak sa v predchádzajúcom prípade dalo zaobísť bez derivácie – vedeli sme, ako sa funkcia správa, tak v tomto prípade je funkcia dosť zložitá. Preto je technika, ktorú sme spomenuli v predchádzajúcej úlohe, plne aplikovateľná.

1. Nájdite deriváciu. Poďme nájsť kritické body, teda kritické body. Z nich vyberáme tie, ktoré patria do daného segmentu:. Porovnajme hodnotu funkcie v bodoch,,. Na to nájdeme

Výsledok si znázornime na obrázku (pozri obr. 3).

Ryža. 3. Hranice zmeny funkčných hodnôt

Vidíme, že ak sa argument zmení z 0 na 2, funkcia sa zmení z -3 na 4. Funkcia sa nemení monotónne: buď rastie, alebo klesá.

odpoveď: ;.

Takže tri príklady boli použité na demonštráciu všeobecnej techniky na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie na intervale, v tomto prípade na segmente.

Algoritmus na riešenie problému hľadania najväčších a najmenších hodnôt funkcie:

1. Nájdite deriváciu funkcie.

2. Nájdite kritické body funkcie a vyberte tie body, ktoré sa nachádzajú na danom segmente.

3. Nájdite hodnoty funkcie na koncoch segmentu a vo vybraných bodoch.

4. Porovnajte tieto hodnoty a vyberte najväčšiu a najmenšiu.

Uveďme si ďalší príklad.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie,.

Predtým sa uvažovalo s grafom tejto funkcie (pozri obr. 4).

Ryža. 4. Graf funkcií.

V intervale je rozsah tejto funkcie ... Bod je maximálny bod. At - funkcia sa zvyšuje, at - funkcia klesá. Z výkresu je zrejmé, že - neexistuje.

Takže v lekcii sme uvažovali o probléme najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie, keď daný interval je segment; formuloval algoritmus na riešenie takýchto problémov.

1. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie (profilová úroveň), vyd. A.G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2009.

2. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Kniha problémov pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu), vyd. A.G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Schwarzburd S.I. Algebra a matematická analýza pre 10. ročník (učebnica pre študentov škôl a tried s nadstavbovým štúdiom matematiky) .- M .: Education, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Hĺbkové štúdium algebry a matematickej analýzy.-M .: Education, 1997.

5. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na vysokých školách (pod redakciou MI Skanavi) .- M.: Higher school, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonskiy VB, Yakir M.S. Algebraický simulátor.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra a začiatok analýzy. 8-11 ročník: Príručka pre školy a triedy s nadstavbovým štúdiom matematiky (didaktické materiály) .- M .: Drofa, 2002.

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Úlohy z algebry a princípy analýzy (príručka pre žiakov 10.-11. ročníka všeobecných vzdelávacích inštitúcií) .- M .: Education, 2003.

9. Karp A.P. Zbierka úloh z algebry a princípov analýzy: učebnica. príspevok pre 10-11 ročníkov s prehĺbením štúdium matematika.-M .: Vzdelávanie, 2006.

10. Glazer G.I. História matematiky v škole. 9-10 ročníkov (príručka pre učiteľov) .- M .: Školstvo, 1983

Ďalšie webové zdroje

2. Portál prírodných vied ().

Vyrobte si doma

č. 46.16, 46.17 (c) (Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Zošit úloh pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu) vydal A. G. Mordkovich. -M .: Mnemozina, 2007.)

V praxi je celkom bežné používať deriváciu na výpočet najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie. Túto akciu vykonávame, keď zisťujeme, ako minimalizovať náklady, zvýšiť zisky, vypočítať optimálne zaťaženie výroby atď., To znamená v prípadoch, keď je potrebné určiť optimálnu hodnotu akéhokoľvek parametra. Na správne vyriešenie takýchto problémov musíte dobre pochopiť, aké sú najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tieto hodnoty zvyčajne definujeme v rámci určitého intervalu x, ktorý môže zas zodpovedať celému doméne funkcie alebo jej časti. Môže to byť ako segment [a; b] a otvorený interval (a; b), (a; b], [a; b), nekonečný interval (a; b), (a; b], [a; b) alebo nekonečný interval - ∞ ; a, (- ∞; a], [a; + ∞), (- ∞; + ∞).

V tomto článku si povieme, ako sa vypočíta najväčšia a najmenšia hodnota explicitne danej funkcie s jednou premennou y = f (x) y = f (x).

Základné definície

Začnime ako vždy formuláciou základných definícií.

Definícia 1

Najväčšia hodnota funkcie y = f (x) na nejakom intervale x je hodnota maxy = f (x 0) x ∈ X, ktorá pre ľubovoľnú hodnotu xx ∈ X, x ≠ x 0 robí nerovnosť f (x) ≤ f (x 0).

Definícia 2

Najmenšia hodnota funkcie y = f (x) na nejakom intervale x je hodnota minx ∈ X y = f (x 0), ktorá pre ľubovoľnú hodnotu x ∈ X, x ≠ x 0 robí nerovnosť f (X f ( x) ≥ f (x 0).

Tieto definície sú celkom zrejmé. Dá sa to povedať ešte jednoduchšie: najväčšia hodnota funkcie je jej najväčšia hodnota v známom intervale pri x 0 a najmenšia je najmenšia akceptovaná hodnota v rovnakom intervale pri x 0.

Definícia 3

Stacionárne body sú tie hodnoty argumentu funkcie, pri ktorých jej derivácia zaniká.

Prečo potrebujeme vedieť, čo sú stacionárne body? Na zodpovedanie tejto otázky si treba pripomenúť Fermatovu vetu. Z neho vyplýva, že stacionárny bod je bod, v ktorom sa nachádza extrém diferencovateľnej funkcie (t. j. jej lokálne minimum alebo maximum). V dôsledku toho funkcia nadobudne najmenšiu alebo najväčšiu hodnotu v určitom intervale presne v jednom zo stacionárnych bodov.

Iná funkcia môže nadobudnúť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu v tých bodoch, v ktorých je samotná funkcia určitá a jej prvá derivácia neexistuje.

Prvá otázka, ktorá vyvstáva pri štúdiu tejto témy: môžeme vo všetkých prípadoch určiť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu funkcie na danom segmente? Nie, nemôžeme to urobiť, keď sa hranice daného intervalu zhodujú s hranicami definičného oboru, alebo ak máme do činenia s nekonečným intervalom. Stáva sa tiež, že funkcia v danom segmente alebo v nekonečne bude nadobúdať nekonečne malé alebo nekonečne veľké hodnoty. V týchto prípadoch nie je možné určiť najvyššiu a/alebo najnižšiu hodnotu.

Tieto body budú jasnejšie po zobrazení v grafoch:

Prvý obrázok nám ukazuje funkciu, ktorá nadobúda najväčšie a najmenšie hodnoty (m a x y a m i n y) v stacionárnych bodoch umiestnených na segmente [- 6; 6].

Pozrime sa podrobne na prípad uvedený v druhom grafe. Zmeňme hodnotu segmentu na [1; 6] a dostaneme, že najväčšiu hodnotu funkcie dosiahneme v bode s úsečkou na pravej hranici intervalu a najmenšiu v stacionárnom bode.

Na treťom obrázku úsečky bodov predstavujú hraničné body segmentu [- 3; 2]. Zodpovedajú najvyšším a najnižším hodnotám danej funkcie.

Teraz sa pozrime na štvrtý obrázok. V ňom funkcia naberá m a x y (najväčšiu hodnotu) a m i n y (najmenšiu hodnotu) v stacionárnych bodoch na otvorenom intervale (- 6; 6).

Ak vezmeme interval [1; 6), potom môžeme povedať, že najmenšiu hodnotu funkcie na ňom dosiahneme v stacionárnom bode. Najväčšia hodnota nám bude neznáma. Funkcia môže nadobudnúť svoju najväčšiu hodnotu pri x rovnú 6, ak x = 6 patrí do intervalu. Práve tento prípad je znázornený na grafe 5.

Na grafe 6 táto funkcia nadobúda najmenšiu hodnotu na pravej hranici intervalu (- 3; 2] a o najväčšej hodnote nemôžeme vyvodiť jednoznačné závery.

Na obrázku 7 vidíme, že funkcia bude mať m a x y v stacionárnom bode s osou rovnajúcou sa 1. Funkcia dosiahne svoju najmenšiu hodnotu na hranici intervalu na pravej strane. V mínus nekonečne sa hodnoty funkcie asymptoticky priblížia k y = 3.

Ak vezmeme interval x ∈ 2; + ∞, potom uvidíme, že daná funkcia na sebe nenaberie ani najmenšiu, ani najväčšiu hodnotu. Ak má x tendenciu k 2, potom hodnoty funkcie budú mať tendenciu k mínus nekonečnu, pretože priamka x = 2 je vertikálna asymptota. Ak má abscisa tendenciu k plus nekonečnu, potom sa hodnoty funkcie asymptoticky priblížia k y = 3. Práve tento prípad je znázornený na obrázku 8.

V tejto podsekcii uvádzame postupnosť akcií, ktoré je potrebné vykonať, aby ste našli najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu funkcie na určitom segmente.

1. Najprv nájdime doménu funkcie. Skontrolujeme, či je v nej zahrnutý segment uvedený v podmienke.
2. Teraz vypočítajme body obsiahnuté v tomto segmente, kde prvá derivácia neexistuje. Najčastejšie ich nájdeme vo funkciách, ktorých argument je napísaný pod znamienkom modulu, alebo v mocninných funkciách, ktorých exponentom je zlomkové racionálne číslo.
3. Ďalej zistime, ktoré stacionárne body spadajú do daného segmentu. Aby ste to dosiahli, musíte vypočítať deriváciu funkcie, potom ju prirovnať k 0 a vyriešiť výslednú rovnicu a potom vybrať príslušné korene. Ak nezískame žiadne stacionárne body alebo nespadajú do daného segmentu, tak prejdeme na ďalší krok.
4. Určíme, aké hodnoty bude mať funkcia v daných stacionárnych bodoch (ak nejaké sú), alebo v tých bodoch, kde prvá derivácia neexistuje (ak existuje), alebo vypočítame hodnoty pre x = a a x = b.
5. 5. Máme sériu funkčných hodnôt, z ktorých teraz musíme vybrať najväčšiu a najmenšiu. Toto budú najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie, ktoré musíme nájsť.

Pozrime sa, ako správne použiť tento algoritmus pri riešení problémov.

Príklad 1

podmienka: je daná funkcia y = x 3 + 4 x 2. Určte jeho najväčšiu a najmenšiu hodnotu na segmentoch [1; 4] a [-4; -1].

Riešenie:

Začnime hľadaním domény tejto funkcie. V tomto prípade to bude množina všetkých reálnych čísel okrem 0. Inými slovami, D (y): x ∈ (- ∞; 0) ∪ 0; + ∞. Obidva segmenty špecifikované v podmienke budú vo vnútri oblasti definície.

Teraz vypočítame deriváciu funkcie podľa pravidla na derivovanie zlomku:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 "x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 xx 4 = x 3 - 8 x 3

Dozvedeli sme sa, že derivácia funkcie bude existovať vo všetkých bodoch segmentov [1; 4] a [-4; -1].

Teraz musíme definovať stacionárne body funkcie. Robíme to pomocou rovnice x 3 - 8 x 3 = 0. Má iba jeden platný koreň, ktorým je 2. Bude to stacionárny bod funkcie a bude spadať do prvého segmentu [1; 4].

Hodnoty funkcie vypočítame na koncoch prvého segmentu a v danom bode, t.j. pre x = 1, x = 2 a x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Dosiahli sme, že najväčšia hodnota funkcie m a x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3 dosiahneme pri x = 1 a najmenšie m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3 - pre x = 2.

Druhý segment neobsahuje žiadne stacionárne body, takže hodnoty funkcie musíme vypočítať iba na koncoch daného segmentu:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Preto m a x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, min y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 4) = - 3 3 4.

odpoveď: Pre segment [1; 4] - m a x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, min y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, pre segment [- 4; - 1] - ma x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, min y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 4) = - 3 3 4.

Pozrite si obrázok:

Pred štúdiom tejto metódy vám odporúčame zopakovať, ako správne vypočítať jednostrannú limitu a limitu v nekonečne, ako aj naučiť sa základné metódy ich hľadania. Ak chcete nájsť najväčšiu a/alebo najmenšiu hodnotu funkcie na otvorenom alebo nekonečnom intervale, vykonajte nasledujúce kroky v poradí.

1. Najprv musíte skontrolovať, či zadaný interval bude podmnožinou rozsahu tejto funkcie.
2. Určme všetky body, ktoré sú obsiahnuté v požadovanom intervale a v ktorých neexistuje prvá derivácia. Zvyčajne sa nachádzajú vo funkciách, kde je argument uzavretý v znamienku modulu, a v mocninných funkciách so zlomkovo racionálnymi exponentmi. Ak tieto body chýbajú, môžete prejsť na ďalší krok.
3. Teraz určíme, ktoré stacionárne body spadajú do daného intervalu. Najprv vyrovnáme deriváciu s 0, vyriešime rovnicu a nájdeme vhodné korene. Ak nemáme ani jeden stacionárny bod alebo nespadajú do určeného intervalu, tak okamžite pristúpime k ďalším úkonom. Sú určené typom intervalu.

• Ak má interval tvar [a; b), potom potrebujeme vypočítať hodnotu funkcie v bode x = a a jednostrannú limitu lim x → b - 0 f (x).
• Ak má interval tvar (a; b], tak musíme vypočítať hodnotu funkcie v bode x = b a jednostrannú limitu lim x → a + 0 f (x).
• Ak má interval tvar (a; b), potom musíme vypočítať jednostranné limity lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Ak má interval tvar [a; + ∞), potom je potrebné vypočítať hodnotu v bode x = a a limitu v plus nekonečne lim x → + ∞ f (x).
• Ak interval vyzerá takto (- ∞; b], vypočítajte hodnotu v bode x = b a limitu v mínus nekonečne lim x → - ∞ f (x).
• Ak - ∞; b, potom predpokladáme jednostrannú limitu lim x → b - 0 f (x) a limitu v mínus nekonečne lim x → - ∞ f (x)
• Ak - ∞; + ∞, potom uvažujeme limity v mínus a plus nekonečne lim x → + ∞ f (x), lim x → - ∞ f (x).

1. Nakoniec musíte vyvodiť záver na základe získaných funkčných hodnôt a limitov. Možností je tu veľa. Ak sa teda jednostranná limita rovná mínus nekonečnu alebo plus nekonečnu, potom je hneď jasné, že o najmenšej a najväčšej hodnote funkcie sa nedá nič povedať. Nižšie rozoberieme jeden typický príklad. Podrobné popisy vám pomôžu pochopiť, čo je čo. V prípade potreby sa môžete vrátiť k obrázkom 4 - 8 v prvej časti materiálu.

Príklad 2

Podmienka: je daná funkcia y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4. Vypočítajte jeho najvyššie a najnižšie hodnoty v intervaloch - ∞; - 4, - ∞; - 3, (- 3; 1], (- 3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; + ∞).

Riešenie

Prvým krokom je nájsť doménu funkcie. Menovateľ zlomku obsahuje štvorcovú trojčlenku, ktorá by nemala zaniknúť:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y): x ∈ (- ∞; - 3) ∪ (- 3; 2) ∪ (2; + ∞)

Dostali sme doménu funkcie, do ktorej patria všetky intervaly uvedené v podmienke.

Teraz rozlíšime funkciu a získame:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 "= 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6" = = 3 · E 1 x 2 + x - 6 · 1 "x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

V dôsledku toho derivácie funkcie existujú v celej doméne jej definície.

Prejdime k hľadaniu stacionárnych bodov. Derivácia funkcie zaniká pri x = - 1 2. Ide o stacionárny bod nachádzajúci sa v intervaloch (- 3; 1] a (- 3; 2).

Vypočítame hodnotu funkcie v x = - 4 pre interval (- ∞; - 4], ako aj limitu v mínus nekonečne:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Keďže 3 e 1 6 - 4> - 1, znamená to, že maxyx ∈ (- ∞; - 4] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. To nám neumožňuje jednoznačne určiť najmenšiu hodnotu Môžeme len skonštatovať, že existuje obmedzenie - 1 v dolnej časti, pretože práve k tejto hodnote sa funkcia približuje asymptoticky v mínus nekonečne.

Zvláštnosťou druhého intervalu je, že v ňom nie je jediný stacionárny bod a ani jedna striktná hranica. Preto nemôžeme vypočítať ani najväčšiu, ani najmenšiu hodnotu funkcie. Po určení limitu v mínus nekonečne a keďže argument má tendenciu - 3 na ľavej strane, dostaneme iba rozsah hodnôt:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

To znamená, že hodnoty funkcie budú umiestnené v intervale - 1; + ∞

Aby sme našli najväčšiu hodnotu funkcie v treťom intervale, určíme jej hodnotu v stacionárnom bode x = - 1 2, ak x = 1. Potrebujeme tiež poznať jednostrannú hranicu pre prípad, keď má argument tendenciu - 3 na pravej strane:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1. 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Zistili sme, že funkcia nadobudne najväčšiu hodnotu v stacionárnom bode maxyx ∈ (3; 1] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Čo sa týka najmenšej hodnoty, nevieme ju určiť. , Je prítomnosť obmedzenia zdola na - 4.

Pre interval (- 3; 2) vezmeme výsledky predchádzajúceho výpočtu a ešte raz vypočítame, čomu sa rovná jednostranná hranica, keď smerujeme k 2 na ľavej strane:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Preto m a x y x ∈ (- 3; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 a najmenšiu hodnotu nemožno určiť a hodnoty funkcie sú zdola ohraničené číslom - 4.

Na základe toho, čo sme dostali v dvoch predchádzajúcich výpočtoch, môžeme tvrdiť, že na intervale [1; 2) funkcia nadobudne najväčšiu hodnotu pri x = 1 a nie je možné nájsť najmenšiu hodnotu.

Na intervale (2; + ∞) funkcia nedosiahne ani najväčšiu, ani najmenšiu hodnotu, t.j. bude nadobúdať hodnoty z intervalu - 1; + ∞.

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Po výpočte, aká bude hodnota funkcie pre x = 4, zistíme, že m a x y x ∈ [4; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 a daná funkcia v plus nekonečne sa bude asymptoticky blížiť k priamke y = - 1.

Porovnajme to, čo sme dostali pri každom výpočte, s grafom danej funkcie. Na obrázku sú asymptoty znázornené bodkovanou čiarou.

To je všetko, čo sme vám chceli povedať o hľadaní najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie. Postupnosti akcií, ktoré sme uviedli, vám pomôžu vykonať potrebné výpočty čo najrýchlejšie a najjednoduchšie. Pamätajte však, že často je užitočné najprv zistiť, v akých intervaloch bude funkcia klesať a v akých sa bude zvyšovať, a potom môžete vyvodiť ďalšie závery. Takto môžete presnejšie určiť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie a zdôvodniť získané výsledky.

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

Problémy B14 niekedy narážajú na „zlé“ funkcie, pre ktoré je ťažké nájsť derivát. Predtým to bolo len na sondách, ale teraz sú tieto úlohy také bežné, že ich už nemožno ignorovať pri príprave na skutočnú skúšku. V tomto prípade fungujú iné techniky, z ktorých jedna je monotónna. Definícia Funkcia f (x) sa nazýva monotónne rastúca na segmente, ak pre ľubovoľné body x 1 a x 2 tohto segmentu platí: x 1

Definícia. Funkcia f (x) sa na úsečke nazýva monotónne klesajúca, ak pre ľubovoľné body x 1 a x 2 tejto úsečky platí: x 1 f (x 2). Inými slovami, pre rastúcu funkciu platí, že čím väčšie x, tým väčšie f (x). Pre klesajúcu funkciu platí opak: čím väčšie x, tým menšie f (x).

Príklady. Logaritmus rastie monotónne, ak základ a> 1, a klesá monotónne, ak 0 0.f (x) = log a x (a> 0; a 1; x> 0) 1 a monotónne klesá, ak 0 0.f (x) = log ax (a> 0; a 1; x> 0) "> 1, a monotónne klesá, ak 0 0. f (x) = log ax (a > 0 ; a 1; x> 0) "> 1 a monotónne klesá, ak 0 0. f (x) = log ax (a> 0; a 1; x> 0)" title = "(! LANG: Príklady . Logaritmus rastie monotónne, ak základ a> 1, a klesá monotónne, ak 0 0.f (x) = log ax (a> 0; a 1; x> 0)"> title="Príklady. Logaritmus rastie monotónne, ak základ a> 1, a klesá monotónne, ak 0 0.f (x) = log a x (a> 0; a 1; x> 0)"> !}

Príklady. Exponenciálna funkcia sa správa podobne ako logaritmus: rastie pre a> 1 a klesá pre 0 0: 1 a klesá pri 0 0: "> 1 a klesá pri 0 0:"> 1 a klesá pri 0 0: "title =" (! LANG: Príklady. Exponenciálna funkcia sa správa podobne ako logaritmus: rastie pri a> 1 a klesá na 0 0:"> title="Príklady. Exponenciálna funkcia sa správa podobne ako logaritmus: rastie pre a> 1 a klesá pre 0 0:"> !}

0) alebo dole (a 0) alebo dole (a 9 Súradnice vrcholov paraboly Najčastejšie sa argument funkcie nahrádza štvorcovou trojčlenkou v tvare Jej grafom je štandardná parabola, v ktorej nás zaujímajú vetvy: Vetvy paraboly môžu ísť hore (pre a> 0) alebo dole (a 0) resp. najväčší (a 0) alebo dole (a 0) alebo dole (a 0) alebo najväčší (a 0) alebo dole (a 0) alebo dole (nadpis = "(! LANG: Súradnice vrcholu paraboly) Najčastejšie sa argument funkcie nahrádza štvorcovou trojčlenkou v tvare Jej grafom je štandardná parabola, v ktorej nás zaujímajú vetvy: Vetvy paraboly môžu ísť hore (pre a> 0) alebo dole (a

Vo vyhlásení o probléme nie je žiadny segment. Preto nie je potrebné počítať f (a) a f (b). Zostáva zvážiť iba extrémne body; Ale taký bod je len jeden, je to vrchol paraboly x 0, ktorého súradnice sú vypočítané doslova ústne a bez akýchkoľvek derivácií.

Riešenie úlohy je teda značne zjednodušené a pozostáva len z dvoch krokov: Napíšte rovnicu paraboly a nájdite jej vrchol podľa vzorca: Nájdite hodnotu pôvodnej funkcie v tomto bode: f (x 0). Ak neexistujú žiadne ďalšie podmienky, toto bude odpoveď.

0. Vrchol paraboly: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 "title =" (! LANG: Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie: Riešenie: Existuje kvadratická funkcia pod koreňom.parabola s vetvami nahor, keďže koeficient a = 1> 0. Vrchol paraboly: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb"> 18 !} Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie: Riešenie: Pod koreňom je kvadratická funkcia Grafom tejto funkcie je parabola s vetvami nahor, keďže koeficient a = 1> 0. Vrchol paraboly: x 0 = b / ( 2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 0. Vrchol paraboly: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 "> 0. Vrchol paraboly: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 "> 0. Vrchol paraboly: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3" title = "(! JAZYK: Nájsť najmenšia hodnota funkcie: Riešenie: Kvadratická funkcia je pod koreňom. Grafom tejto funkcie je parabola s vetvami nahor, keďže koeficient a = 1> 0. Vrchol paraboly: x 0 = b / ( 2a) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3"> title="Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie: Riešenie: Pod koreňom je kvadratická funkcia Grafom tejto funkcie je parabola s vetvami nahor, keďže koeficient a = 1> 0. Vrchol paraboly: x 0 = b / ( 2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3"> !}

Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie: Riešenie Pod logaritmom je opäť kvadratická funkcia. a = 1> 0. Vrchol paraboly: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1 0. Vrchol paraboly: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1 "> 0. Vrchol paraboly: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1 "> 0. Vrchol paraboly: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1" title = "(! JAZYK: Nájdite najmenšia hodnota funkcie: Solution Under Logaritmus je opäť kvadratická funkcia Graf paraboly s vetvami nahor, keďže a = 1> 0. Vrchol paraboly: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1 ) = 2/2 = 1"> title="Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie: Riešenie Pod logaritmom je opäť kvadratická funkcia. a = 1> 0. Vrchol paraboly: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1"> !}

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie: Riešenie: Exponent obsahuje kvadratickú funkciu Prepíšme ju do normálneho tvaru: Je zrejmé, že graf tejto funkcie je parabola, ktorá sa vetví smerom nadol (a = 1

Dôsledky z definičného oboru funkcie Niekedy na vyriešenie úlohy B14 nestačí len nájsť vrchol paraboly. Hľadaná hodnota môže ležať na konci segmentu a vôbec nie v extrémnom bode. Ak problém vôbec nešpecifikuje segment, pozrieme sa na rozsah prípustných hodnôt pôvodnej funkcie. menovite:

0 2. Aritmetická druhá odmocnina existuje len pre nezáporné čísla: 3. Menovateľ zlomku nesmie byť nula: "title =" (! LANG: 1. Argument logaritmu musí byť kladný: y = log af (x ) f (x)> 0 2. Aritmetická druhá odmocnina existuje len pre nezáporné čísla: 3. Menovateľ zlomku nesmie byť nula:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Argument logaritmu musí byť kladný: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetická druhá odmocnina existuje len pre nezáporné čísla: 3. Menovateľ zlomku nesmie byť nula: 0 2. Aritmetická druhá odmocnina existuje len z nezáporných čísel: 3. Menovateľ zlomku nesmie byť nula: "> 0 2. Aritmetická druhá odmocnina existuje len z nezáporných čísel: 3. Menovateľ zlomku zlomok sa nesmie rovnať nule:"> 0 2. Aritmetická druhá odmocnina existuje len z nezáporných čísel: 3. Menovateľ zlomku nesmie byť nula: "title =" (! LANG: 1. Argument logaritmu musí byť kladné: y = log af (x) f (x)> 0 2. Aritmetická druhá mocnina existuje len pre nezáporné čísla: 3. Menovateľ zlomku nesmie byť nula:"> title="1. Argument logaritmu musí byť kladný: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetická druhá odmocnina existuje len pre nezáporné čísla: 3. Menovateľ zlomku nesmie byť nula:"> !}

Riešenie Pod koreňom je opäť kvadratická funkcia. Jeho graf je parabolický, ale vetvy smerujú nadol, pretože a = 1
Teraz nájdeme vrchol paraboly: x 0 = b / (2a) = (2) / (2 Teraz vypočítame hodnotu funkcie v bode x 0, ako aj na koncoch ODZ: y (3) = y (1) = 0 Dostali sme teda čísla 2 a 0. Sme požiadaní, aby sme našli najväčšie číslo 2. Odpoveď: 2

Pozor: nerovnosť je prísna, preto konce nepatria do ODZ. Tým sa logaritmus líši od koreňa, kde nám konce segmentu celkom vyhovujú. Hľadáme vrchol paraboly: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 Ale keďže nás nezaujímajú konce segmentu, uvažujeme hodnotu funkcie iba v bode x 0:

Y min = y (3) = log 0,5 (6) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Odpoveď: -2

Problémy B15 niekedy narážajú na „zlé“ funkcie, pre ktoré je ťažké nájsť derivát. Predtým to bolo len na sondách, ale teraz sú tieto úlohy také bežné, že ich už nemožno ignorovať pri príprave na skutočnú skúšku.

V tomto prípade fungujú iné triky, z ktorých jeden je - monotónna.

Funkcia f (x) sa nazýva monotónne rastúca na segmente, ak pre ľubovoľné body x 1 a x 2 tohto segmentu platí nasledovné:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Funkcia f (x) sa na segmente nazýva monotónne klesajúca, ak pre ľubovoľné body x 1 a x 2 tohto segmentu platí nasledovné:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1)> f ( x 2).

Inými slovami, pre rastúcu funkciu platí, že čím väčšie x, tým väčšie f (x). Pre klesajúcu funkciu platí opak: čím väčšie x, tým menšie f (x).

Napríklad logaritmus rastie monotónne, ak základ a> 1, a monotónne klesá, ak je 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a> 0; a ≠ 1; x> 0)

Aritmetická druhá mocnina (a nielen druhá mocnina) rastie monotónne v celej oblasti definície:

Exponenciálna funkcia sa správa podobne ako logaritmus: rastie pre a> 1 a klesá pre 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a> 0)

Nakoniec stupne so záporným exponentom. Môžete ich napísať ako zlomok. Majte bod diskontinuity, v ktorom je monotónnosť narušená.

Všetky tieto funkcie sa nikdy nenachádzajú vo svojej čistej forme. Pridávajú polynómy, zlomky a iné nezmysly, kvôli ktorým je ťažké spočítať deriváciu. Čo sa stane v tomto prípade - teraz budeme analyzovať.

Súradnice vrcholov paraboly

Najčastejšie sa argument funkcie nahrádza výrazom štvorcový trojčlen tvaru y = ax 2 + bx + c. Jeho graf je štandardná parabola, ktorá nás zaujíma:

1. Vetvy paraboly - môžu ísť hore (pre a> 0) alebo dole (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Vrchol paraboly je extrémnym bodom kvadratickej funkcie, v ktorom má táto funkcia svoj najmenší (pre a> 0) alebo najväčší (a< 0) значение.

Najväčší záujem je presne vrchol paraboly, ktorého úsečka sa vypočíta podľa vzorca:

Takže sme našli extrémny bod kvadratickej funkcie. Ak je však pôvodná funkcia monotónna, bod x 0 bude pre ňu tiež extrémnym bodom. Preto sformulujeme kľúčové pravidlo:

Extrémne body kvadratického trinomu a komplexná funkcia, do ktorej vstupuje, sa zhodujú. Preto môžete hľadať x 0 pre štvorcovú trojčlenku a skórovať pre funkciu.

Z vyššie uvedeného uvažovania zostáva nejasné, ktorý bod dostaneme: maximum alebo minimum. Úlohy sú však špeciálne navrhnuté tak, aby to nevadilo. Veď posúďte sami:

1. Vo vyhlásení o probléme nie je žiadny segment. Preto nie je potrebné počítať f (a) a f (b). Zostáva zvážiť iba extrémne body;
2. Ale taký bod je len jeden – ide o vrchol paraboly x 0, ktorého súradnice sú vypočítané doslova ústne a bez akýchkoľvek derivácií.

Riešenie problému je teda značne zjednodušené a pozostáva len z dvoch krokov:

1. Napíšte rovnicu paraboly y = ax 2 + bx + c a nájdite jej vrchol podľa vzorca: x 0 = −b / 2a;
2. Nájdite hodnotu pôvodnej funkcie v tomto bode: f (x 0). Ak neexistujú žiadne ďalšie podmienky, toto bude odpoveď.

Na prvý pohľad sa tento algoritmus a jeho odôvodnenie môžu zdať skľučujúce. Zámerne neuvádzam schému „holého“ riešenia, pretože nepremyslené uplatňovanie takýchto pravidiel je plné chýb.

Zvážte skutočné problémy zo skúšobnej skúšky z matematiky – tu sa s touto technikou stretávame najčastejšie. Zároveň sa postaráme o to, aby sa týmto spôsobom mnohé problémy B15 stali takmer verbálnymi.

Pod koreňom je kvadratická funkcia y = x 2 + 6x + 13. Grafom tejto funkcie je parabola s vetvami nahor, keďže koeficient a = 1> 0.

Vrchol paraboly:

x 0 = −b / (2a) = −6 / (2 1) = −6/2 = −3

Keďže vetvy paraboly smerujú nahor, v bode x 0 = −3 má funkcia y = x 2 + 6x + 13 najmenšiu hodnotu.

Koreň rastie monotónne, takže x 0 je minimálny bod celej funkcie. Máme:

Úloha. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Pod logaritmom je opäť kvadratická funkcia: y = x 2 + 2x + 9. Graf je parabola s vetvami nahor, pretože a = 1 > 0.

Vrchol paraboly:

x 0 = −b / (2a) = −2 / (2 1) = −2/2 = −1

Takže v bode x 0 = −1 má kvadratická funkcia najmenšiu hodnotu. Ale funkcia y = log 2 x je monotónna, preto:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Exponent obsahuje kvadratickú funkciu y = 1 - 4x - x 2. Prepíšme to do normálneho tvaru: y = −x 2 - 4x + 1.

Je zrejmé, že grafom tejto funkcie je parabola, ktorá sa vetví nadol (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b / (2a) = - (- 4) / (2 (-1)) = 4 / (- 2) = -2

Pôvodná funkcia je exponenciálna, je monotónna, takže najväčšia hodnota bude v nájdenom bode x 0 = −2:

Pozorný čitateľ si pravdepodobne všimne, že sme nevypísali rozsah prípustných hodnôt koreňa a logaritmu. Nebolo to však potrebné: vo vnútri sú funkcie, ktorých hodnoty sú vždy pozitívne.

Dôsledky z definičného oboru funkcie

Na vyriešenie problému B15 niekedy nestačí nájsť vrchol paraboly. Požadovaná hodnota môže ležať na konci segmentu, ale nie v extrémnom bode. Ak v probléme nie je špecifikovaný žiadny segment, pozrieme sa na rozsah platných hodnôt pôvodnú funkciu. menovite:

Všimnite si ešte raz: nula môže byť pod koreňom, ale nikdy nie v logaritme alebo menovateli zlomku. Pozrime sa, ako to funguje na konkrétnych príkladoch:

Úloha. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie:

Pod odmocninou je opäť kvadratická funkcia: y = 3 - 2x - x 2. Jeho graf je parabola, ale vetví sa smerom nadol, pretože a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Vypíšeme rozsah prípustných hodnôt (ODZ):

3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Teraz nájdime vrchol paraboly:

x 0 = −b / (2a) = - (- 2) / (2 (-1)) = 2 / (- 2) = -1

Bod x 0 = −1 patrí do segmentu ODZ - a to je dobré. Teraz vypočítame hodnotu funkcie v bode x 0, ako aj na koncoch ODZ:

y (-3) = y (1) = 0

Dostali sme teda čísla 2 a 0. Mali by sme nájsť najväčšie - toto je číslo 2.

Úloha. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Vo vnútri logaritmu je kvadratická funkcia y = 6x - x 2 - 5. Toto je parabola s vetvami nadol, ale v logaritme nemôžu byť žiadne záporné čísla, takže zapíšeme ODZ:

6x - x 2 - 5> 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Pozor: nerovnosť je prísna, preto konce nepatria do ODZ. Tým sa logaritmus líši od koreňa, kde nám konce segmentu celkom vyhovujú.

Hľadáme vrchol paraboly:

x 0 = −b / (2a) = −6 / (2 (−1)) = −6 / (- 2) = 3

Vrchol paraboly je vhodný pre ODV: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ale keďže nás nezaujímajú konce segmentu, uvažujeme hodnotu funkcie iba v bode x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = -2

Drahí priatelia! Skupina úloh súvisiacich s deriváciou obsahuje úlohy - podmienka dáva graf funkcie, niekoľko bodov na tomto grafe a otázka znie:

V ktorom bode je hodnota derivátu najväčšia (najmenšia)?

Aby som to v krátkosti zhrnul:

Derivácia v bode sa rovná sklonu prechádzajúcej dotyčnicetento bod na grafe.

Maťglobálny koeficient dotyčnice sa zasa rovná dotyčnici uhla sklonu tejto dotyčnice.

* Vzťahuje sa na uhol medzi dotyčnicou a úsečkou.

1. Na intervaloch zvyšovania funkcie má derivácia kladnú hodnotu.

2. Na intervaloch svojho poklesu má derivácia zápornú hodnotu.

Zvážte nasledujúci náčrt:

V bodoch 1,2,4 má derivácia funkcie zápornú hodnotu, keďže tieto body patria do intervalov klesania.

V bodoch 3,5,6 má derivácia funkcie kladnú hodnotu, keďže tieto body patria do rastúcich intervalov.

Ako vidíte, s hodnotou derivácie je všetko jasné, to znamená, že nie je ťažké určiť, aké znamienko má (kladné alebo záporné) v určitom bode grafu.

Navyše, ak mentálne zostrojíme dotyčnice v týchto bodoch, uvidíme, že priamky prechádzajúce bodmi 3, 5 a 6 zvierajú uhly s osou oX ležiacou v rozsahu od 0 do 90 o a priamky prechádzajúce bodmi 1 , 2 a 4 tvoria s osou ОХ uhly v rozsahu od 90 о do 180 о.

* Vzťah je jasný: dotyčnice prechádzajúce bodmi patriacimi do intervalov rastúcej funkcie zvierajú ostré uhly s osou oX, dotyčnice prechádzajúce bodmi patriacimi intervalom klesajúcich funkcií zvierajú s osou oX tupé uhly.

Teraz dôležitá otázka!

Ako sa mení hodnota derivátu? Veď dotyčnica v rôznych bodoch grafu spojitej funkcie zviera rôzne uhly podľa toho, ktorým bodom grafu prechádza.

* Alebo, zjednodušene povedané, dotyčnica je umiestnená ako keby „horizontálna“ alebo „vertikálna“. Pozri sa:

Priame čiary zvierajú s osou ОХ uhly v rozsahu od 0 do 90°

Priame čiary zvierajú s osou ОХ uhly v rozsahu od 90 о do 180 о

Preto, ak existujú otázky:

- v ktorom z týchto bodov grafu má derivácia najmenšiu hodnotu?

- v ktorom z týchto bodov grafu je hodnota derivácie najdôležitejšia?

potom pre odpoveď je potrebné pochopiť, ako sa mení hodnota dotyčnice uhla dotyčnice v rozsahu od 0 do 180 о.

* Ako už bolo spomenuté, hodnota derivácie funkcie v bode sa rovná dotyčnici uhla sklonu dotyčnice k osi oX.

Hodnota dotyčnice sa mení takto:

Keď sa uhol sklonu priamky zmení z 0 o na 90 o, hodnota dotyčnice, a teda aj derivácie, sa zmení z 0 na + ∞;

Keď sa uhol sklonu priamky zmení z 90 ° na 180 °, hodnota dotyčnice, a tým aj derivácia, sa zodpovedajúcim spôsobom zmení –∞ na 0.

To možno jasne vidieť z grafu funkcie dotyčnice:

Zjednodušene povedané:

Pri uhle sklonu dotyčnice od 0 o do 90 o

Čím bližšie je k 0 о, tým viac bude hodnota derivácie blízka nule (na kladnej strane).

Čím je uhol bližšie k 90°, tým viac sa bude hodnota derivácie zvyšovať smerom k + ∞.

Pri uhle sklonu dotyčnice od 90 o do 180 o

Čím bližšie je k 90°, tým viac sa hodnota derivácie zníži na –∞.

Čím je uhol bližšie k 180°, tým viac bude hodnota derivácie blízka nule (na zápornej strane).

317543. Na obrázku je znázornený graf funkcie y = f(X) a označené body–2, –1, 1, 2. V ktorom z týchto bodov je hodnota derivátu najväčšia? Označte tento bod vo svojej odpovedi.

Máme štyri body: dva patria medzi intervaly, na ktorých funkcia klesá (sú to body –1 a 1) a dva intervaly, na ktorých funkcia rastie (sú to body –2 a 2).

Okamžite môžeme konštatovať, že v bodoch –1 a 1 má derivát zápornú hodnotu, v bodoch –2 a 2 má kladnú hodnotu. Preto je v tomto prípade potrebné analyzovať body –2 a 2 a určiť, v ktorom z nich bude hodnota najväčšia. Zostrojme dotyčnice prechádzajúce vyznačenými bodmi:

Tangenta uhla medzi priamkou a a osou x bude väčšia ako dotyčnica uhla medzi priamkou b a touto osou. To znamená, že hodnota derivátu v bode –2 bude najväčšia.

Odpovedzme na nasledujúcu otázku: v ktorom z bodov –2, –1, 1 alebo 2 je hodnota derivátu najväčší zápor? Označte tento bod vo svojej odpovedi.

Derivácia bude mať zápornú hodnotu v bodoch patriacich do intervalov klesania, preto zvážte body –2 a 1. Zostrojte dotyčnice, ktoré nimi prechádzajú:

Vidíme, že tupý uhol medzi priamkou b a osou oX je „bližší“ k 180 O , preto bude jeho dotyčnica väčšia ako dotyčnica uhla, ktorý zviera priamka a a os oX.

Teda v bode x = 1 bude hodnota derivátu najväčší zápor.

317544. Na obrázku je znázornený graf funkcie y = f(X) a označené body–2, –1, 1, 4. V ktorom z týchto bodov je hodnota derivácie najmenšia? Označte tento bod vo svojej odpovedi.

Máme štyri body: dva patria medzi intervaly, na ktorých funkcia klesá (sú to body –1 a 4) a dva intervaly, na ktorých funkcia rastie (sú to body –2 a 1).

Okamžite môžeme konštatovať, že v bodoch –1 a 4 má derivát zápornú hodnotu, v bodoch –2 a 1 kladnú hodnotu. Preto je v tomto prípade potrebné analyzovať body –1 a 4 a určiť – v ktorom z nich bude hodnota najmenšia. Zostrojme dotyčnice prechádzajúce vyznačenými bodmi:

Tangenta uhla medzi priamkou a a osou x bude väčšia ako dotyčnica uhla medzi priamkou b a touto osou. To znamená, že hodnota derivácie v bode x = 4 bude najmenšia.

odpoveď: 4

Dúfam, že som vás "nezavalil" množstvom písania. V skutočnosti je všetko veľmi jednoduché, stačí pochopiť vlastnosti derivácie, jej geometrický význam a ako sa mení hodnota tangens uhla od 0 do 180 о.

1. Najprv určte znamienka derivácie v daných bodoch (+ alebo -) a vyberte potrebné body (v závislosti od položenej otázky).

2. Nakreslite dotyčnice v týchto bodoch.

3. Pomocou grafu tangezoidov načrtnite uhly a zobrazte ichAlexander.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste nám o stránke povedali na sociálnych sieťach.