Kako izraziti x iz logaritma. Logaritem akcijskega pravila z logaritmi

Sledi iz njegove definicije. In tako logaritem števila b z razlogom a je opredeljen kot indikator stopnje, do katere je treba število dvigniti a da dobim številko b(Logaritem imajo samo pozitivna števila).

Iz te formulacije izhaja, da je izračun x = log a b, je enakovredna reševanju enačbe a x = b. na primer, dnevnik 2 8 = 3 Ker 8 = 2 3 ... Formulacija logaritma omogoča dokazovanje, da če b = a c, nato logaritem števila b z razlogom a je enako Z... Jasno je tudi, da je tema jemanja logaritmov tesno povezana s temo moči števila.

Z logaritmi, kot z vsemi številkami, lahko storite operacije seštevanja, odštevanja in preoblikovati na vse možne načine. Toda zaradi dejstva, da logaritmi niso čisto običajna števila, tukaj veljajo posebna pravila, ki se imenujejo osnovne lastnosti.

Seštevanje in odštevanje logaritmov.

Vzemimo dva logaritma z enakimi osnovami: log a x in prijavite y... Nato odstranite, da je mogoče izvesti operacije seštevanja in odštevanja:

log a x + log a y = log a (x y);

log a x - log a y = log a (x: y).

dnevnik a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.

Od kvocientni logaritemski izrek lahko dobite še eno lastnost logaritma. Znano je, da log a 1 = 0, torej

dnevnik a 1 /b= dnevnik a 1 - dnevnik a b= - dnevnik a b.

Torej se zgodi enakost:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritma dveh medsebojno inverznih števil na isti podlagi se bodo med seboj razlikovali izključno po znaku. Torej:

Log 3 9 = - log 3 1/9; log 5 1/125 = -log 5 125.

1. Preverite, ali so pod znakom logaritma negativna števila ali ena. Ta metoda je uporabna za izraze v obliki log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\ displaystyle (\ frac (\ log _ (b) (x)) (\ log _ (b) (a))))... Vendar pa ni primeren za nekatere posebne primere:

   • Logaritem negativnega števila ni definiran za nobeno osnovo (npr. dnevnik ⁡ (- 3) (\ slog prikaza \ dnevnik (-3)) oz dnevnik 4 ⁡ (- 5) (\ displaystyle \ log _ (4) (- 5))). V tem primeru napišite "ni rešitve".
   • Logaritem nič na katero koli osnovo je prav tako nedefiniran. Če te ujamejo ln ⁡ (0) (\ slog prikaza \ ln (0)), zapišite "ni rešitve".
   • Logaritem enote na katero koli bazo ( dnevnik ⁡ (1) (\ slog prikaza \ dnevnik (1))) je vedno nič, saj x 0 = 1 (\ displaystyle x ^ (0) = 1) za vse vrednosti x... Namesto tega logaritma napišite 1 in ne uporabljajte spodnje metode.
   • Če imajo logaritmi različne osnove, npr l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\ displaystyle (\ frac (log_ (3) (x)) (log_ (4) (a)))), in jih ni mogoče reducirati na cela števila, vrednosti izraza ni mogoče najti ročno.

2. Pretvorite izraz v en logaritem.Če izraz ne velja za zgornje posebne primere, ga lahko predstavimo kot en sam logaritem. Za to uporabite naslednjo formulo: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\ displaystyle (\ frac (\ log _ (b) (x)) (\ log _ (b) (a))) = \ dnevnik _ (a) (x)).

   • Primer 1: Razmislite o izrazu dnevnik ⁡ 16 log ⁡ 2 (\ displaystyle (\ frac (\ log (16)) (\ log (2)))).
     Najprej predstavimo izraz kot en sam logaritem z uporabo zgornje formule: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\ displaystyle (\ frac (\ log (16)) (\ log (2))) = \ log _ (2) (16)).
   • Ta formula "spremembe osnove" logaritma je izpeljana iz osnovnih lastnosti logaritmov.

3. Če je mogoče, ročno ocenite vrednost izraza. Najti log a ⁡ (x) (\ displaystyle \ log _ (a) (x)), predstavljaj si izraz " a? = x (\ slog prikaza a ^ (?) = x)", torej postavite naslednje vprašanje:" Do katere stopnje je treba dvigniti a, Za pridobitev x? ". Za odgovor na to vprašanje boste morda potrebovali kalkulator, a če imate srečo, ga lahko poiščete ročno.

   • Nadaljevanje 1. primera: Prepiši kot 2? = 16 (\ slog prikaza 2 ^ (?) = 16)... Najti morate, katera številka naj bo namesto "?" To je mogoče storiti s poskusi in napakami:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\ slog prikaza 2 ^ (2) = 2 * 2 = 4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\ slog prikaza 2 ^ (3) = 4 * 2 = 8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\ slog prikaza 2 ^ (4) = 8 * 2 = 16)
     Torej, zahtevano število je 4: dnevnik 2 ⁡ (16) (\ displaystyle \ log _ (2) (16)) = 4 .

4. Odgovor pustite v logaritemski obliki, če ga ne morete poenostaviti. Veliko logaritmov je zelo težko izračunati ročno. V tem primeru potrebujete kalkulator, da dobite natančen odgovor. Če pa težavo rešite v lekciji, bo učitelj najverjetneje zadovoljen z odgovorom v logaritemski obliki. Obravnavana metoda se uporablja za reševanje bolj zapletenega primera:

   • primer 2: kaj je enako log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\ displaystyle (\ frac (\ log _ (3) (58)) (\ log _ (3) (7))))?
   • Pretvorimo ta izraz v en logaritem: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\ displaystyle (\ frac (\ log _ (3) (58)) (\ log _ (3) (7))) = \ dnevnik _ (7) (58))... Upoštevajte, da osnova 3, skupna obema logaritmoma, izgine; to je res iz kakršnega koli razloga.
   • Prepišimo izraz kot 7? = 58 (\ slog prikaza 7 ^ (?) = 58) in poskusi najti vrednost ?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\ slog prikaza 7 ^ (2) = 7 * 7 = 49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\ displaystyle 7 ^ (3) = 49 * 7 = 343)
     Ker je med tema dvema številkama 58, ni izraženo kot celo število.
   • Odgovor pustimo v logaritemski obliki: dnevnik 7 ⁡ (58) (\ displaystyle \ log _ (7) (58)).

Logaritem števila N z razlogom a imenujemo eksponent X na katerega želite graditi a da dobim številko N

Pod pogojem, da
,
,

Iz definicije logaritma izhaja, da
, tj.
- ta enakost je osnovna logaritemska istovetnost.

Logaritmi z osnovo 10 se imenujejo decimalni logaritmi. Namesto
piši
.

Logaritmi na bazo e se imenujejo naravni in so označeni
.

Osnovne lastnosti logaritmov.

Logaritem ena za katero koli osnovo je nič

Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov faktorjev.

3) Logaritem kvocienta je enak razliki logaritmov

Faktor
imenujemo modul prehoda iz logaritmov na osnovi a na logaritem na osnovi b .

Z uporabo lastnosti 2-5 je pogosto mogoče zmanjšati logaritem kompleksnega izraza na rezultat preprostih aritmetičnih operacij nad logaritmi.

na primer,

Takšne transformacije logaritma imenujemo logaritem. Transformacije, inverzne logaritmu, se imenujejo potenciranje.

Poglavje 2. Elementi višje matematike.

1. Meje

Meja delovanja
je končno število A, če je kot xx 0 za vsako vnaprej določeno
, obstaja taka številka
to enkrat
, potem
.

Funkcija, ki ima omejitev, se od nje razlikuje za neskončno majhno količino:
, kjer je b.m.v., t.j.
.

Primer. Razmislite o funkciji
.

Ko si prizadevamo
, funkcija y teži k ničli:

1.1. Osnovni izreki o mejah.

Meja konstantne vrednosti je enaka tej konstantni vrednosti

.

Meja vsote (razlike) končnega števila funkcij je enaka vsoti (razliki) mej teh funkcij.

Meja produkta končnega števila funkcij je enaka zmnožku mej teh funkcij.

Meja količnika dveh funkcij je enaka količniku mej teh funkcij, če meja imenovalca ni nič.

Čudovite meje

,
, kje

1.2. Primeri izračuna mej

Vendar vseh omejitev ni enostavno izračunati. Pogosteje se izračun omejitve zmanjša na razkritje vrste negotovosti: ali .

.

2. Izpeljanka funkcije

Naj imamo funkcijo
neprekinjeno na segmentu
.

Prepir dobil nekaj prirastka
... Potem bo funkcija prejela prirast
.

Vrednost argumenta ustreza vrednosti funkcije
.

Vrednost argumenta
ustreza vrednosti funkcije.

Zato,.

Najdimo mejo tega razmerja pri
... Če ta meja obstaja, se imenuje izpeljanka te funkcije.

Definicija 3 Izpeljanka te funkcije
z argumentom se imenuje meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta, ko se prirast argumenta poljubno nagiba k nič.

Izpeljanka funkcije
lahko označimo na naslednji način:

; ; ; .

Definicija 4 Operacija iskanja izvoda funkcije se imenuje diferenciacijo.

2.1. Mehanski pomen izpeljanke.

Razmislite o pravocrtnem gibanju nekega togega telesa ali materialne točke.

Naj v nekem trenutku premikajoča se točka
je bil na daljavo iz začetnega položaja
.

Po določenem času
premaknila se je na razdaljo
... Odnos =- povprečna hitrost materialne točke
... Poiščimo mejo tega razmerja, upoštevajoč to
.

Posledično se določitev trenutne hitrosti gibanja materialne točke zmanjša na iskanje derivata poti v času.

2.2. Izvedena geometrijska vrednost

Recimo, da imamo grafično podano funkcijo
.

riž. 1. Geometrijski pomen izpeljanke

Če
nato pokažite
, se bo premikal vzdolž krivulje in se približal točki
.

Zato
, tj. vrednost izpeljanke glede na vrednost argumenta številčno enak tangentu kota, ki ga tvori tangenta v dani točki s pozitivno smerjo osi
.

2.3. Tabela osnovnih formul za diferenciacijo.

Funkcija moči

Eksponentna funkcija

Logaritemska funkcija

Trigonometrična funkcija

Inverzna trigonometrična funkcija

2.4. Pravila diferenciacije.

Izpeljano iz

Derivat vsote (razlike) funkcij

Izpeljanka produkta dveh funkcij

Izpeljanka kvocienta dveh funkcij

2.5. Izhaja iz kompleksne funkcije.

Naj bo dana funkcija
tako, da ga je mogoče predstaviti kot

in
kjer je spremenljiva je torej vmesni argument

Odvod kompleksne funkcije je enak zmnožku odvoda te funkcije glede na vmesni argument z izvodom vmesnega argumenta glede na x.

Primer 1.

Primer 2.

3. Diferencialna funkcija.

Naj bo
diferenciran na nekem segmentu
naj gre pri ta funkcija ima izpeljanko

,

potem lahko pišemo

(1),

kje - neskončno majhna vrednost,

od ob

Vse pogoje enakosti (1) pomnožimo z
imamo:

Kje
- bm.v. višjega reda.

Velikost
se imenuje diferencial funkcije
in označena

.

3.1. Geometrijska vrednost diferenciala.

Naj bo dana funkcija
.

Slika 2. Geometrijski pomen diferenciala.

.

Očitno diferencial funkcije
je enak prirastku ordinate tangente na tej točki.

3.2. Derivati ​​in diferenciali različnih vrstnih redov.

Če obstaja
, potem
imenujemo prva izpeljanka.

Izpeljanka prve izpeljanke se imenuje izpeljanka drugega reda in se zapiše
.

Derivat funkcije n-ega reda
izpeljanka (n-1)-toga reda se imenuje in zapiše:

.

Diferencial diferenciala funkcije se imenuje drugi diferencial ali diferencial drugega reda.

.

.

3.3 Reševanje bioloških problemov z diferenciacijo.

1. naloga. Študije so pokazale, da je rast kolonije mikroorganizmov v skladu z zakonom
, kje N - število mikroorganizmov (v tisočih), t – Čas (dni).

b) Ali se bo v tem obdobju velikost kolonije povečala ali zmanjšala?

Odgovori. Kolonija se bo povečala.

Naloga 2. Voda v jezeru se občasno testira za nadzor vsebnosti patogenih bakterij. Čez t dni po testiranju se koncentracija bakterij določi z razmerjem

.

Kdaj bo v jezeru prišla najmanjša koncentracija bakterij in se bo v njem mogoče kopati?

REŠITEV Funkcija doseže max ali min, ko je njen izvod nič.

,

Določimo, da bo max ali min čez 6 dni. Za to vzamemo drugo izpeljanko.

Odgovor: Po 6 dneh bo koncentracija bakterij minimalna.

Logaritme, tako kot vsa števila, je mogoče na vse načine seštevati, odštevati in preoblikovati. Ker pa logaritmi niso ravno navadna števila, tukaj obstajajo pravila, ki se imenujejo osnovne lastnosti.

Ta pravila je nujno poznati - brez njih ni mogoče rešiti nobenega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo – vsega se da naučiti v enem dnevu. Pa začnimo.

Seštevanje in odštevanje logaritmov

Razmislite o dveh logaritmih z isto osnovo: log a x in dnevnik a y... Nato jih je mogoče seštevati in odštevati ter:

1. dnevnik a x+ dnevnik a y= dnevnik a (x · y);
2. dnevnik a x- dnevnik a y= dnevnik a (x : y).

Torej je vsota logaritmov enaka logaritmu produkta, razlika pa je logaritem kvocienta. Upoštevajte, da je ključna točka tukaj - enakih razlogov... Če so razlogi drugačni, ta pravila ne delujejo!

Te formule vam bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če se njegovi posamezni deli ne štejejo (glejte lekcijo "Kaj je logaritem"). Oglejte si primere - in si oglejte:

Dnevnik 6 4 + dnevnik 6 9.

Ker so osnove logaritmov enake, uporabimo formulo vsote:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 2 48 - log 2 3.

Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 3 135 - log 3 5.

Spet so podlage enake, tako da imamo:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kot lahko vidite, so izvirni izrazi sestavljeni iz "slabih" logaritmov, ki se ne štejejo ločeno. Toda po transformacijah se dobijo povsem normalne številke. Številni testi temeljijo na tem dejstvu. Toda kakšna kontrola - takšni izrazi z vso resnostjo (včasih - praktično nespremenjeni) se ponujajo na izpitu.

Odstranitev eksponenta iz logaritma

Zdaj pa malo zakomplicirajmo nalogo. Kaj pa, če osnova ali argument logaritma temelji na stopnji? Nato lahko eksponent te stopnje vzamemo iz predznaka logaritma po naslednjih pravilih:

Preprosto je videti, da zadnje pravilo sledi prvima dvema. Vendar je bolje, da si ga vseeno zapomnite - v nekaterih primerih bo znatno zmanjšal količino izračuna.

Seveda so vsa ta pravila smiselna, če upoštevamo ODV logaritma: a > 0, a ≠ 1, x> 0. In še nekaj: naučite se uporabljati vse formule ne samo od leve proti desni, ampak tudi obratno, tj. v sam logaritem lahko vnesete števila pred znakom logaritma. To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 7 49 6.

Znebimo se stopnje v argumentu s prvo formulo:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Naloga. Poiščite pomen izraza:

[Napis slike]

Upoštevajte, da imenovalec vsebuje logaritem, katerega osnova in argument sta točni potenci: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Imamo:

[Napis slike]

Mislim, da zadnji primer potrebuje nekaj pojasnila. Kam so izginili logaritmi? Do zadnjega trenutka delamo samo z imenovalcem. Osnovo in argument logaritma, ki stoji tam, smo predstavili v obliki stopinj in prikazali kazalnike - dobili smo "trinadstropni" ulomek.

Zdaj pa poglejmo osnovni ulomek. Števec in imenovalec vsebujeta isto število: log 2 7. Ker je log 2 7 ≠ 0, lahko ulomek prekličemo – imenovalec ostane 2/4. Po pravilih aritmetike lahko štiri prenesemo v števec, kar je bilo storjeno. Rezultat je bil odgovor: 2.

Selitev na nove temelje

Ko sem govoril o pravilih za seštevanje in odštevanje logaritmov, sem posebej poudaril, da delujejo samo za iste osnove. Kaj pa, če so razlogi drugačni? Kaj pa, če niso točne moči istega števila?

Na pomoč priskočijo formule za prehod na novo podlago. Formulirajmo jih v obliki izreka:

Naj bo logaritem podan log a x... Nato za poljubno število c tako da c> 0 in c≠ 1, enakost velja:

[Napis slike]

Še posebej, če postavimo c = x, dobimo:

[Napis slike]

Iz druge formule izhaja, da je možno zamenjati osnovo in argument logaritma, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem se pojavi v imenovalcu.

Te formule redko najdemo v običajnih številskih izrazih. Kako priročni so, je mogoče oceniti le pri reševanju logaritmičnih enačb in neenakosti.

So pa naloge, ki se praviloma ne rešijo razen s prehodom na novo osnovo. Razmislite o nekaj teh:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Upoštevajte, da argumenta obeh logaritmov vsebujeta natančne stopnje. Vzemimo kazalnike: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Zdaj pa "obrnimo" drugi logaritem:

[Napis slike]

Ker se produkt ne spremeni od permutacije faktorjev, smo umirjeno pomnožili štiri in dva, nato pa se ukvarjali z logaritmi.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 9 100 · lg 3.

Osnova in argument prvega logaritma sta točni stopinji. Zapišimo to in se znebimo meritev:

[Napis slike]

Zdaj se znebimo decimalnega logaritma tako, da se premaknemo na novo osnovo:

[Napis slike]

Osnovna logaritemska identiteta

Pogosto je v procesu reševanja potrebno število predstaviti kot logaritem na dano bazo. V tem primeru nam bodo v pomoč formule:

V prvem primeru številka n postane indikator stopnje v argumentu. Številka n je lahko popolnoma karkoli, ker je samo vrednost logaritma.

Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Imenuje se tako: osnovna logaritemska identiteta.

Dejansko, kaj se zgodi, če številka b na tako moč, da je število b do te stopnje daje številko a? Tako je: dobite prav to številko a... Še enkrat pozorno preberite ta odstavek – marsikdo se nanj »obesi«.

Tako kot formule za prehod na novo bazo je tudi osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.

Naloga. Poiščite pomen izraza:

[Napis slike]

Upoštevajte, da je log 25 64 = log 5 8 - pravkar premaknil kvadrat iz osnove in argumenta logaritma. Ob upoštevanju pravil za množenje stopinj z isto bazo dobimo:

[Napis slike]

Če kdo ne ve, je bil pravi problem od izpita :)

Logaritemska enota in logaritemska nič

Za zaključek bom podal dve identiteti, ki ju težko imenujemo lastnosti - prej sta posledica definicije logaritma. Nenehno se srečujejo s težavami in, presenetljivo, povzročajo težave tudi "naprednim" študentom.

1. dnevnik a a= 1 je logaritemska enota. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem na katero koli osnovo a od te same osnove je enaka ena.
2. dnevnik a 1 = 0 je logaritmična nič. Osnova a je lahko karkoli, če pa je argument ena, je logaritem nič! Ker a 0 = 1 je neposredna posledica definicije.

To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi! Prenesite goljufski list na začetku lekcije, ga natisnite in rešite težave.

Logaritem od b (b> 0) do osnove a (a> 0, a ≠ 1) Je eksponent, na katerega morate dvigniti število a, da dobite b.

Logaritem od b do osnove 10 lahko zapišemo kot lg (b), logaritem na bazo e (naravni logaritem) pa je ln (b).

Pogosto se uporablja pri reševanju težav z logaritmi:

Lastnosti logaritmov

Obstajajo štiri glavne lastnosti logaritmov.

Naj je a> 0, a ≠ 1, x> 0 in y> 0.

Lastnost 1. Logaritem produkta

Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Lastnost 2. Logaritem količnika

Logaritem količnika je enaka razliki logaritmov:

log a (x / y) = log a x - log a y

Lastnost 3. Logaritem stopnje

Logaritem stopnje je enak zmnožku moči z logaritmom:

Če je osnova logaritma na moči, deluje druga formula:

Lastnost 4. Logaritem korena

To lastnost je mogoče dobiti iz lastnosti logaritma stopnje, saj je koren n-te stopnje enak stopnji 1 / n:

Formula za prehod iz logaritma v eni osnovi v logaritem v drugi bazi

Ta formula se pogosto uporablja tudi za reševanje različnih problemov za logaritme:

poseben primer:

Primerjava logaritmov (neenakosti)

Recimo, da imamo 2 funkciji f (x) in g (x) pod logaritmoma z enakimi osnovami in je med njima znak neenakosti:

Če jih želite primerjati, morate najprej pogledati osnovo logaritmov a:

• Če je a> 0, potem je f (x)> g (x)> 0
• Če 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kako rešiti težave z logaritmi: primeri

Logaritemske naloge vključeni v USE pri matematiki za 11. razred v nalogi 5 in nalogi 7, najdete naloge z rešitvami na naši spletni strani v ustreznih rubrikah. Tudi naloge z logaritmi najdemo v banki nalog iz matematike. Vse primere lahko najdete z iskanjem po spletnem mestu.

Kaj je logaritem

Logaritmi so že od nekdaj veljali za težko temo v srednješolski matematiki. Obstaja veliko različnih definicij logaritma, vendar večina učbenikov nekako uporablja najtežje in neposrečene.

Logaritem bomo definirali preprosto in jasno. Če želite to narediti, ustvarimo tabelo:

Torej imamo pred seboj moči dveh.

Logaritmi - lastnosti, formule, kako rešiti

Če vzamete številko iz spodnje vrstice, potem zlahka najdete stopnjo, do katere morate dvigniti dva, da dobite to številko. Na primer, če želite dobiti 16, morate dva dvigniti na četrto potenco. In če želite dobiti 64, morate dva dvigniti na šesto potenco. To je razvidno iz tabele.

In zdaj - pravzaprav definicija logaritma:

osnova a iz argumenta x je moč, na katero je treba dvigniti število a, da dobimo število x.

Oznaka: log a x = b, kjer je a osnova, x je argument, b je pravzaprav logaritem.

Na primer, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (osnova dnevnika 2 od 8 je tri, ker je 2 3 = 8). Z enakim uspehom log 2 64 = 6, saj je 2 6 = 64.

Imenuje se operacija iskanja logaritma števila v dani osnovi. Torej, dodajmo novo vrstico naši tabeli:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
dnevnik 2 2 = 1	dnevnik 2 4 = 2	dnevnik 2 8 = 3	dnevnik 2 16 = 4	dnevnik 2 32 = 5	dnevnik 2 64 = 6

Žal se vsi logaritmi ne izračunajo tako enostavno. Na primer, poskusite najti log 2 5. Število 5 ni v tabeli, vendar logika narekuje, da bo logaritem ležal nekje na segmentu. Ker 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takšna števila se imenujejo iracionalna: števila za decimalno vejico lahko zapišemo za nedoločen čas in se nikoli ne ponovijo. Če se logaritem izkaže za iracionalnega, ga je bolje pustiti tako: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Pomembno je razumeti, da je logaritem izraz z dvema spremenljivkama (osnovo in argument). Sprva so mnogi zmedeni glede tega, kje je osnova in kje argument. Da se izognete nadležnim nesporazumom, si le oglejte sliko:

Pred nami ni nič drugega kot definicija logaritma. Zapomni si: logaritem je stopnja na katerega je treba dvigniti osnovo, da dobimo argument. To je osnova, ki je dvignjena na moč – na sliki je poudarjena z rdečo. Izkazalo se je, da je osnova vedno na dnu! To čudovito pravilo povem svojim učencem že pri prvi lekciji - in ne pride do zmede.

Kako šteti logaritme

Ugotovili smo definicijo - še, da se naučimo šteti logariteme, t.j. znebite se znaka dnevnika. Za začetek opozorimo, da iz definicije izhajata dve pomembni dejstvi:

1. Argument in osnova morata biti vedno večja od nič. To izhaja iz opredelitve stopnje z racionalnim kazalnikom, na katerega se reducira definicija logaritma.
2. Osnova mora biti drugačna od ena, saj je ena do katere koli stopnje še vedno ena. Zaradi tega je vprašanje "do kolikšne mere je treba dvigniti enoto, da dobimo dvojko" nesmiselno. Te diplome ni!

Takšne omejitve se imenujejo obseg veljavnih vrednosti(ODZ). Izkazalo se je, da je ODZ logaritma videti takole: log a x = b ⇒x> 0, a> 0, a ≠ 1.

Upoštevajte, da za število b (vrednost logaritma) ni omejitev. Logaritem je lahko na primer negativen: log 2 0,5 = −1, ker 0,5 = 2 −1.

Vendar pa zdaj obravnavamo le številčne izraze, kjer poznavanje ODV logaritma ni potrebno. Vse omejitve so prevajalci nalog že upoštevali. Ko pa se pojavijo logaritemske enačbe in neenakosti, bodo zahteve DHS postale obvezne. Dejansko so lahko v osnovi in ​​v argumentu zelo močne konstrukcije, ki ne ustrezajo nujno zgornjim omejitvam.

Zdaj pa poglejmo splošno shemo za izračun logaritmov. Sestavljen je iz treh korakov:

1. Predstavite osnova a in argument x kot potenco z najmanjšim možnim radiksom, večjim od ena. Na poti se je bolje znebiti decimalnih ulomkov;
2. Reši enačbo za spremenljivko b: x = a b;
3. Dobljeno število b bo odgovor.

To je vse! Če se izkaže, da je logaritem neracionalen, se bo to pokazalo že na prvem koraku. Zahteva, da je osnova večja od ena, je zelo pomembna: to zmanjša verjetnost napake in močno poenostavi izračune. Enako je z decimalnimi ulomki: če jih takoj pretvorite v navadne, bo napak večkrat manj.

Poglejmo, kako ta shema deluje s posebnimi primeri:

Naloga. Izračunajte dnevnik: log 5 25

1. Osnovo in argument predstavimo kot potenco petice: 5 = 5 1; 25 = 5 2;

Sestavimo in rešimo enačbo:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Prejel odgovor: 2.

Naloga. Izračunaj logaritem:

Naloga. Izračunajte dnevnik: log 4 64

1. Osnovo in argument predstavimo kot potenco dvojke: 4 = 2 2; 64 = 2 6;
2. Sestavimo in rešimo enačbo:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Prejel odgovor: 3.

Naloga. Izračunaj logaritem: log 16 1

1. Osnovo in argument predstavimo kot potenco dvojke: 16 = 2 4; 1 = 2 0;
2. Sestavimo in rešimo enačbo:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Prejel odgovor: 0.

Naloga. Izračunajte dnevnik: log 7 14

1. Osnovo in argument predstavimo kot potenco sedmih: 7 = 7 1; 14 ni predstavljeno kot potenca sedmih, saj je 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prejšnjega odstavka sledi, da se logaritem ne šteje;
3. Odgovor je brez sprememb: dnevnik 7 14.

Majhna opomba o zadnjem primeru. Kako zagotovite, da število ni natančna moč drugega števila? To je zelo preprosto - samo ga razdelite na glavne faktorje. Če faktorizacija vsebuje vsaj dva različna faktorja, število ni natančna moč.

Naloga. Ugotovite, ali so točni potenci števila: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 2 2 = 2 3 - točna stopnja, ker obstaja samo en dejavnik;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ni natančna stopnja, saj obstajata dva faktorja: 3 in 2;
81 = 9 9 = 3 3 3 3 3 = 3 4 - točna stopnja;
35 = 7 · 5 - spet ni točna stopnja;
14 = 7 2 - spet ni točna stopnja;

Upoštevajte tudi, da so praštevili vedno natančni sami po sebi.

Decimalni logaritem

Nekateri logaritmi so tako pogosti, da imajo posebno ime in oznako.

argumenta x je logaritem osnove 10, tj. moč, na katero je treba dvigniti število 10, da dobimo število x. Oznaka: lg x.

Na primer, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od zdaj naprej, ko se v učbeniku pojavi stavek, kot je "Poišči lg 0,01", morate vedeti: to ni tipkarska napaka. To je decimalni logaritem. Če pa takšnega poimenovanja niste vajeni, ga lahko vedno prepišete:
log x = log 10 x

Vse, kar velja za navadne logaritme, velja tudi za decimalke.

Naravni logaritem

Obstaja še en logaritem, ki ima svoj zapis. Na nek način je celo pomembnejša od decimalke. To je naravni logaritem.

argumenta x je osnova logaritma e, tj. moč, na katero je treba dvigniti število e, da dobimo število x. Oznaka: ln x.

Mnogi se bodo vprašali: kaj je še število e? To je iracionalno število, njegovega natančnega pomena ni mogoče najti in zapisati. Navedel bom le prve številke:
e = 2,718281828459 ...

Ne bomo se poglobili v to, kaj je ta številka in zakaj je potrebna. Ne pozabite, da je e osnova naravnega logaritma:
ln x = log e x

Tako je ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - itd. Po drugi strani je ln 2 iracionalno število. Na splošno je naravni logaritem katerega koli racionalnega števila iracionalen. Razen seveda enot: ln 1 = 0.

Za naravne logaritme veljajo vsa pravila, ki veljajo za navadne logaritme.

Poglej tudi:

Logaritem. Lastnosti logaritma (moč logaritma).

Kako predstavim število kot logaritem?

Uporabljamo definicijo logaritma.

Logaritem je eksponent, na katerega je treba dvigniti osnovo, da dobimo število pod znakom logaritma.

Da bi torej neko število c predstavili v obliki logaritma na osnovo a, je treba pod znak logaritma zapisati potenco z isto osnovo kot osnova logaritma in to število c zapisati v eksponent:

V obliki logaritma je mogoče predstaviti popolnoma katero koli število - pozitivno, negativno, celo, ulomno, racionalno, iracionalno:

Da ne zamenjate a in c v stresnih pogojih kontrole ali izpita, si lahko zapomnite naslednje pravilo:

kar je spodaj, gre dol, kar je zgoraj, se dvigne.

Morda boste želeli na primer številko 2 predstaviti kot logaritem na osnovo 3.

Imamo dve številki - 2 in 3. Ti števili sta osnova in eksponent, ki ju bomo zapisali pod znakom logaritma. Še vedno je treba ugotoviti, katero od teh številk je treba zapisati v osnovo stopnje in katero - navzgor, v eksponent.

Osnova 3 v logaritmu je na dnu, kar pomeni, da ko predstavljamo dva kot logaritem na osnovo 3, bo tudi 3 zapisana na osnovo.

2 stoji nad tremi. In v zapisu potenca dvojke ga zapišemo nad tri, torej v eksponent:

Logaritmi. Prva stopnja.

Logaritmi

Logaritem pozitivno število b z razlogom a, kje a> 0, a ≠ 1, se imenuje eksponent, na katerega je treba število dvigniti a, Za pridobitev b.

Definicija logaritma lahko na kratko zapišem takole:

Ta enakost velja za b> 0, a> 0, a ≠ 1. Običajno se imenuje logaritemska identiteta.
Dejanje iskanja logaritma števila se imenuje tako, da vzamemo logaritem.

Lastnosti logaritma:

Logaritem produkta:

Logaritem kvocienta deljenja:

Zamenjava osnove logaritma:

Logaritem stopnje:

Logaritem korena:

Logaritem moči:

Decimalni in naravni logaritmi.

Decimalni logaritemštevilke pokličejo logaritem osnove 10 tega števila in napiši & nbsp lg b
Naravni logaritemštevilke kličejo osnovni logaritem tega števila e, kje e- iracionalno število, približno enako 2,7. V tem primeru pišejo ln b.

Druge opombe o algebri in geometriji

Osnovne lastnosti logaritmov

Osnovne lastnosti logaritmov

Logaritme, tako kot vsa števila, je mogoče na vse načine seštevati, odštevati in preoblikovati. Ker pa logaritmi niso ravno navadna števila, tukaj obstajajo pravila, ki se imenujejo osnovne lastnosti.

Ta pravila je nujno poznati - brez njih ni mogoče rešiti nobenega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo – vsega se da naučiti v enem dnevu. Pa začnimo.

Seštevanje in odštevanje logaritmov

Razmislite o dveh logaritmih z enakimi osnovami: log a x in log a y. Nato jih je mogoče seštevati in odštevati ter:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Torej je vsota logaritmov enaka logaritmu produkta, razlika pa je logaritem kvocienta. Upoštevajte, da je ključna točka tukaj - enakih razlogov... Če so razlogi drugačni, ta pravila ne delujejo!

Te formule vam bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če se njegovi posamezni deli ne štejejo (glejte lekcijo "Kaj je logaritem"). Oglejte si primere - in si oglejte:

Dnevnik 6 4 + dnevnik 6 9.

Ker so osnove logaritmov enake, uporabimo formulo vsote:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 2 48 - log 2 3.

Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 3 135 - log 3 5.

Spet so podlage enake, tako da imamo:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kot lahko vidite, so izvirni izrazi sestavljeni iz "slabih" logaritmov, ki se ne štejejo ločeno. Toda po transformacijah se dobijo povsem normalne številke. Številni testi temeljijo na tem dejstvu. Toda kakšna kontrola - takšni izrazi z vso resnostjo (včasih - praktično nespremenjeni) se ponujajo na izpitu.

Odstranitev eksponenta iz logaritma

Zdaj pa malo zakomplicirajmo nalogo. Kaj pa, če osnova ali argument logaritma temelji na stopnji? Nato lahko eksponent te stopnje vzamemo iz predznaka logaritma po naslednjih pravilih:

Preprosto je videti, da zadnje pravilo sledi prvima dvema. Vendar je bolje, da si ga vseeno zapomnite - v nekaterih primerih bo znatno zmanjšal količino izračuna.

Seveda so vsa ta pravila smiselna, če se upošteva ODL logaritma: a> 0, a ≠ 1, x> 0. In še nekaj: naučite se uporabljati vse formule ne le od leve proti desni, ampak tudi obratno. , tj v sam logaritem lahko vnesete števila pred znakom logaritma.

Kako rešiti logaritme

To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 7 49 6.

Znebimo se stopnje v argumentu s prvo formulo:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Upoštevajte, da imenovalec vsebuje logaritem, katerega osnova in argument sta točni potenci: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Imamo:

Mislim, da zadnji primer potrebuje nekaj pojasnila. Kam so izginili logaritmi? Do zadnjega trenutka delamo samo z imenovalcem. Osnovo in argument logaritma, ki stoji tam, smo predstavili v obliki stopinj in prikazali kazalnike - dobili smo "trinadstropni" ulomek.

Zdaj pa poglejmo osnovni ulomek. Števec in imenovalec vsebujeta isto število: log 2 7. Ker je log 2 7 ≠ 0, lahko ulomek prekličemo – imenovalec ostane 2/4. Po pravilih aritmetike lahko štiri prenesemo v števec, kar je bilo storjeno. Rezultat je bil odgovor: 2.

Selitev na nove temelje

Ko sem govoril o pravilih za seštevanje in odštevanje logaritmov, sem posebej poudaril, da delujejo samo za iste osnove. Kaj pa, če so razlogi drugačni? Kaj pa, če niso točne moči istega števila?

Na pomoč priskočijo formule za prehod na novo podlago. Formulirajmo jih v obliki izreka:

Naj bo podan logaritem log a x. Potem za katero koli število c, tako da je c> 0 in c ≠ 1, velja naslednja enakost:

Zlasti, če postavimo c = x, dobimo:

Iz druge formule izhaja, da je možno zamenjati osnovo in argument logaritma, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem se pojavi v imenovalcu.

Te formule redko najdemo v običajnih številskih izrazih. Kako priročni so, je mogoče oceniti le pri reševanju logaritmičnih enačb in neenakosti.

So pa naloge, ki se praviloma ne rešijo razen s prehodom na novo osnovo. Razmislite o nekaj teh:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Upoštevajte, da argumenta obeh logaritmov vsebujeta natančne stopnje. Vzemimo kazalnike: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Zdaj pa "obrnimo" drugi logaritem:

Ker se produkt ne spremeni od permutacije faktorjev, smo umirjeno pomnožili štiri in dva, nato pa se ukvarjali z logaritmi.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 9 100 · lg 3.

Osnova in argument prvega logaritma sta točni stopinji. Zapišimo to in se znebimo meritev:

Zdaj se znebimo decimalnega logaritma tako, da se premaknemo na novo osnovo:

Osnovna logaritemska identiteta

Pogosto je v procesu reševanja potrebno število predstaviti kot logaritem na dano bazo.

V tem primeru nam bodo v pomoč formule:

V prvem primeru število n postane eksponent v argumentu. Število n je lahko popolnoma karkoli, ker je le vrednost logaritma.

Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Imenuje se tako:.

Dejansko, kaj se zgodi, če število b dvignemo na tako moč, da število b na to potenco da število a? Tako je: dobite prav to številko a. Še enkrat pozorno preberite ta odstavek – marsikdo se nanj »obesi«.

Tako kot formule za prehod na novo bazo je tudi osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Upoštevajte, da je log 25 64 = log 5 8 - pravkar premaknil kvadrat iz osnove in argumenta logaritma. Ob upoštevanju pravil za množenje stopinj z isto bazo dobimo:

Če kdo ne ve, je bil pravi problem od izpita 🙂

Logaritemska enota in logaritemska nič

Za zaključek bom podal dve identiteti, ki ju težko imenujemo lastnosti - prej sta posledica definicije logaritma. Nenehno se srečujejo s težavami in, presenetljivo, povzročajo težave tudi "naprednim" študentom.

1. log a a = 1 je. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem katere koli osnove a iz te osnove je enak ena.
2. log a 1 = 0 je. Osnova a je lahko karkoli, če pa je argument ena, je logaritem nič! Ker je 0 = 1 neposredna posledica definicije.

To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi! Prenesite goljufski list na začetku lekcije, ga natisnite in rešite težave.