Разгледайте посочените функции на диференциалните методи онлайн. Обща функция за изследване на схемата и графиката на строителството

Ние проучваме функцията (y \u003d frac (x ^ 3) (1-x)) и изграждане на своя график.

1. Определение област.
Областта на определяне на рационалната функция (фракция) ще бъде: знаменателят не е нула, т.е. (1 -x ne 0 \u003d\u003e x ne 1). Област на дефиниция $$ d_f \u003d (- infly; 1) чаша (1; + infly) $ $

2. Точки за прекъсване и тяхната класификация.
Функцията има една точка на gap x \u003d 1
ние проучваме точката x \u003d 1. Ние намираме границата на функцията вдясно и отляво на точката на пролуката, дясно $$ lim_ (x на 1 + 0) (frac (x ^ 3) (1) (1) \\ t -x)) \u003d - inty $$ и вляво от $$ lim__ point (x на 1-0) (frac (x ^ 3) (1-x) (1-x)) \u003d + inty $$ е точката на счупване на втория вид. Едностранните граници са равни (infly).

Право (x \u003d 1) е вертикален асимптот.

3. Паритетът на функцията.
Проверка за паритет (F (-x) \u003d frac ((x) ^ 3) (1 + x)) функцията не е нито почти странна.

4. Нулеви функции (точки на пресичане с ос Окси). Интервали от функцията на символа.
Зерос на функции (точка на пресичане с ос Окси): Уверете се (y \u003d 0), получаваме (frac (x ^ 3) (1-x) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0). Кривата има една точка на пресичане с ос на OX с координати ((0; 0)).

Интервал на функционалния обхват.
В разглежданите интервали (- infly; 1) cup (1; + infly)) кривата има една точка на пресичане с осите на OX, затова ще разгледаме три интервала на зоната на дефиниция.

Определете функционалния знак на интервали от областта за дефиниране:
интервал ((- infly; 0)) Намерете функционалната стойност във всяка точка (F (-4) \u003d frac (x ^ 3) (1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал ((0; 1)) Намерете функционалната стойност във всяка точка (F (0.5) \u003d frac (x ^ 3) (1-x)\u003e 0), на този интервал функцията е положителна ( F (x)\u003e 0), т.е. Тя е над ос OX.
((1; + infly)) Намерете функционалната стойност във всяка точка (F (4) \u003d frac (x ^ 3) (1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Точка на пресичане с осите oy: Приравнявам (x \u003d 0), получаваме (F (0) \u003d frac (x ^ 3) (1-x) \u003d 0). Координати на точката на пресичане с осите oy (0; 0))

6. Монтанистови интервали. Екстремна функция.
Ние ще намерим критични (стационарни) точки, за това ще намерим първото производно и ще го приравните до нула $ $ y "\u003d (frac (x ^ 3) (1-x))" \u003d frac (3x ^ 2 ( 1-x) + x ^ 3) ((1-x) ^ 2) \u003d frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2) $ $ равен на 0 $$ frac ( x ^ 2 (3 -2x)) ((1-x) ^ 2) \u003d 0 \u003d\u003e x_1 \u003d 0 quad x_2 \u003d frac (3) (2) $ $ Намерете стойността на функцията в този момент ( F (0) \u003d 0) и (f (frac (3) (2)) \u003d -6.75). Две критични точки с координатите ((0; 0)) и ((1.5; -6.75) \\ t

Интервали на монотонност.
Функцията има две критични точки (точки на възможна екстрема), така че ще разгледаме монотонността на четири интервала:
((- infly; 0) ние ще намерим стойността на първото производно във всяка точка на интервала (f (-4) \u003d frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1) \\ t -X) ^ 2)\u003e
интервал ((0; 1)) Ние ще намерим стойността на първото производно във всяка точка на интервала (F (0.5) \u003d FRAC (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2)\u003e 0) на този интервал, функцията се увеличава.
((1; 1.5) ще намерим стойността на първото производно във всяка точка на интервала (F (1.2) \u003d frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2)\u003e 0) на този интервал, функцията се увеличава.
((1.5; + infly)) Намерете стойността на първото производно във всяка точка на интервала (f (4) \u003d frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ((1)) ^ 2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Екстремна функция.

В проучването на функцията бяха получени две критични (стационарни) точки на интервала. Ние определяме дали са крайности. Помислете за промяна на знака на деривата по време на прехода чрез критични точки:

точка (x \u003d 0) Произвежданията променят знака C \\ t (Quad + Quad 0 Quad + Quad) - точката екстремум не е такава.
point (x \u003d 1.5) Произвежданията променят знака C (Quad + Quad 0 Quad - Quad) - точката е максимална точка.

7. преобразуване и интервали от вдлъбнатини. Точки на инфлексия.

За да намерите интервалите на изпъкналост и вдлъбнатина, ние намираме втората деривативна функция и го приравняваме до нула $ $ y "\u003d (frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2))" \u003d Frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) ^ 3) $$ равен на нула $$ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) \\ t ) ^ 3) \u003d 0 \u003d\u003e 2x (x ^ 2-3x + 3) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 $$ функцията има една критична точка от втория вид с координати ((0; 0)).
Определяме изпъкналата част от зоната на дефиниция, като вземат предвид критичната точка от втория вид (точката на евентуална инфлекция).

((- infly; 0) ние ще намерим стойността на второто производно във всяка точка (f "" (- 4) \u003d frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) 1-x) ^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал ((0; 1)) Ще намерим стойността на второто производно във всяка точка (F "" (0.5) \u003d FRAC (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) \\ t ) ^ 3)\u003e 0), на този интервал, втората деривативна функция е положителна (F "" (x)\u003e 0) Функцията е изпъкнала (изпъкнала).
интервал ((1; infly)) Ние ще намерим стойността на второто производно във всяка точка (f "" (4) \u003d frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1- x) ^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Точки на инфлексия.

Помислете за промяна на знака на второто производно, когато се движите през критичната точка от втория вид:
В точка (x \u003d 0), второто производно променя знака c \\ t (quad quad 0 quad + quad), графиката на функцията променя издатината, т.е. Това е точката на инфлексия с координати ((0; 0)).

8. Асимптоти.

Вертикална Asimptota.. Функционалната графика има един вертикален асимптот. (X \u003d 1) (виж клауза 2).
Наклонени асимптотици.
За да се графиката на функцията (y \u003d frac (x ^ 3) (1-x) (1-x)) с asmptotte (y \u003d kx + b), \\ t Необходимо е така, че има две ограничения $$ lim_ (x to + infly) \u003d frac (f (x)) (x) \u003d k $$ Ние го намираме $$ lim_ (x infly (FRAC (x ^ 3) (x (1-x))) \u003d infly \u003d\u003e k \u003d inty $$ и второто лимит $$ lim_ (x @ @ + infly) (F (x) - KX) \u003d b $ $, защото (K \u003d infly) - няма наклонени асимптоти.

Хоризонтални асимптотици: За да съществуват хоризонталната асимптота, е необходимо $$ lim___ (x infly) f (x) \u003d b $$ да съществува (x infly) f (x) \u003d b $$ (X до + infly) (frac (x ^ 3) (1-x)) \u003d - infly $$$$ lim_ (x to - infly) (frac (x ^ 3) (1 \\ t -X)) \u003d - infly $$
Няма хоризонтални асимптоти.

9. Функционална графика.

Референтните точки в изследването на функциите и изграждането на техните графики са характерни точки - пропуск, екстремум, инфлексия, пресичане с оси на координатите. С помощта на диференциалното смятайте, можете да зададете характерните характеристики на промените в функциите: увеличаване и намаляване, максимално и минимум, посока на издатина и графики в вдлъбнатината, присъствието на асимптотка.

Скица на графиката на функцията може (и е необходимо) да бъде изхвърлена след намиране на асимптоти и екстремум точки, а консолидираната таблица на изследването на функцията е удобно да се попълни в хода на проучването.

Обикновено използват следните функции на функцията на функцията.

1. Намерете областта на дефиницията, интервали на непрекъснатост и точки на прекъсване на функциите.

2. Разгледайте функцията за четене или странност (аксиална или централна симетрия на графиката.

3. Намерете асимптоти (вертикални, хоризонтални или наклонени).

4. Намерете и изследвайте пропуските в нарастващата и низходяща функция, точките на екстремум.

5. Намерете интервалите на изпъкналост и крива на вдлъбнатината, точките на нейната инфлекция.

6. Намерете точките за пресичане на кривата с координатните оси, ако те съществуват.

7. Компилирайте консолидирана учебна маса.

8. Изграждане на график, като се вземат предвид изучаването на функцията, проведена от описаните по-горе елементи.

Пример. Разгледайте функцията

и изгради своя график.

7. Ще направим обобщаваща таблица на изследването на функцията, където ще направим всички характерни точки и интервали между тях. Като се има предвид готовността на функцията, ние получаваме следната таблица:

				Характеристики на символи
[-1, 0[			Се увеличава	Изпъкнал
				(0; 1) - максимална точка
]0, 1[			Намаление	Изпъкнал
				Точка на инфлексични форми с ос Вол.тъп ъгъл

Как да проучите функцията и да изградите своя график?

Изглежда, че започвам да разбирам духовно проникненото лице на лидера на света пролетариат, авторът на колекцията на писанията в 55 тома .... Начина на недоносничество започна с елементарна информация за функции и графикиИ сега, работата по време на отнемане на времето завършва с естествен резултат - статия при пълно проучване на функцията. Дългоочакваната задача е формулирана, както следва:

Разгледайте функцията на диференциалните изчислителни методи и въз основа на резултатите от проучването за изграждане на своя график

Или по-кратък: Разгледайте функцията и изградете диаграма.

Защо да изследвате? В прости случаи нямаме трудно да се разберат елементарните функции, да нарисуват графика, получен от елементарни геометрични трансформации и т.н. Въпреки това, свойствата и графичните образи на по-сложни функции далеч не са очевидни, поради което е необходимо цялото проучване.

Основните етапи на разтвора се намаляват в референтния материал. Функционална научна схемаТова е вашето ръководство за секцията. Чайетос се нуждаят от стъпка по стъпка обяснение на темата, някои читатели не знаят къде да започнат и как да организират проучване и напредналите ученици могат да се интересуват само от някои моменти. Но който бихте могли, скъпи посетител, предложеното резюме с указатели към различни уроци в най-краткия термин ориентират и ще ви насочат в интерес на интерес. Robots Slandered \u003d) Ръководство на плитките под формата на PDF файл и взе заслужено място на страницата Математически формули и таблици.

Изследването на функцията, която използвах за прекъсване на 5-6 точки:

6) допълнителни точки и график въз основа на резултатите от проучването.

За сметка на последното действие, мисля, че всичко е ясно на всички - ще бъде много разочароващо, ако в няколко секунди ще бъде кръстосана и ще бъде върната в усъвършенстването. Правилният и точен чертеж е основният резултат от решението! Много е вероятно да "свържат" аналитични ожулвания, докато неправилната и / или небрежна диаграма ще донесе проблеми дори с идеално проведено проучване.

Трябва да се отбележи, че в други източници броят на изследователските позиции, процедурата за тяхното прилагане и стил на регистрация може да се различава значително от предложената от мен схема, но в повечето случаи е съвсем достатъчно. Най-простата версия на задачата се състои само от 2-3 етапа и е формулирана, както следва: "изследвайте функцията, използвайки производна и изграждане на диаграма" или "изследване на функцията, използваща 1-то и 2-ро производа, изгради диаграма."

Естествено - ако вашият метод е разглобен в детайли друг алгоритъм или вашият учител стриктно изисква да се придържат към лекциите си, ще трябва да направи някои корекции на решението. Не е по-трудно от замяна на вилицата с лъжица с верижни триони.

Проверете функцията за готовност / странност:

След това се следва запис на шаблона:
Следователно, тази функция не е дори или странна.

Тъй като функцията е непрекъсната, няма вертикални асимптоти.

Няма наклонено асимптот.

Забележка : Напомням ви, че това е по-високо нареждане на растежотколкото, така че крайният лимит е равен на " плюс Безкрайност. "

Разберете как функцията се държи на безкрайност:

С други думи, ако отидем надясно, тогава графикът става безкрайно далеч, ако е оставен безкрайно надолу. Да, тук са и две граници под един запис. Ако имате някакви трудности с декодиращите знаци, моля посетете урока безкрайно малки черти.

Така функцията не е ограничено до отгоре и не е ограничено до по-долу. Като се има предвид, че нямаме точки за прекъсване, става ясно и функционални стойности област: - Също така всеки валиден номер.

Полезна техническа техника

Всяка настройка на задача носи нова информация за графикатаСледователно, по време на решението е удобно да се използва вид оформление. Ще изобразя координатната система на Картовка Картов. Какво вече е известно? Първо, графикът няма асимптот, следователно, директният недостатък не е необходим. Второ, знаем как функцията се държи в безкрайност. Според анализа, направете първото приближение:

Обърнете внимание, че по силата непрекъснатост Функционира и фактът, че графикът трябва поне веднъж да пресече оста. Или може би има няколко точки на пресичане?

3) нули и интервали от подравняването.

Първо ще намерим точката на пресичане на графиката със оста на ординатата. Просто е. Необходимо е да се изчисли стойността на функцията, когато:

Едно и половина над морското равнище.

За да намерите точките на пресичане с оста (нули на функцията), е необходимо да се реши уравнението и тук ще имаме неприятна изненада:

В крайна сметка беше прикрепен свободен член, който много усложнява задачата.

Такова уравнение има поне един валиден корен и най-често този корен е ирационален. В по-лоша приказка ще имаме три прасета. Уравнението е разрешено като се използва така нареченото кардано формулиНо щетата на хартията е сравнима почти с цялото проучване. В това отношение е по-разбираемо устно или по проекта, за да се опитат да изберат поне един цял корен. Проверете, не са числа:
- неподходящ;
- има!

Това е късметлия тук. В случай на неуспех, също така е възможно да се тестват и ако тези номера не се появят, тогава има много малко шансове за печелившо решение на уравнението. След това учебният елемент е по-добре да пропуснете - може би ще стане нещо по-ясно на последната стъпка, когато ще бъдат направени допълнителни точки. И ако същият корен (корени) е ясно "лош", тогава интервалите на подравняването са по-добри в скромно Silex да, по-добре е да изпълним чертежа.

Въпреки това, имаме красив корен, така че разделяме полиномната без остатък:

Алгоритъмът за разделяне на полином към полиномния в детайли се разглоби в първия пример на урока Трудни граници.

В резултат на това лявата част на уравнението на източника сгънати в работата:

И сега малко за здравословен начин на живот. Аз, разбира се, разбирам това квадратни уравнения Трябва да решите всеки ден, но днес ще направим изключение: уравнение Той има два валидни корени.

На числова директна отлагане на установените стойности и интервал Определете функциите на функцията:


Така на интервали График се намира
под ос от абсциса и на интервали - над тази ос.

Получените заключения ви позволяват да детайлите нашето оформление, а второто сближаване на графиката е както следва:

Моля, обърнете внимание, че функцията трябва задължително да има поне един максимум и на интервал - поне един минимум. Но колко пъти, къде и кога ще "скрие" график, все още не знаем. Между другото, функцията може да има и безкрайно много крайности.

4) Възходящо, намаляване и екстремулна функция.

Намерете критични точки:

Това уравнение има две валидни корени. Ще ги отложа на цифров директен и ще дефинираме признаците на деривата:


Следователно функцията се увеличава и намалява.
В момента функцията достига максимум: .
В момента функцията достига минимум: .

Инсталирани факти паунд нашия шаблон в доста твърда рамка:

Какво да кажа, диференциалното смятане - мощно нещо. Нека най-накрая се занимаваме с формата на графика:

5) изпъкналост, вложка и точка на инфлексия.

Ще намерим критични точки на второто дериват:

Определете знаците:


Функционалната графика е изпъкнала и вдлъбната. Изчисляване на ордината на точката на инфлексия :. \\ t

Почти всичко се оказа.

6) остава да се намерят допълнителни точки, които ще помогнат по-точно да изградят графика и да извършват самостоятелен тест. В този случай те не са достатъчни, но няма да пренебрегваме:

Извършете чертеж:

Зеленият цвят е маркиран с точка на инфлексия, кръстове - допълнителни точки. Графиката на кубичната функция е симетрична за неговата инфлексирана точка, която винаги се намира строго в средата между максималния и минимум.

В хода на изпълнението на задачата донесох три хипотетични междинни рисунки. На практика е достатъчно да се направи координатна система, маркирайте намерените точки и след всяко проучване психически прецени как може да изглежда функционалната графика. Учениците с добро ниво на обучение няма да бъдат трудни за извършване на такъв анализ изключително в ума, без да привличат проект.

За саморешения:

Пример 2.

Разгледайте функцията и изградете диаграма.

Има по-бързо и по-забавно, примерна извадка от довършителен дизайн в края на урока.

Много тайни разкриват изследването на частични рационални функции:

Пример 3.

Диференциалните методи за изчисляване изследват функцията и въз основа на резултатите от проучването за изграждане на своя график.

Решение: Първият етап от изследването не се различава с нещо забележително, с изключение на дупката в областта на дефиницията:

1) функцията е дефинирана и непрекъсната по цялата цифрова директна, с изключение на точката, домейн: .

Това означава, че тази функция не е дори или странна.

Очевидно функцията не е периодична.

Графиката на функцията е два непрекъснати клона, разположени в лявата и дясната половина на равнината - това е може би най-важното заключение на 1-ва точка.

2) асимптоти, поведение на функцията при безкрайност.

а) с помощта на еднопосочни граници, ние изследваме поведението на функцията близо до подозрителна точка, където тя е очевидно вертикална асимптота:

Всъщност функциите толерират безкрайна почивка В точката,
и прав (ос) е вертикална Asimptota. графики.

б) проверете дали съществуват исимптоти:

Да, директно е наклонена асимптото Графики, ако.

Границите за анализ няма смисъл, тъй като е толкова ясно, че функцията в прегръдка с наклонена асимптота не е ограничено до отгоре и не е ограничено до по-долу.

Втората проучвателна точка доведе до много важна информация за функцията. Извършете проект на скица:

Заключение номер 1 се отнася до интервалите на привеждането в съответствие. На "минус infinity" графиката на функцията е уникално разположена под Asccissa Axis, а на "плюс безкрайността" - над тази ос. В допълнение, едностранните граници ни съобщаваха и като ляво и дясно на функцията, също, повече нула. Моля, обърнете внимание, че в левия полу-равнина графикът поне веднъж е длъжен да премине оста на абсцисата. В десния полулетен нули, функциите може да не са.

Изходният номер 2 е, че функцията се увеличава и наляво (има "дъно"). Вдясно от тази точка - функцията намалява (има "отгоре надолу"). Десният клон на графиката със сигурност трябва да бъде най-малко един минимум. Левите крайности не са гарантирани.

Заключение номер 3 дава надеждна информация за вдлъбнатината на графиката в квартала на точката. Не можем да кажем нищо за издатината / вдлъбнатината върху безкрайността, защото линията може да бъде притисната към техните асимптоти както отгоре, така и отдолу. Най-общо казано, има аналитичен начин да го разберем точно сега, но формата на подаръка "за нищо" ще стане по-ясна на по-късните етапи.

Защо толкова много думи? За да наблюдавате последващите проучвания и да предотвратите грешки! Допълнителните изчисления не трябва да противоречат на заключенията.

3) точки на пресичане на графиката с координатни оси, интервалите на символната функция.

Графиката на функцията не пресича оста.

Интервален метод определя знаците:

, ако ;
, ако .

Резултатите от точката напълно отговарят на заключението номер 1. След всеки етап погледнете проекта, психически споменат в проучването и нарисувайте функционална графика.

В примерния пример числителят е разделен на знаменател, който е много полезен за диференциация:

Всъщност вече е направено, докато асимптотите са намерени.

- критична точка.

Определете знаците:

се увеличава до и намаление от

В момента функцията достига минимум: .

Дискусиите със заключение номер 2 също не разбраха и най-вероятно сме на прав път.

Така че функционалната графика е вдлъбната в цялото поле на дефиниция.

Отлично - и не рисувайте нищо.

Няма точки за инфлексия.

Конференцията е в съответствие със заключението номер 3, освен това показва, че в безкрайността (и там и там) се намира графиката на функцията по-горе неговите наклонени асимптоти.

6) В добросъвестно розовата задача с допълнителни точки. Тук ще бъде доста трудно, заради проучването, известно е само на две точки.

И картината, която вероятно много отдавна са представили:

По време на задачата трябва внимателно да се уверите, че няма противоречия между етапите на изследването, но понякога ситуацията е извънредна или дори отчаяна. Тук "не се събира" анализатор - и това е всичко. В този случай препоръчвам аварийното приемане: откриваме колкото се може повече точки, които принадлежат към графиката (колко е достатъчно търпение) и ние ги отразявам по координатния самолет. Графичният анализ на намерените ценности в повечето случаи ще ви каже къде е истината и къде е лъжа. В допълнение, графикът може да бъде изграден преди това, използвайки всяка програма, например в същото изгнание (разбираемо, за това се нуждаете от умения).

Пример 4.

Различни методи за изчисляване изследват функцията и изграждат своя график.

Това е пример за независимо решение. В него, самоконтролът се засилва от функцията - графиката е симетрична около оста и ако нещо противоречи на този факт във вашето проучване, потърсете грешка.

Можете също така да изследвате ясна или странна функция, когато и след това да използвате симетрията на графиката. Такова решение е оптимално, но по мое мнение изглежда много необичайно. Лично аз считам цялата цифрова ос, но все още намирам допълнителни точки вдясно:

Пример 5.

Провеждане на пълно проучване на функцията и изграждане на нейния график.

Решение: Тя се втурнала твърда:

1) Функцията е дефинирана и непрекъсната по цялата цифрова линия :.

Това означава, че тази функция е странна, нейната графика е симетрична по отношение на началото на координатите.

Очевидно функцията не е периодична.

2) асимптоти, поведение на функцията при безкрайност.

Тъй като функцията е непрекъсната, тогава отсъстват вертикалните асимптоти

За функция, съдържаща поканата на изложителя отделен Изследването "плюс" и "минус безкрайност", но животът ни улеснява симетрията на графика - или отляво, и отдясно има асимптота, или не е така. Следователно и двете безкрайни граници могат да бъдат издадени под един запис. По време на решението използваме лопатално правило:

Директната (ос) е хоризонтална асимптота на графиката.

Моля, обърнете внимание как ударим пълния алгоритъм за намиране на наклонени асимптоти: лимитът е напълно лесно и изяснява поведението на функцията при безкрайност, а хоризонталната асимптота е открила "сякаш в същото време".

От непрекъснатост и съществуването на хоризонтални асимптоти следва факта, че функцията ограничено от горното и ограничено от по-долу.

3) точките на пресичане на графиката с координатни оси, интервалите на подравняването.

Тук също намаляват решението:
Графикът преминава през произхода на координатите.

Няма други точки на пресичане с координатни оси. Освен това интервалите на алполизъм са очевидни, а оста не може да бъде изтеглено:, което означава, че функцията на функцията зависи само от "ICA":
, ако ;
, ако .

4) Увеличаване, намаляване, екстремум функция.


- критични точки.

Точките са симетрични относителни с нула, както трябва да бъде.

Определете признаците на дериват:


Функцията се увеличава на интервала и намалява на интервали

В момента функцията достига максимум: .

По силата на имота (Функции за свързване) Минималният не може да бъде изчислен:

Тъй като функцията намалява на интервала, е очевидно за "минус безкрайност" под С асимптота. На интервала функцията също намалява, но тук всичко е обратното - след преминаване през максималната точка, линията се приближава до ос вече отгоре.

От гореизложеното следва, че функционалният график е изпъкнал на "минус безкрайността" и вдлъбната на "плюс безкрайност".

След тази точка на проучването се нарича и полето на стойностите на функцията:

Ако нямате недоразумение за всеки моменти, отново призовавам да нарисувам координирани оси в тетрадката и с молив в ръцете, за да анализирате всяко заключение.

5) преобразуване, влъчване, инфлекция на графики.

- критични точки.

Точките на симетрията са запазени и най-вероятно не сме погрешни.

Определете знаците:


Функционалната графика е изпъкнала И вдлъбнати .

Беше потвърдена издатина / вложността на крайните интервали.

Във всички критични точки има огъване географски характеристики. Ще намерим ординати на просяците, докато отново ще намалим броя на изчисленията, използвайки странността на функцията:

Провеждане на пълно проучване и изграждане на графика на функцията

y (x) \u003d x2 + 81-x.y (x) \u003d x2 + 81-x.

1) Област на дефиниране на функции. Тъй като функцията е фракция, трябва да намерите нули на знаменателя.

1-x \u003d 0, ⇒x \u003d 1.1-x \u003d 0, ⇒x \u003d 1.

Ние изключваме единствената точка x \u003d 1x \u003d 1 от функцията за определяне на функцията и получавам:

D (y) \u003d (- ∞; 1) ∪ (1; + ∞) .d (y) \u003d (- ∞; 1) ∪ (1; + ∞).

2) Ние проучваме поведението на функцията в съседство на точката на пропастта. Ще намерим еднопосочни граници:

Тъй като границите са равни на безкрайността, точката x \u003d 1x \u003d 1 е празнината от втория вид, правимата линия x \u003d 1x \u003d 1 е вертикалната асимптота.

3) Ние определяме точките на пресичане на функцията с координатни оси.

Намерете точките на пресичане с Oyrinate Oyoy Axis, за които те приравняват x \u003d 0x \u003d 0:

По този начин пресичането на точката на оой има координати (0; 8) (0; 8).

Намерете точките за пресичане с оста на оксоксад абсцисата, за която поставяме y \u003d 0y \u003d 0:

Уравнението няма корени, така че няма точки за пресичане с оксикс.

Обърнете внимание, че X2 + 8\u003e 0x2 + 8\u003e 0 за всеки XX. Следователно, с X∈ (-∞; 1) X∈ (-∞; 1), функцията Y\u003e 0Y\u003e 0 (приема положителни стойности, графиката е над абсцисаната ос), с X∈ (1; + ∞) x∈ (1; + ∞) функция y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Функцията не е нито дори, нито странно, тъй като:

5) Ние изследваме функцията за честота. Функцията не е периодична, тъй като е частична рационална функция.

6) Ние изследваме функцията за крайности и монотонност. За да направите това, намерете първата деривативна функция:

Ние приравняваме първото производно на нула и намират стационарни точки (в които y '\u003d 0y' \u003d 0):

Трите критични точки, получени: x \u003d -2, x \u003d 1, x \u003d 4x \u003d -2, x \u003d 1, x \u003d 4. Разделяме цялата област на дефиниране на интервали от тези точки и определяме признаците на производа във всеки интервал:

С X∈ (-∞; -2), (4; + ∞) X∈ (-∞; -2), (4; + ∞) производно Y '<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

С X∈ (-2; 1), (1; 4) X∈ (-2; 1), (1; 4), производно Y '\u003e 0Y'\u003e 0, функцията се увеличава на тези интервали.

В същото време x \u003d -2x \u003d -2 - точката на местен минимум (функцията намалява, и след това се увеличава), x \u003d 4x \u003d 4 е точката на локалния максимум (функцията се увеличава и след това намалява).

Намерете стойностите на функцията в тези точки:

По този начин, минималната точка (-2; 4) (- 2; 4), максималната точка (4; -8) (4; -8).

7) Ние изследваме функцията за инфлексията и издатината. Ние намираме втората деривативна функция:

Приравняваме второто дериват на нула:

Полученото уравнение няма корени, така че няма блистерни точки. В същото време, когато X∈ (-∞; 1) X∈ (-∞; 1) се извършва y ''\u003e 0y "\u003e 0, т.е. функция вдлъбната, когато x∈ (1; + ∞) x∈ (1; + ∞) бягане y ''<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Ние проучваме поведението на функцията върху безкрайността, с.

Тъй като границите са безкрайни, без хоризонтални асимптоти.

Нека се опитаме да определим наклоните асимптоти на формата y \u003d kx + by \u003d kx + b. Изчислете стойностите на K, BK, B съгласно известни формули:

Получено е, че функциите имат една наклонена асимптота y \u003d -x-1y \u003d -x-1.

9) Допълнителни точки. Изчислете стойността на функцията в някои други точки, за да построите по-точно графика.

y (-5) \u003d 5.5; Y (2) \u003d - 12; Y (7) \u003d - 9.5.y (-5) \u003d 5.5; Y (2) \u003d - 12; Y (7) \u003d - 9.5.

10) Според получените данни, ние изграждаме графика, добавете я асимптоти x \u003d 1x \u003d 1 (син), y \u003d -x-1y \u003d -x-1 (зелено) и отбележете характерните точки (пурпурно пресичане с оргината, Оранжеви крайности, черни допълнителни точки):

Задача 4: Геометрични, икономически цели (нямам представа какво, има пример за избор на задачи с решения и формули)

Пример 3.23. а.

Решение. х. и y. y.
Y \u003d A - 2 × A / 4 \u003d A / 2. Тъй като X \u003d A / 4 е единствената критична точка, проверете дали знакът се променя по време на прехода през тази точка. С xa / 4 s "\u003e 0, и с x\u003e a / 4 s"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 3.24.

Решение.
R \u003d 2, n \u003d 16/4 \u003d 4.

Пример 3.22.Намерете Funmmas Function F (x) \u003d 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Решение.Тъй като f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), след това критичните точки на функцията x 1 \u003d 2 и x 2 \u003d 3. крайности могат да бъдат само в тези точки , Така, както при прехода през точка x 1 \u003d 2, производно променя знаците плюс на минус, след това на този момент функцията има максимум. При преминаване през точка x 2 \u003d 3, производно променя минусния знак плюс, следователно в точка x 2 \u003d 3 в функцията най-малко. Изчислете стойностите на функциите в точки
x 1 \u003d 2 и x 2 \u003d 3, ние откриваме екстремуните на функцията: максималната F (2) \u003d 14 и най-малко F (3) \u003d 13.

Пример 3.23.Необходимо е да се изгради правоъгълна платформа в близост до каменната стена, така че да се пробие с телена мрежа от три страни и прилежи на стената до стената. За това е налично а. Течащи мрежи. С какъв аспект ще има най-високата площ?

Решение.Означаваме страната на сайта х. и y.. Областта е равна на s \u003d xy. Нека бъде y. - Това е дължината на страната в непосредствена близост до стената. След това, чрез условието, трябва да се извърши равенството 2x + y \u003d a. Следователно y \u003d a - 2x и s \u003d x (a - 2x), където
0 ≤ x ≤ A / 2 (дължината и ширината на сайта не могат да бъдат отрицателни). S "\u003d a - 4x, a - 4x \u003d 0 при x \u003d a / 4, от където
Y \u003d A - 2 × A / 4 \u003d A / 2. Тъй като X \u003d A / 4 е единствената критична точка, проверете дали знакът се променя по време на прехода през тази точка. С xa / 4 s "\u003e 0, и с x\u003e a / 4 s"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 3.24.Необходимо е да се направи затворен цилиндричен резервоар с капацитет V \u003d 16P ≈ 50 m 3. Какви трябва да бъдат размерите на резервоара (R радиус и височина h), така че най-малкото количество материал датира неговото производство?

Решение.Площта на пълната повърхност на цилиндъра е S \u003d 2PR (R + H). Ние знаем обемът на цилиндъра V \u003d PR 2H \u003d H \u003d V / PR 2 \u003d 16P / PR 2 \u003d 16 / R2. Така, s (R) \u003d 2p (R2 + 16 / R). Намерете дериват на тази функция:
S "(R) \u003d 2P (2R- 16 / R2) \u003d 4P (R- 8 / R2). S" (R) \u003d 0 при R3 \u003d 8, следователно,
R \u003d 2, n \u003d 16/4 \u003d 4.

Подобна информация.

За пълно проучване на функцията и изграждане на неговите графики се препоръчва да се използва следната схема:

1) Намерете областта за дефиниране на място;

2) Намерете точките за прекъсване на функцията и вертикалните асимптоти (ако съществуват);

3) да се изследва поведението на функцията в безкрайността, да се намери хоризонтални и наклонени асимптоти;

4) да проучи функцията за готовност (странност) и за честота (за тригонометрични функции);

5) намерете интервали на екстрема и монотонност на функцията;

6) да определят интервалите на изпъкналост и точки на инфлексията;

7) Намерете точките за пресичане с координатните оси, ако е възможно, някои допълнителни точки, указващи графика.

Изследването на функцията се извършва едновременно с изграждането на нейния график.

Пример 9. Разгледайте функцията и изградете диаграма.

1. Област за определяне:;

2. Функцията толерира точки за разбивка
,
;

Ние изследваме функцията за наличие на вертикални асимптоти.

;
,
─ Вертикална асимптота.

;
,
─ Вертикална асимптота.

3. Ние изследваме функцията за наличие на наклонени и хоризонтални асимптоти.

Прав
─ наклонена асимптота, ако
,
.

,
.

Прав
─ Хоризонтална асимптота.

4. Функцията е дори защото
. Готовността на функцията показва симетрията на графиката по отношение на оста на ординатата.

5. Намерете интервали на монотонност и екстремална функция.

Намерете критични точки, т.е. точки, при които деривата е 0 или не съществува:
;
. Имаме три точки
;

. Тези точки разделят цялата валидна ос в четири празнина. Определят знаците на всеки от тях.

На интервали (-∞; -1) и (-1; 0) функцията се увеличава, на интервалите (0; 1) и (1; + ∞) ─ намалява. При преминаване през точката
произвеждането променя знака от плюс до минус, следователно, в този момент функцията има максимум
.

6. Ще намерим интервалите на издатината, точката на инфлексия.

Намерете точки, в които равен на 0 или не съществува.

той няма валидни корени.
,
,

Точки
и
Разбийте действителната ос за три интервала. Определят знака на всеки интервал.

Така кривата на интервали
и
изпъкнали надолу, на интервала (-1; 1) изпъкнала; Точки на инфлексия №, тъй като функцията в точки
и
неуточнен.

7. Намерете точките на пресичане с осите.

С ос
графиката на функцията се пресича в точката (0; -1) и с оста
графикът не се пресича, защото Числителят на тази функция няма валидни корени.

Графиката на определената функция е показана на фигура 1.

Фигура 1 ─ Функционален график

Използването на концепцията за дериват в икономиката. Еластичност на функцията

За изследване на икономическите процеси и решаване на други приложни задачи често се използва концепцията за еластичността на функцията.

Определение. Функция за еластичност
наречена граница на връзката на функцията за относително увеличаване до относително увеличаване на променлива за
. (VII)

Еластичността на функцията показва приблизително, колко процент ще промени функцията
при промяна на независима променлива с 1%.

Еластичността на функцията се прилага при анализиране на търсенето и потреблението. Ако еластичността на търсенето (чрез абсолютна стойност)
тогава търсенето се счита за еластично, ако
─ неутрален, ако
─ неластична по отношение на цената (или дохода).

Пример 10. Изчислете еластичността на функцията
и да намерите стойността на индикатора за еластичност за = 3.

Решение: Съгласно формула (VII) еластичност на функцията:

Нека X \u003d 3, тогава
, Това означава, че ако независима променлива ще се увеличи с 1%, стойността на зависимата променлива ще се увеличи с 1.42%.

Пример 11. Нека функцията за търсене относителна цена има външен вид
където ─ постоянен коефициент. Намерете стойността на индикатора за еластичност на функцията на търсенето на цена X \u003d 3 DEN. единици.

Решение: Изчислете еластичността на функцията за търсене съгласно формула (VII)

Вярваше
den.ed., получаваме
. Това означава, че за цената
den.ru. Повишаването на цената от 1% ще доведе до намаляване на търсенето с 6%, т.е. Търсенето е еластично.